高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳

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高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解

高中数学必修五第一章《解三角形》知识点收集于网络，如有侵权请联系管理员删除高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 10、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。

第一章解三角形知识点

高中数学必修5第一章解三角形知识点1、（1）正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===（R 为三角形外接圆半径）（2）正弦定理变形：①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R= ③::sin :sin :sin a b c A B C =； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C++===++ （3）正弦定理主要用来解决两类问题：A 、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

B 、已知两角和一边，求其余的量。

2、三角形的面积：22221111sin sin sin 2sin sin sin 22224sin sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin a abc S a h ab C bc A ac B R A B C Ra B Cb A Cc A B pr A B C =⋅==========(其中)(21c b a p ++=，r 为三角形内切圆半径) 3、（1）余弦定理：2222cos a b c bc A =+- bca cb A 2cos 222-+= 2222cos b a c ac B =+- 222cos 2a c b B ac +-= 2222cos c a b ab C =+- 222cos 2a b c C ab +-= （2）余弦定理主要解决的问题：A 、已知两边和夹角，求其余的量。

B 、已知三边求角。

4、如何判断三角形的形状：设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >。

5、附：三角形的五个“心”：重心：三角形三条中线交点；外心：三角形三边垂直平分线相交于一点；内心：三角形三内角的平分线相交于一点；垂心：三角形三边上的高相交于一点。

高中数学必修5全册知识点总结(理科)

高中数学必修5知识点第一章解三角形（一）解三角形：1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有2sin sin sin a b c RC ===A B (R 为C ∆AB 的外接圆的半径)2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆A B =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c abc+-A =第二章数列1、数列中n a 与n S 之间的关系：11,(1),(2).n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩注意通项能否合并。

2、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n≥2，n∈N +），那么这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项：若三数a A b 、、成等差数列2a bA +⇔=⑶通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d=+-=+-或(n a pn q p q =+、是常数）.⑷前n 项和公式：()()11122n n n n n a a S na d -+=+=⑸常用性质：①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则q p n m a a a a +=+；②下标为等差数列的项() ,,,2m k m k k a a a ++，仍组成等差数列；③数列{}b a n +λ（b ,λ为常数）仍为等差数列；④若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb +(k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、，…也成等差数列。

必修5 第一章解三角形知识点详解

必修5 第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1. 三角形三角关系：A+B+C=180°；常用：C=180°—(A+B)；2.三角形三边关系： a+b>c; 即三角形任意两边之和大于第三边；a-b<c ；即三角形任意两边之差小于第三边。

3.大边对大角，大角对大边；即B A B A b a sin sin >⇔>⇔>(只有三角形中才有此性质)4.三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++=== 5.正弦定理：2sin sin sin a b cR C===A B ．其中R 为C ∆AB 的外接圆的半径，主要变形： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2cC R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B6.余弦定理： 2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=1.2 应用列举1. 三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．＝ah/2（已知三角形底a ，高h ，）（以下公式作为了解内容） =2R 2sinAsinBsinC =Rabc 4 =2)(c b a r ++ （r 为内切圆半径）=))()((c p b p a p p ---（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）2. 余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。

必修5第一章解三角形知识点全面总结

必修5第一章解三角形知识总结1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin a b A B =sin cC==2R （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数2R ，即2sin =a R A ， 2sin =b R B ，2sin =c R C ；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =变形：sin sin a Ab B =, （3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的两角及其一边可以求其他边，即先用内角和求第三角，再用正弦定理求另外两边；②已知三角形的两边与一边的对角可以先求另一对角的正弦值，然后用内角和定理求第三角，再用正弦定理求第三边如先求sin sin aA B b=——A ——C ——c2、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即：2222cos a b c bc A =+- 或 2222cos b c a bc A +-= 2222cos =+-b a c ac B 或 2222cos a c b ac B +-= 2222cos c a b ab C =+- 或 2222cos a b c ab C +-= 从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc +-=222cos 2a c b B ac +-= 222cos 2a b c C ab+-= 在△ABC 中，由222cos 2a b cC ab+-=得：若222a b c +=，则cosC=0, 角C 是直角；若222a b c +<，则cos C <0, 角C 是钝角；若222a b c +>，则cos C >0, 角C 是锐角．3、三角形面积公式：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半．S =12ab sin C =12bc sin A=12ac sin B4、三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

高中数学必修5第一章：解三角形

外接圆法
A
BOb CFra bibliotekB`B a
c
O
C
b
A
C′
A
ObC B` B
A O bC
B
一.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦
的比相等，即
注意：
(1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.
2.在△ABC中，已知下列条件，解三角形(角度精确到1o, 边长精确到1cm): (1) a＝20cm，b＝11cm，B＝30o； (2) c＝54cm，b＝39cm，C＝115o.
3.判断满足下列条件的三角形的个数:
(1)b=11, a=20, B=30o 两解
(2)c=54, b=39, C=120o 一解
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.
余弦定理及其推论的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两边及它们的夹角可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其他角.
例1 在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41° ，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）. 解：方法一：根据余弦定理，
用正弦定理试求，发现因A、B均
A
未知，所以较难求边c.
由于涉及边长问题，从而可以
考虑用向量来研究这个问题.
C
B
.
，
A
，
,
C
B
,
.
一、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减
去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即
注：利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角求出三角形的第三条边.

高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)

高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)第一部分必修五三角函数知识点整理第一章解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=π,? 222A B C π+=-?sin cos 22A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sinB ...........................A ＞B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理：①.(2R 为ABC ?外接圆的直径)2s i n a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin1ααααααα±=±+=±?⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ?落幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．第二部分必修五练习题含答案解析第一章解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A. 答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6. 答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC → 的值为( )A ．5B ．－5C ．15D ．－15解析在△ABC 中，由余弦定理得：cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17. ∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17＝5. 答案 A5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2解析设三边长分不为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋3a 2－2a 22·a ·3a ＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cosB ＝2a 2＋3a 2－a 22·2a ·3a ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°. 所以三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数别确定解析由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinA a ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分不为A ，B 的对边)，这么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析依照正弦定理，原式可化为2R ? ??a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b)·b 2R ，∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满脚ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析由a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴c osC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32. ∴S △ABC ＝12absinC ＝ 3. 答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinB sinC 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.35解析由余弦定理，得 cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35. 答案 D10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3. 答案 A11．有一长为1 km 的歪坡，它的倾歪角为20°，现要将倾歪角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32km 解析如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝AC tan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分不为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2解析在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22? ????32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A 13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.解析由B ＝A ＋60°，得 sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA. 又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋32cosA. 即32sinA ＝32cosA.∵cosA ≠0，∴tanA ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 答案30° 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______.解析由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sinB ，∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8. 答案60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析设b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7.答案 11：9：717．在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分不为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)．(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝XXX ，试推断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sinA 2sinB ，∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B.则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B.(2)∵a ＝XXX ，由a 2＝b(b ＋c)，得XXX 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b.又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满脚2sin(A ＋B)－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6.∴c ＝ 6.S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝32. 19.已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分不是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.由正弦定得知，sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b 2R，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0. 解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝ 3.。

高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习

高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =.推论：①定理：若α、β＞0，且α+β＜π，则α≤β⇔sin sin αβ≤，等号当且当α=β时成立。

②判断三角解时，可以利用如下原理： sinA ＞ sinB ⇔ A ＞ B ⇔ a ＞ b cos cos A B A B >⇔<（cos y x =在(0,)π上单调递减）2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- 已知条件定理应用一般解法一边和两角（如a 、B 、C ）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A ，由正弦定理求出b 与c ，在有解时有一解。

两边和夹角 (如a 、b 、c)余弦定理由余弦定理求第三边c ，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。

三边(如a 、b 、c)余弦定理由余弦定理求出角A 、B ，再利用A+B+C=180˙，求出角C 在有解时只有一解。

必修5解三角形知识点归纳

知识点归纳：1．.正弦定理：a b c2R（R 为△ABC 外接圆的半径）s i n A si n B si n C变形：a : b : c sin A : sin B : sin C .另：三角形的内切圆半径r2SABCa bc.2．余弦定理：2 2 2a b c 2bc cos A；变形：（1）cos Ab2 2c2bca2；2 2 2b ac 2ac cosB2 2 2c a b 2ab cosC22 2c bacosB；；2ac2 2 2a b ccosC.2ab2 2 2变形：（2）sin A sin B sin C 2 sin B sinC cos Asin 2 2 2B sin A sinC 2 sin Asin C cos Bsin 2 2 2C sin A sin B 2 sin A sin B cosC3．三角形中的边角关系和性质：（1）A B C A2B2C22在Rt△中， 2 b2 c2a ，C=A+B=900.（2）sin( A B) sin C cos( A B) cos n C t a A n( B) t aCn（3）sin A B2cosC2Acos 2BtanC2At a n 2B Cc o t2（4）tanA+tanB+tanC= tan A·tanB·tanC（5）a b A B sin A sin B . cos cos B（6）1 1S ab sin C ×底×高2 2a bc4Rr. (a b c)2（三角形的内切圆半径r，外接圆半径R）（7）ma+nb=kc msinA+nsinB=ksinC（8）ma=nb msinA=nsinB(9)a:b:c=sinA:sinB:sinC(10)若A、B、C 成等差数列，则 B 060 .2．在△ABC 中，cos(A－B)＋sin( A＋B)＝2，则△ABC 的形状是（）A. 等边三角形B.等腰钝角三角形C.等腰直角三角形D.锐角三角形3．在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A. b＝20，A＝45°，C＝80°B.a＝14，b＝16，A＝45°C. a＝30，c＝28，B＝60°D.a＝12，c＝15，A＝120°6．在△ABC 中，tanA＋tanB＋tanC＞0，则△ABC 是（）A. 锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.任意三角形→·A→C>0，B→A·B→C >0，C→A·C→B>0 中能够成立的个数为（）7．在△ABC 中，下列三式：ABA. 至多1 个B.有且仅有 1 个C.至多2 个D.至少2 个8．在△ABC 中，若(a＋b＋c)( b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinB c osC，那么△ABC 是（）A. 直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形9．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A. 锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定10．已知△ABC 中，AB＝1，BC＝2，则角 C 的取值范围是（）A. 0＜C≤ππ6B. 0＜C＜2C. π6π＜C＜2D.π6＜C≤π312．在△ABC 中，若aAcos2＝bBcos2＝cCcos2，则△ABC 的形状是_____________.13．在△ABC 中，A、B、C 相对应的边分别是a、b、c，则a c osB＋b c osA＝______.14．在△ABC 中，tanB＝1，tanC＝2，b＝100，求a＝__________.15．在△ABC 中，a、b、c 分别是角A、B、C 所对的边长，若(a＋b－c) ·(sinA＋sinB－sinC) ＝3asinB，则C＝________.2＜b2＋c2，则 A 的范围是_____________. 16．在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果 a2＋c2＝ 18．(本小题满分14 分)在△ABC 中，a、b、c 分别是角A、B、C 所对的边长，若 a2＋ac 且a bc ＝3＋12，求角 C 的大小.19．(本小题满分14 分)在△ABC 中，已知t anA－tanBtanA＋tanB＝c－bc，求∠A.21．（本小题满分15 分）如图，有两条相交成60°角的直线x x′，yy′，交点是O，甲、乙分别在Ox，Oy 上，起初甲离O 点3 km，乙离O 点1 km，后来两人同时用每小时 4 km 的速度，甲沿xx′方向，乙沿y′y 方向步行，问：（1）起初两人的距离是多少？（2）用包含t 的式子表示t（3）什么时候两人的距离最短？5、在△ABC 中，a 7,b 4 3,c 13 ，则最小角为A、B、C、D、3 64 128、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是A、b 10, A 45 ,C 70B、a 60,c 48, B 60C、a 7,b 5,A 80D、a 14,b 16, A 452 10．在△ABC 中，已知sin Bsin C＝cos A2，则此三角形是__________三角形．11. 在△ABC 中，∠A 最大，∠ C 最小，且∠A＝2∠C，a＋c＝2b，求此三角形三边之比为．13．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 米后到达点B，又从点 B 测得斜度为45°，建筑物的高CD 为50 米．求此山对于地平面的倾斜角．( 第13 题)14．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，若bcos C＝( 2a－c) cos B，( Ⅰ) 求∠B 的大小；( Ⅱ) 若b＝7 ，a＋c＝4，求△ABC 的面积．2．在ABC 中，若s inaA cosbB，则B 的值为（）A．30 B．45 C．60 D．903．在ABC 中，若b 2a sin B ，则这个三角形中角 A 的值是（）A．30 或60 B．45 或60 C．60 或120 D．30 或150 6．在ABC 中，如果(a b c)( b c a) 3bc ，那么角 A 等于（）A．30 B．60 C．120 D．1509．在ABC 中，若b c 2 1，C 45 ，B 30 ，则（）A ． b 1,c 2B ． b 2,c 1C ． b22, c 122D．b21 ,c22210．如果满足ABC 60 ，AC 12 ，BC k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（）A．k 8 3 B．0 k 12 C．k 12 D．0 k 12 或k 8 3 16．在△ABC 中，已知角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且bcosB＋ccosC＝acosA，试判断△ABC 的形状．17. 如图，海中有一小岛，周围 3.8 海里内有暗礁。

高中数学解三角形知识点总结

高中数学解三角形知识点总结一、引言解三角形是高中数学中的一个重要内容，它涉及到三角形的边长、角度以及面积等基本元素的计算和应用。

本文旨在总结解三角形的核心知识点，为学生提供一个复习和参考的框架。

二、基本概念1. 三角形的边和角- 三角形的内角和定理：三角形内角和恒为180度。

- 三角形的外角：一个三角形外角等于与其不相邻的两个内角之和。

2. 三角形的分类- 按边分类：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。

- 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

三、三角形的性质1. 边长关系- 三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

2. 角度关系- 对应角定理：在直角三角形中，大边对大角，小边对小角。

3. 特殊三角形的性质- 等边三角形：三边相等，三个内角均为60度。

- 等腰三角形：两边相等，底角相等。

- 直角三角形：一个角为90度，勾股定理适用。

四、解三角形的方法1. 边角互解- 利用正弦定理和余弦定理求解未知边长和角度。

2. 正弦定理- 公式：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)- 应用：适用于任意三角形，特别是边角不全知的情况。

3. 余弦定理- 公式：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)- 应用：适用于已知两边及夹角的情况。

4. 三角形面积公式- 基本公式：Area = 1/2 * base * height- 海伦公式：Area = √(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))，其中s为半周长。

五、解三角形的应用1. 实际问题中的运用- 测量问题：利用三角形知识解决实际测量问题，如高度、距离的估算。

- 建筑设计：在建筑设计中，利用三角形的稳定性和解三角形的方法进行结构计算。

2. 解题技巧- 选择合适的定理：根据已知条件选择使用正弦定理还是余弦定理。

- 转换思想：将问题转化为已知条件可解的形式。

六、结论解三角形是高中数学中的基础内容，掌握其核心知识点对于解决相关数学问题至关重要。

必修5-解三角形知识要点

《解三角形》知识要点1．内角和定理A B C π++= 2．正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===(R 为三角形外接圆的半径⑴变形公式：(1)2sin ,2sin ,2sin (2)sin ,sin ,sin 222(3)::sin :sin :sin a R A b R B c R Ca b c A B C R R Ra b c A B C======= ⑵应用①已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 ②已知两角和任一边，求其它两边和角 (3)注意：已知三角形两边及一边对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.3．余弦定理22222222222222222222()2cos cos 1222cos cos 22cos cos 2b c a b c a a b c bc A A bc bc c a b b c a ca B B ca a b cc a b ab C C ab +-+-=+-⇔==-+-=+-⇔=+-=+-⇔=应用:①已知两边与它们的夹角,求第三边和其它两角 ②已知三边,求三角4．三角形面积公式 1(1)2111(2)sin sin 2221(3)()2(4),()(5)4aS ah S ab C bc A casimBS p a b c S pr r abcS R======++==是内切圆的半径.6．ABC ∆形状的判定(1)锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)直角三角形⇔有一角等于090⇔有一角的余弦值为零⇔勾股定理(3)钝角三角形⇔有一角090> ⇔有一角的余弦值0<⇔任意两边的平方和小于第三边的平方. (4)等腰三角形⇔有两边相等或两角相等 (5)利用余弦定理判定①锐角三角形222222222a b c b c a c a b ⎧+>⎪⇔+>⎨⎪+>⎩②直角三角形222a b c ⇔+=或222a cb +=或222b c a += ③钝角三角形222a b c ⇔+<或222a c b +<,或222b c a +< 总之,求最大的角α的余弦值 cos α0>⇔锐角三角形;cos 0α<⇔钝角三角形; cos 0α=⇔直角三角形.7．在ABC ∆中，有以下常用结论⑴三角恒等变形:22sin cos 1αα+=⑵两角和差公式:sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ±=±±=⑶0000sin15cos 7575sin105cos15===== ⑷sin sin sin a b c A B C A B C >>⇔>>⇔>>⑸sin sin(),sin sin(),sin sin()A B C B A C C A B =+=+=+⑹sin cos ,cos sin2222A B C A B C ++== ⑺tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= ⑻sin sin a b A B A B =⇔=⇔=⑼ABC ∆中三内角,,A B C 成等差数列060B ⇔=⑽锐角三角形中任两角之和090>8．在实际问题中的有关术语⑴仰角与俯角:在同一铅直平面(与水平面或海平面垂直的平面)内,视线与水平线的夹角.视线在水平线之上时,称为仰角;视线在水平线之下时,称为俯角⑵方向角:从指定方向线到目标方向线的水平角,如北偏东030. ⑶坡角:坡面与水平面的夹角,坡角α的正切值叫坡度tan α.9. 解三角形的应用⑴距离问题 ⑵高度问题 ⑶角度问题10.2011年江西高考题在ABC ∆中，C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知C b B c A a cos cos cos 3+=.（1）求A cos 的值； (2)若332cos cos ,1=+=C B a ，求边c 的值．解：（1）由 C b B c A a cos cos cos 3+=,正弦定理得：)sin(cos sin cos sin cos sin 3C B C B B C A A +=+=sin A =, 所以31cos =A 。

高中数学必修5--第一章-解三角形复习知识点总结与练习

高中数学必修5 第一章解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C=== (R 为三角形外接圆的半径). 2.正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2cR=； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（iv ）R CB A cb a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）【余弦定理】1．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 2.推论： 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3.设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >． 4.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++= Rabc 4=2R 2sinAsinBsinC （其中r 为三角形内切圆半径）2.设)(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)【三角形中的常见结论】（1）π=++C B A (2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+; （3）若⇒>>C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >>若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >>（大边对大角，小边对小角）（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(5) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值（6）C ∆AB 中，A,B,C 成等差数列的充要条件是 60=B .(7) C ∆AB 为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总题型1【判定三角形形状】判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.（2）在ABC ∆中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）(3) 若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2π=+B A .例1.在ABC ∆中，A b c cos 2=，且ab c b a c b a 3))((=-+++，试判断ABC ∆形状.题型2【解三角形及求面积】一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.例2.在ABC ∆中，1=a ，3=b ，030=∠A ，求的值例3.在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ．（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)(sin sin =-+，求ABC ∆的面积．题型3【证明等式成立】证明等式成立的方法：（1）左⇒右，（2）右⇒左，（3）左右互相推.例4.已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，求证：B c C b a cos cos +=. 题型4【解三角形在实际中的应用】仰角俯角方向角方位角视角例5．如图所示，货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解三角形高考题精选一．选择题。

人教课标版高中数学必修5《解三角形》章末总结

人教A 版必修五第一章《解三角形》章末复习知识梳理1.正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.2.余弦定理：（1）形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+=形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB,S △=))()((c S b S a S S ---=Sr (S=2cb a ++,r 为内切圆半径)=R abc 4(R 为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C =sin 2BA +,sin 2C =cos 2BA ……在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A 、B 与一边a,由A+B+C=180°及A a sin =B b sin =C c sin ，可求出角C ，再求b 、c.(2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2-2bccosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C.(3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C.(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理A a sin =B bsin ，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由A a sin =C c sin 求出C ，而通过A a sin =Bbsin 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A>90° A=90° A<90° a>b 一解一解一解 a=b无解无解一解a<ba>bsinA 两解无解无解 a=bsinA 一解a<bsinA无解9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.专题一：正、余弦定理的应用1．正弦定理主要有两个方面的应用：(1)已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的第三个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角． 2．余弦定理有两方面的应用：(1)已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两角；(2)已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角．例1．.（2011江西卷17）．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，23a =，tantan 4,22A B C++= 2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c例2．.（2009北京理）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,35A b ==。

【总结】必修5解三角形知识点归纳总结

【关键字】总结第一章解三角形一.正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即（其中R是三角形外接圆的半径）2.变形：1）化边为角：；2）化边为角：3）化角为边：4）化角为边：3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a，解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理求出b与c②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理求出角B,由A+B+C=180o 求出角C，再使用正弦定理求出c边二.三角形面积1.2. ,其中是三角形内切圆半径.3. , 其中,4. ,R为外接圆半径5.,R为外接圆半径三.余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即2.变形：注意整体代入，如：3．利用余弦定理判断三角形形状：设、、是的角、、的对边，则：①若，，所以为锐角②若③若，所以为钝角，则是钝角三角形4.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：1）已知三边，求三个角2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角四、应用题1.已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b．2.已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角．3.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4.已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C．5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.五、三角形中常见的结论1）三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2）三角形三边关系：两边之和大于第三边：，，；两边之差小于第三边：，，；3）在同一个三角形中大边对大角：4) 三角形内的诱导公式：5) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝.6) 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)22cos 1cos ;22cos 1sin 22αααα+=-=(4)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 7) 三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点一、选择题1．已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为( )．A ．10 kmB ．103kmC ．105kmD ．107km2．三角形三边长为a ，b ，c ，且满足关系式(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，则c 边的对角等于( )．A ．15°B ．45°C ．60°D ．120°3．在△ABC 中，三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝( )．A ．3∶2∶1B ．2∶3∶1C ．1∶2∶3D ．1∶3∶2 4．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22，∠B ＝45°，则∠A 为( )．A ．30°或150°B ．60°C ．60°或120°D ．30°5．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( )．A ．223B ．233C ．23D ．336．根据下列条件解三角形：①∠B ＝30°，a ＝14，b ＝7；②∠B ＝60°，a ＝10，b ＝9．那么，下面判断正确的是( )．A ．①只有一解，②也只有一解．B ．①有两解，②也有两解．C ．①有两解，②只有一解．D ．①只有一解，②有两解．二、填空题7．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是．13．已知a ，b ，c 是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4，b ＝5，S ＝53，求c 的长度．14．△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值．15．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶5∶6．若△ABC 的面积为4393，则△ABC 的周长为________________．三、解答题 1．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ，b 分别为∠A ，∠B 的对边，且a ＝4＝33b ，解此三角形．必修5《第一章解三角形》强化练习一、选择题1．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（）A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不能确定2．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°3．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．9B ．18C ．93D ．1834．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或5．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．1:3:2D ．2:3:16．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．不能确定D ．等腰三角形7.在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（）A. 3400米B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 8.海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( )A.10 海里B.5海里C. 56 海里D.53 海里二、填空题9．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________10．在△ABC 中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则_________11．在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_________12．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________13.在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB =___________ 三、解答题14. 在△ABC 中，0120,,21,3ABC A c b a S=>=，求c b ,。

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高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳
1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；
2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c
3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-
sin
cos ,cos sin ,tan cot 222222
A B C A B C A B C
+++===
4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有
2sin sin sin a b c
R C
===A B ． 5、正弦定理的变形公式：
①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；
②化边为角：sin 2a R A =
，sin 2b R B =，sin 2c C R
=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b c
C C
++===
A +
B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)
7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2
2
2
2cos a b c bc =+-A 等，变形： 222
cos 2b c a bc
+-A =等，
8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。

②已知三边求角） 9、三角形面积公式：
111
sin sin sin 222
C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=
R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---
10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：
①若2
2
2
a b c +=，则90C =；②若2
2
2
a b c +>，则90C <；③若2
2
2
a b c +<，则90C >． 11、三角形的四心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1）外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）
12 、请同学们自己复习巩固三角函数中诱导公式及辅助角公式（和差角、倍角等）。

第二章解三角形测试卷
1. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于（）
A 63
B 62
C 1
2 D 32
1. 在AB C ∆中，若2
cos 2sin B
A B +=，则AB C ∆为（）
（A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）等边三角形（D ）正三角形
3.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )
A 有一个解
B 有两个解
C 无解
D 不能确定
4. △ABC 中，8b =，83c =，
163ABC
S =，则A ∠等于（）
A 30
B 60
C 30或150
D 60或
120
5.△ABC 中，若60A =，3a =，则sin sin sin a b c
A B C +-+-等于（）
A 2
B 12
C 3
D 3
2
6. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（）
A
13 B 12 C 3
4
D 0 7.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）
A 锐角三角形
B 直角三角形
C 钝角三角形
D 由增加的长度决定
8. 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（）
A.
3
400
米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米
9. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( )
A.10 海里
B.5海里
C. 56 海里
D.53 海里
2.在ABC ∆中，已知52a =，10c =，o
30A =，则B 等于
A ．o 105
B ．o 60
C ．o 15
D ．o 105或o
15 3.在ABC ∆中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅的值等于 A ．19 B ．14- C ．18- D ．19- 4.在ABC ∆中，sin <sin A B ，则 A ．<a b B ．>a b C ．a b ≥ D ．a 、b 的大小关系
6.在ABC ∆中，已知22
20b bc c --=，且6a =
，7
cos 8
A =
，则ABC ∆的面积是 A ．
15
2
B ．15
C ．2
D ．
8.ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且4a =，5b c +=，
tan tan 3
A B ++3tan tan A B
=⋅，则
ABC
∆的面积为
A ．
32 B ．33 C ．332 D ．5
2
二、填空题：(5´× 5=25´ )
11.在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是。

12.在△ABC 中，已知503b =，150c =，30B =，则边长a = 。

13.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为。

14.A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=
127
, 则ΔABC 是____________ 三角形。

15.在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=32
31
,则cosC=_____________ .
1、已知在ABC △中，23,6,30a c A ===，ABC △的面积S . 2.设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．
3.在平行四边形ABCD 中，已知310=AB ，︒=∠60B ，30=AC ，则平行四边形ABCD
的面积．
4．在△ABC 中，已知2cos B sin C ＝sin A ，则 △ ABC 的形状是．
三、解答题（共75´）
16.（本题12分）在△ABC 中，已知边c=10, 又知
cos 4
cos 3A b B a ==，求边a 、b 的长。

17.（本题12分）在△ABC 中，已知2a b c =+，2
sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。

18.（本题12分）在锐角三角形中，边a 、b 是方程x 2
－2 3 x+2=0的两根，角A 、B 满足： 2sin(A+B)－ 3 =0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积。

19.（本题12分）在奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）
20.（本题13分）已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向()
()1,3,cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅=.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若22
1sin 23cos sin B
B B
+=--，求C tan .
１、已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且222
a c
b a
c +-=.
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若3c a =，求tan A 的值．
2.在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC=600，AC=7，AD=6， S △ADC =2
3
15，求AB 的长.
3.如果△ABC 内接于半径为R 的圆，且,sin )2()sin (sin 22
2B b a C A R -=-求△ABC
的面积的最大值.
4.一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西
30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度.。