冗余码例子
奇偶校验码,海明码,循环冗余CRC
1、奇偶校验码二进制数据经过传送、存取等环节，会发生误码（1变成0或0变成1），这就有如何发现及纠正误码的问题。
所有解决此类问题的方法就是在原始数据（数码位）基础上增加几位校验（冗余）位。
一、码距一个编码系统中任意两个合法编码（码字）之间不同的二进数位（bit ）数叫这两个码字的码距，而整个编码系统中任意两个码字的的最小距离就是该编码系统的码距。
如图1所示的一个编码系统，用三个bit 来表示八个不同信息中。
在这个系统中，两个码字之间不同的bit 数从1到3不等，但最小值为1，故这个系统的码距为1。
如果任何码字中一位或多位被颠倒了，结果这个码字就不能与其它有效信息区分开。
例如，如果传送信息001，而被误收为011，因011仍是表中的合法码字，接收机仍将认为011是正确的信息。
然而，如果用四个二进数字来编8个码字，那么在码字间的最小距离可以增加到2，如图图 1图 2注意，图8-2的8个码字相互间最少有两bit 因此，如果任何信息的一个数位被颠倒，码字，接收机能检查出来。
例如信息是1001，误收为1011接收机知道发生了一个差错，因为1011不是一个码字（表中没有）。
然而，差错不能被纠正。
的，正确码字可以是1001，1111，0011或1010能确定原来到底是这4个码字中的那一个。
也可看到，在这个系统中，偶数个（2或4）差错也无法发现。
为了使一个系统能检查和纠正一个差错，必须至少是“3”。
最小距离为3时，或能纠正一个错，或能检二个错，但不能同时纠一个错和检二个错。
错和检错能力的进一步提高需要进一步增加码字间的最小距离。
图8-3的表概括了最小距离为1至7的码的纠错和图3检错能力。
码距越大，纠错能力越强，但数据冗余也越大，即编码效率低了。
所以，选择码距要取决于特定系统的参数。
数字系统的设计者必须考虑信息发生差错的概率和该系统能容许的最小差错率等因素。
要有专门的研究来解决这些问题。
二、奇偶校验奇偶校验码是一种增加二进制传输系统最小距离的简单和广泛采用的方法。
冗余配置例子
1 引言Controllogix是Rockwell公司在1998年推出AB系列的模块化PLC，代表了当前PLC发展的最高水平，是目前世界上最具有竞争力的控制系统之一，Control- logix将顺序控制、过程控制、传动控制及运动控制、通讯、I/O技术集成在一个平台上，可以为各种工业应用提供强有力的支持，适用于各种场合，最大的特点是可以使用网络将其相互连接，各个控制站之间能够按照客户的要求进行信息的交换。
Controllogix可以提供完善的控制器的冗余功能，采用热备的方式构建控制器，两个控制器框架采用完全相同的配置，它们之间使用同步电缆连接，不仅控制器可以采用热备，通讯网络也可以采用相似的方式进行热备，除以上的部分可以热备外，控制器的电源也可以进行热备，这样大大提高了控制器的运行的可靠性。
2 系统介绍在某焦化厂干熄焦汽轮机发电项目的DCS控制系统中，采用了冗余的Controllogix，系统结构如图1所示。
上位机通过交换机与PLC处理器通讯，远程框架通过冗余的ControlNet连接到控制器框架，同时，远程框架采用了冗余电源配置。
整套系统具有很高的可靠性，满足了汽轮机发电系统对于PLC控制部分需要长期无故障运行的要求。
上位机采用Rsview32软件，用以监控现场设备的运行。
图1 系统结构图本地框架由L1和L2 框架构成，运行时L1和L2互为热备，构成了冗余，L1和L2框架各个槽位的所配置的模块如表1所示。
R1，R2和R3是远程框架，所有的点号都连接到远程框架的模块，远程框架的供电使用了AB的冗余电源(1756-PAR2)。
收藏引用muzi_woody1楼2007-9-21 7:41:00表1 L1和L2框架各个槽位的所配置的模块设置主从控制器框架的1756-CNBR/D的节点地址时应注意，他们的地址拨码应该相同，应该是系统中挂接在冗余ControlNET网上所有节点的最高地址，在本系统里面都设置为4，远程站的节点地址分别为1，2，3。
循环冗余校验码的原理及应用
循环冗余校验码的原理及应用循环冗余校验码（Cyclic Redundancy Check，简称CRC）是一种在数据传输中用于错误检测的校验码。
CRC的原理是通过在发送数据时附加一个校验值，接收端在接收数据时计算校验值，然后与发送端传递的校验值进行比较，如果两者一致，则说明数据传输没有错误，否则则存在数据错误。
CRC的应用非常广泛，包括网络传输、存储介质、通信等领域。
下面将详细介绍CRC的原理和应用。
1.原理：（1）生成多项式：CRC使用一个生成多项式进行计算。
该多项式可以是任意的，但在应用中通常使用一些标准的多项式。
生成多项式的位数确定了校验码的位数，通常为32位或64位。
（2）数据附加：在发送数据前，发送端会通过生成多项式对数据进行计算，生成一个校验码。
然后将校验码附加在原始数据的末尾。
（3）接收端计算：接收端在接收到数据后，通过与发送端使用同样的生成多项式对接收到的数据进行计算，生成一个接收端的校验码。
（4）校验比较：接收端的生成校验码与发送端传递的校验码进行比较，若一致，则说明数据传输没有错误；若不一致，则说明数据传输存在错误。
2.应用：（1）数据传输：CRC主要应用在网络传输领域，如以太网、Wi-Fi和蓝牙等。
在数据包发送前，发送端会对数据包进行CRC计算，然后将计算得到的校验码附加在数据包中。
接收端在接收到数据包后，再进行CRC计算，然后将计算得到的校验码与接收到的校验码进行比较，以判断是否存在传输错误。
（2）存储介质：CRC也应用在存储介质中，如硬盘驱动器、光盘等。
在数据存储时，CRC会被计算并存储在磁盘或光盘的头部或尾部。
在数据读取时，通过计算CRC来确保数据的完整性。
（3）通信：通信设备通常会使用CRC来检测数据的传输错误。
例如，调制解调器在发送数据前会计算CRC并将其附加在数据中，接收端在接收到数据后计算CRC，并与接收到的CRC进行比较。
（4）校验和验证：CRC也可以用于验证数据的完整性。
crc校验码详细介绍看懂了就会了
详细介绍循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。
对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。
根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。
校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*2的R次方，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。
通过C(x)*2的R次方除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。
编辑本段几个基本概念1、多项式与二进制数码多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。
可以看出：x的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。
多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)。
如生成多项式为G(x)=x^4+x^3+x+1，可转换为二进制数码11011。
而发送信息位 1111，可转换为数据多项式为C(x)=x^3+x^2+x+1。
2、生成多项式是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。
在发送方，利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。
在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。
应满足以下条件：a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。
b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做除后应该使余数不为0。
c、不同位发生错误时，应该使余数不同。
d、对余数继续做除，应使余数循环。
3 CRC码的生成步骤1、将x的最高次幂为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。
2、将信息码左移R位，相当与对应的信息多项式C(x)*2的R次方。
3、用生成多项式（二进制数）对信息码做除，得到R位的余数。
4、将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。
循环冗余码crc
循环冗余码crc待编码的有效信息组多项式：M(x)⽣成多项式（产⽣校验码的多项式）：G(x)余数多项式：R(x)商：Q(x)⽣成多项式是四次的，所以某个多项式除以⽣成多项式的余式肯定是三次的，所以要加四位0000。
⽣成多项式的选择是经过实际应⽤选择出来的，要满⾜⼀定的要求。
R(x)为r阶，在M(x)后⾯添上r个0（R(x)有r + 1 位）。
M(x)*x^k = Q(x)*G(x) + R(x)模2运算crc码是基于模2运算⽽建⽴编码规律的校验码。
模2运算的特点是不考虑进位和借位的运算。
其规律如下：1、模2加和模2减的结果是相等的，即：0 +/- 1 = 1， 0 +/- 0 = 0， 1 +/- 0 = 1， 1 +/- 1 = 0。
两个相同的数的模2和恒为0。
2、模2乘是按模2和求部分积之和。
（和⼗进制乘法类似）3、模2除是按模2减求部分余数。
每求⼀位商应使部分余数减少⼀位。
上商的原则是：当部分余数的⾸位为1时，上商1；当部分余数的⾸位为0时，上商0。
当部分余数的位数⼩于除数的位数时，该余数即为最后余数。
1 1 1 0────────1 0 1 1〕1 1 0 0 1 0 0－1 0 1 1──────1 1 1 1－ 1 0 1 1──────1 0 0 0－ 1 0 1 1──────0 1 1 0－ 0 0 0 0──────1 1 0例如M(x)=1100G(x)=1011⽤1100000 除以 1011得crc码为1100010有效信息为4位，校验位为3位，所以有称为(7,4)码。
校验⽅法：将收到的循环校验码⽤约定的⽣成多项式G(x)去除，如果⽆错，则余数应为0；如果某⼀位出错，则余数不为0，不同的出错为对应不同的余数。
对余数补0后继续除下去，余数将按照⼀定的序列循环下去（循环码的由来）。
以下是在这个⽹站摘录的笔记：CRC校验码的编码⽅法是⽤待发送的⼆进制数据t（x）除以⽣成多项式g（x），将最后的余数作为CRC校验码。
FEC原理及应用
FEC原理及应用FEC（Forward Error Correction）是一种数据传输中纠错编码技术，通过在发送端添加冗余数据来恢复接收端可能出现的错误。
FEC原理基于纠错码的理论，主要通过添加冗余码来提高数据传输的可靠性，使接收端能够在接收到有错误的数据时，通过纠错码恢复出原始数据。
FEC原理的核心是通过添加冗余数据来增加冗余度，使接收端能够根据这些冗余数据来恢复出原始数据。
常用的FEC编码方法有海明码、RS码、LDPC码等。
这些编码方法通过在发送数据中添加冗余码，并在接收端进行解码操作，可以检测和纠正一定数量的错误。
FEC编码的过程可以简单描述为以下几个步骤：1.原始数据划分：将待传输的数据按照一定的规则划分为多个数据块。
2.编码操作：对每个数据块进行编码，生成冗余码，并将冗余码添加到原始数据中。
3.发送数据：将带有冗余码的数据发送给接收端。
4.接收数据：接收端接收到数据后，对收到的数据进行解码操作，恢复出原始数据。
FEC的应用非常广泛，尤其在网络传输和存储领域有着重要的作用。
以下是一些FEC应用的例子：1.数据通信：在数据通信中，由于信号传输过程中可能发生噪声、衰减等问题，导致数据错误。
FEC技术可以用于在数据通信中纠正传输过程中可能出现的错误，提高数据传输的可靠性。
2.视频传输：FEC技术在视频传输中也有广泛应用。
视频数据传输中，由于带宽受限，数据丢失或错误会导致视频质量下降。
通过使用FEC技术，可以在视频传输过程中对数据进行纠错，提高视频传输的质量。
3.存储系统：在存储系统中，FEC技术可以用于提高数据的可靠性和容错能力。
通过在存储系统中使用FEC技术，可以在存储过程中检测和修复数据错误，保证数据的完整性和可靠性。
4.光纤通信：在光纤通信中，由于光纤传输过程中可能发生光衰减、色散等问题，导致数据传输错误。
FEC技术可以在光纤传输过程中对数据进行纠错，提高光纤通信的可靠性。
总结起来，FEC技术通过在传输过程中添加冗余码来提高数据传输的可靠性，广泛应用于数据通信、视频传输、存储系统、光纤通信等领域。
循环冗余码(CRC)
循环冗余码(CRC)循环冗余码（CRC）（1）CRC的工作方法在发送端产生一个循环冗余码，附加在信息位后面一起发送到接收端，接收端收到的信息按发送端形成循环冗余码同样的算法进行校验，若有错，需重发。
（2）循环冗余码的产生与码字正确性检验例子54例1.已知：信息码：110011 信息多项式：K(X)=X+X+X+143生成码：11001 生成多项式：G(X)=X+X+1(r=4) 求：循环冗余码和码字。
5449854解：① (X+X+X+1)*X的积是 X+X+X+X 对应的码是1100110000。
1 0 0 0 0 1←Q(X) r G(x)→1 1 0 0 1 )1 1 0 0 1 1 0 0 0 0←F(X)*X1 1 0 0 1 ， 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1←R(X)(冗余码) 98543例2.已知：接收码字：1100111001 多项式：T(X)=X+X+X+X+X+143生成码： 11001 生成多项式：G(X)=X+X+1(r=4) 求：码字的正确性。
若正确，则指出冗余码和信息码。
解：①用字码除以生成码，余数为0，所以码字正确。
1 0 0 0 0 1←Q(X) r G(x)→1 1 0 0 1 )1 1 0 0 1 1 1 0 0 1←F(X)*X＋R(x)1 1 0 0 1 ， 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0←S(X)(余数) ②因r=4，所以冗余码是：1001，信息码是：110011 （3）循环冗余码的工作原理循环冗余码CRC在发送端编码和接收端校验时，都可以利用事先约定的生成多项式G(X)来得到，K位要发送的信息位可对应于一个(k-1)次多项式K(X)，r位冗余位则对应于一个(r-1)次多项式R(X)，由r位冗余位组成的n=k+r位码字则对应于一个(n-1)次多项式T(X)=Xr*K(X)+R(X)。
（4）循环冗余校验码的特点①可检测出所有奇数位错；②可检测出所有双比特的错；③可检测出所有小于、等于校验位长度的突发错。
关于CRC码的基本知识
一、CRC码工作原理1. CRC校验原理CRC的英文全称为Cyclic Redundancy Check（Code），中文名称为循环冗余校验（码）。
它是一类重要的线性分组码，编码和解码方法简单，检错和纠错能力强，在通信领域广泛地用于实现差错控制。
CRC计算与普通的除法计算有所不同。
普通的除法计算是借位相减的，而CRC计算则是异或运算。
任何一个除法运算都需要选取一个除数，在CRC运算中我们称之为poly，而宽度W就是poly最高位的位置。
比如poly 1001的W是3，而不是4。
注意最高位总是1，当你选定一个宽度，那么你只需要选择低W各位的值。
假如我们想计算一个位串的CRC码，并要保证每一位都要被处理，因此我们需要在目标位串后面加上W个0。
CRC校验原理看起来比较复杂，因为大多数书上基本上是以二进制的多项式形式来说明的。
其实很简单的问题，其根本思想就是先在要发送的帧后面附加一个数（这个就是用来校验的校验码，但要注意，这里的数也是二进制序列的，下同），生成一个新帧发送给接收端。
当然，这个附加的数不是随意的，它要使所生成的新帧能与发送端和接收端共同选定的某个特定数整除（注意，这里不是直接采用二进制除法，而是采用一种称之为“模2除法”）。
到达接收端后，再把接收到的新帧除以（同样采用“模2除法”）这个选定的除数。
因为在发送端发送数据帧之前就已通过附加一个数，做了“去余”处理（也就已经能整除了），所以结果应该是没有余数。
如果有余数，则表明该帧在传输过程中出现了差错。
【说明】“模2除法”与“算术除法”类似，但它既不向上位借位，也不比较除数和被除数的相同位数值的大小，只要以相同位数进行相除即可。
模2加法运算为：1+1=0，0+1=1，0+0=0，无进位，也无借位；模2减法运算为：1-1=0，0-1=1，1-0=1，0-0=0，也无进位，无借位。
相当于二进制中的逻辑异或运算。
也就是比较后，两者对应位相同则结果为“0”，不同则结果为“1”。
循环冗余码
接收端将接收到的码元除以同一个生成多项式系数G，若 所得到的余数为0，则说明无码元差错；若所得到的余数 不为0，则说明存在差错。
算法
111 1 1 1 0 1√1 0 1 0 0 0 0 11101 10010 11101 11110 11101 11 做除法，从被除数的头5位减去五 位除数（做的是异或运算）。最 前面的0被省略。 在被除数中下一个没有使用过的 比特接着被抄录下来，使得余数 的位数和除数的位数相同，如果 位数不够，在商位补0，接着抄录 下一个比特。依次重复此过程。 直到被除数中的所有比特都被使 用过。
接收数据 f (x)+R(x) 生成多项式 G(x)
f(x)
. xr
=Q(x)+
R(x) G(x)
f (x)
. x r +R(x）
G(x)
G(x) 实际发送: f(x) 信息码 f(x)
. xr
+R(x)
余数为0 接收正确 余数不为0 接收出错
校验码 R(x) 发送
. xr
9-5 循环冗余码
• 例1：在循环冗余校验码系统中，设其生成多项式 为G(x)=x4+x3+x2+1，试求出信息序列101的循环 冗余校验码。
码多项式
• 任何一个n位的x进制数都可以用一个n-1 次的多 项式来表示,这种多项式叫码多项式（又叫信息多 项式） 。码字中每个码元的值就是该多项式中的 相应的系数。 • 码多项式与x进制序列之间的一一对应关系： – （an-1 an-2……a1a0） 码多项式
– A (x)= an-1Xn-1+an-2Xn-2 +……+a1X+a0X0
多项式
• 以n=3位二进制数为例 二进制数 对应多项式
循环冗余校验码(crc)的基本原理
A：①水平垂直奇偶校验②循环求和
③循环冗余④正比率
B：①模2除法②定点二进制除法
③二－十进制除法④循环移位法
C：①1100101010111②110010101010011
③110010101011100④110010101010101
D：①可纠正一位差错②可检测所有偶数位错
③可检测所有小于校验位长度的突发错
5、通信与网络中常用的CRC
在数据通信与网络中，通常k相当大，由一千甚至数千数据位构成一帧，而后采用CRC码产生r位的校验位。它只能检测出错误，而不能纠正错误。一般取r=16，标准的16位生成多项式有CRC-16＝x16+x15+x2+1和CRC-CCITT＝x16+x15+x2+1。
【例1】某循环冗余码（CRC）的生成多项式G(x)＝x3+x2+1，用此生成多项式产生的冗余位，加在信息位后形成CRC码。若发送信息位1111和1100则它的CRC码分别为＿A＿和＿B＿。由于某种原因，使接收端收到了按某种规律可判断为出错的CRC码，例如码字＿C＿、＿D＿、和＿E＿。（1998年试题11）
1011
------------
11-------余数（校验位）
（4）编码后的报文（CRC码）：
1010000
+ 11
------------------
1010011
CRC码为1010011（和纠错）。
在接收端收到了CRC码后用生成多项式为G(x)去做模2除，若得到余数为0，则码字无误。若得到余数不为0，则接收的数据有错。
（2）此题生成多项式有4位（R+1），要把原始报文F(x)左移3（R）位变成1010000
循环冗余校验码(CRC)的基本原理
循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。
对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。
根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。
校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*2R，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。
通过C(x)*2R除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。
几个基本概念1、多项式与二进制数码多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。
可以看出：x的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。
多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)。
如生成多项式为G(x)=X^4+X^3+X+1，可转换为二进制数码11011。
而发送信息位1111，可转换为数据多项式为C(x)=X^3+X^2+X+1。
2、生成多项式是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。
在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。
在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。
应满足以下条件：a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。
b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后应该使余数不为0。
c、不同位发生错误时，应该使余数不同。
d、对余数继续做模2除，应使余数循环。
将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。
但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示：N K 码距d G(x)多项式G(x)7 4 3 x3+x+1 10117 4 3 x3+x2+1 11017 3 4 x4+x3+x2+1 111017 3 4 x4+x2+x+1 1011115 11 3 x4+x+1 1001115 7 5 x8+x7+x6+x4+1 11101000131 26 3 x5+x2+1 10010131 21 5 x10+x9+x8+x6+x5+x3+1 1110110100163 57 3 x6+x+1 100001163 51 5 x12+x10+x5+x4+x2+1 10100001101011041 1024 x16+x15+x2+1 11000000000000101图9 常用的生成多项式3、模2除（按位除）模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。
冗余设计的例子及解析
冗余设计的例子及解析冗余设计的概念和作用冗余设计是指在系统或产品设计中，有意地增加冗余元素或组件来提高系统的可靠性、稳定性和容错性的一种设计方法。
冗余设计可以通过增加备用元素、组件、路径或操作来实现。
在冗余设计中，当出现故障或错误时，系统可以自动切换到备用元素或组件上，从而保证系统的正常运行。
冗余设计的主要作用包括：1.提高系统的可靠性：通过增加备用元素或组件，可以减少系统故障的概率，提高系统的可靠性。
即使某个元素或组件发生故障，系统仍然可以正常运行。
2.提高系统的稳定性：冗余设计可以使系统更加稳定。
当系统的某个元素或组件发生故障时，系统可以自动切换到备用元素或组件上，避免了系统的中断或崩溃。
3.提高系统的容错性：冗余设计可以增加系统的容错性。
当系统的某个元素或组件发生故障时，系统可以自动切换到备用元素或组件上，使系统能够继续正常运行，而不会对用户造成影响。
冗余设计的例子1. 冗余电源设计在电力系统设计中，通常会使用冗余电源设计来提高电力供应的可靠性。
例如，在一个数据中心中，为了保证服务器的正常运行，会使用双路供电系统。
每个服务器都连接到两个独立的电源回路，当一个电源回路发生故障时，系统可以自动切换到备用电源回路，确保服务器的稳定供电。
2. 冗余网络设计在计算机网络设计中，为了提高网络的可靠性和稳定性，通常会采用冗余网络设计。
例如，企业内部的局域网通常会建立多条网络链路，并使用冗余交换机。
当其中一条网络链路或交换机发生故障时，系统可以自动切换到备用链路或交换机，避免了网络中断。
3. 冗余存储设计在数据存储系统设计中，为了保护数据的安全性和可用性，通常会采用冗余存储设计。
例如，RAID（冗余磁盘阵列）技术可以通过将数据分布在多个硬盘上，实现数据的冗余存储和容错性。
当某个硬盘发生故障时，系统可以使用备用硬盘上的数据来恢复数据完整性。
4. 冗余传感器设计在工业自动化系统中，为了提高传感器的可靠性和准确性，通常会使用冗余传感器设计。
crc循环冗余码的计算
CRC循环冗余码的计算三、循环冗余码（CRC）1.CRC的工作方法在发送端产生一个循环冗余码，附加在信息位后面一起发送到接收端，接收端收到的信息按发送端形成循环冗余码同样的算法进行校验，若有错，需重发。
2.循环冗余码的产生与码字正确性检验例子。
例1.已知：信息码:110011 信息多项式:K(X)=X^5+X^4+X+1生成码:11001 生成多项式:G(X)=X^4+X^3+1 (r=4)求：循环冗余码和码字。
解：1)(X5+X4+X+1)*X4的积是 X9+X8+X5+X4 对应的码是1100110000。
或者 G(X)的模是4，所以在信息码的后面加4个0得11001100002)积／G(X)(按模二算法)。
由计算结果知冗余码是1001，码字就是1100111001。
__________1 0 0 0 0 1←Q(X)G(x)→1 1 0 0 1)1 1 0 0 1 1 0 0 0 0←F(X)*Xr1 1 0 0 1 ，1 0 0 0 01 1 0 0 11 0 0 1←R(X)(冗余码)例2.已知：接收码字: 1100111001 多项式:T(X)=X^9+X^8+X^5+X^4+X^3+1生成码: 11001 生成多项式:G(X)=X^4+X^3+1 (r=4)求：码字的正确性。
若正确，则指出冗余码和信息码。
解：1)用接收码字除以生成码，余数为0，所以码字正确。
1 0 0 0 0 1←Q(X)1 1 0 0 1 )1 1 0 0 1 1 1 0 0 1←F(X)*Xr＋R(x)G(x) 1 1 0 0 1 ，1 1 0 0 11 1 0 0 10←S(X)(余数)2)因r=4，所以冗余码是：1001，信息码是:110011四、海明码●对于16位的数据，需要(47)个校验位才能构成海明码。
在某个海明码的排列方式D9D8D7D6D5D4P4D3D2D1P3D0P2P1中，其中D i(0≤i≤9)表示数据位，P j(1≤j≤4)表示校验位，数据位D8由 (48) 进行校验。
奇偶校验码,海明码,循环冗余CRC
1、奇偶校验码二进制数据经过传送、存取等环节，会发生误码（1变成0或0变成1），这就有如何发现及纠正误码的问题。
所有解决此类问题的方法就是在原始数据（数码位）基础上增加几位校验（冗余）位。
一、码距一个编码系统中任意两个合法编码（码字）之间不同的二进数位（bit ）数叫这两个码字的码距，而整个编码系统中任意两个码字的的最小距离就是该编码系统的码距。
如图1所示的一个编码系统，用三个bit 来表示八个不同信息中。
在这个系统中，两个码字之间不同的bit 数从1到3不等，但最小值为1，故这个系统的码距为1。
如果任何码字中一位或多位被颠倒了，结果这个码字就不能与其它有效信息区分开。
例如，如果传送信息001，而被误收为011，因011仍是表中的合法码字，接收机仍将认为011是正确的信息。
然而，如果用四个二进数字来编8个码字，那么在码字间的最小距离可以增加到2，如图图 1图 2注意，图8-2的8个码字相互间最少有两bit 因此，如果任何信息的一个数位被颠倒，码字，接收机能检查出来。
例如信息是1001，误收为1011接收机知道发生了一个差错，因为1011不是一个码字（表中没有）。
然而，差错不能被纠正。
的，正确码字可以是1001，1111，0011或1010能确定原来到底是这4个码字中的那一个。
也可看到，这个系统中，偶数个（2或4）差错也无法发现。
为了使一个系统能检查和纠正一个差错，必须至少是“3”。
最小距离为3时，或能纠正一个错，或能检二个错，但不能同时纠一个错和检二个错。
错和检错能力的进一步提高需要进一步增加码字间的最小距离。
图8-3的表概括了最小距离为1至7的码的纠错和图3检错能力。
码距越大，纠错能力越强，但数据冗余也越大，即编码效率低了。
所以，选择码距要取决于特定系统的参数。
数字系统的设计者必须考虑信息发生差错的概率和该系统能容许的最小差错率等因素。
要有专门的研究来解决这些问题。
二、奇偶校验奇偶校验码是一种增加二进制传输系统最小距离的简单和广泛采用的方法。
crc计算例题
crc计算例题CRC（Cyclic Redundancy Check，循环冗余校验）是一种数据校验方法，常用于通信协议中，用于检测数据传输中的错误。
CRC通过在数据帧中添加一组校验位来实现错误检测。
发送方首先计算数据帧的校验位，并将其添加到数据帧的末尾。
接收方接收到数据帧后，也会计算校验位，并将计算结果与接收到的校验位进行比较，从而确定数据传输是否出现错误。
计算CRC校验位的方法分为两种：基于除法的CRC和基于位操作的CRC。
这里我们以基于除法的CRC为例进行说明。
假设需要发送数据帧101100，计算该数据帧的CRC校验位的过程如下：1. 选择一个CRC多项式。
CRC校验中，多项式通常由一个二进制数表示。
选择的多项式决定了CRC检测的能力，常用的CRC多项式包括CRC-8、CRC-16和CRC-32等。
假设选择的CRC多项式为CRC-8，其表示为100000111。
2. 计算用于与数据帧进行异或运算的值。
这个值通常为全0或全1。
由于CRC校验是一种异或运算，因此需要先计算异或运算的结果。
对于CRC-8，该值为0，表示将数据帧与0进行异或运算。
3. 将数据帧左移CRC多项式的位数。
例如，对于CRC-8，需要将数据帧左移8位。
4. 将左移后的数据帧与CRC多项式进行异或运算。
例如，将左移后的数据帧与CRC-8多项式100000111进行异或运算，得到001100101。
5. 将异或运算结果作为新的数据帧，并重复步骤3和4，直到左移后的数据帧的位数小于CRC多项式的位数。
最终得到的结果为CRC校验位。
对于以上例子，计算的结果为CRC校验位0110。
在接收方，同样使用相同的CRC多项式来计算接收到的数据帧的CRC校验位。
然后将计算得到的校验位与接收到的校验位进行比较，如果两者相等，则说明数据传输过程中没有出现错误。
以上是基于除法的CRC计算的简单示例。
实际应用中，CRC 校验还涉及到预设值、反转处理等复杂步骤。
循环冗余校验码(CRC)
CRC32算法学习笔记以及如何用java实现一：说明二：基本概念及相关介绍2．1 什么是CRC在远距离数据通信中，为确保高效而无差错地传送数据，必须对数据进行校验即差错控制。
循环冗余校验CRC(Cyclic Redundancy Check/Code)是对一个传送数据块进行校验，是一种高效的差错控制方法。
CRC校验采用多项式编码方法。
多项式乘除法运算过程与普通代数多项式的乘除法相同。
多项式的加减法运算以2为模，加减时不进，错位，如同逻辑异或运算。
2．2 CRC的运算规则CRC加法运算规则：0+0=00+1=11+0=11+1=0 (注意：没有进位)CRC减法运算规则：0-0=00-1=11-0=11-1=0CRC乘法运算规则：0*0=00*1=01*0=01*1=1一、循环冗余校验码（CRC）CRC校验采用多项式编码方法。
被处理的数据块可以看作是一个n 阶的二进制多项式，由。
如一个8位二进制数10110101可以表示为：。
多项式乘除法运算过程与普通代数多项式的乘除法相同。
多项式的加减法运算以2为模，加减时不进，错位，和逻辑异或运算一致。
采用CRC校验时，发送方和接收方用同一个生成多项式g（x）,并且g（x）的首位和最后一位的系数必须为1。
CRC的处理方法是：发送方以g（x）去除t（x），得到余数作为CRC校验码。
校验时，以计算的校正结果是否为0为据，判断数据帧是否出错。
CRC校验可以100％地检测出所有奇数个随机错误和长度小于等于k（k为g（x）的阶数）的突发错误。
所以CRC的生成多项式的阶数越高，那么误判的概率就越小。
CCITT建议：2048 kbit/s的PCM基群设备采用CRC-4方案，使用的CRC校验码生成多项式g（x）= 。
采用16位CRC校验，可以保证在 bit码元中只含有一位未被检测出的错误。
在IBM的同步数据链路控制规程SDLC的帧校验序列FCS中，使用CRC-16，其生成多项式g（x）= ；而在CCITT推荐的高级数据链路控制规程HDLC的帧校验序列FCS中，使用CCITT-16，其生成多项式g（x）= 。
crc循环冗余校验码计算
crc循环冗余校验码计算循环冗余校验码（Cyclic Redundancy Check，CRC）是一种常用的校验码计算方法，用于检测和纠正数据传输中的错误。
CRC码通过对数据进行多项式除法运算来生成校验码，接收方可以利用校验码进行错误检测。
CRC的计算过程如下：1. 选择一个生成多项式，通常用一个二进制数表示。
常用的生成多项式有CRC-8、CRC-16和CRC-32等。
2. 将待校验的数据按位划分为若干个数据块。
3. 对每个数据块进行以下操作：在数据块的末尾添加与生成多项式位数相同的0。
将生成多项式左移至与数据块长度相同的位数。
将数据块与生成多项式进行异或运算。
4. 将每个数据块的结果进行异或运算，得到最终的校验码。
CRC码的优点是简单、快速，并且能够检测多种错误类型。
它广泛应用于数据通信、存储介质和网络传输等领域。
从多个角度来看，CRC的计算可以有以下几个方面的考虑：1. 生成多项式的选择，不同的生成多项式会导致不同的CRC码计算结果。
生成多项式的选取需要根据具体应用场景和需求进行权衡。
一般来说，生成多项式的位数越高，CRC的检测能力越强，但计算复杂度也会增加。
2. 数据块划分，数据块的划分方式可以影响CRC码的计算结果。
通常情况下，数据块的划分应该合理均匀，以保证CRC码的检测能力。
3. 异或运算，CRC码的计算过程中使用了异或运算，这是一种位运算，可以高效地进行数据处理。
异或运算的结果不仅取决于操作数的值，还取决于操作数的顺序。
因此，在进行异或运算时，需要注意操作数的顺序。
4. 校验码的应用，生成校验码后，可以将其附加在数据中进行传输。
接收方在接收到数据后，同样进行CRC码的计算，并将计算得到的校验码与接收到的校验码进行比较，以判断数据是否正确传输。
总结起来，CRC循环冗余校验码计算是一种通过生成多项式进行多项式除法运算的方法，用于检测和纠正数据传输中的错误。
在计算CRC码时，需要考虑生成多项式的选择、数据块的划分、异或运算的顺序以及校验码的应用等方面的因素。
循环冗余校验码
循环冗余校验码⼀、奇偶校验码奇偶校验可描述为：给每⼀个码字加⼀个校验位，⽤它来构成奇性或偶性校验。
因此，若有⼀个码元是错的，就可以分辨得出，因为奇偶校验将成为奇性。
奇偶校验编码通过增加⼀位校验位来使编码中1的个数为奇数（奇校验）或者为偶数（偶校验），从⽽使码距变为2。
因为其利⽤的是编码中1的个数的奇偶性作为依据，所以不能发现偶数位错误。
⼀个⼆进制码字，如果它的码元有奇数个1，就称为具有奇性。
例如，码字“10110101”有五个1，因此，这个码字具有奇性。
同样，偶性码字具有偶数个1。
再以数字0的七位ASCII码（0110000）为例，如果传送后右边第⼀位出错，0变成1。
接收端还认为是⼀个合法的代码0110001（数字1的ASCII码）。
若在最左边加⼀位奇校验位，编码变为10110000，如果传送后右边第⼀位出错，则变成10110001，1的个数变成偶数，就不是合法的奇校验码了。
但若有两位（假设是第1、2位）出错就变成10110011，1的个数为5，还是奇数。
接收端还认为是⼀个合法的代码（数字3的ASCII码）。
所以奇偶校验不能发现。
奇偶校验位可由硬件电路（异或门）或软件产⽣：偶校验位 a n=a0⊕a1⊕a2⊕…⊕a n-1，奇校验位 a n=NOT（a0⊕a1⊕a2⊕…⊕a n-1）。
在⼀个典型系统⾥，在传输以前，由奇偶发⽣器把奇偶校验位加到每个字中。
原有信息中的数字在接收机中被检测，如果没有出现正确的奇、偶性，这个信息标定为错误的，这个系统将把错误的字抛掉或者请求重发。
在实际⼯作中还经常采⽤纵横都加校验奇偶校验位的编码系统--分组奇偶校验码。
现在考虑⼀个系统，它传输若⼲个长度为m位的信息。
如果把这些信息都编成每组n个信息的分组，则在这些不同的信息间，也如对单个信息⼀样，能够作奇偶校验。
图4中n个信息的⼀个分组排列成矩形式样，并以横向奇偶（HP）及纵向奇偶（VP）的形式编出奇偶校验位。
横向奇m位数字偶位个码字纵向奇偶位图 4 ⽤综横奇偶校验的分组奇偶校验码研究图4可知：分组奇偶校验码不仅能检测许多形式的错误。