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北京市崇文区2021届新高考数学最后模拟卷含解析

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北京市崇文区2021届新高考数学最后模拟卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2lgsin 9A x y x x ==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ） A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．2,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合(]0,3A =，化简()f x =22sin 2sin 1x x -++，令sin x t =(]0,1∈，得()2221g t t t =-++由二次函数的性质即可得值域. 【详解】由2sin 00390x x x >⎧⇒<≤⎨-≥⎩，得(]0,3A = ，()cos22sin f x x x =+=-22sin 2sin 1x x ++，令sin x t =， (]0,3x ∈，(]0,1t ∴∈，所以得()2221g t t t =-++ ，()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上递减，()1311,22g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以()31,2g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即 ()f x 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选A 【点睛】本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题 2．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．A ．15B ．25C ．310D ．14【答案】A 【解析】 【分析】基本事件总数4520n =⨯=，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率． 【详解】解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数， 基本事件总数4520n =⨯=，其和等于11包含的基本事件有：(9,2)，(3,8)，(7,4)，(5,6)，共4个，∴其和等于11的概率41205p ==． 故选：A ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 3．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】因为(0)1f =，所以排除C 、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1<<f x .故选A ．4．已知直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．221169x y -= D ．221916x y -=【答案】A 【解析】 【分析】根据直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，得5c =，又和其中一条渐近线平行，得到2b a =，再求双曲线方程. 【详解】因为直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，所以()5,0F -，所以5c =， 又和其中一条渐近线平行， 所以2b a =，所以25a =，220b =，所以双曲线方程为221520x y -=.故选：A. 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．若x ，y 满足约束条件103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y +的最大值是（ ）A ．92B．2C ．13D【答案】C 【解析】 【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值． 【详解】 解：22xy +表示可行域内的点(,)x y 到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由1020x y x +-=⎧⎨+=⎩解得32y x =⎧⎨=-⎩即()2,3A -点()2,3A -到坐标原点(0,0)的距离最大，即2222()(2)313max x y +=-+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题． 6．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ） A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭D ．,6π⎛⎫π⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数()f x '，由()0f x '=有不等的两实根，即>0∆可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结论． 【详解】()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-，()2221()4f x x bx a c ac '∴=+++-.若()f x 存在极值，则()2221404b ac ac -⨯⨯+->，222a c b ac ∴+-<又2221cos ,cos 22a cb B B ac +-=∴<.又()0,,3B B π∈π∴<<π． 故选：C ． 【点睛】本题考查导数与极值，考查余弦定理．掌握极值存在的条件是解题关键． 7．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( ) A ．()()ln 1f x x =+B ．()1f x x -=C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D ．()()()()2,00,01,02x xx f x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩【答案】C 【解析】 【分析】对选项逐个验证即得答案. 【详解】对于A ，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=-+=+=，()f x ∴是偶函数，故选项A 错误； 对于B ，()11x xf x-==，定义域为{}0x x ≠，在R 上不是单调函数，故选项B 错误； 对于C ，当0x >时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x -<∴-=--+-=--=-+=-；当0x <时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x ->∴-=-+-=-=--+=-；又0x =时，()()000f f -=-=.综上，对x ∈R ，都有()()f x f x -=-，()f x ∴是奇函数.又0x ≥时，()()22211f x x x x =+=+-是开口向上的抛物线，对称轴1x =-，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，()f x 是奇函数，()f x ∴在R 上是单调递增函数，故选项C 正确；对于D ，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增，但()()111122f f -=>=-，()f x ∴在R 上不是单调函数，故选项D 错误.故选：C . 【点睛】本题考查函数的基本性质，属于基础题.8．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z 的最大值．【详解】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线0l ：20x y +=在可行域内平移当过点A 时，2z x y =+取得最大值.由34100280x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩得：()2,4A ，max 10z ∴= 故选：D 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题. 9．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4C ．14±D ．14【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．10．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t+>++有解，则t 的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+ D ．(],112ln 2-∞-+【答案】C 【解析】 【分析】先求导得221()ax x f x x -+='（0x >），由于函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，转化为方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，根据∆，12x x +，12x x ⋅，求出a 的取值范围，而()()()12122f x f x x x t +>++有解，通过分裂参数法和构造新函数51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭，通过利用导数研究()h a 单调性、最值，即可得出t 的取值范围. 【详解】由题可得：221()ax x f x x-+='（0x >），因为函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ， 所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解， 所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+⎡⎤⎣⎦因为()()()12122f x f x x x +-+()2211122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦51ln(2)4a a=---.设51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 254()04a h a a -'=>，故()h a 在10,8⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故1()112ln 28h a h ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 所以112ln 2t <-+，所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度. 11．函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项． 【详解】0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足． 故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项． 12．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=（ ） A ．134-B ．54C ．5D ．154【答案】B 【解析】 【分析】据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF ，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果. 【详解】设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD 的方向为x 轴，CA 的方向为y 轴，建立直角坐标系，则1,12E ⎛⎫-⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以95144DE DF ⋅=-=. 故选：B. 【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市崇文区2021届新高考数学考前模拟卷(2)含解析

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北京市崇文区2021届新高考数学考前模拟卷（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ） A ．73斤 B ．72斤 C ．52斤 D ．3斤【答案】B 【解析】 【分析】依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，14a =则52a =，由此利用等差数列性质求出结果． 【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为{}n a ，设首项14a =，则52a =，∴公差5124151512a a d --===---，2172a a d ∴=+=. 故选B 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④ B ．①③C ．②③D ．①②【答案】C 【解析】 【分析】①举反例，如直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时. 【详解】①当直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确； ②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确； ③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确； ④如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时, 不正确.故选:C. 【点睛】此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目.3．在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论： ①AC BD ⊥； ②//MN 平面ABD ；③三棱锥A CMN -的体积的最大值为12； ④AD 与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．②③④C ．①④D ．①②④【答案】D 【解析】 【分析】①通过证明AC ⊥平面OBD ，证得AC BD ⊥；②通过证明//MN BD ，证得//MN 平面ABD ；③求得三棱锥A CMN -体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得AD 与BC 一定不垂直. 【详解】设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，则AC OB ⊥，AC OD ⊥，又OBOD O =，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，故①正确；因为//MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故②正确；当平面DAC 与平面ABC垂直时，A CMN V -最大，最大值为1134A CMN N ACM V V --=⨯==AD 与BC 垂直，又因为AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC BD ⊥，又BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥，因为OB OD =，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故④正确.故选：D【点睛】本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.4．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD 82【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果. 【详解】解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥， 则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥， 因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C. 【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．5．执行如图所示的程序框图，若输入的3t =，则输出的i =( )A ．9B ．31C ．15D ．63【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果. 【详解】执行程序框3,t =0i =；8,t =1i =；23,t =3i =；68,t =7i =；203,t =15i =；608,t =31i =，满足606t >，退出循环，因此输出31i =， 故选:B. 【点睛】本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题. 6．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23C π=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．1(,2)2D ．(1,3)【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 因为23C π=，1c =，所以根据正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ===，所以a A =，b B =，所以sin()])sin32z b a B A B B B λλλπ=+==+-=-+])B B φ=+，其中tan φ=，03B π<<， 因为z b a λ=+存在最大值，所以由2,2B k k φπ+=+π∈Z ，可得22,62k k k φπππ+<<π+∈Z ，所以tan φ>>，解得122λ<<，所以正数λ的取值范围为1(,2)2，故选C ． 7．若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A ．b a > B ．b a < C ．b a < D ．b a >【答案】C 【解析】 【分析】令23a b t ==，则0t >，1t ≠，将指数式化成对数式得a 、b 后，然后取绝对值作差比较可得． 【详解】令23abt ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴==，3lg log lg 3tb t ==， ()lg lg lg lg 3lg 20lg 2lg 3lg 2lg 3t t t a b -∴-=-=>⋅，因此，a b >.故选：C. 【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题． 8．已知角α的终边经过点P(00sin 47,cos 47)，则sin(013α-)= A ．12B．C ．12-D． 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得三角函数的定义可知：22cos 47sin cos 47sin 47cos 47α==+，22sin 47cos sin 47sin 47cos 47α==+，则： ()()sin 13sin cos13cos sin13cos 47cos13sin 47sin131cos 4713cos 60.2ααα-=-=-=+==本题选择A 选项.9．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1()(2)2f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈），且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[)0,+∞ B ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】 C 【解析】 【分析】由已知先求出1max ()2n f x -=，即12n n a ，进一步可得21n n S =-，再将所求问题转化为292nn k -≥对于任意正整数n 恒成立，设n c =292nn -，只需找到数列{}n c 的最大值即可. 【详解】当222n x n -≤<时，则0222x n ≤+-<，(22)(22)(2)f x n x n x n +-=-+--， 所以，11()2[2(1)]2n n f x f x n --=--=-(22)(2)x n x n +--，显然当21x n =-时，1max ()2n f x -=，故12n na ，1(12)2112n n n S ⨯-==--，若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，即229n k n ≥-对于任意正整数n 恒成立，即292nn k -≥对于任 意正整数n 恒成立，设n c =292n n -，111122n nn n c c ++--=，令111202n n +->，解得112n <， 令111202n n +-<，解得112n >，考虑到*n N ∈，故有当5n ≤时，{}n c 单调递增， 当6n ≥时，有{}n c 单调递减，故数列{}n c 的最大值为6633264c ==，所以364k ≥. 故选：C. 【点睛】本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等比数列前n 项和、数列单调性的判断等知识，是一道较为综合的数列题.10．设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e上有三个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．222,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】令()()0g x f x ax =-=，可得()f x ax =.在坐标系内画出函数()ln f x x =的图象（如图所示）.当1x >时，()ln f x x =.由ln y x =得1y x'=. 设过原点的直线y ax =与函数y x ln =的图象切于点00(,ln )A x x ，则有000ln 1x ax a x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得01x e a e =⎧⎪⎨=⎪⎩. 所以当直线y ax =与函数y x ln =的图象切时1a e=. 又当直线y ax =经过点()2B ,2e 时，有22a e =⋅，解得22a e =.结合图象可得当直线y ax =与函数()ln f x x =的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 即函数()()g x f x ax =-在区间()20,e上有三个零点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭.选D.点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解. 11．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域,将2z x y =+化为122zy x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【详解】 解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122zy x =-+.由图可知 当直线122zy x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D. 【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题. 12．已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C 2:4y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则|FA| =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】方法一：设(1,0)P -，利用抛物线的定义判断出B 是AP 的中点，结合等腰三角形的性质求得B 点的横坐标，根据抛物线的定义求得||FB ，进而求得FA .方法二：设出,A B 两点的横坐标,A B x x ，由抛物线的定义，结合||2||FA FB =求得,A B x x 的关系式，联立直线()1y k x =+的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得A x ，进而求得FA . 【详解】方法一：由题意得抛物线24y x =的准线方程为:1l x =-，直线(1)y k x =+恒过定点(1,0)P -，过,A B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，连接OB ，由||2||FA FB =，则||2||AM BN =，所以点B 为AP 的中点，又点O 是PF 的中点， 则1||||2OB AF =，所以||||OB BF =，又||1OF = 所以由等腰三角形三线合一得点B 的横坐标为12， 所以13||122FB =+=，所以||2||3FA FB ==．方法二：抛物线24y x =的准线方程为:1l x =-，直线(1)y k x =+ 由题意设,A B 两点横坐标分别为,(,)0A B A B x x x x >， 则由抛物线定义得||1,||1A B FA x FB x =+=+又||2||,12(1)21A B A B FA FB x x x x =∴+=+⇒=+ ①222224(24)01(1)A B y xk x k x k x x y k x ⎧=⇒+-+=⇒⋅=⎨=+⎩ ② 由①②得220,2,||13A A A A x x x FA x --=∴==+=.故选：C 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

新高考2021年高三数学高考一模试题卷三附答案解析

新高考2021年高三数学高考一模试题卷三附答案解析

新高考2021年高三数学高考一模试题卷三第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知是实数集，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若复数（是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ） A ．B ．C ．D ．3．将甲、乙、丙、丁、戊名护士派往、、、四家医院，每所医院至少派名护士，则不同的派法总数有（ ） A ．种B ．种C ．种D ．种4．在正方体，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A ．B ．C ．D ．5．某学校计划周一到周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》、《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能再周一和周四演，《茶馆》不能在周一和周三演，《天籁》不能在周三和周四演，《马蹄声碎》不能在周一和周四演，那么下列说法正确的是（ ） A ．《雷雨》只能在周二上演B ．《茶馆》可能在周二或者周四上演C ．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D ．四部话剧都可能在周二上演6．年月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如下表：则需支付门票费元，那么这两个旅游团队的人数之差为（ ） A ．B ．C ．D ．7．已知是边长为的等边三角形，其中为边的中点，的平分线交线段于点，则（ ） A ． B ． C ． D ．8．设是定义在上的奇函数，对任意的，，满足：，且，则不等式的解集为（ ）R 21M x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭{|N y y==()NM =R(1,2)[0,2]∅(,2]-∞(1i)(i)a -+i a 2101-5A B C D 14803602401201111ABCD A BC D -E 1AA 1EC AD 22222020399020303540ABC △2M BC ABC ∠AM N AM BN ⋅=14-13-23-1-()f x (,0)(0,)-∞+∞12,(0,)x x ∈+∞12x x ≠221121()()0x f x x f x x x ->-(2)4f =8()0f x x->A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列判断正确的是（ ）A ．抛物线与直线仅有一个公共点B ．双曲线与直线仅有一个公共点C ．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则D ．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则10．函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（ ） A ．函数在上单调递增 B ．函数的图象关于直线对称 C ．当时，函数的最小值为D ．要得到函数的图象，只需要将的图象向右平移个单位 11．已知，均为正实数，且，则（ ） A ．的最小值为B ．的最小值为 CD ．的最大值为 12．甲罐中有个红球，个白球和个黑球；乙罐中有个红球，个白球和个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中结论正确的为（ ） A ．B ．C ．事件与事件不相互独立D ．，，是两两互斥的事件(2,0)(2,)-+∞(2,0)(0,2)-(,4)(0,4)-∞-(,2)(2,)-∞-+∞2y x =0x y +=221x y -=0x y +=22141x y t t +=--x 542t <<22141x y t t +=--y 4t >()sin()(0,0,||)2πf x A x A ωϕωϕ=+>><2π4()f x (π,012)()f x ,ππ[4]212-()f x 5π24x =-(0,)4πx ∈()f x ()f x 2cos 4y x =5π24a b 1a b +=22a b +121ab ab+211a b+44335321A 2A 3A M ()12P M =16(|)11P M A =M 1A 1A 2A 3A第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知正三角形(为坐标原点)的顶点，在抛物线上，则的边长是________．14．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为，，，，，，，…，则第个括号内各数之和为________．15．瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数，棱数及面数满足等式，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮，简洁的公式之一．如图是一个面数为的多面体（其表面仅由正方形和正三角形围成），根据欧拉多面体公式可求得其棱数_______．16．如图，在侧棱长为的正三棱锥中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点，且点到点的距离始终等于在三棱锥表面形成的曲线的长度为_________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：已知的三边，，所对的角分别为，，，若，，______，求的面积．AOB O A B 23y x =AOB △(1)(3,5)(7,9,11)(13)(15,17)(19,21,23)(25)50V E F 2V E F -+=26E =3A BCD -P P B P sin 2B B =cos220B B -=222b a c -=ABC △a b c A B C 4a ==c ABC △18．（12分）已知等比数列满足，．（1）定义：首项为且公比为正数的等比数列为“数列”，证明：数列是“数列”； （2）记等差数列的前项和记为，已知，，求数列的前项的和．19．（12分）双十一购物狂欢节，是指每年月日的网络促销日，源于淘宝商城(天猫)年月日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：明理由；（2）填写下面关于店铺个数的列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为销售量与电商平台有关；（3则其中恰好有两个店铺的销售量在以上的概率是多少？附：，．20．（12分）如图，在中，，，点在上，交于，交于．沿将翻折成，使平面平面；沿将翻折成，使平面平面． （1）求证：平面； （2）设，当为何值时，二面角的大小为？ {}()n a n *∈N 234a a a =13223a a a +=1M -{}n a M -{}n b n n S 59b =864S =21{}n n b a -n n T 111120091111AB 、22⨯95%9522()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++ABC △90C ∠=︒AC BC a ==P AB PE BC ∥AC E PF AC ∥BC F PE APE △A PE '△A PE '⊥ABC PF BPF △B PF '△B PF '⊥ABC B C '∥A PE 'APPBλ=λC A B P ''--60︒21．（12分）已知函数，其中． （1）讨论函数的极值；（2）设，当时，若不等式对任意恒成立，求的最小值．22．（12分）如图，椭圆，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长． （1）求，的方程；（2）设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，，直线，分别与相交与，． ①证明：；②记，的面积分别是．问：是否存在直线，使得?请说明理由．BF PAF C'B 'A E1()ln a f x a x x x-=+-0a ≥()f x m ∈Z 1a =()(2)x f x m x e <--(0,1]x ∈m 22122:1(0)x y C a b a b +=>>x 22:C y x b =-1C 1C 2C 2C y M O l 2C A B MA MB 1C D E MD ME ⊥MAB △MDE △12,S S l 121732S S =答 案 第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】∵或，， 即，，所以，所以，故选D ．2．【答案】D【解析】，它为纯虚数， 则，解得，故选D ．3．【答案】C【解析】首先将名护士分成组，共有，再将名护士往、、、四家医院，共有种派法， 故选C ． 4．【答案】C【解析】在正方体中，， 所以异面直线与所成角为，如图设正方体边长为，则由为棱的中点，可得， 所以，则，故选C ．5．【答案】C【解析】由题目可知，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》，21{|0M x x x x ⎧⎫=<=<⎨⎬⎩⎭2}x>{|{|0}N y y y y ===≥(,0)(2,)M =-∞+∞,[)0N =+∞(2,)MN =+∞()(,2]N M =-∞R2(1i)(i)i i 1(1)i a a ai a a -+=+--=++-1010a a +=⎧⎨-≠⎩1a =-542111532133C C C C A 5A B CD 211145321433C C C 4A C 20A ⨯=1111ABCD A BC D -11B C AD ∥1EC AD 11EC B ∠2a E 1AA 1A E a=1B E=11111tan B E EC B C B ∠===故选C ． 6．【答案】B【解析】由题意，不能被整除，所以两个部门的人数之和为， （1）若，则，可得，……① 由共需支付门票为元，可知，………② 联立方程组，可得，（舍去）；（2）若，则，可得，……③由共需支付门票为元，可知，，可得，…④ 联立方程组可得，，所以两个部门的人数之差为，故选B ． 7．【答案】D【解析】设交于点，如图，由题意可得点为的重心， 则，，， 所以， 故选D ．8．【答案】A【解析】∵对任意的，，都有，∴在上是增函数，令，则，∴为偶函数， ∴在上是减函数，且， ∴， 当时，，即，解得； 当时，，即，解得，9901351a b +≥51100a b ≤+≤11()990a b +=90a b +=129011131290a b +=150b =60a =-100a b +≥9()990a b +=110a b +=1290150b ≤≤51100a ≤≤11131290a b +=70a =40b =704030-=BN AC D N ABC△||AM=||BN =120DNM ∠=︒1||||cos ()132AM BN AM BN DNM ⋅=⋅∠=-=-12,(0,)x x ∈+∞12x x ≠221121()()0x f x x f x x x ->-()y xf x =(0,)+∞()()F x xf x =()()()()F x xf x xf x F x -=--==()F x ()F x (,0)-∞(2)2(2)8F f ==8()8()(2)()0xf x F x F f x x x x---==>0x >()(2)0F x F ->||2x 2x >0x <()(2)0F x F -<||2x <20x -<<综上所述：的解集为，故选A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．【答案】BD【解析】对于A ，抛物线与直线方程，联立方程，消去，可得，，所以抛物线与直线有两个公共点，故A 错误；对于B ，双曲线的渐近线方程为，直线与渐近线平行， 故双曲线与直线仅有一个公共点，故B 正确；对于C ，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C 错误； 对于D ，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D 正确， 故选BD ． 10．【答案】AD【解析】由函数的最大值为，可得，，因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的最小正周期满足， 所以，， 又的图象关于点对称，所以，即，所以，， 当时，， 所以函数在上单调递增，故A 正确； 8()0f x x->(2,0)(2,)-+∞2y x=0x y +=x 20y y +=10Δ=+>2y x=0x y +=221x y -=y x =±0x y +=y x =-221x y -=0x y +=22141x y t t +=--x 410t t ->->512t <<22141x y t t +=--y 4010t t -<⎧⎨->⎩4t >()f x 22A =()2sin()(0,||)2πf x x ωϕωϕ=+><()f x π4T π24T =2π4T ω==()2sin(4(||)2π)f x x ϕϕ=+<()f x (π,012)π4π,12k k ϕ⨯+=∈Z ππ,3k k ϕ=-+∈Z 3πϕ=-()2sin π(4)3f x x =-[,]24π12πx ∈-4[,π0]32πx -∈-()f x ,ππ[4]212-当时，， 所以直线不是函数图象的对称轴，故B 错误； 当时，，，故C 错误； 将的图象向右平移个单位可得的函数为： ， 故D 正确， 故选AD ．11．【答案】AC【解析】对于A ，∵，∴， 当且仅当等号成立，故A 正确； 对于B ，由已知得， ∴，故B 错误；对于C ，由当且仅当等号成立，故C 正确； 对于D ，由已知得， 当且仅当等号成立，故的最小值为，故D 错误， 故选AC ．12．【答案】BCD【解析】∵甲罐中有个红球，个白球和个黑球；乙罐中有个红球，个白球和个黑球． 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以、和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件； 再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件， 对A ，，故A 错误； 5π24x =-7π6π43x -=-5π24x =-()f x (0,)4πx ∈2π4ππ(,)333x -∈-()f x >2cos 4y x =5π245π5ππ2cos 4()2cos(4)2cos(4)2sin(4)()2463π23πy x x x x f x =-=-=--=-=0,0,1a b a b >>+=22211()22a b a b +≥+=12a b ==210()24a b ab +<≤=222211(1)11724(1)244a b ab ab ab ab ab +-+==+≥-+=22()2a b ≤+=12a b ==1111()()2224b aa b a b a b a b+=++=++≥+=12a b ==11a b+44335321A 2A 3A M 463535541()1011101110111102P M =⨯+⨯+⨯=≠对B ，，故B 正确； 对C ，当发生时，，当不发生时，， ∴事件与事件不相互独立，故C 正确；对D ，，，不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D 正确， 故选BCD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】【解析】如图，设的边长为，则， ∵点在抛物线上，∴，∴14．【答案】【解析】括号里的数的规律是：每三个括号算一组，里面的数个数都是个， 所以到第个括号时，共有个数，且第个括号里的数有个， 又数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以， 所以第个括号里的第一个数是， 所以第个括号里的数是，所以第个括号里的数之和为， 故答案为． 15．【答案】【解析】该多面体面数，由图知，顶点数，根据欧拉多面体公式，得棱数，故答案为．11146()61011(|)4()1110P MA P M A P A ⨯===1A 6()11P M =1A 5()11P M =M 1A 1A 2A 3A AOB △a 1(,)22A a A 23y x =2134a a =a =3921236++=49166197⨯+=5021221n a n =-50982981195a =⨯-=50{195,197}50195197392+=3924826F =24V =2V E F -+=22426248E V F =+-=+-=4816．【解析】设动点在三棱锥表面形成曲线是，如图所示．则，在直角三角形中，， ∴，，∴，同理，在直角三角形中，，∴， 在等边三角形中，，∴，， 故答案为．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】条件选择见解析，的面积为【解析】选①由，得，又，所以． 选②由，得，解得， P EFGH BEBH ==BAH cos HBA ∠==π6HBA ∠=4612πππHBG ∠=-=π12HG π==EF =HAE π2HAE ∠=AH AE ===π2πHE ==BCD π3CBD ∠=ππ3GH ==π+=π2ABC △sin 2B B =sin()1π3B +=(0,π)B ∈π6B =cos220B B -=22cos 30B B -=cos B =又，所以． 选③由，得，得， 又，所以． 又因为，所以． 由，所以或． 当时，，又因为，所以，，所以面积当时，，所以， 又因为，所以，所以面积18．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：由题意可设公比为，则，得，，得或，∴数列是“数列”．（2）设数列的公差为，易得，得， ∴，得， 由（1）知，若，则， ∴，若，则，∴，∴① ∴②①-②得，(0,π)B ∈π6B =222b a c -=222c a b +-222cos 222a cb B ac ac +-===(0,π)B ∈π6B =sin sin C cB b ==1sin 22C B ===(0,π)C ∈π3C =2π3C =π3C =π2A =4a =2b =c =122S =⨯⨯=2π3C =π6A =AB =4a =4b =14422S =⨯⨯⨯=(47)27nn T n =-+q 23311a q a q =11a =211123a a q a q +=1q =2q{}n a M -{}n b d 4584()64b b S +==47b =542d b b =-=21n b n =-1q =2143n n b a n -=-2(143)22n n nT n n +-==-2q12n na 121(43)2n n nb a n --=-⋅0221125292(47)2(43)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-2312125292(47)2(43)2n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-231125292(47)2(43)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-∴，∴．19．【答案】（1）茎叶图见解析，电商平台的销售更好，理由见解析；（2）列联表见解析，没有的把握认为销售量与电商平台有关；（3）． 【解析】（1）由已知数据作出茎叶图如下：由茎叶图可知：①由茎叶图可知，电商平台销售量的中位数为，电商平台销售量的中位数为，因此电商平台的销售更好．②由茎叶图可求得电商平台销售量的平均数为，电商平台销售量的平均数为，因此电商平台的销售更好．（2）由题中数据，可得列联表如下：∴，∴没有的把握认为销售量与电商平台有关．（3）由已知数据，销售量前五名的店铺，销售量分别为，，，，． 设对应的店铺分别为．从其中选取三个店铺共有种情况，如下：，，，，，，，，，，其中恰好有两个店铺的销售量在以上的情况有种：，，，，，，18(12)1(43)212n n n T n ---=+---(47)27nn T n =-+B 95%0.6B A 72B 85B A 72.4B 84.6B 22⨯220(848)3203.333 3.841812101096K ⨯-==≈<⨯⨯⨯95%979696948712312,,,,a a a b b 10123),(,a a a 121),(,a a b 122),(,a a b 311(,),a a b 321(,),a a b 112),(,a b b 321(,),a a b 322(,),a a b 112),(,a b b 312),(,a b b 956121),(,a a b 122),(,a a b 311(,),a a b 321(,),a a b 321(,),a a b 322(,),a a b∴其中恰好有两个店铺的销售量在以上的概率． 20．【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）因为，平面，所以平面， 因为平面平面，且，所以平面， 同理，平面，所以，从而平面， 所以平面平面，从而平面．（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图． 则，，，， ，，． 平面的一个法向量，平面的一个法向量．由， 化简得，解得．21．【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）由题意，函数， 可得（）， 当，即时，令，得；令，得，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，9560.610P ==72λ±=FC PE ∥FC ⊄A PE 'FC ∥A PE 'A PE '⊥ABC A E PE '⊥A E '⊥ABC B F '⊥ABC B F A E ''∥B F '∥A PE 'B CF '∥A PE 'B C '∥A PE 'C CB x CA y C ABC z (0,0,0)C (0,,)11a a A λλλ'++(,0,)11a aB λλλ'++(,,0)11a a P λλλ++(0,,)11a a CA λλλ'=++(1)(,,)111a a a A B λλλλλ-''=-+++(0,,)11a aB P λλ'=-++CA B ''1(,,1)λλ=-m PA B ''(1,1,1)=n 1|1|||1cos60||||2λ+-⋅==︒=m n m n 2218890λλλλ+--+=λ=3-1()ln a f x a x x x-=+-222211(1)(1)()1a a x ax a x x a f x x x x x--++--+'=-+=-=-0x >10a -≤01a ≤≤()0f x '>01x <<()0f x '<1x >()f x (0,1)(1,)+∞故在处取得极大值，且极大值为，无极小值； 当，即时，令，得；令，得或， 所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，在区间内单调递减，故在处取得极大值，且极大值为， 在处取得极小值，且极小值为； 当，即时，恒成立，单调递减，无极值； 当，即时，同理可得在区间内单调递减， 在区间内单调递增，在区间内单调递减，故在处取得极小值，在处取得极大值， 综上所述，当时，的极小值为，极大值为； 当时，无极值；当时，的极小值为，极大值为； 当时，的极大值为，无极小值． （2），设，，则，当时，， 设，则，所以在上单调递增． 又，， 所以，使得，即，． 当时，，； 当时，，，所以函数在内单调递增，在内单调递减，所以， 因为函数在内单调递增，所以， 因为对任意的恒成立，()f x 1x =(1)2f a =-011a <-<12a <<()0f x '>11a x -<<()0f x '<1x >01x a <<-()f x (0,1)a -(1,1)a -(1,)+∞()f x 1x =(1)2f a =-1x a =-(1)ln(1)2f a a a a -=-+-11a -=2a =()0f x '≤()f x 11a ->2a >()f x (0,1)(1,1)a -(,)1a -+∞()f x 1x =(1)2f a =-1x a =-ln(1)1)2(f a a a a --+=-2a >()f x 2a -1ln()2a a a -+-2a =()f x 12a <<()f x 1ln()2a a a -+-2a -01a ≤≤()f x 2a -(2)l (n 2)()x x m x e m x f x x x e <--⇒>-+-()(2)ln xh x x e x x =-+-(0,1]x ∈l 1()()()xx e h x x'=-+01x <≤11x -≤1()xu x e x =-21()0xu x e x'=+>()u x(0,1)1()202u =<(1)10u e =->01(,1)2x ∃∈0()0u x =01x ex =00ln x x =-0(0,)x x ∈()0u x <()0h x '>0(,1)x x ∈()0u x >()0h x '<()h x 0(0,)x 0(),1x 0max 00000000012()()(2)ln (2)21(2)xh x h x x e x x x x x x x ==-+-=-⋅-=-+0021(2)y x x =-+01(,1)2x ∈0()(4,3)h x ∈--()m h x >(0,1]x ∈又，所以的最小值是．22．【答案】（1），；（2）①证明见解析；②满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和． 【解析】（1）由题意知，从而， 又，解得，，故，的方程分别为，． （2）①由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，由，得， 设，，则是上述方程的两个实根， 于是，． 又点的坐标为， 所以，故，即．②设直线的斜率为，则直线的方程为，由，解得或， 则点的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得点的坐标为． 于是，由，得， m ∈Z m 3-21214:C x y +=221:y C x =-l 32y x =32y x =-c e a ==2a b=a =2a =1b =1C 2C 2214x y +=21y x =-l k l y kx =21y kx y x ==-⎧⎨⎩210x kx --=11(,)A x y 22(,)B x y 12,x x 12x x k +=121x x =-M (0,1)-21212121212121211(1)(1)()1MA MBy y kx kx k x x k x x k k x x x x x x +++++++⋅=⋅==22111k k -++==--MA MB ⊥MD ME ⊥1k 11y k x =-1211y k x y x =-⎧⎨=-⎩01x y =⎧⎨=-⎩1211x k y k =⎧⎨=-⎩A 211(,1)k k -MB 11k -B 21111(,1)k k --211111111||||||||22||k S MA MB k k k +=⋅=-=1221440y k x x y =-+-=⎧⎨⎩2211(14)80k x k x +-=解得或， 则点的坐标为； 又直线的斜率为，同理可得点的坐标， 于是，因此， 由题意知，解得或． 又由点的坐标可知，，所以． 故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和．01x y =⎧⎨=-⎩12121218144114k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩D 2112211841(,)1414k k k k -++11k -E 211221184(,)44k k k k --++2112221132(1)||1||||2(14)(4)k k S MD ME k k +⋅=⋅=++21122114(417)64S k S k =++21211417(417)6432k k ++=214k =2114k =,A B 21211111111k k k k k k k -==-+32k =±l 32y x =32y x =-。

北京市崇文区2021届新高考数学第三次押题试卷含解析

北京市崇文区2021届新高考数学第三次押题试卷含解析

北京市崇文区2021届新高考数学第三次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()3log 2a f =，b f ⎛=- ⎝，()3c f =的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】C 【解析】∵y=f （x+1）是偶函数，∴f （-x+1）=f （x+1），即函数f （x ）关于x=1对称．∵当x≥1时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为减函数，∵f （log 32）=f （2-log 32）= f （923log ）且12-=34，log 34＜923log ＜3，∴b ＞a ＞c ， 故选C2．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC 是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 中点，则球O 的表面积为（ ） A ．523πB ．403πC ．253πD ．24π【答案】A 【解析】 【分析】根据O 是CD 中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解. 【详解】解：设D 点到平面ABC 的距离为h ，因为O 是CD 中点，所以O 到平面ABC 的距离为2h ，三棱锥D ABC -的体积11122sin602332ABC V S h h ︒==⋅⨯⨯⋅⨯⋅=，解得2h =，作OO '⊥平面ABC ，垂足O '为ABC 的外心，所以3CO '=，且2h OO '==，所以在Rt CO O '中，OC ==，此为球的半径， 213524433S R πππ∴==⋅=. 故选：A.【点睛】本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题．3．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩， 将2z x y =+变形为2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时， 直线在y 轴上的截距最大， z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．已知函数2,()5,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩（0a >），若函数()()4g x f x x =-有三个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)[5,)+∞ B ．6(0,)[5,)5+∞C ．(1,5]D ．6(,5]5【答案】A 【解析】 【分析】分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果. 【详解】作出2y x x =-和5y x =-，4y x =的图像如下所示：函数()()4g x f x x =-有三个零点， 等价于()y f x =与4y x =有三个交点， 又因为0a >，且由图可知，当0x ≤时()y f x =与4y x =有两个交点,A O ， 故只需当0x >时，()y f x =与4y x =有一个交点即可. 若当0x >时，()0,1a ∈时，显然y =y (y )与y =4|y |有一个交点y ，故满足题意； 1a =时，显然y =y (y )与y =4|y |没有交点，故不满足题意；()1,5a ∈时，显然y =y (y )与y =4|y |也没有交点，故不满足题意； [)5,a ∈+∞时，显然()y f x =与4y x =有一个交点C ，故满足题意.综上所述，要满足题意，只需a ∈(0,1)[5,)+∞.故选：A. 【点睛】本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题.5．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i - B ．2iC ．1i -+D ．0【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，即可求解. 【详解】22(1)22,21iz i i z i i+-=+==-. 故选:B. 【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题. 6．()()()()()*121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ）A ．3n C B ．21n C +C ．1n n C -D ．3112n C + 【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论． 【详解】由题意展开式中x 的一次项系数为21(1)122n n n n C +++++==． 故选：B ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式．7．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-【答案】B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.8．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b>0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e=（ ） A ．12B ．2 C ．32D ．33【答案】C 【解析】 【分析】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2y D x ⎛⎫-⎪⎝⎭，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.【详解】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故3e =.故选：C . 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.9．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2a 的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为p ，则圆周率π≈（ ）A ．42p +B ．41p +C ．64p -D ．43p +【答案】A 【解析】 【分析】计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解. 【详解】由2222244S a a p S a ππ--===阴正，∴42p π=+. 故选：A 【点睛】本题考查了面积型几何概型的概率的计算，属于基础题. 10．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2020a =（ ）A ．1-B ．1CD ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出140396a a =，再由等比数列的性质可得. 【详解】解：依题意1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，也就是()2860f x x x '=-+=的两个根∴140396a a =又{}n a 是正项等比数列，所以2020a ==∴20201a ==.故选：B 【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.11．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．4π B ．16πC ．163πD ．323π【答案】D 【解析】 【分析】由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积． 【详解】如图，正三棱锥A BCD -中，M 是底面BCD ∆的中心，则AM 是正棱锥的高，ABM ∠是侧棱与底面所成的角，即ABM ∠＝60°，由底面边长为3得232BM =⨯=，∴tan 603AM BM =︒==．正三棱锥A BCD -外接球球心O 必在AM 上，设球半径为R ，则由222BO OM BM =+得222(3)R R =-+，解得2R =，∴3344322333V R πππ==⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键．12．抛物线()220y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使得A 是BC 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．13± B ．22C ．±1D ．3±【答案】B 【解析】 【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2px my =-，由题意得出212y y =，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合212y y =可求得m 的值，由此可得出直线l 的斜率. 【详解】由题意可知点,02p C ⎛⎫-⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2p x my =-， 由于点A 是BC 的中点，则212y y =， 将直线l 的方程与抛物线的方程联立得222p x my y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得2220y mpy p -+=，由韦达定理得12132y y y mp +==，得123mp y =，2222121829m p y y y p ===，解得324m =±， 因此，直线l 的斜率为1223m =±. 故选：B.【点睛】本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市崇文区2021届新高考适应性测试卷数学试题(3)含解析

北京市崇文区2021届新高考适应性测试卷数学试题(3)含解析

北京市崇文区2021届新高考适应性测试卷数学试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010【答案】A 【解析】 【分析】结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg230021010=≈.故选：A 【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题 2．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解.【详解】z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+， 解得221y x =+. 故选：B. 【点睛】本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.3．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） A．2B．3C ．12D．2【答案】D 【解析】 【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率. 【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -.由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =. 而(),BF c b =--，所以,33cb FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x yC a b+=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以e =.即椭圆C 的离心率为22故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.4．如图，已知直线:l ()()10y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，且A 、B 两点在抛物线准线上的投影分别是M ，N ，若2AM BN =，则k 的值是（ ）A ．13B ．23C ．23D ．2【答案】C 【解析】 【分析】直线()()10y k x k =+>恒过定点()10P -，，由此推导出12OB AF =，由此能求出点B 的坐标，从而能求出k 的值． 【详解】设抛物线2:4C y x =的准线为:1l x =-，直线()()10y k x k =+>恒过定点()10P -，， 如图过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ， 由2AM BN =，则2FA FB =， 点B 为AP 的中点、连接OB ，则12OB AF =， ∴OB BF =，点B 的横坐标为12， ∴点B 的坐标为122B ⎛ ⎝，把122B ⎛ ⎝代入直线()()10y k x k =+>，解得223k=，故选：C．【点睛】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题.5．若x,y满足约束条件x0x+y-30z2x-2y0x y≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A．[0,6] B．[0,4] C．[6, +∞）D．[4, +∞）【答案】D【解析】解：x 、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选D．6．已知a，b，Rc∈，a b c>>，0a b c++=．若实数x，y满足不等式组4xx ybx ay c≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y=+（）A ．有最大值，无最小值B ．有最大值，有最小值C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值【答案】B 【解析】 【分析】判断直线0bx ay c ++=与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况. 【详解】由0a b c ++=，a b c >>，所以可得0,0a c ><.1112,22222c c c ca b a a c b c a c c a a a a>⇒>--⇒>->⇒-->⇒<-∴-<<-⇒<-<， 所以由0b cbx ay c y x a a++=⇒=--，因此该直线在纵轴的截距为正，但是斜率有两种可能，因此可行解域如下图所示：由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值. 故选：B 【点睛】本题考查了目标函数最值是否存在问题，考查了数形结合思想，考查了不等式的性质应用. 7．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ）A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）【答案】B 【解析】，，∴．故选．8．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ） A ．2 B ．5 C ．1 D ．3【答案】B 【解析】 【分析】由函数2()(2)g x f x x =+为奇函数,则有(1)(1)0(2)1(2)10g g f f -+=⇒-+++=,代入已知即可求得.【详解】(1)(1)0(2)1(2)10(2)5g g f f f -+=⇒-+++=⇒-=-.故选:B . 【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易. 9．已知(,)a bi a b R +∈是11ii +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12- C ．12D ．1【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则求出11ii+-的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ． 【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a+bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a+b ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．10．()()52122x x --的展开式中8x的项的系数为（ ）A ．120B ．80C ．60D ．40【答案】A 【解析】 【分析】化简得到()()()()555212222222x x x x x =⋅-----，再利用二项式定理展开得到答案.【详解】()()()()555212222222xx xx x =⋅-----展开式中8x 的项为()()232332552C 22C 221208x xx x---=⨯. 故选：A 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.11．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140【答案】C 【解析】从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为(0.050.01)50.3+⨯=，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米 所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为152006050⨯=，故选C 12．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是（ ） A ．若m α且n α，则m n B ．若m β⊥且m n ⊥，则n βC ．若m α⊥且m β，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n【答案】C 【解析】因答案A 中的直线m n ，可以异面或相交，故不正确；答案B 中的直线n ⊂β也成立，故不正确；答案C 中的直线m 可以平移到平面β中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面αβ，互相垂直，是正确的；答案D 中直线m 也有可能垂直于直线n ，故不正确．应选答案C ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高三数学第三次模拟考试试题 理(含解析)

2021年高三数学第三次模拟考试试题 理(含解析)

2021年高三数学第三次模拟考试试题理（含解析）【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.【题文】1.已知集合,若，则（）A．【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】B 解析：∵集合M={3，log2a}，N={a，b}，M∩N={0}，∴log2a=0，解得a=1，∴b=0，∴M∪N={0，1，2}．故选：B．【思路点拨】由已知得log2a=0，解得a=1，从而b=0，由此能求出M∪N．【题文】2.等差数列的前 n项和为，若,则( )A. -2B.0C.2D.4【知识点】等差数列的前n项和．D2【答案解析】A 解析：∵等差数列{an}的前n项和为{Sn}，S8﹣S4=36，a6=2a4，∴，解得a1=﹣2，d=2．故选：A．【思路点拨】等差数列{an}的前n项和为{Sn}，由已知得，由此能求出结果．【题文】3．设随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），若P(ξ＞c)=, 则P(ξ＞4-c)等于A. B.2 C. 1- D. 1-2【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．I3【答案解析】B 解析：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），对称轴是：μ=2，又4﹣c与c关于μ=2对称，由正态曲线的对称性得：∴p（ξ＞4﹣c）=1﹣p（ξ＞c）=1﹣a．故选B．【思路点拨】根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到p（ξ＞4﹣c）=1﹣p（ξ＞c），得到结果．【题文】4.如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）（A） 30 （B） 50 （C） 75 （D） 150【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】B 解析：该几何体是四棱锥，其底面面积S=5×6=30，高h=5，则其体积V=S×h=30×5=50．故选B．【思路点拨】由三视图可知：该几何体是四棱锥．【题文】5.一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点（不在同一侧面或同一底面内）的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可以是（）等腰三角形 (B)等腰梯形（C)五边形 (D)正六边形【知识点】棱柱的结构特征．G7【答案解析】D 解析：如图，由图可知，截面ABC为等腰三角形，选项A可能，截面ABEF为等腰梯形，选项B可能，截面ADE为五边形，选项C都有可能，选项D不可能，故选D．【思路点拨】由题意作出简图分析．【题文】6．函数在区间的最大值为（）(A)1 (B) (C) (D)2【知识点】复合三角函数的单调性． C3 B3【答案解析】C 解析：f（x）=cos2x+sinxcosx==．∵x∈[，]，∴2x+∈．∴．∴函数f（x）=cos2x+sinxcosx在区间[，]的最大值为．故选：C．【思路点拨】利用三角函数倍角公式化简，然后结合已知x的范围求得原函数值域，则答案可求．【题文】7．设f(x)是定义在R上的奇函数，其f(x)=f(x-2),若f(x)在区间单调递减，则（）(A) f(x)在区间单调递增 (B) f(x)在区间单调递增(C) f(x)在区间单调递减 (D) f(x)在区间单调递减【知识点】奇偶性与单调性的综合．B4 B3【答案解析】D 解析：由f（x）=f（x﹣2），则函数的周期是2，若f（x）在区间[2，3]单调递减，则f（x）在区间[0，1]上单调递减，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，且f（x）在区间[1，2]上单调递减，故选：D【思路点拨】根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．【题文】8.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )(A) (B) (C) (D)【知识点】双曲线的简单性质．H6【答案解析】B 解析：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c∴，∴∴，故选B．【思路点拨】先在Rt△MF1F2中，利用∠MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a，最后根据a和c求得离心率．【题文】9.已知外接圆的半径为，且．，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，则的形状为( )(A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形【知识点】几何概型．K3【答案解析】B 解析：∵•=﹣，圆的半径为1，∴cos∠AOB=﹣，又0＜∠AOB＜π，故∠AOB=，又△AOB为等腰三角形，故AB=，从圆O内随机取一个点，取自△ABC内的概率为，即=，∴S，设BC=a，AC=b．∵C=，∴，得ab=3，…①由AB2=a2+b2﹣2abcosC=3，得a2+b2﹣ab=3，a2+b2=6…②联立①②解得a=b=．∴△ABC为等边三角形．故选：B．【思路点拨】根据向量的数量积求得∠AOB=，进而求得AB的长度，利用几何概型的概率公式求出三角形ABC的面积，利用三角形的面积公式即可求出三角形各边的长度即可得到结论．【题文】10.已知数列满足，，则A. 143B. 156C. 168D. 195【知识点】数列递推式． D1【答案解析】C 解析：由an+1=an+2+1，得，∴，又a1=0，∴{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，则，∴．则a13=169﹣1=168．故选：C．【思路点拨】把已知的数列递推式变形，得到{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，求出其通项公式后得到an，则a13可求．【题文】11.用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A．432 B．288 C．216 D．144【知识点】排列、组合及简单计数问题．J1 J2【答案解析】B解析：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有•=6种．先排3个奇数：①若1排在左端，方法有种；则将“整体”和另一个偶数中选出一个插在1的左边，方法有种，另一个偶数插在2个奇数形成的3个空中，方法有种，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×××=72种．②若1排在右端，同理求得满足条件的六位数也有72种，③若1排在中间，方法有种，则将“整体”和另一个偶数插入3个奇数形成的4个空中，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6××=144种．综上，满足条件的六位数共有 72+72+144=288种，故选B．【思路点拨】从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有•=6种．先排3个奇数：分1在左边、1在右边、1在中间三种情况，分别用插空法求得结果，再把这3个结果相加，即得所求．【题文】12.函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A． B. C． D．【知识点】指数函数单调性的应用；函数单调性的性质．B3 B6【答案解析】C 解析：当a＞0时，y=在（﹣∞，]上为减函数，在[，+∞）上为增函数，且y=＞0恒成立若函数在区间[0，1]上单调递增，则y=在[0，1]上单调递增则≤0解得a∈（0，1]当a=0时，在区间[0，1]上单调递增，满足条件当a＜0时，在R单调递增，令=0，则x=ln则在（0，ln]为减函数，在[ln，+∞）上为增函数则ln≤0，解得a≥﹣1综上，实数a的取值范围是[﹣1，1]，故选C【思路点拨】结合对勾函数，指数函数单调性及单调性的性质，分别讨论a＞0，a=0，a＜0时，实数a的取值范围，综合讨论结果可得答案．【题文】第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【题文】13.甲、乙、丙、丁四人商量去看电影.甲说：乙去我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去。

新高考2021年高三数学高考三模试题卷四附答案解析

新高考2021年高三数学高考三模试题卷四附答案解析

新高考2021年高三数学高考三模试题卷四第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ． 2．设复数z 满足，则（ ）A ．B ．CD ．3．关于命题，下列判断正确的是（ ） A ．命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题 B ．命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题 C ．命题“”的否定为“”D ．命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”4．已知函数，满足对任意，都有成立，则a 的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．5．函数的奇偶性为（ ）A ．奇函数B ．既是奇函数也是偶函数C ．偶函数D ．非奇非偶函数6．已知点是所在平面内一点，且，则（ ） A ． B ． C ． D ． 7．已知实数、满足约束条件，其中，若目标函数的最大值为，则（ ） A ．B ．或C ．或D ． {}22740A xx x =--≤∣{}3B x x =<A B =()2,3-(]2,3-1,22⎛⎫-⎪⎝⎭1,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭)()2i 1i z =+z =12214,x x ∀∈∈R R 400,x x ∃∈∉R R ()()(),(0)23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩12x x ≠()()12120f x f x x x -<-()0,1a ∈3,14a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭30,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦3,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()f x =P ABC △PA PB PC ++=01233PA BA BC =-+2133PA BA BC =+1233PA BA BC =--2133PA BA BC =-x y 001x y mx y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩1m <-yy x m =-2m =2-2-32-2-1232-8．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到、、三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（ ） A ．630种 B ．600种C ．540种D ．480种二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：，，…，， 则下列说法中正确的是（ ）A ．由样本数据得到的回归方程必过样本中心B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数为，则变量y 和x 之间具有线性相关关系 10．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是（ ）A ．该截角四面体的表面积为B ．该截角四面体的体积为C ．该截角四面体的外接球表面积为D ．该截角四面体中，二面角的余弦值为 11．已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且， 则以下结论正确的有（ ） A ．B ．C ．D ．12．在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与该抛物线的两个交点为，，则（ ）A B C 11(,)x y 22(,)x y (,)n n x y y bx a =+(),x y 09362r =-．3aa 2312211π2a A BC D --13{}n a 23q =-{}n b 112b =99a b >1010a b >9100a a ⋅<910a a >100b >910b b >xOy 22x y =l 11(,)A x y 22(,)B x yA ．B ．以为直径的圆与直线相切 C ．的最小值D ．经过点与轴垂直的直线与直线交点一定在定直线上第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．二项式的展开式中，常数项为_________． 14．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则的最小值为________． 15．过圆外一点引直线与圆相交于，两点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于，则的值为_________． 16．设函数，，则函数的最大值为_______；若对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是_________． 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在中，角，，所对的边分别为，，． （1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．18．（12分）已知各项均为正数的等差数列满足，．（1）求的通项公式；（2）记b的前n 项和S n ．19．（12分）某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率的频数分布表．1214y y =AB 12y OA OB +B x OA 62x ⎫-⎪⎭ABC △2222b c a +=cos A ()222:0O x y rr +=>()2,0l O A B AOB △l r 21()x f x x+=()x xg x e =()(0)xx g x x e =>1x 2(0,)x ∈+∞()()121g x f x k k ≤+k ABC △A B C a b c ()sin A A b =B 2a c +=b {}n a 11a =22112()n n n n a a a a ++=++{}n a {}n b y（1（2）估计这120个企业产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（3）以表中的分组中各组的频率为概率，某记者要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做采访调查．若采访的企业的增长率，则采访价值为1；采访的企业的增长率，则采访价值为2；采访的企业的增长率，则采访价值为3．设选取的两个企业的采访价值之和为，求的分布列及数学期望．20．（12分）如图所示，四棱锥的底面为梯形，平面平面，，．（1）求证：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求的长度．21．（12分）已知圆与圆的公共点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）设点为圆上任意点，且圆在点处的切线与交于，两点．试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22．（12分）已知函数． （1）若直线是曲线的切线，求实数k 的值； （2）若对任意，不等式成立，求实数a 的取值集合．y [0.4,0.2)y ∈--[0.2,0)y∈-[0,0.6)y ∈X X S ABCD -ABCD SCD ⊥ABCD 90BAD ADC SCD ∠=∠=∠=︒112AB AD CD ===SBD ⊥SBC A SB C --SC ()2122:1F x y r ++=()()()2222141:3F x y r r -+=-≤≤E E A 2212:7O x y +=O A E P Q AP AQ⋅ln ()xf x x=1y kx =-()y f x =(0,)x ∈+∞ln ()1af x ax x≤--答 案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】由，即，得，集合， 由，得，即，集合， 由数轴表示可得，故选D ．2．【答案】D 【解析】，， 因此，，故选D ． 3．【答案】C【解析】A 选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称量词命题，故A 错； B 选项，命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个”，是存在量词命题，故B 错； C 选项，命题“”的否定为“”，故C 正确；D 选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，故D 错， 故选C ． 4．【答案】C【解析】由题意，函数对任意的都有成立，即函数为R 上的减函数，可得，解得，故选C ．22740x x --≤(21)(4)0x x +-≤142x -≤≤1,42A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦3x <29x <33x -<<()3,3B =-1,32AB ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭()()223i 1i 12i i 2iz-=+=++=)2iiii 122z∴====-+1z ==4,x x ∀∈∈R R 400,x x ∃∈∉R R ()f x 12x x ≠()()12120f x f x x x -<-()()(),(0)23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩0120123a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥-+⎩304a <≤5．【答案】D【解析】由，即，得函数定义域为， 此定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称． 所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数，故选D ． 6．【答案】D【解析】由题意，，，而， ∴，又，即，∴，故选D ． 7．【答案】A【解析】因为实数、满足约束条件，所以可根据约束条件绘出可行域，如图所示，其中，，， 因为目标函数的几何意义是可行域内的点与所连直线的斜率， 所以目标函数的最大值为，即，整理得，解得或（舍去）， 故选A ． 8．【答案】C【解析】把6名工作人员分成1，1，4三组，2sin 10x -≥sin 12x ≥52π,2ππ66π()k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z PA BA PB -=PA AC PC +=PA PB PC ++=03PA BA AC -+=0AC BC BA =-32PA BA BC -+=02133PA BA BC =-x y 001x y mx y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩1,11m A m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭11,22B ⎛⎫⎪⎝⎭(),0P m yz x m=-(),x y (),0P m yz x m=-21211PAmm k m m +==-+22320m m +-=2m =-12再安排到三个村有种； 把6名工作人员分成2，2，2三组，再安排到三个村有种； 把6名工作人员分成1，2，3三组， 再安排到三个村有种， 所以共有种，故选C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．【答案】ABD【解析】A ．由样本数据得到的回归方程必过样本中心，故正确； B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故正确；C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，说明模型的拟合效果越好，故错误；D ．若变量y 和x 之间的相关系数为，的绝对值接近于1，则变量y 和x 之间具有线性相关关系，故正确，故选ABD ． 10．【答案】ABC 【解析】如图所示：由正四面体中，题中截角四面体由4个边长为的正三角形，4个边长为的正六边形构成， 故，A 正确； ∵棱长为的正四面体的高， 1143654322C C C 651A 32190A 21⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯2223642333C C C A A 90=12336533654C C C A 32136021⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯9090360540++=y bx a =+(),x y 09362r =-．r S NPQ -aa 222446S =+⨯=a h =∴，B 正确； 设外接球的球心为O ，的中心为，的中心为，，，∴，∴，C 正确；易知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为负值，D 错误， 故选ABC ． 11．【答案】AD【解析】数列是公比q 为的等比数列；是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则，，∴，故A 正确；∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由，不能求得b 10的符号，故C 错误；由且，则，，可得等差数列一定是递减数列，即，即有，故D 正确， 故选AD ． 12．【答案】ABD【解析】抛物线的焦点为，设直线的方程为， 联立，可得，所以，， ，，故A 正确；22311)(3)433V a a =⋅-⋅=ABC △O 'NPQ △O ''-==3=3a =22222833a R a R a -=+-22118R a =22114ππ2S R a ==S BC A --A BC D --{}n a 23-{}n b 8912()3a a =-91012()3a a =-21791012()30a a a ⋅=<-1010a b >99a b >1010a b >812()1283a d >-+912()1293a d >-+{}nb 0d <910b b >10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭AB 12y kx =+2122y kx x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩2210x kx --=122x x k +=121x x =-()21212121y y k x x k +=++=+()2121212121111122244y y kx kx k x x k x x ⎛⎫⎛⎫=++=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭以为直径的圆的圆心为，即， 半径为， 所以圆心到直线的距离为，等于半径，所以以为直径的圆与直线相切，即B 正确； 当直线与轴平行时，，， 所以的最小值不是C 错误； 直线的方程为，与的交点坐标为， 因为，所以经过点与轴垂直的直线与直线交点在定直线上， 故D 正确，故选ABD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】60【解析】二项式的展开式通项为，令，解得，则常数项为，故答案为60．14．【答案】【解析】，当且仅当时等号成立， 故答案为． 15【解析】， AB 1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭21,2k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2121122AB y y k ++==+12y2211122k k ++=+AB 12yAB x OA OB ==OA OB =<+OA OB +OA 1112y x y x x x ==2x x =122,2x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭12122x x =-B x OA 12y 62x ⎫-⎪⎭()633622166C 12C 2rrr r r r r r x T x---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭3302r -=2r ()222612C 60-⋅⋅=1222222222221cos 222b c a a a a A bc b c a +--=≥==+b c a ==12211sin sin 22AOB S OA OB AOB r AOB =∠=∠△当时，的面积最大，此时圆心到直线的距离， 设直线方程为，，则， 所以，再将代入，求得．． 16．【答案】， 【解析】，， 由，可得，此时函数为增函数； 由，可得，此时函数为减函数，的最大值为； 若对任意，，不等式恒成立， 则等价为恒成立， ，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为，且的最大值为， 则的最大值为，则由，得，即，故答案为，．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）；（2）． 90AOB ∠=︒AOB △O AB 2d r =AB ()2y k x =-213k =2d ==2224112k r k =+213k =r =1e 121k e ≥-()()0x x g x x e =>()21()x x x x x e x e xg x e e '⋅-⋅-'∴==()0g x '>01x <<()g x ()0g x '<1x >()g x ()g x ∴1(1)g e=1x 2(0,)x ∈+∞()()121g x f x k k ≤+()()121g x kf x k ≤+211()2x f x x x x +==+≥=1x x =1x =()f x 2()g x 1(1)g e=12()()g x f x 1122e e =112k k e ≥+()211k e -≥121k e ≥-1e 121k e ≥-π3B =[)1,2b ∈【解析】（1，，，，∴， ∵，∴． （2）∵，，∴（当且仅时取等号），又，∴．18．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，得， 即，又数列的各项均为正数，即，则， ∴的公差为，而，故． （2）由（1）知，∴． 19．【答案】（1）；（2）；（3）分布列见解析，． 【解析】（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例为． （2）这120个企业产值增长率的平均数． ()sin A A b =+sin sin cos C B AB A =()sin sin cosA B B A B A +=cos sin sin sin cos A B A B B A B A =cos sin sin A B A B =tan B ()0,πB ∈π3B =2a c +=π3B =222222cos a c b c c c a B a a =+=-+-()223434312a c a c ac ac +⎛⎫=+-=-≥-= ⎪⎝⎭a c =2b ac <+=[)1,2b ∈21n a n =-n S =()22112n n n n a a a a ++-=+()()()1112n n n n n n a a a a a a ++++-=+{}n a 10n n a a ++≠12n n a a +-={}n a 211a =21n a n =-n b ===()()()()12131537521212n n S b b b n n ⎡⎤=+++=-+-+-+++--⎣⎦12=45%0.022353024100%45%120+⨯=1(0.3300.1240.1400.3160.510)0.02120y =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=（3）依题意可得的概率为， 的概率为， 的概率为．的所有可能取值为2，3，4，5，6，；；；；， 则的分布列为故． 20．【答案】（1）证明见解析；（2）3． 【解析】（1）由题意，在底面梯形中，因为且，，可得， 又由，所以，所以， 又因为平面平面，平面平面，且，平面，所以上平面， 又由平面，所以， 因为且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面． （2）由（1）知平面，以为坐标原点，所在直线为轴，在平面内垂直于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设，所以，可得，，， 由（1）得平面，所以平面的一个法向量为，[0.4,0.2)y ∈-3011204=[0.2,0)y ∈-2411205=[0,0.6)y ∈4016101112020++=X 111(2)4416P X ==⨯=111(3)24510P X ==⨯⨯=1111163(4)242055200P X ==⨯⨯+⨯=11111(5)252050P X ==⨯⨯=1111121(6)2020400P X ==⨯=X ()234561610200504005E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ABCD 90BAD ADC ∠=∠=︒1AB AD ==2CD =BD BC ==2CD =222BD BC CD +=BD BC ⊥SCD ⊥ABCD SCDABCD CD =SC CD ⊥SC ⊂SCD SC ⊥ABCD BD ⊂ABCD BD SC ⊥SCBC C =,SC BC ∈SBC BD ⊥SBC BD ⊂SBD SBD ⊥SBC SC ⊥ABCD C CD x ABCD CD y CS z(2,1,0)A (1,1,0)B (2,0,0)D (0)SC h h =>(0,0,)S h (1,0,0)BA =(1,1,)BS h =--(1,1,0)BD =-BD ⊥SBC SBC (1,1,0)BD =-设平面的法向量为，则，可得，令，可得，则，解得，即．21．【答案】（1）；（2）是，．【解析】（1）设公共点为，则，，， 即公共点的轨迹为椭圆，且，∴，又，∴，故曲线． （2）方法一：当直线斜率不存在时，， 代入得，故，易知；当直线斜率存在，设，与圆， 将方程代入，得，∴，，， ABS (,,)x y z =n 00BA BS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 00x x y hz =⎧⎨--+=⎩1z =(0,,1)h =n cos ,BD 〈〉==n 3SC =3SC =22143x y +=127-P 1PF r =24PF r =-12124PF PF F F +=>P 24a =2a =1c =23b =22:143x y E +=PQ :PQ x =E y =127AP AQ ⋅-=OP OQ ⊥PQ :PQ y kx m =+PQ O ()221217r m k =⇒=+PQ E ()2224384120k x kmx m +++-=122843km x x k +=-+212241243m x x k -=+()()()()221212*********OP OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++()()()2222222222141271218434343km m k k m m k k k +--+=-+=+++将代入，得，即， 综上，恒有，． 法二： 当直线斜率不存在时，，代入得，； 当直线斜率存在，设， ∵与圆，即． 将方程代入，得，∴，，， 同理可得， 故， 将，，及代入，可得． 综上． 22．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因为，所以， 设切点为，此时切线方程为， ()221217m k =+0OP OQ ⋅=OP OQ ⊥OP OQ ⊥2127AP AQ AP AQ OA ⋅=-⋅=-=-PQ:PQ x =Ey =2127AP AQ AP AQ OA ⋅=-⋅=-=-PQ :PQ y kx m =+PQ O r =()221217m k =+PQ E ()2224384120k x kmx m +++-=122843km x x k +=-+212241243m x x k -=+AP ===1==2AQ =+()221212712127k AP AQ m x x km x x =+++∣122843km x x k +=-+212241243m x x k -=+()221217m k =+127AP AQ ⋅=2127AP AQ AP AQ OA ⋅=-⋅=-=-1k ={1}ln ()(0)x f x x x =>21ln ()xf x x -'=000ln ,x P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()000200ln 1ln x x y x x x x --=-又直线过，所以，即， 令，则，且在上单调递增， 所以方程有唯一解，所以． （2）不等式恒成立，即不等式恒成立． 方法1：令，则，令，因为，所以， 所以有两个不等根，，，不妨设， 所以在上递减，在上递增， 所以．由，得，所以， 所以， 令，则，所以在上递增，在上递减，所以，又，所以，所以，所以，所以，实数a 的取值集合为． 方法2：令，则， 所以是函数的极值点，所以，即， 此时，，， 所以在上递减，在上递增．所以，符合题意，所以，实数a 的取值集合为．1y kx =-(0,1)-()000200ln 1ln 10x x x x x ---=-002ln 10x x +-=()2ln 1h x x x =+-(1)0h =()h x (0,)+∞002ln 10x x +-=01x =1k =ln ()1af x ax x≤--2ln ln 0ax x x a ---≥2()ln ln F x ax x x a =---221()ax x F x x--'=2()210G x ax x =--=0a >180Δa =+>()0G x =1x 2x 12102x x a=-<120x x <<()F x ()20,x ()2,x +∞()()2min 2222()ln F x F x ax x ax ==--()2222210G x ax x =--=22212x ax x +=()222211ln 22x x F x x -+=-22211ln 022x x x -+-≥111()ln ln 2ln(1)222x x xH x x x x -+-=-=+-+(1)(2)()2(1)x x H x x x -+'=-+()H x (0,1)(1,)+∞()(1)0H x H ≤=()20F x ≥()20F x =21x =1a ={1}2()ln ln F x ax x x a =---10()F F x a ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭1x a =()F x 10F a ⎛⎫'= ⎪⎝⎭1a =2()ln F x x x x =--221(1)(21)()x x x x F x x x---+'==()F x (0,1)(1,)+∞min ()(1)0F x F =={1}。

北京市崇文区2021届新高考第三次大联考数学试卷含解析

北京市崇文区2021届新高考第三次大联考数学试卷含解析

北京市崇文区2021届新高考第三次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( )A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件判断出数列{}1n S +是等比数列，求得其通项公式，由此求得n S . 【详解】由于()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，所以数列{}1n S +是等比数列，其首项为11112S a +=+=，第二项为212114S a a +=++=，所以公比为422=.所以12n n S +=，所以21n n S =-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.2．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，当(]0,1x ∈时，()axf x e =-（其中e 是自然对数的底数），若()2020ln 28f -=，则实数a 的值为( ) A ．3- B ．3C ．13-D ．13【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得a . 【详解】由已知可知，()()()2f x f x f x +=-=-，所以函数()f x 是一个以4为周期的周期函数， 所以()()()ln22020ln 2ln 2ln 228a a f f f e -=-=-===，解得3a =， 故选：B. 【点睛】本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题.3．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A ．14B ．15C ．25D ．35【答案】A 【解析】 【分析】由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解. 【详解】由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142，112，241，142，412.则恰好第三次就停止摸球的概率为51204p ==. 故选：A. 【点睛】本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题.4．在ABC ∆中，D 为AC 的中点，E 为AB 上靠近点B 的三等分点，且BD ，CE 相交于点P ，则AP =（ ）A ．2132AB AC + B ．1124AB AC + C ．1123AB AC +D ．2133AB AC +【答案】B 【解析】 【分析】设AP xAB y AC =+，则2AP xAB y AD =+，32xAP AE y AC =+， 由B ，P ，D 三点共线，C ，P ，E 三点共线,可知21x y +=，312xy +=,解得,x y 即可得出结果.【详解】设AP xAB y AC =+，则2AP xAB y AD =+，32xAP AE y AC =+， 因为B ，P ，D 三点共线，C ，P ，E 三点共线， 所以21x y +=，312x y +=，所以12x =，14y =.故选:B. 【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.5．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ）①与点D P 形成一条曲线，则该曲线的长度是2π；②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A 所成角的正切值取值范围是3⎢⎣；③若DP =，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】①与点D P 形成以1D 的14圆弧MN ，利用弧长公式，可得结论；②当P 在1A （或1)C 时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1)DC O ∠的正切值为3最小，当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠最大，可得正切值取值范围是；③设(P x ，y ，1)，则2213x y ++=，即222x y +=，可得DP 在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和． 【详解】 如图：①错误， 因为1D P ===，与点D 的点P 形成以1D 为圆心，的14圆弧MN ，长度为1242⋅=π； ②正确，因为面11//A DC 面1ACB ，所以点P 必须在面对角线11A C 上运动，当P 在1A （或1C ）时，DP与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1DC O ∠）的正切值为63最小（O 为下底面面对角线的交点），当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠的正切值为2最大，所以正切值取值范围是6,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③正确，设(),,1P x y ，则2213x y ++=，即222x y +=，DP 在前后、左右、上下面上的正投影长分别为21y +，21x +，22x y +，所以六个面上的正投影长度之()2222112112222622y x y x ⎛⎫+++++++≤+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当P 在1O 时取等号.故选：C .【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题． 6．在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====若CP C 12,Q ⋅=则ADC ∠=( ) A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π 【答案】C 【解析】 【分析】由23CP CB BP AD AB =+=--，12CQ CD DQ AB AD =+=--,利用平面向量的数量积运算,先求得,3BAD π∠=利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==， 23CP CB BP AD AB ∴=+=--，12CQ CD DQ AB AD =+=--,因为12CP CQ ⋅=, 所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22214323AB AD AB AD =++⋅222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ）A ．()B ．()C ．()D ．()【答案】A 【解析】 【分析】由已知先确定出双曲线方程为2213y x -=，再分别找到12F PF △为直角三角形的两种情况，最后再结合122PF PF -=即可解决.【详解】由已知可得22a =，2ca=，所以1,2,a c b ====2213y x -=，不妨设点P 在双曲线C 右支上运动，则122PF PF -=，当12PF PF ⊥时，此时221216PF PF +==122()2PF PF -+12PF PF ，所以126PF PF =， 122()PF PF +=22122PF PF ++1228PF PF =，所以12PF PF +27=；当2PF x ⊥轴时，221216PF PF =+，所以121682PF PF =+=，又12F PF △为锐角三 角形，所以12PF PF +()27,8∈. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到12F PF △为锐角三角形的临界情况，即12F PF △为直角三角形，是一道中档题.8．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ） A ．17种 B ．27种C ．37种D ．47种【答案】C 【解析】 【分析】由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解. 【详解】所有可能的情况有3464=种,其中最大值不是4的情况有3327=种,所以取得小球标号最大值是4的取法有642737-=种, 故选:C 【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.9．函数f(x)＝21xx e-的图象大致为() A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值(2)f可区分剩余两个选项. 【详解】因为f(－x)＝21xxe--≠f(x)知f(x)的图象不关于y轴对称，排除选项B，C.又f(2)＝214e-＝－23e<0.排除A，故选D.【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.10．已知实数,x y满足约束条件11220220xyx yx y≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪--≤⎩，则23x y-的最小值是A．2-B．72-C．1 D．4【答案】B【解析】【分析】【详解】作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，设23z x y=-，则2133y x z=-，易知当直线2133y x z=-经过点D时，z取得最小值，由1220xx y=-⎧⎨-+=⎩，解得112xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1(1,)2D-，所以min172(1)322z=⨯--⨯=-，故选B．11．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线24y x=上任意一点，M是线段PF上的点，且PM MF=，则直线OM的斜率的最大值为（）A ．1B ．12C ．22D ．5 【答案】A 【解析】 【分析】设200(,),(,)2y P y M x y p ，因为PM MF =，得到200,442y y p x y p =+=，利用直线的斜率公式，得到020002244OM y k y p y p y pp==++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，抛物线24y x =的焦点坐标为(,0)2pF ， 设200(,),(,)2y P y M x y p， 因为PM MF =，即M 线段PF 的中点，所以220001(),222442y y y p p x y p p =+=+=， 所以直线OM 的斜率020000221244OM y k y p y p y p y ppy p==≤=++⋅，当且仅当00y p y p=，即0y p =时等号成立， 所以直线OM 的斜率的最大值为1. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 12．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

新高考2021年高三数学高考三模试题卷三附答案解析

新高考2021年高三数学高考三模试题卷三附答案解析

新高考2021年高三数学高考三模试题卷三第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数z 满足，则z 的虚部是（ ） A ．B ．1C ．D ．i3．“”是“函数在上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．函数的最大值是（ ） A ．B ．C ．D ．5．垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等几方面的效益．已知某种垃圾的分解率与时间（月）满足函数关系式（其中，为非零常数）．若经过12个月，这种垃圾的分解率为，经过24个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解（分解率为）至少需要经过（ ）（参考数据） A ．120个月B ．64个月C ．52个月D ．48个月6．如图，是的直径，点、是半圆弧上的两个三等分点，，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数，且）的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为（ ） A ．12B ．10C ．8D ．98．，，，，五个人站成一排，则和分别站在的两边（可以相邻也可以不相邻）的概率为（ ）{}ln 1A x x =>{B x y ==()A B =R {}21x x -≤≤{}2x x e -≤≤{}21x x -<≤{}2x x e -<≤2i z z -=1-i -0m ≤()ln f x x mx =-(]0,122sin 2cos 3y x x =+-1-112-5-v t t v a b =⋅a b 10%20%100%lg 20.3≈AB O C D AB AB =a AC =bAD 12-a b 12-a b 12+a b 12+a b 2(0xy aa -=>1a ≠A A 221x y m n+=m n +A B C D E A C BA ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设等比数列的公比为q ，其前n 项和为，前n 项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．是数列中的最大值D ．数列无最大值10．在中，如下判断正确的是（ ） A ．若，则为等腰三角形 B ．若，则C ．若为锐角三角形，则D ．若，则11．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于，两点，则（ ）A ．的方程为B ．C ．的渐近线与圆相切D ．满足的直线有2条12．已知函数，若函数有6个不同零点，则实数的可能取值是（ ） A ．0 B ． C ．D ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．给出下列说法：①回归直线恒过样本点的中心； ②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变；④在回归直线方程中，当变量x 增加一个单位时，平均减少个单位． 161331035{}n a n S n T 11a >201920201a a >20192020101a a -<-20192020S S <2019202110a a -<2020T {}n T {}n T ABC △sin 2sin 2A B =ABC △A B >sin sin A B >ABC △sin cos A B >sin sin A B >A B >xOy P ()1F )2F 13P E ():2l y k x =-E A B E 2213x y -=E E 2221x y AB =l ln ,0()1,x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩(())y f f x a =+a 12-1-13-ˆˆˆybx a =+(),x y r ˆ20.5yx =-ˆy 0.5其中说法正确的是__________． 14．若，则被4除得的余数为__________． 15．有以下四个条件：①的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线； ②是偶函数；③在上不是单调函数； ④恰有两个零点．若函数同时满足条件②④，请写出它的一个解析式_____________；若函数同时满足条件①②③④，请写出它的一个解析式_____________．16．设函数的定义域为，若对任意，存在，使得， 则称函数具有性质，给出下列四个结论： ①函数不具有性质；②函数具有性质；③若函数，具有性质，则； ④若函数具有性质，则． 其中，正确结论的序号是________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①，；②，，两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列为等差数列，数列为等比数列，数列前项和为，数列前项和为，，，______．（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．()20222202201220222x a a x a x a x +=++++0242022a a a a +++()f x R ()f x ()f x ()0,∞+()f x ()f x =()g x =()y f x =D 1x D ∈2x D ∈12()()1f x f x ⋅=()f x M 3y x x =-M 2x x e e y -+=M 8log (2)y x =+[0,]x t ∈M 510t =3sin 4x ay +=M 5a =226a b +=3311+=a b 312S =531T ={}n a {}n b {}n a n n S {}n b n n T 11a =11b ={}n a {}n b n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n18．（12分）的内角，，的对边分别是，，． （1）求角的大小；（2）若，为边上一点，，且___________，求的面积．(从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答)19．（12分）在年的新冠肺炎疫情影响下，国内国际经济形势呈现出前所未有的格局．某企业统计了年前个月份企业的利润，如下表所示：（1）根据所给的数据建立该企业所获得的利润（万元）关于月份的回归直线方程，并预测年月份该企业所获得的利润；（2）企业产品的质量是企业的生命，该企业为了生产优质的产品投放市场，对于生产的每一件产品必须要经过四个环节的质量检查，若每个环节中出现不合格产品立即进行修复，且每个环节是相互独立的，前三个环节中生产的产品合格的概率为，每个环节中不合格产品所需要的修复费用均为元，第四个环节中产品合格的概率为，不合格产品需要的修复费用为元，设每件产品修复的费用为元，写出的分布列，并求出每件产品需要修复的平均费用．参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，为样本数据的平均值．20．（12分）图1是由正方形，，组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿折起使得E 与F 重合，如图2． （1）设平面平面，证明：；（2）若二面角的余弦值为，求长．ABC △A B C a b c sin cos c B C -=B 3b =D AC 2BD =ABC △BD B D AC 202020205ˆˆˆybx a =+202012121003450ξξˆˆˆybx a =+1221ˆni ii nii x y nxyb xnx==-=-∑∑ˆˆay bx =-x y ABCD ABE Rt △CDF Rt △2AB =ABE △CDF △,AB CD ABECDE l =//l CD A BE D --5AE21．（12分）已知函数，其中实数． （1）讨论的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．22．（12分）已知椭圆的左焦点为F ，过F 的直线与椭圆在第一象限交于M 点，O 为坐标原点，三角形． （1）求椭圆的方程；（2）若的三个顶点A ，B ，C 都在椭圆上，且O 为的重心，判断的面积是否为定值，并说明理由． 答 案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】依题意，，所以，因为，故，故选B ．2．【答案】A【解析】设，因为，可得， 则，可得，所以复数的虚部是，故选A ． 3．【答案】A【解析】由可得， 若在上为增函数，则在恒成立， 即在恒成立，则， ()axf x e ex =-0a ≠()f x 0x ≥()()21f x x ≥-a 22221(0)x y a b a b+=>>0x -=MFO ABC △ABC △ABC △{}{}ln 1A x x x x e =>=>{|}A x x e =≤R{{}2B x y x x ===≥-(){}2A B x x e =-≤≤R ()i ,z a b a b =+∈R 2i z z -=()i i 2i 2i z z a b a b b -=--+=-=22b -=1b =-z 1-()ln f x x mx =-1()f x m x'=-()ln f x x mx =-(]0,1()0f x '≥(]0,11m x≤(]0,11m，则可得“”是“函数在上为增函数”的充分而不必要条件，故选A ． 4．【答案】C【解析】，因为，所以当时等号成立， 所以函数的最大值是，故选C ． 5．【答案】C【解析】依题设有，解得，， 故．令，得，故，故选C ． 6．【答案】D【解析】连接、、，如图．由于点、是半圆弧上的两个三等分点，则，，则、均为等边三角形，，，，同理可知，(](],0,1-∞-∞0m ≤()ln f x x mx =-(]0,1()222sin 2cos 321cos 2cos 3y x x x x =+-=-+-22112cos 2cos 12(cos )22x x x =-+-=---1cos 1x ≤≤－1cos 2x =22sin 2cos 3y x x =+-12-()()1224120.1240.2v ab v ab ⎧==⎪⎨==⎪⎩1122b =0.05a =()1120.052tv t ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭()1v t =112220t⎛⎫= ⎪⎝⎭()11212121210.3lg 201lg 2log205210.3lg 2lg 212t ⨯++===≈=CD ODOC C D AB 60BOD COD AOC ∠=∠=∠=︒OA OC OD ==AOC △COD △60OAC OCD ∴∠=∠=︒OAC BOD ∴∠=∠//OD AC ∴//CD AB所以，四边形为平行四边形，所以，， 故选D ． 7．【答案】D【解析】由于函数，且）向右平移两个单位得，且），即为函数，且），所以定点，由于点在椭圆，所以，且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，故选D ． 8．【答案】B【解析】和分别站在的两边，则只能在中间3个位置，分类说明： （1）若站在左2位置，从，选一个排在左侧，剩余的3个人排在右侧， 故有种排法；（2）若站在3位置，从，选一个，从，选一个排在左侧，并排列，剩余的2个人排在右侧，故有种排法；（3）若站在右2位置，排法与（1）相同，即有12种排法； 所以和分别站在的两边的排法总共有种排法；，，，，五个人站成一排有种排法，故和分别站在的两边的概率，故选B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．【答案】AB【解析】当时，，不成立； 当时，，，不成立；故，且，，故，A 正确；AODC 12AD AO AC =+=+a b 1(0x y a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭1a ≠21(0x y a a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭1a ≠2(0xy aa -=>1a ≠()2,1A A 221x y m n +=411m n +=0m >0n >()414559n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭4n mm n=6m =3n =A C B B B A C B B 1323C A 232112=⨯⨯⨯=B A C D E B B 11222222C C A A 222216=⨯⨯⨯=B A C B 12161240++=A B C D E 55A 54321120n ==⨯⨯⨯⨯=A C B 4011203P ==0q <22019202020190a a a q =<1q ≥20191a ≥20201a >20192020101a a -<-01q <<20191a >202001a <<20202019S S >，故B 正确；是数列中的最大值，C 、D 错误，故选AB ． 10．【答案】BCD【解析】选项A ．在中，若，则或， 所以或，所以为等腰或直角三角形，故A 不正确； 选项B ．在中，若，则，由正弦定理可得，即，故B 正确； 选项C ．若为锐角三角形，则， 所以，所以，故C 正确； 选项D ．在中，若，由正弦定理可得， 即，所以，故D 正确， 故选BCD ． 11．【答案】CD【解析】令，即得，∴A 错误；又，，即，故B 错误， 由E 的渐近线为，而圆心为，半径为1，∴到距离为，故的渐近线与圆相切，故C 正确；联立曲线E 与直线的方程，整理得，，∴，，而代入整理2201920212020110a a a -=-<2019T {}n T ABC △sin 2sin 2A B =22A B =22πA B +=A B =2πA B +=ABC △ABC △A B >a b >2sin 2sin R A R B >sin sin A B >ABC △π2A B +>ππ022A B >>->πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭ABC △sin sin A B >22a bR R>a b >A B >(,)P x y 13=221,3x y x -=≠a =2c =3e =y x =2221x y (2,0)(2,0)y =1d ==E 2221xy l 2222(13)123(41)0k x k x k -+-+=210Δk =+>21221231k x x k +=-21223(41)31k x x k +=-12|AB x x =-=22)|||31|k AB k +==-即有或(由与)，故，∴D 正确， 故选CD ． 12．【答案】BD【解析】画出函数的图象：函数有零点，即方程有根的问题． 对于A ：当时，，故，，故，，，， 故方程有4个不等实根； 对于B ：当时，，故，当时，由图象可知，有1个根， 当时，由图象可知，有2个根， 当3个根， 故方程有6个不等实根； 对于C ：当时，， 故，，， 当时，由图象可知，有2个根， 当时，由图象可知，有2个根，21k =20k =0y =221,3xy x -=≠1k =±ln ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩(())y f f x a =+(())0f f x a +=0a =(())0f f x =()1f x =-()1f x =0x =2x =-1=x ex e =(())0f f x a +=12a =-1(())2f f x =1()2f x =-()f x =()f x =1()2f x =-()f x =()f x =(())0f f x a +=1a =-(())1f f x =()0f x =()f x e =1()f x e=()0f x =()f x e =当时，由图象可知，有3个根， 故方程有7个不等实根； 对于D ：当时，， 故，当时，由图象可知，有1个根， 当时，由图象可知，有2个根， 当3个根， 故方程有6个不等实根， 故选BD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】①②④【解析】对于①中，回归直线恒过样本点的中心，所以正确； 对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1， 所以是正确的；对于③中，根据平均数的计算公式可得，根据方差的计算公式，所以是不正确的； 对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少个单位，所以是正确的， 故答案为①②④． 14．【答案】1【解析】由题知，时，①，时，②，由①+②，得， 1()f x e=(())0f f x a +=13a =-1(())3f f x =2()3f x =-()f x =()f x =2()3f x =-()f x =()f x =(())0f f x a +=ˆˆˆybx a =+(,)x y ||r 744471x ⨯+==+()2217244 1.7528s ⎡⎤=⨯+-=<⎣⎦ˆ20.5yx =-x ˆy0.51x =-0123202120221a a a a a a -+-+-+=1x =2022012320223a a a a a +++++=()2022024********a a a a ++++=+故， 所以被4除得的余数是1，故答案为1．15．【答案】（答案不唯一），（答案不唯一）【解析】根据条件②④可得（答案不唯一），根据函数同时满足条件①②③④，可得（答案不唯一）．故答案为（答案不唯一），（答案不唯一）．16．【答案】①③【解析】依题意，函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质．①函数，定义域是R ，当时，显然不存在，使得，故不具备性质，故①正确；②是单调增函数，定义域是R ，， 当且仅当时等号成立，即值域为．对任意的，，要使得，则需，而不存在，使，故不具备性质，故②错误；③函数在上是单调增函数，定义域是，其值域为． 要使得其具有性质，则对任意的，，总存在，， 即，即，即，202210110242022111()(31)(91)488a a a a ++++=+=+()()101101011110101010110111011101110111011C 118118C 8C 8C 188⎡⎤=++=+++++⎣⎦()010*******10101101110111011118C 8884C C =++++()22f x x =-+()22g x x x =-++()22f x x =-+()22g x x x =-++()22f x x =-+()22g x x x =-++()y f x =D 1x D ∈2x D ∈12()()1f x f x ⋅=()f x M 3y x x =-10x =∈R 2x ∈R ()()121f x f x =M 2x x e e y -+=12x xe e y -+=≥=0x =[)1,+∞1>0x ()11f x >()()121f x f x ⋅=()21f x <2x ∈R ()21f x <2x xe e y -+=M ()8log 2y x =+[]0,t []0,t ()88log 2,log 2t ⎡⎤+⎣⎦M []10,x t ∈()()188log 2,log 2f x t ⎡⎤∈+⎣⎦[]20,x t ∈()()()()288188111,log 2,log 2log 2log 2f x t f x t ⎡⎤⎡⎤=∈⊆+⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≥⎪+⎪⎨⎪≤+⎪⎩8888log 2log (2)1log 2log (2)1t t ⨯+≤⎧⎨⨯+≥⎩()88log 2log 21t ⨯+=故，即，故，故③正确； ④若函数具有性质，定义域是R ，使得， 一方面函数值不可能为零，也即对任意的恒成立，而， 故或，在此条件下， 另一方面，的值域是值域的子集．的值域为；的值域为， 要满足题意，只需，， 时，，即； 时，，即， 故，即， 即，即，故．故④错误， 故答案为①③．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1），；（2）．【解析】选择①：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，，，得，解得， 所以，．（2）记；（1） 又，（2）()8821log 2log log 328t +===328t +=510t =3sin 4x ay +=M []sin 1,1x ∈-3sin 0x a +≠x []3sin 3,3x ∈-3a >3a <-43sin y x a =+3sin 4x ay +=3sin 4x a y +=33,44a a -+⎡⎤⎢⎥⎣⎦43sin y x a =+44,33a a ⎡⎤⎢⎥+-⎣⎦3434a a -≥+3434a a +≤-3a <-441,1334334a a a a ⋅≤⋅≥+-+-44133a a ⋅=+-3a >441,1334334a a a a ⋅≥⋅≤+-+-44133a a ⋅=+-44133a a ⋅=+-()()3316a a -+=2916a -=225a =5a =±32n a n =-12n nb -=()8682nn --+{}n a d {}n b ()0q q ≠11a =11b =226a b +=3311+=a b 2161211d q d q ++=⎧⎨++=⎩32d q =⎧⎨=⎩32n a n =-12n n b -=()121312123114272322n n n na a a a A nb b b b ---+=+++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯()()112312124272352322n n n A n n -----+-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯（1）（2），得， 所以， 所以，所以．选择②：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且． 由，，，，得，解得， 所以，．（2）记；（1） 又，（2）（1）（2），得， 所以， 所以，所以．18．【答案】（1）；（2）选择①：；选择②：． 【解析】（1，，，，则有， 又因为，所以． -()()12111322 (23222)n n n A n ---+-=++++--⋅()()121+12622 (2)322n n n A n ---+-=++++--⋅()()()1+11+111122263222612322112n n n n n A n n ---+-⎛⎫- ⎪⎝⎭=+--⋅=+---⋅-()8682nn A n -=-+{}n a d {}n b ()0q q ≠1q ≠11a =11b =312S =531T =()533121311d q q +=⎧⎨-=-⎩32d q =⎧⎨=⎩32n a n =-12n n b -=()121312123114272322n n n na a a a A nb b b b ---+=+++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯()()112312124272352322n n n A n n -----+-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯-()()12111322 (23222)n n n A n ---+-=++++--⋅()()121+12622 (2)322n n n A n ---+-=++++--⋅()()()1+11+111122263222612322112n n n n n A n n ---+-⎛⎫- ⎪⎝⎭=+--⋅=+---⋅-()8682nn A n -=-+π3B =2ABC S =△8ABC S =△sin cos c B C -()sin sin cos B C C B B C +-=sin sin sin B C C B =sin 0C ≠tan B =()0,πB ∈π3B =（2）选择条件①为的平分线，因为为的平分线，所以， 又因为， 所以， 又根据余弦定理得，即， 则有，即，解得或(舍)， 所以． 选择②为的中点，则，，， 则有，可得， 又根据余弦定理得，解得， 则． 19．【答案】（1），万元；（2）分布列见解析，修复的平均费用为元． 【解析】（1）由表格数据知，，， 由回归直线经过样本点的中心可知：，，则回归直线方程为， BD B BDB π6ABD DBC ∠=∠=ABC ABD BDC S S S =+△△△1π1π1πsin 2sin 2sin 232626ac a c =⨯+⨯()2a c =+2222cos b a c ac B =+-()293a c ac =+-()23934ac ac =-()24120ac ac --=6ac =2ac =-1sin 2ABCSac B ==D AC 32AD DC ==πBDA BDC ∠=-∠cos cos BDA BDC ∠=-∠22222233222233222222c a ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯⨯⨯⨯22252a c +=229a c ac +-=72ac =1sin 28ABC S ac B ==△9173ˆ22yx =+140.532521234535x ++++==90951051001101005y ++++==()()515222222221519029531054100511053100ˆ12345535i ii ii x y xy b x x==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯∴==++++-⨯-∑∑459102==(),x y 9ˆ10032a =⨯+173ˆ2a ∴=9173ˆ22yx =+预测年月份该企业所获得的利润为（万元）．（2）根据题意知所有可能取值为，，，，，，，，；；；；；；；，的分布列为：，即每件产品需要修复的平均费用为元．20．【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】（1）因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以．（2）因为，，所以，又，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，过E作于点O，则O是的中点，因为平面平面，平面，所以平面，以O为原点，与平行的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，202012917312140.522⨯+=ξ050100150200250300350 ()31332432Pξ⎛⎫∴==⨯=⎪⎝⎭()3111502432Pξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭()2231139100C22432Pξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭()2231113150C22432Pξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭()2131139200C22432Pξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭()2131113250C22432Pξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭()31333002432Pξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭()31113502432Pξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭ξ∴()05010015020025030032323232323232Eξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+135032⨯3252=3252//CD AB AB ABE CD⊂/ABE//CD ABECD⊂ECD ABE ECD l=//l CD//AB CD CD DE⊥AB DE⊥AB AE⊥AE DE E=AE⊂ADE DE⊂ADEAB⊥ADEAB ABCD ABCD⊥AED⊥EO AD ADABCD AED AD=EO⊂ADEEO⊥ABCDAB OD OEO xyz-设，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，取，则，所以平面的一个法向量；，，设平面的法向量为，则，即，取，则，同理可求得平面的一个法向量为， 所以，解得，当时，，二面角的平面角为钝角，舍去， 所以，此时，所以．21．【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1），当时，，故在上单调递减；EO h =(0,1,0)A -(0,1,0)D (2,1,0)B -(0,0,)E h (2,0,0)AB =(0,1,)AE h =(0,1,)ED h =-(2,2,0)BD =-ABE 1(,,)x y z =n 1100AB AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 200x y hz =⎧⎨+=⎩0,x y h ==1z =-ABE 1(0,,1)h =-n (0,1,)ED h =-(2,2,0)BD =-BDE 2222(,,)x y z =n 220ED BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 22220220y hz x y -=⎧⎨-+=⎩2x h =22,1y h z ==BDE 2(,,1)h h =n 121212cos ,⋅===⋅n n n n n n 2h =3h =21212122cos ,0-⋅====<⋅n n n n n n A BE D --2h =(0,1,2)AE =5AE =AE [)1,+∞()axf x ae e '=-0a <()0f x '<()f x (),-∞+∞当时，令，解得． 即在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2）当时，，则．下证：当时，不等式在上恒成立即可．当时，要证，即，又因为，即只需证．令，， 令，则，解得．故在区间上单调递减，在区间上单调递增，，，故．因此存在，使得．故在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．，，故成立．综上，的取值范围为．22．【答案】（1）；（2，理由见解析．【解析】（1）直线过左焦点F，则有， 所以且右焦点， 又，得， 代入直线方程有，所以．∴为直角三角形且，由椭圆定义，知，即， ∴椭圆的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，0a >()0f x '=1ln e x aa=()f x 1,ln e a a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1ln ,e a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1x =0a e e -≥1a ≥1a ≥()2(1)f x x ≥-[)0,+∞1a ≥()()21f x x ≥-2(1)0axe x ex ---≥ax x e e ≥2(1)0x e x ex ---≥2()(1)(0)xg x e x ex x =---≥()22xg x e x e '=-+-()22xh x e x e =-+-()20xh x e '=-=ln 2x =()g x '()0,ln 2()ln 2,+∞(0)30g e '=->(1)0g '=()ln 20g <()00,ln 2x ∈()00g x '=()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞(0)0g =(1)0g =()0g x ≥a [)1,+∞2214x y +=0x -=(F c =F '124OMF M S y ==△12My =M x =12M ⎫⎪⎭FMF '△90MF F '∠=︒12||||42a MF MF '=+==2a =2214x y +=BC BC 1x x =若，则，∵O 为的重心，可知，代入椭圆方程，得，， 即有A 到BC 的距离为， ∴； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设，，由，得，显然， ∴，， 则，∵O 为的重心，可知， 由A 在椭圆上，得，化简得，∴，由重心的性质知：A 到直线的距离d 等于O 到直线距离的3倍，即，∴， 综上得，．()11,B x y ()11,C x y -ABC △()12,0A x -211x =2134y =1||2||BC y ==3d =11||322ABC S BC d =⋅==△BC BC y kx m =+()11,B x y ()22,C x y 2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222148440k x kmx m +++-=0Δ>122841km x x k -+=+21224441m x x k -=+()121222241my y k x x m k +=++=+ABC △2282,4141km m A k k -⎛⎫⎪++⎝⎭2222182144141km m k k -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭22441m k =+1222||||414BC x x k m =-===+BC BC d =1||2ABC S BC d =⋅=△ABC △。

2021年高三第三次高考模拟考试 数学文 含答案

2021年高三第三次高考模拟考试 数学文 含答案

2021年高三第三次高考模拟考试数学文含答案考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知全集，集合，，那么集合（A）（B）（C）（D）2.复数等于（A）（B）（C）（D）3.已知，，，则（A）（B）（C）（D）4.已知直线和平面，则的一个必要条件是（A），（B），（C），（D）与成等角5.已知与之间的一组数据：已求得关于与的线性回归方程为＝2.1＋0.85，则的值为 （A ） （B ） （C ） （D ） 6. 在数列中，已知，则等于（A ） （B ） （C ） （D ） 7. 执行如图所示的程序框图，若输出，则框图中①处 可以填入（A ） （B ） （C ）（D ）8. 已知，其中实数满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值是 （A ） （B ） （C ）4 （D ）9. 已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于A , B 两点，且与其中一条渐近线垂直，若，则该双曲线的离心率是（A ） （B ） （C ） （D ）10. 已知函数，则下列结论正确的是 （A ）若，则（B ）函数的图象与的图象相同 （C ）函数的图象关于对称（D ）函数在区间上是增函数11. 已知一个正四面体的俯视图如图所示，其中四边形是边长为的正方形，则该正四面体的内切球的表面积为 （A ） （B ） （C ） （D ）12. 定义在上的函数满足下列两个条件：（1零点，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）xx年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（文史类）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13.从1,2,3,4,5,6这六个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 .14.若等边的边长为，平面内一点满足，则 .15.已知，则 .16.若在由正整数构成的无穷数列中，对任意的正整数，都有，且对任意的正整数，该数列中恰有个，则= .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）设的内角的对边分别为，满足)32(sin2(2-=．-+sin)cbCBca sinAb3（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的面积．18.（本小题满分12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题.（Ⅰ）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；（Ⅲ）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，，，为的中点，．A（Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积．20. （本小题满分12分）已知椭圆（）的左，右焦点分别为，上顶点为．为抛物线的焦点，且，0． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过定点的直线与椭圆交于两点（在之间），设直线的斜率为（），在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．21. （本小题满分12分）已知函数（）.（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）若，且关于的方程在上恰有两个不等的实根， 求实数的取值范围；（Ⅲ）设各项为正数的数列满足，（）， 求证：.请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22. （本小题满分10分）选修4－1如图，是⊙的一条切线，切点为，都是⊙的割线，． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）证明：．23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）.（Ⅰ）过极点作直线的垂线，垂足为点，求点的极坐标；（Ⅱ）若点分别为曲线和直线上的动点，求的最小值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）若关于的不等式的解集为，求实数的值；（Ⅱ）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.xx年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学答案（文史类）选择题:1B 2A 3A 4D 5D 6D 7B 8B 9D 10D 11A 12D填空题:13．14. 15. 16.45解答题:17.解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，整理得，…………………………2分所以．…………………………4分又，故．…………………………5分（Ⅱ）由正弦定理可知，又，，，所以．…………………………6分又，故或．………………………… 8分若，则，于是；………………………… 10分若，则，于是．………………………… 12分18.解：（Ⅰ）………………………………2分（Ⅱ）………………………………6分（Ⅲ）第1组：人（设为1，2，3，4，5，6）第6组：人（设为A，B，C）共有36个基本事件，满足条件的有18个，所以概率为…………12分19.解：（Ⅰ）取中点为，连接，．因为，所以．又，，所以平面，因为平面，所以．…3分 由已知，，又， 所以，因为， 所以平面．又平面，所以平面平面． (6)分 （Ⅱ）三棱锥的体积=三棱锥的体积 由（Ⅰ）知，平面平面,平面平面, , 平面 所以,即,即点到的距离, …………………………9分 ………………………… 11分 所以 ………………………… 12分 20. 解：（Ⅰ）由已知，，，所以． ……… 1分 在中，为线段的中点， 故，所以．……… 2分 于是椭圆的标准方程为．…4分 （Ⅱ）设（）， ，取的中点为．，，又，所以． ………………………… 6分 因为，所以，． ……… 8分 因为，所以，即，整理得． ………………………… 10分 因为时，，，所以． ……… 12分21.解：（Ⅰ）函数的定义域为， ，当时，取最大值 ……………………………………4分 （Ⅱ），由得在上有两个不同的实根， 设 ，时，，时， ，O02ln 21312ln 232)4()1(<-=+-=-g g ，得 则 ……………………………………8分（Ⅲ）由（1）知当时，。

2021年高三三模数学试卷含解析

2021年高三三模数学试卷含解析

2021年高三三模数学试卷含解析一、填空题（共14小题，每小题6分，满分84分）1．设集合A={3，m}，B={3m，3}，且A=B，则实数m的值是．2．已知复数z=（1+i）（1﹣2i）（i为虚数单位），则z的实部为．3．已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最小值是．4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示．已知在考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．解答：解：复数z=（1+i）（1﹣2i）=1﹣2i+i+2=3﹣i，∴z的实部为3．故答案为：3．点评：本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题．3．已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最小值是﹣3 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（﹣1，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣1）﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示．已知在故答案为：﹣4点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．6．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从9个数字中任选一个有9种结果，满足条件的事件是对数log2x是一个正整数，可以列举x，有1，2，4，8，共有4种结果，根据概率公式得到结果解答：解：从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，共有9种基本事件，其中log2x为整数的x=1，2，4，8共4种基本事件，故则log2x为整数的概率为，故答案为：．点评：本题考查古典概型，考查对数的性质，是一个比较简单的综合题，解题的关键是看清楚有几个数字使得对数的值是一个正整数．7．在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则F到双曲线的渐近线的距离为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求值．解答：解：抛物线x2=8y的焦点F（0，2），双曲线的渐近线方程为y=±3x，则F到双曲线的渐近线的距离为d==．故答案为：．点评：本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，主要考查焦点和渐近线方程的求法，考查点到直线的距离公式的运用，属于基础题．8．在等差数列{a n}中，若a n+a n+2=4n+6（n∈N*），则该数列的通项公式a n= 2n+1 ．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件易得数列的首项和公比，可得通项公式．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a n+a n+2=4n+6，①∴a n+2+a n+4=4（n+2）+6，②②﹣①可得a n+4﹣a n=8，即4d=8，解得d=2，把n=1代入a n+a n+2=4n+6可得2a1+4=10，解得a1=3，∴通项公式a n=3+2（n﹣1）=2n+1故答案为：2n+1点评：本题考查等差数列的通项公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．9．给出下列三个命题：①“a＞b”是“3a＞3b”的充分不必要条件；②“α＞β”是“cosα＜cosβ”的必要不充分条件；③“a=0”是“函数f（x）=x3+ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为③．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①“a＞b”⇔“3a＞3b”，即可判断正误；②取α=，β=，则cosα=cosβ；反之取α=，β=2π，满足cosα＜cosβ，即可判断出正误；③函数f（x）=x3+ax2（x∈R）为奇函数⇔f（﹣x）+f（x）=0⇔2ax2=0，∀x∈R，⇔a=0．即可判断出正误．解答：解：①“a＞b”⇔“3a＞3b”，因此“a＞b”是“3a＞3b”的充要条件，故不正确；②取α=，β=，则cosα=cosβ；反之取α=，β=2π，满足cosα＜cosβ，因此“α＞β”是“cosα＜cosβ”的既不必要也不充分条件，不正确；③函数f（x）=x3+ax2（x∈R）为奇函数⇔f（﹣x）+f（x）=0⇔2ax2=0，∀x∈R，⇔a=0．因此“a=0”是“函数f（x）=x3+ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件．因此其中正确命题的序号为③．故答案为：③．点评：本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V= cm3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：三视图复原几何体分两部分，下面是一个边长为1的正方体、上面是一个棱长为1的正四棱锥，分别计算出边长为1的正方体及棱长为1的正四棱锥的体积即可．解答：解：由三视图可知，该几何体下面是一个边长为1的正方体，其体积为1，上面是一个棱长为1的正四棱锥，其体积为=，故答案为：．点评：本题考查三视图与几何体的关系，考查空间想象能力、逻辑思维能力，注意解题方法的积累，属于基础题．11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧上的动点，则的最小值为5﹣2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：首先以A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，可设P（cos θ，sinθ），从而可表示出，根据两角和的正弦公式即可得到=5﹣2sin（θ+φ），从而可求出的最小值．解答：解：如图，以A为原点，边AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则：A（0，0），C（2，2），D（0，2），设P（cos θ，sinθ）；∴•（﹣cosθ，2﹣sinθ）=（2﹣cosθ）（﹣cosθ）+（2﹣sinθ）2=5﹣2（cosθ+2sinθ）=sin（θ+φ），tanφ=；∴sin（θ+φ）=1时，取最小值．故答案为：5﹣2．点评：考查建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，由点的坐标求向量坐标，以及数量积的坐标运算，两角和的正弦公式．12．已知函数若函数f（x）的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为（﹣5，0）．考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由分段函数知，分段讨论函数的单调性，从而求导可知f（x）在上是增函数，从而化为函数f（x）在与（1，+∞）上各有一个零点；从而求实数m的取值范围．解答：解：当0≤x≤1时，f（x）=2x3+3x2+m，f′（x）=6x2+6x=6x（x+1）≥0；故f（x）在上是增函数，故若使函数f（x）的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则函数f（x）在与（1，+∞）上各有一个零点；故m＜0，故，解得，m∈（﹣5，0）；故答案为：（﹣5，0）．点评：本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用，属于中档题．13．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣5，a）作圆x2+y2﹣2ax+2y﹣1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且+=0，则实数a的值为3或﹣2 ．考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：两者的和实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和，进而可得两斜率乘积为﹣1，可得P，Q，R，T共线，即可求出实数a的值．解答：解：设MN中点为Q（x0，y0），T（1，0），圆心R（a，﹣1），根据对称性，MN⊥PR，===，∵k MN=，+=0∴k MN•k TQ=﹣1，∴MN⊥TQ，∴P，Q，R，T共线，∴k PT=k RT，即，∴a2﹣a﹣6=0，∴a=3或﹣2．故答案为：3或﹣2．点评：本题考查实数a的值，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：设xy=m可得x=，代入已知可得关于易得一元二次方程（2+3m）y2﹣10my+m2+4m=0，由△≥0可得m的不等式，解不等式可得．解答：解：设xy=m，则x=，∵，∴++3y+=10，整理得（2+3m）y2﹣10my+m2+4m=0，∵x，y是正实数，∴△≥0，即100m2﹣4（2+3m）（m2+4m）≥0，整理得m（3m﹣8）（m﹣1）≤0，解得1≤m≤，或m≤0（舍去）∴xy的取值范围是故答案为：点评：本题考查基本不等式求最值，涉及换元的思想和一元二次方程根的存在性，属中档题．二、解答题（共5小题，满分76分）15．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）根据线面平行的判定定理进行证明即可．解答：解：（1）因三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，故B1C⊥BC1．…2分又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，故B1C⊥平面ABC1．…5分因B1C⊂平面BCC1B1，故平面ABC1⊥平面BCC1B1．…7分（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE．又D为A1C1的中点，故DF∥AC1，EF∥AB．因DF⊄平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，故DF∥面ABC1．…10分同理，EF∥面ABC1．因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，故平面DEF∥面ABC1．…12分因DE⊂平面DEF，故DE∥面ABC1．…14分．点评：本题主要考查空间直线和平面平行以及面面垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键．16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若，求的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由图可知A的值，由T=2=2π，可求ω==1，又，且，即可求得φ的值，从而可求函数f（x）的解析式．（2）由，得．从而由再根据二倍角公式即可求值．解答：解：（1）由图可知，A=2，…2分由T=2=2π，故ω==1，所以，f（x）=2sin（x+φ）．…4分又，且，故．于是，f（x）=．…7分（2）由，得．…9分所以，…12分=．…14分．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，属于基本知识的考查．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别为F1（，0），F2（，0），且经过点（，）．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．①求k1k2的值；②求OB2+OC2的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，c=，a2=b2+3，（，）代入椭圆方程，求出a，b，即可求椭圆的方程及离心率；（2）①利用斜率公式，即可求k1k2的值；②由①知，k3k4=k1k2=，故x1x2=﹣4y1y2．利用OB2+OC2=，求OB2+OC2的值．解答：解：（1）依题意，c=，a2=b2+3，…2分由，解得b2=1（b2=，不合，舍去），从而a2=4．故所求椭圆方程为：，离心率e=．…5分（2）①设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（﹣x1，﹣y1），于是k1k2===．…8分②由①知，k3k4=k1k2=，故x1x2=﹣4y1y2．所以（x1x2）2=（﹣4y1y2）2，即（x1x2）2==，所以，=4．…11分又2==，故．所以，OB2+OC2==5．…14分点评：本题考查椭圆方程与性质，考查斜率公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧上，CD∥AB；△OAB区域为文化展示区，AB长为m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200m．（1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？（2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC=2θ，试将运动休闲区ABCD的面积S表示为θ的函数，并求出S的最大值．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；导数的综合应用；解三角形．分析：（1）设OA=m，OB=n，m，n∈（0，200]，在△OAB中，利用余弦定理，结合基本不等式，即可得出结论；（2）利用梯形的面积公式，结合导数，确定函数的单调性，即可求出S的最大值．解答：解：（1）设OA=m，OB=n，m，n∈（0，200]，在△OAB中，，即，…2分所以，，…4分所以m+n≤100，当且仅当m=n=50时，m+n取得最大值，此时△OAB周长取得最大值．答：当OA、OB都为50m时，△OAB的周长最大．6分（2）当△AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形．过O作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，则E、F分别为AB，CD的中点，所以∠DOE=θ，由CD≤200，得．8分在△ODF中，DF=200sinθ，OF=200cosθ．又在△AOE中，，故EF=200cosθ﹣25.10分所以，==，．…12分令，，，，又y=及y=cos2θ在上均为单调递减函数，故f'（θ）在上为单调递减函数．因＞0，故f'（θ）＞0在上恒成立，于是，f（θ）在上为单调递增函数．…14分所以当时，f（θ）有最大值，此时S有最大值为．答：当时，梯形ABCD面积有最大值，且最大值为m2．…16分．点评：本题考查余弦定理，考查基本不等式的运用，考查利用导数知识解决最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知数列{a n}，{b n}，a1=1，b n=（1﹣），n∈N+，设数列{b n}的前n项和为S n（1）若a n=2n﹣1，求S n（2）是否存在等比数列{a n}，使b n+2=S n对任意n∈N+恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{a n}的通项公式；若不存在，说明理由（3）若a1≤a2≤…≤a n≤…，求证：0≤S n＜2．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过an=2n﹣1可得bn=，利用等比数列的求和公式计算即可；（2）设an=q n﹣1，通过b n+2=S2，令n=1即b3=b1计算可得q=±1，进而可得结论；（3）通过1=a1≤a2≤…≤an≤…，易得Sn≥0，利用放缩法可得b n≤2（﹣），并项相加即得结论．解答：（1）解：当an=2n﹣1时，bn=（1﹣）•=．∴Sn=（1+++…+）=﹣；（2）结论：满足条件的数列{an}存在且只有两个，其通项公式为an=1和an=（﹣1）n﹣1．证明：在b n+2=S2中，令n=1，得b3=b1．设an=q n﹣1，则bn=，由b3=b1，得=•．若q=±1，则bn=0，满足题设条件．此时an=1和an=（﹣1）n﹣1．若q≠±1，则=，即q2 =1，矛盾．综上，满足条件的数列{an}存在，且只有两个，一是an=1，另一是an=（﹣1）n﹣1．（3）证明：∵1=a1≤a2≤…≤an≤…，∴a n＞0，0＜≤1，于是0＜≤1．∴b n=（1﹣）≥0，n=1，2，3，…∴Sn=b1+b2+…+bn≥0，又b n=（1﹣）=（1+）（1﹣）•=（1+）（﹣）•≤2（﹣）．∴Sn=b1+b2+…+bn≤2（﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）=2（﹣）=2（1﹣）＜2，∴0≤Sn＜2．点评：本题考查求数列的通项，考查求数列的和，利用放缩法及并已改项相加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．29807 746F 瑯K6V34634 874A 蝊)33741 83CD 菍36143 8D2F 贯234719 879F 螟25342 62FE 拾I340608 9EA0 麠37844 93D4 鏔。

北京市2021届高三下学期3月学科综合能力测试数学试题 含答案

北京市2021届高三下学期3月学科综合能力测试数学试题 含答案

2020-2021学年北京市高三年级学科综合能力测试数学试题本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{1,2,3},{|(2)0}A B x x x ==-≥，则AB =（A ）{1,2} （B ）{1,3}（C ）{2,3}（D ）{1,23},（2）已知3log 2a =，0.12b =，123c =，则（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）b c a >>（D ）c b a >>（3）在复平面内，复数sin icos z θθ=+对应的点位于第二象限，则角θ的终边在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（4）在4(2)x -的展开式中，2x 的系数为（A ）6 （B ）12 （C ）24（D ）48（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最长棱为（A ）2 （B ）22 （C 6（D ）4（6）已知函数()|1||1|f x x a x =-++，则“1a =-”是“()f x 为奇函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）已知直线:30l ax by +-=经过点(,2)a b -，则原点到点(,)P a b 的距离可以是（A ）4 （B ）2 （C（D ）12（8）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知15a =-，31a =-．记nn nS b a =(1,2,)n =，则数列{}n b 的（A ）最小项为3b（B ）最大项为3b （C ）最小项为4b（D ）最大项为4b（9）抛物线2:8W y x =的焦点为F . 对于W 上一点P ，若W 的准线上只存在一个点Q ，使得FPQ △为等腰三角形，则点P 的横坐标为（A ）2 （B ）4 （C ）5（D ）6（10）在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11ADD A 内，且不在棱上，则（A ）在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQAC（B ）在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥ （C ）在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC 平面ABC（D ）在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQCD 1C 1B 1DC BA 1A第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市崇文区2021届新高考数学考前模拟卷(1)含解析

北京市崇文区2021届新高考数学考前模拟卷(1)含解析

北京市崇文区2021届新高考数学考前模拟卷（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}120B x x x =+-<，则集合A B 的真子集的个数是（ ） A ．8B ．7C ．4D ．3 【答案】D【解析】【分析】转化条件得{}0,1AB =，利用元素个数为n 的集合真子集个数为21n -个即可得解. 【详解】由题意得()(){}{}12012B x x x x x =+-<=-<<， ∴{}0,1A B =，∴集合A B 的真子集的个数为2213-=个.故选：D.【点睛】本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.2．已知函数22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩，则((1))f f -=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】【分析】根据分段函数直接计算得到答案.【详解】 因为22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩所以2((1))(2)222f f f -==-=. 故选：A .【点睛】本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.3．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是3y x =，则双曲线的离心率为（ ）A B ． C D【解析】双曲线的渐近线方程是1y x a=±，所以1a =1a b == ，2224c a b =+= ，即2c = ，c e a == D. 4．已知a b ，满足23a =，3b =，6a b ⋅=-,则a 在b 上的投影为（ ）A ．2-B ．1-C ．3-D ．2【答案】A【解析】【分析】 根据向量投影的定义，即可求解.【详解】 a 在b 上的投影为6cos 23a b a bθ⋅-===-. 故选:A【点睛】 本题考查向量的投影，属于基础题.5．已知01a b <<<，则（ ）A ．()()111b b a a ->-B ．()()211b b a a ->-C ．()()11a b a b +>+D ．()()11a b a b ->-【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案.【详解】因为01a <<，所以011a <-<，所以()1x y a =-是减函数，又因为01b <<，所以1b b >，2b b >， 所以()()111b b a a -<-，()()211b b a a -<-，所以A,B 两项均错；又111a b <+<+，所以()()()111a a ba b b +<+<+，所以C 错；对于D ，()()()111a b b a a b ->->-，所以()()11a b a b ->-，故选D.这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.6．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．17B ．5C ．3D ．2【答案】B【解析】【分析】 首先根据题中所给的三视图，得到点M 和点N 在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点M 、N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，将圆柱的侧面展开图平铺,可以确定点M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处， 224225+= B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.7．已知定义在[)1,+∞上的函数()f x 满足()()33f x f x =，且当13x ≤≤时，()12f x x =--，则方程()()2019f x f =的最小实根的值为（ ）A ．168B ．249C ．411D ．561 【答案】C【解析】【分析】先确定解析式求出(2019)f 的函数值，然后判断出方程()()2019f x f =的最小实根的范围结合此时的5()3f x x =-，通过计算即可得到答案.【详解】当1x ≥时，()()33f x f x =，所以22()3()3()33xx f x f f ===3()3n n x f =，故当 +133n n x ≤≤时，[1,3]3n x ∈，所以()13,233(12)33,23n n n n n n x x x f x x x +⎧-≥⋅=--=⎨-<⋅⎩，而 672019[3,3]∈，所以662019(2019)3(12)3f =--=732109168-=，又当13x ≤≤时， ()f x 的极大值为1，所以当+133n n x ≤≤时，()f x 的极大值为3n ，设方程()168f x =的最小实根为t ，45168[3,3]∈，则56533(3,)2t +∈，即(243,468)t ∈，此时5()3f x x =- 令5()3168f x x =-=，得243168411t =+=，所以最小实根为411.故选：C.【点睛】本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是一道有较好区分度的压轴选这题.8．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】 α，β是相交平面，直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β⊥或l //β或l ⊂平面β，即可判断出结论．【详解】解：已知直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β⊥或l //β或l ⊂平面β，∴ “l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件．故选：A.【点睛】本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力． 9．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x =-，则()2019f 的值为（ ） A ．2B ．0C ．2-D ．2± 【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性及题设中关于()g x 与()1f x -关系，转换成关于()f x 的关系式，通过变形求解出()f x 的周期，进而算出()2019f .【详解】()g x 为R 上的奇函数，()()()()010,g f g x g x ∴=-=-=-()()()10,11f f x f x ∴-=--=--，()()2f x f x ∴-=--而函数()f x 是R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()2f x f x ∴=--()()24f x f x ∴-=--，()()4f x f x ∴=-故()f x 为周期函数，且周期为4()()201910f f ∴=-=故选：B【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.10．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）A ．5B ．7C -D ．9- 【答案】D【解析】【分析】设x θ=，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．【详解】因为实数x ，y 满足2212x y +，设x θ=，sin y θ=，222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+2|cos 62cos 8|θθ-+，22cos 62cos 8(cos 32)100θθθ-+=-->恒成立，222222|2||67|sin cos 62cos 8962cos 962x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--，故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于962-. 故选：D ．【点睛】本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．11．函数1()1xx e f x e+=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】由题意得，函数点定义域为x ∈R 且0x ≠，所以定义域关于原点对称，且()1111()1111x x x x x x ee ef x f x e e e ----+++-===-=----，所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 故选D.12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．32 B ．32- C ．23 D ．23- 【答案】D【解析】【分析】根据等差数列公式直接计算得到答案.【详解】依题意，()()183********a a a a S ++===，故364a a +=，故33a =，故63233a a d -==-，故选：D ． 【点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京高三三模数学试题(解析版)

北京高三三模数学试题(解析版)

一、单选题1．如图，集合均为的子集，表示的区域为（ ）A B ､U ()U A B ⋂ðA ．IB ．IIC ．IIID ．IV【答案】D 【分析】由补集和交集的概念求解即可.【详解】由补集的概念，表示的区域如下图所示阴影区域，U A ð∴表示的区域为下图所示阴影区域，()U A B ⋂ð即为图中的区域Ⅳ.故选：D.2．在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（ ）A ．B ．C ．D ．()tan =f x x ()f x x =()2x f x =()2f x x =【答案】C【分析】A.利用正切函数的性质判断；B.利用绝对值函数的性质判断；C.利用指数函数的性质判断；D.利用二次函数的性质判断.【详解】解：A. 的增区间为，在整个定义域上不单调，故错误； ()tan =f x x πππ,π,Z 22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B.的增区间是，在整个定义域上不单调，故错误；()f x x =[0,)+∞C. 在R 上递增，故正确；()2x f x =D. 的增区间是，在整个定义域上不单调，故错误；()2f x x =[0,)+∞故选：C3．设，则的大小关系为（ ）0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c A ．B ．C ．D ． a b c <<b a c <<b<c<a c<a<b 【答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.,,a b c 【详解】因为，0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=所以.1c a b <<<故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； x y a =1a >01a <<（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； log a y x =1a >01a <<（3）借助于中间值，例如：0或1等.4．已知，则的值为（ ） tan 2x =tan 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．3B ．－3C ．D ． 1334-【答案】B【分析】利用两角和的正切公式求解.【详解】解：因为， tan 2x =所以， πtan tanπ214tan 3π41211tan tan 4x x x ++⎛⎫+===- ⎪-⋅⎝⎭-⋅故选：B5．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）2023年5月1日 12 350002023年5月15日 6035500注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升 【答案】D【分析】分析表中数据，得出行驶路径和耗油量，可计算结果.【详解】由表中的数据可知，行驶路径500千米耗油量为60升，则该车每100千米平均耗油量为升. 60125=故选：D6．已知，点C 在内，且.设||1,||0OA OB OA OB ==⋅= AOB ∠30AOC ∠=︒，则等于（ ） ()OC mOA nOB m n =+∈R 、m nA ．B ．3CD 13【答案】B【分析】由题意可得,建立坐标系，由已知条件可得，进而可得OA OB ⊥ ()OC m =. tan 30︒=【详解】解：因为， ||1,||0OA OB OA OB ==⋅= 所以,OA OB ⊥ 又因为点C 在内，且，AOB ∠30AOC ∠=︒建立如图所示的坐标系：则,,(1,0)OA = OB =又因为，()OC mOA nOB m n =+∈R 、所以，()OC m =所以， tan 30︒==所以. 3m n=故选：B.7．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则m R ∈A 0x my +=B 30mx y m --+=(,)P x y 的取值范围是PA PB +A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P 在(0,0),(1,3)A B (,)P x y m 2230x y x y +--=以AB 为直径的圆上，，所以，令PA PB ⊥222||||10PA PB AB +==,PA PB θθ==，则.因为，所以.所以4PA PB πθθθ+==+0,0PA PB ≥≥02πθ≤≤.选B. sin(14πθ≤+≤PA PB ≤+≤法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法PA PB ⊥一.【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.8．已知为无穷等差数列，则“存在且，使得”是“存在且，使{}n a *,i j ∈N i j ≠0+=i j a a 2k ≥*k ∈N 得”的（ ）0k a =A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据等差数列性质结合充分、必要条件分析判断.【详解】“存在且，使得”，不能推出“存在且，使得”， *,i j ∈N i j ≠0+=i j a a 2k ≥*k ∈N 0k a =例如，则，即，满足，32n a n =-121,1a a ==-1,2i j ==120i j a a a a +=+=但令，则，故不存在存在且，使得， 320k a k =-=*32k =∉N 2k ≥*k ∈N 0k a =故“存在且，使得”是“存在且，使得”的不充分条件； *,i j ∈N i j ≠0+=i j a a 2k ≥*k ∈N 0k a =若“存在且，使得”，则取，2k ≥*k ∈N 0k a =11,1i k j k =-≥=+则，1120i j k k k a a a a a -++=+==故“存在且，使得”是“存在且，使得”的必要条件； *,i j ∈N i j ≠0+=i j a a 2k ≥*k ∈N 0k a =综上所述：“存在且，使得”是“存在且，使得”的必要不充*,i j ∈N i j ≠0+=i j a a 2k ≥*k ∈N 0k a =分条件.故选：B.9．十八世纪，瑞士数学家欧拉研究调和级数时，得到了以下结果：当n 很大时，（其中为常数，其近似值为0.577）据此，可以估计1111ln 23n nγ++++=+ γ的值为（ ） 111200012000230000+++ A ．B ．C ．D ． 4ln10ln6ln23ln 2【答案】D 【分析】根据已知结论得两个等式相减即可得解. 【详解】由题意得,， 1111ln300002330000γ++++=+ 1111ln200002320000γ++++=+ 两式相减得，. 111300003ln 30000ln 20000ln ln 200012000230000200002+++=-== 故选：D ．10．如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若分别是到直线1l 2l O M ,p q M 1l 和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”.已知常数，给出下列命2l (,)p q M 0,0p q ≥≥题：①若，则“距离坐标”为的点有且仅有1个；②若，且，则“距离0p q ==(0,0)0pq =0p q +≠坐标”为的点有且仅有2个；③若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个.上述命题(,)p q 0pq ≠(,)p q 中，正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【分析】根据“距离坐标”的定义，依次分析各命题即可得答案.【详解】解：①，若，则“距离坐标”为的点是两条直线的交点O ，因此有且仅有10p q ==()0,0个，故正确.②，若，且，则“距离坐标”为或的点有且仅有2个，故正确. 0pq =0p q +≠()0,q (),0p ③若，则，“距离坐标”为的点有且仅有4个，为，如图，故0pq ≠0,0p q ≠≠(),p q 123,,,M M M M 正确.故正确的命题个数为3个.故选：D二、填空题11．若为有理数），则_______________．5(1a =+,a b a b +=【答案】120【分析】利用二项式定理展开并计算，再利用有理项、无理项求解作答.5(1【详解】由二项式定理得：1234555555513C 9C 76(1=+++++=+依题意，为有理数，因此，76a +=+,a b 76,44a b ==所以.120a b +=故答案为：12012．银行储蓄卡的密码由位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后位61数字，但记得密码的最后位是偶数，则在第一次没有按对的条件下第次按对的概率是12_________．【答案】/ 140.25【分析】根据条件概率公式直接计算即可.【详解】记事件：第一次没有按对密码；事件：第二次按对密码；A B ，，. ()45P A = ()411545P AB =⨯=()()()14P AB P B A P A ∴==故答案为：. 14三、双空题13．在中，内角所对的边分别是，已知，，则ABC ,,A B C ,,a b c 14b c a -=2sin 3sin B C =b c =_______，的值为________．cos A 【答案】 3214-【分析】利用正弦定理边角互化即可求得，利用余弦定理即可求得.b c cos A 【详解】因为中，，ABC 2sin 3sin B C =所以由正弦定理可得，即. 23b c =32b c =又因为，所以， 14b c a -=2a c =所以由余弦定理可得， ()2222223212cos 32422c c c b c a A bc c c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===-⨯⨯故答案为：； 3214-14．已知是数列的前项和，且对任意的正整数，都满足：，若，n S {}n a n n 11122n n n a a +-=+112a =则________，______________．3a =2023S =【答案】 11220232024【分析】直接利用条件可递推出第三项，利用累加法可得数列通项再用裂项相消法求和即可.【详解】由和可得： 11122n n n a a +-=+112a =21232311111146,612,a a a a a a -=⇒=∴-=⇒=即； 3a =112由可得：， 11122n n n a a +-=+()112211111112,21,...,4n n n n n n a a a a a a ----=-=--=累加得， ()()()124111111211n n n n a a a n n n n +--=⇒==-++所以. 20231111112023 (1223202320242024)S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：， 11220232024四、填空题15．已知曲线．:44C x x y y -=①若为曲线上一点，则；00(,)P x y C 0020x y ->②曲线在处的切线斜率为0；C ()0,1-③与曲线有四个交点；R,20m x y m ∃∈-+=C ④直线与曲线无公共点当且仅当．20x y m -+=C ((),0,m ∈-∞⋃+∞其中所有正确结论的序号是_____________．【答案】①②【分析】分、的符号情况化简曲线的方程，从而可画出曲线的图象，结合图象逐一分析即x y C C 可. 【详解】当，时，曲线的方程为 ，即，曲线是双曲线的一0x ≥0y ≥C 2244x y -=2214x y -=C 部分；当，时，曲线的方程为 ，即，曲线是椭圆的一部分； 0x ≥0y <C 2244x y +=2214x y +=C 当，时，曲线的方程为 ，曲线不存在；0x <0y ≥C 2244x y --=C 当，时，曲线的方程为 ，即，曲线是双曲线的一部分； 0x <0y <C 2244x y -+=2214x y -=C 双曲线和有一条共同的渐近线， 2214x y -=2214y x -=20x y -=综上，可作出曲线的图象，如图：C由图象可知曲线的图象上的点都在直线的下方，C 20x y -=所以当在曲线上时，有，故①正确；00(,)P x y C 0020x y ->设过点的直线的方程是，若直线与椭圆相切， ()0,1-l 1y kx =-l 2214x y +=则由得， 22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩221408()k x kx -+=，得； 2640k ∆==0k =若直线与双曲线相切， l 2214x y -=则由得，则且，得， 22114y kx x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩22(41)80k x kx --=2410k -≠2640k ∆==0k =此时直线的方程是，与曲线相切，故②正确；l 1y =-C 直线是表示与直线平行或重合的直线，20x y m -+=20x y -=由曲线的图象可知，直线与曲线不可能有四个交点，故③错误；C 20x y m -+=C 设直线与椭圆相切，则 20x y n -+=2214x y +=由得， 222014x y n x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩228440y ny n -+-=所以，解得的图象，取221632(4)0n n ∆=--=n =±C n =-即直线与曲线相切，20x y--=C 所以若直线与曲线无公共点，结合曲线的图象，20x y m -+=C C 或④错误.0m ≥m <-故答案为：①②.【点睛】方法点睛：1.曲线方程中带有绝对值，一般是分绝对值里的式子的符号讨论去绝对值；2.直线与曲线的交点问题常采用数形结合的方法.五、解答题16．在中，．ABC 76cos a b B =(1)若，求； 3sin 7A =B ∠(2)若，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使存在.求的面积 8c =ABC ABC条件①：； 条件②：sin 47A =sin B =【答案】(1)； 4π(2)【分析】（1）直接由正弦定理边化角，结合倍角公式即可求解；（2）若选①：由正弦定理及倍角公式得，不存在；若选②：先判断，再4sin 23B =ABC cos 0B >由，由及余弦定理求得，再计算面积即可. sin B =cos B 73a b =a 【详解】（1）由正弦定理得：，又，故，又7sin 6sin cos 3sin 2A B B B ==3sin 7A =sin 21B =，故，；()0,B π∈22B π=4B π=（2）若选①：由正弦定理得：，又，故，此时7sin 6sin cos 3sin 2A B B B ==sin 47A =4sin 23B =不存在；ABC若选②：由，又，，由余弦定理得7cos 06a B b =>sin B =1cos 2B ==73a b =，2222cos b a c ac B =+-即，解得或（舍去），故的面积为2276483a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭3a =245a =-ABC 1sin 2ac B =17．如图，在四棱锥中，底面，P ABCD -PA ⊥,,//ABCD AD AB AB DC ⊥，点为棱的中点． 2,1AD DC AP AB ====E PC（1）证明：；BE DC ⊥（2）求直线与平面所成角的正弦值；BE PBD （3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．F PC BF AC ⊥F AB P --【答案】（1）证明见解析；（2；（3． 【分析】（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明，；（2）向量法：先BE DC ⊥求平面的法向量，然后利用公式求直线与平面所成角PBD A 1sin cos ,n BE n BE n BEθ⋅==⋅ BE PBD 的正弦值；（3）向量法：先求平面和平面的法向量，再利用公式ABF PBA 12,n n 来求二面角的余弦值． 121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅ F AB P --【详解】依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，E (1,0,0),(2,2,0)B C ，由点为棱的中点，得．(0,2,0),(0,0,2)D P E PC ()1,1,1E（1）向量，，故． ∴．()0,1,1BE = ()2,0,0DC = 0BE DC ⋅= BE CD ⊥（2）向量，设为平面的法向量，则，即(1,2,0),(1,0,2)BD PB =-=- ()1,,n x y z = PBD 00n BD n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩， 2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩不妨令，可得为平面的一个法向量．1z =()2,1,1n = PBD于是有， cos ,||||n BE n BE n BE ⨯〈〉===⨯∴直线与平面 BE PBD （3），()2,2,2,(2,2,0),(1,0,0),CP AC AB =--==由点在棱上，故，F PC (12,22,2)BF BC CF BC lCP l l l =+=+=-- 由，得，解得，即． BF AC ⊥+22(12)(22=0)l l --34l =113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得1(,,)n x y z = ABF 1100n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩1z =为平面的一个法向量．取平面的法向量，则1(0,3,1)n =- ABF PAB 2(0,1,0)n =．121212cos ,n n n n n n ⋅===⋅易知，二面角是锐角，∴． F AB P --【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18．诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，下表为周实际回收水费周投入成本该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期 95% 98% 92% 88%第二个周期94% 94% 83% 80%第三个周期85% 92%95% 96%（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；X （2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量表示取出的3个数中“水X 站诚信度”超过的数据的个数，求随机变量的分布列和期望；91%X （3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.【答案】（1）（2）见解析（3）两次活动效果均好．详见解析91%【分析】（1）利用平均数公式能求出表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）随机变量的可能X取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望；（3）根据后继一X 周都有提升可得两次活动效果均好．【详解】（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数： . 959892889494838085929596191%12100x +++++++++++=⨯=（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，X ，， ()1212044464P X ==⨯⨯=()3211211444444P X ==⨯⨯+⨯⨯1231444464+⨯⨯=，， ()3213212444444P X ==⨯⨯+⨯⨯3233044464+⨯⨯=()32318344464P X ==⨯⨯=∴的分布列为：X X 0 12 3 P 132732 1532 932.（3）两次活动效果均好． 171590123232323232EX =⨯+⨯+⨯+⨯=理由：活动举办后，“水站诚信度”由和到看出，后继一周都有提升．88%94%→80%85%【点睛】本题考查平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要 认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．19．已知函数．()ln f x ax x x =-(1)当时，求的零点；1a =()f x (2)讨论在上的最大值；()f x []1,e (3)是否存在实数，使得对任意，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明a 0x >()f x a ≤a 理由．【答案】(1)e x =(2)答案见解析(3)存在，的取值范围是a 1a =【分析】（1）利用导函数判断的单调性，进而判断零点的情况即可；()f x （2）利用导函数判断在区间的单调性，进而求最值即可；()f x []1,e （3）由题意只需即可，利用（2）中结论即，利用导数求的范围即可.()max f x a ≤1e 0a a --≤a【详解】（1）的定义域为，()ln f x ax x x =-()0,∞+当时，，，1a =()ln f x x x x =-()ln f x x '=-所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， ()0,1x ∈()0f x ¢>()f x ()1,x ∈+∞()0f x '<()f x 又因为当时，，，0x →()0f x >()11f =()e 0f =所以仅有一个零点，.()f x e x =（2），令，解得，()1ln f x a x =--'()0f x '=1e a x -=在区间内，()0,∞+ x ()10,e a - 1e a - ()1e ,a -+∞ ()f x ' + 0-()f x 单调递增 极大值 单调递减当（即）时，在上单调递减，，1e 1a -≤1a ≤[]1,e ()f x ()max ()1f x f a ==当（即）时，在上单调递增，，1e e a -≥2a ≥[]1,e ()f x ()max ()e e e f x f a ==-当（即）时，在上单调递增，在上单调递减，11e e a -<<12a <<1e ,e a -⎡⎤⎣⎦()f x 11,e a -⎡⎤⎣⎦()f x ．()()1111max ()e e e 1e a a a a f x f a a ----==--=综上所述，当时，的最大值为，当时，的最大值为，当时，1a ≤()f x a 2a ≥()f x e e a -12a <<的最大值为.()f x 1e a -（3）由（2）知在上，， ()0,∞+()11max ()e e a a f x f --==构造函数，由题意应使， ()()11e e a a g a f a a --=-=-()0g a ≤，令，解得．()1e 1a g a -'=-()0g a '=1a = a (),1-∞ 1()1,+∞()g a ' - 0 +()g a 单调递减 极小值 单调递增所以，()min ()10g a g ==所以使的实数只有，即的取值范围是．()0g a ≤a 1a =a 1a =20．已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线C :2233x y +=()D 1,0()2,1E C A B 与直线交于点．AE 3x =M （Ⅰ）求椭圆的离心率；C （Ⅱ）若垂直于轴，求直线的斜率；AB x BM （Ⅲ）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．BM D E【答案】（ⅠⅡ）；（Ⅲ）平行，理由见解析． 1【详解】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先将椭圆方程化为标准方程，得到，，的值，再利用计算离心率；（Ⅱ）由直线的特殊位置，设出a b c c e a=AB A ，点坐标，设出直线的方程，由于直线与相交于点，所以得到点坐标，利用点B AE AE 3x =M M 、点的坐标，求直线的斜率；（Ⅲ）分直线的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，B M BM AB 第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线和直线的方程，将椭圆方AB AE 程与直线的方程联立，消参，得到和，代入到中，只需计算出等于即可证明AB 12x x +12x x 1BM k -0，即两直线平行.BM DE k k =试题解析：（Ⅰ）椭圆的标准方程为 . C 2213x y +=所以 ，a =1b =c =所以椭圆的离心率 C c e a ==（Ⅱ）因为过点 且垂直于轴，所以可设 ，.AB (1,0)D x 1(1,)A y 1(1,)B y -直线的方程为 .AE 11(1)(2)y y x -=--令，得 .3x =1(3,2)M y -所以直线的斜率 . BM 112131BM y y k -+==-（Ⅲ）直线与直线 平行.证明如下：BM D E 当直线的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知 .AB 1BM k =又因为直线的斜率 ，所以. D E 10121DE k -==-//BM DE 当直线的斜率存在时，设其方程为 .AB (1)(1)y k x k =-≠设， ，则直线的方程为. 11(,)A x y 22(,)B x y AE 1111(2)2y y x x --=--令，得点 . 3x =1113(3,)2y x M x +--由，得 . 2233{(1)x y y k x +==-2222(13)6330k x k x k +-+-=所以， . 2122613k x x k +=+21223313k x x k -=+直线的斜率 . BM 11212323BM y x y x k x +---=-因为 ()()()()()()()11212121131232132BM k x x k x x x x k x x -+--------=-- 121221(1)[2()3)(3)(2)k x x x x x x --++-=-- 2222213312(1)[3)1313(3)(2)k k k k k x x -+-+-++=--，0=所以.1BM DE k k ==所以.//BM DE 综上可知，直线与直线 平行.BM D E 【解析】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.21．若项数为的数列满足：，且存在()3N N ≥12:,,,N N A a a a ()*11,N 2,3,,i a a i N =∈= ，使得，则称数列具有性质P . {}2,3,,1M N ∈- {}{}11,2,111,2,1n n n M a a M n N +⎧≤≤-⎪-∈⎨--≤≤-⎪⎩N A (1)①若，写出所有具有性质P 的数列；3N =3A ②若，写出一个具有性质P 的数列；44,3N a ==4A(2)若，数列具有性质P ，求的最大项的最小值；2024N =2024A 2024A (3)已知数列均具有性质P ，且对任意，当时，1212:,,,,:,,,N N N N A a a a B b b b {},1,2,,i j N ∈ i j ≠都有．记集合，，求中元素个数的最小值.,i j i j a a b b ≠≠{}112,,,N T a a a = {}212,,,N T b b b = 12T T ⋂【答案】(1)①：，2，1或1，3，1或1，3，2；3A 1②：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）4A (2)1013(3)3【分析】（1）直接根据性质P 的概念一一列举即可；（2）根据性质P 及累加法得和，两式相加即可求解；M a M ≥2025M a M ≥-（3）根据性质P 及累加法得，，求出并集中元素个数的最大值，从而求出23M a N ≤-23M b N ≤-交集中的元素个数最小值.【详解】（1）①：，2，1或1，3，1或1，3，2；3A 1②：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）4A （2）当时，．2024N ={}2,3,,2023M ∈ 由，累加得；12111,1,,1M M a a a a a -=-≥-≥ M a M ≥又由，累加得；20242023202411,1,,1M M a a a a a +≥-≥-≥ 2025M a M ≥-相加得，又，所以.22025M a ≥*M a ∈N 1013M a ≥所以数列的最大项的最小值为1013，2024A M a 一个满足条件的数列为；()()1,2,,101320261014,1015,,2024n n n a n n ⎧=⎪=⎨-=⎪⎩ （3）由，累加得．12111,2,,2M M a a a a a -=-≤-≤ 21M a M ≤-又，所以，同理，，1M N ≤-23M a N ≤-23M b N ≤-所以，{}()12121,2,,23,card 23T T N T T N ⋃⊆-⋃≤- 因为，()()12card card T T N ==所以，()()()()121212card card card card 3T T T T T T ⋂=+-⋃≥所以中元素个数的最小值为3，一组满足条件的数列为12T T ⋂ ()()()()()11211,2,,1222,3,,12425n n n n n N a b n n N N n N N n N ⎧=⎧-=-⎪⎪==-=-⎨⎨-=⎪⎩⎪-=⎩ ，此时.{}121,24,25T T N N ⋂=--【点睛】思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题，关于新定义题的思路有：(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思；(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言；(3)将已知条件代入新定义的要素中；(4)结合数学知识进行解答.。

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北京市崇文区2021届新高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay +=的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,+∞ B．)+∞C．(,-∞D ．(),3-∞-【答案】D 【解析】 【分析】因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +，)(0)t >，将其代入双曲线可解得． 【详解】因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +)(0)t >，将其代入双曲线方程得：22(1))1t a ++=， 即2113t a -=+，由0t >得3a <-．故选：D ． 【点睛】本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 2．231+=-ii （ ） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 【答案】A 【解析】 【分析】分子分母同乘1i +,即根据复数的除法法则求解即可. 【详解】解:23(23)(1)151(1)(1)22i i i i i i i +++==-+--+, 故选:A 【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题.3．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24(,)e +∞ B ．24(0,)e C ．2(0,4)e D ．(0,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围.【详解】函数2xy x e =的导数为2'2(2)x x xy xe x e xe x =+=+，令'0y =，则0x =或2-，20x -<<上单调递减，(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，所以0或2-是函数y 的极值点， 函数的极值为：224(0)0,(2)4f f ee-=-==， 函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，则实数的取值范围是：24(0,)e . 故选B. 【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.4．若集合{}{,33A x y B x x ===-≤≤，则A B =（ ）A ．[]3,2-B ．{}23x x ≤≤ C ．()2,3 D ．{}32x x -≤<【答案】A 【解析】 【分析】先确定集合A 中的元素，然后由交集定义求解． 【详解】{{}{}2,33A x y x x B x x ===≤=-≤≤，{}32x x ∴A⋂B =-≤≤.故选：A ． 【点睛】本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键．5．若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ） A ．13B ．3C．3D【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】 解：30AOC ︒∠=3cos ,OC OA ∴<>=3OC OA OC OA⋅∴=()32mOA nOB OA mOA nOB OA+⋅∴=+ 2222322m OAnOB OAOA mnOA OBn OB OA+⋅=+⋅+ 1OA =，3OB =，0OA OB ⋅==229m n ∴=又C 在AB 上0m ∴>，0n >3m n∴= 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用． 6．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（ ）A ．35B ．45-C ．35D ．45【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得sin θ，根据二倍角公式即可求解. 【详解】角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合， 终边经过点()1,2P ，则||5,sin 5OP θ==， 23cos 212sin 5θθ∴=-=-.故选：A. 【点睛】本题考查三角函数定义、二倍角公式，考查计算求解能力，属于基础题.7．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）A ．37B ．47C ．57D ．67【答案】D 【解析】 【分析】由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解. 【详解】由题,窗花的面积为21241140-⨯=,其中小正方形的面积为5420⨯=, 所以所求概率1402061407P -==,故选:D【点睛】本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题. 8．下列不等式成立的是（ ） A ．11sincos 22> B ．11231122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．112311log log 32< D ．11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误. 【详解】 对于A ，1024π<<，11sin cos 22∴<，A 错误； 对于B ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，11231122⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误； 对于C ，1221log log 313=>，1331log log 212=<，112311log log 32∴>，C 错误； 对于D ，13y x =在R 上单调递增，11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎭∴⎝，D 正确.故选：D . 【点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.9．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为 ABC ．2D 【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．10．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[)4+∞，B ．[]06，C ．[]04，D ．[)6+∞，【答案】B 【解析】 【分析】根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围. 【详解】实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，画出可行域如下图所示：将线性目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，则将2y x =-平移，平移后结合图像可知，当经过原点()0,0O 时截距最小，min 0z =； 当经过()3,0B 时，截距最大值，max 2306z =⨯+=， 所以线性目标函数2z x y =+的取值范围为[]0,6， 故选：B. 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题. 11．已知函数2()ln(1)33x x f x x x -=++-，不等式()22(4)50f a x f x +++对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞ B ．(,2]-∞-C ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为2222444a x x x ⎫=-+++，利用双勾函数单调性求最值得到答案. 【详解】2()ln(1)33(),()x x f x x x f x f x --=++-=-是奇函数，22()1)33331x x x x f x x x x x--=++++=+--，易知2,331x x y y xy x -=+=-+=均为减函数，故()f x 且在R 上单调递减，不等式()2(50f f x ++，即()2(5f f x --，结合函数的单调性可得25x --，即224ax ⎫=-+， 设t=，2t≥，故1y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭单调递减，故max 52⎫-=-， 当2t =，即0x =时取最大值，所以52a -. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键.12．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】由A C B ⋃=可确定集合C 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案. 【详解】由A C B ⋃=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A 项. 【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量,a b 满足1a b ⋅=-，()23a a b -=，则a =______________. 【答案】1 【解析】 【分析】首先根据向量的数量积的运算律求出2a ，再根据2a a =计算可得；【详解】解：因为()23a a b -=， 所以223a a b -= 又1a b =- 所以21a =所以21a a ==故答案为：1 【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题.14．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有____人．【答案】750 【解析】因为，得，所以。

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