径向分布函数、角度分布函数电子云图形的绘制

径向分布函数、角度分布函数电子云图形的绘制

1.目的要求

(1) 绘制波函数及其各种分布以及电子云的图像，观察各种函数的分布情况。

(2) 了解计算机绘图方法。 2.基本原理

(1) 程序原理：本程序可绘制类氢原子的径向分布函数，角度分布函数及原子轨道、杂化轨道和分子轨道等电子几率密度图，绘制过程中的各函数形式

列于下列各表中。式中 ，n 为主量子数， =0.0529nm ，为波尔半径， Z 是有效核电荷，由Slater 规则计算得到的周期表中前四个周期元素的有效核电荷列于表Ⅱ-24-1中，下面简要叙述对各类图形的处理方案。 ①径向分布函数图：

径向分布函数D(r)=r 2R 2(r)

反映了电子的几率随半径r 的分布情况， D(r)dr 代表半径r 到r+dr 两个球壳夹层内找到电子的几率。其中R(r)为类氢原子的径向函数，本程序所采用的径向函数R(r)分别列于表Ⅱ-24-2中。②角度分布函数图：波函数

的角度部分 以及角度分布函数 表示同一球面不同方向上 或 的相对大小，

本程序所采用的角度函数

分别列于表Ⅱ-24-3中。 3

22232

,),(,,,,sp d sp yz xz z z

z Y Y f f f p p 角度分布图是画的X-Z 平面的截面图，其余角

度分布图都是画的X-Y 平面的截面图。角度分布函数图中，凡轨道形状相同，而仅方向不同者，则仅绘出一个图形作为代表。

2na

Zr

=

ρ0

a ),,(φθψr nlm ),(φθψlm ),(2φθψlm ),,(φθψr nlm ),,(2φθψr nlm ),(φθψlm

③等电子几率密度图：2),,(φθψr 称为电子几率密度函数，它描述在该轨道中的电子在三维空间的分布情况，为了在平面上表示出这种分布往往采用某一切面上的等值面图，程序按指定的轨道在该切面上逐点计算2ψ的值，及找出

2max

ψ

的最大值，求出相对几率密度2max

2

/ψ

ψ

=P

，该值在X-Y 平面上是位

置坐标(x,y)的函数(对于2

3z d 轨道是在X-Z 平面)，绘图时不是将取值相同的点连成曲线，而是打印一系列符号表示相对几率密度的分布区域。当P ＜0.01时为空白，

0.01≤P ＜0.02时用“：”，0.02≤P ＜0.1时用“／”，0.1≤P ＜0.25时用“O ”，0.25≤P ＜0.5时用“&”和P ＞0.5时用“#”符号表示。根据这些符号可以粗略看出几率密度的分布情况。 在X-Y 平面内，坐标变化范围为 -2.4≤x ≤2.4(步长=0.08) -1.42≤y ≤1.42(步长=0.133) 所有距离的长度单位都是10-10m 。

原子轨道使用的波函数如表Ⅱ-24-4所示。对2

32

2

4,4,4,3xz z z

z

f f d

d 和轨道采用

X-Z 平面做截面，所有其它原子轨道都画在X-Y 平面上，程序使用原子轨道的四重轴对称性，首先计算第三象限内，即-2.4≤x ≤0,-1.42≤y ≤0的Ψ值，随后被2m ax

2

/ψ

ψ

=P

代替，在其它三个象限内的相应值由对称性得到，用

P(x,y)代表电子在坐标(x ，y)点的几率密度，则： P(-x,-y)=P(-x,y)=P(x,-y)=P(x,y)

表Ⅱ-24-1 Slater轨道中的Z*参量值

杂化轨道采用的杂化方式如表Ⅱ-24-5所示，程序中应用了以X轴为对称

轴的二重轴对称性，在X-Y平面上画出杂化轨道等电子几率密度图。

分子轨道采用如表Ⅱ-24-6所示的原子轨道的线性组合，取双原子-A、B 的两个原子核在Y轴上，及以Y轴为分子轴，其坐标分别为-R A B／2，R A B／2，若Z A=Z B，则分子轨道具有四重轴对称性，否则仅有以Y轴为对称轴的二重轴对称性。

表19-2类氢原子的径向波函数)(r

R

nl

表19-3波函数角度部分),(φθlm Y

π

41=

S

φ

θπ

cos sin 43=

x

p

φ

θπ

sin sin 43=

y

p

θ

πcos 43=

z

p

)1cos 3(165

2

2

-=

θπz d

φ

θθπcos cos sin 415=

xz

d φ

θθπ

sin cos sin 415=

yz d

φ

θπ

2sin sin 4152

=

xy

d

φ

θπ

2cos sin 16152

2

2=

-y x d

)cos 3cos 5(167

3

3

θθπ

-=

z f

φ

θθπ

cos )1cos

5(sin 32212

2

-=

xz f φ

θθπ

sin )1cos 5(sin 32212

2

-=

yz

f

φ

θθπ2cos cos sin

161052

)

(22=

-y x z f φ

θθπ

2sin cos sin 161052

=

xyz

f

φ

θπ3cos sin 3235

3

)

3(22=

-y x y f φ

θπ

3sin sin 32353

)

3(22=

-y x x f

()θ

π

cos 3181+

=

sp Y

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣

⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+

+=

152

31cos 52cos 16152

32θθπsp d Y