导数导学案1
导数导学案
导数的综合应用学习目标：1、利用导数研究单调性、最值、零点等问题。
2、掌握导数与不等式结合的问题。
3、体会分类讨论思想，数形结合思想，转化与化归思想在解决问题中的应用。
一、课前热身1、已知函数)(3)(3R a ax x x f ∈-=，若直线0=++m y x 对任意的R m ∈都不是曲线)(x f y =的切线，则a 的取值范围为2、设函数x x x f +=3)(，若02πθ<≤时，(cos )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数的取值范围是_ .3、已知关于x 的方程3||3x kx x =+有三个不同的实数解，则实数k 的取值范围是 4、在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线1C ：31(0)y ax a =+>与曲线2C ：2252x y +=的一个公共点，若1C 在A 处的切线与2C 在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是二、课堂互动1、数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.()(0)kxf x xe k =≠()y f x =(0,(0))f ()f x ()f x (1,1)-k2、(1)()ln (0,)a x f x x x a R x-=->∈． （1）试求f (x )的单调区间；（2）当a >0时，求证：函数f (x )的图像存在唯一零点的充要条件是a =1；（3）求证：不等式111ln 12x x -<-对于(1,2)x ∈恒成立．3、已知函数.32)(2x x e x f x -+=（I ）求曲线))1(,1()(f x f y 在点=处的切线方程；（Ⅱ）求证函数)(x f 在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相 应x 的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e ≈2.7，e ≈1.6，e 0.3≈1.3） （III ）当,1)3(25)(,212恒成立的不等式若关于时+-+≥≥x a x x f x x 试求实数a 的取 值范围。
苏教版高中数学选修(1-1)-3.1《导数》导学案1
3.1.2瞬时变化率—导数：导数一、学习目标：1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的广阔背景，体会导数的思想及内涵.2.掌握导数的概念二、课前预习1．函数()y f x =在点 经x 0处的导数0'()f x 的几何意义就是曲线()y f x =在点P(x 0,,0'()f x )处的 .2．导数的物理意义是指如果物体运动的规律是s=s(t)，那么物体在时刻t 的瞬时速度即为v (t )= .3．设函数()f x 可导，则△x 无限趋近于0时，(1)(1)3f x f x+-无限趋近于 三、课堂探究例1. 已知 ()f x =2x +2.（1）求()f x 在x=1处的导数.（2）求()f x 在x=a 处的导数.例2.过曲线3y x =上一点P 作切线，使该切线与直线153y x =--垂直，求此切线的方程.例3.一动点沿Ox 轴运动，运动规律由2105x t t =+给出，式中t 表示时间（单位:s ），x 表示距离（单位:m ），求在20≤t≤20+△t 的时间段内动点的平均速度，其中①△t=1，②△t=0.1，③△t=0.01.当t=20时，这时的瞬时速度是多少？四、巩固训练1．设()4,f x ax =+若'(1)f =2，则a= .2．函数223y x x =+的导数为3. 若函数()y f x =在点(1,1)x ∈-内的导函数为'()f x ，则正确的是（1）．在x=x 0处的导数为0'()f x （2）．在x=1处的导数为'(1)f（3）．在x=—1处的导数为'(1)f - （4）．在x=0处的导数为'(0)f4．若()()f x f x -=对任意实数x 都成立，且00'()(0),'()f x k k f x -=-≠则等于5．已知成本 C 与产量q 的函数关系式为2()34C q q q =+，则当产量q=6时，边际成本 '(6)C 为6．过点P （—1，2），且与曲线2342y x x =-+在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是 .7．若300(),'()3,f x x f x x ==则= .8．曲线3y x =在点（a ，a 3）（a ≠0）处的切线与x 轴、直线x=a 所围成的三角形的面积为16，则a= .9．当常数k 为何值时，直线y=x 才能与22y x k =+相切？试求出该切点.10．已知抛物线2y ax bx c =++过点（1，1），且在点（2，—1）处与直线3y x =-相切，求a 、b 、c 的值.五、课堂总结1.导数的几何意义：2.导数的物理意义：3.由定义求导数的步骤六、反思总结。
导数的计算导学案
导数的计算导学案导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在其中一点的变化速率。
导数的计算方法非常重要，下面将介绍导数的计算导学案。
一、导数的定义根据导数的定义，函数f在点x处的导数可以通过极限的方法得到：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h二、导数的基本计算方法根据导数的定义，我们可以利用一些基本的规则计算导数：1.常数的导数为0若c为常数，则d(c)/dx = 02.幂函数的导数对于幂函数y = x^n（n为正整数），导数为dy/dx = nx^(n-1)例如，y = x^2，则dy/dx = 2x3.指数函数的导数对于指数函数y = a^x（a>0且a≠1），导数为dy/dx = a^x * ln(a)例如，y = e^x，则dy/dx = e^x * ln(e) = e^x4.对数函数的导数对于对数函数y = log_a(x)（a>0且a≠1），导数为dy/dx =(1/ln(a)) * (1/x)特别地，自然对数函数y = ln(x)的导数为dy/dx = 1/x5.三角函数的导数对于三角函数，有以下导数公式：sin(x)的导数为cos(x)cos(x)的导数为-sin(x)tan(x)的导数为sec^2(x)cot(x)的导数为-csc^2(x)sec(x)的导数为sec(x)tan(x)csc(x)的导数为-csc(x)cot(x)6.反三角函数的导数对于反三角函数，有以下导数公式：arcsin(x)的导数为1/√(1-x^2)arccos(x)的导数为-1/√(1-x^2)arctan(x)的导数为1/(1+x^2)7.速度与加速度若y表示物体的位移，t表示时间，则速度v的导数为dy/dt，加速度a的导数为d^2y/dt^2三、导数的基本运算法则导数具有一些基本的运算法则，例如和差法则、积法则和商法则等，它们可以辅助我们计算复合函数的导数。
导数(1)导学案
课题：导数的概念及几何意义复习【学习目标】 (1)理解导数的几何意义；熟记常见基本初等函数的导数公式和掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；（2）会求简单函数的导数．会求函数的切线方程【重点难点】会求简单函数的导数．会求函数的切线方程【使用说明及学法指导】结合课本使用导学案，复习本节课的知识点，重要的公式法则和题型所对应的解题方法规律；先独立做并记录好疑难点，在课堂上针对性的学习。
【知识链接】1、 定义：设函数)(y x f =在区间()b a ,上有定义，),,(0b a x ∈当x ∆无限趋近于0时比值 xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00无限趋近于一个常数A ，则称)(x f 在点0x x =处可导，并称该常数A 为函数)(x f 在点0x x =处的导数，记作)(0x f '。
2、 若)(x f 对于区间()b a ,内的任一点都可导，则)(x f 在各点的导数也随着自变量x 的函数，该函数称为)(x f 的导函数，记作)(x f '。
注意)(x f '与)(0x f '是不同的概念：)(0x f '是一个常数，)(x f '是一个函数；)(0x f '是)(x f '在0x x =处的函数值复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 问题：导数的物理意义是：复习2：常见函数的导数公式： 幂函数：='）（αx （α为常数） 指数函数：=')(x a （a >0，且1≠a ） 特例：=')(x e 对数函数：=')(log x a （a >0，且1≠a ） 特例：='）（x ln 正弦函数：=')(sin x 余弦函数：=')(cos x 复习3[()()]f x g x '±= [()()]f x g x '=()[]()f xg x '=【预习案】1：根据常见函数的导数公式计算下列导数（1）6y x = （2）y =（3）21y x = （4）y = 2求函数323y x x =-+的导数.3（1）32log y x x =+； （2）n xy x e =； （3）31sin x y x-=4 求下列函数的导数：（1）2log y x =； （2）2x y e =；（3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =-. 5．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)--6.函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )A. 18B. 41C. 21 D. 1 7.()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A ．()f x =()g xB ．()f x -()g x 为常数函数C ．()f x =()0g x =D ．()f x +()g x 为常数函数8、函数()sin ln f x x x =+的导函数()f x '=9、一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____10、曲线y ＝x 3－23 x 2－3x ＋1在x ＝1处的切线的倾斜角为 11、 如图，函数f （x ）的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f （f （0））＝ ；函数f （x ）在x ＝3处的导数f ′（3）＝ .12、已知曲线x x y ln 3212-=的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为 ． 13、曲线x x x f ln )(=在点1=x 处的切线方程为 14、设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a15、曲线x x y +=331在点)34,1(处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 16、已知函数)(x f y =的图像在点))1(,1(f 处的切线方程是012=+-y x ，则)1(2)1(f f '+的值是 17、在曲线106323-++=x x x y 的切线中，斜率最小的切线方程为【探究案】例1．下列函数的导数：①2(1)(231)y x x x =++- ②y ③()(cos sin )x f x e x x =⋅+例2． 如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程．变题：已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0. 求a ，b 的值；拓展1已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a,b,c 值。
导数全套导学案
3.1.1函数的平均变化率命题人 林晓明 审批人 李志远 时间：2015/12/19 期数 51【预习目标】 1.通过实例，领悟由平均变化率到瞬时变化率刻画现实的过程．2.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．3.体会导数的思想及其内涵，并能运用.【预习内容】１.平均变化率的概念是什么？２．Δx ，Δy 的值一定是正值吗？平均变化率一定为正值吗？３.函数在某点处附近的平均变化率是什么？４.观察函数f (x )的图象,平均变化率y x ∆=∆1212)()(x x x f x f --表示什么?５.求函数在某点处附近的平均变化率的步骤什么？６.“Δx →0”的意义是什么？函数f (x )在x 0处的附近的平均变化率与Δx 有关吗？1.函数y ＝f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy 为( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)2．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy ．【疑难解析】 例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx； (2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ；例2．求函数f (x )=3x x -+图象上从点(1,2)A 到点(1,2)B x y +∆+∆的平均变化率.【练习与展示】1．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为A.3B.6C.9D.122. 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在[1，3]区间上的平均变化 率 ；()f x 在[1，2]区间上的平均变化率 .3.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化 率 .4．已知函数f （x ）=2x+1，g （x ）= -2x ，分别计算在区间[-3，-1]，[0， 5]上f （x ）及g （x ）的平均变化率.【总结提升】。
导数的计算导学案
1.2导数的计算导学案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--导数的计算导学案第一课时：几个常用函数的导数一．学习目标：1．学会应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y = 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 二．学习重、难点：五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =三．学习过程 （一）创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？根据导数的定义，求函数()y f x =的导数，就是求出当x ∆趋近于0的时候，yx∆∆所趋于的那个定值。
（二）获取新知1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00limlim 00x x yy ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为 ．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x xx x x∆+∆-+∆-===∆∆∆所以00lim lim 11x x yy x ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为 ．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆所以00limlim (2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图）上点(,)x y 处的切线的斜率都为 ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆所以220011lim lim ()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆5．函数y=()()y f x x f x xx∆+∆-==∆∆因为==0limlim x x y y x ∆→∆→∆'===∆所以推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=（三）课堂小结第二课时：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【学习目标】1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．。
高中数学《导数的概念》教案导学案
导数的概念教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。
教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程： 一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。
虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。
由此我们引出下面导数的概念。
二、新授课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。
2.在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0。
3.xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率。
4.导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
因此，如果)(x f y =在点0x可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-。
5.导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ∆无关。
导数及应用导学案
导数及应用导学案【课前预习导读】 一、学习目标1.知识与技能１）了解导数概念的实际背景, 理解导数的几何意义．２）掌握函数y =c (c 为常数)、*()n y x n =∈N 的导数公式，会求多项式函数的导数。
３）会用导数求多项式函数的单调区间, 极值及闭区间上的最值，利用导数证明函数的的单调性，会利用导数求最值的方法解决一些实际问题． 2.过程与方法通过对几种题型的分析、讲解和进一步的练习，提高学生综合、灵活运用数形结合思想、分类讨论思想解决问题的能力。
3.情感态度价值观培养学生合情推理和独立思考等良好的思想品质，以及主动参与、勇于探索的精神。
二、重点难点函数单调性及极值、最值的讨论 三、学习方法：探究、讨论、归纳。
四、自主复习1、 已知0a >，函数312()f x ax x a=+，且'(1)12f ≤，则a = （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．设点P 是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则 角α的取值范围是 （ ）A ．),32[ππB ．]65,2(ππC ．),65[)2,0[πππ D ．),32[)2,0[πππ 3．已知函数f (x )=x 3+3ax 2+3(a +2)x +1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 ．4．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数的导函数)，下面四个图象中()y f x =图象大致是（ ）【课堂自主导学】 一、问题探究例1 （1）曲线f (x )=x 3－3x ，过点A (0，16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程；变式：若把“A (0，16)”改为“B （2，2）”，其余不变，结果如何？例 2 函数32()f x x ax bx c =+++，在曲线()y f x =上的点))1(,1(f P 处的切线方程为y =3x +1．（1）若()2y f x x ==-在时有极值，求()f x 的表达式；（2）在（1）的条件下，若对于任意]1,3[-∈x 都有()f x m <成立, 求实数m 的取值范围； （3）若函数()y f x =在区间[－2，1]上单调递增，求b 的取值范围。
导数的四则运算法则导学案
导数的四则运算法则导学案导数的四则运算法则(一)【学习要求】1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．【学法指导】应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提升能力的目的.【知识要点】导数的运算法则设两个可导函数分别为f(x)和g(x)【问题探究】探究点一导数的运算法则问题1我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？问题2应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？例1求下列函数的导数：（1）y＝3x－lg x；（2）y＝(x2＋1)(x－1)；（3）y＝x5＋x7＋x9x.跟踪训练1求下列函数的导数：（1）f(x)＝x·tan x；（2）f(x)＝2－2sin2x2；（3）f(x)＝x－1x＋1；（4）f(x)＝sin x1＋sin x.探究点二导数的应用例2（1）曲线y＝x e x＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为_______________（2）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________（3）已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．跟踪训练2 （1）曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为 ( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D ．22（2）设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．【当堂检测】1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于 ( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )2．曲线f (x )＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A ．193B ．163C ．133D ．1034．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝_______ 5．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．【课堂小结】求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.【教学反思】导数的四则运算法则(二)【学习要求】1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．【学法指导】复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程．【问题探究】探究点一复合函数的定义问题1观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？问题2对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？问题3在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？例1指出下列函数是怎样复合而成的：（1）y＝(3＋5x)2；（2）y＝log3(x2－2x＋5)；（3）y＝cos 3x.跟踪训练1指出下列函数由哪些函数复合而成：（1）y＝ln x；（2）y＝e sin x；（3）y＝cos (3x ＋1)．探究点二复合函数的导数问题如何求复合函数的导数？例2求下列函数的导数：（1）y＝(2x－1)4；（2）y＝11－2x；（3）y＝sin(－2x＋π3)；（4）y＝102x＋3.跟踪训练2 求下列函数的导数．（1）y ＝ln 1x； （2）y ＝e 3x ； （3）y ＝5log 2(2x ＋1)．探究点三 导数的应用例3 求曲线y ＝e 2x＋1在点(－12，1)处的切线方程．跟踪训练3 曲线y ＝e 2x cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．【当堂检测】1．函数y ＝(3x －2)2的导数为 ( )A ．2(3x －2)B ．6xC ．6x (3x －2)D ．6(3x －2)2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于 ( )A ．sin 2xB ．2sin xC ．sin x cos xD ．cos 2x3．若y ＝f (x 2)，则y ′等于 ( )A ．2xf ′(x 2)B ．2xf ′(x )C ．4x 2f (x )D ．f ′(x 2)4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.【课堂小结】1.求简单复合函数f (ax ＋b )的导数2.求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.【拓展提高】1 ．已知函数在区间内任取两个实数,且,不等式恒成立,则实数的取值范围为____________ 【教学反思】2)1ln()(x x a x f -+=)1,0(q p ,q p ≠1)1()1(>-+-+qp q f p f a。
导数导学案
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
8.如果质点A按规律 运动，则在 时的瞬时速度为
9.若 ，则 等于
课后作业
1.国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理.下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？
例2日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为 时所需费用（单位：元）为 .求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
（1）90%；（2）98%.
小结：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.
※动手试试
练1.求下列函数的导数：
新知：
试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数 的导数.
※典型例题
例1假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价 (单位：元)与时间 (单位：年)有如下函数关系 ，其中 为 时的物价.假定某种商品的 ，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?
变式：如果上式中某种商品的 ，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？
复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性.
对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有＝，那么函数f(x)就是区间I上的函数.
复习2： ； ； ； ； ； ； ； ；
二、新课导学
※学习探究
探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：
问题：我们知道，曲线 的切线的斜率就是函数 的导数.从函数 的图像来观察其关系：
几个常用函数的导数1(导学案)
1、2、1《几个常用函数的导数》（导学案）班级_________ 组别_________姓名_________学习目标：(1)能够用定义求五个常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=，x y =的导数 能利用它们解决简单的问题；(2)通过本节的学习，巩固导数的定义求导数的方法；（3）利用导数的的几何意义解释函数的图象变化情况，利用物理意义解释物体运动状态；（4）在学习中体会模仿，转化，数形结合的数学思想和方法。
一、知识回顾：1、一般地，函数()x f y =在0x x =处的瞬时变化率x yx ∆∆→∆0lim =_叫做()x f y =在0x x =处的导数，记作()0'x f 。
当x 变化时，()x f '便是x 的一个函数，我们称它为()x f y =的导函数，即()x f '=________________________；2、导数的几何意义: ()x f y =在0x x =处的导数()0'x f 表示_______________________；3、练习：已知函数()22x x f =，则函数在x x ∆+≤≤11上的函数值的增量y ∆=_______,平均变化率为_________,在1=x 处的导数()1'f =__________,函数在点（1，2）处的切线方程为________；二、自主学习：１、求下列几个常用函数的导数()x f '：（1）()c x f = （c 为常数） （２）()x x f =（３）()2x x f = （４）()xx f 1=（５）x x f =)(２、阅读教材P １２－１３，从导数的几何意义和物理意义的角度解释（１）（２）（３）三、问题探究：1、由函数()x x f =，()2x x f =，()1-=x x f 的导数，你能不能猜测出函数()3x x f y ==的导数？从而得出一般的结论是什么？探究结论：2、画出函数xy 1=的图象，根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1，1）处的切线方程。
1.2 导数的计算 导学案(教师版)
§1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)内容要求 1.能根据定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 3.会使用导数公式表.知识点1几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2f(x)＝x f′(x)＝1 2x【预习评价】思考根据上述五个公式，你能总结出函数y＝xα的导数是什么吗？提示y＝xα的导数是y′＝αxα－1.知识点2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos__xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin__xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln__a(a>0)f(x)＝e x f′(x)＝e xf(x)＝log a x f′(x)＝1x ln a(a>0，且a≠1)f (x )＝ln xf′(x )＝1x求下列函数的导数：(1)f (x )＝4x 5；(2)g (x )＝cos π4；(3)h (x )＝3x . 解 (1)f (x )＝x 54，∴f ′(x )＝54x 14； (2)g (x )＝cos π4＝22，∴g ′(x )＝0； (3)h ′(x )＝3x ln 3.题型一 利用导数定义求函数的导数【例1】 利用导数的定义求函数f (x )＝2 019x 2的导数. 解 f ′(x )＝0limx ∆→2 019（x ＋Δx ）2－2 019x 2x ＋Δx －x＝0lim x ∆→2 019[x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2]－2 019x 2Δx＝0lim x ∆→4 038x ·Δx ＋2 019（Δx ）2Δx ＝0lim x ∆→(4 038x ＋2 019Δx )＝4 038x .规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤.(2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )，(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用. 【训练1】 利用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数. 解 y ′＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）2＋a （x ＋Δx ）＋b －（x 2＋ax ＋b ）Δx＝0lim x ∆→x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2＋ax ＋a ·Δx ＋b －x 2－ax －bΔx＝0lim x ∆→2x ·Δx ＋a ·Δx ＋（Δx ）2Δx＝0lim x ∆→ (2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a .题型二 利用导数公式求函数的导数 【例2】 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3； (5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4； (4)y ′＝(4x3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较烦琐；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 【训练2】 求下列函数的导数： (1)y ＝x 13； (2)y ＝4x ； (3)y ＝sin x ； (4)y ＝15x 2.解 (1)y ′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x 12； (2)y ′＝(4x )′＝(x 14)′＝14x 14－1＝14x －34；(3)y ′＝(sin x )′＝cos x ； (4)y ′＝(15x 2)′＝(x －25)′＝－25x －25－1＝－25x －75.方向1 利用导数求曲线的切线方程【例3－1】 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与在这点处的切线垂直的直线方程.解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23(x －π6)，即2x ＋3y －32－π3＝0. 方向2 切线方程的综合应用【例3－2】 设P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离. 解 如图，设l 是与直线y ＝x 平行，且与曲线y ＝e x 相切的直线，则切点到直线y ＝x 的距离最小.设与直线y ＝x 平行的直线l 与曲线y ＝e x 相切于点P (x 0，y 0). 因为y ′＝e x ，所以e x 0＝1，所以x 0＝0. 代入y ＝e x ，得y 0＝1，所以P (0，1). 所以点P 到直线y ＝x 的最小距离为|0－1|2＝22. 规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键.【训练3】 (1)求曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32处的切线方程；(2)求曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12处的切线方程.解 (1)∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ，y ′|x =π6＝－sin π6＝－12.∴曲线在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即6x ＋12y －63－π＝0. (2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .∴曲线在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12处的切线的斜率为k ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝32.∴切线方程为y －12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，即33x －6y ＋3π＋3＝0.课堂达标1.已知f (x )＝x 2，则f ′(3)等于( ) A.0B.2xC.6D.9解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 答案 C2.函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36B.0C.12xD.32解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.答案 A3.设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B.[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ，∴－1≤tan α≤1，又∵α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案 A4.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________. 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2. 答案 12e 25.已知f(x)＝52x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝________.解析因为f′(x)＝5x，g′(x)＝3x2，所以5x－3x2＝－2，解得x1＝－13，x2＝2.答案－13或2课堂小结1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y＝1－2sin2x2的导数.因为y＝1－2sin 2x2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.基础过关1.函数y＝3x在x＝2处的导数为()A.9B.6C.9ln 3D.6ln 3解析y′＝(3x)′＝3x ln 3，故所求导数为9ln 3.答案 C2.下列结论中，不正确的是()A.若y＝1x3，则y′＝－3x4B.若y＝3x，则y′＝3x3C.若y＝1x2，则y′＝－2x－3D.若f(x)＝3x，则f′(1)＝3 解析由(x n)′＝nx n－1知，选项A，y＝1x3＝x－3，则y′＝－3x－4＝－3x4；选项B ，y ＝3x ＝x 13，则y ′＝13x －23≠3x3；选项C ，y ＝1x 2＝x －2，则y ′＝－2x －3； 选项D ，由f (x )＝3x 知f ′(x )＝3， ∴f ′(1)＝3.∴选项A ，C ，D 正确.故选B. 答案 B3.已知f (x )＝cos x ，f ′(x )＝－1，则x 等于( ) A.π2B.－π2C.π2＋2k π，k ∈ZD.－π2＋2k π，k ∈Z解析 ∵f ′(x )＝－sin x ，则sin x ＝1， ∴x ＝π2＋2k π，k ∈Z . 答案 C4. 曲线y ＝x 2＋1x 在点(1，2)处的切线方程为________． 解析 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x 2， 所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)， 即y ＝x ＋1. 答案 y ＝x ＋15.若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 解析∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a ).令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 答案 646.已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值. 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1. 由f ′(x )＋g ′(x )≤0， 得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1， 但sin x ∈[－1，1]，∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .7．求下列函数的导数：(1)y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x 4)；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x2. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 能力提升8.函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A.1条 B.2条 C.3条D.不确定解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处分别有斜率为1的切线.答案 B9.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B.－1e C.－eD.e解析y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，y 0＝e x0，k ＝e x 0，∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e. 答案 D10.曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 解析 ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1. ∴a ＝1. 答案 111.若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________. 解析 y ′＝10x ln 10，∴y ′|x ＝1＝10ln 10. 答案 10ln 1012.已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离.解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728， 所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.创新突破13.设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 019(x ). 解 ∵f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，∴f n ＋4(x )＝f n (x )，可知f (x )的周期为4，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝-cos x .。
《基本初等函数的导数》 导学案
《基本初等函数的导数》导学案一、学习目标1、理解并掌握基本初等函数的导数公式。
2、能够运用导数公式求基本初等函数的导数。
3、体会导数在解决函数问题中的作用，提高分析问题和解决问题的能力。
二、学习重点1、基本初等函数的导数公式的推导及应用。
2、利用导数公式求函数的导数。
三、学习难点1、导数公式的推导过程。
2、灵活运用导数公式解决问题。
四、知识回顾1、导数的定义：设函数\（y ＝ f(x)＼）在点\（x_0\）处的自变量的增量为\（＼Delta x\），函数的增量为\（＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＼），如果当\（＼Delta x ＼to 0\）时，平均变化率\（＼dfrac{＼Delta y}｛＼Delta x}＼）的极限存在，即\（＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0}＼dfrac{＼Delta y}｛＼Delta x}＼）存在，则称函数\（y＝ f(x)＼）在点\（x_0\）处可导，并称这个极限为函数\（y ＝ f(x)＼）在点\（x_0\）处的导数，记作\（f'（x_0)＼）。
2、导数的几何意义：函数\（y ＝ f(x)＼）在点\（x_0\）处的导数\（f'（x_0)＼），就是曲线\（y ＝ f(x)＼）在点\（（x_0, f(x_0)）＼）处的切线的斜率。
五、新课讲授（一）常数函数的导数1、思考：对于函数\（f(x) ＝ C\）（＼（C\）为常数），其导数是什么？2、推导：＼＼begin{align}＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0}＼dfrac{f(x ＋＼Delta x) f(x)｝｛＼Delta x}＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0}＼dfrac{C C}｛＼Delta x}＼＼＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0}0\＼＆＝0＼end{align}＼3、结论：常数函数的导数为\（0\），即\（（C)＇＝ 0\）。
3导数的四则运算法则导学案1
«3. 2. 3导数的四则运算法则》导学案学习目标：1.掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；2.熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数；3.能运用导数的几何意义，求过一点的曲线的切线学习过程一、复习：1.导数的几何意义：如果y = f(x)在点x°可导，贝恤线y = f(x)在点(x°,f(x o))处的切线方程为2.基本初等函数的导数公式：C丨 ;(x n)'= .(a ) = , (e) = (log a x)= ,I I I(In x) = , (s inx)= , (cosx)=二、预习课本第89页至90页，完成下列问题：1、独立填一填：函数f(x) , g(x)均可导法则1 :(f(x) —g(x))'=语言叙述：推广：法则 2: (f(x)g(x))^ .语言叙述：特别地，(Cf(x))'= ,法则3：I迪 = . (f(x)、g(x)是可导的且g(x)式0).lg(x)丿语言叙述:特别地，当f(X)=1时，有丄]g(x)2、预习检测：(1)下列运算正确的是()2 ' 2 ' 'A、 (ax -bx c) =a(x ) b(-x)O I I I O IB、 (sinx-2x2) = (sinx) - (2) (x2)I I Ic、(cosx sinx) =(sin x) cos (cosx) cosxD、［(3 X2)(2 - x3)］二2x(2 - x3) 3X2(3 x2)(2)已知f(X)= x3 3x In3，则f(x)=一 1 —t 2(3)一物体的运动方程是s(t) 厂• 2t，则在t=2的瞬时速度为3、例题：例1求多项式函数f (x)二2x5 - 3x4 -4x3• 5x2 -6x • 7的导数.例2求y =xsin x的导数例3求y =sin 2x的导数例4求y = tan x的导数当堂练习：1.已知函数f(x)的导函数为f (x)，且满足f (x) =3x2 2x f (2)，则f (2)=2.函数 f (x) =x (x+1)〈x+2)(x+3),则 f「(0) =3•求下列函数的导数.电-e x e2(1)f(x)= inxe -1⑵y二-in x —1x(3) y=cos2x4-设函数f (x) = ax n (1 -x) • b, n为正整数，a,b为常数，曲线y = f (x)在(1,f⑴)处的切线方程为x • y =1,求a,b。
苏教版高中数学选修1-1《常见函数的导数(1)》导学案
3.2.1常见函数的导数（1）
一、学习目标
1. 能由导数的定义三个步骤推导如y kx b =+、y c =、y x =、2y x =、1y x
=等最简单函数的导数公式.
2. 熟记幂函数、指数对数函数、正弦余弦函数的导数公式.
3. 初步会利用导数公式求简单函数的导数.
二、课前预习
1. 导数的定义： ， . 导数的几何意义 .
2. 求函数的导数的基本步骤是什么？并画出流程图
3. 求下面两个函数的导数
（1）2y x =； （2）2y x =
三、课堂研讨
例1：求函数()f x kx b =+的导函数
几个常见函数的导数的求导公式：
① ② ③ ④ 展示：基本初等函数的导数公式
①幂函数
②指数函数 ③对数函数
④正弦函数、余函数 例2：利用求导公式求下列函数导数
①5y x -=； ②23y x =-+； ③5y x =+； ④4t y =；
⑤3log n
m =； ⑥y x x =；
⑦sin 3y π=； ⑧sin()2y x π=+
例3：①已知3y x =，求(2)f '；
②已知13x y =，求(0)f '；
③已知cos(2)y x π=-，求()
3f π
'
四、学后反思。
导数(1-1)导学案(导数的几何意义)-冯建新
1 1 在点 p 4, 处的 x 2
1 ，则曲线在点 p 处的切线 16
线的斜率是
2
，该切线方程是
7.若曲线 y x 1 的一条切线平行于直线
y 4 x 3 ，则这条切线方程为
高二数学 导学案（选修 1-1：导数）
编者:冯建新
§3.2.1 常数与幂函数的导数 §3.2.2 导数的四则运算法则
总结：2、已知点不在曲线上，求过这点的 切线方程 已知曲线 y f (x) 和曲线外一点 p x1 , y1 求过点 p 的切线方程的步骤。
总结：3、已知曲线上一点，求过这点的切 线方程 已知曲线 y f (x) 及曲线上一点 p x1 , y1 求过点 p 的切线方程的步骤。
y=f(x) Q
割 线
T 切线
P
x
学习过程
一、课前复习 1、瞬时变化率的概念：
o
导数的几何意义：
曲线 y f (x) 在点 x0 , f x0 处的切线的 2、导数的概念： 斜率等于函数 y f (x) 在该点处的导数
f ( x0 ) ，
二、新课导学
思考问题
问题 1：初中平面几何中圆的切线的定义是 什么？
高二数学 导学案（选修 1-1：导数）
编者:冯建新
§3.1.3 导数的几何意义
学习目标
1、知道曲线的切线定义，理解导数的几何 意义； 2、导数几何意义简单的应用． 教学重点： 导数的几何意义，及其实际应用。 教学难点： 对导数几何意义的理解与掌握。
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着 点P逐渐转动的情况. y
高二数学 导学案（选修 1-1：导数）
高中数学选修2-2导数导学案
高中数学选修2-2导数导学案§1.1.3【知识要点】导数的几何意义导学案1．导数的几何意义（1）割线斜率与切线斜率设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx)) Δy的一条割线，此割线的斜率是＝__________________.Δx当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋向于在点A的切线AD的斜率k，即k＝＝___________________. （2）导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是．相应地，切线方程为_______________________． 2．函数的导数当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f?(x)是x的一个函数，称f?(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f?(x)也记作y′，即f?(x)＝y′＝_______________【问题探究】探究点一导数的几何意义例1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．跟踪训练1 （1）根据例1的图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．（2）若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是 ( )探究点二求切线的方程问题1 怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？问题2 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？例2 已知曲线y＝x2，求：（1）曲线在点P(1,1)处的切线方程；（2）曲线过点P(3,5)的切线方程．跟踪训练2 已知曲线y＝2x2－7，求：（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? （2）曲线过点P(3,9)的切线方程．1【当堂检测】1．已知曲线f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为 ( ) A．4 B．16 C．8 D．22．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则 ( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 3．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_______【课堂小结】1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0f?x0＋Δx?－f?x0?＝f′(x0)，Δx物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.【拓展提高】，f(1))处的切线方程是y?1．已知函数y?f(x)的图象在点M(121x?2，则f(1)?f?(1)? 22．设P为曲线C：y?x?2x?3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为?0，?，则点P横坐4标的取值范围为?????2§1．2.1 常数函数与幂函数的导数导学案§1．2.2 导数公式表及数学软件的应用导学案【知识要点】1．几个常用函数的导数原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 1f(x)＝ xf(x)＝x2．基本初等函数的导数公式原函数 y＝c y＝xn(n∈N＋) y＝xμ(x>0，μ≠0且μ∈Q)y＝sin x y＝cos x y＝ax(a>0，a≠1) y＝ex y＝logax(a>0，a≠1，x>0) y＝ln x 导函数y′＝____ y′＝______ y′＝_______ y′＝________ y′＝________ y′＝________ y′＝_____ y′＝______ y′＝______ 导函数f′(x)＝___ f′(x)＝___f′(x)＝___ f′(x)＝_____ f′(x)＝_______ 【问题探究】探究点一求导函数问题1 怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？问题2 利用定义求下列常用函数的导数：（1） y＝c；（2）y＝x；（3）y＝x2；（4）y＝x；（5）y＝x.问题3 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？例1 求下列函数的导数：π14（1）y＝sin；（2）y＝5x；（3）y＝3；（4）y＝x3；（5）y＝log3x.3x跟踪训练1 求下列函数的导数：1（1）y＝x8；（2）y＝()x；（3）y＝xx；（4）y?log1x2313探究点二求某一点处的导数例2 判断下列计算是否正确．π??π?ππ3cos′＝－sin ＝－. 求f(x)＝cos x在x＝处的导数，过程如下：f′?＝?3??3?332跟踪训练2 求函数f(x)＝13在x＝1处的导数．x探究点三导数公式的综合应用例3 已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧AB上求一点P，使△ABP的面积最大．跟踪训练3 点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．【当堂检测】1．给出下列结论：其中正确的个数是 ( )131313－①若y＝3，则y′＝－4；②若y＝x，则y′＝x；③若y＝2，则y′＝－2x3； xx3x④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数f(x)＝x，则f′(3)等于 ( ) 3D． 22x3．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是 A．B．0C．π3πA．[0，]∪[，π)44π3πB．[0，π) C．[，]44ππ3πD．[0，]∪[，]424361( )4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________【课堂小结】1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．xx如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.223．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.【拓展提高】1．若函数f(x)＝ex cos x，则此函数的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( ) A．0° B．锐角 C．直角 D．钝角2．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为___________4§1.2.3【知识要点】导数的运算法则设两个可导函数分别为f(x)和g(x)两个函数的和的导数两个函数的差的导数两个函数的积的导数两个函数的商的导数导数的四则运算法则(一)导学案[f(x)＋g(x)]′＝________________ [f(x)－g(x)]′＝_________________ ?f(x)g(x)??＝____________________ ??f(x)??g(x)?＝___________________ ??【问题探究】探究点一导数的运算法则例1 求下列函数的导数：x5＋x7＋x9（1）y＝3－lg x；（2）y＝(x＋1)(x－1)；（3）y＝.x跟踪训练1 求下列函数的导数：x2x－1xsin x（1）f(x)＝x・tan x；（2）f(x)＝2－2sin2；（3）f(x)＝；（4）f(x)＝. 2x＋11＋sin x探究点二导数的应用例2 （1）曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为_______________（2）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________t－1（3）已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝2＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3 s时物体的瞬时t速度．跟踪训练2 （1）曲线y＝1A．－2π?sin x1－在点M??4，0?处的切线的斜率为 ( ) sin x＋cos x21B. 2C．－22 D． 221a（2）设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，确定b、c的值．32【当堂检测】1．设y＝－2exsin x，则y′等于 ( )A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x x2．曲线f(x)＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )x＋2A．y＝2x＋1D．－2ex(sin x＋cos x)B．y＝2x－1 C．y＝－2x－35D．y＝－2x＋2感谢您的阅读，祝您生活愉快。
北师大版3.2.1 函数的单调性与导数导学案 (1)
6、函数 在定义域 内可导，若 ，且当 时， ，设 ， ， ，则 的大小关系为。
7、若函数 是 上的单调增函数，则实数 的取值范围是。
【学生小结】谈谈学完本节课有什么收获?
反
思
栏
（2）讨论函数 （ 且 ）的单调性。
例2、求下列函数的单调区间：
（1） ；
（2） 。
【检测反馈】
1、若 为增函数，则（）
A、 B、 C、 D、
2、函数 的单调递减区间是（）
A、 B、 C、 D、
3、函数 在区间 内是增函数，则 （）
A、 B、 C、 D、
4、函数 在下面哪个区间上是增函数（）
A、 B、 C、 D、
安边中学高三年级上学期数学学科导学稿执笔人：王广青总第16课时
备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间：2013.9
集体备课
二、学习目标
1、了解函数的单调性与导数的关系；
2、能利用导数研究函数的单调性；
3、会求函数的单调区间
【导学释疑】
例1、（1）判断函数 在 上的单调性。
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§1.1.1函数的平均变化率
，匚* 学习目标
1 •感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程.体会数学的博大精深以及学习数学的意义；
2•理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.
心学习过程
一、课前准备
（预习教材P3~ P 5,找出疑惑之处）
2 2
复习1:曲线乞乂
25 9
A .长、短轴长相等
C.离心率相等1与曲线
2
X
25 k
焦距相等
准线相同
-1(k 9)的( )
k
复习2:当从0。
到180°变化时，方程X2y2 cos 1表示的曲线的形状怎样变化?
二、新课导学探学习探究探究任务一：
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球
时，随着气球内空气容量的增加, 描述这种现
象？
气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何
问题2:高台跳水, 求平均速度
f
x
试试：设y f（X）, X1是数轴上的一个定点,
即
在数轴X上另取一点X2 , X1与X2的差记为X ,
或者X2 =
函数的变化量或增量记为y，即y = X就表示从X1到X2的变化量或增量，相应地，
____ ;如果它们的比值」，则上式就表示
X
，此比值就称为平均变化率
反思：所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值.
2
x ，分别计算f （x ）在下列区间上的平均变化率:
小结：
%动手试试
练1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示， 试分别计算从出生到第
个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率 .
探典型例题 例
1过曲线y 割线的斜率.
f(x) 3
X 上两点P （1,1）和Q （1 x,1 y ）作曲线的割线，求出当
x 0.1 时 变式：已知函数 f(x) x 2 x 的图象上一点（1, 2）及邻近一点（1 x, 2
y ），则一y = x 例2 已知函数f （1） [1，3]；
（2） [1，2]；
（3） [1，1.1]；
（4[1，1.001]
3个月与第6
练2.已知函数f (x) 2x 1 , g(x) 2x ,分别计算在区间［-3 , -1］, ［0, 5］上f(x)及g(x)的平均变化率.
(发现：y kx b在区间［m , n］上的平均变化率有什么特点?
三、总结提升
探学习小结
1.函数f(x)的平均变化率是_____
2.求函数f (x)的平均变化率的步骤:
(1 )求函数值的增量____________
(2 )计算平均变化率___________ 探知识拓展
平均变化率是曲线陡峭程度的数量化”曲线陡峭程度是平均变化率视觉化”
上*^—学习评价―
探自我评价你完成本节导学案的情况为( ).
A.很好
B.较好
C. 一般
D.较差
探当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：
1. y 2x 1在(1,2)内的平均变化率为(
A . 3 B. 2 C. 1
) D. 0
x
2.设函数y
A . f (x o C. f (x o) f(x)
x)
，当自变量
B.
x由X0改变到x0 x时，函数的改变量 y为( )
f(X0)
f (X。
x
x) f (X o)
3.质点运动动规律t2
4.已知
5. y
t
^gt2，从3s到3.1s的平均速度是
2 ■
2x 3在x 2附近的平均变化率是
则在时间(3,3 t)中，相应的平均速度为(
t A
t
t
1.国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理.下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连
2.水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙, 甲中水的体积V(t) 5 2 0.1t(单位: 计算第一个10s内V的平均变化
t s后容
器
cm ),
率.。