考点13 三角函数的概念、同角的三角函数关系式与诱导公式(原卷版)

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考点13 三角函数的概念、同角三角函数关系式与诱导公式

【考点剖析】

1.最新考试说明：

(1)了解任意角、弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化．

【2020·浙江省高三】已知一扇形的圆心角为(0)αα>，所在圆的半径为R . （1）若60α︒=，10R cm =，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

（2）若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大? (2) 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，会判断三角函数值的符号．

【2020年高考全国Ⅱ卷理数2】若α为第四象限角，则

（ ）

A ．02cos >α

B ．02cos <α

C ．02sin >α

D ．02sin <α

【2020·河南高二学业考试】已知角α为第四象限角，α的终边与单位圆交于点3,5P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫+

= ⎪⎝

⎭

A

．10

-

B

．10

C

．10

D

．

10

【2020·辉县市第二高级中学高三）已知cos cos θθ=，tan tan θθ=-|，则

2

θ

的终边在( ) A ．第二、四象限 B ．第一、三象限 C ．第一、三象限或x 轴上

D ．第二、四象限或x 轴上

(3) 能利用单位圆中的三角函数线推导出π

2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，会用三角函数

线解决相关问题．

【2020·山东省滕州市第一中学校高三】已知37cos sin 22()sin()

f ππθθθθπ⎛⎫⎛⎫

-⋅+ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭=

--

（1）化简()f θ；（2）若1

()3

f θ=

，求tan θ的值；（3）若163f πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求56f πθ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

的值. 【（2020·四川省棠湖中学高三）】求下列函数的定义域：

(4)理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2

x ＝1，sin x cos x ＝tan x ，熟练运用公式化简、求值与证明简

单的三角恒等式．

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【2020年高考全国Ⅰ卷理数9】已知() 0,πα∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=

（ ）

A

B ．23

C ．13 D

．9

【2020·驻马店市基础教学研究室高三】已知sin α，cos α是关于x 的()2

0x ax a a R +-=∈方程的两个根，则33sin cos αα+的值是（ ）

A

2 B

1

C

．3+D

．【2020·四川省南充高级中学高三】化简：

9sin(4)cos tan(5)2=11sin cos(2)sin(3)sin 22ππααπαππαπαπαα⎛⎫

-+ ⎪

-⎝⎭-⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

． 2.命题方向预测：

（1）考查利用三角函数的公式对三角函数式进行化简求值. （2）公式逆用、变形应用是高考热点． （3）题型以选择题、解答题为主.

3.课本结论总结：

（1）同角三角函数的基本关系 ①平方关系：sin 2

α＋cos 2

α＝1； ②商数关系：sin α

cos α＝tan α.

（2）诱导公式

公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝αcos ，其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝αsin -，cos(π＋α)＝αcos -， tan(π＋α)＝tan α.

公式三：sin(－α)＝αsin -，cos(－α)＝αcos . 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝αcos -. 公式五：)2sin(απ-＝αcos ，)2cos(απ-＝sin α. 公式六：)2sin(

απ

+＝αcos ，)2

cos(απ

+＝αsin - 诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限

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对于角“kπ

2±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指

“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．

4.名师二级结论：

（1）三种方法

在求值与化简时，常用方法有：

①弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin α

cos α

化成正、余弦．

②和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2

＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． ③巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2

θ)＝tan π4＝….

（2）三个防范

①利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．特别注意函数名称和符号的确定．

②在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． ③注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．

（3）sin α±cos α与sin αcos α充分体现了方程思想的运用，即“知一求二”，其关系是：

(1)(sin α＋cos α)2

－2sin αcos α＝1. (2)(sin α－cos α)2＋2sin αcos α＝1. (3)(sin α＋cos α)2

＋(sin α－cos α)2

＝2.

5.课本经典习题：

(1)新课标A 版第64 页，第 A8 题（例题）已知3tan =α，计算：

（1）

α

αααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（2）ααcos sin ；（3）2

)cos (sin αα+

【解析】3tan =α ，)1(∴7

5

335234tan 352tan 4sin 3cos 5cos 2sin 4=⨯+-⨯=+-=+-αααααα；

(2)10

3

1tan tan cos sin cos sin cos sin 2

22=+=+=αααααααα; (3)α

αα

ααααααααα22222

2

2

cos sin cos sin 2cos sin cos sin 2cos sin )cos (sin +++=

++=+5

810161tan 1tan 2tan 2

2==+++=ααα 【经典理由】弦化切的典型例题.