2020 年北京市高一数学竞赛(决赛)试题
高一数学竞赛试题含答案
高一数学竞赛试题高一数学竞赛试题时间：时间：8:30-11:00 8:30-11:00 8:30-11:00 总分：总分：总分：150150分一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分）分）1、如图，、如图，P P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若QC QC＝＝1，CD CD＝＝3，则PB PB＝＝________________。
2、若函数()()2ln f x x x a x=++为偶函数，则a = 。
3、函数()()2ax bf x x c +=+的图像如图所示，则a 0 0，，b 0 0，，c 0 0。
4、已知()221x f x x=+，则()()()()111123...2015...232015f f f f f f f æöæöæö+++++++=ç÷ç÷ç÷èøèøèø。
5、函数则()()222log 2log 3f x x x =-+的单调递减区间为的单调递减区间为 。
6、若方程2104xxeae -+=有负实数根，则a 的取值范围是的取值范围是。
7、设函数()31,12,1x x x f x x -<ì=í³î，则满足()()()2f af f a =的a 的取值范围是的取值范围是 。
8、设集合}{1,2,3......6A =，则集合A 的所有非空子集元素和的和为的所有非空子集元素和的和为 。
9、设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于y x =-对称，且()()241f f -+-=，则a = 。
1010、已知实数、已知实数,x y 满足()()()()3312011*********x x y y ì-+-=-ïí-+-=ïî，则x y += 。
北京市中学生数学竞赛高一级复赛参考解答
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛参考解答一、选择题（总分值40分，每题8分，将答案写在下面相应的空格中）1．二次三项式x 2+ax +b 的根是实数，其中a 、b 是自然数，且ab =22020，那么如此的二次三项式共有 个．答：1341．咱们发觉，事实上，数a 和b 是2的非负整数指数的幂，即，a =2k ，b =22020–k ，那么判别式Δ=a 2– 4b =22k – 422020–k =22k – 22021–k ≥0，得2k ≥2021–k ，因此k ≥32013=671，但k ≤2020，因此k 能够取2020–671+1=1341个不同的整数值．每一个k 恰对应一个所求的二次三项式，因此如此的二次三项式共有1341个.2．如右图，在半径为1的圆O 中内接有锐角三角形ABC ，H 是△ABC 的垂心，角平分线AL 垂直于OH ，那么BC = ．解：易知，圆心O 及垂心H 都在锐角三角形ABC 的内部，延长AO 交圆于N ，连接AH 并延长至H 1与BC 相交，连接CN ，在Rt △CAN 和Rt △AH 1B 中，∠ANC =∠ABC ，于是有∠CAN =∠BAH 1，再由AL 是△ABC 的角平分线，得∠1=∠2．由条件AP ⊥OH ，得AH=AO=1．连接BO 交圆于M ，连接AM 、CM 、CH ，可知AMCH 为平行四边形，因此CM=AH=AO =1，BM =2，因为△MBC 是直角三角形，由勾股定理得BC ==3．已知概念在R 上的函数f (x )=x 2和g (x )=2x +2m ，假设F (x )=f (g (x )) – g (f (x ))的最小值为14，那么m = ．答：14-．解：由f (x )=x 2和g (x )=2x +2m ，得F (x )= f (g (x )) – g (f (x ))=(2x +2m )2–(2x 2+2m )=2x 2+8mx +4m 2–2m ，F (x )=2x 2+8mx +4m 2–2m 的最小值为其图像极点的纵坐标()2222242(42)84284242m m m m m m m m ⨯⨯--=--=--⨯．由已知，21424m m --=，得21202m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此1.4m =-4．tan 37.5= ． 答：6232-+-．解1：作Rt △ADB ，使得∠ADB =90º，AD =1，AB =2，那么∠B =30º，BD =3．延长BD 到C ，使BC =2，那么DC =23-．连接AC ，那么∠ACB =(180º–30º)÷2=75º．作∠ACD 的平分线交AD 于E ，那么∠ECD =º． 由于AC 2=AD 2+DC 2=1+(2–3)2=8–43，因此 ()2843621226262AC =-=-+=-=-．由三角形的角平分线定理，得AE AC ED DC=，于是AE ED AC DCED DC ++=，即()()()()322162233221ED AD DC AC CD ====-++-+-+-，因此()()tan 37.53221EDDC==-+6232=-+-．解2：作等腰直角三角形ABC ，使∠C =90º，AC =BC =1，那么AB =2． 作∠CAD =30º，那么CD =33，AD =233，那么∠DAB =15º． 作∠BAD 的平分线AE ，记CE =x ，那么BE =1–x ，DE =x –3． 因此33232x -=，整理得 ()()213221623 2.3232x +-+===-+--+tan 37.562321CE xAC ===-+-． 5．设f (x ) =113xx+-，概念f 1(x ) = f (f (x ))，f n (x )=f (f n –1(x )) (n =2, 3,…)，f 2020(2020)= ． 答：10053017．A21 30º解：记01()()13x f x f x x +==-，那么()111113()()1131313xx x f x f f x x x x++--===--+-⋅-； ()211113()()11313xx f x f f x x x x--+===-+⋅+；()3201()()()()13x f x f f x f x f x x +====-； 接下来有41()()f x f x =，52()()f x f x =，63()()f x f x =，…，f n (x )的表达式是循环重复的，以3项为一周期．因此，20113670111()()()13x f x f x f x x ⨯+-===+，20112011120101005(2011)13201160343017f -===+⨯．二、（总分值15分）D 是正△ABC 的边BC 上一点，设△ABD 与△ACD 的内心别离为I 1，I 2，外心别离为O 1，O 2，求证：(I 1O 1)2+(I 2O 2)2=(I 1I 2)2． 证明：作以A 为中心、逆时针旋转60的变换(,60)R A ，使△ABD 到△ACD 1，由于∠ADC +∠AD 1C =∠ADC +∠ADB =180º，因此A 、D 、C 、D 1共圆，因此2O 是△AD 1C 的外心，也确实是(,60)12R A O O −−−−→，因此AO 1=DO 1=AO 2=DO 2=O 1O 2，因此∠O 1AO 2=∠O 1DO 2=60º．由∠AO 1O 2+∠ACB =120º+60º=180º，O 1在△ACD 的外接圆⊙O 2上．由于111(180)6012012022AI D ABD ABD ∠=∠+-∠=+⨯=，因此I 1在⊙O 2上，因此11118018030150O I D O AD ∠=-∠=-=，111118015030I O D I DO ∠+∠=-=．同理可证，I 2在△ABD 的外接圆⊙O 1上，因此22150DI O ∠=．由于12118090,2I DI ∠=⨯=而22111212906030I DO I DO I DI O DO ∠+∠=∠-=-=，比较可得1122I O D I DO ∠=∠．在△O 1I 1D 与△DI 2O 2中，因为已证O 1D=DO 2，1122150,O I D DI O ∠=∠=又1122.I O D I DO ∠=∠因此 △O 1I 1D ≌△DI 2O 2．因此，I 1O 1=DI 2，DI 1= I 2O 2.由于1290,I DI ∠=△I 1DI 2是直角三角形.依照勾股定理，有()()()2221212,DI DI I I +=而I 1O 1=DI 2，DI 1=I 2O 2. 因此()()()222112212.I O I O I I +=三、（总分值15分）n 是正整数，记n !=1×2×3×…×n ，如1!=1，2!=1×2=2，3!= 1×2×3=6，又记[a ]表示不超过a 的最大整数，求方程120111!2!3!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的所有正整数解．解1：由于当x 是正整数时，[]1!x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2!2x x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦≥12x -，3!6x x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＞6x –1，因此1126x x x -++-＜2020即53x ＜120122，得方程的正整数解x 知足0＜x ＜． 由于6!=720，7!=5040，因此方程的正整数解x ＜7!，即07!8!9!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 因此，方程20111!2!3!4!5!6!x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的解与原方程的解是一样的．设小于7!的正整数x 为上述方程的解，咱们写出(1,2,3,4,5,6)!xk k =的带余除法表达式：设16!6!r x a =+，0≤r 1＜6!，(0≤a ≤6，a ∈N )；因此.6!x a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦① 12665!5!5!r r x a a b =+=++，0≤r 2＜5!，(0≤b ≤5，b ∈N )，因此65!x a b ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦． ② 323053054!4!4!r r xa b a b c =++=+++，0≤r 3＜4!，(0≤c ≤4，c ∈N )， 因此3054!x a b c ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦． ③341202*********!3!3!r r xa b c a b c d =+++=++++，0≤r 4＜3!，(0≤d ≤3，d ∈N )； 因此1202043!x a b c d ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦． ④5436060123360601232!2!2!r r xa b c d a b c d e =++++=+++++，0≤r 5＜2， (e =0,1,2)；因此360601232!x a b c d e ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦． ⑤5720120246272012024621!1!r xa b c d e a b c d e f =+++++=+++++，(f =0,1)； 因此72012024621!x a b c d e f ⎡⎤=+++++⎢⎥⎣⎦． ⑥①～⑥相加得1237a +206b +41c +10d +3e +f =2020． 显然a =1，因此206b +41c +10d +3e +f =2020–1237=774； 易知b =3，因此41c +10d +3e +f =774–206×3=156； 易知c =3，于是10d +3e +f =156–41×3=33；类似求得d =3，e =1，f =0．所求的x =1×720+3×120+3×24+3×6+1×2+0×1=1172．x =1172是方程20111!2!3!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的唯一正整数解． 解2：设f (x )=1!2!3!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因为关于所有的正整数k ，!x k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦都是单调增的，其和f (x )确实是增函数；又因为关于正整数x ，11!x +⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1!x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+1，因此f (x )是严格单调的．经估数，将x =1172带入，求f (1172)的值，得f (1172)=2020，因此，x =1172是方程20111!2!3!10!11!x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的唯一正整数解．四、（总分值15分）平面上的n 个点，假设其中任3个点中必有2个点的距离不大于1，那么称如此的n 个点为“标准n 点组”．要使一个半径为1的圆纸片，对任意“标准n 点组”都能至少盖住其中的25个点，试求n 的最小值． 答案：49．解：第一证明，n min ＞48．在平面上画长为5的线段AB ，别离以A 、B 为圆心，画半径为的两个圆，在每一个圆内，取24个点，那么平面上有48个点满足题设条件（其中任意3点中必有2点的距离不大于1），显然，不可能画出一个半径为1的圆，其包括有25个所选的点，因此n ＞48．下面证明n min =49．若49=n ，设A 是其中的一点，作以A 为圆心半径为1的⊙A ，假设所有的点都在圆A 中，那么就知足题设条件．假设不是所有的点都在圆A 中，那么至少有一点B 不在圆A 中，再作以B 为圆心、半径为1的⊙B ，那么A 、B 的距离大于1（如右图），除A ，B 外，余下的47个点中每一点P 都与A 、B 组成3点组，必有两个点的距离不大于1，因此要么P A ≤1，要么PB ≤1，即点P 要么在⊙A 中，要么在⊙B 中，依照抽屉原理，必有一个圆至少包括了这47个点中的24个点，不妨设那个圆确实是⊙A ，再加上圆心A 点，就有很多于25个点在那个半径为1的⊙A 中(圆内或圆周上)．因此n 的最小值是49．五、（总分值15分）已知函数f ：R →R ，使得对任意实数x y z ，，都有11()()()()22f xy f xz f x f yz +-≥14， 求[1×f (1)]+[2×f (2)]+[3×f (3)]+…+[2020×f (2020)]的值．其中关于实数a ，[a ]表示不超过a 的最大整数．解：由于已知函数f R R →：，使得对任意实数x y z ，，都知足11()()()()22f xy f xz f x f yz +-≥14，可令0x y z ===，有 ()211(0)(0)(0)22f f f +-≥14，即21(0)2f ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤0， 由于f (0)是一个实数，因此1(0).2f =再令1x y z ===，有()211(1)(1)(1)22f f f +-≥14，即21(1)2f ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤0， 由于f (1)是一个实数，因此1(1).2f =又令0y z ==，有11(0)(0)()(0)22f f f x f +-≥14，代入1(0)2f =得对任意实数x ，都有()f x ≤12． ①又令1y z ==，有11()()()(1)22f x f x f x f +-≥14，代入1(1)2f =得对任意实数x ，都有()f x ≥12． ②综合①、②可得，对任意实数x ，都有1()2f x =．验证：函数1()2f x =知足题设条件，取的是等号，因此知足题设条件的函数的唯一解为1()2f x =．于是[][][][]1(1)2(2)3(3)2011(2011)f f f f ⨯+⨯+⨯++⨯1234201122222⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦011223310051005=+++++++++()21231005=⨯++++(11005)1005=+⨯．1011030。
2020届北京市人教版竞赛数学试卷A卷
2020届北京市人教版竞赛数学试卷A卷一、单选题 (共19题；共38分)1. （2分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③a﹣b+c＝0；④5a＜b ．其中正确的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（）A . 3B . 6C . 9D . 123. （2分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14m，则棱高CD为（）A . 10.5mB . 9.5mC . 12mD . 14m4. （2分）若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（）A . 13B . 13或C . 13或15D . 155. （2分）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）A .B .C . πm2D . 2πm26. （2分）我市某校九（1）班学生准备在元旦节那天用送贺卡方式表示祝贺，班长说：每位同学都要送给其他同学一张贺卡，结果九（3）班学生共送出贺卡2970张．问：该班共有多少个学生？如设该班共有x个学生，则可列方程为（）A . x（x﹣1）=2970B . x（x﹣1）=2970C . x（x+1）=2970D . x（x+1）=29707. （2分）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为A . 90°B . 60°C . 45°D . 30°8. （2分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A .B .C .D .9. （2分）二次函数y=x2的图像向右平移2个单位，得到新的函数图像的表达式是（）A . y=x2﹣2B . y=（x﹣2）2C . y=x2+2D . y=（x+2）210. （2分）在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A .B .C .D .11. （2分）五棱柱的顶点总个数有（）个．A . ．5B . 10C . 15D . 2012. （2分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，以AC所在的直线为轴旋转一周，所得圆锥的侧面积为（）A .B .C .D .13. （2分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2经过平移得到抛物线y=ax2+bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为，则a、b的值分别为（）A . ，B . ，﹣C . ，﹣D . ﹣，14. （2分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y=与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（）A .B .C .D .15. （2分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A .B .C .D .16. （2分）如图，四边形AOBC和四边形CDEF都是正方形，边OA在x轴上，边OB在y轴上，点D在边CB上，反比例函数y= 在第二象限的图象经过点E，则正方形AOBC 和正方形CDEF的面积之差为（）A . 12B . 10C . 8D . 617. （2分）如图，在Rt△ABC中，CD是边AB上的高，若AC=4，AB=10，则AD的长为（）A .B . 2C .D . 318. （2分）笔直的公路AB一侧有加油站C，已知从西面入口点A到C的距离为60米，西东两个入口A、B与加油站C之间的方位角如图所示，则A、B两个入口间的距离为（）A . 20米B . 30米C . 40米D . 60米19. （2分）已知二次函数y=ax2+bx+c，若a＞0，c＜0，那么它的图象大致是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)20. （1分）函数y=中，自变量x的取值范围是________21. （1分）已知：如图，AB=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交OC与点D，AD 的延长线交BC于点E，过D作⊙O的切线交BC于点F．下列结论：①CD2=CE·CB；②4EF 2=ED ·EA；③∠OCB=∠EAB；④ ．其中正确的只有________．（填序号）22. （1分）点P（﹣2，1）向上平移2个单位后的点的坐标为________23. （1分）如图,在△ABC中,AB=AC=10,点D是边BC上一动点(不与B,C重合),∠ADE=∠B=α,DE交AC于点E,且cosα= .下列结论:①△ADE∽△ACD;②当BD=6时,△ABD与△DCE全等;③△DCE为直角三角形时,BD为8; ④0<CE≤6.4.其中正确的结论是________.(把你认为正确结论的序号都填上)三、解答题 (共5题；共67分)24. （15分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．25. （7分）在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O 放在斜边AC上，三角板的两直角边分别交直线AB、BC于E、F两点．（1）如图①，若O为AC的中点，点E、F分别在边AB、BC上．①当△OFC是等腰直角三角形时，∠FOC=________；②求证：OE=OF；________（2）如图②，若AO：AC=1：4时，OE和OF有怎样的数量关系？证明你发现的结论．26. （20分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=﹣x+3交AB，BC于点M，N，反比例函数y=的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．（3）求反比例函数的解析式；（4）若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．27. （10分）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．28. （15分）如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．参考答案一、单选题 (共19题；共38分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、二、填空题 (共4题；共4分) 20-1、21-1、22-1、23-1、三、解答题 (共5题；共67分) 24-1、24-2、24-3、25-1、25-2、26-1、26-2、26-3、26-4、27-1、27-2、28-1、28-2、28-3、。
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级试题(含答案)
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级试题2020年6月 27日8:30～10:30一、填空题（满分40分，每小题8分）1．已知实函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+4xy ，且f (−1)·f (1)≥4．则293f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 2．等腰梯形ABCD （AB =CD ）的内切圆与腰CD 的切点为M ，与AM 、BM 的交点分别为K 和L ．则AM BM AK BL+的值等于______． 3．四位数abcd 比它的各位数字的平方和大2020，在所有这样的四位数中最大的一个是______．4．已知点O 在△ABC 内部，且2021202020193AB BC CA AO ++=，记△ABC 的面积为S 1，△OBC 的面积为S 2，则12S S =______． 5．有4个不同的质数a , b , c , d ，满足a +b +c +d 是质数，且a 2+bc 、a 2+bd 都是完全平方数，那么a +b +c +d = ______．二、（满分15分）面积为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6的正方形位置如右图所示．求证：S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．三、（满分15分）存在2020个不是整数的有理数，它们中任意两个的乘积都是整数四、（满分15分）如右图，已知D 为等腰△ABC BC 上任一点，⊙I 1、⊙I 2分别为△ABD 、△ACD 内切圆，M 为BC 的中点．求证：I 1M ⊥I 2M ．五、（满分15分）将集合I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}B ={w , x , y , z }，使得A ∪B =I ，A ∩B =Ø，且A 与B 的元素至少有一种排列组成的正整数满足2wxyz abcde ，则称A 与B 为集合I 的一个“两倍型2分划”．（1）写出集合I 的所有“两倍型2分划”，并给出理由；（2）写出集合I 的每个“两倍型2分划”对应的所有可能的2wxyz abcde ．2020年北京市中学生数学竞赛（邀请）高一年级试题及参考解答2020年6月 27日8:30～10:30一、填空题（满分40分，每小题8分）1．已知实函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+4xy ，且f (−1)·f (1)≥4．则29()3f -=______． 解：令x =y =0得f (0)=0，令x =−1，y =1，得f (1)+f (−1)=4．平方得f 2(1)+2f (1)·f (−1)+f 2(−1)=16，又因为f (−1)·f (1)≥4，所以f 2(1)+2f (1)·f (−1)+f 2(−1)≤4f (1)·f (−1)．即(f (1)−f (−1))2≤0．所以f (1)=f (−1)=2． 因为)32)(31(4)32()31()32(31)1(--⋅+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-f f f f 1118=3()4()()3339f ， 所以 .234)31(3=+-f 因此.92)31(=-f 所以.9894)31(2)32(=+-=-f f 于是29()3f -=8．2．等腰梯形ABCD （AB =CD ）的内切圆与腰CD 的切点为M ，与AM 、BM 的交点分别为K 和L ．则AM BM AK BL+的值等于______． 解：设N 是边AD 的中点，a =AN ，x =AK ，y =AM ，α=∠ADM ，（如图）．则ND=DM=a ，且根据余弦定理，对于△ADM ，有y 2=4a 2+a 2−4a 2cos α=a 2(5−4cos α)． 另一方面，根据切割线定理，有xy=a 2，所以 2AM y y AK x xy ===5−4cos α． 类似地对于△BCM ，得到54cos .BM BLα=+ 因此，10.AM BM AK BL+= C BD A LK a y αMx3．四位数abcd 比它的各位数字的平方和大2020，在所有这样的四位数中最大的一个是______．解: 设abcd 为所求的自然数，则根据条件1000a +100b +10c +d =a 2+b 2+c 2+d 2+2020．考虑到 2000＜a 2+b 2+c 2+d 2+2020≤92+92+92+92+2020=2344，可以断定a =2，于是100b +10c +d =b 2+c 2+d 2+24．即 b (100−b )+c (10−c )=d (d −1)+24 (*)由于c (10−c )＞0，当b ≥1时，b (100−b )≥99，所以(*)式左边大于99，而(*)式右边小于9×8+24=96，因此要(*)式成立，必须b =0．当b =0时，(*)式变为 d 2−d =10c −c 2−24． 由于四位数abcd 中a =2，b =0，要使20cd 最大，必需数字c 最大．若c =9，c 2−c −24=90−92−24＜0，而d 2−d ≥0故(*)式不能成立．同理，c =8和c =7时，(*)式均不能成立．当c =6时，c 2−c −24=60−62−24=0，这时，d =0及d =1，均有d 2−d =0，即(*)式均成立． 于是abcd =2060或2061．所以满足题设条件的四位数中最大的一个是2061．4．已知点O 在△ABC 内部，且2021202020193AB BC CA AO ++=，记△ABC的面积为S 1，△OBC 的面积为S 2，则12S S =______． 解：由2021202020193AB BC CA AO ++=，得22019()3AB BC AB BC CA AO ++++=，因为0AB BC CA ++=，所以23AB BC AO +=，故23AB AC AB AO +-=. 所以3AB AC AO +=，取BC 的中点D ，则23AD AO =.于是A 、D 、O 三点共线，且3AD OD =．所以123S AD S OD==．5．有4个不同的质数a , b , c , d ，满足a +b +c +d 是质数，且a 2+bc 、a 2+bd 都是完全平方数，那么a +b +c +d = ______．解：由a +b +c +d 是质数，可知a , b , c , d 中有2．如果a ≠2，那么b , c , d 中有2，从而a 2+bc 、a 2+bd 中有一个模4余3，不是完全平方数．故a =2．假设22+bc =m 2，那么bc =(m −2)(m +2)．如果m −2=1，那么m =3，bc =5，与已知矛盾．故不妨设b =m −2，c =m +2，则c =b +4．同理d =b −4，所以{a , b , c , d }={a , b , b +4, b −4}．而b −4, b , b +4中有一个是3的倍数，又是质数，所以只能是b −4=3，此时a +b +c +d =2+3+7+11=23．二、（满分15分）面积为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6的正方形位置如图所示．求证：S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．证明：见右图：AKLB ，BMNC ，ACPQ 都是正方形，对应的面积为S 1、S 2和S 3．设,,βα=∠=∠ABC BAC .γ=∠ACB 因为,,,321S AC S BC S AB === 则根据余弦定理，有αcos 232321S S S S S -+=βcos 231312S S S S S -+=γcos 221213S S S S S -+= 由此，.cos 2cos 2cos 2321213132S S S S S S S S S ++=++γβα ①又因为 ,180,180,180γβα-=∠-=∠-=∠ NCP LBM QAK 以及,,,465S NP S LM S QK === 则有αcos 231315S S S S S ++= ②βcos 221216S S S S S ++= ③ γcos 232324S S S S S ++= ④由等式①～④得 S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．三、（满分15分）存在2020个不是整数的有理数，它们中任意两个的乘积都是整数吗？如果存在，请给出例证，如果不存在，请说明理由．解：存在. 例证如下：因为质数有无限多个，所以任选2020个两两不同的质数122020,,,p p p ，构造2020个两两不同的数： 1220202ii p p p x p ，i =1, 2, 3, …, 2020． 易知，因为122020,,,x x x 的分子不被分母整除，皆为不是整数的有理数．而任意两个数的乘积 12202012202022i i i j p p p p p p x x p p 2222222222122020121111202022ii j j i j p p p p p p p p p p p p ． 这2018个质数平方的乘积是整数，满足题意要求．A B C I 1 I 2 • • F 四、（满分15分）如图，已知D 为等腰△ABC 底边BC 上任一点，⊙I 1、⊙I 2分别为△ABD 、△ACD 的内切圆，M 为BC 的中点．求证：I 1M ⊥I 2M ．证明： （1）当D 与M 重合时，显然有∠I 1MI 2=90°，即I 1M ⊥I 2M ．（2）当D 不与M 重合时，不妨设BD ＞DC ， 过I 1作I 1E ⊥BC 于点E ，过I 2作I 2F ⊥BC 于点F ，连结I 1D ，I 2D ，I 1I 2．因为⊙I 1为△ABD 的内切圆，⊙I 2为△ACD 的内切圆，所以 2AB BD AD BE +-=，2DC AD AC DF +-= 所以，EM =BM −BE=22BC AB BD AD +--()2BC BD AD AB -+-=.2DF AC AD DC =-+= 进而有 ED=MF ．因为I 1、I 2分别为△ABD 、△ACD 的内心，易知∠I 1DI 2=90°． 由勾股定理得I 1D 2+I 2D 2=I 1I 22．(*)在Rt △I 1DE 与Rt △DI 2F 中，由勾 股定理得I 1E 2+ED 2=I 1D 2，I 2F 2+DF 2=I 2D 2，代入(*)式，得(I 1E 2+ED 2)+(I 2F 2+DF 2)= I 1I 22．注意EM=DF ，ED=MF 代换得(I 1E 2+MF 2)+(I 2F 2+EM 2)= I 1I 22．即 (I 1E 2+EM 2)+(I 2F 2+MF 2)= I 1I 22．所以 I 1M 2+I 2M 2=I 1I 22．根据勾股定理的逆定理，有△I 1MI 2为直角三角形，∠I 1MI 2=90°，即I 1M ⊥I 2M ．五、（满分15分）将集合I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}划分为两个子集A ={a , b , c , d , e }和B ={w , x , y , z }，使得A ∪B =I ，A ∩B =Ø，且A 与B 的元素至少有一种排列组成的正整数满足2wxyz abcde ，则称A 与B 为集合I 的一个“两倍型2分划”．（1）写出集合I 的所有“两倍型2分划”，并给出理由；（2）写出集合I 的每个“两倍型2分划”对应的所有可能的2wxyz abcde ． 解：（1）集合I 共有2个“两倍型2分划”：A ={1, 3, 4, 5, 8}，B ={2, 6, 7, 9}及A ={1, 4, 5, 6, 8}，B ={2, 3, 7, 9}．理由简述如下：1° 由易知，a =1，所以a ∈A ． A B C I 1 I 2 • •2° 由0∉ I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}=A ∪B ，而5×2=10，所以5∈A ．3° 试验知，a , b , c , d , e 均不能等于9，所以9∈B ，进而有8∈A ．4° 因为数wxyz abcde 和的9个数字和恰为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45是9的倍数，可判知+abcde wxyz 是9的倍数，即+abcde wxyz ≡0(mod9)． 又2wxyz abcde ，所以3wxyz ≡0(mod9)．于是wxyz ≡0(mod3)．所以)(wxyz S 是3的倍数，进而推得)(abcde S 也是3的倍数．5° 同样试验可判定7∈B ．此时分配剩下的4个元素：2, 3, 4, 6．由于A 中的1+5+8=14，被3除余2，所以从2, 3, 4, 6中选出的两个数之和被3除余1．于是只能选3, 4或4, 6属于A ，对应剩下的2, 6或2, 3归属于B ．因此，找到集合I 的两个“两倍型2分划”：A ={1, 3, 4, 5, 8}，B ={2, 6, 7, 9}及A ={1, 4, 5, 6, 8}，B ={2, 3, 7, 9}．（2）集合I 的“两倍型2分划”满足的不同的2wxyz abcde 共12个．1° 当B={2, 6, 7, 9}时，得到6个不同的式子：6729×2=13458， 6792×2=13584， 6927×2=13854,7269×2=14538， 7692×2=15384， 9267×2=18534．2° 当B={2, 3, 7, 9}时，得到6个不同的式子：7293×2=14586， 7329×2=14658， 7923×2=15846，7932×2=15864， 9273×2=18546， 9327×2=18654．。
2020 年北京市高一数学竞赛(决赛)试题
2020 年北京市高一数学竞赛（决赛）试题
一、填空题（每题 8 分）
1. 已知实函数满足，且，则
2. 等腰梯形的内切圆与腰的切点为，与的交点分别为和，
则的值等于
3. 四位数比它的各位数字的平方和大. 在所有这样的四位数中最大的一个是
4. 已知点在内部，且. 记的面积为，
的面积为，则
5. 有个不同的质数满足是质数，且都是完全平方数，那么
二、（15分）面积为的正方形位置如图所示，求证：
三、（15分）存在个不是整数的有理数，它们中任意两个的乘积都是整数吗？如果存在，请给出例证；如果不存在，请说明理由.
四、（15分）如图，已知为等腰底边上任一点，分别为的内切圆，为中点，求证
五、（15分）将集合划分为两个子集和，使得
，且与的元素中至少有一种排列组成的正整数满足，则称
与为集合的一个 “ 两倍型 2 划分 ”.
（1）写出集合的所有 “ 两倍型 2 划分 ”，并给出理由.
（2）写出集合的每个 “ 两倍型 2 划分 ” 对应的所有可能的。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(1)
2
4
2
2
【解析】 a =b ， c =d ，设 a=x ， b=x ； c=y ， d=y ，x － y =9． ( x+y )( x－ y ) =9．
∴ x+y2=9， x－ y2=1， x=5， y2=4． b－ d=53－25=125－ 32=9 3．
11．将八个半径都为 1 的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每
n=q2+q+1，l
≥
1 q(
q+1)
2+1，
2
q≥ 2，q∈ N．已知此图中任四点不共面， 每点至少有一条连线段， 存在一点至少有 q+2 条连
线段．证明：图中必存在一个空间四边形 ( 即由四点 A、B、 C、 D和四条连线段 AB、BC、CD、
DA组成的图形 ) ．
2020 年全国高中数学联赛解答
BD DQ 本题成立．而要证 BDQ∽ DAQ，只要证 AD=AQ即可．
二、（本题 50 分）
设三角形的三边长分别是正整数 l ，m， n．且 l >m>n>0．
l
m
n
已知
3 10 4
=
3 10 4
=
3 10 4
，其中
{ x} =x－ [ x] ，而 [ x] 表示不超过
x 的最大整数．求这种三角
形周长的最小值．
2
y=－ (cot
u+tan u)+cos
u=－ sin2
u+cosu．在
u∈ [ － ，－ ] 46
时， sin2
u与
cos u 都单调递
11 增，从而 y 单调递增．于是 u=－ 6时， y 取得最大值 6 3，故选 C．
2022年北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案
北京高中数学知识应用竞赛试题及参照答案试题1、（满分20分）汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前没行一段距离才干停住。
我们称这段距离为“刹车距离”。
刹车距离是分析事故一种重要因素。
在一种限速为40千米/时路段上，先后有A、B两辆汽车发生交通事故。
事故后，交通警察现场测得A车刹车距离超过12米，局限性15米，B车刹车距离超过11米，局限性12米。
又知A、B两种车型刹车距离S（米）与车速x（千米/时）之间有如下关系：如果仅仅考虑汽车车速因素，哪辆车应负责任？2.（满分20分）北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》，在这个节目中曾经有这样一种抢答题：小晰蜴体长15cm，体重15g,问：当小晰蜴长到体长为20cm时，它体重大概是多少（选用答案：20g,25g,35g,40g）?尝试用数学分析出合理解答。
3. （满分20分）受日月引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐。
在一般状况下，船在涨潮时驶进航道，接近船坞；卸货后落潮时返回海洋。
下面是某港口顺某季节每天时间与水深关系表：时刻水深（米）时刻水深（米）时刻水深（米）0:00 5.0 8:00 3.1 16:00 7.41:00 6.2 9:00 2.5 17:00 6.92:00 7.1 10:00 2.4 18:00 5.93:00 7.5 11:00 3.5 19:00 4.44:00 7.3 12:00 4.4 20:00 3.35:00 6.5 13:00 5.6 21:00 2.56:00 5.3 14:00 6.7 22:00 2.77:00 4.1 15:00 7.2 23:00 3.8(1)请在坐标纸上，根据表中数据，用持续曲线描出时间与水深关系函数图像；（2）一条货船吃水深度（船底与水面距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5安全间隙（船底与洋底距离），问该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（3）若某船吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米速度减少，那么该船在什么时间必要停止卸货，将船驶向较深水域？4．（满分20分）末，某商家迎来店庆，为了吸引顾客，采用“满一百送二十，连环送”酬宾方式，即顾客在店内花钱满100元（这100元可以是钞票，也可是奖励券，或两者合计），就送20元奖励券；满200元，就送40元奖励券，满300元，就送60元奖励券；...。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析.docx
2020 年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6 分和 0 分两档，填空题只设9 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分， 5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36 分，每小题 6 分）本题共有 6 小题，每小题均给出 A ， B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得 6 分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分。
1．使关于 x 的不等式 x 36 x k 有解的实数 k 的最大值是（）A ． 63B． 3C． 63D ． 62．空间四点 A 、 B 、 C 、 D 满足 | AB | 3, | BC | 7 , | CD | 11 , | DA | 9 , 则 AC BD 的取值（）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个a 1 a 2 a 3a 4| a iT , i 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从大到小的6. 记集合 T { 0,1,2,3,4,5,6}, M {7 27 3747序排列， 第2020 个数是（）A ． 5 5 6 3B ． 55 6 2 7 7273 74 772 73 7 4 C ．11 0 4 D ．11 0 3 7 72737477273 7 4二、填空 （本 分54 分，每小 9 分） 本 共有 6 小 ，要求直接将答案写在横 上。
7. 将关于 x 的多 式 f ( x)1 x x2 x 3x 19x 20 表 关于 y 的多 式 g( y)a 0 a 1 y a 2 y 2 a 19 y 19 a 20 y 20, 其中 y x 4. a 0a 1a20.8. 已知 f (x) 是定 在 ( 0,) 上的减函数， 若 f (2a 2a1) f (3a 24a 1) 成立， a 的取 范是。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（ ） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．62．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ⋅的取值（ ）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个6.记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2020个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．43273707171+++二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7.将关于x 的多项式2019321)(x xx x x x f +-+-+-=Λ表为关于y 的多项式=)(y g,202019192210y a y a y a y a a +++++Λ其中.4-=x y 则=+++2010a a a Λ .8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(22+-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是 。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析2020年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。
2.如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1.使关于 x 的不等式 x - 3 + 6 - x ≥ k 有解的实数 k 的最大值是（）。
A。
6 - 3B。
3C。
6 + 3D。
62.空间四点 A、B、C、D 满足 |AB| = 3，|BC| = 7，|CD| = 11，|DA| = 9，则 AC·BD 的取值（）。
A。
只有一个B。
有两个C。
有四个D。
有无穷多个6.记集合 T = {1.2.3.4.5.6}，M = {ai | ai ∈ T。
i = 1.2.3.4.}，将 M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第 2020 个数是（）。
A。
2 + 3 + 4 +。
+ 5563B。
2 + 3 + 4 +。
+ xxxxxxxC。
2 + 3 + 4 +。
+ xxxxxxxx7D。
2 + 3 + 4 +。
+二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7.将关于 x 的多项式 f(x) = 1 - x + x^2 - x^3 +。
- x^2319 + x^20 表为关于 y 的多项式 g(y) = a + a1y + a2y^2 +。
+ a19y^19 + a20y^20，其中 y = x - 4，则 a + a1 +。
2022年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛
2022年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛一．选择题（满分36分，每小题6分）1．函数f(某)是偶函数且f(3)2，则f2(3)5f(3)2的值为（）A．12B．16C．17D．82．若图中给出的函数y某2a某a的图像与某轴只有一个公共点，则a为（）A．0B．1C．2D．43．函数f(某)log1某(161某)的零点个数为（）16A．0B．1C．2D．34．定义在实数集R上的函数f，对于每一个某R和常数a0，都满足方程f(某a)A．12f(某)(f(某))2，若函数f的值域记为M，则（）22MB．MC．MD．M73325．P为正方形ABCD内一点，PA=1厘米，PB=2厘米，PC=3厘米，则PBC的面积（单位：平方厘米）为（）A．222B．22C．2D．22226．函数f(某)是R上的奇函数，g(某)是R上的周期为4的周期函数，已知f(2)g(2)6且f(f(2)g(2))g(f(2)g(2))1，则g(0)的值为（）2g(20f(2))2A．2B．1C．0D．1二．填空题（满分64分，每小题8分）1．求tan22.5的值.2．设函数yf(某)定义域为R，且对任意某R都有2f(某2某)f(某23某2)9某23某6，求f(60)的值.3．若某表示不超过某的最大整数，求在平面直角坐标系某Oy中满足某y2022的所有点(某,y)组成的图形的面积.4．如图，两同心圆的半径分别为6和10，矩形ABCD的边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形面积取最大值时，试确定它的周长.ADCB5．已知f(某)1，求1某2111f(1)f(2)f(3)f(2022)f()f()f()的值.2320226．已知直角三角形的两条直角边的长为二次方程a某b某c0的两个根，试确定这个直角三角形外接圆的面积（结果用含a,b,c和圆周率的式子表示）.27．若二次函数f(某)a某2某a满足f(2)f(1)f(3)f(0)，试确定实数a 的取值范围.28．如图，D为ABC内点，使得BADBCD，且BDC90，已知AB5，BC6，M 为AC中点，求DM.AMDBC。
660编号97编号北京市高一数学竞赛初赛的试题与答案
北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答选择题答案123456AABDCD填空题答案1 2 3 4 5 67 8 2489.52504 (1242)410145一、选择题:1．集合A={2, 0, 1, 7}，B={x| x 2-2A, x-2A}，则集合B 的所有元素之积为（A ）36．（B ）54．（C ）72．（D ）108．答：A ．解：由x 2-2A ，可得x 2=4，2，3，9，即x=2，2，3，3．又因为x-2A ，所以x 2，x 3，故x= -2，2，3，-3．因此，集合B={-2, -2,2, -3,3，-3}．所以，集合B 的所有元素的乘积等于(-2)(-2)(2)(-3)(3)(-3)=36．2．已知锐角△ABC 的顶点A 到它的垂心与外心的距离相等，则tan(2BAC )=（A ）33．（B ）22．（C ）1．（D ）3．答：A ．解：作锐角△ABC 的外接圆，这个圆的圆心O 在形内，高AD ，CE 相交于点H ，锐角△ABC 的垂心H 也在AH K E形内．连接BO 交⊙O 于K ，BK 为O 的直径. 连接AK ，CK ．因为AD ，CE 是△ABC 的高，∠KAB ，∠KCB 是直径BK 上的圆周角，所以∠KAB=∠KCB=90°．于是KA//CE ，KC//AD ，因此AKCH 是平行四边形．所以KC=AH=AO=12BK ．在直角△KCB 中，由KC=12BK ，得∠BKC=60°，所以∠BAC=∠BKC=60°．故tan(2BAC )= tan30°=33．3．将正奇数的集合{1, 3, 5, 7, …}从小到大按第n 组2n-1个数进行分组：{1}，{3, 5, 7}，{9, 11, 13, 15, 17}，…，数2017位于第k 组中，则k 为（A ）31．（ B ）32．（ C ）33．（D ）34．答：B.解：数2017是数列a n = 2n -1的第1009项．设2017位于第k 组，则1+3+5+…+(2k-1)≥1009，且1+3+5+…+(2k-3)＜1009．即k 是不等式组221009(1)1009k k的正整数解，解得k =32，所以2017在第32组中．4．如图，平面直角坐标系x-O-y 中，A, B 是函数y =1x 在第I 象限的图象上两点，满足∠OAB=90°且AO = AB ，则等腰直角△OAB 的面积等于（A ）12．（B ）22．（C ）32．（D ）52．答：D ．解：依题意，∠OAB=90°且AO = AB ，∠AOB=∠ABO=45°．过点A 做y 轴垂线交y 轴于点C ，过点B 做y 轴平行线，交直线CA 于点D ．易见△COA ≌△DAB ．设点A(a, 1a )，则点B(a +1a , 1a-a)．ABO yxy =1x ABOyxy =1x D C因为点B 在函数y =1x 的图象上，所以(a +1a )(1a -a)=1，即21a -a 2=1．因此S △ABC =12OA 2=12(21a + a 2) =1222215()42a a．5．已知f (x)=x 5+a 1x4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x +a 5，且当m =1, 2, 3, 4时，f (m)=2017m ，则f (10)-f (-5)=（A ）71655．（B ）75156．（ C ）75615．（ D ）76515．答：C ．解：因为当m =1, 2, 3, 4时，f (m)=2017m ，所以1, 2, 3, 4是方程f (x)-2017x=0的四个实根，由于5次多项式f (x)-2017x 有5个根，设第5个根为p ，则f (x)-2017x = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-p)即f (x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-p)+2017x ．所以f (10)=9×8×7×6(10-p)+2017×10，f (-5)=-6×7×8×9(5+p)-2017×5，因此f (10)- f(-5)=15(9×8×7×6+2017)=75615．6．已知函数2||,,()42,.x x a f x xax a xa 若存在实数m ，使得关于x 的方程f (x)=m有四个不同的实根，则a 的取值范围是（A ）17a ．（B ）16a．（C ）15a．（D ）14a．答：D ．解：要使方程 f (x)=m 有四个不同的实根，必须使得y=m 的图像与y=f(x)的图像有4个不同的交点．而直线与y=|x|的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y=m 与函数y=|x|, x ≤a 的图像和y=x 2-4ax+2a, x ＞a 的图像的交点分别都是2个．而存在实数m ，使y=m 与y=|x|, x ≤a 的图像有两个交点，需要a ＞0，此时0＜m ≤a ；又因为y=x 2-4ax+2a, x ＞a 顶点的纵坐标为242(4)4a a ，所以，要y=m 与y=x 2-4ax+2a,x ＞a 的图像有两个交点，需要m ＞242(4)4a a ．因此y=m 的图像与y=f(x)的图像有4个不同的交点需要满足：0＜m ≤a 且m ＞242(4)4a a ，解得14a．二、填空题:1. 用[x]表示不超过x 的最大整数，设[1][2][3][99]S ，求[]S 的值．答：24．解：因为12≤1, 2, 3＜22，所以1≤1,2, 3＜2，因此[1][2][3]1，共3个1；同理，22≤4, 5, 6, 7, 8＜32，因此，[4][5][6][7][8]2，共5个2；又32≤9, 10, 11, 12, 13, 14, 15＜42，因此[9][10]=[15]3，共7个3；依次类推，[16][17][23][24]4，共9个4；[25][26][34][35]5，共11个5；[36][37][47][48]6，共13个6；[49][50][62][63]7，共15个7；[64][65][79][80]8，共17个8；[81][82][98][99]9，共19个9. S = ([1][2][3])+([4][5][6][7][8])+…+([81][99])= 1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×19=615．因为242=576＜615=S ＜625=252，即24＜S ＜25，所以，[S ]=24．2．确定(201721log 2017×201741log 2017×201781log 2017×2017161log 2017×2017321log 2017)15的值．答：8．解：原式=(20172017log 2×20172017log 4×20172017log 8×20172017log 16×20172017log 32)15=(2×4×8×16×32)15= (21×22×23×24×25)15=(21+2+3+4+5)15=(215)15=23=8．3．已知△ABC 的边AB=29厘米，BC=13厘米，CA=34厘米，求△ABC 的面积．答：9.5平方厘米．解：注意到13=32+22，29=52+22，34=52+32，作边长为5厘米的正方形AMNP ，分成25个1平方厘米的正方形网格，如图．根据勾股定理，可知，AB=29厘米，BC=13厘米，CA=34厘米，因此△ABC 的面积可求．△ABC 的面积=5×5-12×3×5-12×2×5-12×2×3=9.5（平方厘米）．4. 设函数222(1)ln(1)()1x x x f x x的最大值为M ，最小值为N ，试确定M+N的值．答：2．解：由已知得222ln(1)()11x xx f x x因为2222ln(1)ln(()1())ln[(()1())(()1())]xx x x x x x x =22ln(()1())ln10x x ，所以22ln(()1())ln(1)x x xx ，因此，2ln(1)xx 是奇函数．进而可判定，函数222ln(1)()1xx x g x x为奇函数．则g(x)的最大值M 1和最小值N 1满足M 1+N 1= 0．因为M =M 1+1，N = N 1+1，所以M + N = 2．5．设A 是数集{1, 2, …, 2017}的n 元子集，且A 中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定n 的最大值．答：504．解：在数集{1, 2, …, 2017}中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集{2, 4, …, 2016}共1008个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于1010的2倍是2020，所以集合A={1010, 1012, 1014, …, 2016}中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，A 中恰有504个元素．NA MBCP事实上504是n 的最大值．因为若从{1009, 1011, …, 2017}中任取一个奇数，会与A 中的与它相邻的偶数互质；若从{1, 2, 3, …, 1008}中任取一数，则它的2倍在A 中，存在整除关系．6．如图，以长为4厘米的线段AB 的中点O 为圆心、2厘米为半径画圆，交AB 的中垂线于点E 和F. 再分别以A 、B 为圆心，4厘米为半径画圆弧交射线AE 于点C ，交射线BE 于点D. 再以E 为圆心DE 为半径画圆弧DC ，求这4条实曲线弧连接成的“卵形”AFBCDA的面积．（圆周率用π表示，不取近似值）答：(12-42)π-4平方厘米．解：半圆(O, 2)的面积=12π×22=2π．因为AO=OB=2，所以AB=AC=BD =4，AE=BE=22，ED=EC=4-22．又∠AEB=∠CED=90°，∠EAB =∠EBA=45°，因此，扇形BAD 的面积=扇形ACB 的面积=18π×42=2π，△AEB 的面积=12×4×2=4，直角扇形EDC 的面积=14π(4-22)2= 6π-42π，卵形AFBCDA 的面积= 半圆(O, 2)的面积+扇形BAD 的面积+扇形ACB 的面积-△AEB 的面积+直角扇形EDC 的面积= 2π+2×2π-4+6π-42π= (12-42)π-4（平方厘米）．7. 已知22()1005000xf x xx ，求f (1)+f (2)+…+f (100)的值．答：101．解：设g(x) = x 2-100x+5000，则g(100-x) = (100-x)2-100(100-x)+5000=1002-200x+x 2-1002+100x+5000= x 2-100x+5000= g(x)，即g(k) = g(100-k)．B FADCEO所以f (k) + f(100-k) =22(100)()(100)kk g k g k =22(100)()kk g k =2，又f (50) =2250=150100505000，f (100)22100==2.1001001005000所以，f (1)+ f (2)+…+ f (100)= (f (1)+ f (99))+ (f (2)+ f (98))+…+ (f (49)+ f (51))+ f (50)+ f (100) = 2×49+1+2=101．8．如图，在锐角△ABC 中，AC = BC = 10，D 是边AB 上一点，△ACD 的内切圆和△BCD 的与BD 边相切的旁切圆的半径都等于2，求AB 的长．答：45．解：线段AB 被两圆与AB 的切点及点D 分成四段，由于两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于是可将这四段线段长度分别记为a, b, b, c ，由于圆O 2的切线长CE = CG ，所以BC+a = CD+b = (AC-c+b)+b ，而AC = BC ，所以a+c = 2b ．由等角关系可得△AO 1F ∽△O 2BE ，得12O F BE AFO E，即22ac，由此推出ac = 4．分别计算△BCD 和△ACD 的面积：12(),2BCDSBC CD BD 12()2ACDSAC CD AD 所以24ACDBCDS S ADBDABa c bb .①又设由C 引向AB 的高为h ，可得22211()()410(2)22ACDBCDS S c a hc a ac b ②由①、②两式可得22214()410(2)2bca acb 将a+c = 2b ，ac = 4代入，化简得42251000bbDACBD A CB E G FO 1O 2 ·a b b c ·解得b2=5或b2=20，即b =5或b = 25，（负根舍）．于是，AB = a+c+2b = 4b = 45，或AB = 85．若AB = 85，△ABC为钝角三角形，不合题设△ABC是锐角三角形的要求．所以AB的长为45．。
MJT-北京市中学生数学竞赛(高一
北京市中学生数学竞赛（高一）一、选择题(每小题5分，共25分)1．如果},4,3,1{},5,4,3,2,1{==M S }5,4,2{=N ，那么，I)()(N C M C s s 等于（ ）。
∅)(A }3,1){(B }4){(C }5,2){(D2．已知a 、b 都是整数．命题甲：a+b 不是偶数，则a 、b 都不是偶数；命题乙：a+b 不是偶数，则a 、b 不都是偶数．则( )．(A)甲真，乙假 (B)甲假，乙真 (C)甲真，乙真 (D)甲假，乙假 3．若c 、d 是不共线的两个非零平面向量，则下面给出的四组a 、b 中，不共线的一组是( )．)(2),(2)(d c b d c a A +=+-= d c b d c a B 22,)(+-=-=d c b d c a C 101,524)(-=-= d c b d c a D 22,)(-=+=4．对定义在区间[a ，b]上的函数)(x f ，若存在常数c ，对于任意的],[1b a x ∈有唯一的],[2b a x ∈，使得c x f x f =+2)()(21，则称函数)(x f 在[a ，b]上的“均值”为C ．那么，函数x x f lg )(=在[10，100]上的均值为（ ）。
10)(A 101)(B 23)(C 43)(D5．在三角形中，三条边长成等差数列是三边的比为3：4：5的( )。
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(c)充分必要条件 (D)既不充分也不必要的条件二、填空题(每小题7分，共35分)1．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，如(－1，7)就是一个整点．若直线l 过点)31,21(A 和)51,41(B ，则在l 上与点A 距离最近的整点是______。
2．在△ABC 中，,26+=AB ∠ACB=30°则AC+BC 的最大值是______。
3．2005个实数200521,,x x x Λ满足++-+-Λ||||3221x x x x 1||||1200520052004=-+-x x x x 则||||||200521x x x +++Λ的最小值等于______。
2020年北京高一数学竞赛获奖
2020年北京高一数学竞赛获奖
2020年，我参加了在北京举办的高一数学竞赛，获得了一等奖。
一开始，一想到数学竞赛，我就头大如斗，觉得这件事很有挑战性，所以准备了大量题目来参加比赛。
比赛中，我遇到了许多难题，但没有服输，勤奋拼搏，不断调整自己的学习计划，最终解决了问题，取得了强劲的应答来推动我更进一步，证明我所拥有的实力。
一步一个脚印，每一步的走路都带着微笑，取得了一步一步的成绩，就像我带着千名山水，来到了最后的胜利彼岸。
令我刻骨铭心的是，当我最终受到了颁发的优异成绩时，伴随着喝彩和激荡欢呼，这一刻真的让我难以忘怀。
凭借努力和勤奋，我取得了令人振奋的成绩，也让自己的学习和生活充满动力与信念。
参加数学竞赛不仅是一次受益颇多的实践，也令我更加尊重自己、自豪感十足。
我会继续努力，找到一条适合自己的发展之路，让更多的短跑梦想成真。
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2020 年北京市高一数学竞赛（决赛）试题
一、填空题（每题 8 分）
1. 已知实函数满足，且，则
2. 等腰梯形的内切圆与腰的切点为，与的交点分别为和，
则的值等于
3. 四位数比它的各位数字的平方和大. 在所有这样的四位数中最大的一个是
4. 已知点在内部，且. 记的面积为，
的面积为，则
5. 有个不同的质数满足是质数，且都是完全平方数，那么
二、（15分）面积为的正方形位置如图所示，求证：
三、（15分）存在个不是整数的有理数，它们中任意两个的乘积都是整数吗？如果存在，请给出例证；如果不存在，请说明理由.
四、（15分）如图，已知为等腰底边上任一点，分别为的内切圆，为中点，求证
五、（15分）将集合划分为两个子集和，使得
，且与的元素中至少有一种排列组成的正整数满足，则称
与为集合的一个 “ 两倍型 2 划分 ”.
（1）写出集合的所有 “ 两倍型 2 划分 ”，并给出理由.
（2）写出集合的每个 “ 两倍型 2 划分 ” 对应的所有可能的。