2.2.2椭圆的简单几何性质
2.2.2椭圆的几何性质
x2 y2 2 1 2 a b
a b 0
y2 x2 2 1( a b 0 ) 2 a b
|x| a |y| b
|x| b
|y| a
对称性
焦 点
关于x轴、y轴、原点对称 (c,0)、(c,0) (0,c)、(0,c) (b,0)、(0,a)
顶 点
离心率
|x| a |y| b
|x| b
|y| a
对称性
焦 点
关于x轴、y轴、原点对称 (c,0)、(c,0) (0,c)、(0,c) (b,0)、(0,a)
顶 点
离心率
(a,0)、(0,b)
c e= ( 0 < e < 1 ) a
作业:
• 课本P49A组4、5。
• 课下书练、…
一个框，四个点， y
B2(0,b)
注意光滑和圆扁,
莫忘对称要体现．
A1 (-a, 0)
A2 (a, 0)
Ｏ
x
练习：课本P48 练习1、2 练习2：课本P48 练习3、4
B1(0,-b)
【
图 形
】椭圆的几何性质
B2 y A1 F1 O B1 F2 A2 x
B1 A2 F2 B2 y
O
F1
A1
x
方 程 范 围
基本量：a，b，c，e（共四个量）.
基本点：四个顶点、两个焦点（共六个点）.
练习.求下列各椭圆的长轴长和短轴长，离心率， 焦点坐标，顶点坐标．
x 4y 16. （１） （２） 9x 2 y 2 81. x2 y2 【解析】 （1）已知方程化为标准方程为 + = 1，
2 2
故可得长轴长为8，短轴长为4，离心率为 3 ，
椭圆的简单几何性质
2.2 椭圆2.2.2椭圆的简单几何性质 第一课时 椭圆的简单几何性质【学习目标】1、理解椭圆的范围、对称性、顶点、长轴长及短轴长；2、掌握椭圆的离心率及c b a ,,的几何意义。
【重难点】重点：椭圆的简单几何性质 难点：求椭圆的离心率 【学习过程】复习引入：1、椭圆的定义我们把平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点21,F F 叫做椭圆的焦点，两焦点21,F F 间的距离||21F F 叫做椭圆的焦距。
2、椭圆的标准方程焦点在x 轴上：12222=+b y a x )0(>>b a 焦点在y 轴上：12222=+ay b x )0(>>b a3、重要结论：222c b a +=知识点一：椭圆的简单几何性质 1、范围由图形及椭圆的标准方程12222=+b y a x 可知，122≤a x 且122≤by ，即⎩⎨⎧≤≤-≤≤-by b ax a 故椭圆12222=+by a x 位于直线a x ±=和b y ±=所形成的矩形框里。
2、对称性观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。
在椭圆12222=+by a x 中，用y -代替y ，方程不变，所以椭圆关于x 轴对称；用x -代替x ，方程不变，所以椭圆关于y 轴对称；用x -代替x ，用y -代替y ，方程不变，所以椭圆关于原点对称。
结论：椭圆关于x 轴和y 轴都对称，所以x 轴、y 轴叫做椭圆的对称轴；对称轴的交点原点，叫做椭圆的对称中心。
3、顶点椭圆与对称轴的交点，叫做椭圆的顶点。
显然12222=+by a x 有四个顶点，其中在x 轴上有)0,(),0,(21a A a A -，在y 轴上有),0(),,0(21b B b B -。
线段2121,B B A A 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别和a 2和b 2，b a ,分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
2.2.2椭圆的几何性质详解
例3 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且椭 圆过点(-2，-4) ，求椭圆的标准方程。
解： 2a 2 2b a 2b
2 y 当焦点在 x轴上时，设椭圆方程为 x 2 2 1 ， 4b b 椭圆过点(2 ， 4) 2
小结一：基本元素
（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量） （2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线） 请考虑：基本量之间、 基本点之间、基本线之 间以及它们相互之间的 关系（位置、数量之间 的关系） y B1(0,b)
A1
o B2(0,-b)
A2 x
方 程
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
⑵求下列椭圆的长轴长、短轴长、 离心率、焦点和顶点坐标
①x2＋4y2＝16； 长轴长2a=8,短轴长2b=4,
3 e , F1 (2 3,0), F2 (2 3,0) 2
顶点A1(－4,0),A2(4,0),B1(0,-2),B2(0,2)
② 9x2＋y2＝81 长轴长2a=18,短轴长2b=6,
[2]离心率对椭圆形状的影响： e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆 就越扁;
e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆 就越圆. 思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲线又是 什么？
c [3]e与a,b的关系: e a
a b b 1 a a
2 2 2
y
O
x
保持长半轴长a不变, 改变椭圆的半焦距c,
图2.2 10
c = 1.50 a = 1.81 c = 0.83 a
2.2.2 椭圆的简单几何性质 2
2
20 ，离心率是
3 5
，
a 10 3 5 c
2
c a
2
c 6 10
2
a
6
2
8
2
2 2
b 8
当焦点在 x 轴时，椭圆的标准方程是
x
y
1
当焦点在 y 轴时，椭圆的标准方程是
100 2 y
64 2 x
1
100
64
焦点坐标
半轴长 离心率
a, b, c 的关系
( c , 0 )、( c , 0 )
长半轴长为 短半轴长为
e c a
( 0 , c )、( 0 , c )
同左 同左 同左
a, b, (a b 0)
( 0 e 1)
a2=b2+c2
练习6.已知椭圆方程为 6 x y 6 则
y b
2 2
1( a b 0 )
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 如何从方程来分析这些对称性呢？ （1）把y换成-y方程不变，椭圆关于x轴对称； （2）把x换成-x方程不变，椭圆关于y轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变， 椭圆 关于原点成中心对称。
P 2 ( x, y)
*顶点：椭圆与它的对称轴的 四个交点，叫做椭圆的顶点。 这四个顶点的坐标是什么？
A1 ( a , 0 )、A B 1 ( 0 , b )、B
2 2
y
B2
A1
b
a
A2
( a ,0 ) (0, b )
o
B1
c
x
*长轴、短轴：线段A1A2、
2.2.2椭圆的简单几何性质
知识巩固 1. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构 成一个正三角形，则该椭圆的离心率 是
3 2
.
书本47页例6
新知探究 1.对于椭圆的原始方程,
(x + c) + y + (x - c) + y = 2a
2 2 2 2
变形后得到 a - cx = a (x - c) + y ,
（x-c）+ y
2 2
A1(-a,0)
F1
o
︱
F2
A2(a,0)x
B2(0,-b)
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
长轴长：2a，短轴长：2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
3.对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
②当c=-25时直线m’与椭圆的交点P’到直线l的距离最大， 40 25 65 41 9 此时 P(4,- ), d最大 5 41 42 52 9 15 41 所以，椭圆上点 P(-4, )到直线l的最小距离为 ， 5 41 9 65 41 点P(4,- )到直线l的最大距离为 . 5 41
(3)已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一 点，且 AF1 AF2 0，∠AF2F1＝60°,求该椭圆的离 心率．
题型四：直线与椭圆的位置关系
例1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆 有公共点时，求实数m的取值范围．
老师你双11怎么过~
2 y2 x 练1.已知椭圆C： 1及直线L:y＝2x＋m.求当m取 4 2
一.复习
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a （2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.
§2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)
>0 =0 <0
解：联立方程组 x ⋅ x = − 1 1 1 2 5 y = x − 消去 消去y 2 2 5x − 4x −1 = 0 ----- (1) x2+4y2=2 有两个根， 因为 ∆=36>0，所以方程（１）有两个根， ，所以方程（ 则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交. 则原方程组有两组解 所以该直线与椭圆相交
42 + 52 尝试遇到困难怎么办? 尝试遇到困难怎么办?
及椭圆, 作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考 观察图形,数形结合思考.
d=
4 x0 − 5 y0 + 40
=
4 x0 − 5 y0 + 40 41
且
x0 2 25
+
y0 2 9
=1
几何画板显示图形 几何画板显示图形
x2 y2 3.已知椭圆 例 3.已知椭圆 + = 1 ,直线 l: 4 x − 5 y + 40 = 0 ,椭圆 : 25 9 上是否存在一点, 的距离最小?最小距离是多少? 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少? 解:设直线 m 平行于直线 l，则 m l 直线 m 的方程可写成 4 x − 5 y + k = 0
1 已知直线y=x- 与椭圆 2+4y2=2，判断它们4 与椭圆x 例2.已知直线 已知直线 ， x1 + x2 = 2 5 由韦达定理 的位置关系。 的位置关系。
1 1 7 变式1：交点坐标是什么？ 变式 ：交点坐标是什么？ A(1, ), B(− , − ) 2 5 10 6 变式2：相交所得的弦的弦长是多少？ 变式 ：相交所得的弦的弦长是多少？ | AB |= 5 5
2.2.2椭圆的简单几何性质课件人教新课标2
即2x+3y-12=0，选B.
(2)①设椭圆C的长半轴长为a(a>0)，短半轴长为b(b>0)，
则2b=4，由 a2 b2 3，
a
2
解得a=4，b=2.
因为椭圆C的对称轴为坐标轴，
所以椭圆C的方程为 x2 y2 1 或 y2 x2 1.
16 4
16 4
②设直线l的方程为y=x+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
3
3
从而y中=x中+1= 2 1 1，
33
所以中点坐标为 ( 2 , 1).
33
【补偿训练】椭圆x2+4y2=16被直线 y 1 x 1 截得的弦长为
2
____________.
x2 4y2 16,
【解析】由
y
1 x 1, 2
消去y并化简得x2+2x-6=0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
1.
12
4
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).
所以|AM|=|AN|，所以A在线段MN的垂直平分线上，
把M(x1，y1)，N(x2，y2)分别代入椭圆C：1x22
y2 4
1
得：
x12 y12 1,
①
12 4
x22
y
2 2
1,
②
12 4
用①减去②得：x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 ,
类型二 弦长及中点弦问题
【典例2】
(1)椭圆4x2+9y2=144内一点P(3，2)，过点P的弦恰好以P为中
点，那么这弦所在的直线方程为( )
A.3x+2y-12=0
2.2.2椭圆简单几何性质(最全)
y
x2 +y2 =1(a>b>0) a2 b2
令x=0,得y=？说明椭圆 A1(-a,0)
B1(0,b)
o
A2(a,0x)
与y轴的交点为(0,b)、(0,-b)
B2(0,-b)
令y=0,得x=？说明椭圆
与x轴的交点为(a,0)、(-a,0)
三、椭圆的顶点
y
B1(0,b)
长轴、短轴：线段A1A2、
B1B2分别叫做椭圆的长 轴和短轴。
(A) x2 4y
(B) x22xyy0
(C) x2 4y2 5x
(D) 9x2 y2 4
2、椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 e 2 ，长轴长为6， 3
则椭圆的方程 为（ C ）
(A)
x2 y2 1
36 20
(B)
x2 y2 1
95
(C)
x2 y2 1 或 95
y2 x2 1
95
(D)
y2 x2 1 或
x2 y2 1
36 20
36 20
28
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴
长的2倍的椭圆的标准方程.
解： 若焦点在x轴上，设椭圆方程为:
x2 +y2 =1(a>b>0)， a2 b2
依题意有：
a 1
6
2b 1
a 2 b 2
1
得 ：a b
2 5 5
故 椭 圆 方 程 为:x2 +y2 =1. 20 5
8
练习：1.已知点P(3，6)在
x2 a2
y2 b2
1
上,则(
)
(A) 点(-3,-6)不在椭圆上
(B) 点(3,-6)不在椭圆上
2.2.2椭圆的简单几何性质(3)直线与椭圆的位置关系
题型三：中点弦问题
例1、已知椭圆 x2 y2 1过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 16 4
平分，求此弦所在直线的方程.
点 作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
例2、如图，已知椭圆 ax2 by2 1 与直线x+y-1=0交
于A、B两点，AB 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的
斜率是 2 ，试求a、b的值。
2
解:ax2 by2 1
y
消y得:(a b)x2 2bx b 1 0
x y 1 0
A
=4b2 -4(a b)(b 1) 0 ab a b 设A(x1, y1), B(x2 , y2 )
M
o
x
B
x1
x2
2b ab
0)
y x1
由
x2 2
y2
1
消去
3x2 4x 0
y 并化简整理得
∴ x1 x2
4 3
,
x1 x2
0
∴ AB
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2( x1 x2 )2
2
( x1
x2
)2
4 x1 x2
=
4 3
2
∵点 F1 到直线 AB 的距离 d
18
9
x1 x2
7
, x1 x2
14
弦长
1 k2
(x1 x2 )2
4x1 x2
6
11 7
练习： 已知椭圆5x2+9y2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ45，椭圆的右焦点为F，
《椭圆的简单几何性质》教学设计
椭圆的简单几何性质（1）教学设计杨华燕大附中2.2.2椭圆的简单几何性质（1）教学设计一、教学任务及对象1、教学内容分析《椭圆的简单几何性质》是选修2-1第二章第二节的内容，本节内容是在学生已经学过曲线与方程和椭圆的概念及其标准方程基础上引入的，是利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，它是由方程研究曲线的性质的一个应用，也是为后面学习利用双曲线、抛物线的标准方程研究其几何性质做铺垫，因此本节课起到承前启后的作用。
2、教学对象分析本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了椭圆的标准方程，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
二、教学目标依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：1、知识与技能：使学生掌握椭圆的几何性质，初步学会运用椭圆的几何性质解决问题，进一步体会数形结合的思想。
2、过程与方法：通过数和形两条线研究椭圆的几何性质，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数形结合的思想方法；对椭圆的几何性质的归纳、总结时培养学生抽象概括能力；进一步强化数形结合思想。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。
三、重、难点分析重点：椭圆的简单几何性质难点：培养数形结合思想四、教学策略为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略：1．教法分析为了充分调动学生学习的积极性，采用“生本课堂”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成了方法.另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣.2．学法分析本节课通过探究椭圆的几何性质，让学生体会数形结合思想，加深对解析几何的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．五、教学过程本节课中应把更多的时间、机会留给学生，让学生充分的交流、探究，积极引导学生动手操作、动脑思考。
原创1：2.2.2 椭圆的简单几何性质
+
2
64
= 1.
跟踪训练
y
(2)由已知：a=2c，a-c= 3
a
解得：a=2 3，c= 3
∴b2=a2-c2=9
∴椭圆的方程为
2
12
+
O
2
9
=
2
1或
9
2
+
12
a-c
=1.
x
典例分析
如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，
A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，
9
= 1.
跟踪训练
求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
1
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为 ，
2
焦距为8.
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点
到同侧顶点的距离为 3.
解:(1)由题意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝
=
1
，∴a＝8，
2
从而b2＝a2－c2＝48，
2
∴椭圆的标准方程是
+
=
+
=
y
O
x
椭圆中的弦的中点满足此性质吗？
y
O
B(x2, y2)
y=kx+m
A(x1, y1)
x
+ +( +)
( + )
=
+
=
y=kx+m
b2x2+a2y2-a2b2=0
典例分析
2
已知椭圆
16
2
4
2.2.2 椭圆的简单几何性质
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究本例中若把椭圆方程改为“9x2+16y2=1”,求其长轴长、
短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
解由已知得椭圆标准方程为
������2
1
+
������2
1
=1,
9 16
于是 a=13,b=14,c=
1 9
-
1 16
=
127.
∴长轴长 2a=23,短轴长 2b=12,
|PF1|=2m,|F1F2|=
3m,故离心率
e=������������
=
2������ 2������
=
|������1������2| |������������1|+|������������2|
=
3������ 2������+������
=
33.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.利用方程研究曲线对称性的方法如下: (1)若把曲线方程中的x换成-x,方程不变,则曲线关于y轴对称; (2)若把曲线方程中的y换成-y,方程不变,则曲线关于x轴对称; (3)若同时把曲线方程中的x换成-x,y换成-y,方程不变,则曲线关于 原点对称.
3.因为离心率 e=������������ =
所以 b=2.因为 2a=2×2b,所以 a=4.
所以方程为������2
16
+
���4���2=1.
综上所述,椭圆的标准方程为���4���2+y2=1
或������2
16
+
���4���2=1.
探究一
探究二
2.2.2椭圆的简单几何性质
(b,0)、(0,a)
(0<e<1)
离心率
例题精析 例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、 离心率、焦点和顶点坐标并画出简图．
解：把已知方程化成标准方程 这里， 5 , b 4 , c a 离心率 e
c a 3 5 0 .6
x 5
2 2
y 4
2 2
B1(0,-b)
③焦点必在长轴上；
小试身手：
2
2.说出 9 1 6 1 下列椭圆的范围,长轴 长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
x
y
2
3 x 3, 4 y 4
2a 8, 2b 6
(0,
7)
(0, 4), (3, 0)
椭圆的焦距与长轴长的比e
∵a>c>0， ∴0 < e <1.
当e b c a a
2
椭圆的简单几何性质 4.离心率： c
a
叫做椭圆的离心率.
1, c a , c
2
0 , 椭圆 扁
当e b
c a a
2
0, c 0, c
2
a , 椭圆 圆
离心率越大，椭圆越扁 当且仅当a=b时，c=0，这时两个 焦点重合，图形变为圆． 离心率越小，椭圆越圆
y a
2 2
x
x b
2 2
1( a b 0 )
焦点为 F1(－c，0)、F2(c，0)
焦点为 F1(0 ,－c)、F2(0，c)
椭圆的简单几何性质
1.范围
x a
2 2
x a
2 2
y b
第2章2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
例 2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的 椭圆方程．
(1)焦点在 x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直， 且半焦距为 6；
(2)与椭圆x92＋y42＝1 有相同的焦点，且离心率 e＝ 55； (3)以直线 3x＋4y－12＝0 与两坐标轴的交点分别作为顶点 和焦点．
第25页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
互动 2 (1)ba与bc的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什 么？
(2)你能运用三角函数的知识解释，为什么 e＝ca越大，椭圆 越扁？e＝ac越小，椭圆越圆？
第26页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 (1)都能．由ba＝ a2－a2 c2＝ 1－e2(0<e<1)可知， 当 e 越趋近于 1 时，ba越趋近于 0，椭圆越扁；当 e 越趋近于 0 时， ba越趋近于 1，椭圆越接近于圆．当且仅当 a＝b 时，c＝0，两焦 点重合，图形变为圆，方程为 x2＋y2＝a2.
【解析】 把已知方程化成标准方程为2y52 ＋x2＝1. 这里 a＝5，b＝1，所以 c＝ 25－1＝2 6. 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 2a＝10 和 2b＝2，两个焦 点分别是 F1(0，－2 6)，F2(0，2 6)，椭圆的四个顶点是 A1(0，－ 5)，A2(0，5)，B1(－1，0)和 B2(1，0)．
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 (1)将椭圆方程 4x2＋9y2＝36 化为标准方程x92＋y42
＝1，则 a2＝9，b2＝4，所以 a＝3，c＝ a2－b2＝ 5，故离心率 e ＝ 35；椭圆2x52＋2y02 ＝1 中，a2＝25，b2＝20，则 a＝5，c＝ a2－b2
高中数学选修1-1人教A版：2.2.2椭圆的简单几何性质
弦长公式：
| AB |
1 k 2 | xA xB |
1
1 k2
|
yA
yB
|
高中数学选修1-1人教A版：2.2.2椭圆 的简单 几何性 质
高中数学选修1-1人教A版：2.2.2椭圆 的简单 几何性 质
2弦长公式
例：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
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通法
高中数学选修1-1人教A版：2.2.2椭圆 的简单 几何性 质
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直线与椭圆的位置关系
种类: 相相离切交((没一二有个个交交点点)) 相离(没有交点)
相切(一个交点)
高中数学选修1-1人教A版：2.2.2椭圆 的简单 几何性 质
相交(二个交点)
一.复习 1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a （2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.
Y
M
F1
0
F2
特别注意: 当2a>|F1F2|时,轨迹是椭圆;
X
当2a=|F1F2|时,轨迹是线段F1F2; 当2a<|F1F2|时,轨迹不存在.
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y
最小距离是多少？
解得k1=25，k2 =-25
由图可知k 25，
x
直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 o
且d 40 25 15 41 42 52 41
思考：最大的距离是多少？
高中数学选修1-1人教A版：2.2.2椭圆 的简单 几何性 质
2.2.2椭圆的简单几何性质(优秀经典公开课比赛课件)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
A2 y
F2
B2
B1 O x
F1
A1
|x|≤b, |y| ≤ a
关于两轴即原点对称
(±b,0), (0,±a) 长轴2a, 短轴2b
F1(0,-c),F2(0,c) 2c
e=c/a, 0<e<1
例1、如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋 转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面） 的一部分。过对称轴的截口ABC是椭圆的一部分， 灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个 焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过 旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2。已知 ACF1F2，|F1A|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm,求截口 ABC所在椭圆的方程。 y
关于两轴即原点对称
(±b,0), (0,±a) 长轴2a, 短轴2b
F1(0,-c),F2(0,c) 2c
e=c/a, 0<e<1
三、小结作业
本节重点： 1、范围； 2、对称性； 3、顶点、长半轴长、短半轴长、半焦距； 4、离心率； 5、已知两点求椭圆的标准方程； 作业： P49 3、4、5 B组3
离心率为0.6 ；
焦点坐标为(-3,0),(3,0)
Y
顶点坐标为
(-5,0)，(5,0)， (0,4)，(0,-4)
O
X
例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点(-3,0)、(0,-2); (2)长轴的长等于20,离心率等于0.6
（1）解：易知a=3，b=2 又因为长轴在x轴上,
所以椭圆的标准方程为 x2 y2 1 94
O
椭圆的简单几何性质
通径、焦点三角形面积公式
(3)如图所示椭圆中的△OF2B2 找出 a，b，c，
e 对应的线段或量为
a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，
e＝ac＝||FO2FB22||＝cos∠OF2B2.
A1
θ
A2
(4)若椭圆的标准方程为ax22＋yb22＝1(a>b>0)，则椭圆与 x 轴的交点
r1 r2 12cbo2sθ.
SΔF1PF2
1 2
PF1
PF2
sinθ
1 2
r1r2
sinθ
1 2
2b2
sinθ 1 cosθ
b2
θ
tan . 2
所以，焦点三角形面积公式是：
SΔF1PF2
b2
θ
tan . 2
椭圆的性质：
焦点的位置
焦点在x轴上
范围
__－__a_≤_x_≤_a__ __且__－__b_≤_y≤_b___
顶点
_A_1_(_－__a_，__0_)、__A__2(_a_，__0_) _B_1_(_0_，__－__b_)、__B__2(_0_，__b_)
焦点在y轴上 __－__b_≤_x_≤_b__ __且__－__a_≤_y≤_a___
_A_1_(_0_，__－__a_)、__A__2(_0_，__a_) _B_1_(_－__b_，__0_)、__B__2(_b_，__0_)
2.2.2 椭圆的简单几何性质
一、新课引入： 椭圆的几何性质：
定义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
图形
第二章 2.2.2 第1课时 椭圆的几何性质
2．2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的几何性质学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．知识点一椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±a2－b2，0)(0，±a2－b2) 焦距|F1F2|＝2a2－b2对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点离心率e＝ca∈(0,1) 知识点二离心率对椭圆扁圆程度的影响如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝ca，记e＝ca，则0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越圆．1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是a .( × )2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.( × )4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF |的最大值为a ＋c (c 为椭圆的半焦距)．( √ )一、椭圆的简单几何性质例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解 由已知得x 21m 2＋y 214m 2＝1(m >0)，因为0<m 2<4m 2，所以1m 2>14m2，所以椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距c ＝32m，所以椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m ， 离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.反思感悟 从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质．跟踪训练1 已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C 2的方程．解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1.二、由几何性质求椭圆的标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)短轴长25，离心率e ＝23；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解 (1)由2b ＝25，e ＝c a ＝23，得b 2＝5，a 2－b 2a 2＝49，a 2＝9.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 29＋x 25＝1.综上，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或y 29＋x 25＝1.(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， 所以c ＝b ＝3， 所以a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.反思感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b ，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．跟踪训练2 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3； (2)离心率为32，经过点(2,0)． 解 (1)由题意知a ＝5，c ＝3，b 2＝25－9＝16， 焦点所在坐标轴可为x 轴，也可为y 轴， 故椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1.(2)由e ＝c a ＝32，设a ＝2k ，c ＝3k ，k >0，则b ＝k . 又经过的点(2,0)为其顶点，故若点(2,0)为长轴顶点，则a ＝2，b ＝1， 椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；若点(2,0)为短轴顶点，则b ＝2，a ＝4，椭圆的标准方程为x 24＋y 216＝1.三、求椭圆的离心率例3 (1)如图所示，A ，B ，C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52 B ．1－22 C.2－1 D.22答案 A解析 由(a ＋c )2＝a 2＋2b 2＋c 2， 又因为b 2＝a 2－c 2，所以c 2＋ac －a 2＝0. 因为e ＝ca，所以e 2＋e －1＝0，所以e ＝－1＋52.(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫22，1解析 由PF 1⊥PF 2，知△F 1PF 2是直角三角形， 所以|OP |＝c ≥b ，即c 2≥a 2－c 2，所以a ≤2c ， 因为e ＝c a ，0<e <1，所以22≤e <1.反思感悟 求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．跟踪训练3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66|F 1F 2|，求椭圆C 的离心率． 解 由题意知A (a ,0)，B (0，b )， 从而直线AB 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0， 又|F 1F 2|＝2c ，∴aba 2＋b 2＝63c . ∵b 2＝a 2－c 2，∴3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0， 解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍去)，∴e ＝22.椭圆几何性质的应用典例 神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d 1，最远距离为d 2，地球的半径为R ，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为( )A ．d 1＋d 2＋RB ．d 2－d 1＋2RC ．d 2＋d 1－2RD ．d 1＋d 2答案 D解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c ，两焦点分别为F 1，F 2，飞行中的航天员为点P ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧d 1＋R ＝a －c ，d 2＋R ＝a ＋c ，则2a ＝d 1＋d 2＋2R ，故传送神秘信号的最短距离为|PF 1|＋|PF 2|－2R ＝2a －2R ＝d 1＋d 2.[素养提升] 将太空中的轨迹与学过的椭圆建立起对应关系．利用椭圆的几何性质来解决航空航天问题，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．1．椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0,13)，(－10，0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13,0) B ．(0，±10) C ．(0，±13) D ．(0，±69)答案 D解析 由题意知，椭圆的焦点在y 轴上， 且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故选D.2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则椭圆C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 2＝1 答案 C解析 依题意知，所求椭圆的焦点位于x 轴上， 且c ＝1，e ＝c a ＝12，即a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此椭圆的方程是x 24＋y 23＝1.3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34D.64答案 A解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为椭圆的上顶点．依题意可知，△BF 1F 2是正三角形． ∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ， |BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12，故选A.4．椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为12，则k 的值为( )A ．4B ．－54C ．4或－54D ．不能确定答案 C解析 当k ＋8>9，即k >1时，e 2＝c 2a 2＝k ＋8－9k ＋8＝14，k ＝4.当0<k ＋8<9，即－8<k <1时， e 2＝c 2a 2＝9－k －89＝14，k ＝－54.5．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( ) A.12 B.14 C ．2 D ．4 答案 B解析 椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，短半轴长为1，长轴长是短轴长的2倍， 故1m ＝2，解得m ＝14.1．知识清单： (1)椭圆的几何性质． (2)求椭圆的离心率．2．方法归纳：定义法、数形结合、函数与方程．3．常见误区：忽略椭圆离心率的范围0<e <1及长轴长与a 的关系．1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.223 答案 C解析 ∵a 2＝4＋22＝8，∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.故选C.2．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( )A.2m －1m －1B.－2－m mC.2m mD ．－21－m m －1答案 C解析 椭圆方程可化简为x 211＋m ＋y 21m ＝1，由题意，知m >0，∴11＋m <1m，∴a ＝m m ，∴椭圆的长轴长2a ＝2mm.3．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1 答案 A解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意得c ＝25，a ＋b ＝10，又a 2＝b 2＋c 2， 解得a ＝6，b ＝4.则椭圆的方程为x 236＋y 216＝1.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9 答案 D解析 椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，由题意可知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，即有a ＝5，b ＝3.5．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8,6B ．4,3C ．2， 3D ．4,2 3答案 B解析 由题意知a ＝2，b ＝3，c ＝1，最长弦过两个焦点，长为2a ＝4，最短弦垂直于x 轴，长度为当x ＝c ＝1时，纵坐标的绝对值的2倍为3. 6．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围为________． 答案 (2,4] 解析 ∵e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2，b ＝1,0<e ≤32， ∴1－⎝⎛⎭⎫b a 2≤32，则1<a ≤2，∴2<2a ≤4， 即长轴长的取值范围是(2,4]．7．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为_____________． 答案 x 216＋y 28＝1解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝22，知c a ＝22，故b 2a 2＝12.由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝16，故a ＝4，∴b 2＝8，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.8．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 的椭圆的离心率为________． 答案 12解析 如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c 2a ＝48＝12. 9．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1(m >0)， ∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >m m ＋3. ∴a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1. ∴a ＝1，b ＝12，c ＝32. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0； 四个顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12. 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点M ⎝⎛⎭⎫43，13，求椭圆C 的离心率．解 2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝⎝⎛⎭⎫43＋12＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫43－12＋⎝⎛⎭⎫132＝2 2. 所以a ＝ 2. 又由已知c ＝1，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12＝22.11．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( ) A.12B.13C.14D.22答案 A 解析 由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝12. 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为( )A.22 B.32 C.3－12 D.5－12 答案 D解析 在Rt △ABF 中，AB ＝a 2＋b 2，BF ＝a ，AF ＝a ＋c ，由AB 2＋BF 2＝AF 2，得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2.将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52， 因为0<e <1，所以e ＝5－12. 13．若将一个椭圆绕中心旋转90°，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”．下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程是( ) A.x 28＋y 24＝1 B.x 23＋y 25＝1 C.x 26＋y 22＝1 D.x 26＋y 29＝1 答案 A解析 由题意，知当b ＝c 时，将一个椭圆绕中心旋转90°，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，该椭圆为“对偶椭圆”．选项中只有A 中b ＝c ＝2符合题意，故选A.14．如图，已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A.3－1B ．2－ 3 C.22 D.32答案 A解析 ∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ，∵|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝3c ，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴椭圆离心率e ＝21＋3＝3－1. 15．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________.答案 48解析 依题意知，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，|F 1F 2|＝2c ＝10.∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝100.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝100.即196－2|PF 1|·|PF 2|＝100.解得|PF 1|·|PF 2|＝48.16．在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________.答案 22 解析 如图，切线P A ，PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 是等腰直角三角形，a 2c＝2a . 解得e ＝c a ＝22， 则离心率e ＝22.17．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，32B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，1 答案 A解析 设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形． ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2. 离心率e ＝c a＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32， 故选A.18.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．解 (1)由∠F 1AB ＝90°及椭圆的对称性知b ＝c ，则e ＝c a ＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝22. (2)由已知a 2－b 2＝1，A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )， 则AF 2→＝(1，－b )，F 2B →＝(x －1，y )， 由AF 2→＝2F 2B →，即(1，－b )＝2(x －1，y )，解得x ＝32，y ＝－b 2，则94a 2＋b 24b 2＝1， 得a 2＝3，因此b 2＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.。
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离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e c
叫做椭圆的离心率。
a
[1]离心率的取值范围：0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响：
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭
圆就越扁
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，e c a
a2 b2 a2
3.椭圆中a,b,c的关系是:
c2=a2-b2
观察:椭圆
一、范围
x2 a2 1,
y2 b2
1得：
-a≤x≤a, -b≤y≤b 知 椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中
y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
a F2
B1
二、对称性
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
Y
关于y轴对称
P2（-x，y）
y B2(0,b)
*长轴、短轴：线段 A1A2、B1B2分别叫做椭
A1(a,0)
圆的长轴和短轴。
o
A2(a,0) x
a、b分别叫做椭圆的长 半轴长和短半轴长。
B1(0,-b)
问题：圆的形状都是相同的，而椭圆却有些
比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的 量来刻画椭圆“扁”的程度呢？
四、椭圆的离心率
∴当 x0 2 时, PF 取得最大值为1 2
例6．点 M x, y 与定点F 4, 0 的距离和它到直线 y
l : x 25 的距离的比是常数 4 ,求点M的轨迹 .
Md H
4
5
O
解.设d是点M到直线l : x 25的距离,根据题意,
Fx
点M的轨迹就是集合
P
4
M
| | MF d
|
k 8 9
2
x 解：当椭圆的焦点在 轴上时，
a2 k 8 ，b2 9 ，得 c2 k 1．
由
e
1 2
，得：k
4
当椭圆的焦点在 y 轴上时，
a2 9 ，b2 k 8 ，得c2 1 k ．
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
∴满足条件的
94
k 4 或k
5
4
．
4
巩固练习： x2 y2 1. 若点P（x，y）在椭圆 25 9 1
y
图形
方程 范围
y M
F1 M
F1 O
F2
x
O
x
F2
x2 a2
y2 b2
1
a b 0
x2 b2
y2 a2
1
a b 0
-a x a， -b y b -b x b ，-a y a
对称性 焦点 顶点 离心率
关于x轴、y轴、原点对称
(c,0)、(c,0)
(0,c)、(0,c)
(a,0)、(0,b)
e
1
b2 a2
小结一：基本元素
1.基本量：a、b、c、e、（共四个量）
2.基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）
3.基本线：对称轴（共两条线）
请考虑：基本量之间、
基本点之间、基本线之
间以及它们相互之间的 关系（位置、数量之间
A1
的关系）
y B2(0,b)
o
A2 x
B1(0,-b)
一定个框义，四个点|M，F1注|+|意M光F2滑|=2和a 圆(2a扁>|，F1莫F2忘|) 对称要体现
例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长等于20，离心率等于 3．
5
（2）经过点P(-3,0)、Q(0,-2)； （3）长轴长是短轴长的3倍,且过（3，0）
变式：长轴是短轴的3倍,且过（3，-1）
专题:
求椭圆的离心率
例1.已知椭圆的焦距长、短轴长和长轴长成等差数列， 求椭圆的离心率。
距离为 b ，则椭圆的离心率e= _______
.
7
例4.椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
的左、右焦点分别是F1、
F2，若椭圆上存在一点P，使得 F1PF2 120 ，
求椭圆的离心率取值范围。
例 5. 焦点 F(1，0)到椭圆 x2 y2 1 上的点的 2
最大距离是 1 2.
解:设
复习：
1.椭圆的定义:
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大
于|F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在x轴上时
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
当焦点在y轴上时
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
点和焦点坐标
小结：
1.知识小结：
（1） 学习了椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离 心率等概念及其几何意义。
（2） 研究了椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系
2.数学思想方法：
（1）数与形的结合，用代数的方法解决几何问题。
（2）分类讨论的数学思想
y
B
反射镜面
E
解 建立图2.1 11所示
O
A
F1
F2
x
的直角坐标系, 设所求椭
D
圆方程为ax22
y2 b2
1.
在RtBF1F2 中,
C
透明窗
图2.1 11
| F2B | | F1B |2 | F1F2 |2 2.82 4.52 .
由椭圆的性质知,| F1B | | F2B | 2a,所以
c
a
(b,0)、(0,a)
例1.已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是：__1_0__。短轴长是：3___8___ 。
焦距是：__6___ 。 离心率等于： __5_____
。
焦点坐标是：_(__3_, 0_)__。顶点坐标是：(__5_, _0)_(_0_, 4)
外切矩形的面积等于：____8_0___ 。
的曲面)的一部分.过对
C
O
F2
x
D
透明窗
称轴的截口BAC是椭圆的一部分, 灯丝位于椭圆
一个焦点 F1上,片门位于另一个焦点 F2上.由椭圆 一个焦点 F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后 集中到另一个焦点 F2.已知 BC F1F2 ,| F1B | 2.8 cm,| F1F2 | 4.5cm,, 求截口BAC 所在的椭圆方程.
P ( x0,
y0 ) 椭圆
x2 2
y2
1 上的任一点,
则
x02 2
y02
1,
∵ PF
( x0 1)2 y02
( x0
1)2
1
x02 2
取任一点来 分析,试求距
离的函数表
=
x02 2
2 x0
2
=
x02 4x0 4 = x0 2
2
2
达式,转化为 求函数最值 问题.
∵ 2 ≤ x0 ≤ 2
例2.从椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
上一点P向x轴做垂线，
垂足恰为右焦点F2，A是椭圆与x轴负半轴的交点，B是
椭圆与y轴正半轴的交点，且AB//OP（O为坐标原点）
求椭圆的离心率。
例3.椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
的左焦点
F1(c, 0),
A(a, 0), B(0,b) 是两个顶点，如果 F1 到直线AB的
a
1 2 (|
F1B | | F2B |)
1 2
2.8
2.82 4.52 4.1;
B
A
F1
C
y
反射镜面
E
O
F2
x
D
透明窗
图2.1 11
b a2 c2 4.12 2.252 3.4.
所以, 所求的椭圆方程为4x.12 2
y2 3.42
1.
思考：
已知椭圆 x2 y2 1的离心率 e 1 ，求k 的值
4 5
.
图2.1 12
l
由此得
x 42 y2 4
25
5.
4 x
将上式两边平方,并化简,得 9x2 25 y2 225, 即 x2 y2 1. 25 9
所以,点 M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆
例7. 如图2.111,一种 电影放映灯泡的反射镜
y
B
反射镜面
E
是旋转椭圆面 (椭圆绕 A F1 其对称轴旋转一周形成
P（x，y）
关于原点对称
O P3（-x，-y）
X
P1（x，-y）
关于x轴对称
三、椭圆的顶点
在 x2 a2
y2 b2
1(a
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与
b 0)中，
y轴的交点（ 0, ±b
），
令 y=0，得 x=？, 说明椭圆与 x轴的交点（ ±a, 0）。
*顶点：椭圆与它的对称
轴的四个交点，叫做椭圆的 顶点。
上，则点P（x，y）横坐标x的取值范围 ？
2.若点P（2，4）在椭圆 上的点有
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 上，下列是椭圆
（1）P（-2，4） （2）P（-4，2）
（3） P（-2，-4） （4）P（2，-4）
3. 中心在原点，焦点在x轴上，长轴、短轴的长分别为8和6 的椭圆方程为 ？
4.说出椭圆 4x2 y2 16 的长轴长，短轴长，顶