第一讲(五年级奥数)

第一讲 初等数论1－最小公倍数和最大公约数

〖知识点〗

1、整数a 能被整数b(b ≠0)整除，称a 是b 的倍数，b 是a 的约数，记作: b/a 。

2、几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，公约数的个数是有限的，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。

若,1a 2a ,…n a 这几个数的最大公约数是d ，可记作：（1a ,2a ,…n a ）=d

3、几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，公倍数的个数是无限的，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

若,1a 2a ,…n a 这几个数的最小公倍数是m ，可记作：[1a ,2a ,…n a ]=m

4、性质：

①（a,b)=d,c/d, 则c/a,c/b;

②（a,b)=d,则（d a ,d

b )=1; ③若（a,b)=d,[a,b]=m,则dm=ab,且d/m;

④[,1a 2a ,…n a ]=m,而1a /N,2a /N,…,n a /N,那么m/N;

⑤若b/a,则(a,b)=b,[a,b]=a

⑥若a 与b 互质，则（a,b)=1，[a,b]=ab

5、求最大公约数与最小公倍数的常见方法：列举法，短除法，分解质因数法，辗转相除法

〖典型例题〗

例1. 用短除法求42,168,252的最大公约数和最小公倍数。

例2.用分解质因数法求2520,14850,819的最大公约数和最小公倍数。

〖辗转相除法〗

定理：对于正整数a,b,成立带余除法式：a=mb+r, 0≤r

例3.利用辗转相除法求：63677与5957的最大公约数。

例4. 如图所示，街道ABC在B处拐弯，在街道的一侧等距离装路灯，要求A、B、C处各装一盏路灯，这条街道最少要装多少盏灯？

1625米

A B

1170米

C

例5.有两个100以内的两位数，这两个两位数的最大公约数是16，这两个数分别是多少？

例6.三个连续自然数的最小公倍数是9828，这三个自然数的和是多少？

例7.甲每13天去公园一次，乙每15天去公园一次，今年甲在3月30日曾去公园，乙在4月1日曾去公园，他们可能在这公园第一次相遇的日期将是几月几日？

例8.培训学校给优秀学生发放奖品，奖品共有本297个，笔383枝。将这些奖品等分给若干个优秀学生，最后多出3个本和5枝笔。已知每个学生得到的本和笔的总数不超过20，那么优秀学生有几个？

例9.两个数的和是70，它们的最大公约数是7，求这两个数的差是多少？

例10.在除13511,13903,14589时能剩下相同余数的最大整数是多少？

例11.一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，那么这个数是多少？

例12.下面两个算式中，的书较大的是哪一个？

（1）(241+291）×30 （2）（311+37

1）×40

例13.有甲乙丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米，已知操场跑道每周长400米，如果的三个人同时同一地点出发，问几分钟后三人可以相聚？

例14.已知两个自然数的差为2，它们的最小公倍数和最大公约数之差为142，求这两个自然数各是多少？

例15.已知两个自然数的和是60，它们的最小公倍数和最大公约数之和是84，求这两个自然数各是多少？

例16.在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍等分成10等份，第二种刻度线把木棍等分成12等份，第三种刻度线把木棍等分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

例17.设a与b为两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72，那么a 与b之和可以有多少种不同的值？

例18.已知a与b 的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公倍数是300，那么满足上述条件的自然数a,b,c共有多少组？（例如：a=12,b=13,c=300与a=300,b=12,c=300是不同的两个自然数组）

〖巩固练习〗

1.已知a=440,b=126,c=825,求（a,b,c)和[a,b,c]。

2.写出三个小于10的自然数，使它们三个数中有两个数的最大公约数为1，其余的最大公约数大于1。

3.甲数为24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数是4，乙数是多少？

4.现有4个自然数，它们的和是1111，如果要求这4个数的公约数尽可能地大，那么这4个数的最大公约数是多少？

5.设A,B两个数都只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知A有12个约数，B有10个约数，那么A、B两数的和等于多少？

6.已知两个自然数的差为3，它们的最大公约数与最小公倍数之积为180，求这两个自然数。

7.写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但其中任两数都不互补。

8.所有形如abcabc的六位数，它们的最大公约数是多少？

9.两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差是多少？

10.动物园的饲养员给三群猴子分花生，每群猴子的数量相等，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒;如只分给第二群，则每只猴子可得15粒，如只分给第三群，则每只猴子可得20粒，那么平均分给三群猴子，每只猴子可得多少粒花生？

11.两个整数A,B 的最大公约数是C ，最小公倍数是Ｄ，且Ｃ＋Ｄ＝１８７，已知Ｃ不等于１，也不等于Ａ或Ｂ，求Ａ＋Ｂ的值。

１２.三条圆形跑道，圆心都在旗杆的中心处，甲、乙、丙３人分别在里圏、中圏、外圈沿同样的方向跑步，开始时，３人都在旗杆的正东方向，里圏跑道长5

1千米，中圈跑道长41千米，外圈跑道长83千米，甲每小时跑2

7千米，乙每小时跑４千米，丙每小时跑５千米，问他们同时出发，几小时后３人第一次同时回到出发点？