2007 年新知杯上海市初中数学竞赛

2007 年“新知杯”上海市初中数学竞赛 一、填空题（第1～5小题，每题8分，第6～10小题，每题10分，共90分）

1. 已知−1<2x −1<1，则12 x

的取值范围为 . 2. 在面积为1 的△ABC 中，P 为边BC 的中点，点Q 在边AC 上，且AQ=2QC 。连接AP 、BQ 交于点R ，则△ABR 的面积是 .

3. 在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边顺次为a 、b 、c 。若关于x 的方程 c(x 2 +1)-22bx-a(x 2-1) = 0的两根平方和为10，则a

b 的值为 . 4. 数x 1 ，x 2 ，…， x 100 满足如下条件：对于k = 1，2，…，100，x k 比其余99个数的和小k 。则x 25的值为 .

5. 已知实数a 、b 、c ，且b ≠ 0。若实数x 1 ，x 2， y 1 ，y 2满足x 12+ax 22=b ，x 2y 1-x 1y 2=a ， x 1y 1+ax 2y 2=c ，则y 12+ay 22的值为 .

6.如图，设P 是凸四边形ABCD 内一点，过P 分别作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H.已知AH=3，HD=4，DG=1，GC=5，CF=6，FB=4，且BE-AE=1。则四边形ABCD 的周长为 .

第6题图 第7题图

7. 如图，△ABC 的面积为1，点D 、G 、E 和F 分别在边AB 、AC 、BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ， DE ∥AC ，GF ∥AB.则梯形DEFG 面积的最大可能值为 .

8. 不超过1000 的正整数x ，使得x 和x+1 两者的数字和都是奇数。则满足条件的正整数x 有 个.

9. 已知k 为不超过50 的正整数，使得对任意正整数n ，2×36n+k×23n+1-1 都能被7 整除。则这样的正整数k 有 个.

10. 使得

2

2)1(++p p 是完全平方数的所有质数p 为 .

二、（20 分）

如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=2，AC=x ，点F 在边AB 上，点G 、H 在边BC 上，四边形EFGH 是一个边长为y 的正方形，且AE=AC.

（1）求y 关于x 的函数解析式.

（2）当x 为何值时，y 取到最大值？并求出y 的最大值.

三、（20 分）

求满足下列条件的正整数 n 的所有可能值：对这样的n ，能找到实数a 、b ，使得函数 b ax x n

x f ++=

21)(对任意整数x ，f （x ）都是整数.

四、（20 分）

在一个盒子里有红、黄、黑三种颜色的小球共 88 个.已知从中任意取出24 个，就可以保证至少有10个小球是同色的.问在满足上述条件下，无论各种颜色的小球如何分配，至少要从盒子中任意取出多少个小球，才能保证至少有20 个小球是同色的？