理论力学习题汇总第六章分析力学学生版

13．质量为 m，半径为 r 的小球，在半径为 R 的球形容器内无滑动地滚动，初位 置由角 0 确定，如图所示. 用拉氏方程求解以下问题：
(1) 为任意角时，小球受到容器的反作用力 N 和摩擦力 f. (2) 小球的微振动周期。
14. 长为 2a ，质量为 m 的均质杆 AB，A 端与光滑水平面接触，杆在重力作用下 从竖直位置被自由释放而倒下. 请用拉氏方程求杆落地瞬间的角速度。
10．半径为 c 的匀质圆球，自半径为 b 的固定圆球的顶端无初速度的滚下，试由 5 拉格朗日方程证明动球球心下降的切向加速度为 a g sin ． 7 11. 试利用基本形式的拉格朗日方程推导保守力下的拉格朗日方程。 12. 如图所示，一长为 l 的刚性杆 AO，质量为 m ，可绕固定光滑转轴 O 自由转 动，杆相对于转轴 O 的转动惯量为 I，O 点到质心 C 的距离为 a，A 端与弹性系 数为 k 的轻弹簧下端光滑连接，弹簧的另一端固定在天棚上，杆平衡时正好处于 水平状态， 并且弹簧处于竖直状态。 1)， 请用虚功原理给出平衡时弹簧的伸长量； 2)，今拉杆偏离于平衡位置一微小角度后松开，杆将做微振动，请用保守系的拉 格朗日方程计算杆的振动周期。
§6.3 拉格朗日方程
1. 拉氏函数中 某一广义坐标，则称此广义坐标为 2. 试写出基本形式的拉格朗日方程 3．试写出保守力系的拉格朗日方程 4. 请用拉氏函数写出广义动量表达式： 5.以下不能算出广义动量的表达式是 A． p C． p 。 （ ） 。 。 。
L q
B． p
即 R kmv ，其中 k 为常数， m 为物块的质量，v 为物块的速度，试求物块的运
动规律。 9. 行星齿轮机构如图所示。曲柄 OA 带动行星齿轮Ⅱ在固定齿轮Ⅰ上滚动。已 知曲柄的质量为 m1 ，且可认为是均匀杆。齿轮Ⅱ的质量为 m 2 ，半径为 r，且可认 为是匀质圆盘。至于齿轮Ⅰ的半径则为 R。今在曲柄上作用一不变的力矩 M。如 重力的作用可以略去不计，试用拉格朗日方程研究此曲柄的运动方程。
r
C

O
C
a1
x
B
a2
7. 一内壁光滑的细管在水平面内绕通过其一端的竖直轴以匀角速 转动. 管内 有一质量为 m 的质点，它被系在轻弹簧的末端，弹簧的另一端固定在转轴上. 弹 簧的劲度系数为 k ，原长为 l0 . 试用哈密顿原理求质点的运动微分方程.
） D.. 4
D
B
§6.2 虚功原理
C
1．受有理想约束的力学体系平衡的充要条件是，此力学体系的诸主动力在任意 虚位移中所作的元功之和等于零，这个关系叫 。
2．长为 2 R 的刚性轻杆 AB 两端分别固定质量分别为 mA 2m 、 mB m 的光滑 小球，杆和球放在半径为 R 的光滑凹槽内。求平衡时杆与水平方向的夹角 。
1 2 1 2 2 mM mr G 2 mr 2 2 r
D． L
1 2 1 2 2 mM mr G 2 mr 2 2 r
7. 以平面极坐标为广义坐标，试用拉格朗日方程（保守力系）求出行星运动的 微分方程。 8．物块 P 自高 h 处以速度 v0 水平抛出，空气阻力可视为与速度的一次方成正比，
4 c 2 2r 2 l c
r
A


o
B

x
mg
y
5. 如图，长度同为 l 的轻棒四根，光滑地连成一菱形 ABCD. AB、AD 两边支于 同一水平线上相距为 2a 的两根钉上， BD 间则用一轻绳连接， C 点上系一重物 W。 设 A 点上的顶角为 2α，试用虚功原理求绳中的张力 T。

第六章 分析力学
§6.1 约束和广义坐标
1．试确定下述体系的自由度 （1）在固定铅垂面内运动的双摆（图 a） （2）在平面内沿直线作纯滚动的轮（图 b） ； 。
2.如图所示平面机构，其广义坐标可选为 A. x B 和 θ C. θ
Y
（
）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B. y A 和 θ D. x B 和 y A
A θ O B X
3．如图所示平面系统中，圆环内放置的直杆 AB 可自由运动，圆环在水平面上 作纯滚动，则该系统的自由度数为 （ ） B A．3 B．1 C．4 D．2
· A
4．试确定下述体系的自由度。 A．3 B．1 C．4
（ D．2
）
o·
·
A
·
（ C.. 1
A
B
5. 图示平面机构的自由度数为 A.. 3 B.. 2
§6.5 泊松括号
1.试用泊松括号写出哈密顿正则方程
，
。
§6.6 哈密顿原理
1. 试写出哈密顿原理的数学表达式 。哈密顿原理就是用 变分法中求稳定值的办法来挑选真实轨道，并由此来确定力学体系的运动规律。 2. 以下各式错误的是 （ ） A
L ，B p q H ，D p q
T q V q
H q
D． p
6. 假设地球用平面极坐标系表示行星运动的拉氏函数 （ ） 1 2 1 2 2 mM 1 2 1 2 2 mM mr G mr G A． L mr B． L mr 2 2 2 2 r r C． L
L p q H q p
C
3. 试由哈密顿原理导出正则方程。 4．在光滑桌面上的轻弹簧，弹性系数为 k ，一端固定，另一端连一质量为 m 的 质点，用哈密顿原理给出质点的运动微分方程。 5．试由拉格朗日方程导出在保守力系作用下的哈密顿原理。 6. 质量为 M 、半径为 r 的均质圆柱体放在粗糙水平面上。柱的外面绕有轻绳， 绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为 m 的重物。设圆柱体只滚不滑，并且 圆柱体与滑轮间的绳子是水平的。 求圆柱的加速度 a1 ， 物体的加速度 a2 及绳中张 力T 。 解：
3. 均匀杆 OA，重 P1，长为 l1，能在固定平面内绕固定铰链 O 转动。此杆的 A 端，用铰链连接另一重为 P2、长为 l2 的均匀杆 AB。在 AB 杆的 B 端加一水平力 F。求平衡时此二杆与水平线所成的角度 α 及 β。
4. 半径为 r 的光滑半球形碗，固定在水平面上。一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗 内，一端则在碗外，在碗内的长度为 c，试证棒的全长为
y D
C vC
B
vA φ A
x
§6.4 哈密顿正则方程
1. 试写出哈密顿正则方程： 。 2．一半径为 R 质量为 m2 的均质定滑轮，在此滑轮上绕过一条不可伸长的绳， 一端系一质量为 m1 的法码，另一端与一轻弹簧相连，弹簧倔强系数为 k，下端 固定， 设绳与滑轮之间无滑动， 试用拉格朗日方程或正则方程求法码的振动周期。 3. 试用哈密顿正则方程求出单摆的运动微分方程。 4．质量为 m，半径为 r 的小球，在半径为 R 的球形容器内无滑动地滚动，初位 置由角 0 确定，如图所示. 用哈密顿正则方程求解以下问题： (1) 为任意角时，小球受到容器的反作用力 N 和摩擦力 f. (2) 小球的微振动周期.