量子信息学引论第7讲

2 2
a a b
2 2
0
0 a 0 b c 1
d e f
g a d g h 0 e h j c f j
33
如何构造U2
用类似方法来构造U2： 如果 c’=0，则设
不失一般性, 在量子线路结尾的未终止的 量子线(即, 未测量的量子比特)都可假定 为已被测量。 这个假定的测量得不到关于其系统的具体信息。
19
如何理解 “隐含测量原则”? 通过练习4.32
证明：
Tr Tr P02 P12 Tr P0 P1 Tr
0
1 0 ( 00 11 ) 1 ( 00 11 ) 2
1 0 ( 00 11 ) 1 ( 10 01 ) 1 2
13
（回顾）量子传态的过程推导:
1 2
1 0 ( 00 11 ) 1 ( 10 01 ) 2 1 ( 0 1 )( 00 11 ) ( 0 1 )( 10 01 ) 2
(00) 0 1 (11) 1 0
Alice测量后得到的结果 测量后Bob的量子位状态
16
推迟测量原则的结果
2 [ 00 0 1 01 1 0
10 0 1 11 1 0 ]. 1 2
思考：为什么？ 提示：n 个量子比特的任意酉阵的维数是多少？
37
4.5.2 单量子位门 与CNOT门是普适的
• 前面说明作用在d维Hilbert空间上的任意酉 阵可写成两级酉阵的乘积。 • 下面说明单量子位门与CNOT一起可实现作 用在n个量子位的态空间上的任意两级酉矩 阵。 • 合起来，单量子位门与CNOT门能用来实现 作用在n个量子位上的任意酉变换，因而对 于量子计算是普适的。
32
a* 2 2 a b 如果b0，则设： b U1 2 2 a b U1是两级酉阵 0
b* a b a
2 2
a b
2
2
0
0 0 1
如何构造U1
这样就得到：
a* 2 2 a b b U1U 2 2 a b 0 b* a b
两级(two-level)酉门
下面的3x3矩阵都是两级酉矩阵
a b 0 c d 0 0 0 1
a b 0 0 1 0 c 0 d
1 0 0 0 a b 0 c d
27
两级酉门是普适的
作用多维数空间的任意的U操作都可用
30
U如何分解成两级酉矩阵的乘积?
a b U c d e f g h j
找到两级酉矩阵，U1，U2，U3，使得：
U 3 U 2U 1 U = I
则：
31
U U U U
1
2
3
如何构造U1
用下述方法来构造U1： 如果 b=0，则设
1 0 0 U 1 0 1 0 0 0 1
2
前节课总结
单量子位操作，受控操作
CNOT
CU
CP
Z
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
3
前节课总结
1、连续用两次Toffoli门 到一组量子比特回到了其 本身，因此是可逆的。 2、构成了普适的逻辑门。 3、任何的经典电路都可被 等价地用Toffoli门所模拟。 4、不可以用与非，非，与 等逻辑门构造出Toffoli 门。
• Alice的法宝：
– 和Bob共有一个EPR对
11
（回顾）传输一个量子位的量子线路
0 1 , 0 00
00
1 ( 00 11 ), 2
1 0 ( 00 11 ) 1 ( 00 11 ) 2
12
（回顾）量子传态的过程推导:
Toffoli 门（可逆的逻辑门），为什么要可逆？（下一节）
第一个实验，PRL102, 040501
(2009): Trapped ions
4.4 测量
• 用 “仪表” 符号表示在计算基矢态的投影 测量。 • 在量子线路的理论中, 不用特殊的记号来表 记更一般的测量, 因为它能用采用辅助位的 酉变换和紧跟的投影测量来表示。 • 推迟测量原则。 • 隐含测量原则。
两级酉矩阵来构造。那么一个作用在d维
Hilbert空间上的U矩阵如何分解成两级酉矩阵
的乘积？
28
分解d维酉门
• 对于作用于d维空间的U, a11 a12 a1d a a22 a11 21 U ad 1 ad 2 add
• 我们可以找到两级酉阵，U1，… ，Ud-1使得 矩阵Ud-1 Ud-2 … U2 U1 U仅有最左上角的元素 为1，第一行和第一列的其它元素均为零。

1 2 [ 00 0 1 01 0 1 2 10 0 1 11 0 1 ].

推迟测量原理的一个推论
当被测量子比特是一个量子门的控制比特时，则测 量和量子门可以交换，即
= U U
= U
隐含测量原则
Principle of implicit measurement
c*
如何构造U2
1 d g 0 e h U 2U 1U 0 f j
因为U，U1，U2均为酉阵，所以U2U1U为酉。 因第一行模必须为1，故d”=g”=0。
35
1 U 2U 1U 0 0
0 e
0 h f j
2 0, y (1) x 1, y 2
9
（回顾）产生Bell态的量子线路
00
0 1 2
0
00 11 2
10
（回顾）量子传态
• Alice 的任务：给Bob传送一未知量子位。 • Alice 的困难：
– 只能传送经典信息 – 量子力学原理决定不能测量以确定量子态。 – 即使知道量子态，也无法用有限时间精确描述。
38
单量子位操作和CNOT门是普适的
考虑两级酉矩阵
a 0 0 U 0 0 0 0 b 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 c 0 0 0 0 0 0 d
25
两级(twቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-level)酉门
怎样把U分解成两级(two-level)酉门的乘积，即， 只 非平凡地作用在两个或更少的矢量分量上的酉矩 阵。 以三维矢量空间 的3x3矩阵为例：
a b 0 c d 0 A 0 0 1
A就是一个两级酉矩阵
26
a b 0 x ax by c d 0 y cx dy 0 0 1 z z
注意：经典的条件操作可用量子的条件操作 来代替。
7
把量子传态线路的测量 放在结尾进行
原来
测量放在结尾进行
图4.15
8
（回顾）两个量子位的Bell态:
00 10 xy
00 11 2 00 11 ; ;
01 11
.
01 10 2 01 10 2
; .
5
用 “仪表” 符号表示 在计算基矢态上的投影测量
图4.14 对单个量子位的投影测量。 这里没有用测量结果来做任何事。但 在更一般的量子线路中，可用测量结果作为 条件来改变后面的量子线路部分。用双线表 示对这种经典信息的使用。
6
推迟测量原理
Principle of deferred measurement 总能够把测量从量子线路的中间阶段 移到结尾；如果在线路的某部分用到了测 量结果，则经典的条件操作可由带条件的 量子操作( 即量子受控操作)来代替。
a* 0 0 U 2 0 1 0 0 0 1
a* 2 2 a c 如果c’0，则设： U2 0 c U2是两级酉阵 a 2 c 2 34
0 1 0
2 2 a c 0 a 2 2 a c
23
构建普适门的三个步骤
任意的酉算子可以精确地表示为一些酉算子的乘 积，其中每个酉算子非平庸地只作用在一个由两 个计算基态张成的子空间上。 任意酉算子可以用单量子位门和CNOT门精确描 述。
单量子位操作可以用Hadamard，相位门和p/8门近 似到任意精度。
构建普适门
任意的酉算子 可以用仅非平凡的作用在 由两个计算基态张成的 子空间的酉算子的乘积 精确描述 任意酉矩阵可以用 单量子位门和CNOT门精确描述 单量子位操作 可以用Hadamard，相位门和 p/8门近似到任意精度。
29
两级酉门是普适的
1 0 0 0 b11 b1d 1 U d 1U d 2 U 2U 1U 0 bd 12 bd 1d 1
我们可以重复上述操作，最后任意的dd维酉阵U，可 以表示为 U=V1 V2 … Vk 其中Vk是两级酉矩阵，k (d-1)+(d-2)+…+1=d(d-1)/2
如何构造U3
最后设：
1 0 0 e* U3 * 0 h
0 * f * j
3
可以验证U3U2U1U=I，因此
U U U2 U
36
1

即把U分解成两级酉矩阵的乘积。
乘积中两级酉阵的数目
• 对作用在n个量子位系统上的任意酉阵，可