《图形的相似》单元测试卷(含答案)word版本
第6章图形的相似单元测试题及答案(K12教育文档)
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（时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每题3分，共36分)1。
下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形;⑥两个正五边形。
其中一定相似的有（）A.2组B.3组C.4组D。
5组2。
如图，在正方形网格上有6个斜三角形:①△ABC，②△BCD，③△BDE,④△BFG，•⑤△FGH，⑥△EFK，其中②～⑥中与三角形①相似的是（）A。
②③④ B.③④⑤ C.④⑤⑥ D。
②③⑥3.应中共中央总书记胡锦涛同志的邀请，中国国民党主席连战先生、亲民党主席宋楚瑜先生分别从台湾来大陆参观访问,先后来到西安，都参观了新建成的“大唐芙蓉园”，该园占地面积约为800000m2，若按比例尺1:2000缩小后，其面积大约相当于（）A。
一个篮球场的面积B。
一张乒乓球台台面的面积C。
《陕西日报》的一个版面的面积 D.《数学》课本封面的面积4。
如图,小明设计两个直角,来测量河宽BC，他量得AB=2米,BD=3米，CE=9米，•则河宽BC为( ）A。
5米 B.4米 C.6米 D。
8米5。
如图，已知等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，则的值等于( )A. B. C.1 D。
6。
如果整张报纸与半张报纸相似,则此报纸的长与宽的比是（ )A。
图形的相似单元测试【含答案】
DC B A 图形的相似 单元测试（时间：60分钟，共100分）一、选择题（每小传统3分，共30分） 1．下列语句正确的是 ( )A ．在△ABC 和△A′B′C′中，∠B=∠B′=90°，∠A=30°，∠C′=60°， 则△ABC 和△A′B′C′不相似B ．在△ABC 和△A′B′C′中，AB=5，BC=7，AC=8，A′C′=16，B′C′=14，A′B ′=10，则△ABC ∽△A′B′C′C ．两个全等三角形不一定相似D ．所有的菱形都相似2．如图所示，△ABC ∽△ADE ，AE=30cm ，EC=15cm ，BC=60cm ，则DE 的长为 ( ) A ．40cm B ．50cm C ．45cm D ．35cm 3．如图所示，能保证△ACD ∽△ABC 的条件是 ( ) A ．AB:BC=AC:CD B ．CD:AD=BC:AC C ．CD 2=AD ．DC D ．AC 2=AB ．AD 4．如果两个相似多边形的面积比为9:4，那么这两个相似多边形的相似比为 ( ) A ．9:4 B ．2:3 C ．3:2 D ．81:16 5．小明用如图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，如图 所示给出的四个图案中，符合图示胶滚图案的是 ( )6．语句：“①所有度数相等的角都相似；②所有边长相等的菱形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的圆都相似”中准确的有 ( )A ．4句B ．3句C ．2句D ．1句 7．下列语句中不正确的是 ( )A ．求两条线段的比值，必需采用相同的长度单位B ．求两条线段的比值，只需采用相同的长度单位，与选用何种长度单位无关C ．两个相似三角形中，任意两组边对应成比例D ．不相似的两个三角形中，也有可能两组边对应成比例 8．下列各组图形有可能不相似的是 ( ) A ．各有一个角是50°的两个等腰三角形 B ．各有一个角是100°的两个等腰三角形 C ．各有一个角是50°的两个直角三角形 D ．两个等腰直角三角形9．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，其最短边长为6，则最长边长为（ ）A ．12B ．18C ．24D ．301250800xy ╯ ╮ 650 536╭α ╰ ╯ 803 10． 已知cba b a c a c b +=+=+＝k ，则k=（ ） A ．2 B ．－1 C ．2或－1 D ．0二、填空题（每小题3分，共24分）11．如果一个三角形的面积扩大9倍，那么它的边长扩大_____________倍．12．如图所示，有一块呈三角形的草坪，其一边长为20m ，在这个草坪的图纸上，若这条边的长为5cm ，其他两边的长都是3．5cm ，则该草坪其他两边的实际长度为______________．13．如图所示的两个三角形是相似的x=_________，m=___________，n=____________．x2a 55︒m ︒45︒103a n ︒80︒45︒14． 已知如图，两个矩形相似， 则x= ，y= ，α= ．15． 在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1．5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是＿＿＿米．16．如图中的两个矩形相似，则x=___________．17． 请把下列各组图形是否相似的结论写在下面的括号里．18．如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是(－4，2)、(－2，2)，右图中左眼的坐标是(3，4)，则右图案中右眼的坐标是 ．三、解答题（19小题6分，其余各小题8分，共46分） 19．把上下对应的相似图形用线连起来20．如图所示，写出多边形ABCDEF 各个顶点的坐标，并画出多边形ABCDEF 关于y 轴的轴对称图形，它们相应的对称点的坐标有什么变化?－3 －2 －1 32 1 O －1 －212 3 xy21．学生会举办一个校园摄影艺术展览会，小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边，如图所示．两人在设计时发生了争执：小华要使内外两个矩形相似，感到这样视觉效果较好；小刚试了几次不能办到，表示这是不可能的．小红和小莉了解情况后，小红说这一要求只有当矩形是黄金矩形时才能做到，小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到．请你动手试一试，说一说你的看法．222．以下列正方形网络的交点为顶点，分别画出两个相似比不为1的相似三角形，使它们：(1)都是直角三角形；(2)都是锐角三角形；(3)都是钝角三角形．23．如果一个图形经过分割，能成为若干个与自身相似的图形，我们称它为“能相似分割的图形”，如图所示的等腰三角形和矩形就是能相似分割的图形． (1)你能否再各举出一个 “能相似分割”的三角形和四边形？(2)一般的三角形是否“能相似分割的图形”？如果是的话给出一种分割方案，否则说明原因．24．我们通常用到的一种复印纸，整张称为A 1纸，对折一分为二裁开成为A 2纸，再一分为二成为A 3纸，…，它们都是相似的矩形．求这种纸的长与宽的比值(精确到千分位)．参考答案1．B ；对应边成比例 2．A ；根据对应边成比例 3．D ；比例性质 4．C ；相似形的性质 5．C ；图形的相似 6．B ；②③④ 7．C ；注意对应 8．A ；不符合对应关系 9． 由相似多边形对应边成比例，设最长边为x ．∴x662 ，∴2x=36，x=18．答案：B 10．C ．2或－1二、11．3倍 12．14m 13．20314．根据相似形的性质，得x=2.5，y=1.5，α=900；⑵x=22.5． 15．在相同时刻的物高与影长成比例，设古塔的高为xm ，则505.25.1x=，解得x=30（m ） 16．已知两个矩形相似，根据相似形的性质，有x201530=，∴30x ＝15×20，解得x ＝10；又152030=x ，∴x ＝22．5 17． ①相似，②不相似，③不相似，④相似，⑤不相似，⑥不相似 18． 由左图案中左右眼睛的坐标分别是(－4，2)、(－2，2)，不难发现左右眼睛之间的距离2个单位；平移后的图形右图中左眼的坐标是(3，4)，则右图案中右眼的坐标的纵坐标不变，横坐标为3＋2＝5，即右图案中右眼的坐标是（5，3）． 三、19．相似形连线如（1）－（a ），（2）-(d)，（3）－(g)20．提示:A(-2，0)，B(0，-3)，C(3，-3)，D(4，0)，E(3，3)，F(0，3)，A′(2，0)，B′(0， 3)，C′(-3，-3)，D′(-4，0)，E′(-3，3)，F′(0，3)．21．只有正方形才能做到，设矩形的一边为a ，另一边为b ，等宽的纸边宽为c ，按小华的要求，应有cb ca b a 22--=，化简得a=b ． 22．作图如下23．例如直角三角形，一组底角是60°、三边相等的等腰梯形． 三角形都是“能相似分割的图形”（提示：顺次连结三角形三边中点，将三角形分成的四个三角形都和原三角形相似）24． 1．414（提示：设 A 1纸的长为a ，观为b ，由A 1，A 2纸的长余观对应成比例，得a:b=b:21a ）。
图形的相似单元测试及答案
《图形的相似》单元测试（时间：60分钟 满分：100分） 班级 姓名 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.下列四组线段中，成比例线段的是（ ） A ．3㎝，4㎝，5㎝，6㎝ B. 8㎝，4㎝，3㎝，6㎝C. 3㎝，5㎝，4㎝，6㎝D. 5㎝，15㎝，2㎝，6㎝2.下列说法正确的是（ ）A.所有的等腰三角形都相似B.所有的直角三角形都相似C.所有的等腰直角三角形都相似D.有一个角相等的两个等腰三角形相似3.若mn ab =,则下列比例式中不正确的是( )A.a n m b =B.a m n b =C.m n a b =D.m b a n= 4.如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距墙脚1.6m,梯上点D 距墙1.4m,BD 长0.55m,则梯子的长为( )A.3.85mB.4.00mC.4.40mD.4.50m5.如图，已知∠1=∠2，添加一个条件后，可使△ABC ∽△ADE ，则添加的条件不能是（ ）A ．∠B=∠D B.∠C=∠E C.AB AD = BC DE D. AB AD = AC AE6.下列说法正确的是（ ）A ．任意两个矩形相似B 有一个角是60°的两个平行四边形相似C 有一个角是60°的两个菱形相似D 有一个角是60°的两个等腰梯形相似7.已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比是2∶3，那么△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比是( )A.2∶3B.4∶9C.9∶4D.3∶28.如图，平行四边形 ABCD 中，F 是BC 延长线上一点，AF 交BD 于O ，与DC 交于点E ，则图中相似三角形共有（ ）对（全等除外）．A ．3B ．4C ．5D ．6(第4题) (第5题) （第8题）二、填空题（每小题4分,共24分）9. 如果四条线段m, n, x , y 成比例,若m=2 , n=8 , y=20 ,则线段x 的长是______.10. 若 x+y x-y = 32 ,则 x y= . 11.若两个三角形相似，且它们的最大边分别为6 cm 和8 cm ，它们的周长之和为35 cm ，则较小的三角形的周长为______㎝.12. 如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC 上，且DE ∥BC ，若AD:DB = 6:7 ,则DE:BC= .A EC B D13. 如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，若∠CAB ＝∠BCD ，AD ＝2，BD ＝4，则BC ＝______．14.如右图，在长为9cm 、宽为6cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是 cm 2三．解答题(第15、16题各15分，第17题16分)15.为了测量一条河的宽，如图所示，在河对岸选定一点A ，在河的这一岸找出一点B ，使AB 与河岸线（近似看成直线段）垂直。
2024-2025北师大九年级数学(上)第四章图形的相似单元测试卷(含答案)
第四章测试卷(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(每小题3分，共30分，)题号12345678910答案B C A D B C C C A C1.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )2.在比例尺为1：500000的交通地图上，玉林到灵山的长度约为 23.6cm ，则它的实际长度约为( )A.0.118km B.1.18km C.118km D.1180km3.如图，以A ，B ，C 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )A.2:1B.3:1C.4:3D.3:24.在△ABC 中,D 是AB 中点,E 是AC 中点,若△ADE 的面积是3，则△ABC 的面积是 ( )A.3 B.6 C.9 D.125.如图,在△ABC 中,点D 在AB 边上,过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E,DF ∥AC 交BC 于F,若AE:DF=2:3,则BF:BC 的值是 ( )A. 23 B. 35 C. 12D. 256.如图,在四边形ABCD 中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是 ( )A.∠DAC=∠ABC B. AC 是∠BCD 的平分线 C.AC²=BC ⋅CD D.ADAB =DCAC7. 若△ABC 的各 边都分别扩大到原来的 2 倍，得到△A ₁B ₁C ₁，下列结论正确的是 ( )A.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的对应角不相等 B.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁不一定相似C.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为1:2 D.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为2:18.如图,点 E 是▱ABCD 的边 BC 延长线上的一点,AE 和CD 交于点G ，AC 是▱ABCD 的对角线，则图中相似三角形共有 ( )A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对9.如图,已知E(-4,2),F(--2,--2),以O 为位似中心,把△EFO 缩小到原来的 12，则点E 的对应点的坐标为( )A.(2,一1)或(-2,1)B.(8,一4)或(一8,4)C.(2,-1)D.(8,-4)10.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 、F 分别在边AD 和CD 上,AF ⊥BE,垂足为G,若 AEED =2,则 AGGF 的值为( )A. 45B. 56C.67D.78二、填空题(每小题3分，共15分)11.若△ABC ∽△A'B'C',且相似比为3:5,已知△ABC 的周长为21,则△A'B'C'的周长为 .12.如图是一架梯子的示意图，其中 AA₁‖BB₁‖CC₁‖DD₁,且AB=BC=CD.为使其更稳固，在A ，D ₁间加绑一条安全绳( 线段AD ₁),量得 AE=0.4m,则 AD₁= m13.如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3m 宽的亮区.已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=7m ，窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC 等于 m.14.如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC 与△CDE 的面积比为 .15.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点，且 CF =14CD,下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△ECF,③AE ⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的结论是 (填序号).三、解答题(本大题8个小题，共75 分)16.(8分)根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. AB =3,BC =4,AC =5,A 'B '=12,B 'C '=16,C 'A '=2017.(9分)如图,D 是△ABC 的边AC 上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,BC=6,BD=4,如果△ABD 的面积为4,求△BC D 的面积.18.(9分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A ₁B ₁C ₁;(2)画出△ABC 以点O 为位似中心,相似比为 1:2的△A ₂B ₂C ₂.19.(9分)如图,四边形ABCD 是菱形,AF ⊥BC 交BD 于E,交 BC 于F.求证: AD 2=12DE ⋅DB.20.(10分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一颗大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了 B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆DE，使得点 E 与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m，测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽 AB.21.(10分)如图,E是平行四边形ABCD的边 DA 延长线上一点,连结 EC 交AB 于 P.(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)；(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由.22.(10分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,则ABAC =BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图2,过点C作CE∥DA,交 BA的延长线于点 E⋯任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5cm ,AC=4 cm,BC=7 cm.求 BD的长.23.(10分)在矩形 ABCD中,点 E 是对角线AC 上一动点,连接 DE,过点 E 作EF⊥DE 交AB 于点 F.(1)如图1,当DE=DA时,求证:AF=EF;(2)如图2，点E 在运动过程中，DEEF的值是否发生变化?请说明理由.第四章测试卷答案一、选择题1、B2、C3、A4、D5、B6、C7、C8、C9、A 10、C 二、填空题11、35 12、1.2m 13、2.4m 14、4:1 15、②③三、解答题16、解：相似，理由： ∵AB A 'B '=312=14,BC B 'C '=416=14,AC A 'C '=520=14,∴ABA 'B'=BCB 'C '=ACA 'C ',∴ABC ∽A 'B 'C '.17、解:∵∠ABD=∠C,又∠A=∠A,∴△ABD ∽△ACB,S ABD S ACB=(BD CB )2=(46)2=49,18、解：如图所示19、证明:连接AC 交 BD 于点O,∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD,BO=OD,∵AE ⊥AD,∴△AOD ∽△EAD, ∴AD OD=ED AD,∴A D 2=ED ⋅OD,即 A D 2=12DE ⋅DB.20、解:∵CB ⊥AD,ED ⊥AD, ∴∠CBA =∠EDA =90°.∵∠CAB=∠EAD, ∴ABCOADE,∴AB AD=BC DE,∴AB AB +8.5=11.5,∴AB =17,.∴河宽为17m.21、解:(1)△EAP ∽△CBP,△AEP ∽△DEC,△BCP ∽△DEC.(2)选. △EAPO △CBP,理由如下:在▱ABCD 中AD ∥BC,∴∠EAP=∠B.又∵∠APE=∠BPC,∴△EAP ∽△CBP.22、解:(1)证明:如图2,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, ∵CEDA,∴BDCD =BAEA,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∠ACE=∠E,∴AE=AC,∴ABAC =BDCD；(2)∵AD是角平分线, ∴ABAC =BDCD,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, C.54=BD7−BD,解得BD=359cm.23、解:(1)证明:如图,连接 DF，在矩形ABCD 中,∠DAF=90°,又∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∵AD=DE,DF=DF,∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL),∴AF=EF;(2)DEEF 的值不变.如图,过点E作EM⊥AD于点M,过点E 作EN⊥AB 于点 N,∵EM∥CD,EN∥BC,∴EMCD =AEAC,ENBC=AEAC,∴EMEN=CDBC,∵∠DEF=∠MEN=90°,∴∠DEM=∠FEN,又·∴∠DME=∠ENF=90°,∴△DME⊗△FNE,∴DEEF =EMEN,∴DEEF=CDBC,∵CD 与BC 的长度不变, ∴DEFF的长度不变.。
图形的相似单元测试题及答案[2]
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图形的相似单元测试题班级 姓名 学号一、填空题（每小题3分,共24分）1。
如果四条线段m ， n, x ， y 成比例，若m=2 ， n=8 , y=20 。
则线段x 的长是__________.2.边长为12cm 的等边三角形按2：1的比例缩小后的三角形是边长为________的_______三角形。
3.已知△ABC ∽△DEF, AB ＝6 ， DE ＝8 ， 则:ABC DEF S S ∆∆＝________.4。
已知三个数2,2,请你再添一个数，写出一个比例式________。
5。
点P 是△ABC 中AB 边上的一点,过点P 作直线 （不与直线AB 重合)截△ABC,使截得三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线最多________条。
6.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台上的黄金分割点处最自然得体,若舞台AB 长为20cm,试计算主持人应走到离A 点至少____________________m 处。
（结果精确到0。
1m)7.一个4米高的电线杆的影长是6米，它临近的一个建筑物的影长是36米.则这个建筑的高度是_________。
8。
如图,若DE ∥BC ，FD ∥AB ，AD ∶AC ＝2∶3 ，AB ＝9，BC ＝6,则四边形BEDF 的周长为________.二、选择题（每小题4分,共40分）1.若果mn ab =，则下列比例式中不正确的是( ) A.a n m b = B.a m n b = C.m n a b = D.m b a n= 2.已知：如图2,在△ABC 中,∠ADE=∠C ，则下列等式成立的是（ )A 。
《图形的相似》单元测试卷(含答案).docx
第六章《图形的相似》单元测试卷一、选择题：1.（2015-东营）若丄二。
，则迟亠的值为 ....................................... （）x 4 x4 5 7A. 1:B. —；C. —:D.—；7 4 42. 已知线段a 、b 、c,其中c 是a 、b 的比例中项，若a=9cm, b=4ctn,则线段C 长......... （）A. 18c 加；B ・ 5cm ；C. 6cm ；D. ±6cm ；3. 已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>PB ）, AB 二4,那么AP 的长是 ............ （）A. 2A /5 — 2 ；B. 2 — y/5 ；C. 2A /5 — 1 :D. \/5 — 2 :4. （2015・荆州）如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断厶ABP^/\ACB,添加一个条件，不正确的是（）A. 1： 16；B ・ 1： 4； C. 1： 6； D. 1： 2；6. （2015・恩施州）如图，在平行四边形ABCD 中，EF//AB 交AD 于E,交BD 于F, DE ： EA=3： 4, EF=3,则CD 的长为 ... （）A. 4； B. 7； C. 3； D. 12；8.如图，已知△ ABC 和厶ADE 均为等边三角形，D 在B C 上，DE 与AC 相交于点凡AB=9, BD=3,则CF 等于（ ）10•如图，Rt/XABC 中，ZACB=90°, ZABC=60°, BC=2cm, D 为BC 的中点，若动点E 以1加/$的速度从A 点岀发，沿 着A TB T A 的方向运动，设E 点的运动时间为/秒（0<r<6）,连接DE,当△BDE 是直角三角形时，/的值为......（）A. 2；B. 2.5 或 3.5；C. 3.5 或 4.5；D. 2 或 3.5 或 4.5；二、填空题：11.如果在比例尺为1 ： 1 000 000的地图上，A 、B 两地的图上距离是3.4厘米，那么A 、B 两地的实际距 离是 ____________ 千米.12. ______________________________________________________ 如图，已知：厶/彼/仏，AB 二6, DE=5, EF=1.5,5. AB~AC如果两个相似三角形的面积比是1： 4,那么它们的周长比是A- 1；B ・ 2；（2016・临夏州）A. ZABP=ZC ；B.APAB AC（ )第8题图第10题图则AC二_________________________________________________________ ・13.________________________________________________________________________ 如图，△ABC与厶A fB f C是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是_________________________________BEF//AB,若 S ADE =4C 〃2 2 , S EEC =9c/n 2 ,求 SABC •且备二鈴（1）求证：S5 ⑵求皿的大卜14. 如图，点G 是ZkABC 的重心，GH 丄BC,垂足为点H,若GH=3,则点A 到BC 的距离为 __________________ ・ 15. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并 且边DE与点B 在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE 二40cm, EF=20cm,测得边DF 离地面的高度AC 二1.5加，CD=8m,则树高 AB 二 ________________/\ADP 和厶ABC 相似.b Af ） 217. 如图，双曲线歹=一经过&ZXBOC 斜边上的点A,且满足——=一，与BC 交于点D S 咖=21,求r ____________________ .x AB 3 18. （2016・安徽）如图，在矩形纸片A8CD 中，43=6, BC=10,点E 在CD 上,将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD上的点F 处；点G 在AF 上，将A/IBG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：3①ZEBG=45。
图形的相似单元测试(含答案)
图形的相似单元测试一、选择题1、【基础题】在比例尺为1：5000的地图上，量得甲，乙两地的距离为25 cm ，则甲、乙两地的实际距离是 ( ) A. 1250千米 B. 125千米 C. 12.5千米 D. 1.25千米2、【基础题】已知135＝ab ，则ba b a ＋－的值是（ ） ★ A. 32 B. 23 C. 49 D. 943、【基础题】如右图，在△ABC 中，看DE ∥BC ，12AD BD =，DE ＝4 cm ，则BC 的长为 ( ) A ．8 cm B ．12 cm C ．11 cm D ．10 cm4、【基础题】如右图，DE 是ΔABC 的中位线，则ΔADE 与ΔABC 的面积之比是（ ） A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:45、【基础题】如下图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是( ) ★★★6、【基础题】下列结论不正确的是( ) ★ A. 所有的矩形都相似 B. 所有的正方形都相似 C. 所有的等腰直角三角形都相似 D. 所有的正八边形都相似7、【基础题】下列说法中正确的是( ) ★A. 位似图形可以通过平移而相互得到；B. 位似图形的对应边平行且相等C. 位似图形的位似中心不只有一个D. 位似中心到对应点的距离之比都相等8、【综合题Ⅰ】如右上图，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是（ ） ★★★A. ∠APB ＝∠EPC ；B. ∠APE ＝90°C. P 是BC 的中点D. BP ︰BC ＝2︰3 9、【综合题Ⅱ】如右上图,Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AB =3， AC =4，P 是BC 边上一点，作PE ⊥AB 于E ，PD ⊥AC 于D ，设BP ＝x ，则PD+PE ＝（ ） A.35x + B. 45x -C.72D.21212525x x -10、【综合题Ⅲ】如图，在Rt ABC △内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形．则a 、b 、c 满足的关系式是（ ）AB CA. b a c =+B. b ac =C. 222b a c =+D. 22b a c == 二、填空题11、【基础题】在同一时刻，高为1.5m 的标杆的影长为2.5m ，一古塔在地面上影长为50m ，那么古塔的高为 ．12、【基础题】两个相似三角形面积比是9∶25，其中一个三角形的周长为36cm ，则另一个三角形的周长是 ． 13、【综合题Ⅰ】如左下图，在△ABC 中，AB ＝5，D 、E 分别是边AC 和AB 上的点，且∠ADE ＝∠B ，DE ＝2，那么AD·BC ＝ .14、【基础题】如右上图，在△ABC 和△DEF 中，G 、H 分别是边BC 和EF 的中点，已知AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠BAC ＝∠EDF . 那么AG ：DH ＝ ，△ABC 与△DEF 的面积比是 .15、【基础题】把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，边长应缩小到原来的____倍. 16、【综合Ⅱ】如左下图在Rt △ABC 中, ∠ACB ＝90°,CD ⊥AB 于D ，若AD ＝1，BD ＝4，则CD ＝ .17、【基础题】如右上图，一人拿着一支厘米小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上12厘米的长度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，则电线杆的高为 .18、【基础题】已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是20 cm ，则它的宽为_____cm.（结果保留根号） 19、【综合Ⅲ】顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，BD 是三角形ABC 的角平分线，那么AD ＝__ 20、【提高题】如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △、323A B B △的面积分别为1、4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．（第20题图）OA 1 A 2A 3A 4 AB B 1 B 2 B 3 14三、解答题21、【基础题】（2008无锡）如图，已知点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于点F ，求证△ABF ∽△EAD ．22、【综合Ⅰ】如图27－106所示，已知E 为ABCD 的边CD 延长线上的一点，连接BE 交AC 于O ，交AD 于F ．求证BO 2＝OF ·OE ．23、如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12 cm ，OB=6 cm ，点P 从O 点开始沿OA 边向点A 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1cm/s 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （单位：秒） 表示移动的时间（06t ≤≤），那么： （1）当t 为何值时， △POQ 与△AOB 相似？（2）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式。
苏科新版九年级数学下册第6章《图形的相似》单元测试卷( 附答案)
《图形的相似》单元培优测试卷一．选择题1．已知＝，则的值为（）A．B．C．﹣D．﹣2．已知＝（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（）A．＝B．2a＝3b C．＝D．3a＝2b3．如果＝，那么下列等式中不一定成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．ad＝bc4．给出下列各组线段，其中成比例线段是（）A．a＝2cm，b＝4cm，c＝6cm，d＝8cmB．a＝cm，b＝cm，c＝cm，d＝cmC．a＝cm，b＝cm，c＝cm，d＝2cmD．a＝2cm，b＝cm，c＝2cm，d＝cm5．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（）①AC＝AB，②AC＝AB，③AB：AC＝AC：BC，④AC≈0.618ABA．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP•AC D．8．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．9．如图，在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，AB＝10，BD＝6，则BC的值为（）A．B．C．D．10．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（）A．（0，0），2 B．（2，2），C．（2，2），2 D．（1，1），11．一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现在要做一个和它相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（）A．一种B．两种C．三种D．四种或四种以上12．如图，已知在▱ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F，则下列选项中的结论错误的是（）A．FA：FB＝1：2 B．AE：BC＝1：2C．BE：CF＝1：2 D．S△ABE：S△FBC＝1：413．如图，DE∥FG∥BC，若DB＝4FB，则EG与GC的关系是（）A．EG＝4GC B．EG＝3GC C．EG＝GC D．EG＝2GC 14．如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动．设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（）A．B．C．D．15．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE＝3，则AD的长为（）A．5 B．4 C．3D．216．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝17．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．1218．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（）A．B．C．D．19．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③2CB2＝CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③二．填空题20．如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且＝，若点A（﹣1，0），点C（，1），则A′C′＝．21．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若＝，则＝．22．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是．23．如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE＝2EB，连接DF．若S△AEF＝1，则S△ADF的值为．24．如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为．25．如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC＝1，则AE•BE＝．26．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为．27．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为．三．解答题28．在下列三个正方形网格图中，△ABC的顶点和另两条线段的端点都在格点上，以给定的线段为一边，分别在图2和图3中各画出一个三角形，使所画的三角形都与△ABC相似，并说明所画三角形与△ABC的相似比．29．如图，△ABC三个顶点分别为A（0，﹣3），B（3，﹣2），C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1．30．已知AD为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为M，分别过A，D两点作BC的垂线，垂足分别为B，C，AD的延长线与BC相交于点E．（1）求证：△ABM∽△MCD；（2）若AD＝8，AB＝5，求ME的长．31．如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l 于点F，点A是的中点．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）若PA＝6，求PB的长．32．已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，且AC＝CP．（1）求∠P的度数；（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE•DC＝20，求⊙O的面积．（π取3.14）33．如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：∠CAD＝∠BDC；（2）若BD＝AD，AC＝3，求CD的长．34．求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根据给出的△ABC及线段A'B′，∠A′（∠A′＝∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．35．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值．参考答案一．选择题1．解：设x＝2k，y＝5k，则＝＝﹣．故选：D．2．解：由＝得，3a＝2b，A、由等式性质可得：3a＝2b，正确；B、由等式性质可得2a＝3b，错误；C、由等式性质可得：3a＝2b，正确；D、由等式性质可得：3a＝2b，正确；故选：B．3．解：A、正确，∵＝，∴+1＝+1，∴＝；B、错误，b+d＝0时，不成立；C、正确．D、正确．∵＝，∴ad＝bc；故选：B．4．解：A、2×8≠4×6，故选项错误；B、×≠×，故选项错误；C、×2≠×，故选项错误；D、2×＝×2，故选项正确．故选：D．5．解：∵点C数线段AB的黄金分割点，∴AC＝AB，①正确；AC＝AB，②错误；BC：AC＝AC：AB，③正确；AC≈0.618AB，④正确．故选：C．6．解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；锐角三角形、直角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件；正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件．故选：C．7．解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当AB2＝AP•AC即＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．8．解：由正方形的性质可知，∠ACB＝180°﹣45°＝135°，A、C、D图形中的钝角都不等于135°，由勾股定理得，BC＝，AC＝2，对应的图形B中的边长分别为1和，∵＝，∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，故选：B．9．解：根据射影定理得：AB2＝BD×BC，∴BC＝＝．故选：D．10．解：如图所示：位似中心F的坐标为：（2，2），k的值为：＝．故选：B．11．解：由相似三角形对应边成比例可知，只能将30cm长的作为一边，将50cm长的截成两段，设从50cm的钢筋上截下的两段分别长xcm，ycm，当30cm长的边对应20cm长的边时，，x＝75（cm），x＞50（cm），不成立；当30cm长的边对应50cm长的边时，，x＝12（cm），y＝36（cm），x+y＝48cm ＜50cm，成立；当30cm长的边对应60cm长的边时，，x＝10（cm），y＝25（cm），x+y＝35cm ＜50cm，成立．故选：B．12．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，∴△DEC∽△AEF，∴＝＝，∵E为AD的中点，∴CD＝AF，FE＝EC，∴FA：FB＝1：2，A说法正确，不符合题意；∵FE＝EC，FA＝AB，∴AE：BC＝1：2，B说法正确，不符合题意；∵∠FBC不一定是直角，∴BE：CF不一定等于1：2，C说法错误，符合题意；∵AE∥BC，AE＝BC，∴S△ABE：S△FBC＝1：4，D说法正确，不符合题意；故选：C．13．解：∵DE∥FG∥BC，DB＝4FB，∴．故选：B．14．解：如图，延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．在△PAB与△NCA中，，∴△PAB∽△NCA，∴＝，设PA＝x，则NA＝PN﹣PA＝3﹣x，设PB＝y，∴＝，∴y＝3x﹣x2＝﹣（x﹣）2+，∵﹣1＜0，≤x≤3，∴x＝时，y有最大值，此时b＝1﹣＝﹣，x＝3时，y有最小值0，此时b＝1，∴b的取值范围是﹣≤b≤1．故选：B．15．解：如图1，在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝10，∴AC＝5，连接BE，∴∠BAC＝∠EDB，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°∴BD是圆的直径，∴∠BED＝90°＝∠CBA，∴△ABC∽△DEB，∴，∴，∴DB＝3，在Rt△ABD中，AD＝＝2，故选：D．16．解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，∴＝，＝，∴＝＝．故选：D．17．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABF＝∠GDF，∠BAF＝∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴＝＝2，∴AF＝2GF＝4，∴AG＝6．∵CG∥AB，AB＝2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE＝2AG＝12．故选：D．18．解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D＝90°，∴四边形ANFD是矩形，∵AE＝3DE，设DE＝a，则AE＝3a，AD＝AB＝CD＝FN＝4a，AN＝DF＝2a，∵AN＝BN，MN∥AE，∴BM＝ME，∴MN＝a，∴FM＝a，∵AE∥FM，∴＝＝＝，故选：C．19．解：由已知：AC＝AB，AD＝AE ∴∵∠BAC＝∠EAD∴∠BAE＝∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA＝∠CDA∵∠PME＝∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD＝MA•ME所以②正确由②MP•MD＝MA•ME∠PMA＝∠DME∴△PMA∽△EMD∴∠APD＝∠AED＝90°∵∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠EAD＝90°∴△CAP∽△CMA∴AC2＝CP•CM∵AC＝AB∴2CB2＝CP•CM所以③正确故选：A．二．填空题（共8小题）20．解：设C′作C′D′⊥x轴于D，∵△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且＝，点A（﹣1，0），点C（，1），∴A′（﹣2，0），C′（1，2），∴OA′＝2，DC′＝2，OD＝1，∴A′D＝1+2＝3，∴A′C′＝＝，故答案为：．21．解：连接GE，∵点E是CD的中点，∴EC＝DE，∵将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，∴EF＝DE，∠BFE＝90°，在Rt△EDG和Rt△EFG中，∴Rt△EDG≌Rt△EFG（HL），∴FG＝DG，∵＝，∴设DG＝FG＝a，则AG＝7a，故AD＝BC＝8a，则BG＝BF+FG＝9a，∴AB＝＝4a，故＝＝．故答案为：．22．解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，∵△ABC的面积是6，∴BC•AH＝6，∴AH＝＝3，设正方形DEFG的边长为x，则GF＝x，MH＝x，AM＝3﹣x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝，即正方形DEFG的边长为．故答案为．23．解：∵3AE＝2EB，∴可设AE＝2a、BE＝3a，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵S△AEF＝1，∴S△ABC＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ADC＝S△ABC＝，∵EF∥BC，∴＝＝＝，∴＝＝，∴S△ADF＝S△ADC＝×＝，故答案为：．24．解：如图，作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，∵四边形DEFG是矩形，∴AQ⊥DG，GF＝PQ，设GF＝PQ＝x，则AP＝4﹣x，由DG∥BC知△ADG∽△ABC，∴＝，即＝，则EF＝DG＝（4﹣x），∴EG＝＝＝＝，∴当x＝时，EG取得最小值，最小值为，故答案为：．25．解：如图连接OE．∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD＝∠OAE，∠OBC＝∠OBE，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠AOB＝90°，∵∠OAE+∠AOE＝90°，∠AOE+∠BOE＝90°，∴∠EAO＝∠EOB，∵∠AEO＝∠OEB＝90°，∴△AEO∽△OEB，∴＝，∴AE•BE＝OE2＝1，故答案为1．26．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，∴BD＝＝10，当PD＝DA＝8时，BP＝BD﹣PD＝2，∵△PBE∽△DBC，∴＝，即＝，解得，PE＝，当P′D＝P′A时，点P′为BD的中点，∴P′E′＝CD＝3，故答案为：或3．27．解：∵＝＝，∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，∵a+b﹣2c＝6，∴6x+5x﹣8x＝6，解得：x＝2，故a＝12．故答案为：12．三．解答题（共8小题）28．解：如图所示：△ABC∽△A′B′C′，相似比为：1：；△ABC∽△DEF，相似比为：1：2．29．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．30．（1）证明：∵AD为圆O的直径，∴∠AMD＝90°，∵∠BMC＝180°，∴∠2+∠3＝90°，∵∠ABM＝∠MCD＝90°，∴∠2+∠1＝90°，∴∠1＝∠3，则△ABM∽△MCD；（2）解：连接OM，∵BC为圆O的切线，∴OM⊥BC，∵AB⊥BC，∴sin∠E＝＝，即＝，∵AD＝8，AB＝5，∴＝，即OE＝16，根据勾股定理得：ME＝＝＝4．31．（1）证明：连接DE，OA．∵PD是直径，∴∠DEP＝90°，∵PB⊥FB，∴∠DEP＝∠FBP，∴DE∥BF，∵＝，∴OA⊥DE，∴OA⊥BF，∴直线l是⊙O的切线．（2）解：作OH⊥PA于H．∵OA＝OP，OH⊥P A，∴AH＝PH＝3，∵OA∥PB，∴∠OAH＝∠APB，∵∠AHO＝∠ABP＝90°，∴△AOH∽△PAB，∴＝，∴＝，∴PB＝．32．解：（1）连接OC，∵PC为⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，即∠2+∠P＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠1，∵AC＝CP，∴∠P＝∠CAO，又∵∠2是△AOC的一个外角，∴∠2＝2∠CAO＝2∠P，∴2∠P+∠P＝90°，∴∠P＝30°；（2）连接AD，∵D为的中点，∴∠ACD＝∠DAE，∴△ACD∽△EAD，∴＝，即AD2＝DC•DE，∵DC•DE＝20，∴AD＝2，∵＝，∴AD＝BD，∵AB是⊙O的直径，∴Rt△ADB为等腰直角三角形，∴AB＝2，∴OA＝AB＝，∴S⊙O＝π•OA2＝10π＝31.4．33．（1）证明：连接OD，如图所示．∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB．∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODB+∠BDC＝90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠OBD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BDC．（2）解：∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠CDB，∴△CDB∽△CAD，∴＝．∵BD＝AD，∴＝，∴＝，又∵AC＝3，∴CD＝2．34．解：（1）如图所示，△A'B′C′即为所求；（2）已知，如图，△ABC∽△A'B'C'，＝＝＝k，D是AB的中点，D'是A'B'的中点，求证：＝k．证明：∵D是AB的中点，D'是A'B'的中点，∴AD＝AB，A'D'＝A'B'，∴＝＝，∵△ABC∽△A'B'C'，∴＝，∠A'＝∠A，∵＝，∠A'＝∠A，∴△A'C'D'∽△ACD，∴＝＝k．35．解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB＝2、BC＝3，①当AB2＝BC•AC时，得：4＝3AC，解得：AC＝；②当BC2＝AB•AC时，得：9＝2AC，解得：AC＝；③当AC2＝AB•BC时，得：AC2＝6，解得：AC＝（负值舍去）；所以当AC＝或或时，△ABC是比例三角形；（2）∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，又∵∠BAC＝∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴＝，即CA2＝BC•AD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴CA2＝BC•AB，∴△ABC是比例三角形；（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，∵AB＝AD，∴BH＝BD，∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠BCD＝90°，∴∠BHA＝∠BCD＝90°，又∵∠ABH＝∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴＝，即AB•BC＝BH•DB，∴AB•BC＝BD2，又∵AB•BC＝AC2，∴BD2＝AC2，∴＝．。
北师大九年级上《第四章图形的相似》单元评估检测试题(有答案)
2018-2019学年度第一学期北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元评估检测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.下列说法中，正确的是（）A.所有的等腰三角形都相似B.所有的菱形都相似C.所有的矩形都相似D.所有的等腰直角三角形都相似2.在中，，，，则等于（）A. B. C. D.3.有一多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为，其中一条边的长度为．经测量，这条边的实际长度为，则这块草坪的实际面积是（）A. B. C. D.4.把一个矩形减去一个正方形，若所剩下的矩形与原矩形相似，原矩形长边与正方形的边长之比等于（）A.：B.C.：D.：5.冬日的某个下午，小芳和爸爸正在阳光下散步，爸爸身高，他在地面上的影长为．若小芳高，则她的影长为（）A. B. C. D.6.如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.7.如图，，与相交于点，那么在下列比例式中，正确的是（）A. B.C. D.8.在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，按位似比把缩小，则点的对应点的坐标为（）A. B.C.或D.或9.如图，在平行四边形中，，连接交于点，若和四边形的面积分别记为，，则为（）A. B. C. D.10.如图直线，直线、分别交、、于、、、、、，且、、、则的长为（）1 / 6A. B. C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.垂直于地面的竹竿的影长为，其顶端到其影子顶端的距离为，如果此时测得某小树的影长为，则树高为________．12.如图，在中，，，，点在边上，且，过点作直线与边交于点，使截得的三角形与原三角形相似，则________．13.已知，且的面积是面积的倍，那么对应边的长度是长度的________倍．14.已知，则分式的值是________．15.如图，中，，且，________．16.如图，将缩小为原来的一半，操作方法如下：任意取一点，连接，取的中点，再连接，，取它们的中点，得到，则与的面积之比是________．17.如图，在中，是上一点，连接．要使，则必须有________或________或________．18.如图，中，是边上一点，交于，若，，则的值为________．19.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河的宽度等于________． 20.如图所示，是一个平面镜，光线从点射出经过上的点反射后照射到点，设入射角为（入射角等于反射角），，，垂足分别为点，．若，，，则________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.如图，网格图的每个小正方形边长均为．的顶点均在格点上．已知与是以为位似中心的位似图形，且位似比为．请在第一象限内画出；试求出的面积．2 / 622.如图，已知矩形中，是正方形，且矩形与矩形相似，求矩形的宽与长的比．23.如图，已知在中，，，求证：．24.如图，在中，，，，且．①求的长；②求证：．25.如图，在正方形中，是的钟点，与交于点．求证：；请求出与四边形的面积之比．3 / 626.正方形网格中，小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．下图中的正方形网格中是格点三角形，小正方形网格的边长为（单位长度）．的面积是________（平方单位）；在图所示的正方形网格中作出格点和″″″，使，″″″，且、、″″中任意两条线段的长度都不相等；在所有与相似的格点三角形中，是否存在面积为（平方单位）的格点三角形？如果存在，请在图中作出，如果不存在，请说明理由．答案1.D2.A3.C4.A5.D6.A7.C8.D9.A10.C11.12.或13.14.15.16.17.18.19.20.4 / 621.解；如图所示：即为所求；的面积为：．22.解：∵矩形与矩形相似，∴，∴，即，∴，方程两边同除以得：解得：．…23.证明：∵，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴．24.解：①设，则∵，∴解得∴；②∵，∴即．∴．25.证明：∵四边形是正方形，∴，∴；解：∵是的中点，∴，设正方形的边长是，则的面积是，的面积是，，，，∴，∴四边形的面积，∴与四边形的面积之比是．26.解：；如图我们可以知道为，为，为长的两倍．且与是垂直的．若存在该三角形，命名为与相似．因为长为长的两倍所以长为长的两倍．，，5 / 6而是不可能由格点三角形构成，所以不存在．6 / 6。
图形相似单元测试题及答案
图形相似单元测试题及答案# 图形相似单元测试题及答案一、选择题1. 两个图形相似的条件是什么？A. 面积相等B. 周长相等C. 对应角相等，对应边成比例D. 形状相同答案：C2. 如果两个三角形的对应边长比为2:3，那么它们的面积比是多少？A. 2:3B. 4:9C. 3:2D. 9:4答案：B3. 在相似图形中，对应角的大小关系是什么？A. 相等B. 互为补角C. 互为余角D. 不确定答案：A二、填空题4. 如果一个图形放大到原来的两倍，则其面积变为原来的________倍。
答案：45. 相似三角形的判定定理包括SSS（边边边）、SAS（边角边）、_______。
答案：AAA（角角角）三、简答题6. 请解释什么是相似比，并给出一个例子。
答案：相似比是指两个相似图形对应边长的比值。
例如，如果三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，那么2:3就是它们的相似比。
7. 描述如何判断两个多边形是否相似。
答案：要判断两个多边形是否相似，需要满足以下条件：对应角相等，且对应边成比例。
如果一个多边形的每个角和每条边都与另一个多边形的相应角和边成相同的比例，那么这两个多边形就是相似的。
四、计算题8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB=6cm，DE=9cm，BC=8cm，求EF的长度。
答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似比，我们有AB:DE = BC:EF。
将已知数值代入，得到6:9 = 8:EF。
解这个比例，我们得到EF = (8 * 9) / 6 = 12cm。
结束语本单元测试题涵盖了图形相似的基本概念、判定方法和实际应用。
通过这些题目的练习，可以帮助学生加深对图形相似概念的理解和应用能力。
希望同学们能够认真完成这些题目，并在解答过程中发现问题、解决问题，从而提高自己的数学素养。
(完整版)相似图形单元测试题(含答案),推荐文档
x EC AC
又∵B C ，
由于∠ABD＝∠ECA，故只须∠ADB＝∠EAC. ………………………6 分
∴△O∽E△B FOC ．
又∠ADB+∠BAD=∠ABC= 900 , 2
∴ BE BO ．…………………5 分 CO CF
∠EAC+∠BAD=β-α, …………………………………7 分
所以只 900 =β-α,须即 900 .…………………8 分
（3）当 t 为何值时， △POQ 与△AOB 相似？
E 在 BA 边上自由移动，动点 F 在 AC 边上自由移动． （1）点 E，F 的移动过程中， △OEF 是否能成为∠EOF 45 的等腰三角形？若能，请指出
△OEF 为等腰三角形时动点 E，F 的位置．若不能，请说明理由． （2）当∠EOF 45 时，设 BE x ， CF y ，求 y 与 x 之间的函数解析式，写出 x 的取值范
A．增大 1.5 米
B．减小 1.5 米
C．增大 3.5 米
D．减小 3.5 米
Ａ．①和②
Ｂ．②和③
Ｃ．①和③
Ｄ．②和④
5、厨房角柜的台面是三角形，如上右图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理
石．（图中阴影部分）其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是
（ ） 我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙龙课反倒是龙卷风前一天我分页符ZNBX吃噶十
∠A∠ D 90 ， AB DE 3 ， AC 2DF 4 ．
（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？
（2）能否分别过 A，D 在这两个三角形中各作一条辅助线，使 △ABC 分割成的两个三角形与 △DEF 分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．
九年级数学上册第三章《图形的相似》单元测试卷-湘教版(含答案)
九年级数学上册第三章《图形的相似》单元测试卷-湘教版（含答案） 一、选择题（本题共计12小题，每题3分，共计36分，） 1．下列图形中不一定相似的是A ．两个矩形B ．两个圆C ．两个正方形D ．两个等边三角形2．下面四条线段中成比例线段的是A ．1a =，2b =，3c =，4d =B ．3a =，6b =，9c =，12c =C ．1a =，3b =，2c =，6d =D ．1a =，2b =，4c =，6d =3．如图，四边形ABCD ∽四边形EFGH ，80A ∠=︒，90C ∠=︒，70F ∠=︒，则H ∠等于A ．70︒B ．80︒C ．110︒D ．120︒4．已知点C 在线段AB 上，且点C 是线段AB 的黄金分割点()AC BC >，下列结论正确的是A ．2AB AC BC = B ．2BC AC BC = C ．512AC BC -=D ．352BC AB -= 5．如图，已知////AD BE CF ，23AB BC =，3DE =，则DF 的长为 A ．2 B ．4.5 C ．3 D ．7.56．如图，D 是ABC ∆的边AC 上一点，那么下面四个命题中错误的是A ．如果ADB ABC ∠=∠，则ADB ABC ∆∆∽B ．如果ABDC ∠=∠，则ABD ACB ∆∆∽ C ．如果AB AD AC AB =，则ABC ADB ∆∆∽ D ．如果AD AB AB BC=，则ADB ABC ∆∆∽ 7．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边60DE cm =，30EF cm =，测得边DF 离地面的高度 1.5AC m =，10CD m =，则树高AB 为A ．4mB ．5mC ．5.5mD ．6.5m第3题图 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图8．如图所示，在离某建筑物4m 处有一棵树，在某时刻，1.2m 长的竹竿垂直地面，影长为2m ，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为2m ，则这棵树高约有多少米A ．6.4米B ．5.4米C ．4.4米D ．3.4米9．点D 是线段AB 的黄金分割点()AD BD >，若2AB =，则(BD =A 51-B 35-C ．35D 5110．如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，8AC =，6AE =，12AB =，则BD 等于A ．3B ．9C ．6D ．811．如图，在ABC ∆，D 是BC 上一点，:1:2BD CD =，E 是AD 上一点，:1:2DE AE =，连接CE ，CE 的延长线交AB 于F ，则:AF AB 为A ．1:2B ．2:3C ．4:3D ．4:712．如图所示，为了测量文昌塔AB 的高度，数学兴趣小组根据光的反射定理（图中12)∠=∠，把一面镜子放在点C 处，然后观测者沿着直线BC 后退到点D ．这时恰好在镜子里看到塔顶A ，此时量得4CD m =，94BD m =，观测者目高 1.6ED m =，则塔AB 的高度为A ．35mB ．36mC ．37mD ．38m第10题图 第11题图 第12题图 二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分） 13．若两个相似三角形对应角平分线的比是2:3，它们的周长之和为15cm ，则较小的三角形的周长为 ．14．如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD 和正方形EFGH ，若点A 和点E 的坐标分别为(2,3)-，(1,1)-，则两个正方形的位似中心的坐标是 ．15．设223x y x -=，则x y = ． 16．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为5，则C 点坐标为 ．17．如图，ABC ∆中，D 是AB 的黄金分割点()AD BD <，过点D 作//DE BC 交AC 于E ，若35BC =+，则DE = ．第14题图 第16题图 第17题图18．四条线段a ，b ，c ，d 成比例，其中3b cm =，2c cm =，8d cm =，则a 的长为 ．三．解答题（共8小题，共66分）19．已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且48a b c ++=，457a b c ==，求ABC ∆三边的长．20．如图，在68⨯的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和ABC ∆的顶点均为小正方形的顶点．（1）以O 为位似中心，在网格图中作△A B C '''，使△A B C '''和ABC ∆位似，且位似比为1:2．（2）连接（1）中的AA '，求四边形AA C C ''的周长．（结果保留根号）21．如图，在ABC ∆中，D 是AB 的中点，F 是BC 边延长线上的点，连接DF 交AC 于点E ．求证：::CF BF CE AE =．（提示：过点C 作//)CG AB22．如图，在ABC ∆中，4BC =，D 为AC 延长线上一点，3AC CD =，CBD A ∠=∠，过D 作//DH AB ，交BC 的延长线于点H ．（1）试说明：HCD HDB ∆∆∽．（2）求DH 的长．23．在ABC ∆中，10BC cm =，6AC cm =，点P 从点B出发，沿BC 方向以2/cm s 的速度向点C 移动，点Q 从点C 出发，沿CA 方向以1/cm s 的速度向点A 移动，若P ，Q 同时出发，设运动时间为ts ，则CPQ ∆能否与CBA ∆相似？若能，求t 的值；若不能，请说明理由．24．如图，是一个零件图，利用三角形位似的知识，以O 为位似中心把原图尺寸放大2倍．25．我们定义：顶角等于36︒的等腰三角形为黄金三角形．如图，ABC ∆中，AB AC =且36A ∠=︒，则ABC ∆为黄金三角形．（1）尺规作图：作B ∠的角平分线，交AC 于点D ．（保留作图痕迹，不写作法）（2）请判断BDC ∆是否为黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．26．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．黄金三角形与五角星当等腰三角形的顶角为36︒（或108)︒时，它的底与腰的比（或腰与底的比）为512-，我们把这样的三角形叫做黄金三角形．按下面的步骤画一个五角星（如图）:①作一个以AB为直径的圆，圆心为O；②过圆心O作半径OC AB⊥；③取OC的中点D，连接AD；④以D为圆心OD为半径画弧交AD于点E；⑤从点A开始以AE为半径顺时针依次画弧，正好把O十等分（其中点F，G，B，H，I为五等分点）；⑥以点F，G，B，H，I为顶点画出五角星．任务：（1）求出AEOA的值为；（2）如图，GH与BF，BI分别交于点M，N，求证：BMN∆是黄金三角形．参考答案 一、选择题（本题共计12小题，每题3分，共计36分，） 1．A ．2．C ．3．D ．4．D ． 5．D ． 6．D ． 7．D ．8．C ．9．C ．10．A ．11．D ．12．B ．二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）13．6cm ． 14．1(4，0)或3(4,)2-． 15． 34． 16． 5(2，5)3． 17． 2． 18．34cm ． 三．解答题（共8小题，共66分）19．解：设457a b c x ===， 得4a x =，5b x =，7c x =．48a b c ++=，45748x x x ∴++=，解得3x =，412a x ∴==，515b x ==，721c x ==．20．解：（1）如图所示，△A B C '''即为所求作的三角形；（2）根据勾股定理，222425AC =+=， 22125A C ''=+=，所以，四边形AAC C ''的周长为：15225335+++=+．21．证明：过点C 作//CG AB 交DF 于G ， ∴CE CG AE AD=， D 是AB 的中点，AD BD ∴=，∴CG CE BD AE=， //CG AB ，BD FB::CF BF CE AE ∴=．22．解：（1）//DH AB ，A HDC ∴∠=∠，CBD A ∠=∠，HDC CBD ∴∠=∠，又H H ∠=∠，HCD HDB ∴∆∆∽；（2）//DH AB ， ∴CD CH AC BC=， 3AC CD =， ∴134CH =， 43CH ∴=， 416433BH BC CH ∴=+=+=， 由（1）知HCD HDB ∆∆∽， ∴DH CH BH DH=， ∴43163DH DH= ∴64893DH ==， 83DH ∴=（负值舍去）． 答：DH 的长度为83． 23．解：设运动时间为ts ，则2BP t =，102CP t =-，CQ t =， 90PCQ ACB ∠=∠=︒，∴当CPQ ∆和CAB ∆相似时，有CPQ B ∠=∠或CPQ A ∠=∠， 当CPQ B ∠=∠时，则有CP CQ CB CA =，106解得3011t =． 当CPQ A ∠=∠时，则有CP CQ CA CB =， ∴102610t t -=， 解得5013t =． 综上所述，t 的值为3011或5013． 24．解：如图，25．解：（1）如图所示，BD 即为所求；（2）BDC ∆是黄金三角形，理由如下： BD 是ABC ∠的平分线，36ABD CBD ∴∠=∠=︒，36A ∠=︒，AB AC =，1(18036)722ABC C ∴∠=∠=︒-︒=︒， 又72BDC A ABD ∠=∠+∠=︒， BDC C ∴∠=∠，BD BC ∴=，BDC ∴∆是黄金三角形．26．（1）解：设2OA OC m ==，则OD DC m ==， OC AB ⊥，90AOD ∴∠=︒，2222(2)5AD OD AO m m m ∴=+=+=， DE DO m ==，5AE m m ∴=-，∴55122AE m m OA m --==．故答案为：512-． （2）证明：连接OH ，OI ． 点F ，G ，B ，H ，I 为五等分点，1360725HOI ∴∠=⨯︒=︒， 36G ∴∠=︒，同理36F FBI GHF BIG ∠=∠=∠=∠=︒， 又BMN ∠是MHF ∆的外角， 72BMN F GHF ∴∠=∠+∠=︒， 同理72BNM ∠=︒，BMN BNM ∴∠=∠，BM BN ∴=，36FBI ∠=︒，BMN ∴∆是黄金三角形．。
第6章 图形的相似单元测试答案
第6章 图形的相似单元测试一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知35x x y =+，则y x ＝（ ）A ．25 B ．34 C ．32D ．232．如图，在ABC 中，∥DE BC ，23AD DB =，若6AC =，则EC =（ ）A ．65B ．125 C ．185D ．2453．如图，在直角坐标系中，△OAB 的顶点为O （0，0），A （4，3），B （3，0）．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为13的位似图形△OCD ，则点C 坐标（ ）A ．（﹣1，﹣1）B ．（﹣43，﹣1）C ．（﹣1，﹣43）D ．（﹣2，﹣1）4．如图，在ABC 中，点,D E 分别在,AC AB 边上，DE 与BC 不平行，那么下列条件中，不能判定ADE ABC △△∽的是（ ）A ．ADE B ∠=∠ B ．AED C ∠=∠ C ．AD DE AB BC= D ．AD AEAB AC= 5．ABC 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF ，其最长边为12，则DEF 的周长是（ ） A ．54B ．36C ．27D ．216．如图，在ABC 中，D 、E 分别为线段BC 、BA 的中点，设ABC 的面积为S 1，EBD 的面积为S 2．则21S S =（ ）A ．12 B ．14C ．34D ．787．如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果OA ：OC =OB ：OD =3，且量得CD =3cm ，则零件的厚度x 为（ ）A ．0.3cmB ．0.5cmC ．0.7cmD ．1cm8．如图，在ABC 中，120BC =，高60AD =，正方形EFGH 一边在BC 上，点,E F 分别在,AB AC 上，AD 交EF 于点N ，则AN 的长为（ ）A ．15 B ．20 C ．25 D ．309．如图，点D 为ABC 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不．成立．．的是（ ）A ．AD AEDB EC= B ．DE DFBC FC= C ．DE AEBC EC= D ．EF AEBF AC= 10．如图，点(0,3)(1,0)A B 、，将线段AB 平移得到线段DC ，若90,2ABC BC AB ∠=︒=，则点D 的坐标是（ ） A ．(7,2)B ．(7,5)C ．(5,6)D ．(6,5)二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11.如图，直线l 1△l 2△l 3，分别交直线m 、n 于点A 、B 、C 、D 、E 、F ，若AB ：BC ＝5：3，DE ＝15，则EF 的长为___．12．如图，圆中扇子对应的圆心角α（180α）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则βα-的度数是__________．13．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠＝，点D 是边AB 上的一点，CD AB ⊥于26D AD BD ，＝，＝，则边AC 的长为_____．14．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点B 作BD CB ⊥，垂足为B ，且3BD =，连接CD ，与AB 相交于点M ，过点M 作MN CB ⊥，垂足为N ．若2AC =，则MN 的长为__________．15．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD 的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A B C D ''''，若:2:1A B AB =''，则四边形A B C D ''''的外接圆的周长为___________．16．如图，在△ABC 中，D 在AC 边上，AD ：DC ＝1：2，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于E ，则BE ：EC ＝___．17．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC 2，E 为CD 的中点，连接AE 、BD 交于点P ，过点P 作PQ △BC 于点Q ，则PQ ＝_____．18．如图，四边形ABCD 中，AD △BC ，对角线AC ，BD 交于点O ，已知12ABD BCDSS=，则BOC BCDS S=_________．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）如图，在△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的中线，BD 与CE 相交于点O ． （1）利用尺规作图取线段CO 的中点．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）猜想CO 与OE 的长度有什么关系，并说明理由．20．（8分）如图，点D 是△ABC 的边AB 上一点，△ABC ＝△ACD ． (1) 求证：△ABC △△ACD ；(2) 当AD ＝2，AB ＝3时，求AC 的长．21．（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，BC=8，点E 、F 是对角线BD 上的两点，且BE=EF=FD ，AE 的延长线交BC 于点G ，GF 的延长线交AD 于点H ．（1）求HD 的长；（2）设BEG 的面积为a ，求四边形AEFH 的面积．（用含a 的代数式表示）22．（10分）如图，利用标杆DE 测量楼高，点A ，D ，B 在同一直线上，DE AC ⊥，BC AC ⊥，垂足分别为E ，C ．若测得1m AE =， 1.5m DE =，5m CE =，楼高BC 是多少？23．（10分）如图，AC 是△O 的直径，弦BD 交AC 于点E ，点F 为BD 延长线上一点，△DAF ＝△B ． (1) 求证：AF 是△O 的切线；(2) 若△O 的半径为5，AD 是AEF 的中线，且AD ＝6，求AE 的长．24．（12分）如图，折叠矩形OABC 的一边BC ，使点C 落在OA 边的点D 处，已知折痕543OD OE =，以O 为原点，OA 所在的直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l ：y=－211162x x ++c 经过点E ，且与AB 边相交于点F ．（1）求证：△ABD△△ODE ；（2）若M 是BE 的中点，连接MF ，求证：MF△BD ；（3）P 是线段BC 上一点，点Q 在抛物线l 上，且始终满足PD△DQ ，在点P 运动过程中，能否使得PD=DQ ？若能，求出所有符合条件的Q 点坐标；若不能，请说明理由．参考答案1．D【分析】由题意易得32=yx ，进而问题可求解． 解：由35x x y =+可得：32=yx ， △2332y y x y ==；故选D ．【点拨】本题主要考查比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 2．C【分析】由∥DE BC ，23AD DB =，可得2,3ADAEDBEC 再建立方程即可． 解： ∥DE BC ，23AD DB =， 2,3ADAE DB EC 6AC =， 62,3CE CE解得：18.5CE 经检验符合题意 故选C【点拨】本题考查的是平行线分线段成比例，证明“23AD AE DB EC ==”是解本题的关键． 3．B【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A 点的横纵坐标都乘以13-即可．解：△以点O 为位似中心，位似比为13，而A （4，3），△A 点的对应点C 的坐标为（43-，﹣1）．故选：B ．【点拨】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．4．C【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解． 解：根据题意得：△A =△A ，A 、ADEB ∠=∠，可利用两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意； B 、AEDC ∠=∠，可利用两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；C、AD DEAB BC=，不能判定两个三角形相似，故本选项符合题意；D、AD AEAB AC=，可利用两边对应成比例，及其夹角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；故选：C【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．5．C【分析】根据相似三角形的性质求解即可．解：△△ABC与△DEF相似，△ABC的最长边为4，△DEF的最长边为12，△两个相似三角形的相似比为1:3，△△DEF的周长与△ABC的周长比为3:1，△△DEF的周长为3×（2+3+4）=27，故选：C．【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解题的关键．6．B【分析】先判定EBD ABC，得到相似比为12，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解题即可．解：△D、E分别为线段BC、BA的中点，△12 BE BDAB BC==，又△B B∠=∠，△EBD ABC，相似比为12，△22114S BES AB⎛⎫==⎪⎝⎭，故选：B．【点拨】此题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．7．B【分析】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再根据外径的长度解答．解：△OA：OC=OB：OD=3，△AOB=△COD，△△AOB△△COD，△AB：CD=3，△AB：3=3，△AB=9（cm），△外径为10cm，△19+2x=10，△x=0.5（cm）．故选：B．【点拨】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB的长．8．B【分析】证明△AEF△△ABC ，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得． 解：△四边形EFGH 是正方形， △EF△BC ， △△AEF△△ABC ， △EF ANBC AD=． 设AN=x ，则EF=FG=DN=60-x ， △6012060x x-= 解得：x=20 所以，AN=20． 故选：B ．【点拨】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键． 9．C【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A ，根据相似三角形的性质即可判断B 、C 、D ． 解：△∥DE BC ， △AD AE BD EC=，△DEF △△CBF ，△ADE △△ABC ，故A 不符合题意； △DE DF EF CB CF BF==，DE AECB AC =，故B 不符合题意，C 符合题意； △EF AEBF AC=，故D 不符合题意； 故选C ．【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．10．D【分析】先过点C 做出x 轴垂线段CE ，根据相似三角形找出点C 的坐标，再根据平移的性质计算出对应D 点的坐标．解：如图过点C 作x 轴垂线，垂足为点E ， △90ABC ∠=︒△90ABO CBE ∠+∠=︒ △90CBE BCE +=︒∠ △ABOBCE在ABO ∆和BCE ∆中，90ABO BCEAOB BEC =⎧⎨==︒⎩∠∠∠∠ ， △ABO BCE ∆∆∽， △12AB AO OB BC BE EC === ， 则26BE AO == ,22EC OB ==△点C 是由点B 向右平移6个单位，向上平移2个单位得到， △点D 同样是由点A 向右平移6个单位，向上平移2个单位得到， △点A 坐标为(0，3)，△点D 坐标为(6，5)，选项D 符合题意， 故答案选D【点拨】本题考查了图像的平移、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质找出图像左右、上下平移的距离是解题的关键．11．9【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可． 解：△直线l 1△l 2△l 3，△根据平行线分线段成比例定理可得： AB DEBC EF= △1553EF =， 解得：9EF =，经检验，9EF =是上述分式方程的解， 故答案为：9．【点拨】本题考查平行线分线段成比例定理，理解并熟练运用基本性质定理是解题关键． 12．90°##90度【分析】根据题意得出α=0.6β，结合图形得出β=225°，然后求解即可． 解：由题意可得：α：β=0.6，即α=0.6β， △α+β=360°， △0.6β+β=360°， 解得：β=225°， △α=360°-225°=135°， △β-α=90°， 故答案为：90°．【点拨】题目主要考查圆心角的计算及一元一次方程的应用，理解题意，得出两个角度的关系是解题关键． 13．4.【分析】根据射影定理列式计算即可． 解：由射影定理得，2•226AC AD AB ⨯+＝＝（），解得：4AC ＝， 故答案为4．【点拨】本题考查的是射影定理，直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．14．65【分析】根据MN △BC ,AC △BC ,DB △BC ，得,BNM BCA CNM ABD ,可得,MN BN MNCNAC BC BD BC,因为1BN CN BC BC,列出关于MN 的方程，即可求出MN 的长．解：△MN △BC ，DB △BC , 90ACB ∠=︒ △AC △MN △DB ， △,BNM BCA CNM ABD ，△,MN BN MNCNAC BC BD BC 即,23MN BN MNCNBC BC, 又△1BN CN BCBC ， △123MN MN ，解得65MN =, 故填：65．【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系．15．42π【分析】根据正方形ABCD 的面积为4，求出2AB =，根据位似比求出4A B ''=，周长即可得出； 解：正方形ABCD 的面积为4， ∴2AB =，:2:1A B AB ''=，∴4A B ''=，∴224442A C ''=+=所求周长42π=； 故答案为：2π．【点拨】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形ABCD 的边长．16．1：3【分析】作DF//AE交BC于F，如图，利用OE△DF得到BE BOEF OD=＝1，所以BE＝EF，利用DF//AE得到EF ADFC DC=＝12，所以CF＝2EF，然后计算BE：EC．解：作DF//AE交BC于F，如图，△OE//DF，△BE BOEF OD=＝1，即BE＝EF，△DF//AE，△EF ADFC DC=＝12，△CF＝2EF，△BE：EC＝BE：3BE＝1：3故答案为1：3．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键．17．4 3【分析】根据矩形的性质得到AB△CD，AB＝CD，AD＝BC，△BAD＝90°，根据线段中点的定义得到DE＝12CD＝12AB，根据相似三角形的判定证明△ABP△△EDP，再利用相识三角形的性质和判定即可得到结论．解：△四边形ABCD是矩形，△AB△CD，AB＝CD，AD＝BC，△BAD＝90° ，△E为CD的中点，△DE＝12CD＝12AB，△△ABP△△EDP，△ABDE＝PBPD，△21＝PBPD，△PBBD＝23，△PQ△BC，△PQ△CD，△△BPQ △△DBC ， △PQ CD ＝BP BD ＝23， △CD ＝2，△PQ ＝43， 故答案为：43． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质的应用，运用矩形的性质和相似三角形判定和性质证明△ABP △△EDP 得到21＝PB PD是解题的关键． 18．23【分析】先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出12AD BC =，再根据△AOD △△COB 得出12OD AD OB BC ==，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可解：作AE △BC ，CF △BD △12ABD BCD S S = △△ABD 和△BCD 等高，高均为AE △112122ABD BCD AD AE SAD S BC BC AE === △AD △BC△△AOD △△COB△12OD AD OB BC == △△BOC 和△DOC 等高，高均为CF△1·2211·2BOC DOC OB CF S OB S OD OD CF === △BOCBCD S S=23故答案为：23【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三角形的面积的特点是解题的关键19．（1）见分析；（2）CO ＝2OE ，见分析【分析】（1）作OC 的垂直平分线得到OC 的中点G ；（2）利用DE 为ABC ∆的中位线，则//DE BC ，12DE BC =，然后根据平行线分线段成比例可得到2CO OE =． 解：（1）如图，点G 即为所求；（2）2CO OE =．理由：连接DE ．如图， BD 、CE 分别是AC 、AB 上的中线，DE ∴为ABC ∆的中位线，//DE BC ∴，12DE BC =， ∴12OE DE OC BC ==， 2CO OE ∴=．【点拨】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1． 也考查了基本作图．掌握中位线定理是解题关键 ．20．(1)见分析(2)AC 6．【分析】（1）由△ABC =△ACD 及△A =△A ，可证出△ABC △△ACD ；（2）利用相似三角形的性质，可求出AC 的长．（1）证明：△△ABC =△ACD ，△A =△A ，△△ABC △△ACD ；（2）解：△△ABC △△ACD ， △AC AB AD AC =，即32AC AC=， △AC 6负值已舍)．△AC 6．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出△ABC △△ACD ；（2）利用相似三角形的对应边成比例，求出AC 的长．21．（1）2；（2）72a 【分析】（1）根据平行四边形的性质得//AD BC ，根据相似三角形的判定得BEG DEA △∽△，BFG DFH △∽△，由BE=EF=FD 可得出12BE ED =，12DF BF =，根据相似三角形的性质即可求解；（2）由BE=EF 可得BEG 与EFG 的面积相等，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得AED S与DFH S 的值，AED S -DFH S 即可得四边形AEFH 的面积．解：（1）△平行四边形ABCD ，BC=8，△//AD BC ，AD BC ==8，△BEG DEA △∽△，BFG DFH △∽△， △BE BG ED AD =，DF HD BF BG=， △BE=EF=FD ， △12BE ED =，12DF BF =， △BG=12AD=4，HD=12BG ，△HD=2；（2）△BE=EF ，△BEG EFG S S =△△=a ，△2BFG S a =△，△BEG DEA △∽△，BFG DFH △∽△，12BE ED =，12DF BF =， △4AED S a =△，2DFH a S =△， △四边形AEFH 的面积=AED S -DFH S =72a ． 【点拨】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．楼高BC 是9米．【分析】先求出AC 的长度，由DE △BC ，得到AE DE AC BC=，即可求出BC 的长度． 解：△1m AE =，5m CE =，△6AC =m ，△DE AC ⊥，BC AC ⊥，△DE △BC ，△△ADE △△ABC ， △AE DE AC BC =， △ 1.5m DE =， △1 1.56BC=， △9BC =；△楼高BC 是9米．【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．23．【答案】(1)见解析； (2)365【分析】（1）由圆周角定理得△ADC =90°，则△ACD +△DAC =90°，从而说明OA AF ⊥，即可证明结论；（2）作DH AC ⊥于点H ，利用△ADH ～△ACD ，AD AH AC AD=，求出AH 的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质得出AD =DE ，利用等腰三角形的性质可得答案．（1）证明：△AC 是直径，△△ADC =90°，△△ACD +△DAC =90°，△△ACD =△B ，△B =△DAF ，△△DAF =△ACD ，△△DAF +△DAC =90°，△OA AF ⊥，△AC 是直径，△AF 是△O 的切线；（2）解：作DH AC ⊥于点H ，△△O 的半径为5，△AC =10，△△AHD =△ADC =90°，△DAH =△CAD ，△△ADH ～△ACD ，△AD AH AC AD=， △2AD AH AC =⋅，△AD ＝6，△3618105AH ==， △AD 是△AEF 的中线，△EAF =90°，△AD =ED ，3625AE AH ==． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据相似三角形的判定与性质求出AH 的长是解题的关键．24．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）（﹣4，0）或（12，0）【详解】试题分析：由折叠和矩形的性质可知△EDB=△BCE=90°，可证得△EDO=△DBA ，可证明△ABD△△ODE ；由条件可求得OD 、OE 的长，可求得抛物线解析式，结合（1）由相似三角形的性质可求得DA 、AB ，可求得F 点坐标，可得到BF=DF ，又由直角三角形的性质可得MD=MB ，可证得MF 为线段BD 的垂直平分线，可证得结论；过D 作x 轴的垂线交BC 于点G ，设抛物线与x 轴的两个交点分别为M 、N ，可求得DM=DN=DG ，可知点M 、N 为满足条件的点Q ，可求得Q 点坐标．（1）证明：△四边形ABCO 为矩形，且由折叠的性质可知△BCE△△BDE ，△△BDE=△BCE=90°，△△BAD=90°，△△EDO+△BDA=△BDA+△DAB=90°，△△EDO=△DBA ，且△EOD=△BAD=90°，△△ABD△△ODE ；（2）证明：△43OD OE =， △设OD=4x ，OE=3x ，则DE=5x ，△CE=DE=5x ，△AB=OC=CE+OE=8x ，又△△ABD△△ODE ，△，△DA=6x ，△BC=OA=10x ， 在Rt△BCE 中，由勾股定理可得222BE BC CE =+，即222(55)(10)(5)x x =+，解得x=1，△OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，△抛物线解析式为y=﹣211162x x ++3， 当x=10时，代入可得y=74， △AF=74，BF=AB ﹣AF=8﹣74=254， 在Rt△AFD 中，由勾股定理可得DF=2222725()644AF AD +=+= △BF=DF ，又M 为Rt△BDE 斜边上的中点，△MD=MB ，△MF 为线段BD 的垂直平分线，△MF△BD ；（3）解：由（2）可知抛物线解析式为y=﹣211162x x ++3，设抛物线与x 轴的两个交点为M 、N ， 令y=0，可得0=﹣211162x x ++3，解得x=﹣4或x=12，△M（﹣4，0），N（12，0），过D作DG△BC于点G，如图所示，则DG=DM=DN=8，△点M、N即为满足条件的Q点，△存在满足条件的Q点，其坐标为（﹣4，0）或（12，0）．考点：二次函数综合。
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《图形的相似》单元测试卷(含答案)第六章《图形的相似》单元测试卷一、选择题： 1.（2015•东营）若34y x =，则x y x +的值为……………………………………………（ ） A ．1； B ．47； C ．54； D ．74； 2. 已知线段a 、b 、c ，其中c 是a 、b 的比例中项，若a =9cm ，b =4cm ，则线段c 长………（ ）A ．18cm ；B ．5cm ；C ．6cm ；D ．±6cm ；3. 已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB =4，那么AP 的长是………………（ ）A ．252-；B ．25-；C ．251-；D ．52-；4. （2015•荆州）如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．∠ABP =∠C ；B ．∠APB =∠ABC ； C ．AP AB AB AC =；D ．AB AC BP CB =；5. （2016•临夏州）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是………（ ）A ．1：16；B ．1：4；C ．1：6；D ．1：2；6. （2015•恩施州）如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于E ，交BD 于F ，DE ：EA =3：4，EF =3，则CD 的长为……（ ）A ．4； B ．7； C ．3； D ．12；8. 如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB =9，BD =3，则CF 等于（ ）A ．1；B ．2；C ．3；D ．4；第4题图 第8题图 第12题第10题第6题图 第7题图10.如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =60°，BC =2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm /s 的速度从A 点出发，沿着A →B →A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜6），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为……（ ）A ．2；B ．2.5或3.5；C ．3.5或4.5；D ．2或3.5或4.5；二、填空题：11. 如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A 、B 两地的图上距离是3.4厘米，那么A 、B 两地的实际距离是 千米． 12. 如图，已知：123////l l l ，AB =6，DE =5，EF =7．5，则AC = ．13. 如图，△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．14. 如图，点G 是△ABC 的重心，GH ⊥BC ，垂足为点H ，若GH =3，则点A 到BC 的距离为 ．15. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE =40cm ，EF =20cm ，测得边DF 离地面的高度AC =1.5m ，CD =8m ，则树高AB = .16. 如图，已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB =12，AC =8，AD =6，当AP 的长度为 时，△ADP 和△ABC 相似．17.如图，双曲线k y x =经过Rt △BOC 斜边上的点A ，且满足23AO AB =，与BC 交于点D ，21BOD S =，求k = ． 第18题第17题第16题第14题第15题18.（2016•安徽）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =6，BC =10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG =45°；②△DEF ∽△ABG ；③32ABG FGH S S =；④AG +DF =FG ．其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都选上）三、解答题： 19.如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，M 是BC 的中点，DE ⊥AM 于点E ．（1）求证：△ADE ∽△MAB ；（2）求DE 的长．20.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，若ADE S=4cm 2，EFC S =9cm 2，求ABC S ．21. 如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CD CD BD =．（1）求证：△ACD ∽△CBD ；（2）求∠ACB 的大小．26.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ．M 为AD 中点，连接CM 交BD 于点N ，且ON =1．（1）求BD 的长；（2）若△DCN 的面积为2，求四边形ABNM 的面积．如图，在平面直角坐标系中，点C （－3,0），点A 、B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且满足0132=-+-OA OB .（1）求点A、B坐标。
（2）若点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AP。
设△ABP面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围。
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A、B、P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
13.如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．(1) 求直线AB的解析式；⑵当t为何值时，△APQ与△AOB相似；⑶当t为何值时，△APQ的面积为4.8个平方单位？26.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．27.（2015•宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D 不与点B重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，A D．（1）求证：△DOB∽△ACB；（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．28. （本题满分10分）（2016•青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：1.D ；2.C ；3.A ；4.D ；5.D ；6.B ；7.B ；8.B ；9.B ；10.D ；二、填空题：11.34；12.15；13.（9，0）；14.9；15.5.5；16.4或9；17.8；18.①③④；三、解答题：19.（1）略；（2）4.8；20.25；21.（1）略；（2）90°；22.（1）略；（2）2A （-2，-2）；23.4.2；24.43； 25.（1）4；（2）（3，0）；（3）①当∠ABE =90°时，∵B 是AC 的中点，∴EB 垂直平分AC ，EA =EC =3x +，由勾股定理得222AD DE AE +=，即()()222413x x ++=+，解得2x =.∴E （-2，0）；②当∠BAE =90°时，ABE ＞∠ACD ，故△EBA 与△ACD 不可能相似.26.（1）6；（2）5；27. （1）证明：∵DO ⊥AB ，∴∠DOB =∠DOA =90°，∴∠DOB =∠ACB =90°，又∵∠B =∠B ，∴△DOB ∽△ACB ；（2）解：∵∠ACB =90°，∴AB ==10，∵AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC ，DO ⊥AB ，∴DC =DO ， 在Rt △ACD 和Rt △AOD 中，AD ＝AD ，DC ＝DO ，∴Rt △ACD ≌Rt △AOD （HL ）， ∴AC =AO =6，设BD =x ，则DC =DO =8-x ，OB =AB -AO =4，在Rt △BOD 中，根据勾股定理得：222DO OB BD +=，即()22284x x -+=，解得：x =5，∴BD 的长为5；（3）解：∵点B ′与点B 关于直线DO 对称，∴∠B =∠OB ′D ，BO =B ′O ，BD =B ′D ，∵∠B 为锐角，∴∠OB ′D 也为锐角，∴∠AB ′D 为钝角，∴当△AB ′D 为等腰三角形时，AB ′=DB ′，∵△DOB ∽△ACB ，∴84105OB BC BD AB ===， 设BD =5x ，则AB ′=DB ′=5x ，BO =B ′O =4x ，∵AB ′+B ′O +BO =AB ，∴5x +4x +4x =10，解得：1013x =，∴BD =5013． 28. 解：（1）∵在矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =8cm ，∴AC =10，①当AP =PO =t ，如图1，过P 作PM ⊥AO ，∴AM =12AO =52，∵∠PMA =∠ADC =90°，∠PAM =∠CAD ，∴△APM ∽△ADC ， ∴AP AM AC AD =，∴AP =t =258， ②当AP =AO =t =5，∴当t 为258或5时，△AOP 是等腰三角形； （2）作EH ⊥AC 于H ，QM ⊥AC 于M ，DN ⊥AC 于N ，交QF 于G ，在△APO 与△CEO 中，∠PAO ＝∠ECO ,AO ＝OC ,∠AOP ＝∠COE ，∴△AOP ≌△COE ，∴CE =AP =t ，∵△CEH ∽△ABC ，∴EH CE AB AC =，∴EH =35t ，∵DN =245AD CD AC =， ∵QM ∥DN ，∴△CQM ∽△CDN ，∴QM CQ DN CD =，即62465QM t -=， ∴QM =2445t -，∴DG =242444555t t --=，∵FQ ∥AC ，∴△DFQ ∽△DOC ，∴FQ DG OC DN =，∴FQ =56t ， ∴S 五边形OECQF =S △OEC +S 四边形OCQF =213152441355122526532t t t t t -⎛⎫⨯⨯++=-++ ⎪⎝⎭， ∴S 与t 的函数关系式为S =2131232t t -++； （3）存在，∵S △ACD =12×6×8=24， ∴S 五边形OECQF ：S △ACD =2131232t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭：24=9：16，解得t =3，或t =32， ∴t =3或32时，S 五边形S 五边形OECQF ：S △ACD =9：16；（4）如图3，过D 作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥AC 于N ，∵∠POD =∠COD ，∴DM =DN =245，∴ON =OM 75=， ∵OP •DM =3PD ，∴OP =558t -，∴PM =18558t -，∵222PD PM DM =+， ∴()222185248585t t ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：t ≈15（不合题意，舍去），t =11239， ∴当t =11239时，OD 平分∠COP ．。