矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案高等教育出版社.docx
电磁场与电磁波第四版课后思考题答案第四版全谢处方饶克谨高等教育出版社
电磁场与电磁波第四版课后思考题答案第四版全谢处方饶克谨高等教育出版社2.1点电荷的严格定义是什么？点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很的带电小球的极限。
当带电体的尺寸远小于观察点至带电体的距离时，带电体的形状及其在的电荷分布已无关紧要。
就可将带电体所带电荷看成集中在带电体的中心上。
即将带电体抽离为一个几何点模型，称为点电荷。
2.2研究宏观电磁场时，常用到哪几种电荷的分布模型？有哪几种电流分布模型？他们是如何定义的？常用的电荷分布模型有体电荷、面电荷、线电荷和点电荷；常用的电流分布模型有体电流模型、面电流模型和线电流模型，他们是根据电荷和电流的密度分布来定义的。
2,3点电荷的电场强度随距离变化的规律是什么？电偶极子的电场强度又如何呢？点电荷的电场强度与距离r的平方成反比；电偶极子的电场强度与距离r的立方成反比。
E/和E0所表征的静电场特性2.4简述/表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。
E0表明静电场是无旋场。
E2.5表述高斯定律，并说明在什么条件下可应用高斯定律求解给定电荷分布的电场强度。
高斯定律：通过一个任意闭合曲面的电通量等于该面所包围的所有电量的代数和除以与闭合面外的电荷无1关，即ES在电场（电荷）分布具有某些对称性时，可应用高斯定律求解给定电荷分ddVS0V布的电场强度。
2.6简述BB0表明穿过任意闭合面的磁感应强度的通量等于0，磁力线是无关尾的闭合线，J表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源B00和BJ0所表征的静电场特性。
2.7表述安培环路定理，并说明在什么条件下可用该定律求解给定的电流分布的磁感应强度。
安培环路定理：磁感应强度沿任何闭合回路的线积分等于穿过这个环路所有电流的代数和倍，即B0I如果电路分布存在某种对称性，则可用该定理求解给定电流分布的磁感应强度。
dl2.8简述电场与电介质相互作用后发生的现象。
《电磁场与电磁波》第4版(谢处方 编)课后习题答案 高等教育出版社七章习题解答
都是实数，故 也是实数。
反射波的电场为
可见，反射波的电场的两个分量的振幅仍相等，相位关系与入射波相比没有变化，故反射波仍然是圆极化波。但波的传播方向变为-z方向，故反射波也变为右旋圆极化波。而入射波是沿+z方向传播的左旋圆极化波。
透射波的电场为
式中， 是媒质2中的相位常数。可见，透射波是沿+z方向传播的左旋圆极化波。
解（1）设反射波的电场强度为
据理想导体的边界条件，在z=0时应有
故得
则
可见，反射波是一个沿 方向传播的左旋圆极化波。
（2）入射波的磁场为
反射波的磁场为
故合成波的磁场为
则导体板上的感应电流为
（3）合成电场的复数表示式为
故其瞬时表示式为
7.26如题7.26图所示，有一正弦均匀平面波由空气斜入射到z=0的理想导体平面上，其电场强度的复数表示式为
题7.16图
解天线罩示意图如题7.16图所示。介质板的本征阻抗为 ，其左、右两侧媒质的本征阻抗分别为 和 。设均匀平面波从左侧垂直入射到介质板，此问题就成了均匀平面波对多层媒质的垂直入射问题。
设媒质1中的入射波电场只有x分量，则在题7.16图所示坐标下，入射波电场可表示为
而媒质1中的反射波电场为
与之相伴的磁场为
利用题7.16导出的公式（9），分界面②上的等效波阻抗为
应用相同的方法可导出分界面③上的等效波阻抗计算公式可得
（1）
式中的 是良导体中波的传播常数， 为双曲正切函数。将 代入式（1），得
（2）
由于良导体涂层很薄，满足 ，故可取 ，则式（2）变为
（3）
分界面③上的反射系数为
可见，欲使区域（1）中无反射，必须使
故由式（3）得
电磁场与电磁波第四版课后思考题答案第四版全 谢处方饶克谨 高等教育出版社
2.1点电荷的严格定义是什么？ 点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很的带电小球的极限。
当带电体的尺寸远小于观察点至带电体的距离时，带电体的形状及其在的电荷分布已无关紧要。
就可将带电体所带电荷看成集中在带电体的中心上。
即将带电体抽离为一个几何点模型，称为点电荷。
2.2 研究宏观电磁场时，常用到哪几种电荷的分布模型？有哪几种电流分布模型？他们是如何定义的？ 常用的电荷分布模型有体电荷、面电荷、线电荷和点电荷；常用的电流分布模型有体电流模型、面电流模型和线电流模型，他们是根据电荷和电流的密度分布来定义的。
2,3点电荷的电场强度随距离变化的规律是什么？电偶极子的电场强度又如何呢？点电荷的电场强度与距离r 的平方成反比；电偶极子的电场强度与距离r 的立方成反比。
2.4简述和 所表征的静电场特性 表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。
表明静电场是无旋场。
2.5 表述高斯定律，并说明在什么条件下可应用高斯定律求解给定电荷分布的电场强度。
高斯定律：通过一个任意闭合曲面的电通量等于该面所包围的所有电量的代数和除以 与闭合面外的电荷无布的电场强度。
2.6简述 和 所表征的静电场特性。
表明穿过任意闭合面的磁感应强度的通量等于0，磁力线是无关尾的闭合线， 表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源 2.7表述安培环路定理，并说明在什么条件下可用该定律求解给定的电流分布的磁感应强度。
安培环路定理：磁感应强度沿任何闭合回路的线积分等于穿过这个环路所有电流的代数和 倍，即2.8简述电场与电介质相互作用后发生的现象。
在电场的作用下出现电介质的极化现象，而极化电荷又产生附加电场2.9极化强度的如何定义的？极化电荷密度与极化强度又什么关系？ 单位体积的点偶极矩的矢量和称为极化强度，P 与极化电荷密度的关系为 极化强度P 与极化电荷面的密度 2.10电位移矢量是如何定义的？在国际单位制中它的单位是什么 电位移矢量定义为 其单位是库伦/平方米 （C/m 2） 2.11 简述磁场与磁介质相互作用的物理现象？ ερ/=•∇E ρ0=⨯∇E ρερ/=•∇E ρ0=⨯∇E ρVS 00=⋅∇B ρJ B ρρ0μ=⨯∇0=⋅∇B ρJ B ρρ0μ=⨯∇0μC P ρ•∇=-p ρnsp e ρρ•=P ρE P ED ρρρρεε=+=0在磁场与磁介质相互作用时，外磁场使磁介质中的分子磁矩沿外磁场取向，磁介质被磁化，被磁化的介质要产生附加磁场，从而使原来的磁场分布发生变化，磁介质中的磁感应强度B 可看做真空中传导电流产生的磁感应强度B 0 和磁化电流产生的磁感应强度B ’ 的叠加，即 2.12 磁化强度是如何定义的？磁化电流密度与磁化强度又什么关系？ 单位体积内分子磁矩的矢量和称为磁化强度；磁化电流体密度与磁化强度： 磁化电流面密度与磁化强度： 2.13 磁场强度是如何定义的？在国际单位制中它的单位是什么？2,14 你理解均匀媒质与非均匀媒质，线性媒质与非线性媒质，各向同性与各向异性媒质的含义么？ 均匀媒质是指介电常数 或磁介质磁导率 处处相等，不是空间坐标的函数。
《电磁场与电磁波》第4版(谢处方 编)课后习题答案 高等教育出版社三章习题解答
三章习题解答3.1 真空中半径为a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q 和q -，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。
解 由点电荷q 和q -共同产生的电通密度为33[]4q R R π+-+-=-=R R D 22322232()(){}4[()][()]r z r z r z a r z a q r z a r z a π+-++-+-++e e e e 则球赤道平面上电通密度的通量d d zz SSS Φ====⎰⎰D S D e22322232()[]2d 4()()aq a ar r r a r a ππ--=++⎰22121)0.293()aqaq q r a ==-+ 3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为a r 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电子云，在球心有一正电荷Ze （Z 是原子序数，e 是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314ra Ze r r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D e ，试证明之。
解 位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为 124rZer π=D e 原子内电子云的电荷体密度为 333434a a Ze Zer r ρππ=-=- 电子云在原子内产生的电通量密度则为 32234344r r a r Ze r r r ρπππ==-D e e 故原子内总的电通量密度为 122314r a Ze r r r π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭D D D e3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为30C m ρ, 两圆柱面半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题3.3图()a 所示。
求空间各部分的电场。
解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。
但可把半径为a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，而在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布，如题3.3图()b 所示。
矢量分析与场论
i
F ds lim F P ds
S N i 1 i N S N i 1 i
i
L
F dl lim F Pi
N i 1
N
dli
F ds lim F P ds
i
标 量 场
标量场：随空间和时间变化的单值标量函数，如温度场。
ˆ cos cos cos G l l x y z
显然，在直角坐标系中有
ˆ grad G x ˆ ˆ y z x y z
矢 量 场
矢量场：随空间和时间变化的单值矢量函数，如流速场。
一年四季大气流速分布
F t F t0 ，则称 F 在 t0处连续。 连续：若 lim t t
0
F t F0 ，则称 lim F t F0 。 t t
0
导数：
增量： F F t t F t
F t
F
dF F 可导： lim t 0 t dt lim F t t F t t
a e a j m a
x ,y ,z
ˆe a j
x ,y ,z
ˆm a
矢 量 代 数
运算规则：当以坐标分量表示时，形式上与实矢量运算 规则相同。 但是没有任何几何意义！
ˆ ay by z ˆ a x bx y ˆ a z bz abx ˆ ay by z ˆ a x bx y ˆ a z bz ab x
f f x1, x 2 , x 3, x 4 , f f x1, x 2 , x 3, x 4 ,
《电磁场与电磁波》第4版(谢处方 编)课后习题答案 高等教育出版社三章习题解答
三章习题解答3.1 真空中半径为a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q 和q -，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。
解 由点电荷q 和q -共同产生的电通密度为33[]4q R R π+-+-=-=R R D 22322232()(){}4[()][()]r z r z r z a r z a q r z a r z a π+-++-+-++e e e e 则球赤道平面上电通密度的通量d d zz SSS Φ====⎰⎰D S D e223222320()[]2d 4()()aq a ar r r a r a ππ--=++⎰ 22121)0.293()aqaq q r a =-=-+ 3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为a r 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电子云，在球心有一正电荷Ze （Z 是原子序数，e 是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314ra Ze r r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D e ，试证明之。
解 位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为 124rZer π=D e 原子内电子云的电荷体密度为333434a a Ze Zer r ρππ=-=- 电子云在原子内产生的电通量密度则为 32234344r ra r Ze rr r ρπππ==-D e e 故原子内总的电通量密度为 122314ra Ze r r r π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭D D D e 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为30C m ρ, 两圆柱面半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题3.3图()a 所示。
求空间各部分的电场。
解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。
但可把半径为a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，而在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布，如题 3.3图()b 所示。
《电磁场与电磁波》第4版(谢处方_编)课后习题答案_高等教育出版社
1 1 ( ) 2 d y dz ( ) 2 d y dz 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 x 2 ( ) 2 d x dz 2 x 2 ( ) 2 d x d z 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 24 x y ( )3 d x d y 24 x 2 y 2 ( )3 d x d y 2 2 24 1 2 1 2 1 2 1 2
1 r 42 32 5 、 tan (4 3) 53.1 、 2 3 120 故该点的球坐标为 (5,53.1 ,120 ) 1.9 用球坐标表示的场 E e 25 ， r r2 （1）求在直角坐标中点 (3, 4, 5) 处的 E 和 E x ；
（2） 在球坐标系中
故 PP 为一直角三角形。 1 2P 3
1 1 1 R1 2 R 2 3 R 1 2 R 2 3 1 7 6 9 17.13 2 2 2 1.3 求 P(3,1, 4) 点到 P(2, 2,3) 点的距离矢量 R 及 R 的方向。 解 rP ex 3 e y ez 4 ， rP ex 2 e y 2 ez 3 ，
（2）三角形的面积
S
则
RPP rP rP ex 5 e y 3 ez
且 RPP 与 x 、 y 、 z 轴的夹角分别为
1.4
ex RPP 5 ) cos 1 ( ) 32.31 RPP 35 e R 3 y cos 1 ( y P P ) cos 1 ( ) 120.47 RPP 35 e R 1 z cos 1 ( z PP ) cos 1 ( ) 99.73 RPP 35 给定两矢量 A ex 2 e y 3 ez 4 和 B ex 4 e y 5 ez 6 ，求它们之间的夹角和
电磁场与电磁波第四课后思考题答案第四版全谢处方饶克谨高等教育出版社
2.1点电荷的严格定义是什么？ 点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很的带电小球的极限。
当带电体的尺寸远小于观察点至带电体的距离时，带电体的形状及其在的电荷分布已无关紧要。
就可将带电体所带电荷看成集中在带电体的中心上。
即将带电体抽离为一个几何点模型，称为点电荷。
2.2 研究宏观电磁场时，常用到哪几种电荷的分布模型？有哪几种电流分布模型？他们是如何定义的？ 常用的电荷分布模型有体电荷、面电荷、线电荷和点电荷；常用的电流分布模型有体电流模型、面电流模型和线电流模型，他们是根据电荷和电流的密度分布来定义的。
2,3点电荷的电场强度随距离变化的规律是什么？电偶极子的电场强度又如何呢？点电荷的电场强度与距离r 的平方成反比；电偶极子的电场强度与距离r 的立方成反比。
2.4简述 和 所表征的静电场特性表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。
表明静电场是无旋场。
2.5 表述高斯定律，并说明在什么条件下可应用高斯定律求解给定电荷分布的电场强度。
关，即 在电场（电荷）分布具有某些对称性时，可应用高斯定律求解给定电荷分布的电场强度。
2.6简述 和 所表征的静电场特性。
表明穿过任意闭合面的磁感应强度的通量等于0，磁力线是无关尾的闭合线， 表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源 2.7表述安培环路定理，并说明在什么条件下可用该定律求解给定的电流分布的磁感应强度。
如果电路分布存在某种对称性，则可用该定理求解给定电流分布的磁感应强度。
2.8简述电场与电介质相互作用后发生的现象。
在电场的作用下出现电介质的极化现象，而极化电荷又产生附加电场2.9极化强度的如何定义的？极化电荷密度与极化强度又什么关系？单位体积的点偶极矩的矢量和称为极化强度，P 与极化电荷密度的关系为 极化强度P 与极化电荷面的密度2.10电位移矢量是如何定义的？在国际单位制中它的单位是什么 电位移矢量定义为 其单位是库伦/平方米 （C/m 2）2.11 简述磁场与磁介质相互作用的物理现象？ερ/=•∇E 0=⨯∇E ερ/=•∇E 0=⨯∇E ⎰⎰V S ε00=⋅∇B JB 0μ=⨯∇0=⋅∇B JB 0μ=⨯∇C⎰P •∇=-p ρnsp e •=P ρEP E D εε=+=0在磁场与磁介质相互作用时，外磁场使磁介质中的分子磁矩沿外磁场取向，磁介质被磁化，被磁化的介质要产生附加磁场，从而使原来的磁场分布发生变化，磁介质中的磁感应强度B 可看做真空中传导电流产生的磁感应强度B 0 和磁化电流产生的磁感应强度B ’ 的叠加，即 2.12 磁化强度是如何定义的？磁化电流密度与磁化强度又什么关系？ 单位体积内分子磁矩的矢量和称为磁化强度；磁化电流体密度与磁化强度： 磁化电流面密度与磁化强度： 2.13 磁场强度是如何定义的？在国际单位制中它的单位是什么？2,14 你理解均匀媒质与非均匀媒质，线性媒质与非线性媒质，各向同性与各向异性媒质的含义么？ 均匀媒质是指介电常数 或磁介质磁导率 处处相等，不是空间坐标的函数。
电磁场与电磁波第四版课后思考题答案第四版全谢处方饶克谨高等教育出版社
2.1点电荷的严格定义是什么？ 点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很的带电小球的极限。
当带电体的尺寸远小于观察点至带电体的距离时，带电体的形状及其在的电荷分布已无关紧要。
就可将带电体所带电荷看成集中在带电体的中心上。
即将带电体抽离为一个几何点模型，称为点电荷。
2.2 研究宏观电磁场时，常用到哪几种电荷的分布模型？有哪几种电流分布模型？他们是如何定义的？ 常用的电荷分布模型有体电荷、面电荷、线电荷和点电荷；常用的电流分布模型有体电流模型、面电流模型和线电流模型，他们是根据电荷和电流的密度分布来定义的。
2,3点电荷的电场强度随距离变化的规律是什么？电偶极子的电场强度又如何呢？点电荷的电场强度与距离r 的平方成反比；电偶极子的电场强度与距离r 的立方成反比。
2.4简述 和 所表征的静电场特性表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。
表明静电场是无旋场。
2.5 表述高斯定律，并说明在什么条件下可应用高斯定律求解给定电荷分布的电场强度。
高斯定律：通过一个任意闭合曲面的电通量等于该面所包围的所有电量的代数和除以 与闭合面外的电荷无布的电场强度。
2.6简述 和 所表征的静电场特性。
表明穿过任意闭合面的磁感应强度的通量等于0，磁力线是无关尾的闭合线， 表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源 2.7表述安培环路定理，并说明在什么条件下可用该定律求解给定的电流分布的磁感应强度。
安培环路定理：磁感应强度沿任何闭合回路的线积分等于穿过这个环路所有电流的代数和 倍，即2.8简述电场与电介质相互作用后发生的现象。
在电场的作用下出现电介质的极化现象，而极化电荷又产生附加电场2.9极化强度的如何定义的？极化电荷密度与极化强度又什么关系？ 单位体积的点偶极矩的矢量和称为极化强度，P 与极化电荷密度的关系为 极化强度P 与极化电荷面的密度 2.10电位移矢量是如何定义的？在国际单位制中它的单位是什么 电位移矢量定义为 其单位是库伦/平方米 （C/m 2） 2.11 简述磁场与磁介质相互作用的物理现象？ερ/=•∇E 0=⨯∇Eερ/=•∇E 0=⨯∇E VS 0 0=⋅∇BJ B 0μ=⨯∇0=⋅∇B J B0μ=⨯∇0μC P •∇=-p ρnsp e •=P ρE P E Dεε=+=0在磁场与磁介质相互作用时，外磁场使磁介质中的分子磁矩沿外磁场取向，磁介质被磁化，被磁化的介质要产生附加磁场，从而使原来的磁场分布发生变化，磁介质中的磁感应强度B 可看做真空中传导电流产生的磁感应强度B 0 和磁化电流产生的磁感应强度B ’ 的叠加，即 2.12 磁化强度是如何定义的？磁化电流密度与磁化强度又什么关系？ 单位体积内分子磁矩的矢量和称为磁化强度；磁化电流体密度与磁化强度： 磁化电流面密度与磁化强度： 2.13 磁场强度是如何定义的？在国际单位制中它的单位是什么？2,14 你理解均匀媒质与非均匀媒质，线性媒质与非线性媒质，各向同性与各向异性媒质的含义么？均匀媒质是指介电常数或磁介质磁导率 处处相等，不是空间坐标的函数。
谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)课后习题-第1章 矢量分析【圣才出品】
（4）由 cos AB
AB AΒ
11 14 17
11 238
，得 AB
arccos
11 135.5o 238
v （5）在 B 上的分量 AB
A cos AB
AB B
11 17
（6）由矢量的叉积公式知
ex ey ez A C 1 2 3 ex 4 ey13 ez10
5 0 2
（7）由矢量的叉积公式知
ex ey ez B C 0 4 1 ex 8 ey 5 ez 20
5 0 2
A B C ex ey 2 ez 3 ex8 ey 5 ez 20 42 ,
ur ur ur ur ur ur ur ur ur 又因为 A (B C) C ( A B) ( A B) C
1.14 无旋场与无散场的区别是什么？
答：无旋场 F 的旋度处处为 0，即
它是由散度源所产生的，它总可以表示
为某一标量场的梯度，即▽×（▽u）＝0。
无散场 F 的散度处处为 0，即▽·F ≡0,它是由旋涡源所产生的，它总可以表示为某一矢
量场的旋涡，即▽·（▽A）＝0。
（二）习题 1.1 给定三个矢量 A、B 和 C 如下：
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解：（1） eA
A A
ex e台y 2 ez 3 12 22 32
ex
1 14
ey
2 14
ez
3 14
vv （2） A－B＝
evx
evy 6 evz 4 ,
vv A－B
12 62 42
53
（3） A B ex ey 2 ez 3 ey 4 ez 11
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《电磁场与电磁波》第4版(谢处方 编)课后习题答案 高等教育出版社五章习题解答
五章习题解答5.1 真空中直线长电流I 的磁场中有一等边三角形回路，如题5.1图所示，求三角形回路内的磁通。
解 根据安培环路定理，得到长直导线的电流I 产生的磁场02I rφμπ=B e 穿过三角形回路面积的磁通为d S ψ==⎰BS 20002[d ]d d 2d b d z ddII zz x x x xμμππ=⎰ 由题5.1图可知，()tan6z x d π=-=，故得到d d dx d x x ψ-==0[)]22I b d μπ+5.2 通过电流密度为J 的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题5.2图所示。
计算各部分的磁感应强度B ，并证明腔内的磁场是均匀的。
解 将空腔中视为同时存在J 和J -的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为J 、均匀分布在半径为b 的圆柱内，另一个电流密度为J -、均匀分布在半径为a 的圆柱内。
由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。
由安培环路定律d CI μ⋅=⎰B l ，可得到电流密度为J 、均匀分布在半径为b 的圆柱内的电流产生的磁场为 020222b b b b b b r b b r br J r B J r μμ⎧⨯<⎪⎪=⎨⨯⎪>⎪⎩电流密度为J -、均匀分布在半径为a 的圆柱内的电流产生的磁场为 020222a a a a a a r a a r a r J r B J r μμ⎧-⨯<⎪⎪=⎨⨯⎪->⎪⎩这里a r 和b r 分别是点a o 和b o 到场点P 的位置矢量。
将a B 和b B 叠加，可得到空间各区域的磁场为圆柱外：220222b a ba b a r r B J r r μ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ ()b r b >圆柱内的空腔外：2022b a a a r B J r r μ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ (,)b a r b r a <>I题 5.1 图题5.2图空腔内： ()022b a B J r r J d μμ=⨯-=⨯ ()a r a <式中d 是点和b o 到点a o 的位置矢量。
(完整版)矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案.docx
习题 1解答1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
1x a cos t, y b sin t2x3sin t , y4sin t , z3cos t解：1r a costi b sin tj ，其图形是 xOy 平面上之椭圆。
2r3sin ti4sin tj3cos tk，其图形是平面 4 x 3 y 0 与圆柱面x2z232之交线，为一椭圆。
2．设有定圆O与动圆c，半径均为a，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点 M 所描曲线的矢量方程。
uuuurxi yj ，AOC uuur解：设 M 点的矢径为OM r， CM 与x轴的夹角为2uuuur uuur uuuur；因 OM OC CM 有r xi yj2a cos i 2asin j acos2i a sin 2j则 x2acos acos2, y2a sin asin 2 .故 r( 2acos a cos2 )i(2a sin asin 2) j4．求曲线x t , y t 2 , z2t 3的一个切向单位矢量。
3解：曲线的矢量方程为r ti t2 j2t3 k3dri2tj2t 2k则其切向矢量为dt模为 |dr|14t 24t 412t 2dt于是切向单位矢量为dr/ |dr|i 2 tj 2 t 2 kdt dt1 2 t 26．求曲线x a sin 2 t , y a sin 2t , z a cost , 在 t处的一个切向矢量。
4解：曲线矢量方程为r asin2 ti asin2tj acostk切向矢量为dr asin2ti 2acos2tj asintkdt在 t处，d rai a2 k4d t2t47. 求曲线 x t 21, y 4t3, z 2t 26t 在对应于 t2 的点 M 处的切线方程和法平面方程。
解：由题意得 M (5,5,4), 曲线矢量方程为r ( t 2 1) (4 3) j (2 2 6 ) k ,i t t t在 t2的点 M 处，切向矢量drtijtkij kdt t 2[ 24(46) ] t 244 2于是切线方程为x 5 y5 z 4 , 即 x5 y5 z 4442 2 2 1于是法平面方程为2( x 5)2( y 5) ( z 4)0 ，即2 x2 y z 168．求曲线 rtit 2 jt 3 k 上的这样的点，使该点的切线平行于平面x 2y z 4 。
谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)章节习题-第1章 矢量分析【圣才出品】
=
2
xdx
2 22 dy
0
xdx
0
0dy 8
0
0
2
2 vv
vv
Ñ （2）要验证验证斯托克斯定理成立，只需要证明 Adl ( A)dS 即可。
l
S
因为
evx evy evz
v A
x y
z
evx 2 yz evz 2x
x x2 y2z
而且
v v ( A)dS
S
r
F
2z y2
r ex
6 yz2 2xy
r ey
2x 6y2z
r ez
r F
(1,1,1)
r 3ex
r 4ey
4
r ez
2．已知 f x2z y3z2 ， g 2yz2 xy2 ，求在点（1，0，2）的：（1） f g ； （2） f g 。
解：（1）
2 / 18
当 0 ，表示流出多于流入，说明此时在 S 内有正源；
当 0 则表示流入多于流出，此时在 S 内有负源；
当 0 则表示流入等于流出，此时在 S 内无源。
3．设任一矢量场为 Av(rv) ，写出其穿过闭合曲线 C 的环量表达式，并讨论之。 v
答：定义矢量场 A 环绕闭合路径 C 的线积分为该矢量的环量，其表达式为 vv
CA dl
讨论：如果矢量的环量不等于零，则在 C 内必然有产生这种场的旋涡源；如果矢量的
环量等于零，则我们说在 C 内没有旋涡源。
四、计算与证明题
1．已知：
r F (x, y,z)
x
2
r zex
y 3 z 2er y
xy
2
r zez
《电磁场与电磁波》第4版(谢处方 编)课后习题答案 高等教育出版社六章习题解答
第六章 时变电磁场6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。
滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i.解 穿过导体回路abcda 的磁通为5cos 0.2(0.7)cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==⨯=⨯-=--=+⎰ B S e e故感应电流为110.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mAin d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ==-=-+-+E6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。
设棒以角速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。
解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00z r r r B φωω=⨯=⨯=E v B e e B e故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X极化电荷体密度为2000011()()2()P rP r B r r r rB ρεεωεεω∂∂=-∇⋅=-=--∂∂=--P极化电荷面密度为0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==⋅=-⋅=-P n B e则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=⨯⨯=--=⨯⨯=-6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。
设0.2a m =、0.1m b c d ===、71.0cos(210)A i t π=⨯，求回路中的感应电动势。
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4矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案高等教育出版社习题1 解答1 •写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
1 X = a cost, y = bsint2 X = 3sin t, y = 4sin t,z = 3cost1 r =acosti bsintj ,其图形是Xoy 平面上之椭圆。
2 r = 3sin ti 4sin tj 3costk ,其图形 是平面4x-3y = 0与 圆柱面z -32之交线，为一椭圆。
2.设有定圆0与动圆c ,半径均为a ,动圆在定圆外相切而滚动， 求动圆上一定点 M所描曲线的矢量方程。
解：设M 点的矢径为O^ = ^Xi yj , Z AOC=二 2)-二；因OM -OC CM 有r = xi yj = 2a cosri 2asin ∏ j a cos 2v -二 i asin 2 - ■: j则 X = 2acos ■- acos2^,目=2asin ) - asin2^.故 r=(2acos - acos2^ )i (2asi^ - asin2 ) j24.求曲线x=t, y = t 2,zt 3的一个切向单位矢量 .。
322 3解：曲线的矢量方程为-ti tj 2tkdr . . 2则其切向矢量为dt = i 2tj 2t kdr24 2模为Id t Pl4t 4t=1 2tdr ι dr i + 2tj + 2t 2k于是切向单位矢量为不门頁F 1 2t22Tl6.求曲线X =asin t,y =asin2t,z = acost,在t处的一个切向矢量。
解:CM 与X 轴的夹角为解：曲线矢量方程为r = asirnti asin2j acoSkdr切向矢量为asin2ti 2acoslj -asirtkdt7.求曲线X = t 2 • 1, y = 4t - 3, z = 2t 2 - 6t 在对应于t = 2的点M 处的切线方程和 法平面方程。
解：由题意得M (5,5,-4),曲线矢量方程为 ^(t 2 1)i (4t- 3)j ∙ (2t 2- 6t)k,=[2ti 4j (4t - 6)k]t ^≡4i 4j 2kt =2于是切线方程为宁=宁=宁,即号=号于是法平面方程为 2(x - 5) • 2( y - 5) ∙ (z • 4) = 0 ,即2x 2y z -16 = 023&求曲线 ^titjt k 上的这样的点，使该点的切线平行于平面 X ∙ 2y ∙ z = 4。
dr解：曲线切向矢量为.== i 2tj 3t 2k ,⑴dt平面的法矢量为n =i 2j k ,由题知2 2=i 2tj 3t k i i i 2 j k = 1 4t 3t = 0将此依次代入⑴式，得I 1 11故所求点为"1,.°9,p习题2 解答1 •说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。
在处，.=dr4d tai 一 a-∑k2在t=2的点M 处，切向矢量E =竺dt|t — = -i1 1 1 j k,心…3i 9j27k1AX By CZ D(2 )u =arcsin-Z2 J X +y解：1场所在的空间区域是除AX By CZ 0外的空间。
等值面为1 1=C1或Ax+ By+ Cz+D - =O(C I Ho为任意常数)，这是与平AX By CZ D 6面AX By CZ ^O平行的空间。
2场所在的空间区域是除原点以外的Z2乞X2∙ y2的点所组成的空间部分。
等值面为Z2=(χ2 y2)sin2c,(χ2 y2 = 0)，当SinC = O时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外) ；当SinC=O时，是除原点外的XOy平面。
2•求数量场u=°-经过点M 1,1,2的等值面方程。
Z解：经过点M 1,1,2等值面方程为2 2 2 2X y 1 1U 1 ,Z 2即Z = X2 y2 ,是除去原点的旋转抛物面。
3.已知数量场U=Xy，求场中与直线X 2y - 4 =0相切的等值线方程。
解：设切点为x°,y°,等值面方程为Xy=C=X°y°,因相切，则斜率为V 1k 0,即X o = 2y oX o 2点X0,y0在所给直线上，有X o 2y°-4 = 0解之得y0= 1,x0 =2故 xy = 24.求矢量 A = xy 2i x 2yj zy 2k 的矢量线方程。
解矢量线满足的微分方程为A dr = 0 ,亠 dx dy dz或 ___2 2 2Xy Xy ZyC 22X -y z = C 2x5.求矢量场 ^χ2i y 2 j (X y)zk 通过点M (2,1,1)的矢量线方程。
有XdXydy,dx X dz ZC1,(C ,C 为任意常数dxdy dz 厂(X y)zdy 2得1 ==16 ,y X y按等比定理有d(2X -yX -ydz,即d(x 一 y L 史.解得 (X y)z X- y ZX- y = C 2z.1 1 S - =—+ C 1 ,X yX -y = C 2z,C 2=1丄1 1故所求矢量线方程为 ^"72.I X _y = Z习题3解答1 •求数量场U= X 2z 3 ■ 2y 2z 在点M 2,0, -1处沿I= 2xi - xy 2j ∙ 3z 4k 的方向导 数。
解：因丨M =(2xi -xy 2j +3z 4k I ” =4i +3k ,其方向余弦为cos ： =4,cos ： = 0,cos =—. 5 5解矢量线满足的微分方程为dx 2X故矢量线方程为又M (2,1,1)求得C在点 M(2,0,-1)处有 兰=2χz ' =_4,芒=4yz = 0,M = 3χ2z 2 2y 2 = 12,X√y ；:z所以出=4・(_4) 0 .03.12 =4 cl 5 52•求数量场 u = 3χ2z-xy ∙ z 2 在点 M 1,-1,1 处沿曲线 x = t, y =-t 2,z = t 3 朝 t 增大一方的方向导数。
解：所求方向导数，等于函数U 在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。
M 所对应的参数为t=1,从而在点M 处沿所取方向，曲线的切向方向导数为于是所求方向导数为3•求数量场u=x 2yz 3在点M 2,1,-1处沿哪个方向的方向导数最大?当V - 0时，方向导数最大。
9radu^h u ^-j +CX C y CZ=(2XyZP H x 2z 3j + 3x 2yz 2k) M= -4i -4j + 12k,即函数U 沿梯度grad u M =—4i - 4j +12k 方向的方向导数最大 最大值为 grad UI M l= √176 = 4ji1。
1 1 3t —4.画出平面场u =1(x 2 - y 2)中u =0,丄,1,~,2的等值线，并画出场在 M,2八2)与点2 2 2M 2(3/ 7)处的梯度矢量，看其是否符合下面事实:曲线上点dx dtM =i,dt =-2tM1 其方向余弦为 CO 的=―二 又:u√x'dt MMt =I,Z ,COs P=2 ,cosf =J 14T CUZ-XML 、、 λCU7,—M=1, CZ-U.1CU QU 口 GU HV=(——CO 齐+——COsP +——cos)3 24 =71M) 25’ -<14 √14√14 √14解： 因一U = grad U l 0.l=grad U COST ,CU -k)dz 2t =1二(6X^y)M =M3 14= (3x 22z)M(1) 梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小； (2)在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向U 增大的方向。
(如下图，图中 G 1 = grad U M ,G^grad U M 2,)由于 grad U=Xi- yj, 故grad u M 1 =2i —√2j,grad u M 2 = 3i _、7j, 由图可见，其图形都符合所论之事实。
5.用以下二法求数量场u = xy ∙ yz ∙ ZX 在点P 1,2,3处沿其矢径方向的方向导数。
1 直接应用方向导数公式； 2作为梯度在该方向上的投影。
解：(1 )点P 的矢径r = i+2j+3k,其模r = J14.其方向余弦为1 2 3 E= ,COS - = ,cos .又 14 14 14:u :U : -U =( COS ： COS COS )X :y :Z P1丄 2丄 3 222 X2-y",X 2 2-y 22 22X -y= 2,x -y 22X -y=4,解：所述等值线的方程为:=1,=3,其中第一个又可以写为x-y=0, X ■ y=0为二直线，其余的都是以C0S-： I CU= (y + z)p =5,才C y ICU= (X + Z )P =4,旺 P盘= (Xy)P =3P:U所以l5 ----- 4 ----------- 3 14 141414OX 轴为实轴的等轴双曲线6 ,求数量场 u = x 2 2y 2 3z 2 xy 3x-2y-6z 在点 0(0,0,0)与点 A(1,1,1)解：grad U (2x y 3)i (4y x - 2) j (6z- 6)k,=—,cos 2, cos = - θ7 7 7 2 . 1COS = ,cos I ——,cos = 0.5 5'2x + y + 3 = 0,求使grad u =0之点，即求坐标满足 丿4y + x-2 = 0,之点，由此解得6z — 6 = 0X = -2, y=1,z = 1 故所求之点为(-2,1,1).7•通过梯度求曲面 x 2y 2χz =4上一点M (1,-2,3)处的法线方程。
2解：所给曲面可视为数量场 u = x y ∙ 2xz 的一张等值面，因此，场 U 在点M 处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即2grad UM= (2χy + 2z)i + x j + 2χk M = 2i + j + 2k,故所求的法线方程为&求数量场U =3χ2 ∙ 5y 2 - 2Z 在点M 1,1,3处等值面朝OZ 轴正向一方的法线方其模依次为：32 (-2)2 (一6)2 = 7, 62 32 02 = 3 5(2 )grad U= PUi :xiU i + —k) =5i+4j + 3k,：l P.14.14χk .grad U P 0・ 2 322 =5 ------ 4 --------- 3〉、_14 14 141414 14 处梯度的大小和方向余弦。
又问在哪些点上梯度为0?cos ：gradU A的方向余弦为grad u o= 3i 「2 j 「6k,grad u A = 6i 3 j 0k,于是 grad U O 的方向余弦为.n解：因 grad U=MiMjM k = 6xi 10yj-2kGXCyGZgrad U = 6i +10j —2k M梯度与Z 夹角为钝角，所以沿等值面朝 OZ 轴正向一方的法线方向导数为 竺=-grad U= -2>/35Gn习题41.设S 为上半球面X 2 y 2 ∙ z 2 = a 2(z _ 0),求矢量场 ^Xi yj zk 向上穿过S 的通量G 。