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矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案高等教育出版社

习题1 解答

1 •写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。

1 X = a cost, y = bsint

2 X = 3sin t, y = 4sin t,z = 3cost

1 r =acosti bsintj ,其图形是Xoy 平面上之椭圆。

2 r = 3sin ti 4sin tj 3costk ,其图形 是平面4x-3y = 0与 圆柱面

z -32之交线，为一椭圆。

2.设有定圆0与动圆c ,半径均为a ,动圆在定圆外相切而滚动， 求动圆上一定点 M

所描曲线的矢量方程。

解：设M 点的矢径为O^ = ^Xi yj , Z AOC=二 2)-二；因

OM -OC CM 有

r = xi yj = 2a cosri 2asin ∏ j a cos 2v -二 i asin 2 - ■: j

则 X = 2acos ■- acos2^,

目=2asin ) - asin2^.

故 r=(2acos - acos2^ )i (2asi^ - asin2 ) j

2

4.求曲线x=t, y = t 2,z

t 3的一个切向单位矢量 .。

3

2

2 3

解：曲线的矢量方程为

-

ti tj 2tk

dr . . 2

则其切向矢量为dt = i 2tj 2t k

dr

2

4 2

模为

I

d t Pl

4t 4t

=1 2t

dr ι dr i + 2tj + 2t 2k

于是切向单位矢量为不门頁F 1 2t

2

2

Tl

6.求曲线X =asin t,y =asin2t,z = acost,在t

处的一个切向矢量。

解:

CM 与X 轴的夹角为

解：曲线矢量方程为

r = asirnti asin2j acoSk

dr

切向矢量为

asin2ti 2acoslj -asirtk

dt

7.求曲线X = t 2 • 1, y = 4t - 3, z = 2t 2 - 6t 在对应于t = 2的点M 处的切线方程和 法平面方程。

解：由题意得M (5,5,-4),曲线矢量方程为 ^(t 2 1)i (4t- 3)j ∙ (2t 2

- 6t)k,

=[2ti 4j (4t - 6)k]t ^≡4i 4j 2k

t =2

于是切线方程为宁=宁=宁,即号=号

于是法平面方程为 2(x - 5) • 2( y - 5) ∙ (z • 4) = 0 ,即

2x 2y z -16 = 0

2

3

&求曲线 ^titjt k 上的这样的点，使该点的切线平行于平面 X ∙ 2y ∙ z = 4。

dr

解：曲线切向矢量为.== i 2tj 3t 2k ,

⑴

dt

平面的法矢量为n =i 2j k ,由题知

2 2

=i 2tj 3t k i i i 2 j k = 1 4t 3t = 0

将此依次代入⑴式，得

I 1 1

1

故所求点为"1,.°9,p

习题2 解答

1 •说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。

在处

，.=dr

4

d t

ai 一 a-∑k

2

在t=2的点M 处，切向矢量E =竺

dt

|t — = -i

1 1 1 j k

,心…3i 9j

27

k

1

AX By CZ D

(2 )u =arcsin-Z2 J X +y

解：1场所在的空间区域是除AX By CZ 0外的空间。

等值面为

1 1

=C1或Ax+ By+ Cz+D - =O(C I Ho为任意常数)，这是与平AX By CZ D 6

面AX By CZ ^O平行的空间。

2场所在的空间区域是除原点以外的Z2乞X2∙ y2的点所组成的空间部分。

等值面为Z2=(χ2 y2)sin2c,(χ2 y2 = 0)，

当SinC = O时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外) ；

当SinC=O时，是除原点外的XOy平面。

2•求数量场u=°-经过点M 1,1,2的等值面方程。

Z

解：经过点M 1,1,2等值面方程为

2 2 2 2

X y 1 1

U 1 ,

Z 2

即Z = X2 y2 ,是除去原点的旋转抛物面。

3.已知数量场U=Xy，求场中与直线X 2y - 4 =0相切的等值线方程。

解：设切点为x°,y°,等值面方程为Xy=C=X°y°,因相切，则斜率为

V 1

k 0,即X o = 2y o

X o 2

点X0,y0在所给直线上，有

X o 2y°-4 = 0

解之得y0= 1,x0 =2

故 xy = 2

4.求矢量 A = xy 2i x 2yj zy 2k 的矢量线方程。 解矢量线满足的微分方程为

A dr = 0 ,

亠 dx dy dz

或 ___

2 2 2

Xy Xy Zy

C 2

2

X -y z = C 2

x

5.求矢量场 ^χ2i y 2 j (X y)zk 通过点M (2,1,1)的矢量线方程。

有XdX

ydy,

dx X dz Z

C

1,

(C ,C 为任意常数

dx

dy dz 厂(X y)z

dy 2

得1 =

=16 ,

y X y

按等比定理有d(2X -y

X -y

dz

,即d(x 一 y L 史.解得 (X y)z X

- y Z

X- y = C 2

z.

1 1 S - =—+ C 1 ,

X y

X -y = C 2z

,C 2=

1

丄1 1

故所求矢量线方程为 ^"7

2.

I X _y = Z

习题3解答

1 •求数量场U= X 2z 3 ■ 2y 2z 在点M 2,0, -1处沿I= 2xi - xy 2j ∙ 3z 4k 的方向导 数。

解：因丨M =(2xi -x

y 2

j +3z 4k I ” =4i +3k ,其方向余弦为

cos ： =4

,cos ： = 0,cos =—. 5 5

解矢量线满足的微分方程为

dx 2

X

故矢量线方程为

又M (2,1,1)求得C