马克维茨投资理论浅析

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数学与应用数学（金融数学） 2011111029 陆文康 摘 要： 马克维茨投资祝贺理论是现代投资组合理论的开端，标志着投资1952年马克维茨发表了《投资组合选择理论》一文，标志着投资组合 关键词：马克维茨； 投资组合理论 一、马克维茨投资组合理论

马克维茨在1952年发表的《投资组合选择理论》打破了投资组合理论中只-方差模型。 R 表示证券i 在某一观测期的收益率，则(R )i E 与Var(R )i 为该证券的平时(R )i E 与Var(R )i 表示为： []221(R )(R ) m

i it i i Var R E m σ==-∑ 1

1(R )m i i it i E R R m -===∑

同时，我们知道投资组合理论就是要将资金分配到不同的证券以减少风险

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所以除了单个证券的收益率和方程，还需要知道不同证券的相关性，用不 同证券之间的协方差来表示，设证券i 与另一证券j 的收益率之间的协方差为

Cov(R ,R )i j ，则协方差可表示为：

[]1

1Cov(R ,R )(R )(R )m

i j it i jt J i R E R E m =⎡⎤=--⎣⎦∑ 当选定n 支股票；并对其进行投资，假定这n 支股票的投资比例是

12(x ,x ,,x )n X L ，该投资组合为p ，期望收益率p E 与收益率方差2p σ可以表示为：

1

n

P i I i E x E ==∑

2

2211

1

11

(R R )(R ,R )n n n n n

P

i j i j j

j

i j I J i j j j i j i

x x Cov x x x Cov σσ=≠≠≠≠≠==+∑∑∑∑∑

在用某一时间的收益率均值以及方程对实际的收益期望以及风险程度进行定量描述后，马克维茨设立了几点假设：

（1）投资者都是理性的，也就是说他们都是尽量回避风险并且追逐利益。 （2）投资组合的确定与证券的收益与风险之外的因素无关。 （3）期望收益率的方差代表了证券的风险性。 （4）收益率的分布服从正态分布。

马克维茨其余以上假设，建立了资产配置的均值-方差模型，模型有两种，一是在收益率确定的情况下追求风险最小，二是在风险一定的情况下最求收益率最大，两种模型的表述如下：

max p E -

..s t 1

1n

i i x ==∑ 20p

σσ≤ 0i x ≥ 0σ为事先确定的风险程度

`

Word 文档

2

min p

σ ..s t 1

1n

i i x ==∑ 0P E E ≥ 0I X ≥

0E 为事先确定的收益

均值-方差模型的求解本质上是一个二次规划问题的求解，但是如果证券的数量增多，计算量将会非常之大，这也是为什么投资组合理论长期以来经常被实际的投资者所冷落，因为对于个人投资者，选择证券较小的情况下还能够计算竟是十分复杂的，目前已经有一些软件进行相关的计算，但是在多个行业进行证券跟踪仍然是比较艰难的，下文将对中国股票市场中选择6支股票进行分析。

二、中国股票市场的实例分析

1、由下表，可知①出各股票的方差，②对A 、B 进行等权重投资时组合P 的

p β非系统风险(e )p Var 和总风险2

p σ；③当C 加入组合P 中，对A 、B 、C 实行等额投资是，新的组合'P 的'p β、非系统性风险'(e )p Var 和总风险'2p σ；

④组合P 和'P 的风险变化。

①由公式()i i i e 22

22σσβσ+=M

得： 0094

.0003.00064.00.10064.00023.00064.08.00129.00037.00064.02.1222222

=+⨯==+⨯==+⨯=C B A σσσ

②对A 、B 等权重投资时组合p 的

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0.50.51p A B βββ=+=

由公式()()()i n

i i n

i i

e n e 22

12

12

p 2

1e σσχσ∑∑==⎪⎭

⎫

⎝⎛==得：

()()()()()2

2221211e 0.00370.00230.001524p e e σσσ⎛⎫

=+=+= ⎪⎝⎭

由公式()222

2p p M p e σβσσ=+得：

2210.00640.00150.0079p σ=⨯+=

③因为ABC 是等比例投资的， 同理可求：

()()()

()()()()()[]

[]()

()0074

.0001.00064.01001.0003.00023.00037.03131 (1111)

0.18.02.131

1222222232222122

1

222

11

=+⨯=+=++==⎭⎬⎫

⎩⎨⎧++=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧++++=⎪⎭⎫

⎝⎛===++===∑∑∑∑====p M p p M p p p n i n

i i n

i i i p n i i n

i i i p e e R e e e e n n e n e x e n x σσββασσσσσσσσσβββ ④由2,3问答案知道当C 加入AB 的组合，总的风险较小了，可当资产进行等额投资时，投资的资产种类越多，组合的风险越小。并且由（2）和（3）比较可以看出等额投资时增加投资项目只能降低非系统风险，不能够降低系统风