全国中学生物理竞赛课内容

全国中学生物理竞赛课内容一、理论基础力学1.运动学参照系—描述机械运动时选定做参考的物体。

实际上是假定不动的物体。

要定量计算就要建立具体坐标系（由实物构成的参考系的数学抽象），坐标系相对参考系是静止的。

质点运动的位移：直角坐标r xi yj zk=++，极坐标r ri=速度：r xi yj zk=++，r ri=相对速度：r xi yj zk=++物系相关速度杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆、绳方向的分速度；接触物系接触点速度的相关特点是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同；线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和。

1 如图示，物体A 置于水平面上，物体A 前固定有动滑轮B ，D 为定滑轮，一根轻绳绕过B 、D 后固定在C 点，BC 段水平，当以速度v 拉绳头时，物体A 沿水平面运动，若绳与水平面夹角为α，物体A 运动的速度多大？解：任何时刻绳BD 段上各点有与绳D 端相同的沿绳BD 段方向的分速度v设A 右移速度为xv ，则相对于A ，绳上B 点是以速度xv 从动滑轮中抽出的，即 xBAv v =根据运动的合成法则，在沿绳BD 方向上，绳上B 点速度是相对于参考系A 的速度xv 与参考系A 相对于静止参考系速度αcos xv 的合成，即αcos x BAv vv +=得αcos 1+=v vx解法二 位移关系c o s c oB D BC A AA x x x xx αα=+=+两边对时间求导αc o sx BA v v v += 得αc o s1+=v vx2 半径为R 的半圆凸轮以等速0v 沿水平面向右运动，带动从动杆AB 沿竖直方向上升，O 为凸轮圆心，P 为其顶点。

求当α=∠AOP 时，AB 杆的速度。

解：杆与凸轮在A 点接触，杆上A 点的速度A v 是竖直向上的，轮上A 点速度0v 是水平向右的，根据接触系触点速度相关特点，两者沿接触面法向的分速度相同（两者在法向无相对运动机，即棒始终没有离开凸轮，而沿切向有滑动），即 ααsin cos 0v v A = 得αt a n 0v v A =杆相对于凸轮的速度的切向分量：00tan (cos )cos A vv v v ααα'=--=加速度：r xi yj zk =++，r ri =问题 在离水平面高度为h 的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人收绳的速率恒为0v ，试求船在离岸边s 距离处时的速度与加速度的大小各为多少？解：沿绳方向“收短”的分速度nv 和垂直于绳方向的转动分速度tv 合成实际速度v ，由几何关系易得n v v =，0cot th v v v sθ==，而00sin v v θ==在t ∆时间内，船头从A 点移动到A '点，绳绕滑轮转过一小角度0θ∆→，速度增量011()sin()sin v v θθθ∆=--∆，0cos tan cos t hh t v v θθθθθ⋅∆⋅∆∆==加速度0200000222223300003011()cos sin sin()sin()sin limlim lim tan sin()sin tan cos cos()sin cos 22lim cot ()tan sin()sin 2t v v vv a h t h v v v v h v h h hh s s θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ∆→∆→∆→∆→∆=-∆--∆-∆===⋅⋅∆∆∆⋅-∆⋅∆∆-⋅=⋅===∆⋅-∆⋅直接计算：220003dv v h a v v dts===-=算s 与t 的函数关系考虑初始条件0,0t s ==，积分ds v dt=-得s =标量： 矢量矢量的合成和分解 *矢量的标积和矢积匀速及匀变速直线运动及其图像 （略）运动的合成当物体实际发生的运动较复杂时，可将其等效为同时参与几个简单的运动，前者称为合运动，后者称为物体实际运动的分运动。

遵循如下原理：独立性原理构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律进行，不会因有其它分运动的存在而发生变化。

等时性原理合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个分运动的结果，对同一物体同时参与几个运动进行合成才有意义。

矢量性原理描述运动状态的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则即平行四边形法则作相应物理量的运算。

抛体运动平抛运动—质点只在重力作用下，且具有水平方向的初速度的运动位移：水平方向 0x v t= 竖直方向212y g t= 合位移2)s t = 方向a r c t a n2gt v α=（α为位移与水平·方向夹角）速度：水平方向 0xv v = 竖直方向y v g t=合速度v = 方向a r c t a ngtv β=（β为位移与水平·方向夹角）加速度：直角坐标系 0xa=，yag=自然坐标系cos n a g α==，2sin a g τα==轨迹2202g y x v =斜抛运动—质点只在重力作用下，且初速度与水平方向成一定夹角的运动位移：水平方向 0c o s x v t α= 竖直方向21s i n 2y v t g tα=-速度：水平方向 0c o sx v v α= 竖直方向 0sin yv v gt α=-加速度 直角坐标系x a =，yag= 轨迹2220tan 2cos g y x x v αα=-几个特征量 飞行时间 02sin v t gα= 射高 220sin 2v H gα=射程20m a xs i n (2)v x gα=有空气阻力情况下的抛体运动设空气阻力与抛体运动速度的n 次方成正比，12n F bv v -=-，b 为正常量。

其运动微分方程为 1222()n mx bx x y -=-+，1222()n my by x y -=-+ 其数值解如下：问题 从倾角为θ的斜坡顶端以初速度0v 水平抛出一小球，不及空气阻力，若斜坡足够长，则小球抛出后离开斜坡的最大距离是多少？解：以小球抛出点为原点，沿斜坡向下为x 轴，垂直斜坡向上为y 轴建立坐标系，则小球沿y 轴方向的分运动是初速度为0sin yv v θ=，加速度为cos ya g θ=-的匀变速直线运动，小球匀减速地沿y 轴远离斜面，当速度减为零时，与斜面距离最大，而后又匀加速地返回斜面，小球与斜面的距离只需考察垂直于斜面方向的分运动。

离开斜面上升过程的最大位移20(sin )2cos v H g θθ=若小球初速度为0v ，方向与水平成α角（2πθα-<<），则小球沿斜面方向的分运动是初速度为0cos()xv v θα=±、加速度为sin xa g θ=的匀加速度运动；对于确定的速度，小球落回斜面的时间0cos()2cos v t g θαθ±=⋅，取决于初速度；而在斜面上的落点与抛出点的距离即小球在t 时间内的位移应为2002cos 2cos sin()cos cos v t v s t g ααθαθθ⋅±===，与0v 的平方成正比。

总结：研究斜面上的抛体运动问题，合理分解运动，正确判断运动性质和列出方程；注意由斜面倾角制约着的分运动与合运动间的几何关系。

圆周运动圆周运动—轨迹是圆的运动匀速圆周运动—在任何相等时间内通过的圆弧长度都相等的圆周运动 各量之间关系22s r v rft tππ===，22ft tπωπΦ===；22n v a rrω==，a τ=非匀速圆周运动—线速度的大小在不断改变的圆周运动，其角速度方向不变，大小在不断改变。

n a aa τ=+，2n v a r=，0limt v atτ∆→∆=∆问题 质点从O 点由静止开始沿半径为R 的圆周作速率均为增大的运动，到达A 点时质点的加速度与速度方向夹角为α，质点通过的弧s 所对的圆心角为β，试确定α与β的关系。

分析：质点作变速圆周运动，加速度分为切向加速度ta 和法向加速度na ，前者反映质点速率变化快慢，后者反映质点速度方向变化快慢。

解：在A 点时22t s a t=，2An v a R=，而22()A t va t =，s R β=其中t 是质点运动到A 点的时间，联立有22t n a t a R=，22222n t a st R a t R Rββ===，而tan n taaα= 所以tan 2αβ=曲线运动的轨迹是曲线，在数学上，曲率描述曲线（连续曲线）弯曲程度，曲线上某点的曲率定义为0lim s K sα∆→∆=∆，α∆为弧长s ∆两端切线方向变化角度。

圆上各点曲率相同：1K R Rαα∆==⋅∆，对曲线上各点，对应地有半径1R K=的圆，叫曲率圆，曲率圆圆心叫曲率中心。

圆是曲率中心处处相同的曲线，一般曲线各点曲率不尽相同。

刚体的平动和绕定轴的转动 刚体绕定轴的转动刚体—在外力作用下，大小、形状等都保持不变的物体；或组成物体的所有质点之间的距离始终保持不变。

刚体的平动—刚体内所作的任一直线始终保持和自身平行。

特点是：任意两点A 和B其轨迹相似，且ABv v =，ABa a =，刚体的平动可用刚体内任一质点的运动来代替。

刚体绕定轴的转动—刚体绕某一固定轴的转动。

特点是：刚体上的各点都在与转轴垂直的平面内做圆周运动，但半径可不相等，各点角速度都相同，因而某一时刻刚体上所有各点的角度ϕ，角速度ω，角加速度β都相同 0l i mt t ϕω∆→∆=∆，0l i m t tωβ∆→∆=∆ 匀加速转动，β为常量0t ωωβ=+，212t t ϕϕωβ=++，22002()ωωβϕϕ-=-ω为初始角速度，0ϕ为初始角度。

绕定轴转动的刚体上某点有 v R ω=，a Rτβ=，22/na r v r ω==R是点到轴的距离。

2.牛顿运动定律力学中常见的几种力力：物体间的相互作用。

作用：碰撞、挤压、拉伸、摩擦等直接作用；吸引、排斥等间接相互作用。

等效力：合力、分力、向心力、力偶等。

惯性力：选择的参考系为非惯性时，要附加的力。

有平动惯性力、惯性离心力、科里奥利力等`。

重力：由于地球的吸引而使物体收到的力。

大小：G mg =；方向：竖直向下。

弹力：弹簧弹力 F kx = 弹簧的串联12111k k k =++弹簧的并联 12k k k =++静摩擦力：接触的两物体有相对运动趋势时产生的阻碍相对运动趋势的力；动摩擦力：接触的两物体有相对运动时产生的阻碍相对运动的力。

f N μ=动摩擦因素μ与静摩擦因素sμ 摩擦角 tan sμ=Φ判断物体不发生滑动的条件：全反力F '与N的夹角arctan f N α=≤Φ静摩擦力方向与相对运动趋势方向相反，滑动摩擦力方向与相对运动方向相反。