平面向量数量积习题课ppt课件
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平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
平面向量的数量积PPT课件
【答案】
5 4
(2)△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D 是 边 BC 上一点，DC＝2BD，则A→D·B→C＝________.
【思路分析】 考查平面向量的基本定理及向量数量 积运算．
【解析】 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C ＝A→B＋13(A→C－A→B)＝13A→C＋23A→B， 又∵B→C＝A→C－A→B，A→C2＝1，A→B2＝4， ∴A→B·A→C＝2×1×cos120°＝－1，
3．注意 ①两个向量的数量积是一个实数． ∴0·a＝0(实数)而 0·a＝0. ②数量积不满足给合律(a·b)·c≠a·(b·c)． ③a·b 中的“·”不能省略．
1．关于平面向量 a，b，c，有下列三个命题： ①若 a·b＝a·c，则 b＝c. ②|a·b|＝|a|·|b|⇔a∥b. ③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|； ④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.
则 k＝( )
A．－12
B．－6
C．6
D．12
答案 D
解析 ∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由 a·(2a －b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得 k＝ 12.
5．已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为π3，若向量 b1 ＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________.
【思路分析】 根据非零向量数量积的定义直接求解即 可，只需确定其夹角 θ.
【解析】 ①当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，则它们的 夹角为 0°，
∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10； 若 a 与 b 反向，则它们的夹角为 180°， ∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10. ②当 a⊥b 时，它们的夹角为 90°， ∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0. ③当 a 与 b 的夹角为 30°时， a·b＝|a||b|cos30°＝2×5× 23＝5 3.
经典例题题型一平面向量的数量积 ppt课件
u u u r u u u r u u u u r 而 O B O C 2 O M ,
u u u ru u u ru u u r u u u r u u u u r O A g ( O B O C ) 2 O A g O M
2O uuA u rO uuM uu rcos=-. 2x(1-x)=2x2-2x=2
∴(a+λb)·(λa+2b)＜0,即λ＜0,
且 1 ,∴λ≠± .
2
2
综上，λ的取值范围为(-∞,- )∪2(- ,0). 2
链接高考
1. （2010·天津）如图，在△ABC中，
AD⊥AB,BC=3 BD,|AD|=1,则AC·AD=( )
A. 2 3 B.
2C3 .
D.
3 3
3
B. 知识准备: 1. 平面向量的数量积公式;
4.解析：令 A 所B 以a,A uAD uD ur guA b u,C ur 则＝⇒b·a(a＝＋(2b,)0＝)，3.b＝(－1,2)，
5. (教材改编题)已知a=(1,6),b=(2,k),若a∥b,k= ;若12 a⊥b，则k= .1
3
解析：若a∥b，则1×k－6×2＝0，∴k＝12.
若a⊥b，则a·b＝0，∴1×2＋6×k＝0，∴k＝
λa2+(2+λ2)a·b+2λb2=λ+2λ=3λ.
又a+λb与λa+2b的夹角为钝角，
∴(a+λb)·(λa+2b)＜0,∴3λ＜0,∴λ＜0.
错解分析 cos〈a,b〉＜0 a,b〉∈ ( , ,本] 题中
〈a+λb,λa+2b〉为钝角，故须
2
〈a+λb,λa+2b〉=π时的λ的值舍去.
平面向量的数量积教学课件
注意向量的夹角和方向
总结词
平面向量的数量积不仅与向量的模长有关，还与向量 的夹角和方向密切相关。
详细描述
平面向量的数量积是两个向量夹角的余弦值与向量模 长的乘积。因此，向量的夹角和方向对数量积的计算 至关重要。当两个向量的夹角为90度时，它们的数量 积为0；当两个向量的夹角为180度时，它们的数量积 为负；当两个向量的夹角为锐角时，它们的数量积为 正。此外，当两个向量的方向相同时，它们的数量积 为正；当两个向量的方向相反时，它们的数量积为负 。
平行四边形的面积
总结词
平行四边形的面积等于两向量坐标对应 乘积的和。
VS
详细描述
设平行四边形ABCD的两条边AB和AD分 别对应于向量a和向量b，则平行四边形 的面积可以表示为S=|a||b|cos(π−θ)，其 中θ是向量a和向量b之间的角度。可以看 出，当向量a和向量b垂直时， cos(π−θ)=-1，此时面积最小，为0；当 向量a和向量b平行时，cos(π−θ)=1，此 时面积最大，为|a||b|。因此，平行四边 形的面积与两向量的长度和夹
交换律
01
02
03
交换律描述
两个向量的数量积不改变 ，即向量a和向量b的数量 积等于向量b和向量a的数 量积。
数学符号表示
若a = (x1, y1) ，b = (x2, y2)，则a·b = b·a。
交换律的意义
在解决平面向量数量积问 题时，可以任意调换两个 向量的位置，而不会改变 问题的结果。
注意向量的模长和坐标表示
要点一
总结词
要点二
详细描述
平面向量的模长和坐标表示是数量积计算的两种常用方法 ，需注意它们之间的区别和联系。
平面向量的数量积可以通过两种方法进行计算：一种是直 接使用向量的模长和夹角进行计算，另一种是使用向量的 坐标表示进行计算。在使用模长和夹角进行计算时，需要 注意向量的单位长度为1的限制，同时还要考虑向量的方向 。在使用坐标表示进行计算时，需要注意向量的起点是否 重合，以及坐标轴的方向和单位。
平面向量的数量积精选教学PPT课件
ab = |a||b|。 特例：aa = |a|2或 | a | a a
ab
4 cos = | a || b |
5 |ab| ≤ |a||b|
例1 判断正误，并简要说明理由.
①a·0＝0；
②0·a＝0；
③0－ BA ＝ AB ； ④｜a·ｂ｜＝｜a｜｜ｂ｜；
⑤若a≠0，则对任一非零ｂ有a·ｂ≠0；
ab =|a||b|cos，（０≤θ≤π）.
规定0与任何向量的数量积为0。 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定。 （2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“· ”在 向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；在数量积中， 若a0，且ab=0，能不能推出b=0？为什么？ （4）由ab = bc 能否推出a = c ？
当 = 0时投影为 |b|； 当 = 180时投影为 |b|。
4．向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。
1 ea = ae =|a|cos
2 ab ab = 0 3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，
我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师――戴尔·泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。 那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不 到！” 猎狗听了很不服气地辩解道：“我已经尽力而为了呀！” 再说兔子带着枪伤成功地逃生回家了，兄弟们都围过来惊讶地问它：“那只猎狗很凶呀，你又带了伤，是怎么甩掉它的呢？” 兔子说：“它是尽力而为，我是竭尽全力呀！它没追上我，最多挨一顿骂，而我若不竭尽全力地跑，可就没命了呀！” 泰勒牧师讲完故事之后，又向全班郑重其事地承诺：谁要是能背出《圣经·马太福音》中第五章到第七章的全部内容，他就邀请谁去西雅图的“太空针”高塔餐厅参加免费聚餐会。 《圣经·马太福音》中第五章到第七章的全部内容有几万字，而且不押韵，要背诵其全文无疑有相当大的难度。尽管参加免费聚餐会是许多学生梦寐以求的事情，但是几乎所有的人都浅尝则止，望而却步了。 几天后，班中一个11岁的男孩，胸有成竹地站在泰勒牧师的面前，从头到尾地按要求背诵下来，竟然一字不漏，没出一点差错，而且到了最后，简直成了声情并茂的朗诵。 泰勒牧师比别人更清楚，就是在成年的信徒中，能背诵这些篇幅的人也是罕见的，何况是一个孩子。泰勒牧师在赞叹男孩那惊人记忆力的同时，不禁好奇地问：“你为什么能背下这么长的文字呢？” 这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。” 16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔·盖茨。 泰勒牧师讲的故事和比尔·盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了2－8左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大 学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。
ab
4 cos = | a || b |
5 |ab| ≤ |a||b|
例1 判断正误，并简要说明理由.
①a·0＝0；
②0·a＝0；
③0－ BA ＝ AB ； ④｜a·ｂ｜＝｜a｜｜ｂ｜；
⑤若a≠0，则对任一非零ｂ有a·ｂ≠0；
ab =|a||b|cos，（０≤θ≤π）.
规定0与任何向量的数量积为0。 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定。 （2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“· ”在 向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；在数量积中， 若a0，且ab=0，能不能推出b=0？为什么？ （4）由ab = bc 能否推出a = c ？
当 = 0时投影为 |b|； 当 = 180时投影为 |b|。
4．向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。
1 ea = ae =|a|cos
2 ab ab = 0 3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，
我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师――戴尔·泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。 那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不 到！” 猎狗听了很不服气地辩解道：“我已经尽力而为了呀！” 再说兔子带着枪伤成功地逃生回家了，兄弟们都围过来惊讶地问它：“那只猎狗很凶呀，你又带了伤，是怎么甩掉它的呢？” 兔子说：“它是尽力而为，我是竭尽全力呀！它没追上我，最多挨一顿骂，而我若不竭尽全力地跑，可就没命了呀！” 泰勒牧师讲完故事之后，又向全班郑重其事地承诺：谁要是能背出《圣经·马太福音》中第五章到第七章的全部内容，他就邀请谁去西雅图的“太空针”高塔餐厅参加免费聚餐会。 《圣经·马太福音》中第五章到第七章的全部内容有几万字，而且不押韵，要背诵其全文无疑有相当大的难度。尽管参加免费聚餐会是许多学生梦寐以求的事情，但是几乎所有的人都浅尝则止，望而却步了。 几天后，班中一个11岁的男孩，胸有成竹地站在泰勒牧师的面前，从头到尾地按要求背诵下来，竟然一字不漏，没出一点差错，而且到了最后，简直成了声情并茂的朗诵。 泰勒牧师比别人更清楚，就是在成年的信徒中，能背诵这些篇幅的人也是罕见的，何况是一个孩子。泰勒牧师在赞叹男孩那惊人记忆力的同时，不禁好奇地问：“你为什么能背下这么长的文字呢？” 这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。” 16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔·盖茨。 泰勒牧师讲的故事和比尔·盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了2－8左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大 学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。
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解：已知a kb与 a kb 互相垂直的充要条件 是
(a kb) • (a kb) 0
a2 k 2b2 0
即a2 32 9, b2 42 16,
9 16k 2 0.
k 3 4
也就是说，当且仅当 k 3 时，a kb 与a kb
互相垂直.
4
用数量积解决垂直问题 【例 3】设平面内两向量 a与 b互相垂直,且|a|=2,|b|=1,又 k与 t是两个不同时为 零的实数. (1)若 x=a+(t-3)b与 y=-ka+tb垂直,求 k关于 t的函数关系式 k=f(t); (2)求函数 k=f(t)的最小值. 解:(1)∵a⊥b,∴a·b=0.又 x⊥y,∴x·y=0, 即[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0, -ka2-k(t-3)a·b+ta·b+t(t-3)b2=0.
∵|a|=2,|b|=1,∴-4k+t2-3t=0,即 k= (t2-3t).
(2)由(1)知,k= (t2-3t)= (t- )2- ,
即函数 k=f(t)的最小值为- .
1.(2010年高考北京卷) 若a,b是非零向量,且a⊥b,|a|≠|b|,
A 则函数f(x)=(xa+b)·(xb-a)是( )
法二:如图所示. 令 =a, =b, 以 , 为邻边作▱ AO B C ,
12
则 =a+b, =a-b, ∵|a|=|b|, ∴| |=| |, 故▱ AO B C 为菱形, ∴O C 平分∠AO B , 由于|a|=|b|=|a-b|, 即| |=| |=| |, ∴△AO B 为正三角形, 则∠AO B = ,
则 (a c)•(b c) 的最小值.
数量积的综合应用
类型二：向量的垂直问题
若要证明某两个非零向量垂直,只需判断它们的 数量积是否为零;两个非零向量的数量积为零, 则它们互相垂直.
已知| a | 3,| b | 4.( a 与 b 不共线)，当且仅当 k
为何值时，向量 a kb 与 a kb 垂直
18
3.设两个向量e1、e2,满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2 的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的 夹角为钝角,求实数t的取值范围.
(-7,- 14 )∪(- 14 ,- 1).
2
22
19
4.点O是△ABC所在平面上一点,且满足 OA • OB OB • OC OA • OC, 则点O是△ABC的( B ) (A)重心 (B)垂心 (C)内心 (D)外心
20
思路点拨:利用夹角公式 cos θ= 计算或根据向量加减法的几何意义求解.
解:法一:∵|a|=|a-b|, ∴|a|2=|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2, 又|a|=|b|,∴a·b= |a|2,
又|a+b|=
=
设 a与 a+b的夹角为 θ,
= |a|.
11
则 cos θ=
=
=
=,
又θ∈[0,π],∴θ= , 即 a与 a+b的夹角为 .
平面向量数量积习题课
基本知识回顾
1，平面向量数量积的定义 2，数量积的几何意义 3，数量积的性质 4，数量积的运算律 5，数量积的坐标表示
数量积的综合应用
类型一：向量的模
例1： 已知向量
a与
b 的夹角为 120，且
a
4,
b
2
r r
rr
求：（1）a b （2） 3a 4b
（3）
rr ab
15
数量积的综合应用
综合题型
16
1.已知a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|= 2,则a·b+b·c+c·a的
值为( D )(A)7 (B) 7 (C)- 7 (D)- 7
2
2
1.变式题：（1）求 a 与 b 的夹角 . （2）是否存在实数 使 a b 与
a 2b共线.
（3）是否存在实数
•
rr a 2b
((13)()2a()a3aabb2)4b•a((aa•a2b(b23c)bao22)sa142•b0aba)222co2sa2b1a•292b0•ab2122bb2b4222a•
12 2
b 16b 2
3
304 4 19
总结：求向量长度的方法,即一个向量的长度为它与自身数
量积的算术平
a 2b垂直.
(1) arccos3 (2) 1 (3) 19
4
2
8
17
2.在ABC 中，若 BC a,CA b, AB c ，且 a • b b • c c • a . 则 ABC 的形状为 等边三角形
2.变式题：O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足
(OB OC) • (OB OC 2OA) 0 则 ABC 的形状为 等腰三角形
故∠AO C = ,即 a与 a+b的夹角为 .
13
求两向量夹角的方法主要是应用公式 cosθ= 来解决,为此应 求出 a·b与|a||b|的大小,或在 a·b已知的情况下直接代入运算.
14
变式训练 4 1:向量 a、b满足(a-b)·(2a+b)=-4,且|a|=2,|b|=4,求 a与 b的夹角. 解:设 a,b的夹角为θ, ∵(a-b)·(2a+b)=2a2+a·b-2a·b-b2 =2|a|2-|a||b|cosθ-|b|2=8-8cosθ-16 =-8cosθ-8=-4. ∴cosθ=- , 又∵0°≤θ≤180°,∴θ=120°.
2
a a
1.已知向量|a|=,a·b=10,|a+b|=5,求|b|.
.
2.已知向量 a, b 满足 a 13, b 19, a b 24,
求 ab .
3.已知 a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，
若向量 满足c， (a c)•(b c)， 0则求 的c最大
值. 变式题（09高考）:设 a,b, c是单位向量，且a •b 0
(A)一次函数且是奇函数 (B)一次函数但不是奇函数 (C)二次函数且是偶函数 (D)二次函数但不是偶函数
2.(2010年高考浙江卷)
已知平面向量α、β,|α|=1,|β|=2, α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是
10
数量积的综合应用
类型三：向量的夹角问题
用数量积解决夹角问题 【例 4】 已知 a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求 a与 a+b的夹角.
(a kb) • (a kb) 0
a2 k 2b2 0
即a2 32 9, b2 42 16,
9 16k 2 0.
k 3 4
也就是说，当且仅当 k 3 时，a kb 与a kb
互相垂直.
4
用数量积解决垂直问题 【例 3】设平面内两向量 a与 b互相垂直,且|a|=2,|b|=1,又 k与 t是两个不同时为 零的实数. (1)若 x=a+(t-3)b与 y=-ka+tb垂直,求 k关于 t的函数关系式 k=f(t); (2)求函数 k=f(t)的最小值. 解:(1)∵a⊥b,∴a·b=0.又 x⊥y,∴x·y=0, 即[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0, -ka2-k(t-3)a·b+ta·b+t(t-3)b2=0.
∵|a|=2,|b|=1,∴-4k+t2-3t=0,即 k= (t2-3t).
(2)由(1)知,k= (t2-3t)= (t- )2- ,
即函数 k=f(t)的最小值为- .
1.(2010年高考北京卷) 若a,b是非零向量,且a⊥b,|a|≠|b|,
A 则函数f(x)=(xa+b)·(xb-a)是( )
法二:如图所示. 令 =a, =b, 以 , 为邻边作▱ AO B C ,
12
则 =a+b, =a-b, ∵|a|=|b|, ∴| |=| |, 故▱ AO B C 为菱形, ∴O C 平分∠AO B , 由于|a|=|b|=|a-b|, 即| |=| |=| |, ∴△AO B 为正三角形, 则∠AO B = ,
则 (a c)•(b c) 的最小值.
数量积的综合应用
类型二：向量的垂直问题
若要证明某两个非零向量垂直,只需判断它们的 数量积是否为零;两个非零向量的数量积为零, 则它们互相垂直.
已知| a | 3,| b | 4.( a 与 b 不共线)，当且仅当 k
为何值时，向量 a kb 与 a kb 垂直
18
3.设两个向量e1、e2,满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2 的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的 夹角为钝角,求实数t的取值范围.
(-7,- 14 )∪(- 14 ,- 1).
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19
4.点O是△ABC所在平面上一点,且满足 OA • OB OB • OC OA • OC, 则点O是△ABC的( B ) (A)重心 (B)垂心 (C)内心 (D)外心
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思路点拨:利用夹角公式 cos θ= 计算或根据向量加减法的几何意义求解.
解:法一:∵|a|=|a-b|, ∴|a|2=|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2, 又|a|=|b|,∴a·b= |a|2,
又|a+b|=
=
设 a与 a+b的夹角为 θ,
= |a|.
11
则 cos θ=
=
=
=,
又θ∈[0,π],∴θ= , 即 a与 a+b的夹角为 .
平面向量数量积习题课
基本知识回顾
1，平面向量数量积的定义 2，数量积的几何意义 3，数量积的性质 4，数量积的运算律 5，数量积的坐标表示
数量积的综合应用
类型一：向量的模
例1： 已知向量
a与
b 的夹角为 120，且
a
4,
b
2
r r
rr
求：（1）a b （2） 3a 4b
（3）
rr ab
15
数量积的综合应用
综合题型
16
1.已知a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|= 2,则a·b+b·c+c·a的
值为( D )(A)7 (B) 7 (C)- 7 (D)- 7
2
2
1.变式题：（1）求 a 与 b 的夹角 . （2）是否存在实数 使 a b 与
a 2b共线.
（3）是否存在实数
•
rr a 2b
((13)()2a()a3aabb2)4b•a((aa•a2b(b23c)bao22)sa142•b0aba)222co2sa2b1a•292b0•ab2122bb2b4222a•
12 2
b 16b 2
3
304 4 19
总结：求向量长度的方法,即一个向量的长度为它与自身数
量积的算术平
a 2b垂直.
(1) arccos3 (2) 1 (3) 19
4
2
8
17
2.在ABC 中，若 BC a,CA b, AB c ，且 a • b b • c c • a . 则 ABC 的形状为 等边三角形
2.变式题：O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足
(OB OC) • (OB OC 2OA) 0 则 ABC 的形状为 等腰三角形
故∠AO C = ,即 a与 a+b的夹角为 .
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求两向量夹角的方法主要是应用公式 cosθ= 来解决,为此应 求出 a·b与|a||b|的大小,或在 a·b已知的情况下直接代入运算.
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变式训练 4 1:向量 a、b满足(a-b)·(2a+b)=-4,且|a|=2,|b|=4,求 a与 b的夹角. 解:设 a,b的夹角为θ, ∵(a-b)·(2a+b)=2a2+a·b-2a·b-b2 =2|a|2-|a||b|cosθ-|b|2=8-8cosθ-16 =-8cosθ-8=-4. ∴cosθ=- , 又∵0°≤θ≤180°,∴θ=120°.
2
a a
1.已知向量|a|=,a·b=10,|a+b|=5,求|b|.
.
2.已知向量 a, b 满足 a 13, b 19, a b 24,
求 ab .
3.已知 a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，
若向量 满足c， (a c)•(b c)， 0则求 的c最大
值. 变式题（09高考）:设 a,b, c是单位向量，且a •b 0
(A)一次函数且是奇函数 (B)一次函数但不是奇函数 (C)二次函数且是偶函数 (D)二次函数但不是偶函数
2.(2010年高考浙江卷)
已知平面向量α、β,|α|=1,|β|=2, α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是
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数量积的综合应用
类型三：向量的夹角问题
用数量积解决夹角问题 【例 4】 已知 a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求 a与 a+b的夹角.