《集合间的基本关系》教学设计(精品)

集合间的基本关系
（一）教学目标；
1．知识与技能
（1）理解集合的包含和相等的关系.
（2）了解使用Venn图表示集合及其关系.
（3）掌握包含和相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系.
2．过程与方法
（1）通过类比两个实数之间的大小关系，探究两个集合之间的关系.
（2）通过实例分析，获知两个集合间的包含与相等关系，然后给出定义.
（3）从自然语言，符号语言，图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念.
3．情感、态度与价值观
应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关系的过程中，培养学习的辨证思想，提高学生用数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能力.
（二）教学重点与难点
重点：子集的概念；难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别.
（三）教学方法
在从实践到理论，从具体到抽象，从特殊到一般的原则下，一方面注意利用生活实例，引入集合的包含关系. 从而形成子集、真子集、相等集合等概念. 另一方面注意几何直观的应用，即Venn图形象直观地表示、理解集合的包含关系，子集、真子集、集合相等概念及有关性质.
（四）教学过程
教学环节教学内容师生互动设计意图
创设情境提出问题思考：实数有相关系，大小关系，
类比实数之间的关系，联想集合
之间是否具备类似的关系.
师：对两个数a、b，应有
a＞b或a = b或a＜b.
而对于两个集合A、B它
们也存在A包含B，或B
包含A，或A与B相等的
关系.
类比生疑，
引入课题
概念形成分析示例：
示例1：考察下列三组集合，并
说明两集合内存在怎样的关系
（1）A = {1，2，3}
B = {1，2，3，4，5}
（2）A = {新华中学高（一）6
班的全体女生}
B= {新华中学高（一）6 班的全
体学生}
（3）C = {x | x是两条边相等
的三角形}
D = {x | x是等腰三角形}
1．子集：
一般地，对于两个集合A、B，如
果A中任意一个元素都是B的元
素，称集合A是集合B的子集，
记作A B
⊆，读作：“A含于B”（或
B包含A）
2．集合相等：
若A B
⊆，且B A
⊆，则A=B.
生：实例（1）、（2）的共
同特点是A的每一个元素
都是B的元素.
师：具备（1）、（2）的两
个集合之间关系的称A是
B的子集，那么A是B的
子集怎样定义呢？
学生合作：讨论归纳子集
的共性.
生：C是D的子集，同时
D是C的子集.
师：类似（3）的两个集
合称为相等集合.
师生合作得出子集、相等
两概念的数学定义.
通过实例的共性
探究、感知子集、
相等概念，通过
归纳共性，形成
子集、相等的概
念.
初步了解子集、
相等两个概念.
概念深化示例1：考察下列各组集合，并
指明两集合的关系：
（1）A = Z，B = N；
（2）A = {长方形}，B = {平行
四边形}；
（3）A={x| x2–3x+2=0}，B={1，
2}.
1．Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集
示例1 学生思考并回
答.
生：（1）A B
⊆
（2）A B
⊆
（3）A = B
师：进一步考察（1）、（2）
不难发现：A的任意元素
再次感知子集相
等关系，加深对
概念的理解，并
利用韦恩图从
“形”的角度理
解包含关系，层
层递进形成真子
集、空集的概念.
合.
如果A B
⊆，则Venn图表示为：
2．真子集
如果集合A B
⊆，但存在元素x∈B，且x∉A，称A是B的真子集，记作A
B (或B A).
示例3 考察下列集合. 并指出集合中的元素是什么？
（1）A = {(x，y) | x + y =2}.（2）B = {x | x2 + 1 = 0，x∈R}.
3．空集
称不含任何元素的集合为空集，记作∅.
规定：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集. 都在B中，而B中存在元素不在A中，具有这种关系时，称A是B的真子集. 示例3 学生思考并回答.
生：（1）直线x+y=2上的所有点
（2）没有元素
师：对于类似（2）的集合称这样的集合为空集. 师生合作归纳空集的定义.
能力提升一般结论：
①A A
⊆.
②若A B
⊆，B C
⊆，则A C
⊆.
③A = B⇔A B
⊆，且B A
⊆.
师：若a≤a，类比A A
⊆.
若a≤b，b≤c，则a≤c
类比.
若A B
⊆，B C
⊆，则
A C
⊆.
师生合作完成：
（1）对于集合A，显然A
中的任何元素都在A中，
升华并体会类比
数学思想的意
义.
A
B
⊂
≠
⊂
≠
备选训练题
例1 能满足关系{a ，b }⊆{a ，b ，c ，d ，e }的集合的数目是（ A ） A ．8个
B ．6个
C ．4个
D ．3个
【解析】由关系式知集合A 中必须含有元素a ，b ，且为{a ，b ，c ，d ，e }的子集，所以A 中元素就是在a ，b 元素基础上，把{c ，d ，e }的子集中元素加上即可，故A = {a ，b }，A = {a ，
b ，
c }，A = {a ，b ，
d }，A = {a ，b ，
e }，A = {a ，b ，c ，d }，A = {a ，b ，c ，e }，A = {a ，b ，d ，e }，A = {a ，b ，c ，d ，e }，共8个，故应选A.
例2 已知A = {0，1}且B = {x |x A ⊆}，求B .
【解析】集合A 的子集共有4个，它们分别是：∅，{0}，{1}，{0，1}. 由题意可知B = {∅，{0}，{1}，{0，1}}.
例3 设集合A = {x – y ，x + y ，xy }，B = {x 2 + y 2，x 2 – y 2，0}，且A = B ，求实数x 和y 的值及集合A 、B .
【解析】∵A = B ，0∈B ，∴0∈A .
若x + y = 0或x – y = 0，则x 2 – y 2 = 0，这样集合B = {x 2 + y 2，0，0}，根据集合元素的互异性知：x + y ≠0，x – y ≠0.
∴22
220
xy x y x y x y x y
=⎧⎪
-=-⎨⎪+=+⎩ （I ）
或22
220xy x y x y x y x y
=⎧⎪
-=+⎨⎪+=-⎩ （II ）
由（I ）得：00x y =⎧⎨
=⎩或01x y =⎧⎨=⎩或1
0x y =⎧⎨=⎩ 由（II ）得：00x y =⎧⎨
=⎩或01x y =⎧⎨=-⎩或1
0x y =⎧⎨=⎩
∴当x = 0，y = 0时，x – y = 0，故舍去. 当x = 1，y = 0时，x – y = x + y = 1，故也舍去. ∴01x y =⎧⎨
=⎩或0
1x y =⎧⎨=-⎩
， ∴A = B = {0，1，–1}.
例4 设A = {x | x 2 – 8x + 15 = 0}，B = {x | ax – 1 = 0}，若B A ⊆，求实数a 组成的集合，并写出它的所有非空真子集.
【解析】A = {3，5}，∵B A ⊆，所以
（1）若B =∅，则a = 0；
（2）若B ≠∅，则a ≠0，这时有13a
=或15a
=，即a =13
或a =15
. 综上所述，由实数a 组成的集合为11{0,,}53.
其所有的非空真子集为：{0}，111111{},{},{0,},{0,},{,}5
3
5
3
53
共6个.。