线性规划的基本定理

3.线性规划的基本性质
1, 若有某j, 使得cd(j) 0, 则有 cd(j) j ( j ) 从而问题的目标函数值可以无限小( )。 此时我们称该问题是无界的或不存在有限最优解。
2, 若对任意的j, 有cd (j) 0, 则为极小化目标函数， 必有 j＝0，j＝， ..t ( 5) 1 2, .,. 3.
3.线性规划的基本性质
2)设x是Ax=b,x0的基本可行解,记
xB xB x 0 xN 0
假设存在两点x (1) ,x (2) 及某 (0,1), 使得 x x (1) +(1 )x (2) (1) (2) x B (2) x B (1) 记 x (1) , x ( 2 ) . x x N N (1) (2) -1 xB xB B b 则 (1) (1 ) ( 2 ) . x x 0 N N
线性相关, 则存在一组不全为零的数 j , j 1, 2,..,s使得
p
j1 j
s
j
0
记x j
(1)
x j j , j 1, 2,..,s x j j , j 1, 2,..,s (2) , xj 0, j s 1, 2,..., n 0, j s 1, 2,..., n
3.线性规划的基本性质
若某变量xj无非负限制，则引入xj = xj ' - xj ' ' ，
xj ', xj ' ' 0 若有上下界限制，比如xj lj, 令xj ' = xj - lj, , 有 xj ' 0
3.线性规划的基本性质
– 1.2. 图解法 当自变量个数少于3时，我们可以用较简便的 方法求解。 例如，考虑食谱问题
B称为基矩阵, xB 的各分量称为基变量. 基变量的全体x B1 , x B2 ,..., x Bm 称为一组基.
又若B1b 0, 则称
xN 的各分量称为基变量.
x B B-1b x xN 0
为约束条件Ax=b,x0的一个基本可行解. B称为 可行基矩阵
1
从而不是基本可行解.
3.线性规划的基本性质
• 容易知道,基矩阵的个数是有限的,因此基本解 从而基本可行解的个数也是有限的, 不超过 n n! m m!(n m)!
(0,1)
x1 +x2 +x3 =1
(1,0)
基本可行解
极点
3.线性规划的基本性质
定理3. 3 令K={x| Ax=b,x0},A是m×n矩阵,r(A)=m 则K的极点集与Ax=b,x0的基本可行解集合等价. 证明: (提纲)
其中A是mn矩阵，c是n维行向量， b是m维列 向量。
评注：为计算需要，一般假设b0.否则，可在 方程两端乘以(-1)即可化为非负。
3.线性规划的基本性质
任意非标准形式均可划为标准形式，如
min c1x1 c 2 x 2 ... c n x n s.t. a11x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 a 21x1 a 22 x 2 ... a 2n x n b2 ............................... a m1x1 a m2 x 2 ... a mn x n bm x j 0, j 1, 2,...n
1)设x是K的极点,则x是Ax=b,x0的基本可行解.
2)设x是Ax=b,x0的基本可行解,则x是K的极点.
3.线性规划的基本性质
1),先证极点x的正分量所对应的A的列线性无关.
设x (x1 , x 2 ,..., x s ,0,0,...,0) T , 其中x j 0, j 1, 2,...s, 记 A (p1 , p 2 ,..., ps , ps1 , ps2 ,..., p n ) 设x1 , x 2 ,..., x s所对应的列为p1 , p 2 ,..., ps .假设p1, p 2 ,..., p s
3.线性规划的基本定理
• 1标准形式及图解法
– 1.1标准形式 称如下形式的线性规划为标准形式
min
n
c x
j 1 j ij j
n
j
s.t.
a x
j 1
Hale Waihona Puke Baidu
bi ,
i=1,2,...m (3.1)
x j 0, j=1,2,...n
3.线性规划的基本性质
矩阵表示
min cx s.t. Ax b, x 0, i=1,2,...m (3.2)
于是,问题简化成
3.线性规划的基本性质
min (cx(i)) i
i 1 = k k
(3.6)

i 1 =
i
1
在(3.6)中令 显然,当
i 0, i 1,2,..., k
cx(p ) min cx (i)
1i k
(3.7)
p 1, j 0, j p
(3.8)
3.线性规划的基本性质
由于x j 0, j 1, 2,..,s故可取充分小的 >0,使得 x j(1) 0, x j(2) 0, j 1, 2,..,s
则 Ax (1) x j p j (x j j )p j
(1)
n
n
j1
j1 s
x jp j jp j b
j1 j1
s
同理 Ax (2) b
从而当 >0充分小, 有x (1) x (2)是可行点, 1 (1) 但我们又有x= (x x (2) ).此与x为极点相矛盾. 2
3.线性规划的基本性质
于是, p1 , p 2 ,..., ps线性无关,s m r(A), 从而可将其 扩充为A的一组基, 记做B (p1 , p 2 ,..., p s , p s 1,..., p m ). 我们得到可逆阵B
引入松弛变量xn+1， xn+2 ,… xn+m.
3.线性规划的基本性质
则有
min c1x1 c 2 x 2 ... c n x n s.t. a11x1 a12 x 2 ... a1n x n x n 1 b1 a 21x1 a 22 x 2 ... a 2n x n x n 2 b2 ............................... a m1x1 a m2 x 2 ... a mn x n x n m bm x j 0, j 1, 2,...n m
即 Bx B Nx N b (3.9)
于是
x B B-1b B-1Nx N
x B B-1b x xN 0
特别的令 x N=0,则
(3.10)
3.线性规划的基本性质
定义3.1
x B B-1b x x N 0 称为方程组Ax=b的一个基本解.
min cx s.t. Ax b, x 0, i=1,2,...m (3.2)
不失一般性,设rank(A)=m,A=[B,N],B是m阶可逆的.
设
xB x xN
x B的分量与B中列对应; x N的分量与N中列对应
3.线性规划的基本性质
于是,Ax=b可写为 xB (B, N) b xN
3.线性规划的基本性质
x B1 , x B2 ,..., x Bm 称为一组可行基. -1 -1 若 B b>0,称基本可行解是非退化的,若 B b0, 且至少有一个分量为0,称基本可行解是退化的. 例1, 求出约束为
x1 +x2 =1 的所有基本可行解. x1 ,x2 0 解 : A (1,1), 注意到, 任意一基矩阵是A的可逆子矩阵.
10 20 30 40 50 x
3.线性规划的基本性质
• 2 基本性质
– 2.1 线性规划的可行域
定理 3.1 线性规划的可行域是凸集.
– 2.2 最优极点
观察上例，最优解在极点(15,2.5)达到，我们 现在来证明这一事实:线性规划若存在最优解, 则最优解一定可在某极点上达到.
3.线性规划的基本性质
考察线性规划的标准形式(3. 2)
设可行域的极点为x(1) , x(2) ,..., x( k ) , 极方向为d (1) , d (2) ,..., d ( t )。
根据表示定理，任意可行点x可表示为
x i x(i) i d(i)
i=1 i=1
k
t
(3.3)

i=1
k
i
1
3.线性规划的基本性质
定理3.2 设线性规划(3.2)的可行域非空,则 1,(3. 2)存在最优解的充要条件是所有 cd(j) 非负,其中 d
(j)
是可行域的极方向
2,若(3. 2)存在有限最优解,则目标数的最优值 可在某极点达到.
3.线性规划的基本性质
• 3最优基本可行解
前面讨论知道们最优解可在极点达到，而极点 是一几何概念，下面从代数的角度来考虑。
于是,容易知道,A仅有两个一元矩阵(1)从而得所有 1 0 的基本解为x = , x = , 它们都是基本可行解. 0 1
3.线性规划的基本性质
例2, 求出约束为 x1 +x2 +x3 =1 x1 -x2 1/ 2 的所有基本可行解. x ,x , x 0 1 2 3
Min 3x +2.5y s.t. 2x + 4y 40 3x + 2y 50 x, y 0.
3.线性规划的基本性质
y 50 40 30 3x+2y50 20 10 2x+4y40 0 3x +2.5y 可行区域的极点： (0, 25) (15, 2.5) 最优解
(20, 0)
(15, 2.5)
时目标函数取极小值.
3.线性规划的基本性质
即(3.5)和(3.8)是(3.4)的最优解,此时
cx (cx(i)) i (cd(i))i
i=1 k i=1 k
k
t
(cx(i)) i (cx(p )) i
i=1 i=1
=cx(p )
因此极点 x(p) 是问题(3.2)的最优解.
1 1
0 1 1 1/ 2 x B b 1/ 2 1/ 2 0 1 1
2 1 1
3.线性规划的基本性质
0 1 B3 1 1 0 1 1 1/ 2 3 1 x B1 b 1/ 2 3/ 2 1 1 可见, x1 , x 2是非退化的基本可行解,而x3不是非负的,
1 1 解:A 1 1 1 1 B1 ,B2 1 1
1 1 ,b 1/ 2 0 1 1 1 1 ,B3 1 0 均可逆. 1 0
3.线性规划的基本性质
1/ 2 1/ 2 B 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 3/ 4 1 1 x B1 b 1/ 2 1/ 4 0 1/ 2 1/ 2 0 1 1 B2 1 1
又x (x1 , x 2 ,..., x s ,0,0,...,0) T 是K的极点, 所以满足 Ax b, x 0, 于是 x1p1 x 2 p 2 ... x s ps 0ps 1 ... 0p m b 即 Bx B b, 且 x B B1b 0 xB xB 从而x 是基本可行解 xN 0
i 0, i 1,2,..., k i 0, i 1,2,..., t.
3.线性规划的基本性质
把x的表达式代入(3. 2),得等价的线性规划:
min (cx(i)) i (cd(i))i
i=1 i=1 k t
(3.4)

i=1
k
i
1
i 0, i 1,2,..., k i 0, i 1,2,..., t.