2007 年新知杯上海市初中数学竞赛
奥赛经典
奥赛经典——初中数学竞赛中的数论问题第一章 整数的封闭性运算【典型例题与基本方法】例1 (1995年全国联赛题)方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ）. A.1 B.2 C.3 D.4 例2 (2007年天津市竞赛题)八年级二班的同学参加社区公益活动——收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，乙组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个.若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有学生（ ）人.A.12B.13C.14D.15例3 (2002年“我爱数学”初中生夏令营竞赛题)如果一个正整数等于它的各位数字之和的4倍，那么，我们就把这个正整数叫做四合数.所有四合数的总和等于 .【解题思维策略分析】1.注意整数乘积或幂中的特殊因数例5 (2008年青少年数学国际城市邀请赛题)已知n 为正整数，使得()()()k n n n n n n 2621211=--+-++(k 是正整数).求所有可能的n 值的总和. 2.注意整数运算的封闭性例6 (2007年“新知杯”上海市竞赛题)求满足下列条件的正整数n 的所有可能值：对这样的n ，能找到实数a ，b ，使得函数()b ax x n x f ++=21对任意整数x ，()x f 都是整数. 3.注意在分数不等式中取整数的条件例7 已知n ，k 均为正整数，且满足不等式4396371<+-<k n k n .若对于某一给定的正整数n ，只有唯一的一个正整数k 使不等式成立.求所有符合要求的正整数n 中的最大值和最小值.【模拟实战】A 组1.若满足不等式137158<+<k n n 的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（ ）. A.100 B.112 C.120 D.1502.若12032+m 是整数，则所有满足条件的正整数m 的和为（ ）.A.401B.800C.601D.12033.若直角三角形的一条直角边长为12，另两条边长均整数，则符合这样条件的直角三角形共有（ ）个.A.1B.6C.4D.无数多4.2009是一个具有如下性质的年号：它的各位数码之和为11.那么，自古至今，这种四位数的年号共出现过______次.5.(2005年全国联赛题)不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为_____.B 组1.(2008年四川省竞赛题)已知正整数a 、b 、c 满足c b a <<，且abc ca bc ab =++.求所有符合条件的a 、b 、c .2.(2009年南昌市竞赛题)已知n 是大于1的整数.求证：3n 可以写成两个正整数的平方差.3.(第4届中国趣味数学决赛题)有20堆石子，每堆都有2006粒石子．从任意19堆中各取一粒放入另一堆，称为一次操作.经过不足20次操作后，某一堆中有1990粒石子，另一堆石子数在2080到2100之间，这一堆石子有______粒.4.(1995年全国联赛(民族卷)题)已知正整数a 、b 、c 满足下列条件：c b a >>，()()()72=---c a c b b a ，且100<abc ，求a ，b ，c .5.(2006年全国联赛题)2006个都不等于119的正整数200621,,a a a 排成一行，其中任意连续若干项之和都不等于119，求200621a a a +++ 的最小值.6.(第13届日本奥数决赛题)平太给大介出了一道计算题（A ，B 各代表两位数中各位上的数字,相同的字母代表相同的数字）：=⨯BA AB .大介：“得数是2872.”平太：“不对”.大介：“个位的数字对吗?”平太：“对”.大介：“其它位的数字有对的吗?”平在：“这是保密的.但你调换一下四位数2872中4个数字的位置,就能得出正确答案.” 请求出正确答案.第二章 正整数的多项式表示及应用【典型例题与基本方法】例1 将()102010化为下列进位制的数：⑴二进位制的数；⑵八进位制的数.例2 试证：形如abcabc 的六位数总含有7，11，13的因数.例3 一个三位数xyz （其中x ，y ，z 互不相等），将其各个数位的数字重新排列，分别得到的最大数和最小数仍是三位数.若所得到的最大三位数与最小三位数之差是原来的三位数，求这个三位数.例4 设两个三位数xyz ，zyx 的乘积为一个五位数xzyyx （其中x ，y ，z 互不相等），求x ，y ，z.【解题思维策略分析】1.善于运用正整数的十进位制的多项式表示解题例5 若一个首位数字是1的六位数abcde 1乘以3所得的积是一个末位数字为1的六位数1abcde ，求原来的六位数.例6 有一个若干位的正整数，它的前两位数字相同，且它与它的反序数（011a a a a n n -与n n a a a a 110- 互为反序数，其中00≠a ，0≠n a ）之和为10879，求原数.2.会利用非十进位制多项式表示解题例7 设在三进位置中，数N 的表示是20位数：12112211122211112222.求N 在九进位制中表示最左边的一位数字.例8 设1987可以在b 进位制中写成三位数xyz ，且7891+++=++z y x ，试确定出所有可能的x ，y ，z 和b .【模拟实战】A 组1.M 表示一个两位数，N 表示一个三位数，如果把M 放在N 的左边，组成一个五位数，那么这个五位数是（ ）.A. M+NB. MNC. 10000M+ND. 1000M+N2.一个两位数，它是本身数字和的k 倍，将个位数字与十位数字交换位置后，组成一个新数，则新数为其数字和的（ ）.A.()1-k 倍B.()k -11倍C.()k -10倍D.()k -9倍3.在大于10、小于100的正整数中，数字变换位置后所得的数比原数增加9的数的个数为_____.4.一个两位数，它的各位数字和的3倍与这个数加起来所得的和恰好是原数的两个数字交换了位置所得的两位数，这样的两位数有____个.5.已知ab 为两位数，且满足bbb ab b a =⋅⋅，求这个两位数.6.求一个最小的正整数n ，它的个位数字为6，将6移到首位，所得的新数是原数的4倍.B 组1.已知一个四位数的各位数字的和与这个四位数相加等于2010，试求这个四位数.2.有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者想好一个三位数abc ，然后，魔术师再要求他记下五个数acb 、bac 、bca 、cab 、cba ，并把这五个数加起来求出和N ，只要讲出N 的大小，魔术师就能说出原数abc 是什么.如果3194=N ，请你确定abc .3.两位数ab （个位数字与十位数字不同）的平方等于三位数xyz ；而这两位数ba 的平方恰好等于三位数zyx ，求上述两位属于三位数.4.(2008年全国联赛(江西卷)题)一本书共有61页，顺次编号1，2，...，61.某人在将这个数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了（形如ab 的两位数被当成了两位数ba ），结果得到的总和是2008.那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是多少？5.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)把()21101001.0化为十进制小数. 6.(1998年长春市竞赛题)证明：1218-能被7整除.7.(江西省第4届“八一杯”竞赛题)求证：12222222101112131415-++-+-+- 能被5整除.8.(第5届沈阳市竞赛题)若m ，n 是两个自然数，且2>n ，那么12+m 不能被12-n 整除，试说明理由.9.(江西省第2届探索与应用能力竞赛题)将十进制数2002化成二进制数.10.(1997年广州市竞赛题)化()1084375.53为二进制小数.11.有一个写成7进制的三位数，如果把各位数码按相反顺序写出，并把它看成是九进制的三位数，且这两数相等，求这个数.12.在哪种进位制中，16324是125的平方？13.N 是整数，它的b 进制表示是777.求最小的正整数b ，使得N 是十进制整数的4次方.14.在哪种进制中，100134=⋅？15.(2007年“卡西欧杯”武汉市竞赛题)军训基地购买苹果慰问学员.已知苹果总数用八进位制表示为abc ，七进位制表示为cba .那么，苹果的总数用十进位制表示为_____.16.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)化()81325为二进制数.17.(1995年“祖冲之”邀请赛决赛题)求证：对于任意进位制的数，10201都是合数.18.(第2届华杯赛决赛题)下面是两个1989位整数相乘：119891198911111111个个⨯. 问：乘积的数字和是多少？19.(第10届《中小学生数学报》邀请赛题)计算：⑴()()22101101111011010+； ⑵()()2210101101101101-； ⑶()()()222101101100111000000--.。
2007年上海市中学生数学知识应用竞赛夏令营试题(2007.7)
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2007年上海市中学生数学知识应用竞赛夏令营试题（2007.7）
某中学图书馆准备添置一些新书。
为了满足广大学生的需求，图书馆对具有代表性的300位同学进行了调查。
要求被调查的学生在科技图书、中国小说、外国文学、教辅读物等十大类书籍中选出自己的最喜欢的三种并排出顺序。
（调查结果见附件）
假定这十种图书每册的平均价格为（元/册）
请你帮图书馆出个主意，应该按照怎样的比例添置新书。
这里，既要考虑经费、图书馆藏书量等因素，又要尽最大可能满足学生希望。
历届 最近十年 (新知杯)上海市初中数学竞赛试卷及答案(含模拟试题及解答)
新 知 杯 模 拟 试 题一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）1. 对于任意实数b a ,，定义b a *=b b a a ++)(，已知5.285.2=*a ，则实数a 的值是_________。
2. 在三角形ABC 中，，其中，，a CA a BC b AB 2122==-=b a ,是大于1的整数，则=-a b 。
3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。
4. 已知关于x 的方程02)2()3(2234=++++++k x k x k x x 有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。
5. 如图，直角三角形ABC 中1=AC ，2=BC ，P 为斜边AB 上一动点。
BC PE ⊥,CA PF ⊥，则线段EF 长的最小值为 。
6. 设b a ,是方程01682=++x x 的两个根，d c ，是方程01862=+-x x 的两个根，则()()()()d b d a c b c a --++的值为 。
7. 在平面直角坐标系中有两点()1,1-P ，()2,2Q ,函数1-=kx y 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。
8. 方程2009=xyz 的所有整数解有 组。
9. 如图，四边形ABCD 中CD BC AB ==,78=∠ABC ,162=∠BCD 。
设BC AD ,延长线交于E ，则=∠AEB _________________.EEC10. 如图，在直角梯形ABCD 中，90=∠=∠BCD ABC ,10==BC AB ,点M 在BC上，使得ADM ∆是正三角形，则ABM ∆与DCM ∆的面积和是________________。
二、（本题15分）如图，ABC ∆中，90=∠ACB ,点D 在CA 上，使得，，31==AD CD 并且，BAC BDC ∠=∠3求BC 的长。
上海历届新知杯试题
Image
轨迹的总长是＿＿＿＿＿（保留π）。 Image
9、如图，△ABC中，AB＝BC＝10，点M、N在BC上，使得MN＝AM＝4， ∠MAC＝∠BAN，则△ABC的面积是＿＿＿＿。
10、△ABC中，∠C＝3∠A，AB＝10，BC＝8，则AC的长是＿＿＿＿。 二、（本题16分） ，均为正整数，若关于的方程的两个实数根都大于1，且小于2，
则S△DEF∶S△ABC= ．
14．已知a、b、c都是整数，且对一切实数x，都成立，则这样的有序数
组（a，b，c）共有 组．
15．如图，I是Rt△ABC（）的内心，过I作直线EF∥AB，分别交CA、CB
于E、F．已知，，则用m、n表示S△ABC=
．
B
C
A
E
F
m
n
I
求，的值。
三、（本题16分） 如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在
BC、CD上，使得△CMN的周长为2。求 （1）∠MAN的大小； （2）△MAN面积的最小值。
Image
四、（本题18分） 某学生为了描点作出函数的图象，取自变量的7个值：，且，分别算
出对应的的值，列出下表：
式的乘积，则这样的n共有＿＿＿＿＿个。 6、设正整数m，n满足m < n，且，则的值是＿＿＿＿。 7、数1，2，3，…，按下列方式排列：
12…
…
……
…
任取其中一数，并划去该数所在的行与列；这样做了次后，所取出的个 数的和是＿＿＿。
8、如图，边长为1的正三角形ANB放置在边长为MN＝3，NP＝4的正方形 MNPQ内，且NB在边NP上。若正三角形在长方形内沿着边NP、PQ、 QM、MN翻转一圈后回到原来起始位置，则顶点A在翻转过程中形成
奥赛经典
奥赛经典——初中数学竞赛中的数论问题第一章 整数的封闭性运算【典型例题与基本方法】例1 (1995年全国联赛题)方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ）. A.1 B.2 C.3 D.4 例2 (2007年天津市竞赛题)八年级二班的同学参加社区公益活动——收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，乙组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个.若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有学生（ ）人.A.12B.13C.14D.15例3 (2002年“我爱数学”初中生夏令营竞赛题)如果一个正整数等于它的各位数字之和的4倍，那么，我们就把这个正整数叫做四合数.所有四合数的总和等于 .【解题思维策略分析】1.注意整数乘积或幂中的特殊因数例5 (2008年青少年数学国际城市邀请赛题)已知n 为正整数，使得()()()k n n n n n n 2621211=--+-++(k 是正整数).求所有可能的n 值的总和. 2.注意整数运算的封闭性例6 (2007年“新知杯”上海市竞赛题)求满足下列条件的正整数n 的所有可能值：对这样的n ，能找到实数a ，b ，使得函数()b ax x n x f ++=21对任意整数x ，()x f 都是整数. 3.注意在分数不等式中取整数的条件例7 已知n ，k 均为正整数，且满足不等式4396371<+-<k n k n .若对于某一给定的正整数n ，只有唯一的一个正整数k 使不等式成立.求所有符合要求的正整数n 中的最大值和最小值.【模拟实战】A 组1.若满足不等式137158<+<k n n 的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（ ）. A.100 B.112 C.120 D.1502.若12032+m 是整数，则所有满足条件的正整数m 的和为（ ）.A.401B.800C.601D.12033.若直角三角形的一条直角边长为12，另两条边长均整数，则符合这样条件的直角三角形共有（ ）个.A.1B.6C.4D.无数多4.2009是一个具有如下性质的年号：它的各位数码之和为11.那么，自古至今，这种四位数的年号共出现过______次.5.(2005年全国联赛题)不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为_____.B 组1.(2008年四川省竞赛题)已知正整数a 、b 、c 满足c b a <<，且abc ca bc ab =++.求所有符合条件的a 、b 、c .2.(2009年南昌市竞赛题)已知n 是大于1的整数.求证：3n 可以写成两个正整数的平方差.3.(第4届中国趣味数学决赛题)有20堆石子，每堆都有2006粒石子．从任意19堆中各取一粒放入另一堆，称为一次操作.经过不足20次操作后，某一堆中有1990粒石子，另一堆石子数在2080到2100之间，这一堆石子有______粒.4.(1995年全国联赛(民族卷)题)已知正整数a 、b 、c 满足下列条件：c b a >>，()()()72=---c a c b b a ，且100<abc ，求a ，b ，c .5.(2006年全国联赛题)2006个都不等于119的正整数200621,,a a a Λ排成一行，其中任意连续若干项之和都不等于119，求200621a a a +++Λ的最小值.6.(第13届日本奥数决赛题)平太给大介出了一道计算题（A ，B 各代表两位数中各位上的数字,相同的字母代表相同的数字）：=⨯BA AB .大介：“得数是2872.”平太：“不对”.大介：“个位的数字对吗?”平太：“对”.大介：“其它位的数字有对的吗?”平在：“这是保密的.但你调换一下四位数2872中4个数字的位置,就能得出正确答案.” 请求出正确答案.第二章 正整数的多项式表示及应用【典型例题与基本方法】例1 将()102010化为下列进位制的数：⑴二进位制的数；⑵八进位制的数.例2 试证：形如abcabc 的六位数总含有7，11，13的因数.例3 一个三位数xyz （其中x ，y ，z 互不相等），将其各个数位的数字重新排列，分别得到的最大数和最小数仍是三位数.若所得到的最大三位数与最小三位数之差是原来的三位数，求这个三位数.例4 设两个三位数xyz ，zyx 的乘积为一个五位数xzyyx （其中x ，y ，z 互不相等），求x ，y ，z.【解题思维策略分析】1.善于运用正整数的十进位制的多项式表示解题例5 若一个首位数字是1的六位数abcde 1乘以3所得的积是一个末位数字为1的六位数1abcde ，求原来的六位数.例6 有一个若干位的正整数，它的前两位数字相同，且它与它的反序数（011a a a a n n Λ-与n n a a a a 110-Λ互为反序数，其中00≠a ，0≠n a ）之和为10879，求原数.2.会利用非十进位制多项式表示解题例7 设在三进位置中，数N 的表示是20位数：12112211122211112222.求N 在九进位制中表示最左边的一位数字.例8 设1987可以在b 进位制中写成三位数xyz ，且7891+++=++z y x ，试确定出所有可能的x ，y ，z 和b .【模拟实战】A 组1.M 表示一个两位数，N 表示一个三位数，如果把M 放在N 的左边，组成一个五位数，那么这个五位数是（ ）.A. M+NB. MNC. 10000M+ND. 1000M+N2.一个两位数，它是本身数字和的k 倍，将个位数字与十位数字交换位置后，组成一个新数，则新数为其数字和的（ ）.A.()1-k 倍B.()k -11倍C.()k -10倍D.()k -9倍3.在大于10、小于100的正整数中，数字变换位置后所得的数比原数增加9的数的个数为_____.4.一个两位数，它的各位数字和的3倍与这个数加起来所得的和恰好是原数的两个数字交换了位置所得的两位数，这样的两位数有____个.5.已知ab 为两位数，且满足bbb ab b a =⋅⋅，求这个两位数.6.求一个最小的正整数n ，它的个位数字为6，将6移到首位，所得的新数是原数的4倍.B 组1.已知一个四位数的各位数字的和与这个四位数相加等于2010，试求这个四位数.2.有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者想好一个三位数abc ，然后，魔术师再要求他记下五个数acb 、bac 、bca 、cab 、cba ，并把这五个数加起来求出和N ，只要讲出N 的大小，魔术师就能说出原数abc 是什么.如果3194=N ，请你确定abc .3.两位数ab （个位数字与十位数字不同）的平方等于三位数xyz ；而这两位数ba 的平方恰好等于三位数zyx ，求上述两位属于三位数.4.(2008年全国联赛(江西卷)题)一本书共有61页，顺次编号1，2，...，61.某人在将这个数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了（形如ab 的两位数被当成了两位数ba ），结果得到的总和是2008.那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是多少？5.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)把()21101001.0化为十进制小数.6.(1998年长春市竞赛题)证明：1218-能被7整除.7.(江西省第4届“八一杯”竞赛题)求证：12222222101112131415-++-+-+-Λ能被5整除.8.(第5届沈阳市竞赛题)若m ，n 是两个自然数，且2>n ，那么12+m 不能被12-n 整除，试说明理由.9.(江西省第2届探索与应用能力竞赛题)将十进制数2002化成二进制数.10.(1997年广州市竞赛题)化()1084375.53为二进制小数.11.有一个写成7进制的三位数，如果把各位数码按相反顺序写出，并把它看成是九进制的三位数，且这两数相等，求这个数.12.在哪种进位制中，16324是125的平方？13.N 是整数，它的b 进制表示是777.求最小的正整数b ，使得N 是十进制整数的4次方.14.在哪种进制中，100134=⋅？15.(2007年“卡西欧杯”武汉市竞赛题)军训基地购买苹果慰问学员.已知苹果总数用八进位制表示为abc ，七进位制表示为cba .那么，苹果的总数用十进位制表示为_____.16.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)化()81325为二进制数.17.(1995年“祖冲之”邀请赛决赛题)求证：对于任意进位制的数，10201都是合数.18.(第2届华杯赛决赛题)下面是两个1989位整数相乘：321Λ321Λ119891198911111111个个⨯. 问：乘积的数字和是多少？19.(第10届《中小学生数学报》邀请赛题)计算：⑴()()22101101111011010+；⑵()()2210101101101101-；⑶()()()222101101100111000000--.。
2000-2017年(大同杯原新知杯)历年上海市初中数学竞赛试卷和参考答案
上海市大同杯（原新知杯、宇振杯）初中数学竞赛试题和参考答案目录2017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题 3 2017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案 6 2016年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题11 2016年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案14 2015年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题18 2015年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题详解22 2014年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题29 2014年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案31 2013年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题35 2013年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题参考答案38 2012年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题43 2012年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题详解46 2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷50 2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷详解53 2010年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷59 2010年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷详解61 2009年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷68 2009年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷参考答案71 2008年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷752008年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷参考答案79 2007年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷81 2007年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷答案详解83 2006年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷87 2006年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷答案详解90 2005年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷94 2005年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案97 2004年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷99 2004年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案101 2003年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷104 2003年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案106 2002年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷107 2002年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案108 2000年上海市初中数学竞赛（弘晟杯）试题110 2000年上海市初中数学竞赛（弘晟杯）试题参考答案1112017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试卷一、 填空题（每题10分，共80分）1. 已知抛物线c bx ax y ++=2过点（0，0），（22.5，2020.5），（62.5，1812.5），则抛物线与x 轴的另一交点的横坐标为 （精确到0.001）。
上海市初中竞赛报名
上海市初中竞赛报名
◇考试介绍
上海市初中数学竞赛全称“新知杯”上海市初中数学竞赛，曾被称为“宇振杯”，“弘晟杯”。
这是一项经上海市教委批准认可的数学竞赛。
新知杯上海市初中数学竞赛针对在校初三年级学生以及个别数学成绩优异的初二、初一、预初年级学生。
新知杯上海市初中数学竞赛历来是上海各大高中看重的一个竞赛奖项，新知杯的一、二等奖在上海本地具有相当的含金量。
◇报名条件
新知杯上海市初中数学竞赛报名坚持自愿原则，参赛对象以初三学生为主，面向学有余力的优等学生。
◇报名时间
上海各区报名时间不同，以各区通知为准。
◇考试费用
各年度收费标准不同，一般每人10元。
◇竞赛时间
新知杯上海市初中数学竞赛一般在每年年底进行决赛。
2017竞赛时间尚未公布，参考往年上海市初中数学竞赛时间为12月8日。
选拔赛时间以各区通知为准。
◇竞赛题型
上海市初中数学竞赛命题以国家教育部制定的《义务教育数学课程标准（试用稿）》和《义务教育初中数学教学大纲（试用修订版）》的理
念、内容、要求为基本依据，以《标准》和《大纲》的公共内容为重点，圆、二次函数、统计不在考查范围之内，试题为20道填空题，满分100分。
允许使用符合教委规定的计算器。
◇奖励办法
设市一、二、三等奖，共200名。
(完整版)2007--2011年“新知杯”上海市初中数学竞赛试题(设好格式,A4打印即可)
QP E DC BAF P E DCBA2008年“新知杯”上海市初中数学竞赛一、填空题：1、如图：在正ABC ∆中，点D 、E 分别在边BC 、CA 上，使得AE CD =，AD 与BE 交于点P ，AD BQ ⊥于点Q .则=QBQP_____________. 2、不等式a x x ≥-+622对于一切实数x 都成立.则实数a 的最大值为_____________. 3、设n a 表示数4n 的末位数.则=+++200821a a a _____________.4、在菱形ABCD 中，︒=∠60A ，1=AB ，点E 在边AB 上，使得12:EB :AE =，P 为对角线AC 上的动点.则PB PE +的最小值为_____________.5、关于x 的方程12122+=--a a x ax 的解为_____________. 6、如图：设P 是边长为12的正ABC ∆内一点，过P 分别作三条边BC 、CA 、AB 的垂线，垂足分别为D 、E 、F .已知321::PF :PE :PD =.那么，四边形B D P F 的面积是_____________.7、对于正整数n ，规定n !n ⨯⨯⨯= 21.则乘积!!!921⨯⨯⨯ 的所有约数中，是完全平方数的共有_____________个.8、已知k 为不超过2008的正整数，使得关于x 的方程02=--k x x 有两个整数根.则所有这样的正整数k 的和为_____________.9、如图：边长为1的正111C B A ∆的中心为O ，将正111C B A ∆绕中心O 旋转到222C B A ∆，使得1122C B B A ⊥.则两三角形的公共部分（即六边形ABCDEF ）的面积为_________. 第9题图 第10题图10、如图：已知︒=∠=∠9DAC BAD ，AE AD ⊥，且BE AC AB =+.则=∠B _____________.二、如图：在矩形ABCD 内部（不包括边界）有一点P ，它到顶点A 及边BC 、CD 的距离都等于1，求矩形ABCD 面积的取值范围.FEDC三、已知实数x 、y 满足如下条件：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+>->+4220202y x y x y x y x ，求y x -的最小值.四、如图：在凹六边形ABCDEF 中，A ∠、B ∠、D ∠、E ∠均为直角，p 是凹六边形ABCDEF 内一点，PM 、PN 分别垂直于AB 、DE ，垂足分别为M 、N ，图中每条线段的长度如图所示（单位是米），求折线MPN 的长度（精确到0.01米）.五、求满足不等式n n n n n <⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡131132的最大正整数n ，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数.2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题一、填空题（第1－5小题每题8分，第6－10小题每题10分，共90分）1、对于任意实数a,b ，定义,a ∗b ＝a(a ＋b)＋b, 已知a ∗2.5＝28.5，则实数a 的值是 。
2007年新知杯上海市高中数学竞赛
数（ 注意到≠ ≠
１ ＿ １
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当 ／为奇数时， ７ ，
ｌ ｌ ≤昙ｄ＊ 口 １ ＋ ６ ｅ （ 一 ） ３≤ ２
幸 １ √ ≤ ０ ＋３ ｊ． —３ ≤１ √
两不相等 ． 显然 ｍ＝１６ ｎ＝１０ ６， １ 满足 “ 大于 １０且 小 于 １０ ｍ 一／ ０ ． 外 ， 容 易验 ０ ７， １ ≥５” 另 也 证： 以上的表示方式都满足“ ２ 一ｂ，２： ｎ … ｎ 一 汁 ｂ ， ， 一６ （ … ｎ＋ ＝０ １ … ， ～ｎ 也 两 两 ，， ｍ ） 不 相 等” ． 综上所述 ， 以上 所 构 造 的 ２０ ８的表 示 ０ 式 完全 符合 题 目要 求 ， 且表 示式 有无 限多个 ． （ 吴伟 朝 广 州 大 学数 学 与信 息 科 学 学
历届新知杯试题选2
初三数学班练习(赛题选集2) 2009111986年1. 如图，在ABC 中，,A B ∠∠的外角平分线,AD BE 分别交对边的延长线于点,D E ，且AD A B BE ==，则A ∠=EDCBAFEDCBAG2.若2x =432565x x x x -+-=3. 对于实数,a b ，规定*(1)(1)a b a b =+-，则满足等式(*)*(1)(1)*(*)a a a a a a +=+的a 的值是4. 如图，梯形ABCD 中，//,:2:5,:1:1,:2:3AD BC AD BC AF FD BE EC ===，,EF CD 延长线交于G ，用最简整数比表示::GFD FED DEC S S S =5. 在一次射箭比赛中，小王与小张三次中靶的环数之积都是36，且总环数相等，还已知小王的最高环数比小张的最高环数多(中箭环数是不超过10的自然数)，则小王的三次射箭环数从小到大排列是 6. 100个正整数之和为101101，则它们的最大公因数的最大可能值是多少？证明之.7. 自△ABC 的顶点引两条射线交BC 于,X Y ，使得BAX CAY ∠=∠，求证：22BX BY AB CX CY AC ⋅=⋅YXC BA8. 设,a b 为整数，且方程210ax bx ++=的两个不同的正数根都小于1，求a 的最小值.1987年1. 为了给一本书各页标上页码，印刷工人用了3289个数字，则这本书的页数是2. 在ABC 中，10BC =，AC AB >，且中线,BE CF 互相垂直，重心G 到BC 的距离是3，则AB = ，AC =BAEFG3. 能被33整除的六位数1987xy 的个数是4.在第一象限内，函数y =,x y 都是整数的点的个数是5. 已知△ABC 与平行BC 的直线DE 相交，且△BDE 的面积等于定值2k ，那么当2k 与△ABC 的面积S 之间满足什么关系时问题有解？有多少解？DCBAE6. 将边长为3的正方形ABCD 折叠，折痕为EF (如图)，使得点B 落在CD 上的'B 处，点A 落在'A ，且'30B BC ∠= ，求'A EG 的面积.DCBA EA 'G7. 设正数,,x y z 满足下面的不等式：2222222221222x y z y z x z x y xy yz zx+-+-+-++>求证：,,x y z 是某个三角形的三边长.1988年1. 在凸四边形ABCD 中，:::2:2:3:1AB BC CD DA =，且90ABC ∠=，则DAB ∠的度数是 2. 若正数x 的整数部分的平方等于x 与它小数部分的乘积，则1x x-= 3. 满足方程2221x y -=的所有素数解(即,x y 均为素数)是4. 若凸42n +边形1242...n A A A +的每个内角都是30的整数倍，且12390A A A ∠=∠=∠=，则n 的所有可能值是5. 如图，三条直线,,l m n 互相平行，且,l m 之间距离为2，,m n 之间距离为1，若正三角形ABC 的三个顶点分别在,,l m n 上，则这个三角形的边长为CBAm ln6. 已知一元二次方程210x x m -+-=的两实根,αβ满足||||5αβ+≤，则实数m 的取值范围是7. 设m 是两个不相等的正整数,x y 的最小公倍数，且满足111m x y m-+=，求所有可能的,x y .1989年1. 若存在实数,a A 和正数x，使得等式=A =2. 在梯形ABCD 中，下底1991BC =，上底1989AD =，M 在BC 上，且:1:1989ABM AMCD S S = ，则CM的长度是3. 若关于x 的二次方程20x px q -+=的两根之差为1，用p 来表示q ，则q =4.已知：222xy ==，则()x y -+= 5. 已知三个非负数,,a b c 满足：325,231a b c a b c ++=+-=，记37a b c +-的最大值为M ，最小值为m ，则Mm =6. 若两个凸多边形边数之和为17，对角线条数之和为47，则这两个凸多边形的边数分别为7. 已知ABC 的两边,BC a AC b ==，且,BC AC 边上的两条中线,AD BE 互相垂直，则第三边AB 的长用,a b 来表示是8. 设,a b 是正整数，则满足5497a b <<，且b 最小的分数ab是 9. 使得27m m ++是完全平方数的所有这样的整数m 的乘积是 10. 不能用三个不相等的合数之和来表示的最大奇数是11. 平面上任给ABC 和点O ，已知123,,G G G 分别是,,OAB OBC OCA 的中心，求123:G G G ABC S S 的值.12. 如图，P 为正方形ABCD 内一点，5,8,13PA PB PC ===，求正方形的面积.DCBAP。
2007新知杯上海市初中数学竞赛
2007新知杯上海市初中数学竞赛2007年“新知杯”上海市初中数学竞赛一、填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分）1. 已知-1<2x<1，则2x-1的取值范围为______。
2. 在面积为1的∆ABC 中，P 为边BC 的中点，点O 在边AC 上，且AQ=2QC,连接AP 、BQ 交于点R ，则∆ABR 的面积是______。
3. 在∆ABC 中，∠C=90°∠A 、∠B 、∠C 的对边顺次为a 、b 、c ，若关于x 的方程c(x+1)-22bx -a （x -1）=0的两根的平方根和为10，则22b a的值为______。
4. 数x 1、x 2……x 100满足如下条件：对于k=1、2……100。
x k 比任何其余99个数的和小k ，则x 25的值为______。
5. 已知实数a 、b 、c ，且b ≠0，若实数x 1, x 2，y 1、y 2满足x 1＋ax 2=b，x 2y 1-x 1y 2=a ，x 1y 2+ax 2y 2=c ，则y 1+ay22222的值为_______。
6. 如图，设P 是凸四边形ABCD 内一点，过P 分别作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂线分别为E 、F 、G 、H 。
已知AH=3，HD=4,DG=1,GC=5,CF=6,FB=4,且BE-AE=1，则四边形ABCD 的周长为______。
7. 如图，∆ABC 的面积为1，点D 、G 、E 和F 分别在边AB 、AC 、BC 上，BD。
2006年新知杯上海市初中数学竞赛
.
ABC 的面积为 S ,周长为 p , A′ B′ C′ 的三边在 ABC 外 ,且与对应边的 距离均为 h . 则 A′ B′ C′ 的周长为 ,面
8. 如图 4 ,
积为 . 9. 已知 n ( n > 1) 个整数 ( 可以相同) a1 , a2 , …, a n 满足 a1 + a2 + …+ a n = a1 a2 …an = 2 007. 则 n 的最小值是 . 10. 把能表示成两个正整数平方差的这 种正整数 , 从小到大排成一列 : a1 , a2 , …, 2 2 2 2 a n , …( 如 a1 = 2 - 1 = 3 , a2 = 3 - 2 = 5 , a3 2 2 2 2 ) . 那么 , a1 + = 4 - 3 = 7 , a4 = 3 - 1 = 8 , … a2 + …+ a100 的值是 . ( ) 二 、 20 分 如 图 5 , 已知半径分别为 1 、 2 的两 个同心圆 , 有一个 正 方 形 ABCD , 其中 , 点 A 、 D 在半 径为 2 的圆周上 , 点 B 、 C 图5 在半径为 1 的圆周上 . 求这 个正方形的面积 . ( 20 分) 关于 x 、 三、 y、 z 的方程组 3x +2y + z = a , xy + 2 yz + 3 zx = 6 有实数解 ( x , y , z ) . 求正实数 a 的最小值 . ( 20 分) 设 A 是给定的正有理数 . 四、 (1) 若 A 是一个三边长都是有理数的直 角三角形的面积 ,证明 : 一定存在 3 个正有理 2 2 2 2 数 x、 y、 z ,使得 x - y = y - z = A ; ( 2) 若存在 3 个正有理数 x 、 y、 z , 满足
2007年上海市中学生数学知识应用竞赛
2007年上海市中学生数学知识应用竞赛获奖名单上海市青少年科技教育中心上海市工业与应用数学学会2007年12月上海市中学生数学知识应用竞赛获奖名单（初中组）郊区组一等奖陆徐超金盟中学施嫣文淞谊中学蔡尚宁桃李园朱宇凯行知二中何廉远上宝中学李雨晴上宝中学宋思嘉堡镇中学陈骁俊育秀实验学校唐旭晨南汇一中邹晓栋平乐中学干忆楠干巷学校朱奇越活动中心莘松尤之一交大二附中二等奖孙旭东上宝中学童雯婷文来中学陈曦金盟中学张祯宇金盟中学倪俊晖实验中学印豪实验中学袁航交大二附中李家皓上宝中学陈宗涵莘松中学吴匡衡文来中学范亦唯行知二中郑瑞祥上宝中学胥昊和衷中学俞佳莹和衷中学茅婷婷东门中学戈欣港西中学陈邹裕中华中学郁雯雯民一中学潘舜智万祥学校沈依伟金盟中学唐梦飞上宝中学项嵘上海市莘光学校三等奖邴珏明和衷中学贡立凡行知二中高仕君枫泾中学沈鹤群东门中学屠雨澄上宝中学朱达民办文绮中学马玉玲民办文绮中学周晨旭汇龙学校毕杰明和衷中学周逸雯金盟中学施聪民一中学吴鑫上宝中学倪采上宝中学陈嘉懿和衷中学朱擎天民一中学章进明上宝中学夏辰鸣上宝中学唐嘉程南汇一中潘镜天尚德学校黄鸿志民一中学何俊杰上宝中学陈安芝文来中学洪琦笠莘松中学严格行知二中乔钦彧金盟中学连一鸣育秀实验学校张敏鑫实验学校陈键尚德学校王开雨尚德学校王筱骋淞谊中学张楚瑶行知二中周彦卿行知二中顾佳晖枫泾中学陆韬登瀛中学周光朕梅陇中学许怡琼文来中学张黎昇文来中学方申冬行知二中沈克罗星中学徐秋思罗星中学王爽实验中学龚军合兴中学王越文来中学谭盈蓓汇龙学校季一宝山进修附中李菲尔行知二中王晗莹行知二中梁冰尔行知二中吴冕行知二中喻世辰行知二中邵知会实验中学杜晗栩活动中心闵行五中李祺活动中心闵行五中马捷毅活动中心莘光王张宁活动中心莘光徐梦怡上宝中学田野疁城实验学校宋佳玮桃李园陆安琪和衷中学吴伊澄行知二中李昊罗星中学许昊文实验中学陆逸玮崇东中学王宇征交大二附中梅杰上宝中学王敏晟文来中学苏忆敏桃李园徐烨怀少学校王玮成桃李园周蓓三灶学校奚家昊澧溪中学吴袆松尚德学校邢怡行知二中黄煜飏东门中学陈超云洞泾学校沈晨程南汇二中市区组一等奖林一琪立达周晓晗世外中学陆宇豪市西初级张贻辰延安初中朱纪乐市北初级中学房屹东位育初级杨过超世外中学张嘉成进华中学孙毅君进华中学马莹玉民办扬波中学佘毅阳市北初级中学陆恺佶格致初级陈驰宇立达朱梦天立达周艺立达张建新市十李弘基市二初中程思愽兰生复旦柳圣云上外附中蒋若青立达二等奖赵成浩延安初中高嗣淳市北初级中学陈黎申东格致顾超格致初级黄欣桐上外附中肖阳延安初中肖佶年位育初级虞世泽华育中学潘昭市北初级中学万嘉悦立达金焘兰生复旦王鲁冰华初陆逸波立达鲍宏伟华育中学孟澄市北初级中学邓飞华育中学余盛铭位育初级余天哲市西初级胡亦知市西初级蔡一晓延安初中程淼梅陇中学周舟航市北初级中学万选青市北初级中学陆东衡位育初级余乐平华育中学张宇翔复兴王子源复兴张颖一华初顾翀上外附中陆灏川市北初级中学顾宇豪立达钱一鸣天山初中徐沁新世纪中学王逸敏延安初中张科延安初中甘全进华中学葛季敏进华中学刘天浩东格致董世豪立达徐道晨立达郑煚仁立达张言豪立达张永臻位育初级郑天铖位育初级聂子佩华育中学蔡云飞交大飞达邓永行上外附中李文祺迅行中学三等奖吕立一徐汇中学王梓璇复旦二附中王奕帆立达沈翊舟上外附中刘忆枫进华中学杨溢涵市北初级中学严小力立达陶倩芸位育初级贺秋瑞华育中学周顺帆存志中学张祺隆凯慧中学蔡磊卿兰生复旦杨奕玮上外双语曹雨晨上外附中孙懿馨立达徐俊楠市北初级中学陈闻达西南位育中学孙思情凯慧中学胡秋煜市西初级金越进华中学陆逢源进华中学恽峙泓兰生复旦田明昊进华中学张易位育初级蒋旻昊梅陇中学陆怡心民办田家炳中学袁苑彭浦初级中学宋阳市北初级中学孙哲铖市北初级中学包雪郦储能谢张圆立达韩君超立达严青明珠沈卓荟存志中学林懿上外双语曹一夫华初金晶华初陆修远上外附中郁仁余立达孙泽远延安初中刘骏祎复旦二附中郑舒文市西初级黄昕炜市西初级蔡意歆延安初中程义婷真北中学朱瀛达市北初级中学陈末立达沈理良市北初级中学梁栋华育中学沈一清复兴汪佳瑛进华中学顾思东格致周英杰应昌期钱隆西南位育中学吴恺奕位育初级张逸鸿位育初级优秀组织奖黄浦区青少年活动中心闵行区青少年活动中心崇明县青少年活动中心五四中学优秀组织教师奖徐汇区青少年活动中心周平普陀区青少年中心叶仪琳宝山区青少年科技指导站周卫平崇明县青少年活动中心刘建平闵行区青少年活动中心胡艳杨浦区青少年科技指导站杨家辉闸北区青少年科技指导站赵丽娟虹口区青少年活动中心王勇南汇区青少年科艺中心周水琴金山区第二少年宫季培康嘉定区青少年活动中心葛英姿上海市中学生数学知识应用竞赛获奖名单（高中组）团体奖第一名：位育中学第二名：嘉定一中第三名：育才中学第四名：上外附中第五名：上师大附中第六名：七宝中学第七名：交大附中第八名：曹杨二中一等奖朱俊彦交大附中顾宇丰育才中学林逸华位育中学王鹤鼎七宝中学马陆嘉定一中黄天怿上外附中二等奖沈楚雄位育中学陈中坚控江中学付冠一育才中学孙慧菱复兴高级中学王明圣育才中学潘道欣上海中学蔡迅捷格致中学黄鹏嘉定一中吴正骁曹杨二中薛纯嘉定一中秦历宽复旦附中陈鲁君育才中学郑腓力七宝中学蒋一心育才中学薛晏市西中学李庚上师大附中陈一镭西南位育李不凡格致中学钟楠位育中学刘亚儿曹杨二中三等奖陈健控江中学龚楷博建平中学刁嘉辉格致中学诸云麟交大附中沈思佳交大附中吴偲位育中学陆齐奥中国中学项宁位育中学徐栋新中高级中学陶冶位育中学严一祥市西中学王馨苑上师大附中王志宇复旦附中俞思民上师大附中蒋亦方向明中学韩笑纯上师大附中韩康育才中学高腾上师大附中周斯桐交大附中张妍圣民立中学沈之默控江中学黄旭华建平中学张讼曹杨二中江雨遥市西中学顾添逸育才中学朱晓骅上外附中邓彦桢上外附中孙裔劼上外附中魏志一交大附中丁梦婕上外附中范敏杰复旦附中李经纬七宝中学陈晟伟控江中学周正怡市二中学胡培栋新中高级中学张元闵行中学潘力萌位育中学吴佳鸣吴淞中学朱宇浩育才中学徐松大境中学王超晖市西中学杨硕华师大二附中杨轲七宝中学陈奇飞市北中学钱晨皓位育中学邵盈晋元中学魏朱晨位育中学陈婷婷市八中学刘畅流华师大二附中罗马上海中学陈晨华师大二附中金辉南汇中学石宏霄市西中学汤召君南汇中学黄尊峥育才中学沈佳骏南汇中学汪维卿位育中学张天伟上南中学蒋宇杰位育中学李翔嘉定一中杨玺控江中学张玉坚嘉定一中程九思嘉定一中尤俊杰大境中学2007年上海市中学生数学知识应用竞赛夏令营获奖名单一等奖交大附中杨奕晨王舒嶷杨扬育才中学顾宇丰孙领王明圣二等奖曹杨二中孟剑敏周楚远何骏曹杨二中张讼刘亚儿吴沐阳嘉定一中马陆郁悦朱晓燕嘉定一中陈昊朱子奇唐祎程建平中学武宁黄平俞人威交大附中诸云麟徐婷婷.控江中学陆奕骞沈之默陈健七宝中学李经纬王鹤鼎于岑宁上师大附中李思睿毛宜骏吴梦佳上外附中王瑛韫黄馨迪张集川杨浦高级中学宋家骥朱丹.上外附中刘仲林韩天宁张砾炜民立中学张妍圣李文婕吕岑麟上师大附中张丽媛段晓昕王馨苑上师大附中庄詠文姚璐王彦骏三等奖曹杨二中蒋欣怡陆悦韵薛雯莉曹杨二中郑惟达吴正骁朱书尧大境中学郭敏杰杨帆沈立扬复旦附中潘文凯傅向义范敏杰建平中学乔司雨吴晓燕王珏建平中学程业程力俞道亮建平中学朱晨祺黄旭华张钧凯交大附中邢诗萌陆笑天朱文烨控江中学陈晟伟魏传豪陈志浚控江中学戴奇骎付丽群张玮熙民立中学郭浩夏正阳鲁晓栋民立中学胡怡童丁文耀赵霁文七宝中学郑腓力杨柯鲍晨骏上师大附中宋羽希竺斌全俞筱骏上师大附中孙晓扬张驰赵雨潇上外附中黄通博许睿捷林澍坤上外附中屠思韡孙裔劼徐兆韬市三女中俞娉婷黄思颖施文君市西中学陆昱廷陶航飞王超晖市西中学陈世颖王一超薛晏位育中学汪维卿林逸华詹彦位育中学陶冶沈楚雄蒋祚赢西南位育汪濙海沈昱张隽仪向明中学陆竑斌朱恬骅汪晟骢育才中学刘雄飞王永吉姜凌霄育才中学熊建国王之骏封雪卉中国中学陆齐奥金晓峰赵嘉欣上外附中谢齐沁樊能史宇骋2007年上海市中学生数学知识应用小论文竞赛获奖名单一等奖地铁空调温度巧调节（复兴高级中学：孙慧菱）对违章鸣笛车辆的定位取证的研究（嘉定一中：程九思）（指导教师：谢锡林、徐泼）二等奖商务楼空调使用时间规划（民立中学：张妍圣）（指导教师：张向东）节能建筑之研究（上海师大附中：王馨苑）风力发电与火力发电的配置问题（七宝中学：李经纬、王鹤鼎、于岑宁）从女足世界杯谈起（建平中学：黄旭华）雨季时轮胎对安全的影响（晋元高级中学：邵盈）不可能图形的数学解析（位育中学：陶冶）三等奖图书馆新书购置的数学模型（向明中学：陆竑斌、朱恬骅、汪晟骢）补课效果的研究与探讨（中国中学：赵嘉欣、陆齐奥）最佳捕鱼方案（位育中学：吴偲）校园路灯的设计（建平中学：贺然、邓若晛）（指导教师：周宁医）电加热水的研究（嘉定一中：马陆）（指导教师：谢锡林、杨思源）五岔路口交通问题研究（市西中学：先毅昆、韩倞、胡喆之、王超珲）浅析沪深股票指数的相关性（松江二中：陈涣歆、张泓阳）。
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2007 年“新知杯”上海市初中数学竞赛 一、填空题（第1～5小题，每题8分，第6～10小题，每题10分，共90分）
1. 已知−1<2x −1<1，则12 x
的取值范围为 . 2. 在面积为1 的△ABC 中，P 为边BC 的中点，点Q 在边AC 上，且AQ=2QC 。
连接AP 、BQ 交于点R ，则△ABR 的面积是 .
3. 在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边顺次为a 、b 、c 。
若关于x 的方程 c(x 2 +1)-22bx-a(x 2-1) = 0的两根平方和为10，则a
b 的值为 . 4. 数x 1 ，x 2 ，…， x 100 满足如下条件：对于k = 1，2，…，100，x k 比其余99个数的和小k 。
则x 25的值为 .
5. 已知实数a 、b 、c ，且b ≠ 0。
若实数x 1 ，x 2， y 1 ，y 2满足x 12+ax 22=b ，x 2y 1-x 1y 2=a ， x 1y 1+ax 2y 2=c ，则y 12+ay 22的值为 .
6.如图，设P 是凸四边形ABCD 内一点，过P 分别作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H.已知AH=3，HD=4，DG=1，GC=5，CF=6，FB=4，且BE-AE=1。
则四边形ABCD 的周长为 .
第6题图 第7题图
7. 如图，△ABC 的面积为1，点D 、G 、E 和F 分别在边AB 、AC 、BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ， DE ∥AC ，GF ∥AB.则梯形DEFG 面积的最大可能值为 .
8. 不超过1000 的正整数x ，使得x 和x+1 两者的数字和都是奇数。
则满足条件的正整数x 有 个.
9. 已知k 为不超过50 的正整数，使得对任意正整数n ，2×36n+k×23n+1-1 都能被7 整除。
则这样的正整数k 有 个.
10. 使得
2
2)1(++p p 是完全平方数的所有质数p 为 .
二、（20 分）
如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=2，AC=x ，点F 在边AB 上，点G 、H 在边BC 上，四边形EFGH 是一个边长为y 的正方形，且AE=AC.
（1）求y 关于x 的函数解析式.
（2）当x 为何值时，y 取到最大值？并求出y 的最大值.
三、（20 分）
求满足下列条件的正整数 n 的所有可能值：对这样的n ，能找到实数a 、b ，使得函数 b ax x n
x f ++=
21)(对任意整数x ，f （x ）都是整数.
四、（20 分）
在一个盒子里有红、黄、黑三种颜色的小球共 88 个.已知从中任意取出24 个，就可以保证至少有10个小球是同色的.问在满足上述条件下，无论各种颜色的小球如何分配，至少要从盒子中任意取出多少个小球，才能保证至少有20 个小球是同色的？。