用因式分解法解一元二次方程
解一元二次方程五种方法
解一元二次方程五种方法解一元二次方程五种方法解一元二次方程是初中数学中的基础知识，也是高中数学中的重要内容，掌握多种解法对于提高数学能力和解题能力有着重要作用。
下面介绍五种解一元二次方程的方法。
方法一：配方法（也称为配方根公式）配方法是一种常见的解一元二次方程的方法，它的步骤如下：1. 根据二次项系数、一次项系数和常数项分离出完全平方项；2. 将方程化为完全平方形式，即形如(x + a) = b；3. 对方程两边取平方根，得到x的两个解：x = -a ± b。
方法二：公式法公式法是解一元二次方程的常用方法之一，它的公式为：x = (-b ±√(b-4ac)) / 2a其中a、b、c分别为一次项系数、二次项系数和常数项。
方法三：图像法图像法是一种直观的解题方法，它的步骤如下：1. 将方程化为标准形式：ax+bx+c=0；2. 将方程左侧变形为y=ax+bx+c的二次函数的图像；3. 通过观察二次函数的图像，得到x的解。
方法四：因式分解法如果一元二次方程的左侧可以因式分解，那么可以使用因式分解法解题。
例如：x+5x+6=0，可以因式分解为(x+2)(x+3)=0。
因此，x的解为x=-2或x=-3。
方法五：完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的一种简便方法，它的步骤如下：1. 根据二次项系数、一次项系数和常数项计算出Δ=b-4ac；2. 如果Δ是完全平方数，那么方程的解为x=(-b±√Δ)/2a。
以上是解一元二次方程的五种方法，希望对大家有所帮助。
掌握多种解题方法可以提高数学思维和解题能力，也可以在考试中提高解题速度和准确性。
用因式分解法解一元二次方程
归纳总结
解一元二次方程的方法汇总：
(1)直接开平方法: x2=a (a≥0)
(2)配方法: (x+h)2=k (k≥0)
(3)公式法: x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
(4)因式分解法
知识要点
淘金者
你能用分解因式法解下列方程吗？
1. x2-4=0;
2. (x+1)2-25=0.
解：(x+2)(x-2)=0, ∴x+2=0,或x-2=0.
解：[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+6=0,或x-4=0.
∴x1=-2, x2=2.
∴x1=-6, x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
解一元二次方 联系 程的方法
方法的区别
适用范围
配方法 公式法 因式分解法
将二
次方
程降化 为次一
元方
程
先配方，再降次
所有一元 二次方程
直接利用求根公式
所有一元 二次方程
先使方程一边化为两 个一次因式相乘，另 一边为0，再分别使 各一次因式等于0
某些
方法选择
一元二次方程的四种解法：
直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
1.(3x-2)²-49=0 2.(3x-4)²=(4x-3)²
解：移项得:(3x-2)²=49 移项得:(3x-4)²-(4x-3)2＝0
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.
小颖是这样解的 : 解 : x2 3x 0.
(3)2 4 1 0 9.
用因式分解法解一元二次方程
22.2.3因式分解法解一元二次方程教学目标：1了解用因式分解法解方程的根据是：“如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中一个等于0，它们的积就等于0.”2、会用因式分解法解某些一元二次方程。
教学重点：是会用因式分解法解某些一元二次方程。
教学难点：是理解并应用会用因式分解法解某些一元二次方程。
教学过程：活动一、创设情境，引入新课：1、我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?2、解下列方程⑴ （x-2）2=1 ⑵ x 2+2x =1 ⑶ x 2-x-1 =03、看谁能最快给出下列一元二次方程的解⑴（x-1）（x+2）=0⑵（x+1）（x-2）=0⑶（2x+5）（3x-9）=0我们能这么快给出它们的解，是怎样思考的？4、揭示课题：用因式分解法解一元二次方程活动二、自主探究：1、自学课本第38-39页上第一段结束，思考下列问题：（1）教材问题所列的方程是怎样求解的？运用了什么方法？方程中的两个解表示什么？（2）如何利用由ab=0得 a=0或b=0 使二次方程降为一次方程的？（3）什么叫因式分解法解一元二次方程？2．小组交流，并展示成果。
（让学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，理解因式分解法解一元二次方程。
活动三、.自主学习例题3：用因式分解法解下列方程①02)2(=-+-x x x ②432412225+-=--x x x x思考：（1）这两题解方程有没有其它解题的方法（在学生回答的同时老师注意强化解题的书写格式）第一题解法二： 第二题解法二：（2）第一题能在方程两边同时除以（x-2）吗？（3）交流总结因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。
②将方程左边式子分解因式，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。
③对两个一元一次方程分别求解。
训练课本40页第一题活动四、能力提升用因式分解法解方程：（1）022=--x x （2）22)3()12(x x -=-（3）24)12(3+=+x x x （4）3832=-x x（5）06)2(5)2(2=+---x x （6）0624=--x x1、师生交流总结提升：（1）用因式分解法解方程的根据由ab=0得 a=0或b=0，即“二次降为一次”。
用因式分解求解一元二次方程
用因式分解求解一元二次方程的方法是利用公式法或因式分解的方法。
以下是一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0其中a、b、c为常数，且a≠0。
首先，我们需要知道一元二次方程的求根公式：x = [ -b ±sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)其中sqrt表示平方根。
但是，对于某些特定的方程，使用求根公式可能会比较麻烦，这时我们可以使用因式分解的方法。
因式分解的方法通常有提取公因式和公式法两种。
假设我们使用提取公因式的方法进行因式分解，那么可以将方程ax^2 + bx + c分解为(ax + m)(nx + n)的形式。
其中m和n都是常数，且m≠n。
然后，我们可以通过移项，将方程转化为两个一次因式的积的形式：mx^2 + nx^2 + (mn + b)x + mn = 0。
接下来，我们可以通过代入法求解这个一元二次方程。
将x= -b/2m和x= -n/m代入方程中，得到两个一元一次方程的解：x1 = (mn + b - sqrt(b^2 - 4ac)) / (2m^2)，x2 = (mn + b + sqrt(b^2 -4ac)) / (2m^2)。
需要注意的是，这种方法只能用于当a≠0时。
当a=0时，一元二次方程的解的情况取决于b和c的值。
如果b和c都是非零常数，那么x = -b/c就是方程的解；如果b=0且c=0，那么方程有两个相等的解x=0。
以上就是用因式分解求解一元二次方程的一般步骤。
但是需要注意，虽然使用因式分解可以简化某些一元二次方程的求解过程，但对于一些复杂的一元二次方程，使用因式分解可能会比较困难，这时仍然需要使用求根公式求解。
另外，还有一种特殊的一元二次方程，即完全平方方程，它的形式为ax^2 = b。
对于这种方程，我们可以直接开平方求解：x = ±√b/a。
这种方法也被称为直接开平方法。
综上所述，对于不同形式的一元二次方程，我们需要根据方程的特点选择合适的方法进行求解。
解一元二次方程的四种方法的利弊
解一元二次方程的四种方法的利弊随着数学的发展，解一元二次方程是数学学习中的基本内容之一。
为了解决一元二次方程，人们提出了各种各样的方法。
本文将介绍解一元二次方程的四种常见方法，并分析它们的利弊。
方法一：因式分解法原理因式分解法是一种将一元二次方程转化为多个一次方程的方法，通过因式分解将二次项分解成两个一次项的乘积，进而求出方程的解。
优点1.简单直观：因式分解法不需要过多的计算步骤，对于简单的一元二次方程求解任务非常有效。
2.适用范围广：因式分解法适用于多种形式的一元二次方程，如完全平方式、含有一次项的方式等。
缺点1.局限性：因式分解法仅适用于可以进行因式分解的一元二次方程，对于难以因式分解的方程则无法使用此方法。
2.计算复杂度高：对于具有复杂因式分解形式的方程，计算量较大，容易出现计算错误。
3.解的个数限制：因式分解法只能求解出方程的实数解，无法求解出复数解。
方法二：配方法原理配方法是通过将一元二次方程的二次项与一次项相乘，构造出一个完全平方式，然后通过转化求解方程的解。
优点1.适用广泛：配方法适用于多种类型的一元二次方程，可以应对一些无法使用因式分解法解决的方程。
2.可求解复数解：配方法可以求解出一元二次方程的复数解，能够提供更全面的解决方案。
缺点1.计算复杂：配方法需要进行一系列的代数运算和变换，计算过程相对复杂，易出错。
2.限制：对于一些特殊形式的一元二次方程，配方法无法处理，需要采取其他方法解决。
方法三：公式法原理公式法是通过一元二次方程的一般公式解来求解方程的根。
一元二次方程的一般公式解为：x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)。
优点1.通用性强：公式法是一种通用的求解一元二次方程的方法，适用于所有的一元二次方程。
2.快速准确：通过代入方程参数直接计算公式，可以迅速而准确地求解方程的解。
缺点1.存在限制：公式法仅适用于解可求得实数解的一元二次方程，无法求解复数解。
因式分解法求解一元二次方程
因式分解法求解一元二次方程一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是常数且a≠0。
解一元二次方程的一种常见方法是因式分解法。
因式分解法的基本思想是将方程两边表示为多个因式的乘积，然后令每个因式等于零，得到多个简单的方程，再解这些方程得到所有的解。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，首先需要判断方程的根的个数。
根据判别式Δ（delta）=b^2-4ac的值，可以得到如下结论：1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
此时可以使用因式分解法求解。
2.当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
此时可以使用因式分解法求解。
3.当Δ<0时，方程没有实根。
此时无法使用因式分解法求解。
对于情况1和情况2，下面将详细介绍因式分解法的步骤和解题思路。
步骤一：将方程整理成一般形式。
将方程ax^2+bx+c=0移项得到ax^2+bx=-c。
步骤二：将方程左边进行因式分解。
根据二次三项完全平方式分解公式，将左边进行因式分解得到(a*x+p)(x+q)=0，其中p和q是待定常数。
步骤三：将方程化简并分别解得p和q的值。
将方程(a*x+p)(x+q)=0展开并与原方程进行对比，得到以下等式：ax^2+(a*q+p)*x+a*p*q=-c将该等式与原方程对应的系数进行比较，可得到以下等式组：a*q+p=ba*p*q=-c通过解这个等式组，得到p和q的值。
步骤四：求解x的值。
将得到的p和q的值带入最初的因式分解形式(a*x+p)(x+q)=0中，分别令每个因式等于零，求解得到x的值。
以上就是因式分解法求解一元二次方程的基本步骤。
下面通过一个具体的例子来演示如何使用因式分解法求解一元二次方程。
例题：解方程2x^2+7x+3=0。
解：根据判别式Δ=b^2-4ac，计算出Δ=49-24=25>0，所以方程有两个不相等的实根。
步骤一：将方程整理成一般形式。
将方程2x^2+7x+3=0移项得到2x^2+7x=-3。
因式分解法解一元二次方程
测
1.自学指导中的问题；
2.用因式分解法解下列方程
( x 5 ) 25
2
3 x ( 2 x 1) 4 x 2
评
用因式分解法解方程 （x-5)(x+2)=18的解题过程是否正确？ （x-5)(x+2)=18 （x-5)(x+2)=3×6 （x-5）＝3， (x+2)=6
x1=8,
1.如果a· b=0,那么a=0，或 ； 2.解一元二次方程的基本思路是什么？ 3.至今我们学过哪些解一元二次方程的方 法？ 4.什么方法适用于所有的一元二次方程？ 5.什么方法只适用于某些一元二次方程？
比一比，看谁能在6分钟的时间里，学得又快 又好，一会儿请同学口答这几=0，或 ； 2.解一元二次方程的基本思路是什么？ 3.至今我们学过哪些解一元二次方程的方法 ？ 4.什么方法适用于所有的一元二次方程？ 5.什么方法只适用于某些一元二次方程？
x2=4
什么样的一元二次方程可以用因式分解法？ 当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分 解成两个一次因式乘积的形式，就可以用因 式分解法 解一元二次方程.
练
补充练习题
作业 P43
第6题
§22.2.3因式分解法 解一元二次方程
复习
下面各式是用什么方法来进行因式分解的？ 提公因式法： am an a ( m n ) 公式法：
a 2 ab b ( a b )
2 2
2
a b ( a b )( a b )
2 2
学
认真阅读教材第38页----39页的内容。 思考下列问题：
用因式分解法解一元二次方程
∴ x1=
１
3
5 １
, x2= 3
5
公式法
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
以上解方程 x10 4.9 x 0
是如何使二次方程降为一次的？
的方法
x10 4.9 x 0 ①
x 0 或 1 0 4.9x 0, ②
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降 次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的 形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种 解法叫做因式分解法．
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法.
1.用分解因式法解一元二次方程的条件是:
方程左边易于分解,而右边等于零;
2.理论依据是. “如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零”
A. (a - 3)(a 4); B. a 3a 4; C. a 6a 2; D. a 6a 2;
2. 分解x 2 2x 8的结果为 ( A )
A. a 4a 2; B. a 4a 2; C. a 4a 2; D. a - 4a 2;
3. 若 多项项M分解的因式是(x - 2)(x - 3),则M是(C)
x1 2, x2 1.
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程一元二次方程就是一个一元多项式的二次次方程，它的格式一般是ax² + bx+ c = 0（其中a≠0）。
要解一元二次方程，通常用到的是因式分解的方法。
因式分解的方法是将一元二次方程变成两个一元一次方程，而解得的两个满足条件的一元一次方程中的x的值即为一元二次方程的根。
首先，要解一元二次方程，需要先将它转化成一元一次方程格式。
这一步可以通过将因式上乘以a来实现，即有：a(x²+ bx/a + c/a) = 0，于是我们可以将一元二次方程分解为两个一元一次方程，即：x² + bx/a + c/a = 0 和a = 0；其次，在解一元一次方程时，只要把方程按照常规形式写出来就可以了。
将上面的两个一元一次方程按照常规形式写出，即有：x² + (b/a)x + (c/a) = 0；a = 0；之后，在解x²+ (b/a)x + (c/a) = 0这个一元一次方程时，可以用a×b÷2来简化，并用b²－4ac来计算根。
需要注意的是，当b²－4ac<0时，证明该一元二次方程无解。
最后，我们要根据表达式计算出两个方程式中x的值。
首先，计算出b²－4ac，根据结果来判断一元二次方程是否有解。
如果b²－4ac>0，该一元二次方程就有解，由此可得x1 = (-b + √b²－4ac)/2ax2 = (-b - √b²－4ac)/2a最终得出的x1和x2就是一元二次方程的两个根，这样就解决了一元二次方程的问题。
总的来说，解决一元二次方程的时候，可以使用因式分解法，将一元二次方程分解成两个一元一次方程，再根据一元一次方程计算出x1和x2，最终就可以求出一元二次方程的根。
因式分解法求解一元二次方程
自学指导二
认真看课本P14例3，看懂例题的解题过程。 时间：3分钟
归纳
1. 因式分解法：
将一元二次方程先因式分解化为 两个一次因式的乘积等 于 0 的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降
次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法。
2.用因式分解法的一般步骤：
（1）移项：将方程右边化为 0
x=0 或 x-2=0 。
求解
x1= 0 ，x2= 2 。
x²-2x=0 x(x-2)=0
4.(1)因式分解法是解一元二次方程的基本方 法之一，具备什么特点的一元二次方程能用 因式分解法来解呢？
左边x-2=0 。 （2）用因式分解法的依据是什么？
若a ·b = 0，那么 a = 0 或 b= 0 x1= 0 ，x2= 2 。
学习目标
1.理解如何用因式分解法解一元二次方程，并 能灵活应用；
2.理解解一元二次方程的思路就是降次.
自学指导一
认真看课时练P10左侧学习任务一， 并用心填写1----3题， 时间：4分钟
学习过程 1.有理数乘法：
如果a ·b = 0，那么 a = 0 或 b= 0 。
2.因式分解：
x²+2x =
；
（2）化积：将方程左边分解为 两个一次因式 的乘积；
（3）转化：令这两个一次式分别等于0，得到两 个 一元一次方程 ；
（4）求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是
一元二次方程的 解 。
检测题一
课本第14页第1 (1)（3）（5）
要求：仿照例题 书写规范 字体工整
时间：6分钟独立完成.
检测题二
x(x+2）
x²-4 =
(x+2)(x-2)
用因式分解法解一元二次方程
应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为
一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用
因式分解法，不然选用公式法；
4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较
即5x-2 ＝ 0 或x+8 ＝ 0，
2
5
∴ x1 ＝ ，x2 ＝-8.
（4）9x2-12x-1 ＝ 0.
分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法.
解：∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝ -1，
∴ Δ ＝ b 2-4 a c ＝（-12）2-4×9×（-1）＝
144+36 ＝ 180>0，
b b 2 4ac (12) 180 2 5
因式分解，得 x5 x 4 0.
x 0, 或5 x 4 0.
4
x1 0，x2
5
（2）移项，得 x 2 xx 2 0,
因式分解，得 x 21 x 0.
x 2 0, 或1 x 0.
x1 2，x2 1
几种常见的用因式分解法求解的方程
（1）形如x2 +bx ＝ 0 的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为
x（x+b）＝ 0，则x ＝ 0 或x+b ＝ 0，即x1= 0， x2 ＝ -b.
（2）形如x2 - a2 ＝ 0 的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分
解为（x+a）（x-a）＝ 0，则x+a ＝ 0 或x-a ＝ 0，即x1 ＝ -a， x2
因式分解法解一元二次方程
1.解下列方程
(1) x x 0
2
解 : x( x 1) 0. x1 0, x2 1.
(2) x 2 3x 0
2
解 : x( x 2 3) 0. x1 0, x2 2 3.
(4)4 x 2 121 0
(3)3x 6x 3
2
解 : x2 2x 1 0
2 2
解下列方程
6.(x 2) 2x 3 ;
2 2
5.5( x x) 3( x x);
5.x1 0; x2 4.
7.(x 2)x 3 12;
1 6.x1 5; x2 . 3
8.x 5 2 x 8 0.
2
7.x1 1, x2 6.
2
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
b b2 4ac 2 x .b 4ac 0 . 2a
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程;
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 3x.
小亮是这样想的 :
如果a b 0,
那么a 0或b 0 或a b 0. 即, 如果两个因式的积等于0, 那么这两个数至少有一个为0.
用因式分解法解一元二次方程详细
用因式分解法解一元二次方程【主体知识概括】1．因式分解法 若一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式时，比如，x 2－ 9＝0，这个方程可变形为 ( ＋ 3)( － 3) ＝ 0，要 ( x ＋ 3)( x －3) 等于 0，一定并且只需 ( x ＋ 3) 等于 0 或( x － 3) 等于 0，x x所以，解方程 ( x ＋ 3)( x － 3) ＝ 0 就相当于解方程 x ＋ 3＝ 0 或 x －3＝ 0 了，经过解这两个一次方程便可获得 原方程的解．这类解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的重点是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论依据是：若A ·B ＝0 A ＝ 0 或B ＝ 0．【基础知识解说】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0 的时候， 才能应用因式分解法解一元二 次方程．分解因式时，要依据状况灵巧运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法能够说是通法，即能解任何一个一元二次 方程．但对某些特别形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简易，有的用因式分解法简易．所以，在碰到一道题时， 应选择适合的方法去解． 配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实质解一元二次方程时， 一般不用配方法．而在此后的学习中，会经常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例 1：用因式分解法解以下方程：(1)y 2＋7 ＋ 6＝ 0； (2)t (2 t － 1) ＝ 3(2 t － 1) ；(3)(2 x －1)( x － 1) ＝ 1．y解：(1) 方程可变形为 ( y ＋ 1)( y ＋ 6) ＝ 0， y ＋ 1＝ 0 或 y ＋ 6＝ 0，∴ y 1＝－ 1， y 2＝－ 6． (2) 方程可变形为 t (2 t －1)－3(2 t －1)＝0，(2 t －1)( t －3)＝0，2t －1＝0或 t －3＝0，∴ t 1＝1， t 22＝ 3．(3) 方程可变形为 2x 2－ 3x ＝0．x (2 x － 3) ＝ 0，x ＝ 0 或 2x － 3＝ 0． ∴ x 1＝0， x 2＝3．2说明： (1) 在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，假如左侧的代数式能够 分解为两个一次因式的乘积，而右侧为零时，则可令每一个一次因式为零，获得两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如 ( x－a)( x－b) ＝c的方程，其左侧是两个一次因式之积，但右侧不是零，所以应转变为形如( x－e)( x－f ) ＝0 的形式，这时才有x1＝ e， x2＝ f ，不然会产生错误，如(3) 可能产生以下的错解：原方程变形为：2x－ 1＝1 或x－ 1＝ 1．∴x1＝ 1，x2＝ 2．(3) 在方程 (2) 中，为何方程两边不可以同除以(2 t－1) ，请同学们思虑？例 2：用适合方法解以下方程：(1) 3 (1－ x)2＝ 27 ；(2) x2－6x－19＝0；(3)3 x2＝4x＋1；(4) y2－15＝2y；(5)5 x( x－3)－( x－3)( x＋1) ＝ 0；(6)4(3 x＋ 1) 2＝ 25( x－ 2) 2．解析：方程 (1) 用直接开平方法，方程(2) 用配方法，方程(3) 用公式法，方程(4) 化成一般式后用因式分解法，而方程(5) 、 (6) 不用化成一般式，而直接用因式分解法就能够了．2 ＝9 ，( x－1) 2 ＝ 3，x－ 1＝±3 ，∴ x ＝1＋ 3 ， x ＝1－ 3 ．解： (1)(1 － x)1 2(2) 移项，得x 2－ 6 ＝ 19，配方，得x2－ 6x＋ ( － 3) 2＝ 19＋( － 3) 2， ( － 3) 2＝ 28，－ 3＝± 27，x x x∴ x1＝3＋2 7 ， x2＝3－2 7 ．(3)移项，得 3x2－4x－ 1＝0，∵ a＝3， b＝－4， c＝－1，∴ x＝( 4)( 4)2 43 ( 1) 2 7 ，2 3 3∴ x1＝2 7，x2＝27 ．3 3(4) 移项，得y2－ 2y－ 15＝0，把方程左侧因式分解，得( y－ 5)( y＋ 3) ＝ 0；∴ y－5＝0或 y＋3＝0，∴ y1＝5， y2＝－3．(5)将方程左侧因式分解，得 ( x－ 3) ［ 5x－( x＋ 1) ］＝ 0， ( x－ 3)(4 x－ 1) ＝ 0，∴ x－3＝0或4x－1＝0，∴x1＝3， x2＝1．4(6)移项，得 4(3 x＋ 1) 2－ 25( x－ 2) 2＝ 0，［ 2(3 x＋ 1) ］2－［ 5( x－ 2) ］2＝ 0，［2(3 x＋ 1) ＋ 5( x－ 2) ］·［ 2(3 x＋ 1) － 5( x－2) ］＝ 0，(11 x－8)( x＋ 12) ＝ 0，∴11x－ 8＝ 0 或x＋ 12＝ 0，∴x1＝8，x2＝－ 12．11说明： (1) 对于无理系数的一元二次方程解法同有理数同样，只可是要注意二次根式的化简．(2) 直接因式分解就能转变成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这类形式的方程就不用要整理成一般式了．例 3: 解对于x的方程： ( a2－b2) x2－ 4abx＝a2－b2．解： (1) 当a2－b2＝0，即｜a｜＝｜b｜时，方程为－4abx＝ 0．当 a＝b＝0时， x 为随意实数．当｜a｜＝｜ b｜≠0时， x＝0．(2)当 a2－ b2≠0，即 a＋ b≠0且 a－ b≠0时，方程为一元二次方程．分解因式，得［ ( a＋b) x＋ ( a－b) ］［ ( a－b) x－ ( a＋b) ］＝ 0，∵ a＋ b≠0且 a－ b≠0，∴ x1＝b a， x2＝ab ．a b a b说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不一样状况分别求解．此题其实是分三种状况，即①a＝ b＝0；②｜ a｜＝｜ b｜≠0；③｜ a｜≠｜ b｜．2 2x 2 2xy 5 y 2例 4: 已知x－xy－ 2y＝ 0，且x≠ 0，y≠ 0，求代数式x 2 2xy 5 y 2 的值．解析：要求代数式的值，只需求出 x、y 的值即可，但从已知条件中明显不可以求出，要求代数式的分子、分母是对于 x、 y 的二次齐次式，所以知道x 与 y 的比值也可．由已知x2－ xy－2y2＝0因式分解即可得 x 与 y 的比值．解：由 x2－ xy－2y2＝0，得( x－2y)( x＋y)＝0，∴ x－2y＝0或 x＋y＝0，∴ x＝2y 或 x＝－ y．当 x＝2y 时，x22xy 5y 2 (2y) 2 2 2y y 5y 2 5y 2 5 ．x 2 2xy 5y 2 (2y ) 2 2 2y y 5y 2 13y 2 13当 x＝－ y 时，x 2 2xy 5y 2 ( y) 2 2 ( y ) y 5y 2 2y 2 1．x 2 2xy 5y 2 ( y) 2 2 ( y ) y 5y 4y 2 2说明：因式分解法表现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不单可用来解一元二次方程，并且在解一元高次方程、二元二次方程组及相关代数式的计算、证明中也有着宽泛的应用．【同步达纲练习】 1．选择题(1) 方程 ( x － 16)(x ＋8)＝0的根是 ()A ．x 1＝－ 16，x 2＝ 8B ．x 1＝ 16，x 2＝－ 8C ．x 1＝16，x 2＝ 8D ．x 1＝－ 16，x 2＝－ 8(2) 以下方程 4x 2－3x － 1＝0， 5x 2－ 7x ＋ 2＝ 0，13x 2－ 15x ＋2＝ 0 中，有一个公共解是 ( )A ．． x ＝1B ． x ＝ 2C ． x ＝ 1D ．x ＝－ 12(3) 方程 5 x ( x ＋3) ＝ 3( x ＋ 3) 解为 ( )1＝ 3 2B ． x ＝ 3A ． x 5 ， x ＝ 35C ． x 1＝－ 3， x 2＝－ 3D ． x 1＝ 3， x 2＝－ 355(4) 方程 ( y － 5)( y ＋ 2) ＝1 的根为 ( )A ． y 1＝5， y 2＝－ 2B ． y ＝ 5C ． y ＝－ 2D ．以上答案都不对(5) 方程 ( x － 1) 2－4( x ＋ 2) 2＝ 0 的根为 ( )A ． x 1＝1， x 2＝－ 5B ． x 1＝－ 1， x 2＝－ 5C ． x 1＝ 1， x 2＝ 5D ． x 1＝－ 1， x 2＝ 5(6) 一元二次方程 x 2＋ 5x ＝ 0 的较大的一个根设为 m ， x 2－ 3x ＋ 2＝ 0 较小的根设为 n ，则 m ＋ n 的值为( )A ． 1B ． 2C ．－ 4D ． 4(7) 已知三角形两边长为4 和 7，第三边的长是方程x 2－ 16x ＋ 55＝ 0 的一个根，则第三边长是( ) A ． 5 B ． 5 或 11 C ． 6D ． 11(8) 方程 x 2－3| x －1|＝1的不一样解的个数是( ) A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 2．填空题(1) 方程 t ( t ＋3)＝28的解为_______．(2) 方程 (2 x ＋ 1) 2＋ 3(2 x ＋1) ＝ 0 的解为 __________ ． (3) 方程 (2 y ＋ 1) 2＋ 3(2 y ＋1) ＋ 2＝ 0 的解为 __________．(4)对于 x 的方程 x2＋( m＋n) x＋ mn＝0的解为__________．(5)方程 x( x－ 5 )＝ 5 － x 的解为__________．3．用因式分解法解以下方程：(1) x2＋12x＝ 0；(2)4 x2－ 1＝ 0；(3) x2＝ 7x；(4) x2－4x－ 21＝0；(5)(x－1)( x＋3)＝12；(6)3 x2＋ 2x－ 1＝ 0；(7)10 x2－x－ 3＝0；(8)(x－1)2－4( x－1)－21＝0．4．用适合方法解以下方程：(1) x2－4x＋ 3＝ 0；(2)(x－2)2＝256；(3) x2－ 3x＋ 1＝0；(4) x2－2x－ 3＝ 0；(5)(2 t＋ 3) 2＝ 3(2 t＋ 3) ；(6)(3 －y) 2＋y2＝ 9；(7)(1 ＋2 ) x2－(1－2 ) x＝0；(8) 5 x2－ (5 2＋ 1) x＋10 ＝0；(9)2 x2－8x＝ 7( 精准到 0．01) ； (10)( x＋ 5) 2－2( x＋ 5) － 8＝ 0．5．解对于x 的方程：(1) x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ；(2) x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6；2222(3) x －2mx － 8m ＝ 0； (4) x ＋ (2 m ＋ 1) x ＋ m ＋ m ＝0． 6．已知x 2＋ 3xy －4y 2＝ 0( y ≠ 0) ，试求x y的值．x y7．已知 ( x 2＋y 2)( x 2－ 1＋y 2) － 12＝ 0．求x 2＋y 2的值． 8．请你用三种方法解方程：x ( x ＋12)＝864．9．已知x 2＋ 3x ＋ 5 的值为 9，试求 3x 2＋ 9x － 2 的值．10．一跳水运动员从 10 米高台上跳水，他跳下的高度h (单位：米)与所用的时间t (单位：秒)的关系 式 h ＝－5( t －2)( t ＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．11．为解方程 ( x 2－ 1) 2－ 5( x 2－1) ＋ 4＝0，我们能够将 x 2－1 视为一个整体，而后设x 2－ 1＝ y ，则 y 2＝( x 2－ 1) 2，原方程化为2－ 5 ＋ 4＝0，解此方程，得y 1＝ 1， y 2＝ 4．y y当 y ＝1时， x 2－1＝1， x 2＝2，∴ x ＝±2 ．当 y＝4时， x2－1＝4， x2＝5，∴ x＝± 5 ．∴原方程的解为 x1＝－ 2 ， x2＝ 2 ， x3＝－ 5 ， x4＝ 5 ．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，表现了转变的思想．(1)运用上述方法解方程： x4－3x2－4＝0．(2)既然能够将 x2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗参照答案【同步达纲练习】1． (1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D2． (1) t 1＝－ 7，t 2＝ 4(2) x 1＝－1 2， 2＝－2(3) y 1＝－1， y 2＝－3 (4) x 1＝－ ， 2＝－ n (5) x 1＝ 5 ， 2＝－1 x 2m x x3．(1) x 1＝0，x 2＝－ 12；(2) x 1＝－1，x 2＝1；(3) x 1＝0，x 2＝ 7；(4) x 1＝ 7，x 2＝－ 3；(5) x 1＝－ 5，x 2＝3；(6) x 1＝－ 1，22x 2＝1；3(7) x 1＝3，x 2＝－1；(8) x 1＝8， x 2＝－2．524． (1) x 1＝ 1， x 2＝ 3； (2) x 1＝ 18， x 2＝－ 14； (3) x 1＝35， x 2 ＝35； (4) x 1 ＝3， x 2＝－ 1；22(5) t 1＝0， t 2＝－3； (6) y 1＝ 0，y 2 ＝ 3； (7) x 1＝ 0，x 2＝ 22 － 3；2(8) x1＝5 x2＝ 10； (9) x 1≈， x 2＝－； (10)xx＝－ 7． ，1＝－ 1，255． (1) x 2－ 4ax ＋4a 2＝a 2－2a ＋1，( x － 2a ) 2＝ ( a － 1) 2， ∴ x －2a ＝±( a －1)，∴ x 1＝3a －1， x 2＝ a ＋1．(2) x 2＋(5－2k ) x ＋ k 2－5k －6＝0， x 2＋(5－2k ) x ＋( k ＋1)( k －6)＝0， ［ x －( k ＋1)］［ x －( k －6)］＝0， ∴ x 1＝ k ＋1，x 2＝( k －6)．(3) x 2－2 ＋ 2＝ 9 2 ，( x － ) 2＝ (3 ) 2mx m m m m ∴ x 1＝4m ， x 2＝－2m(4) x 2＋(2 m ＋1) x ＋m ( m ＋ 1) ＝ 0， ( x ＋m ) ［x ＋ ( m ＋ 1) ］＝ 0，∴ x 1＝－ m ，x 2＝－ m －16． ( x ＋ 4y )( x －y ) ＝ 0，x ＝－4y 或 x ＝y当 x＝－4y 时，xy ＝ 4 y y 5 ；x y 4 y y 3当 x＝ y 时，xy ＝ yy＝ 0．x y y y7． ( x2＋y2)( x2＋y2－ 1) － 12＝ 0，( x2＋y2 ) 2－ ( x2＋y2) －12＝0，( x2＋y2－ 4)( x2＋y2＋ 3) ＝ 0，∴ x2＋ y2＝4或 x2＋ y2＝－3(舍去)8．x1＝－ 36，x2＝ 249．∵x2＋ 3x＋ 5＝9，∴x2＋ 3x＝ 4，∴3x2＋9x－2＝ 3( x2＋ 3x) － 2＝ 3×4－ 2＝ 10 10． 10＝－ 5( t－ 2)(t ＋1)，∴ t ＝1( t ＝0舍去) 11． (1)x1＝－2，x2＝2(2)(x2－2)( x2－5)＝0，( x＋2 )(x－ 2 )(x＋ 5 )(x－5 )＝0。
用因式分解法解一元二次方程
▪ 1、若a·b=0,则a = 0 或b = 0
；
2 、 一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两个一次方程
为 x-1=0 ，和
x-2=0 方程的根是 X1=1 x2=2
。
▪ 3、对一元二次方程，当右边为0，而左边易于分解成两个 ▪ 一次因式 的乘积时，可以得到两个 一元一次方程 ，
这两个一元一次 方程的根就是原一元二次方程的根，这种解
直接开平方法、配方法、公式法
2、因式分解的常用方法：提公因式法 、 公式法 ；
平方差公式 a2 b2 ( a+b )( a—b ); 完全平方公式 a22a bb2( a±b )2
3、对于一元二次方程 x27x0用配方法和公式 法都可以求出它的解。还有更简便的求解方法吗？
▪ 学习教材p95回答下列问题
达标检测
1.方程x2=x的解是（ C）
A.x=1
B.x=0
C.x1=1,x2=0
D.x1=-1,x2=0
2.方程x(x+3)=x+3的解是( D) A.x=1 B.x1=0,x2=-3 C.x1=1,x2=3
3.方程（x-5)(x-6)=x-5的解是（ D
D.x1=1,x2=-3 ）
4A.方程x=x5(x-B1)x=1x=的5解, 是x2_=_6x_1_ C0x,x =722D__。x1=5, x2=7
从而
x1
3; 2
x2
3. 2
例题欣赏 ☞
例2、解方程: 2x12x32.
解：原方程变形为
(2x1)2(x3)20 把方程左边进行因式分解,得
2 x 1 x 3 2 x 1 x 3 0 ,
3x2x40,
3 x 2 0 ,或 x 4 0 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
典型例题一
例 用因式分解法解下列方程
6223362+=+x x x
解：把方程左边因式分解为：
0)23)(32(=-+x x ∴032=+x 或023=-x
∴ 3
2,2321=-=x x 说明: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。
典型例题二
例 用因式分解法解下列方程。
1522+=y y
解: 移项得：01522
=--y y
把方程左边因式分解
得：0)3)(52(=-+y y
∴052=+y 或03=-y ∴.3,2
521=-=y y 说明: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
典型例题三
例 用因式分解法解下列方程
（1）021362=+-x x ；
（2）0)23(9)12(322=--+x x ；
分析：一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零.二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如（2）符合平方差公式的结构特征.
解：（1）原方程可变形为
,0)2)(16(=--x x
016=-x 或02=-x ， ∴2,6
121==x x . （2）原方程可化为
0)633()332(22=--+x x ，
即 0)633332)(633332(=+-+-++x x x x ， ∴0)363)(6335(=-+-+x x ， ∴06335=-+x 或0363=-+x ， ∴321,5
13221+=-=x x . 说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用.这种化未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想”.事实上，将多元方程组化为一元方程，也是此法.
典型例题四。