第七章__地下水运动中的若干专门问题

第七章 地下水运动中的若干专门问题§1 非饱和带的地下水运动一、关于非饱和带水分的基本知识1. 含水率，饱和度和田间持水量包气带中的空隙，一部分被水充填，另一部分被空气充填。

含水率(θ)：表示单位积中水所占的体积， 式中：（V w ）0——典型单元体中水的体积；V 0——典型单元体的体积饱和度：岩石的空隙空间中被水占据部分所占的比例。

式中：（V 0）0——典型单元体中的空隙体积含水率与饱和度的关系：θ=nS w式中：n ——孔隙度。

田间持水量：在长时间重力排水后仍然保留在土中的水量。

2. 毛管压力毛管压强：在多孔介质的孔隙中，液体和气体接触是，二者存在压力差，这个压力差称毛管压强。

用p c 表示p c =p a -p w式中：p a ——空气的压强；p w ——水的压强毛管压强取决于界面的曲率，曲率愈大（液面愈弯曲，毛管压强愈大。

以上毛管压强是以绝对压强为基准，如果以相对压强为基准，这时有：p c =p a -p w –p a∴ p c =-p w 毛管压强相对大气压强为负值。

即，非饱和带孔隙中的水处于小于大气压强的情况下。

非饱和带水流中任何点的水头 式中：z ——位置水头；h c =p c /r ——毛管压力水头； ∴ H=z-h c3土壤水分特征的曲线()()000V V S w w =()0V V w =θrp z r p z H c w -=+=水分特征曲线：反映毛管压力水头（或毛管压强）和土壤含水率或饱和度关系的曲线。

如图：随着含水率的减少，毛管压力增加，当含水率减小到某一值时，压强继续增大时，含水率不在减小。

相应的饱和度为：影响特征曲线的因素：（1）不同质地的土壤，其水分特征曲线不同。

一般说，土壤的粘粒含量愈高。

同一负压条件下土壤的含水率愈大，或者同一含水率下其负压愈高。

这是因为，粘粒含量增多。

使土壤中细小孔隙发育的缘故。

（2）土壤结构。

如图，为一砂壤土不同干容重的水分特征曲线，在同一负压下，土壤愈密实，（大），相应的含水率一般也大。

原因，土壤愈密实，大孔隙数量减少，中孔隙增多。

（3）温度的影响。

温度升高，水的粘滞性下降，所以表面张力降低，在同样的负压下，含水率要低一些。

（4）土壤水分变化过程的影响。

对于同一土壤，土壤脱湿（由湿变干）过程测得的水分特征曲线不同，如图，在相同的负压下，排水（脱湿）时的含水率要大于吸湿时的含水率。

这种现象称为滞后现象。

（5）容水度：毛管压力水头变化一个单位时，从单位体积土中释放出的水体积。

数值上等于，水分特征曲线的斜率的负倒数。

它是含水率和毛管压强的函数，可用或表示。

二、非饱和带水运动的基本方程非饱和带地下水的运动，也可以用达西定律描述，这时的渗透系数是变化的，与含水率和毛细压力水头有关，是和的函数，其关系如图，随着含水率的增大，渗透系数增大，随毛管压力水头的减小，渗透系数增大。

在非饱和带中，定律的表达式为：在三个坐标轴的分量为： 2 基本微分方程第一章推的渗流连续性方程，如下：在饱水带中，全部孔隙被水充满，等式右端用孔隙度，在非饱和带中，部分孔隙被水充满，所以用含水率取代，并两边除（近似为常数），得：nS w 00θ=dh d C θ-=()()Jh K v JK v c ⋅=⋅=或θ()()()()()()z Hh K v z HK v y Hh K v y HK v x H h K v x H K v c z z c y y c x x ∂∂-=∂∂-=∂∂-=∂∂-=∂∂-=∂∂-=θθθ或()()()[]z y x n t z y x z v y v xv z y x ∆∆∆∂∂=∆∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-ρρρρ将v x 、v y 、v z 代入上式，得：二式为非饱和流的基本方程3 基本方程的几种形式（1）以含水率为因变量的表达式将H 换成θ，将H=z-h c 代入上（1）式，得：上式进一步变换定义K （θ）/C （θ）=D （θ）为扩散系数，得：对于垂向一维流动，去掉前两项，得：轴向上取正值，轴向下取负值。

（2）以毛管压力水头为因变量得表达式： 将H=z-h c 代入（2）式，得： 代入上式：对于垂向一维流动，去掉前两项，得：轴向上取正值，轴向下取负值。

t z v y v x v z y x ∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-θ()()()()()())2()1(t z H h K z y H h K y x H h K x t z H K z y H K y x H K x c c c ∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂θθθθθ()()()()t z K z h K z y h K y x h K x c c c ∂∂=∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂-θθθθθ()()()()t z K x h K z x h K y x h K x c c c ∂∂=∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂-θθθθθθθθθθθ()()()()()()()tz K x C K z x C K y x C K x ∂∂=∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂θθθθθθθθθθθ()()()()tz K x D z x D y x D x ∂∂=∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂θθθθθθθθ()()t z K x D z ∂∂=∂∂±⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂θθθθ()()()()t z h K z h h K z y h h K y x h h K x c c c c c c c ∂∂=∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂-θ()th h C t h h t c c cc ∂∂-=∂∂⋅∂∂=∂∂θθ()()()()()t h h C z h K z h h K z y h h K y x h h K x c c c c c c c c c ∂∂=∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂()()()t h h C z h K z h h K z c cc c c ∂∂=∂∂±⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂§2 水动力弥散理论用来模拟地下水中污染物和化学成分得运移过程，预测地下水污染得发展趋势。

一 水动力弥散现象及其机理例1. 在一口井中注入一种示踪剂，示踪剂在随地下水向前流动得过程中，向外围扩散，形成一个以中心点浓度最大，向四周浓度逐渐减小的过渡带，并且随示踪剂迁移的距离增大，过渡带也越来越宽。

如图（书中）例2. 在均匀流的砂柱中，用含有示踪剂浓度为的水去替代，在砂柱另一端测量示踪剂浓度，得曲线如图（书）。

水在流动过程中并非一个突变界面，而是一个过液带。

这种现象称水动力弥散。

水动力弥散是机械弥散和分子扩散所引起的。

1 机械弥散液体在多孔介质中运动的三种情况：（1）由于液体粘性的作用和结合水的摩擦阻力，使得靠近孔隙壁的水流速度趋于零。

孔隙中心部位流速最大。

孔隙大小不一，造成不同孔隙之间沿轴部的最大流速有差异； （1）由于空隙的弯弯曲曲，水流方向也随之不断地改变。

由于上述三种情况，造成了地下水质点运动速度，在大小和方向上的不均一，造成了示踪剂有的运动快，有的运动慢，从而形成了上述过渡带。

这种由于速度不均一所造成的这种物质运移现象称为机械弥散。

2 分子扩散一般溶质都有由浓度高向浓度低的地方运移的性质，以求浓度趋于均一。

这种由于液体中所含溶质的浓度不均一而引起的物质运移现象叫分子扩散。

分子扩散服从定律式中：I s ——单位时间内通过单位面积的溶质的质量；dc/ds ——溶质在溶液中的浓度c 沿s 方向变化的浓度梯度； D d —扩散系数。

机械弥散和分子扩散是同时出现的，当流速较大时，机械弥散是主要的；当流速甚小时，分子扩散的作用就变得明显。

水动力弥散还分为沿水流方向和垂直与水流方向的弥散，沿水流方向的弥散称纵向弥散，垂直水流方向的弥散称横向弥散。

二 水动力弥散系数分子扩散服从定律：式中：D ″——为分子扩散系数；I ″——为由于分子扩散在单位时间内通过单位面积的溶质质量。

机械弥散也服从定律：式中：D ′——为机械扩散系数；I ′——为由于机械扩散在单位时间内通过单位面积的溶质质量。

由于水动力弥散是分子弥散和机械扩散共同作用的，定义水动力弥散系数：dsdc D I ds -=dsdc D I ''-=''dsdc D I '-='水动力弥散定律如下：式中：I ——单位时间内通过面积的溶质质量；D ——水动力弥散系数；Dc/ds ——浓度梯度。

如果我们取方向与流速方向一致，轴和轴与流速方向垂直，上式可用下式表示：三 对流弥散方程及其定解条件如图，以渗流区内任一点为中心，取一无限小的六面体单元，各边长为Δx 、Δy 、Δz ，选择x 轴与P 点处的平均流速方向一致。

（即纵向弥散方向为轴方向）在对流弥散问题中，包括两个子问题：其一，溶质随地下水的流动或流出单元体；其二，溶质通过自身的弥散流入或流出单元体。

水动力弥散引起的物质运移：设，沿轴方向溶质的质量变化率为dI x /dx ，如果假设I x 为在abcd 面上，单位时间内通过单位面积溶质的质量，那么，时间内通过面流入单元体的溶质质量为：I x nΔyΔzΔt因为沿轴方向溶质的质量变化率为dI x /dx ，所经距离Δx 后，变化了（dI x /dx ）Δx ，所以，Δt 时间内，通过a ′b ′c ′d ′面流出单元体的溶质质量为：所以，沿x 轴方向流入与流出单元体的溶质质量差为：同理，沿y 轴方向和z 轴方向流入与流出单元体的溶质质量差为：所以，通过弥散单元体内溶质质量的变化为：随地下水流的物质运移：设沿x 轴方向，在abcd 面地下水的流速为v x ，则单位时间通过abcd 面单位面积流入单元体的水量为v x ×1×1，流入的溶质质量为v x ×c ：（为溶质的浓度），那么，在Δt 时间内流入abcd 面溶质量为：v x cΔyΔzΔtD D D ''+'=dsdcDI -=dz dcD I dy dcD I dx dc D I zzz yyy xxx -=-=-=tz y n x x I I x x ∆∆∆⎪⎭⎫⎝⎛∆∂∂+t z y x n xI x∆∆∆∆∂∂-t z y x n zItz y x n y I z y∆∆∆∆∂∂-∆∆∆∆∂∂-t z y x n z I y I x I z y x ∆∆∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-设沿方向，通过单位面积溶质质量的变化率为： 经Δx 距离的变化量为：在a ′b ′c ′d ′面，单位时间单位面积流出单元体的溶质质量为：在Δt 时间内流出面的溶质质量为：所以，沿轴方向流入与流出单元体的溶质的质量差为：同理，沿轴和轴方向流入与流出单元体的溶质质量差为：所以，随地下水流流入与流出单元体的溶质质量差为： Δt 时间内，流入和流出单元体总的溶质质量差为：另外，设单元体内溶质浓度随时间的变化率为dc/dt ，那么，Δt 时间内单元体内体积溶质浓度变化量为：()x c v x ∂∂()x xc v x ∆∂∂()x xc v c v x x ∆∂∂+()t z y x x c v c v x x ∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂+()t z y x x c v x ∆∆∆∆∂∂-()()t z y x zc v t z y x y c v z y ∆∆∆∆∂∂-∆∆∆∆∂∂-()()()tz y x z c v y c v xc v z y x ∆∆∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-()()()t z y x z c v y c v x c v z I y I x I n z y x z y x ∆∆∆∆⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-所以，Δt 时间内单元体内溶质质量变化量为：上述二量应相等，并消去Δx Δy Δz Δt ，得： 代入上式，并两边同除以，则得： 式中，u ——实际流速。