蒙特卡罗方法 (Monte Carlo simulation)教材
蒙特卡罗方法教材
p P A l sin
2019/4/15
0
l sin
0
1 d
2l dAd d
7
例1. 蒲丰投针问题
数学建模专题之 Monte Carlo方法
利用关系式：
2l p d
求出π值
2l 2l 1 2l N ( ) dp d p d n
其中Ｎ 为投计次数，n 为针与平行线相交 次数。这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。
分析：这是一个概率问题，可以通过理论计算得到相应的概 率和期望值.但这样只能给出作战行动的最终静态结果，而显 示不出作战行动的动态过程. 为了能显示我方20次射击的过程，现采用模拟的方式。
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11
问题分析
需要模拟出以下rlo方法
[1] 观察所对目标的指示正确与否
20
Matlab中的取整函数
fix(x) floor(x) ceil(x) round(x)
数学建模专题之 Monte Carlo方法
: 截尾取整，直接将小数部分舍去 : 不超过 x 的最大整数 : 不小于 x 的最小整数
: 四舍五入取整
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21
小实例一：投掷硬币
数学建模专题之 Monte Carlo方法
模拟结果
试验 序号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 投硬币 结 果 正 正 反 正 正 反 正 正 反 反 ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ３ ６ ∨ ∨ 指示 正确 ∨ ∨ ∨ １ ２ 指 示 不正确 掷骰子 结 果 ４ ４ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ０ １ ∨ ∨
数学建模专题之 Monte Carlo方法
John Von Neumann (1903-1957)
第19章 马尔科夫链蒙特卡洛法
马尔可夫链的性质
马尔可夫链的性质
• 遍历定理的直观解释：
• 满足相应条件的马尔可夫链，当时间趋于无穷时，马尔可夫链的 状态分布趋近于平稳分布，随机变量的函数的样本均值以概率1 收敛于该函数的数学期望。
• 样本均值可以认为是时间均值，而数学期望是空间均值。遍历定 理实际表述了遍历性的含义：当时间趋于无穷时，时间均值等于 空间均值。
例
• 使用蒙特卡罗积分法，如图所示，在(0,1)区间按照均匀分布抽
取10个随机样本
。计算样本的函数均值
• 也就是积分的近似
• 随机样本数越大，计算就越精确
例
• 用蒙特卡罗积分法求
•令
• p(x) 是标准正态分布的密度函数
• 使用蒙特卡罗积分法，按照标准正态分布在区间
抽样
, 取其平均值，就得到要求的积分值。当样本
例
• 假设每个单词只依赖于其前面出现的单词，也就是说单词序列具有马 尔可夫性， 那么可以定义一阶马尔可夫链，即语言模型，如下计算语 句的概率
• 这里第三个等式基于马尔可夫链假设。这个马尔可夫链中，状态空间 为词表，一个位置上单词的产生只依赖于前一个位置的单词，而不依 赖于更前面的单词。
• 以上是一阶 马尔可夫链，一般可以扩展到 n 阶马尔可夫链。
• 假设天气的变化具有马尔可夫性，即明天的天气只依赖于今天的 天气，而与昨天及以前的天气无关。
例
• 转移矩阵为
• 如果第一天是晴天的话，其天气概率分布（初始状态分布）如 下：
例
• 根据这个马尔可夫链模型，可以计算第二天、第三天及之后的天 气概率分布（状态 分布）
平稳分布
• 直观上，如果马尔可夫链的平稳分布存在，那么以该平稳分布作为初始分布，面 向未来进行随机状态转移，之后任何一个时刻的状态分布都是该平稳分布
MonteCarlo模拟教程
rand('seed',0.1);
rand(1) ％每次运ra行nd程('s序tat产e',s生um的(1值00*是clo相ck同)*r的and);
1901 3408
3.1415929
蒙特卡罗投点法是蒲丰投针实验的推广：
在一个边长为a的正方形内随机投点，
该点落在此正方形的内切圆中的概率 y
(a/2,a/2)
应为该内切圆与正方形的面积比值，
即 πa/22 : a2 π/4
n=10000; a=2; m=0; for i=1:n
ox
x=rand(1)*a; y=rand(1)*a;
举例
例1 在我方某前沿防守地域，敌人以一个炮排（含两门火炮） 为单位对我方进行干扰和破坏．为躲避我方打击，敌方对其阵地 进行了伪装并经常变换射击地点．
经过长期观察发现，我方指挥所对敌方目标的指示有50％是准 确的，而我方火力单位，在指示正确时，有1/3的射击效果能毁 伤敌人一门火炮，有1/6的射击效果能全部毁伤敌人火炮．
Monte Carlo 模拟
内容提纲
➢1.引言 ➢2.Monte Carlo模拟基本思想 ➢3.随机数生成函数 ➢4.应用实例举例 ➢5.排队论模拟 ➢6.Monte Carlo模拟求解规划问题
Monte Carlo方法：
引言(Introduction)
蒙特卡罗方法，又称随机模拟方法，属于计算数学的一个分支，它是在上世纪四 十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。亦称统计模拟方法， statistical simulation method 利用随机数进行数值模拟的方法
Monte Carlo(蒙特卡洛方法)
P(n 1) U P(n)
则令 X取值
xn.
例1:
离散型随机变量X有如下分布律: X 0 1 2 P(x) 0.3 0.3 0.4 设 U1 ,U 2 ,,U 是 (0,1)上均匀分布的随机数,令 N
0, 0 U i 0.3 xi 1, 0.3 U i 0.6 2, 0.6 U i
ˆ f n ( A) 。 在 n 次中出现的频率。假如我们取 fn ( A) 作为 p P( A) 的估计，即 p
ˆ 然后取 2l a.s. ˆ fn ( A) 作为 的估计。根据大数定律，当 n 时， p p. af n ( A) 2l P 。这样可以用随机试验的方法求得 的估计。历史上 af成器的周期 长度是 10，而后两个生成器的周期长度只有 它的一半。我们自然希望生成器的周期越长 越好，这样我们得到的分布就更接近于真实 的均匀分布。
在给定 m 的情况下，生成器的周期与 a 和 初值 x0 (种子)选择有关。
线性同余生成器(混合同余法) (Linear Congruential Generator )
证明： 由 F 1 (U ) 的定义和均匀分布的分布函数可得： P ( X x) P ( F 1 (U ) x) P (U F ( x )) F ( x )
由定理 1 ，要产生来自 F ( x) 的随机数，只要先 产生来自U (0,1) 随机数 u ，然后计算 F 1 (u ) 即 可。具体步骤如下：
一般形式： xi 1 (axi c) mod m ui 1 xi 1 / m
1. c是非负整数.通过适当选取参数c可以改善 随机数的统计性质(独立性,均匀性).
2. 线性同余器可以达到的最长周期为 m 1 ，我们 可以通过适当的选择 m 和 a ，使无论选取怎样的 初值 x0 都可以达到最大周期(一般选取 m 为质数)
《蒙特卡罗方法》ppt课件
I
1 dx 0 1 x2
解：选择分布函数
(x) 1(42x)
3
y(x)
xHale Waihona Puke (x')dx'
4x
x2
0
3
x(y) 2 43y
1.3.3 Metropolis 算法
对积分区间的重要抽样要求我们获得x(y)，而这只对极少数的分 布 (x)可以解析地做到。
Metropolis 算法： 一种很普遍的产生具有任不测形的给定概率分布随机变量的方法。
r (Rt) 来决议是“接受〞还是“回绝〞这 (一R实n ) 验步．假设r大于l，那么接受这一步
(取Rn+1=Rt)；而假设r小于1，那么以概率r 接受这步．这时我们把r和一个 在[0，1]区间上均匀分布的随机数比较，假设 <r就接受这一步．假设这 一实验步不被接受，就舍弃它．而取Rn+1=Rn；这样产生出Rn+1之后，可 以从Rn+1出发迈出一个实验步按照同样的过程产生Rn+2，‘恣意’点R0都 可以用作随机行走的起点．
narea of yellowpart
N area of the square 4
4n N
圆周率的值
π = 3. 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 41 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 .....
蒙特卡洛仿真法
蒙特卡洛仿真法
蒙特卡洛仿真法（Monte Carlo Simulation）是一种基于随机抽样的数值计算方法，用于模拟和估计复杂系统或过程的行为和特性。
它通过生成大量随机数，并利用这些随机数对系统进行多次模拟，从而获得系统的统计特征或输出结果。
蒙特卡洛仿真法的基本思想是基于概率分布的采样。
首先，需要确定系统中各个变量或参数的概率分布函数。
然后，通过随机生成符合这些概率分布的样本值，来代表系统在不同情况下的可能状态。
接下来，对每个生成的样本进行计算或模拟，得到相应的输出结果。
通过重复这个过程多次（通常是数千或数万次），可以获得大量的样本结果。
根据这些样本结果，可以计算出系统的统计指标，如均值、标准差、概率分布等，从而对系统的行为进行估计和预测。
蒙特卡洛仿真法的优点包括：
1. 能够处理复杂的系统和不确定性问题；
2. 可以提供系统的统计特征和概率分布信息；
3. 适用于难以通过解析方法求解的问题。
蒙特卡洛仿真法在许多领域都有广泛的应用，如金融工程、风险管理、物理科学、工程设计等。
它可以帮助决策者在不确定性环境下进行风险评估、优化设计和决策制定。
需要注意的是，蒙特卡洛仿真法的准确性和可靠性取决于所选择的概率分布函数、抽样次数以及对结果的统计分析方法。
在实际应用中，需要合理选择和验证这些参数和方法，以确保模拟结果的有效性和可靠性。
monto carlo仿真方法
monto carlo仿真方法蒙特卡洛仿真方法简介蒙特卡洛仿真方法是一种基于随机数生成的统计模拟方法，用于解决复杂问题和评估不确定性。
它通过大量的随机抽样和模拟运算来近似计算数学问题的解决方案。
原理蒙特卡洛仿真方法基于概率统计理论和计算机模拟技术。
其主要思想是通过对模型中的随机变量进行抽样和模拟，计算大量的样本数据，从而得到目标问题的近似解。
步骤1.建立模型：首先需要将目标问题抽象成一个数学模型，明确问题的目标、约束和变量。
2.设定随机变量：为模型中的不确定变量设定随机分布，并生成大量的随机数。
3.进行抽样：根据设定的随机分布，抽取一定数量的随机数，并代入模型进行计算。
4.模拟运算：根据模型的计算规则，对每个随机数进行运算，得到相应的结果。
5.统计与分析：对得到的结果进行统计分析，得出问题的近似解、概率分布、置信区间等。
6.反馈与优化：根据分析结果，对模型进行优化和调整，进一步提高计算的准确性和效率。
应用领域蒙特卡洛仿真方法在各个领域都有广泛应用，包括但不限于： - 金融领域：用于风险评估、衍生品估值、投资组合优化等。
- 工程领域：用于可靠性分析、结构优化、系统建模等。
- 生物医学领域：用于药物研发、流行病传播模拟、生物统计等。
- 物理学领域：用于高能物理实验模拟、粒子轨迹模拟等。
优点与限制蒙特卡洛仿真方法具有如下优点： - 适用范围广，可以解决各种类型的问题； - 能够处理复杂和高维的问题； - 可以提供概率分布和置信区间等统计信息。
然而，蒙特卡洛仿真方法也有一些限制： - 需要大量的计算资源和时间； - 对模型中的不确定性敏感，需要合理设定概率分布； - 结果的准确性受到样本数量的限制。
总结蒙特卡洛仿真方法是一种基于随机数生成的统计模拟方法，可以解决复杂问题和评估不确定性。
它通过随机抽样和模拟运算来近似计算问题的解决方案。
该方法在多个领域都有广泛应用，同时也具有一定的优点和限制。
通过合理的模型建立和参数设定，蒙特卡洛仿真方法可以成为解决实际问题的有力工具。
蒙特卡洛模拟方法在风险管理中的应用教程
蒙特卡洛模拟方法在风险管理中的应用教程蒙特卡洛模拟方法(Monte Carlo Simulation)是一种基于概率分析的统计技术，广泛应用于风险管理领域。
通过模拟随机变量的分布特征，可以帮助风险管理人员定量评估风险，制定合理的决策方案。
本文将详细介绍蒙特卡洛模拟方法在风险管理中的应用步骤和注意事项。
1. 确定风险管理的问题和目标:在应用蒙特卡洛模拟方法前，首先需要明确风险管理的问题和目标。
例如，我们希望评估某个投资组合在未来一年内的收益率风险，以便确定合理的投资策略。
2. 建立模型和假设:根据问题和目标，建立相应的模型并确定相关的假设。
例如，我们可以使用股票收益率的历史数据来构建收益率模型，并假设收益率服从正态分布。
3. 收集数据:获取必要的数据以支持模型的构建和分析。
数据可以来自历史统计数据、市场调研数据、专家判断等渠道。
确保数据的准确性和代表性是保证模拟结果可信度的关键。
4. 设定变量和参数:根据模型的需求，确定需要模拟的变量和参数。
例如，在投资组合风险评估中，我们可以将各个投资标的的收益率作为变量，并设定相应的投资比例作为参数。
5. 设定随机数生成方法:蒙特卡洛模拟方法依赖于随机数的生成。
根据模型的需要，选择合适的随机数生成方法。
常用的方法包括伪随机数生成器和随机数表格，确保生成的随机数满足模型所假设的分布特征。
6. 运行蒙特卡洛模拟:根据设定的变量、参数和随机数生成方法，运行蒙特卡洛模拟。
一般情况下，需要运行多次模拟以获取稳定的结果。
7. 分析和解读结果:根据模拟结果，进行相应的分析和解释。
可以通过绘制直方图、散点图、累积分布函数等图表，来帮助理解结果的分布情况和风险程度。
8. 风险度量和决策制定:根据模拟结果，进行风险度量和决策制定。
可以使用各种风险度量指标如价值-at-风险(Value-at-Risk)、杠杆率(Leverage)等，来评估风险的大小和分布情况。
根据这些度量结果，可以制定相应的风险管理策略和决策方案。
蒙特卡罗模拟PPT课件
问题：试验次数 n 多大时，对给定的置信度 1－α（0<α<1），估计精度达到ε.
即问：取多大的n 使
P pˆ
p
P
kn n
p
1
成立？
答案：
n
p(1 2
p) z2
其中, zα是正态分布的临界值.
证明
频率法是事件A出现的频率作为概率p的估计
pˆ kn n
n次独立试验中A出现的次数kn～B(n, p).由中 心极限定理知
相当于第i 个随机点落 在1/4圆内.
若有k 个点落在l／4圆内
随机事件“点落入1/4圆内”的 频率为 k/n 根据概率论中的大数定律, 事件发生的频率
依概率收敛于事件发生的概率p，即有
lim
n
P{
k n
p
}
1
得圆周率π的估计值为
ˆ 4k n
且当试验次数足够大时, 其精度也随之提高.
分析：实际上概率值为
01
1 x2dx 4
恰为1/4圆 的面积
频率法： 利用随机变量落进指定区域内的频 率来计算定积分.
平均值法： 利用随机变量的平均值(数学期望) 来计算定积分.
I ab f ( x)dx
平均值法的算法如下：
(1)产生RND 随机数：r1，r2，…，rn；
（2）令 ui=a＋(b－a)ri，i=1，2，…，n；
要增大100倍.
P197表8.2中列出了置信度为0.95 时, 在不同
Monte Carlo(蒙特卡洛方法)解析
于是有： l p P( X sin ) 2 0
l sin 2
0
2 2l dxd a a
2l ap
若我们独立重复地作 n 次投针试验，记 n ( A) 为 A 发生的次数。 fn ( A) 为 A
U(0,1)随机数的生成
乘同余法：
xi 1 axi
mod m
ui 1 xi 1 / m 其中 xi , a, m 均为整数, x0 可以任意选取。
x0称为种子,a 是乘因子,m是模数
一个简单的例子
当 x0 1 时,得到序列: 1,6,3,7,9,10,5,8,4,2,1,6,3......
1 确定行为的模拟
例：曲线下的面积
本节以曲线下的面 积为例说明蒙特卡罗 模拟在确定行为建模 中的应用．
下面的算法给出了用蒙特卡罗方法求曲线下面积 的计算机模拟的计算格式．
在给定区间上曲线y=cosx下面积的真值是2．注意到即使对 于产生的相当多的点数，误差也是可观的．对单变量函数，一般 说来，蒙特卡罗方法无法与在数值分析中学到的积分方法相比， 没有误差界以及难以求出函数的上界M也是它的缺点．然而，蒙 特卡罗方法可以推广到多变量函数，在那里它变得更加实用．
ˆ f n ( A) 。 在 n 次中出现的频率。假如我们取 fn ( A) 作为 p P( A) 的估计，即 p
ˆ 然后取 2l a.s. ˆ fn ( A) 作为 的估计。根据大数定律，当 n 时， p p. af n ( A) 2l P 。这样可以用随机试验的方法求得 的估计。历史上 af n ( A)
第八章 蒙特卡洛方法
常用的几组和X如下 X
0.5 0.05 0.01
0.6745 1.96 3
特别称＝0.5时的误 差0.6745／N1/2为概 然误差。再如，取置 信水平为95％，则X ＝1.96，此时表明误 差不等式：以95％的 可能性具有精确度为 E＝1.960／N1/2 。
所以，MC方法对于误差的 估计具有概率性质。即对于 这个方法不能断言误差不超 过某值，而只能指出误差以 某种(如接近1)的概率不超过 某值。还可看出，当给定置 信度后，误差E由和N1/2 决定。要减小E，或者是增 大N，或者是减小方差2。 在固定下，要提高精度一 位数字，就要增加100倍工 作量，因此，单纯增大N， 不是一个有效的办法。
效率
一般来说，降低方差的技巧，往往会使观察一个子 样的时间增加。在固定时间内，使观察的样本数减少。 所以，一种方法的优劣，需要由方差和观察一个子样 的费用（使用计算机的时间）两者来衡量。 这就是蒙特卡罗方法中效率的概念。它定义为方差 的平方与 c 的乘积，其中 c 是观察一个子样的平均费用。 显然乘积越小，方法越有效。
蒙特卡罗是欧洲摩纳哥国的一个重要城市，以赌博著称。
蒙特卡罗方法是以概率论与数理统计学为基础的，是通过 统计试验达到计算某个量的目的。
而赌博时，概率论是一种有力的手段。所以，以蒙特卡罗 作为方法的名字，原因大概于此。
蒙特卡罗方法不仅可作为理论和实验的补充，同时可可以 给出关于体系的实验可观测物理量和通过现有实验所无法观 测的物理量的值。如光子和中子的联合输运问题的模拟实验 研究和可任意改变系统中的相互作用势；即便是对实验中难 以达到的某种极限条件，它也能很容易的实现！
2.2.3 伪随机数及其产生的方法
计算机不会掷骰子，它是利用数论的方法来产生随机数的。 由于这种办法属于半经验性质，因此只能近似地具备随机 数的性质，所以称为伪随机数。最初冯· 诺伊曼(Von Neumann)建议的“平方取中法”如下；首先取一个2S的 数，去它中间的S位数字作为第一个随机伪随机数；然后 其自乘构成一个新2S位数，再取中间的S位数作为第二个 伪随机数· · · · · ·
蒙特卡罗法(Monte Carlo method)
实验十二计算机仿真实验实验目的：1. 掌握全概率公式与贝叶斯公式；2. 了解计算机仿真方法；3. 了解蒙特卡罗法(Monte Carlo method), 具有初级编程能力.实验原理：全概率公式: 设A 1, A 2, …, A n 为两两互斥事件，B 是A 1 + A 2 + … + A n 的子事件，则P(B )=P(A 1)P(B |A 1) + P(A 2)P(B |A 2) + … + P(A n )P(B |A n ).贝叶斯公式: P(A k |B )= P(A k )P(B | A k )/P(B ).计算机仿真: 就是在计算机上模拟各种实际系统的运行过程. 计算机仿真通常用来产生规定分布的随机变量.对于任意随机变量ξ ，其分布函数为F (x )，设 η = F (ξ )的分布函数为G (y )，则G (y ) = P{η ≤y }= P{F (ξ ) ≤y }= P{ξ ≤F -1( y )}= y ，这说明η 服从[0，1]的均匀分布.一般的编程语言都提供了均匀分布随机数发生器.应用随机数模拟试验的方法通常称为蒙特卡罗法(Monte Carlo method). 蒙特卡罗法不仅适用于处理随机性问题, 如存贮、排队、质量检验、市场营销、社会救急、生态竞争和传染病等问题；也可处理定性问题, 如计算多重积分、解积分方程及微分方程、解整数规划(特别是非线性整数规划)等.应用蒙特卡罗法解规划问题的基本思想是：先估计各个变量的大致取值范围，每次试验从中随机取出一个样本点，然后判断它是否为可行点. 若是则将其目标函数值与上一次的目标函数值相比较，记录下较优目标函数值与其样本点；否则重新抽样。
直到试验次数达到指定值或可行点数达到指定值为止.实验内容：1. 设有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球.由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球.若从乙袋中取出的球是白球，那么从甲袋中取出放入乙袋的球是白球还是黑球? 用计算机模拟上述过程1000次，问理论判断是正确的有多少次?2. 用计算机模拟随机变量ξ ～ϕ (x ) =⎩⎨⎧≤>-0,0,0,e 55x x 的取值200次. 3. 用计算机模拟随机变量ξ ～N (120,102 )的取值800次，并画出统计直方图.4. 应用蒙特卡罗法解非线性规划问题:max z = - 2x 2 - y 2 + xy + 8x + 3ys.t. 3 x + y = 10x ≥0, y ≥0.C 语言简介(仅介绍本实验所用到的)1.标识符标识符是由程序员定义的单词，如函数名、变量名等. 标识符是由大小写字母、数字和下划线组成的，并以字母和下划线开始.2.关键字void (无值型) char (字符型) int (整数型) long (长整数型) float (浮点型) double (双精度浮点型)if (如果) else (或者)for (循环) while (循环) break (满足一定的条件终止循环)return (返回函数值)3.函数形式类型函数名(参数){}4.库函数简介double sin(double x) double cos(double x) double exp(double x) double log(double x) double sqrt(double x) double pow(double x, double y)double fabs(double x) int abs(int x)int printf(const char *format, ...); 屏幕格式化输出函数FILE *fopen(const char *filename, const char *mode); 文件打开int fprintf(FILE *fp, const char *format, ...); 文件格式化输出函数int fgetc(FILE *fp); 从文件中读出一字符int fclose(FILE *fp); 文件关闭void far setcolor(int color); 设置输出颜色void far line(int x1, int y1, int x2, int y2); 画直线void far rectangle(int left, int top, int right, int bottom); 画矩形unsigned far getpixel(int x, int y); 读出点(x, y)的颜色void far putpixel(int x, int y, int pixelcolor); 画点int random(int Num), 均匀产生0到Num-1中的一个随机数5.示例计算9！#include<stdio.h>void main(void){int i;long n;n=1;for(i=1;i<=9;i++)n*=i;printf("\n9!=%ld\n",n);getch();}6. Turbo C(2.0) 编辑命令F3 录入文件F9 编译Ctrl+F9 运行Ctrl+KB 定义块首Ctrl+KK 定义块尾Ctrl+KC 块粘贴Ctrl+KV 块移动Ctrl+Y 删除当前行7.部分源程序程序LAB1_1.C 求出方程sin x- x = 1在( -2，2)内的近似根#include<stdio.h>#include<math.h>float f(float x){ return sin(x)-x-1; }void main(void){float r=0.618,x0=-2,x1=2,x;int n=0;while(1){n++;x=(1-r)*x0+r*x1;if(f(x)*f(x0)<0.0)x1=x;else if(f(x)*f(x1)<0.0)x0=x;else break;if(fabs(x1-x0)<0.001)break;}printf("n=%d, x=%f\n",n,x);getch();}程序LAB2_3.C 给出正态分布函数表#include<stdio.h>#include<math.h>float f(float x){ return exp(-x*x/2); }void main(void){float x,x0,x1=0.0,F=0,h=0.0001;long n=0;FILE *fp;int i=0,p;fp=fopen("x.c","w");for(x1=0.0;x1<0.04;x1+=0.001){n=0; F=0; x0=-10;for(x=x0+h;x<x1;x+=h){if(n%2)F+=2*f(x);else F+=4*f(x);n++;}F+=f(x0)+f(x1);F/=3; F*=h; F*=0.39894;printf("x=%5.3f, F=%6.4f\n",x1,F);i++;p=F*10000;fprintf(fp,"%d,",p);if(i==10){i=0;fprintf(fp,"\n ");}if(p==9999)break;}fclose(fp);getch();}程序LAB3_2_1.C 解下列微分方程y - y tan x = sec x ，y (0) = 0, 并画出其图形: #include <stdio.h>#include <math.h>#include <graphics.h>float f(float x,float y){ return y*sin(x)/cos(x)+1/cos(x); }void main(void){int i=DETECT,j;float x=0.0,y=0.0,h=0.005;char *str="0.00";initgraph(&i,&j," ");setviewport(0,0,639,479,1);cleardevice();setbkcolor(BLUE);setcolor(WHITE);line(20,200,620,200);for(i=0;i<10;i++){line(20+i*60,195,20+i*60,200);str[0]=48+3*i/10;str[2]=48+3*i%10;outtextxy(20+i*60,205,str);}for(i=0;i<600;i++){y=y+f(x,y)*h;x+=h;putpixel(i+20,200-y*10,GREEN);}getch();closegraph();}程序LAB3_2_2.C 解下列微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=.01.0d d ,25.02d d xy y t y xy x t x x (0) = 100, y (0) = 8, 并画出其图形:#include <stdio.h>#include <math.h>#include <graphics.h>float f1(float x,float y){ return 2*x-0.25*x*y; }float f2(float x,float y){ return -y+0.01*x*y; }void main(void){int i=DETECT,j;float x=99.0,y=7.9,h=0.015;initgraph(&i,&j," ");setviewport(0,0,639,479,1);cleardevice();for(i=0;i<600;i++){x=x+f1(x,y)*h;y=y+f2(x,y)*h;putpixel(i+20,(102.5-x)*60,GREEN);putpixel(i+20,(8.6-y)*600,WHITE);}getch();closegraph();}程序LAB4.C 将矩阵化为行阶梯型,化为行最简型#include<stdio.h>#include<math.h>#define MAXR 20#define MAXC 40/*解线性方程组,以下是其增广矩阵*/float M_B[MAXR][MAXC]={{1,-2,2,1,-3},{2,1,1,-2,-1},{3,4,0,-5,1}}; void f1(int m,int n){int i,j,r=0,c=0;float x0;printf("\n以下将矩阵化为行阶梯型\n");for(i=0;i<m;i++){for(j=0;j<n;j++)printf("%8.2f",M_B[i][j]);printf("\n");}printf("按任一健继续...\n");getch();while(c<n){for(i=r;i<m;i++)if(fabs(M_B[i][c])>=0.0001)break;if(i<m){if(i!=r)for(j=0;j<n;j++){x0=M_B[i][j];M_B[i][j]=M_B[r][j];M_B[r][j]=x0;}x0=M_B[r][c];for(j=0;j<n;j++)M_B[r][j]/=x0;for(i=r+1;i<m;i++){x0=M_B[i][c];for(j=0;j<n;j++)M_B[i][j]-=x0*M_B[r][j];}r++;for(i=0;i<m;i++){for(j=0;j<n;j++)printf("%8.2f",M_B[i][j]);printf("\n");}printf("按任一健继续...\n");getch();}c++;if(r==m)break;}printf("\n以下将行阶梯型化为行最简型\n");while(r){r--;for(j=0;j<n-1;j++)if(fabs(M_B[r][j])>=0.0001)break; c=j;for(i=0;i<r;i++){x0=M_B[i][c];for(j=0;j<n;j++)M_B[i][j]-=x0*M_B[r][j];}for(i=0;i<m;i++){for(j=0;j<n;j++)printf("%8.2f",M_B[i][j]);printf("\n");}printf("按任一健继续...\n");getch();}printf("完毕,按任一健退出...\n");getch();}void f2(int n){int i,j;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){if(i!=j)M_B[i][n+j]=0;else M_B[i][n+j]=1;}f1(n,2*n);}void main(void){ f1(3,5); }程序LAB6_3.C 模拟产生服从N(120,400)分布的随机变量800次,并画出统计直方图#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#include <graphics.h>int Np[4000]={/*下列数据为标准正态分布函数值×10000, 由程序LAB2_3.C 产生*/ 5000,5003,5007,5011,5015,5019,5023,5027,5031,5035,…};int f(int p){int i;for(i=0;i<4000;i++)if(Np[i]>=p)break;return i;}void main(void){int i,j,x;float F,X[800];randomize();printf("\n\n");for(i=0;i<800;i++){x=random(10000);if(x<5000)F=-f(10000-x);else F=f(x);F*=0.001;X[i]=120+20*F;printf("%8.2f",X[i]);}getch();i=DETECT;initgraph(&i,&j," ");setviewport(0,0,639,479,1);cleardevice();setbkcolor(BLUE);setcolor(WHITE);line(20,400,620,400);j=20;for(F=90;F<150;F+=3){x=0;for(i=0;i<800;i++)if(X[i]>=F&&X[i]<F+5)x+=4;rectangle(j,400-x,j+30,400);j+=30;}getch();closegraph();}程序2000A01.C 统计文件2000A1.txt中A TCG的个数#include<stdio.h>void main(void){int n=-1,ATCG[40][4]={0,0};char c;FILE *fp;fp=fopen("2000A1.txt","r");while((c=fgetc(fp))!=EOF){if(c=='.')n;else if(c=='a')ATCG[n][0];else if(c=='t')ATCG[n][1];else if(c=='c')ATCG[n][2];else if(c=='g')ATCG[n][3];}fclose(fp);for(n=0;n<40;n)printf("{%d,%d,%d,%d},\n",ATCG[n][0], ATCG[n][1],ATCG[n][2],ATCG[n][3]);getch();}。
Isight官方培训教程-蒙特卡罗模拟MonteCarlo
• 估计可靠性/稳健性方法使用的必要性
• 在可靠性分析，稳健性设计中使用 • 容差设计问题中使用
Introduction to Isight
L5.4
MCS的核心组件
• 概率分布函数 Probability Distribution Functions (pdfs) • 随机数种子生成器 Random Number Generator
产生均匀的随机数
将随机数转换为随机变量数值
针对目前的数值进行仿真
• Exponential
• 收敛判断Convergence:
i=i+1
no
no
是否收敛?
i = N?
• 每25步检查一步Std. Deviation 和 Mean checked
yes
s
后处理 对响应进行统计学分析
Introduction to Isight
L5.6
MCS: Basic Approach
• 采样技术: • Simple Random Sampling
确定随机变量 指定分布 设置最大仿真次数N Set i =1
• Descriptive Sampling
• 分布 Distributions: • Normal • Lognormal • Weibull • Gumbel • Uniform
Introduction to Isight
•
• •
L5.8
MCS采样技术
• 经常需要大量的采样点 • 使用减少变异的技术可以减少采样点
• 既然采样点是完全独立的，分布和并行计算是完全可行的
Introduction to Isight
L5.9
采样技术: Monte Carlo Simulation
第六讲 蒙特卡洛方法
伪随机数
• 实际应用的随机数通常都是通过某些数学公式计 算而产生的伪随机数。
n k T ( n , n 1 , , n k 1 ), n 1,2,
• 这样的伪随机数从数学意义上讲已经一点不是随 机的了。 • 只要伪随机数能够通过随机数的一系列的统计检 验（证明其均匀性和独立性），我们就可以把它 当作真随机数而放心地使用。这样我们就可以很 经济地、重复地产生出随机数。
• 产生均匀伪随机数的方法有平均取中法、乘同余 法。
平均取中法
• 该方法首先给出一个2r位的数，取它的中间 的 r 位数码作为第一个伪随机数；然后将第 一个伪随机数平方构成一个新的2r 位数， 再取中间的r 位数作为第二个伪随机数…。 如此循环便得到一个伪随机数序列。类似 上述方法，利用十进制公式表示2r 位数的 递推公式。
和 同样服从[0,1]的均匀分布，
x 1
MC方法概述
• 为了得到具有一定精确度的近似解，所需随机试 验的次数是很多的，通过人工方法作大量的试验 相当困难，甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方 法的基本思想虽然早已被人们提出，却很少被使 用。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的出 现，使得人们可以通过电子计算机来模拟随机试 验过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成， 使得蒙特卡罗方法得以广泛地应用，在现代化的 科学技术中发挥应有的作用。
• 如已知某变量x满足正态分布（高斯分布）， 要求抽样变量序列x1,x2,x3,…xN,使之满足给 定的分布。
直接抽样法
• 当随机变量的分布函数已知或可以通过分 布密度函数积分得到，且比较简单。这时 可采用直接随机抽样法 • 如试按以下分布密度函数，对随机变量进 行抽样。
e x x 0 0 f ( x) else 0
蒙特卡罗(Monte Carlo算法)算法
随机数的取得
• 如果你对随机数有更高的要求，需要自己 编辑“随机数生成器”
• 最简单、最基本、最重要的一个概率分布 是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）
• 例如在Matlab中，命令“rand()”将产生 一个(0,1)中均匀分布的随机数
• 你可以根据需要给随机数一个“种子”， 以求不同的数
Matlab 的随机数函数
• 大大改善了结果！
随机数的产生
• 随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 • 随机数的产生就是抽样问题。可以用物理方法
产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不 便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样 产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以 称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过 多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随 机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真 正的随机数来使用。
用Monte Carlo 计算定积分
• 考虑积分 • 假定随机变量具有密度函数 •则
用Monte Carlo 计算定积分-
• 抽取密度为e^{-x}的随机数X_1,…X_n • 构造统计数
•则
用Monte Carlo 计算定积分--
•且
•即
用Monte Carlo 计算定积分---
• 例如 α=1.9
Monte Carlo Simulation 简介
概述
• 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算 机随机模拟方法或随机抽样方法或统计 试验方法 ，属于计算数学的一个分支。 是一种基于“随机数”的rlo方法的基本思想很 以前就 被人们所发现和利用。 在17世纪，人 们就知道用事件发生的“频率”来决定 事件的“概率”。19世纪人们用投针试
• 它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所 描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题 的近似解。。
《蒙特卡罗模拟方法》PPT课件
XnF i(tn )nft, n1,2, ,N
▪
其中，ξ1，ξ2，…，ξN为随机数序列。为方便起见，
将上式简化为：
XF
inf t F(t)
▪
若不加特殊说明，今后将总用这种类似的简化形式
表示，ξ总表示随机数。
精选ppt
28
离散型分布的直接抽样方法
▪ 对于任意离散型分布：
F(x) Pi xi x
▪
5
s(x,)10,,
当xlsin
其他
sN
1 N
N i1
s(xi ,i )
Ps(x,) f1(x) f2()dxd d lsin dx 2l
0 0 a a
2l 2l
aP asN
精选ppt
6
▪ 一些人进行了实验，其结果列于下表 ：
实验者
年份 投计次数 π的实验值
沃尔弗(Wolf) 1850 5000
▪ 为了便于在计算机上使用，通常取 ：
Ｍ=2s
▪ 其中s为计算机中二进制数的最大可能有效位数
▪
x1= 奇数
▪
a = 52k+1
▪
其中k为使52k+1在计算机上所能容纳的最
大整数，即a为计算机上所能容纳的5的最大奇次
幂。一般地，s=32时，a=513；s=48，a=515等。
伪随机数序列的最大容量λ(M)=2s-2 。
29
例1. 二项分布的抽样
▪
二项分布为离散型分布，其概率函数
为：
P (x n ) P n C N n P n ( 1 P )N n
▪
其中，P为概率。对该分布的直接抽
样方法如下：
n－ 1
n
XFn, 当 Pi Pi
（完整版）蒙特卡洛算法详讲
（完整版）蒙特卡洛算法详讲Monte Carlo 法§8.1 概述Monte Carlo 法不同于前⾯⼏章所介绍的确定性数值⽅法，它是⽤来解决数学和物理问题的⾮确定性的（概率统计的或随机的）数值⽅法。
Monte Carlo ⽅法（MCM ），也称为统计试验⽅法，是理论物理学两⼤主要学科的合并：即随机过程的概率统计理论（⽤于处理布朗运动或随机游动实验）和位势理论，主要是研究均匀介质的稳定状态[1]。
它是⽤⼀系列随机数来近似解决问题的⼀种⽅法，是通过寻找⼀个概率统计的相似体并⽤实验取样过程来获得该相似体的近似解的处理数学问题的⼀种⼿段。
运⽤该近似⽅法所获得的问题的解in spirit 更接近于物理实验结果，⽽不是经典数值计算结果。
普遍认为我们当前所应⽤的MC 技术，其发展约可追溯⾄1944年，尽管在早些时候仍有许多未解决的实例。
MCM 的发展归功于核武器早期⼯作期间Los Alamos （美国国家实验室中⼦散射研究中⼼）的⼀批科学家。
Los Alamos ⼩组的基础⼯作刺激了⼀次巨⼤的学科⽂化的迸发，并⿎励了MCM 在各种问题中的应⽤[2]-[4]。
“Monte Carlo ”的名称取⾃于Monaco （摩纳哥）内以赌博娱乐⽽闻名的⼀座城市。
Monte Carlo ⽅法的应⽤有两种途径：仿真和取样。
仿真是指提供实际随机现象的数学上的模仿的⽅法。
⼀个典型的例⼦就是对中⼦进⼊反应堆屏障的运动进⾏仿真，⽤随机游动来模仿中⼦的锯齿形路径。
取样是指通过研究少量的随机的⼦集来演绎⼤量元素的特性的⽅法。
例如，)(x f 在b x a <<上的平均值可以通过间歇性随机选取的有限个数的点的平均值来进⾏估计。
这就是数值积分的Monte Carlo ⽅法。
MCM 已被成功地⽤于求解微分⽅程和积分⽅程，求解本征值，矩阵转置，以及尤其⽤于计算多重积分。
任何本质上属随机组员的过程或系统的仿真都需要⼀种产⽣或获得随机数的⽅法。
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Monte Carlo模拟
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2.Monte Carlo方法简史
Stanislaw Ulam (1909-1984)
S. Ulam is credited as the inventor of Monte Carlo method in 1940s, which solves mathematical problems using statistical sampling.
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Monte Carlo模拟
第一章 引言 （Introduction)
1. 2. 3. 4. Monte Monte Monte Monte Carlo方法 Carlo方法简史 Carlo模拟的应用 Carlo算法的主要组成部分
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Monte Carlo模拟
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1.Monte Carlo方法
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Monte Carlo模拟
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2.Monte Carlo方法简史 Buffon投针实验
1768年，法国数学家Comte de Buffon利用投针实验估 计的值
L
d
p
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d
2L
Monte Carlo模拟
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2.Monte Carlo方法简史
Problem of Buffon’s needle: If a needle of length l is dropped at random on the middle of a horizontal surface ruled with parallel lines a distance d > l apart, what is the probability that the needle will cross one of the lines?
p
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0
l sin
0
1 d
2l dAd d
Monte Carlo模拟 8
2.Monte Carlo方法简史 Enrico Fermi
• 1930年,利用Monte Carlo方法研究中子的扩散 • 并设计了一个Monte Carlo机械装置，Fermiac,用于计算核 反应堆的临界状态
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Monte Carrlo方法简史
Nicholas Metropolis (1915-1999)
The algorithm by Metropolis (and A Rosenbluth, M Rosenbluth, A Teller and E Teller, 1953) has been cited as among the top 10 algorithms having the "greatest influence on the development and practice of science and engineering in the 20th century."
Monte Carlo模拟
1. 引言(introduction) 2. 均匀随机数的产生(Random number generation) 3. 任意分布的随机变量的抽样 4. Monte Carlo积分法 5. 常用Monte Carlo模拟软件的使用
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Monte Carlo模拟
2019/4/15 Monte Carlo模拟 11
2.Monte Carlo方法简史
The Name of the Game
Metropolis coined the name “Monte Carlo”, from its gambling Casino.
Monte-Carlo, Monaco
• Monte Carlo方法：
亦称统计模拟方法（statistical simulation method）
一种采用统计抽样理论近似地求解物理或数学问 题的方法
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Monte Carlo模拟
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1.Monte Carlo方法
• 基本思想：
1. 建立与待解问题相似或相关联的概率模型或概率过程， 利用这种相似性把概率模型的某些特征量与待求解问题 的解联系起来： 概率模型： 随机事件的概率 随机变量的数学期望值
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Monte Carlo模拟
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2.Monte Carlo方法简史
Solution: • The positioning of the needle relative to nearby lines can be described with a random vector which has components:
待求解问题的解： 定积分的值
微分方程的解
2. 对概率模型进行随机模拟或统计抽样，用所得样本得到 这些特征量的估计值问题的近似解
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Monte Carlo模拟
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Monte Carlo模拟
第一章 引言 （Introduction)
1. 2. 3. 4. Monte Monte Monte Monte Carlo方法 Carlo方法简史 Carlo模拟的应用 Carlo算法的主要组成部分
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Monte Carlo模拟
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Monte Carlo模拟
第一章 引言 （Introduction)
1. 2. 3. 4. Monte Monte Monte Monte Carlo方法 Carlo方法简史 Carlo模拟的应用 Carlo算法的主要组成部分
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Monte Carlo模拟
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3.Monte Carlo模拟的应用
Monte Carlo模拟的应用： 自然现象的模拟： 宇宙射线在地球大气中的传输过程； 高能物理实验中的核相互作用过程；
A [0, d )
[0, )
• The random vector is uniformly distributed on the region [0,d)×[0,). Accordingly, it has probability density function 1/d. • The probability that the needle will cross one of the lines is given by the integral