弹簧振子实验报告

弹簧振子实验报告

一、引言

●实验目的

1.测定弹簧的刚度系数(stiffness coefficient).

2.研究弹簧振子的振动特性，验证周期公式.

3.学习处理实验数据.

●实验原理

一根上端固定的圆柱螺旋弹簧下端悬一重物后，就构成了弹簧振子.当振子处于静止状况时,重物所受的重力与弹簧作用于它的弹性恢复力相平衡,这是振子的静止位置就叫平衡位置.如用外力使振子离开平衡位置然后释放,则振子将以平衡位置为中心作上下振动.实验研究表明,如以振子的平衡位置为原点(x=0),则当振子沿铅垂方向离开平衡位置时,它受到的弹簧恢复力F在一定的限度内与振子的位移x成正比,即

F=−kx

(1)

式中的比例常数k称为刚度系数（stiffness coefficient），它是使弹簧产生单位形变所须的载荷.这就是胡克定律.式（1）中的负号表示弹性恢复力始终指向平衡位置.当位移x为负值，即振子向下平移时，力F向上.这里的力F表示弹性力与重力mg的综合作用结果.

根据牛顿第二定律，如振子的质量为m，在弹性力作用下振子的运动方程为：

m d2x

dt2

+kx=0(2)

令ω2=k

m ，上式可化为一个典型的二阶常系数微分方程d

2x

dt2

+ω02=0，其解

为

x=A sin（ω0t+ϕ）（3）

（3）式表明.弹簧振子在外力扰动后，将做振幅为A，角频率为ω0的简谐振动，式中的（ω0t+ϕ）称为相位，ϕ称为初相位.角频率为ω0的振子其振动周期为T0=2π

ω0

，可得

x=2π√m

k

（4）

(4)式表示振子的周期与其质量、弹簧刚度系数之间的关系，这是弹簧振子的最基本的特性.弹簧振子是振动系统中最简单的一种，它的运动特性（振幅，相位，频率，周期）是所有振动系统共有的基本特性，研究弹簧振子的振动是认识更复杂震动的基础.

弹簧的质量对振动周期也有影响.可以证明，对于质量为m0的圆柱形弹簧，

振子周期为

T=2π√m+m0

3⁄

k

（5）

式中m0

3⁄称为弹簧的等效质量，即弹簧相当于以

m0

3⁄的质量参加了振子的

振动.非圆柱弹簧（如锥形弹簧）的等效质量系数不等于1/3.

我们选用短而轻的弹簧并配备适当重量的砝码组成振子，是实验条件与理论比较相符.在此基础上测振子周期，考察振子质量和弹簧刚度系数对周期的影响，再将所得结果与理论公式比较，并探讨实验中存在的问题.

实验仪器装置

游标高度尺，电子天平，弹簧，砝码，秒表

二、实验步骤

1.测弹簧质量和刚度系数

先测出弹簧的质量和刚度系数，测量时要分清弹簧的标记色，避免测周期是把数据弄混.弹簧的刚度系数可用静力平衡法测定，即在悬挂好的弹簧下端逐次加挂砝码，设其质量为m1，m2，m3，m4，m5，然后取x i为自变量、y i=m i g为因变量作直线拟合，斜率b的绝对值即为弹簧的刚度系数.(也可对x

i，

m i拟合做出直线斜率，再乘以g=9.801m s−2).为测准x i，应选一能正确反映弹簧伸长的标志线或面，而且要保证高度尺能方便地校准.实验中砝码和弹簧质量要求读到0.01g.

2.对同一弹簧测不同振子质量m i时的周期T i，验证T2—m i之间的规律

选一弹簧，测量5或6个不同质量下的振动周期，每次固定读取连续100个（或50个）周期的时间间隔，同一质量下测3次，取其平均值来计算结果T i，实验前预先拟好数据表格.

（5）式改写为方程

m=k

4π2T2−m0

3

(6)

对测量数据作以T 2为自变量、m 为因变量的最小二乘法直线拟合.可由直线的斜率与截距求得刚度系数k 与弹簧的质量m 0.

3. 对几乎相同的振子质量测不同弹簧的周期，验证T i —k i 之间的规律.

砝码质量可选定大于0.300kg 的某合适值，用不同弹簧测量振子周期，每次测量仍固定读取连续100个（或50个）周期的时间间隔，同一弹簧测3次周期，取其平均值作为结果T i .

不同弹簧的振子总等效质量可能略有不同.下面的数据处理中计算总振子质量时，近似的统一加上弹簧平均质量的1/3，经过分析可以得知，这样不同弹簧的振子总等效质量与近似值的差别不大于0.15%，折合成的等效周期测量误差不大于0.08%，即使不对质量因素进行修正，其影响也不太大.方程（5）可以变换成

ln T i =ln (2π√m +

m 0̅̅̅̅3⁄)−12

lnk i (7) 可对测量数据作以lnk i 为自变量、lnT i 为因变量进行直线拟合.

三、 数据分析

1. 砝码质量与弹簧质量

其中质量测量的不确定度均为δm =0.0001g

表1 砝码的质量

表2 弹簧的质量

2.测量弹簧的k值

其中长度测量的不确定度均为δl=0.01mm.表中长度单位均为mm.读数指弹簧最下端在游标高度尺上的读数.

表3 悬挂不同砝码的各弹簧读数下面是以读数为自变量, m i g为因变量进行直线拟合所得的图像:

R² = 0.9991

图1无（较小）弹簧mg-x

R² = 0.981

图2 红色弹簧的mg-x

R² = 0.9173

图3 黄色弹簧的mg-x

R² = 0.9996

图4 橙色弹簧的mg-x

R² = 0.9983

图5 蓝色弹簧的mg-x