工程中模态灵敏度的计算方法
灵敏度计算公式
灵敏度计算公式
灵敏度的计算公式通常用以下给出的公式表示：
Sensitivity=Sp/(Sp+Np)。
其中，Sensitivity表示灵敏度，Sp表示阳性预测中的真实阳性，Np
表示阴性预测中的假阳性。
灵敏度是一种衡量模型预测能力的指标，反映模型能够正确检测出真
实阳性样本的能力。
它代表模型能够在阳性样本中检测出来的正确率，也
就是模型对真实阳性样本的检测能力。
灵敏度越高，模型的分类能力越强，说明模型越精准地检测到真实阳性样本。
通常，灵敏度与特异度是相互影
响的，也就是说，模型设置分类更严格，灵敏度越高，特异度越低，反之
亦然。
锤击法简支梁(固支梁)模态实验
（2）仪器连接 仪器连接如下图所示，其中力锤上的力传感器接动态采
集分析仪的第一通道，DH201加速度传感器接第二通道。
实验梁平面图
（ 3 ） 打 开 仪 器 电 源 ， 启 动 DHDAS 控 制 分 析 软 件 ， 选择分析/频响函数分析功能。
•在菜单“ 分析(N) ”选择分析模式“单输入频响”。
（1）测点的确定
此梁在y、z方向尺寸和 x方向（尺寸）相差较大， 可以简化为杆件，所以只需在x方向顺序布置若干敲 击点即可（本例单点拾振法-跑激励），敲击点的数 目视要得到的模态的阶数而定，敲击点数目要多于所 要求的阶数，得出的高阶模态结果才可信。此例中x 方向把梁分成十四等份，布置了十三个测点（两端点 视为不动点）。选取拾振点时要尽量避免使拾振点在 模态振型的节点上，此处取拾振点在四号测点处。
测点号
测量方向
注意：
1. 移动敲击时，当力锤移动到其他点进行敲击测量时，就必 须相应的修改力锤通道的模态信息/节点栏内的测点编号。 每次移动力锤后都要新建文件。
2. 用力锤敲击各个测点，观察有无波形，如果有一个或两个 通道无波形或波形不正常，就要检查仪器是否连接正确、 导线是否接通、传感器、仪器的工作是否正常等等，直至 波形正确为止。使用适当的敲击力敲击各测点，调节量程 范围，直到力的波形和响应的波形既不过载也不过小。
•在新建的四个窗口内，分别单击右键，在“信号选择”对话框中设定四 个窗口依次为：频响函数数据、1-1通道的时间波形、相干函数数据和12通道的时间波形,如下图。
（4）参数设置 分析参数设置
采样率：10KHz； 触发方式：信号触发 延迟点数： 200。 平均方式：线性平均 预览平均：√
采样率 触发方式
延迟点数 平均方式
利用声辐射模态进行声功率的灵敏度分析
结构 声学灵 敏 度分 析 由 于揭 示 了结 构振 动 引起 的
前其他结构声学灵敏度分析方法绝大多数也只针对其 中的一类或者其 中两类设计变量进行 了分析 ， 如文献 ［］ ７ 便对第二类和第三类设计变量进行了灵敏度分析 ， 文献 ［ ］ ８ 的方法 只对第 一类设计 变量进行 了灵敏 度
Ａｂｓｒ ｃ Ｗ ｈｅ ｏ ｎ ａ ｉｔｏ ｄ ｓ ａ ｅ ｕ ｅ ｏ ｃ ｌｕ ａｅ ｏ ｎ ａ ｉｔｏ ｗｅ ，ｃ ｍｐ ｉ ａｅ ｏ ｐ ｉ ｇ ｉ ｍｓ ｔ ａ ｔ： ｎ ｓ ｕ ｄ ｒ ｄ ａｉｎ ｍｏ ｅ ｒ ｓ ｄ ｔ ａｃ ｌ ｔ ｓ ｕ ｄ ｒ ｄａ ｉｎ ｐｏ ｒ ｏ ｌｃ ｔｄ ｃ ｕ ｌｎ ｔ ｅ
振 第３ ０卷第 １ １期
动
与
冲
击
Ｊ ０ＵＲＮＡＬ Ｂ ＯＦ ＶＩ ＲＡＴ１ ０Ｎ ＡＮＤ Ｓ ＨＯＣＫ
利 用 声 辐射 模 态进 行 声 功 率 的灵敏 度 分 析
杜 向华 ，朱海潮 ，毛荣 富
（ 海军工程大学 振动 与噪声研究所 ， 武汉 ４０３ ） ３ ０３
摘 要 ：采用声辐射模态进行结构辐射声功率计算， 具有消除结构振动模态中复杂耦合项的优点， 使得计算结构
分析 。
辐射声压 、 声能量等声学量与各种设 计变量之 间的关
系 ， 而 可 以使 产 品结 构 的 低 噪声 设 计 更 具 科 学 性 。 从 因此 ， 开展 这 方 面 的研 究 很 有 理 论 和 工 程 意 义 。设 计
变量可以分为三类… ： 第一类变量 ， 即与结构辐射表 面 形状相关的变量， 此类设计变量称为形状 变量。第二 类 变量 ， 辐 射 表 面 形 状 无 关 的变 量 ， 截 面 尺 寸 参 与 如 数， 材料属性参数等， 此类设计变量改变 的只有声学 问
模态试验分析方法简介
模态试验分析方法简介1 试验模态分析的基本步骤试验模态分析一般分为如下的四个步骤：第一步：建立测试系统所谓建立测试系统就是确定实验对象，选择激振方式，选择力传感器和响应传感器，并对整个测试系统进行校准。
第二步：测量被测系统的响应数据这是试验模态的关键一步，所测量得到的数据的准确性和可靠性直接影响到模态试验的结果。
在某一激振力的作用下被测系统一旦被激振起来，就可以通过测试仪器测量得到激振力或响应的时域信号，通过输血手段将其转化为频域信号，就可以得到系统频响函数的平均估计，在某些情况下不要求计算频响函数，只需要时间历程就可以了。
第三步：进行模态参数估计即利用测量得到的频响函数或时间历程来估计模态参数，包括：固有频率，模态振型，模态阻尼，模态刚度和模态质量等。
第四步：模态模型验证它是对第三步模态参数估计所得结果的正确性进行检验，它是对模态试验成果评定以及进一步对被测系统进行动力学分析的必要过程。
以上的每个步骤都是试验模态中必不可少的组成部分，其具体的介绍如下：2、建立测试系统建立测试系统是模态试验的前期准备过程，它主要包括：被测对象的理论分析和计算，测试方案的确定（包括激振方式的确定，传感器的选择，数据采集分析仪器的选择等），按照方案要求安装和调试，测试系统的校准等工作。
接下来对激振方式，传感器的选择和数据采集仪器的选择的具体介绍如下：2.1激振方式的确定：激振方式有很多种，主要分为天然振源激振和人工振源激振。
天然振源包括地震，地脉动，风振，海浪等；其中地脉动常被使用于大型结构的激励，其特点是频带很宽，包含了各种频率的成分，但是随机性很大，采样时间要求较长，人工振源包括起振机，激振器，地震模拟台，车辆振动，爆破，张拉释放，机械振动，人体晃动和打桩等。
其中爆破和张拉释放这两种方法应用较为广泛。
在工程实际中应当根据被测对象的特点，选取适当的激振方式。
2.2传感器的选择：传感器是测试系统的一次仪表，它的可靠性，精确度等参数指标直接影响到系统的质量。
《结构动力学》-第十一章-结构动态特性的灵敏度分析及动力修改讲解
0
i
0
0
K
2 i0
M
i
0
K
0
2 i0
M
0
i
2i0
i
M
0
i
0
0 (7)
将式(5)式代入(7)，然后左乘以
T
j0
，并考虑到式(3)，可得
T j0
另有两种称为半灵敏度的定义：①应变量的变化／自变量 的相对变化；②应变量的相对变化／自变量的变化。
§11-2 基本原理
系统运动微分方程为：
M 0 X0 K0 X 0 0 (1)
各阶固有频率和相应的模态向量为
120
2 i0
2 20
i i0
A A
U
e i0
Ti
2 i0
e 0
Uie ─单元(节点)e的第i阶模态势能增量；
Tie ─单元(节点) e的第i阶模态动能增量。
敏感位置取决于桁杆单元的模态动能和模态势能。
５、梁单元的灵敏度分析
梁单元的灵敏度
i
i0
1
2 i0
Ae
另一方面，即使有限元模型置信度很高，但随着机械设备向 高速化、轻量化、大型化、复杂化方向的发展，人们不可能 一次设计出高质量的产品，而必须对结构作优化设计，即要 多次修改设计（有限元模型），进行重分析和计算，直到产 品的动特性达到满意的要求。这就是动力修改的问题。
结构动力修改具有两方面的工程含义：一是计算模型的修 改，二是结构的动力修改。前者是用从模态试验中获得的 结构模态参数测试数据（作为基准）对有限元模型进行修 正，以获得置信度较高、能准确反映结构动态特性的数学 模型。
精选有限元分析模态分析讲义
精选有限元分析模态分析讲义有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）是一种工程分析方法，通过将连续体离散化为若干个有限单元，建立有限元模型，以求解结构的力学性能和振动特性。
模态分析是有限元分析的重要应用之一，主要用于研究和预测结构的固有频率、振型和模态势能的分布。
以下是一份精选的有限元分析模态分析讲义，包括了模态分析的基本原理、建立有限元模型的步骤和模态分析的结果解读。
一、模态分析的基本原理：1.结构固有频率的定义和意义；2.结构的振型和模态势能的物理意义；3.模态分析的数学模型和假设；4.模态方程的推导和求解方法；5.模态分析的应用示例。
二、建立有限元模型的步骤：1.结构的几何建模和网格划分；2.材料的力学性质和边界条件的定义；3.单元类型和单元参数的选择；4.单元刚度矩阵和质量矩阵的生成；5.结构的总刚度矩阵和总质量矩阵的组装；6.结构的边界约束处理；7.求解结构的固有频率和振型。
三、模态分析的结果解读：1.结构的固有频率和振型的意义及影响因素；2.模态势能的计算和分析；3.结构的频率响应和模态叠加法；4.模态分析结果的验证和灵敏度分析；5.模态分析在结构设计和优化中的应用。
此外，讲义还可以包括以下内容：1.不同类型结构的模态分析实例和案例分析；2.常见的模态分析方法和软件工具的介绍；3.模态分析结果的后处理和可视化方法；4.模态分析中的常见问题和解决方法；5.模态分析在结构健康监测和故障诊断中的应用。
总之，一份精选的有限元分析模态分析讲义应当全面介绍模态分析的基本原理和方法，包括模态分析的建模步骤和结果解读，同时提供实例和案例分析，为学习者提供理论基础和实践指导，使他们掌握有限元模态分析的基本原理和应用技能。
输电通道灵敏度计算
输电通道灵敏度计算
输电通道的灵敏度计算是电力系统中重要的参数之一，它用于
评估输电线路对系统中各种扰动的响应程度。
灵敏度计算可以帮助
电力系统运营人员更好地了解输电线路在系统中的作用和影响，从
而进行合理的运行和调度。
首先，灵敏度计算的基本原理是通过对输电线路参数的微小变
化引起的系统响应进行分析，以确定线路对这些变化的敏感程度。
这通常涉及计算线路参数的偏导数，以确定在参数变化时系统响应
的变化情况。
在进行灵敏度计算时，需要考虑以下几个方面：
1. 参数选择，确定需要进行灵敏度计算的输电线路参数，例如
阻抗、导纳等。
2. 扰动分析，确定系统中可能引起参数变化的扰动，例如负荷
变化、短路故障等。
3. 计算方法，选择合适的计算方法，例如数值计算或解析计算，
以确定参数变化对系统响应的影响。
4. 结果解释，分析灵敏度计算的结果，评估线路对系统稳定性和可靠性的影响。
在实际应用中，灵敏度计算可以帮助确定系统中的薄弱环节，指导系统运行和调度，优化输电线路的配置和参数设置，提高系统的可靠性和稳定性。
总的来说，灵敏度计算是电力系统运行和规划中的重要工具，通过对输电线路对参数变化的响应进行分析，可以帮助运营人员更好地了解系统的特性，指导系统的运行和规划工作。
桥梁动静载、模态实验
桥梁动静载、模态实验注意事项等(仅做参考)一、静载实验桥梁静载实验中的应变测试通常采用的是1/4桥。
桥梁静载实验中，为了满足小信号、低漂移和抗干扰性的要求，对连接电阻应变测试的导线，建议选用2芯金属屏蔽外加护套的PVC电缆线，线径不可太小，建议最好选2×0.3～0.5(若用半桥每个测点独立补偿，最好选用3芯或四芯)。
另外，因本系统的电阻应变适调器的连接电路中，任何金属屏蔽线不应作为电阻应变电桥的连接导线用。
电阻应变电测中，为达到良好的抗干扰性能，根据测试场地的条件，对屏蔽线作适当的连接，如将屏蔽线与仪器的接地端连成一体，再与仪器地良好接妥。
另外仪器本身一定要接地（在保证使用的前提下，用一根尽量短、粗的导线进行接地，一端连在仪器的接地端上，另一端最好直接接到大地中）应变测试用导线在接到静态仪器（如DH3815N）上的测点时，建议最好采用焊接的方式，因为在这种连接状态下导线与仪器测点的接触电阻基本不变化，测试效果好。
而且补偿片和工作片上的外接导线的长度值最好一样长（或者相差无几），如果长度相差过大进而导致导线电阻相差过大，会导致桥路输出零点超过仪器平衡范围，从而使得该测点无法平衡，即使平衡也会导致测量范围缩小，具体可通过查看平衡结果来判断，例如平衡结果是17000，而仪器的测量范围是20000，那么测量范围就只有3000了。
另外，静态应变测试时，应变片粘贴效果的好坏，直接决定了应变测试数据的好坏，特别是补偿片的粘贴（在多测点公用一个补偿片的时候，补偿片的重要性大于工作片），因此如果对于应变粘贴工作不是太熟悉甚至未曾接触过的情况下，建议请专门的应变粘贴技工等人员来贴片。
本公司用于桥梁静态实验的仪器以DH3815N或DH3816为主，因此本文以DH3815N为例，叙述静态实验的测试全过程：假设参与实验的仪器共有一台主机，3台副机：1-1，1-2，1-3。
假设3台仪器上全部接满应变片；打开仪器后，然后打开软件。
振幅灵敏度计算公式
振幅灵敏度计算公式振幅灵敏度是指在振动系统中，系统输出的振幅对输入的振幅变化的敏感程度。
在工程和物理学中，振幅灵敏度是一个重要的参数，它可以帮助我们了解振动系统的性能和稳定性。
振幅灵敏度计算公式是用来描述振动系统中振幅灵敏度的数学关系的公式。
振幅灵敏度计算公式通常可以表示为以下形式：S = ΔA / ΔB。
其中，S表示振幅灵敏度，ΔA表示输出振幅的变化量，ΔB表示输入振幅的变化量。
这个公式可以帮助我们计算振动系统中振幅灵敏度的数值，从而了解系统对振幅变化的响应。
在实际应用中，振幅灵敏度计算公式可以根据具体的振动系统和振动信号的特点进行调整和优化。
例如，在机械振动系统中，振幅灵敏度计算公式可以考虑系统的阻尼、质量和刚度等因素；在电子振动系统中，振幅灵敏度计算公式可以考虑系统的电容、电感和阻抗等因素。
除了上述的基本形式外，振幅灵敏度计算公式还可以根据不同的振动系统和振动信号的特点进行进一步的推导和修正。
例如，在非线性振动系统中，振幅灵敏度计算公式可能需要考虑非线性因素的影响；在多自由度振动系统中，振幅灵敏度计算公式可能需要考虑系统的模态耦合和共振现象。
振幅灵敏度计算公式的应用不仅局限于理论研究，还可以在工程实践中发挥重要作用。
通过对振幅灵敏度的计算和分析，我们可以优化振动系统的设计和控制，提高系统的性能和稳定性。
例如，在机械工程中，通过对振幅灵敏度的计算，我们可以优化机械结构的设计，减小系统的振动幅度；在电子工程中，通过对振幅灵敏度的计算，我们可以优化电路的设计，提高系统的抗干扰能力。
总之，振幅灵敏度计算公式是描述振动系统中振幅灵敏度的数学关系的重要工具。
通过对振幅灵敏度的计算和分析，我们可以更好地了解振动系统的性能和稳定性，优化系统的设计和控制，提高系统的工作效率和可靠性。
振幅灵敏度计算公式的研究和应用将为振动工程领域的发展和进步提供重要的支持和指导。
充液管道模态的参数灵敏度及其共振可靠性分析
｜ｓ矿南善Ｓ。（Ｊ’
（３）
标准差为： 盯盯ｑｑ＝２．√／厂ｊ‘■而—忐刍］∑Ｆｏ广［３—ｓ跏刊—２—¨一—≈ｓ～ｉ
（（４４））
其中戈ｙ’为经蒙特卡洛抽样法按由小到大顺序排列后 的第＿『列抽样序列Ｚ∽为第，列抽样所计算得到的固有 频率Ｚ∽。，为第．『＋１列抽样所计算得到的固有频率。 ２．２结构参数对固有频率的灵敏度分析
２结构参数对固有频率的灵敏度
２．１ 结构参数对固有频率的灵敏度的基本理论 ＡＮＳＹＳ概率设计是用来评估模型的输入参数或假
设条件的不确定性对于结果的影响，通过参数的灵敏 度分析可以确定哪些随机变量对结果起重要影响，从 而对结构的优化设计起着重要的作用。
结构灵敏度分析一般的算法有导数法和摄动法 等，对于蒙特卡洛模拟法分析管道结构的固有频率，可 以假设充液管道系统的固有频率厂＝ｇ（戈，，戈：，…，石。）， 茹＝｛髫。，菇：，…，菇。｝为基本随机变量的向量，则变量ｚｉ
中圈分类号：０３５３．４
文献标识码：Ａ
充液管道中所含有的阀门等元件的工况变化、液 体流速压力对管道的作用、脉冲作用等，通过流固耦合 作用，会引起充液管道系统固有频率的变化。对于充 液管道系统模态的流固耦合求解一些文献给出了不同 的求解方法，主要有两种，液．弹耦合和声．弹耦合¨以Ｊ。 文献ｐ１利用传递矩阵法计算了充液管道系统的充液和 充气时的模态，并和ＡＮＳＹＳ计算空管的模态进行了比 较，但用数学的方法计算较为复杂，本文利用有限元软 件计算了充液管道系统的充液、充气以及空管时的模 态，并对管道结构参数对系统的固有频率的灵敏度进 行了计算，比用数学方法计算简便很多，在管道工程设 计与评估中有一定的意义。对于不同领域的工程问 题，在不同的环境下可能要求管道系统的固有频率远 离激振力频率，防止共振的发生，这就对管道的模态防 止共振的可靠性提出了要求。有限元软件ＡＮＳＹＳ是 一个功能强大、适应领域广泛的大型通用有限元分析 软件，提供了强大的动力分析工具，可以很方便的进行 模态分析等各种动力分析；并且提供了概率分析模块， 可以方便的解决可靠性的问题¨Ｊ。
模态分析多种方法
模态分析 - 简介专业模态分析，包含多种经典和最新理论方法，支持各种模态试验方法。
目前已经在国防军工、教学科研、土木建筑、机械、铁路交通等各行业得到了非常广泛的应用，成功完成了大量的模态试验任务，包括航天器、军械、卫星、汽车、桥梁、井架、楼房等等，受到广大用户的高度评价.主要特点* 模态类型可完成位移模态和应变模态的试验分析,可直接输出含有模态质量、刚度、阻尼、留数、振型、相关矩阵校验系数的模态分析报告。
* 多种方法支持各种试验方法，SIMO(单输入多输出)、MISO(多输入单输出)、MIMO(多输入多输出)、ODS(运行状态变形)、OMA(环境激励模态)等* 变时基专利技术，可进行大型低频结构的脉冲激励模态试验。
* 自动化模态分析（一键求模态）领先技术利用创新的模态指示函数，一键即可得到专家级的模态分析结果* 可视化结构生成和彩色三维振型动画（点击进入详细介绍）结构输入：可视化的CAD输入系统，点击鼠标即可完成振型动画：三维彩色动画，多模态多视图旋转显示，输出AVI文件* 仿真分析可以进行板、梁的仿真模态分析，适合于模态分析理论的教学和学习。
1.基本模态软件基本部分可完成位移模态分析，支持SIMO、MISO、OMA方法，具有变时基专利技术，可视化的结构生成和彩色振型动画显示，以及仿真分析功能。
模态拟合方法提供六种频域方法和ERA特征值实现算法，ERA方法既可以完成激励可测的经典模态分析，又可以进行激励不可测的环境激励模态分析。
2. 时域法模态分析（适合于环境激励模态）(选件)三种时域拟合方法(随机子空间法SSI,特征系统实现算法ERA,复指数法Prony)，更适合大桥楼房等环境激励模态3.EFDD模态分析（适合于环境激励模态）(选件)增强的频域分解法，国际最新发展的方法，分析过程简明，操作简单，不易产生虚假模态。
4. PPM和PZM法模态分析（适合于环境激励模态）(选件)PPM功率谱多项式分解方法，为东方所独创提出，利用单个自功率谱曲线即可识别出密集模态的频率和阻尼，采用遗传算法，其精度高于EFDD法。
模态分析试验报告-
《建筑结构的模态分析试验》实验报告专业土木工程班级学号姓名教师建工实验中心2010年3月振动测试与模态分析实验报告一、实验人员3组：二、试验目的1.培养学生采用实验与理论相结合的方法来处理工程中的振动问题。
2.通过实验使学生掌握振动测试系统的基本组成、了解振动测试的常用测量方法以及模态分析技术。
模态分析技术已发展成为解决工程振动问题的重要手段。
3.了解模态分析软件的使用方法。
三、试验内容1、学习模态分析原理；2、学习模态测试及分析方法。
通过对框架模型的模态试验分析，测定出基础模型的模态参数：固有频率、阻尼比、振型图，并通过实验观察了解框架结构的动力参数，从而掌握模态分析的基本原理及分析方法。
四、试验的基本要求（1）掌握振动测试系统的构成及操作。
（2）了解振动测试的常用测量方法。
激振、锤击(3)了解数据采集系统的操作步骤。
(4)了解对已采集到的数据进行模态分析的方法与步骤。
五、试验仪器（表1）单轴加速度传感器、力锤、动态信号分析仪LMS和计算机等力锤用于激励实验对象。
力传感器用于拾取激励信号并转换成为电荷信号。
加速度计用于拾取响应信号并转换成为电荷信号。
AZ804-A四通道电荷电压放大信号调理仪，用于将电荷信号放大v1.0 可编辑可修改成为适合测量的电压信号。
AZ208数据采集箱信号采集分析系统包括抗混滤波器、A／D变换器、结构动态分析软件、计算机、打印机。
用安装有力传感器的力锤敲击实验对象上的若干个点。
力传感器拾取激励力的信号，安装在实验对象的某测点上的加速度计拾取响应信号．经电荷放大器放大后输入信号采集系统。
实验仪器框图如图1所示。
力信号接入信号采集器的第1通道，响应信号依次接入信号采集器的其他通道。
表1 试验仪器的硬件及软件力锤传感器厂家型号量程频率范围灵敏度美国PCB公司086D20加速度传感器灵敏度厂家型号量程频率范围vm/g 美国PCB公司333B4050g50g50g50g六、试验步骤模态试验基本过程二十年来，由于计算机技术、FFT分析仪、高速数据采集系统以及振动传感器激励器等技术的发展，试验模态分析得到了很快的发展，受到了机械、电力、建筑、水利、航空、航天等许多产业部门的高度重视。
《结构动力学》-第十一章-结构动态特性的灵敏度分析及动力修改解析
i
i0
1 s s 2 s 2 s2 m xi yi zi 2
s s s zi xi 式中：m s 为在节点处所加的质量， 、 yi 、 分别 为原结构第i阶模态在节点处的x、y、z方向线位移分量。
定义相对灵敏度：
i i0
0
0
i
i0
i
i ij j0 (5)
n
K M 0 (6)
2 i i
j 1
将式(4)代入式(6)，展开后略去二阶及二阶以上的小量， 并考虑到
K M 0
0 2 i0 0 i0
K M K M 2
s m s Ti 0 1 s s2 s2 s2 ms 2 m xi yi zi 2 i0
s Ti 0 为原结构节点处的第阶模态动能。
对某阶模态而言，哪个节点的模态动能大，哪个节点 即是质量修改的敏感节点。
２、节点加弹簧灵敏度分析 经过推导，可得节点加弹簧灵敏度
2 i0 i0 0 2 i0 0 i
i0
i M 0 i 0 0 (7)
将式(5)式代入(7)，然后左乘以 j 0 T ，并考虑到式(3)，可得
K M
T j0 2 i0 i0 ij
2 j0
i20 2i 0 i ij 0 (8)
0 ij 1
i j i j
当i＝j时，有
i
i 0
i 0 T K i20 M i 0 (9)
2i20
当i≠j时，有
ij
K M (10 )
灵敏度分析率计算公式
灵敏度分析率计算公式灵敏度分析率是一种用于评估系统或模型对输入参数变化的敏感程度的方法。
在许多科学和工程领域中，灵敏度分析率被广泛应用于评估系统的稳定性和可靠性。
通过计算系统对输入参数的变化的响应，可以帮助我们更好地理解系统的行为，并且能够为系统的优化和改进提供重要的信息。
在本文中，我们将介绍灵敏度分析率的计算公式，并讨论其在实际应用中的意义和应用。
灵敏度分析率的计算公式可以用来评估系统对输入参数变化的敏感程度。
通常情况下，我们可以使用以下的公式来计算系统的灵敏度分析率：\[ S = \frac{\partial f}{\partial x} \times \frac{x}{f} \]在这个公式中，\( S \)代表系统的灵敏度分析率，\( f \)代表系统的输出，\( x \)代表系统的输入参数。
这个公式可以帮助我们计算系统对输入参数变化的敏感程度，从而帮助我们更好地理解系统的行为。
在实际应用中，灵敏度分析率可以帮助我们评估系统的稳定性和可靠性。
通过计算系统对输入参数的变化的响应，我们可以更好地了解系统的行为，并且可以为系统的优化和改进提供重要的信息。
例如，在工程领域中，我们可以使用灵敏度分析率来评估系统对材料性能、工艺参数等的变化的敏感程度，从而帮助我们更好地设计和优化工程系统。
此外，灵敏度分析率还可以帮助我们识别系统中的关键参数。
通过计算系统对输入参数的变化的响应，我们可以确定哪些参数对系统的性能影响最大，从而可以更好地分配资源和精力来优化系统。
这对于提高系统的性能和效率是非常重要的。
除了在工程领域中的应用之外，灵敏度分析率在金融、医学、环境科学等领域也有着广泛的应用。
通过计算系统对输入参数的变化的响应，我们可以更好地了解系统的行为，并且可以为系统的优化和改进提供重要的信息。
在金融领域中，我们可以使用灵敏度分析率来评估投资组合对市场波动的敏感程度，从而帮助我们更好地管理投资风险。
在医学领域中，我们可以使用灵敏度分析率来评估疾病模型对治疗方案的敏感程度，从而帮助我们更好地制定治疗策略。
模态分析的近似计算原理及方法
w2 b2
(16)
(14)式还表明： q3 位于 q1 、 q2 和 Aq2 所张成的空间中。 由于 q2
令 q3 与 q2 正交，有：
(12)
a 2 (q 2 , Aq 2 ) (q 2 , Aq 2 b1q1 )
由(9)式可计算残余向量：
(13)
w2 b2 q3 Aq 2 b1 q1 a 2 q 2
由此可得到：
(14)
b2 w2
2
(15)
q3
由上面过程可见， q3 同时与 q1 、 q2 正交。
对于第 i 阶模态，有：
i 2
i [ K ] i i [ M ] i
(1)
上式表明：如果已知某阶模态，则可由系统的特性矩阵 [ K ] 、 [M ] 求出精确的该阶固 有频率。但是事实上，在求出固有频率之前，不太可能得到系统的准确的模态。但(1)式同 时也表明，如果有一个近似的模态 x i ，则下式能得到固有频率的近似值：
由 Q AQ T 得 AQ QT ：
0 0 a1 b1 0 b a b 0 0 2 2 1 qn 0 b2 0 0 0 an 1 bn 1 0 0 0 bn 1 an
Aq1 q2 qn q1 q2
征值问题的 Lanczos 方法
Lanczos 算法是目前计算对称矩阵特征值问题的最有效方法，该算法建立在 把一个对称矩阵进行相似变换转化为三对角矩阵的 Lanczos 过程基础上。 Householder 变换也可以将一个对称矩阵变换为一个三对角矩阵，但是当矩阵是 大型稀疏矩阵时，Householder 变换会破坏其稀疏性，引起非零元素的填入，造 成存储空间不够。Lanczos 过程在整个计算过程中矩阵保持不变，只需添加少许 存储空间就可以完成。
灵敏度的计算
灵敏度的计算
灵敏度（Sensitivity）是指在给定条件下，测量结果对被测量物理量变化的响应程度。
灵敏度的计算方法会根据具体的测量系统和测量物理量的特性而有所不同。
下面是几种常见的计算灵敏度的方法：
1.绝对灵敏度（Absolute Sensitivity）：
o绝对灵敏度是指测量系统输出信号相对于被测量物理量变化的大小。
o通常通过计算输出信号的变化量与被测量物理量变化量的比率来计算绝对灵敏度。
绝对灵敏度= Δ输出信号/ Δ被测量物理量
2.相对灵敏度（Relative Sensitivity）：
o相对灵敏度是指测量系统输出信号相对于被测量物理量的相对变化。
o通常使用百分比或分贝单位来表示。
相对灵敏度= (Δ输出信号 / 初始输出信号) × 100%
3.最小可测量值（Minimum Detectable Value）：
o最小可测量值是指在给定条件下，测量系统能够检测到的被测量物理量最小变化。
o利用系统的噪声水平和测量的信噪比来计算最小可测量值。
最小可测量值 = (系统噪声 / 信噪比)
需要根据具体测量系统和被测量物理量的特性，选择合适的灵敏度计算方法。
有时，灵敏度还可能受到其他因素（如环境条件、测量仪器的分辨率等）的影响，需要综合考虑。
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工程中模态灵敏度的计算方法灵敏度即求导信息，它是一种度量，是一种评价由于设计变量或参数的改变而引起结构特性变化的变化程度的方法。
系统的灵敏度分析的主要目的是确定设计参数变更时，系统响应、特征值及特征向量等发生的变化率，因此通过灵敏度分析可得到为实现最优化所需要的设计导数。
它是当前力学和结构工程领域的主要研究方向之一。
例如在结构优化、可靠性评估及结构控制等工程领域，灵敏度信息即是一个主要的先决条件，通常依据灵敏度性态来确定对优化目标及状态变量影响较大的设计参数，利用程序可自动选择灵敏度高的参数进行操作。
在结构系统的模型修正时，基于设计参数及矩阵元素的修正算法，可以使用无阻尼实模态的正交归一化条件作为约束求解修正量，目前也有一些文献在使用复模态的正交归一化条件来设计修正算法，这些算法经常使用各种模态参数的灵敏度信息参与修正量的求解。
当前，结构安全性检测有时也依赖灵敏度信息来确定结构是否出现损伤、损伤的位置及损伤的严重程度等。
1 阻尼与模态依据结构阻尼的性质可将振动系统分为无阻尼、比例阻尼及一般粘性阻尼三种情况。
在应用灵敏度分析的相关领域中，各种阻尼情况下的模态分析是其重要的基础。
无阻尼情况下的模态被称为实模态或纯模态，特征方程的根比较容易依据方程（λ2M+K）x=0的特征值问题求解，这种问题在数学意义上称为广义特征问题，得到实频率-ω2r=λ2r及相对应的实模态。
当比例阻尼矩阵满足方程C=αM+βK （α，β 为实常数）时，比例阻尼系统具有复频率λ2r，并满足【1】且与无阻尼系统具有相等的实模态向量。
可见比例阻尼系统的数值计算量远低于一般的粘性阻尼系统。
当系统的阻尼近似为一般粘性阻尼时，系统的极点与模态都是复值的，系统的特征问题为（λ2M+λC+K）x=0。
这不是一般意义上的特征问题，为了将系统特征问题转化为数学意义上的特征问题，即实值矩阵的一般特征问题，常将系统方程转入状态空间形式，第一种常见的状态方程形式为Ay+By=0，其中【2】这种类型的状态矩阵总也不是对称的，导致它的右状态向量系总也不是内部正交的，还必须要求M-1存在。
但是，它的优点是振动系统的特征问题转化为一般矩阵 A 的特征问题，而不是第一种的广义特征问题。
在使用两种状态方程的状态向量正交关系时，必须格外注意它们与系统的左右模态之间的关系，以及考虑系统性质矩阵是否对称等，否则极易得到错误的结论。
讨论状态向量的正交性及灵敏度问题的意义在于2N 维状态向量的前N 维恰为原振动系统的模态向量。
事实上，实模态在实际中是根本不存在的，而复模态从实验中是可以鉴别的。
目前，在绝大多数利用特征问题灵敏度的结构分析领域中，如模态校正、损伤识别、设计优化、随机有限元理论等，还很少应用复模态分析，仅依赖于无阻尼实模态分析。
我们在实际的实验性的模态分析中是可以识别复模态的。
对于特征方程通常只考虑无阻尼的情形，即使必须面对阻尼特征问题时也只是假定在比例阻尼的情形下进行简单处理。
这一方面由于在结构模型中能否适当地模拟阻尼是个问题，另一方面由于目前复特征问题的灵敏度分析方法还处于不够实用的阶段，因此开发针对复特征值与复特征向量的灵敏度分析的应用算法，是有实践意义和理论价值的。
在一般的非比例粘性阻尼面前，模态坐标下的运动方程可以通过模态和阻尼矩阵的非对角化条件进行解耦，当然此时结构模态和基频一般也是复值的。
在此过程中，将产生两条技术线路，一个是在N 维空间中的近似解法，一个是2N 维空间中的状态空间法，但当问题的容量加大时，状态空间法将付出数学方面的巨大努力，不仅如此，这种方法也缺少传统的模态分析中那种简朴的物理意义。
以上原因导致必须在N 维空间中进行一些深入的研究去分析非比例阻尼的模态灵敏度等情况。
绝大多数的方法是寻求一些优化解法，或者仅仅忽略模态阻尼矩阵非对角化条件，也可以这样说，沿着这些方法论思考时模态仍然是实值的。
不仅如此，除了假设低阻尼的前提下，这些方法的精确性还依赖于多种因素，例如模态间的频率分隔区间和主动频率等等。
当然在实际中，为了能使用无阻尼实模态理论，常常在分析中合并复模态。
近几年，随着对阻尼系统的深入研究，研究者们开始把阻尼系统细化为经典阻尼及非经典阻尼系统，认为当系统的阻尼矩阵可以被系统的刚度和质量矩阵对角化，即模态阻尼阵为对角矩阵时，这个系统称为经典阻尼系统，否则称为非经典阻尼系统。
对非经典阻尼系统各种振动分析已取得一定的进展，可参见文献。
2 无阻尼系统的模态灵敏度算法综合近30年来的研究成果，可把模态灵敏度分析的方法分为两大类：直接法（代数法）和各种模态展开法。
直接法是对特征方程求导后，通过支配方程的系数矩阵的非奇异化处理算法，来直接求解灵敏度的方法。
而模态法是指对支配方程中的灵敏度作全模态线性展开，用各种模态的正交及规范化条件求得展开式系数的一类方法。
Nelson基于Fox的方法首先提出直接法，对支配方程的系数矩阵（K0-λ0iM0）施行消行消列使其非奇异，进而求解灵敏度。
因为它只须知道被分析模态的信息，故对于只涉及少数几个模态摄动的大型问题，它是有效的方法。
随后直接法有了很多的发展，它们可用于保守系统、陀螺系统及一般系统的重特征分析。
近年来模态展开法也成为人们研究的热点，文献[11]提出了经典模态展开法，用完备模态集的线性组合，通过求解组合系数来表示模态灵敏度。
然后分别形成了修正模态法、迭代模态法、移位迭代模态法、幂级数展开法和混合基展开法等改进算法。
所有这些方法都属于无阻尼振动系统的模态灵敏度分析算法。
3 阻尼系统的特征灵敏度分析算法除了上文中对阻尼系统的分类方法外，还有一些分类方法，例如按系统性质矩阵的对称与非对称性分类，或按特征值的性态分为单频、重频及密频系统，再者模态系特点分为完备及亏损两种情况等。
在具体的应用过程中由于系统的复杂性，这些分类方法可能存在多种形式的交叉。
在许多动力问题中，惯性、刚度和阻尼性质不能被对称阵或自连接的微分算子所表达，这种典型问题出现在主动控制结构中和许多非保守动力系统。
例如，路上移动的汽车、按轨迹飞行的导弹、海上船体的运动和飘浮在空中的飞行器等。
阻尼和刚度阵的非对称性经常在陀螺和随动力系统中出现。
对大量的非对称系统，许多学者已经发展了Fox和Kapoor的方法来决定单频及重频阻尼系统的特征灵敏度。
Sondipon和Friswell在假定系统频率全不相同的（单频）情况下，对线性非对称系统的模态灵敏度给出了表达式，在理论上取得了很大进步。
不过，他们虽然对伴有重频的保守系统的灵敏度给予一定程度的考虑，但对非比例阻尼系统中阻尼阵的某一单元秩变化后所产生的重频现象及其灵敏度分析却表示困难。
Lee等基于对称阻尼系统单、重频模态的灵敏度分别作出了论述。
Kang- Min Choi等给出了对称重频阻尼系统模态的一阶乃至高阶灵敏度的计算方法。
到目前为止，对非对称、密集模态灵敏度的研究仍是一个亟待开展的课题。
目前，在国内对非对称阻尼系统的重特征导数的研究方面呈现两种态势。
一方面是对纯矩阵广义特征问题的重频模态灵敏度的研究，理论上作了大量分析，只是并未与振动二阶系统相联系，所以与工程实际中大规模应用尚有一定的距离；另一方面的研究是从状态空间形式出发开展严谨的讨论，使用全模态推导出N 维空间中近似计算特征向量导数的方法，但有时推导过程及结论较为繁琐，不宜于一般工程人员理解和使用。
总之，对于大型工程问题发展适用的模态灵敏度分析方法仍然十分必要。
在很多结构系统中即使出现密频或重频的问题，在讨论中一般都假定系统为完备系统来分析模态灵敏度。
但在亏损振动系统，这个过程的研究发生了困难，如非比例阻尼矩阵，或在非保守力作用下的结构动力问题，气动弹性颤振分析，以及结构和控制系统相耦合的问题，其有关的矩阵可能是亏损的。
事实上，当非经典阻尼系统的非经典模态对应的频率的几何重数小于其代数重数时，就必定会出现亏损系统的特征问题。
许多流固耦合动力学问题、自动控制问题中会遇到亏损频率问题。
Luongo甚至构造出一族两自由度亏损系统。
张慧生等提出了一般矩阵的亏损特征对的摄动方法，却不属于灵敏度分析方法的范畴。
文献[25]从亏损系统的特征问题出发，利用广义模态理论建立亏损系统广义模态向量系进行模态灵敏度的分析，以实现系统的优化与控制，但该方法没有唯一地确定模态灵敏度的展开式系数。
因为对亏损系统的认识和研究仍然处于发展阶段，所以较为成熟及操作性强的灵敏度分析方法仍亟待开发。
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