8应力、应变分析基础2011

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应变与应力的计算与分析方法探讨

应变与应力的计算与分析方法探讨应变和应力是材料力学中重要的概念，它们描述了材料在受力作用下的变形和力的分布情况。

在工程实践中，准确计算和分析应变和应力是非常重要的，可以帮助工程师设计出更安全、更可靠的结构。

本文将探讨应变与应力的计算与分析方法。

首先，我们来了解一下应变的概念。

应变是指材料在受力作用下发生的形变相对于原始尺寸的比值。

常见的应变类型有线性应变、剪切应变和体积应变等。

线性应变是最常见的一种应变类型，它描述了材料在受力作用下的拉伸或压缩变形情况。

线性应变的计算方法是通过测量材料的变形量和原始尺寸来确定的。

应变的计算可以使用应变计或应变测量仪器进行，其中应变计是一种常用的测量工具。

应变计的原理是利用材料的电阻、电容或光学性质随应变的变化而发生变化，通过测量这些变化来计算应变。

应变计的使用可以帮助工程师实时监测结构的应变情况，从而及时采取措施防止结构的破坏。

接下来，我们来讨论应力的计算与分析方法。

应力是指单位面积上的力的分布情况，它描述了材料在受力作用下的力学响应。

常见的应力类型有拉应力、压应力和剪应力等。

拉应力是最常见的一种应力类型，它描述了材料在受拉力作用下的力学响应情况。

拉应力的计算方法是通过受力和截面积来确定的。

应力的计算可以使用应力计或应力测量仪器进行，其中应力计是一种常用的测量工具。

应力计的原理是利用材料的电阻、电容或应变随应力的变化而发生变化，通过测量这些变化来计算应力。

应力计的使用可以帮助工程师实时监测结构的应力情况，从而及时采取措施防止结构的破坏。

除了使用传统的计算和测量方法，现代工程实践中还广泛应用了数值模拟方法来计算和分析应变与应力。

数值模拟方法基于数学模型和计算机仿真技术，可以对复杂的结构和载荷情况进行精确的计算和分析。

常用的数值模拟方法有有限元法、边界元法和网格法等。

这些方法可以帮助工程师更好地理解结构的应变与应力分布情况，并进行结构的优化设计。

总结起来，应变与应力的计算与分析方法是工程实践中非常重要的一部分。

材料力学应力与应变分析

主应力和次应力
在复杂应力状态下，物体内部某一点处的主应力表示该点处最主要的应力，次应力则表示其他较小的应力。
应力表示方法
应力矢量
应力矢量表示应力的方向和大小，通常用箭头表示。
应力张量
在三维空间中，应力可以用一个二阶对称张量表示，包括三个主应力和三个剪切应力分量。
主应力和剪切应力
主应力
在任意一点处，三个主应力通常是不相等的，其中最大和最小的主应力决定了材料在该点的安全程度。
采用有限元分析方法，建立高层建筑的三维模型，模拟不同工况下的应力与应变分布。
结果
通过分析发现高层建筑的关键部位存在较高的应力集中，需
要进行优化设计。
结论
优化后的高层建筑结构能够更好地承受各种载荷，提高了安
全性和稳定性。
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不同受力状态下的变形行为。
06 实际应用与案例分析
实际应用场景
航空航天
飞机和航天器的结构需要承受高速、高海拔和极端温度下的应力与应变，材料力学分析是确保安全的关键。
汽车工业
汽车的结构和零部件在行驶过程中会受到各种应力和应变，材料力学分析有助于优化设计，提高安全性和耐久性。
土木工程
桥梁、大坝、高层建筑等大型基础设施的建设需要精确的应力与应变分析，以确保结构的稳定性和安全性。
剪切应力
剪切应力是使物体产生剪切变形的力，其大小和方向与剪切面的法线方向有关。剪切应力的作用可以导致材料产生剪切破坏。
04 应变分析
应变定义
定义
应变是描述材料形状和尺寸变化的物理量，表示材料在外力作用下发生的形变程度。
单位
应变的单位是1，没有量纲，常用的单位还有微应变（με）和工程应变（%）。

应力与应变状态分析

ma x
min
x y 2
(x 2y)2x2 y ——主应力的大小
1 ; 2 ; 3 ; m ;am x;i0 n
最大正应力（σmax）与X轴的夹角规定用“α0 ” 表示。简易判断规律：由τ的方向判断。
α0 α0
2、 τ的极值及所在平面
x 2ysi2n xy co 2s
d 0 d
tg21
3、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。
平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。空间应力状态：三向应力状态简单应力状态：单向应力状态。复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。
§8－2 平面应力状态分析——解析法
一、任意斜面上的应力计算
主应力排列规定：按代数值由大到小。 1 2 3
10 σ1=50 MPa ；
50
30 σ2=10 MPa ； σ3=-30 MPa 。
单位：MPa
10 σ1=10 MPa ；
30 σ2=0 MPa ； σ3=-30 MPa 。
8、画原始单元体：例：画出下列图中的 a、b、c 点的已知单元体。
二、σ、τ的极值及所在平面（主应力，主平面）
1、 σ的极值及所在平面（主应力，主平面）
x 2 y x 2 yc2 o s xs y 2 i n d d 0 x 2 ys2 i n 0 xc y 2 o 0 s0 0 0
tg20
2xy x y
——主平面的位置
( 0;
0 0900 )
F
F a
x
a
x
x
F A
y b C
z
y b
C z
Ｍ F L

材料力学：第八章-应力应变状态分析

斜截面: // z 轴；方位用 a 表示；应力为 sa , ta
正负符号规定:
切应力 t －使微体沿顺时针旋转为正方位角 a －以 x 轴为始边、逆时针旋转为正
斜截面应力公式推导设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态

第八章2应力应变状态分析

第八章2应力应变状态分析应力应变状态分析是研究材料或结构在外力作用下所产生的应力和应变的过程。

应力是单位面积上的内力，用于描述材料或结构对外力的抵抗能力。

而应变是形变相对于初始状态的变化量，用于描述材料或结构的变形程度。

针对材料或结构的应力应变状态进行分析，可以帮助我们了解其力学性能和稳定性，为工程实践提供重要依据。

应力应变状态分析是弹性力学的基本内容之一、根据材料的力学性质和外力的作用，可以得到不同的应力应变状态。

在弹性力学中，线弹性和平面应变假定是常用的简化假设。

线弹性假定材料仅在拉伸和压缩的方向上有应力，而在横截面上的应力是均匀分布的。

一维拉伸和挤压是线弹性应力应变状态的基本类型。

平面应变假定材料在一个平面内有应力，而在垂直于该平面的方向上无应力。

二维平面应变是平面应变应力应变状态的基本类型。

在应力应变状态分析中，我们通常关注应力和应变之间的关系。

最常见的是材料的应力-应变曲线。

应力-应变曲线描述了材料在外力作用下的力学行为，可以帮助我们了解材料的强度、塑性和韧性等性能。

在弹性阶段，应力-应变曲线呈线性关系，符合胡克定律。

而在屈服点之后，材料会发生塑性变形，应力不再是线性关系。

当应力达到最大值时，材料会发生破坏。

除了应力-应变曲线外，还有一些其他重要的参数和指标可用于描述应力应变状态。

例如，弹性模量是描述材料刚度的重要参数，表示单位应力引起的单位应变量。

剪切弹性模量描述了材料抵抗剪切变形的能力。

同时，杨氏模量和泊松比也是用于描述材料力学性质的常用参数。

应力应变状态分析在材料工程、结构工程以及土木工程等领域具有重要应用。

通过对材料和结构的应力应变状态进行分析，可以帮助我们评估其性能和强度，并且对设计和优化具有指导意义。

例如，在结构工程中，通过应力应变状态分析可以确定材料的承载能力和极限状态，从而确保结构在设计荷载下的安全运行。

然而，应力应变状态分析也面临一些挑战。

首先，材料的力学性质和变形行为往往是非线性的，需要使用复杂的数学模型进行描述。

第八章应力应变状态分析

o
C
(σ x + σ y ) / 2
σ
半径为
Rσ = (
σ x −σ y
2
2 )2 + τ x
目录
应力圆（图解法） §8.3 应力圆（图解法）
二.应力圆的绘制与应用
σy σα τα σy τy
n
τ
σα τα
H(任意斜截面α) D（x截面对应）
τx
τx
t
-τ x
σx
α
2α
C
σx
τx=τy DF=EG
将第一式移项后两边平方与第二式两边平方相加
σ x +σ y
σ x −σ y
(σ α −
σ x +σ y
2
) =(
2
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α ) 2
τα = (
2
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α ) 2
目录
应力圆（图解法） §8.3 应力圆（图解法）
τ max σ x −σ y 2 2 = ±CK = ± ( ) +τ x τ min 2
所在截面互相垂直，并与正应力极值截面呈45 °夹角。
目录
§8.4 极值应力与主应力
二.主应力
由图可知，正应力极值所在截面的切应力为零。 ab，bc，cd，da 均为主平面。微体的前、后两面不受力，切应力也为零。主平面：切应力为零的截面。主平面微体：三对互相垂直的主平面所构成的微体。
三.纯剪切状态的最大应力与圆轴扭转破坏分析
σ 3 = −τ
τ τ A(0，τ)
−45

混凝土的应力-应变关系分析

混凝土的应力-应变关系分析一、引言混凝土是一种广泛使用的建筑材料，用于各种类型的建筑和基础工程。

混凝土的应力-应变关系是混凝土工程设计和结构分析中非常重要的一个因素。

本文将详细分析混凝土的应力-应变关系，包括混凝土的力学性质、应力-应变曲线的形状和特点、影响应力-应变关系的因素以及实验方法。

二、混凝土的力学性质混凝土是一种复合材料，由水泥、骨料、砂和水等组成。

混凝土的力学性质受到其组成和制备方法的影响。

混凝土的力学性质包括弹性模量、抗拉强度、抗压强度、剪切强度等。

1. 弹性模量混凝土的弹性模量是指在弹性阶段，混凝土的应变与应力之比。

弹性模量是混凝土的刚度指标，通常用于计算混凝土结构的变形和挠度。

混凝土的弹性模量通常介于20-40 GPa之间，取决于混凝土的成分和强度等级。

2. 抗拉强度混凝土的抗拉强度通常比抗压强度低很多。

这是因为混凝土的骨料在混凝土中的分布不均匀，导致混凝土在拉伸过程中难以传递应力。

混凝土的抗拉强度通常介于2-10 MPa之间。

3. 抗压强度混凝土的抗压强度是指混凝土在压缩过程中的最大承载能力。

混凝土的抗压强度通常是设计混凝土结构时最关键的性质之一。

混凝土的抗压强度通常介于10-50 MPa之间。

4. 剪切强度混凝土的剪切强度通常比抗压强度低很多。

这是因为混凝土在剪切过程中容易出现裂缝，导致混凝土的强度降低。

混凝土的剪切强度通常介于0.2-0.5 MPa之间。

三、应力-应变曲线的形状和特点混凝土的应力-应变曲线通常具有非线性的形状。

在应力较小的情况下，混凝土的应变与应力呈线性关系。

然而，随着应力的增加，混凝土开始发生非线性变形。

在一定应力范围内，混凝土的应力-应变曲线呈现出一个明显的拐点，称为峰值点。

在峰值点之后，混凝土开始出现裂缝和破坏，应力开始降低。

在应变较大的情况下，混凝土的应力与应变之间呈现出一个平台，称为残余强度。

混凝土的应力-应变曲线的形状和特点受到许多因素的影响，包括混凝土的强度等级、骨料类型和分布、水胶比、养护条件等。

材料成形原理应力分析与应变分析课件

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应变率与应变速率
在材料成形过程中，应变率和应变速率是描述材料变形速度的重要参数。了解应变率和应变速率的变化规律有助于优化材料的加工工艺和产品质量。
应变硬化与软化
在材料成形过程中，随着变形的增加，材料的应力-应变行为会发生改变。应变硬化是指随着变形的增加，材料的应力逐渐增大；而软化则是指随着变形的增加，材料的应力逐渐减小。了解应变硬化和软化的规律有助于控制材料的成形过程和产品质量。
边界元法
只需求解边界上的积分方程，适用于求解具有复杂边界形状的问题。
应变分析的实例
圆筒形压力容器的应变分析
通过应变分析计算圆筒形压力容器在压力作用下的应变和应力分布，为容器的设计和安全评估提供依据。
桥梁结构的应变分析
通过应变分析计算桥梁结构在车辆载荷作用下的应变和应力分布，为桥梁的维护和安全评估提供依据。
先进工艺的应力与应变分析
先进成形工艺
随着制造业的发展，各种先进的成形工艺不断涌现，如增材制造、精密铸造、超塑性成形等。对这些工艺的应力与应变进行分析，有助于提高工艺的稳定性和产品质量。
工艺参数优化
通过分析不同工艺参数下的应力与应变分布，可以优化工艺参数，降低成形过程中的缺陷风险，提高产品的力学性能和可靠性。
重要性
材料成形原理是材料加工工程领域的基础学科之一，对于深入理解材料加工过程、优化工艺参数、提高产品质量和降低生产成本等方面具有重要意义。
材料成形原理的基本概念
应力和应变
在材料成形过程中，由于外力的作用，材料内部会产生应力，导致材料的形状和尺寸发生变化，这种变化称为应变。
屈服准则
流动法则
流动法则描述了材料在塑性变形过程中应力和应变之间的关系，即应力和应变的变化规律。

工程力学第八章应力应变分析强度理论

第八章应力状态分析与强度理论
第八章应力状态分析与强度理论
§8-1 概述 §8-2 平面应力状态下的应力分析
§8-3 空间应力状态分析简介
§8-4 广义胡克定律 §8-5 强度理论
§8-1 概
一、应力状态的概念
述
研究拉压、剪切、扭转、弯曲等基本变形构件的强度问题时已经知道，这些构件横截面上的危险点处只有正应力或切应力，相应的强度条件为
c. 若三个主应力都不等于零，称为三向应力状态，三向应力状态是最复杂的应力状态。
2 1
3 1
3 2
§8-2 平面应力状态下的应力分析 §8.2.1 平面应力状态应力分析的解析法
平面应力状态的普遍形式如图所示。单元体上有x ,xy 和 y , yx
一、斜截面上的应力
y x
πD F p 4
′
p
A πD
πD 2 F p 4 pD A πD 4
n
D
（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象
"
p
直径平面
FN
Ｏ
FN
d
y
D Fy 0 0 pl 2 sin d plD pD 2 l plD 0 2
π
三、点的主应力与应力状态的分类
1、主单元体主平面主应力主单元体各侧面上切应力均为零的单元体主平面主应力切应力为零的截面主面上的正应力
说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按代数值大小的顺序来排列, 即
y
n
A
y

x
t

应变分析基础

应变分析基础
第九章变形岩石应变分析基础
1.位移和变形 2.应变的度量：长度应变、角应变 3.均匀变形与非均匀变形 4.二维应变的坐标变换方程 5.应变椭圆的概念 6.线的长度和角度变化 7.应变椭球体的概念 8.应变椭球体类型与Flinn图解 9.旋转变形和非旋转变形 10.递进变形
应变分析基础
二、应力场的图示
主应力迹线、主应力等值线、最大剪应力迹线、最大剪应力等值线
主应力迹线（表示应力主方向在场内的变化规律，主应力迹线上任一点的切线方向，代表该点的一个主应力方向）。
最大剪应力迹线:与主应力迹线相似. 最大主(剪)应力等值线:反应应力强度的变化.
应变分析基础
应变分析基础
图示方法
应变分析基础
非均匀变形：物体内各点的应变特
征随其位置而发生变化的变形。
又可分为：
连续变形：物体内从一点到另一点的应变状态是逐渐改变的。
不连续变形：是突变的，如断裂。
其特征与均匀变形相反。
应变分析基础
均匀变形与非均匀变形的关系
应变分析基础
四、二维应变的位移矢量和坐标变换方程
ψ
Shear strain 剪应变 γ =tan ψ
应变分析基础
左图中的单位圆变成了右图中的椭圆，其长、短轴的应变为：
剪应变 γ =tan ψ = t应a变n分4析5基=础1
三、均匀变形homogeneous deformation和非均匀变形heterogeneous deformation
应变分析基础
砾岩的变形
应变分析基础
泥岩变形和变质成板岩，退色斑圆形变椭圆形
应变分析基础
二、应变的度量
应力stress状态: 是指某一瞬间作用于物体上的应力分布情况，应力场是随时间而变化的。

应力应变分析

1 2 3 σ1
σ2
σ3
平面变形问题
1 ( x y )
( x
y )2
4
2 xy
2
2
2
1
x
2
y
x
2
y
2
2 xy
3
x
2
y
x
2
y
2
2 xy
2
1 2
(1
3)
x
2
y
应力偏量不变量
I1 x y z 1 2 3 1 2 3 3 m 0
I 2
Request for (1) normal stress on the direction of l=1/2, m=1/2, n= (2) stress deviator and stress spheric tensor
Answer:
The stress on the oblique plane of direction cosine l,m,n are
( x y
y z
z
x
)
2 xy
2 yz
2 zx
I3
x yz
2 xy yz zx
(
2
yz
x
2
zx
y
2
xy
z
)
or I1 0
I2
1 6
[(
1
2)2
( 2
3 )2
( 3
1)2 ]
I3 (1 m )( 2 m )( 3 m )
I’1: related to mean stress, the magnitude of hydrostatic. I’2: can be used to be the criterion which indicate the material whether in the plastic state.

应变与应力分析在工程力学中的应用

应变与应力分析在工程力学中的应用工程力学是研究物体在力的作用下，变形和运动规律的基础学科。

在工程实践中，应变与应力分析是非常重要的技术工具。

应变和应力是描述物体受力后变形程度和内部分布的物理量。

本文将探讨应变与应力分析在工程力学中的应用。

一、应变的分析应变是物体在受力作用下产生的变形程度的度量。

通常通过应变张量来描述。

在工程力学中，应变分析主要用于以下几个方面。

1. 结构变形分析在设计和建造建筑、桥梁、车辆等工程结构时，需要对各个部件的变形情况进行分析。

应变分析可以帮助工程师了解结构在受力后的变形情况，从而指导结构的设计和材料的选用。

结构变形分析需要考虑各种载荷作用下的应变分布，并合理控制结构的变形，以确保结构的稳定性和安全性。

2. 弹性形变分析在工程实践中，想要了解物体在受力后的弹性形变情况，应变分析是一种常用的方法。

弹性形变分析可以帮助工程师确定物体在受力作用下的形状变化和应变分布情况，从而指导材料的选用和工艺的设计。

例如，在汽车制造中，通过对汽车车身的应变分析，可以判断材料的强度和刚度是否满足设计要求，以确保汽车的安全性和舒适性。

二、应力的分析应力是物体内部受力状态的描述。

应力分析是工程力学中的关键技术，广泛应用于以下几个方面。

1. 结构强度分析在设计和建造大型工程结构时，如建筑物、桥梁、钢结构等，需要对结构的强度进行分析。

应力分析可以帮助工程师确定结构在受力后的应力分布情况，从而评估结构的强度和稳定性。

结构强度分析需要考虑不同载荷作用下的应力分布，并确保结构的应力不超过材料的强度极限，以保证结构的安全性。

2. 疲劳强度分析在机械、航空航天等领域，往往要面对长时间的交变加载。

而材料在交变加载下容易发生疲劳破坏。

应力分析可以帮助工程师了解材料在交变加载下的应力分布情况，从而评估材料的疲劳性能。

疲劳强度分析需要考虑材料的疲劳寿命和疲劳极限，以设计出更可靠的工程结构。

综上所述，应变与应力分析在工程力学中有着广泛的应用。

应力与应变

应力与应变概念解释在物理学和材料科学领域中，应力（stress）和应变（strain）是两个重要的概念。

应力描述的是物体内部的力状态，而应变描述的是物体对于应力的响应。

理解应力和应变的关系对于材料强度和工程设计具有重要意义。

应力是指物体内部的力，可以描述为单位面积上施加的力。

它通常用符号σ（sigma）表示，单位为帕斯卡（Pa）。

应力可以分为正应力（tensile stress）和剪应力（shear stress）两种类型。

正应力指作用在物体上的拉伸或压缩力。

拉伸应力是指物体被拉伸的力，压缩应力是指物体被压缩的力。

正应力的大小等于作用力除以物体横截面的面积。

剪应力指作用在物体上的剪切力，是指物体内部各点上的两个互相垂直的力之间的比例。

剪应力的大小等于剪切力除以物体横截面的面积。

应变是指物体对于应力的响应，是单位长度的长度变化。

应变可以描述为物体在单位长度上的变形程度。

应变可以分为线性应变（linear strain）和剪应变（shear strain）两种类型。

线性应变指物体的长度变化与原始长度的比例。

它是一个无量纲的物理量，通常用符号ε（epsilon）表示。

线性应变可以是拉伸应变，也可以是压缩应变。

拉伸应变是指物体在拉伸力作用下产生的应变，压缩应变是指物体在压缩力作用下产生的应变。

剪应变指物体产生的平面变形，在受到平行力作用的情况下，物体的形状会发生变化。

剪应变可以通过一个无量纲数值来表示物体的错位程度。

应力-应变关系应力和应变之间存在一种关系，称为应力-应变关系。

它描述了物体在受到应力作用时的应变程度。

应力-应变关系可以是线性的，也可以是非线性的。

在线性应力-应变关系中，应力和应变之间存在简单的比例关系。

例如，在拉伸应力作用下，当应力增加时，应变也会以同样的比例增加。

这种关系可以由胡克定律（Hooke's law）来描述。

胡克定律是一种线性弹性模型，描述了应力和应变之间的关系。

根据胡克定律，应力与应变之间的比例常数被称为弹性模量（elastic modulus）。

应力与应变关系(参照分析)

一、应力与应变1、应力在连续介质力学里，应力定义为单位面积所承受的作用力。

通常的术语“应力”实际上是一个叫做“应力张量” (stress tensor)的二阶张量。

概略地说，应力描述了连续介质内部之间通过力（而且是通过近距离接触作用力）进行相互作用的强度。

具体说，如果我们把连续介质用一张假想的光滑曲面把它一分为二，那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。

很显然，即使在保持连续介质的物理状态不变的前提下，这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同，所以，必须用一个不依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态。

对于连续介质来说，担当此任的就是应力张量，简称为应力。

2、应变应变在力学中定义为一微小材料元素承受应力时所产生的单位长度变形量。

因此是一个无量纲的物理量。

在直杆模型中，除了长度方向由长度改变量除以原长而得“线形变”，另外，还定义了压缩时以截面边长（或直径）改变量除以原边长（或直径）而得的“横向应变”。

对大多数材料，横向应变的绝对值约为线应变的绝对值的三分之一至四分之一，二者之比的绝对值称作“泊松系数”。

3、本构关系应力与应变的关系我们叫本构关系（物理方程）。

E σε=（应力=弹性模量*应变） 4、许用应力（allowable stress ）机械设计或工程结构设计中允许零件或构件承受的最大应力值。

要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低，需要预先确定一个衡量的标准，这个标准就是许用应力。

凡是零件或构件中的工作应力不超过许用应力时，这个零件或构件在运转中是安全的，否则就是不安全的。

许用应力等于考虑各种影响因素后经适当修正的材料的失效应力除以安全系数。

失效应力为：静强度设计中用屈服极限（yield limit ）或强度极限（strength limit ）；疲劳强度设计中用疲劳极限（fatigue limit ）。

5、许用应力、失效应力及安全系数之间关系塑性材料（大多数结构钢和铝合金）以屈服极限为基准，除以安全系数后得许用应力，即[]()/ 1.5~2.5s n n σσ==。

材料力学：ch8 应力应变状态分析

泊松比 = 0.33。试求板厚的改变量与板件的体积改变量 V 。
题 8-16 图
6
解：此为平面应力状态问题。设板厚度方向的正应变为 εz ，则有
εz
μ E
(σ x
σ
y
)
板厚的改变量为
Δδ
z
E
(σ x
σy
0.33 0.010 70 109
(80
40) 106 m
1.886 106 m 0.001886mm
σ1 69.7MPa， σ2 9.9MPa 由于是平面应力状态，故知
σ3 0 从该应力圆上还可以量得 σ1 的方位角为
α0 23.7 式中负号表示从 AB 面的外法线沿顺时针方向旋转。
8-9 图示悬臂梁，承受载荷F = 20kN作用，试绘微体A，B与C的应力图，并确定主应
力的大小及方位。
题 8-9 图解：由题图可知，指定截面的剪力与弯矩分别为
)
51.7
MPa
7
60
100 80 2
100 2
80
cos(120
)
50
sin(120
)(
MPa
)
128.3
MPa
根据广义胡克定律，得 30°的正应变为
30
1 E
( 30
60 )
200
1 109
Pa
(51.7
106
Pa
0.3128.3106
Pa
)
0.66
10
4
8-18 构件表层一点处的应力如图a所示，为了测量应力，在该点沿 0°，45°与 90°
根据平面应力状态的广义胡克定律，有
x
E 1 2

工程力学基础第8章应力、应变和应力应变关系

新编工程力学基础
第8章应力、应变和应力-应变关系
第一节第二节第三节第四节第五节
一点处的应力状态平面应力状态分析应变状态分析广义胡克定律材料失效和失效判据
第一节一点处的应力状态
一、引言在本章中，将应用微元体法，从力、变形、力与变形的关系三方面研究变形固体内一点处的性态。本章的内容覆盖了固体力学的三大理论基础：应力理论、应变理论和本构关系(主要是对理想弹性体)。在此基础上建立复杂受载条件下，材料的失效判据和构件的强度设计准则，从而为解决杆件在复杂受载条件下的强度、刚度和稳定性问题创造条件。
（1）一点处的应变状态由六个应变分量εx、εy、εz、γxy、γyz、 γzx完全决定，即由它们可以确定该点处任一方向的线应变和任
第三节应变状态分析
（2）在任一点处都存在三个互相垂直的方向，它们在变形过程中保持垂直，即切应变为零，这三个方向称为应变主方向，沿应变主方向的线应变称为主应变，记为ε1≥ε2≥ε3。主应变ε1 和ε3 试验证明，对于各向同性的线弹性材料的小变形问题，应变主方向与应力主方向重合，即一对切应力为零的正交截面在变形过程中保持垂直。应变和应力由材料的力学性能相联系。在工程中除接触应力等少数情形外，直接测量应力是很困难的，而变形则比较容易测量。通常是从测得的应变来确定应力。应变分析的实际意义在于：通过测得的应变确定主方向和主应变，
第一节一点处的应力状态三、主应力和主方向如果微元体某对截面上的切应力等于零，该对截面就称为主平面，主平面的法向称为主方向，主平面上的正应力称为主应力。按不等于零的主应力的个数分类，可以把一点处的应力状态分
（1）单向(单轴)应力状态，也称为简单应力状态，只有一个主应力不为零，如受轴向拉压的直杆和纯弯曲直梁中各点处的应

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13
§8－2 二向应力状态分析
平面应力状态：
单元体上有一组面上的应力分量都为零。一般取应力分量为零的面的外法线为z。这时有：
z zy zx 0， x 0， y 0， xy 0
14
Ⅰ. 斜截面上的应力
现先分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面 (图b)上的应力。
15
1、与截面外法线同向为正； 2、τa 绕研究对象顺时针转动为正； 3、α由x逆时针转向截面外法线为正。
19
*主单元体(各侧面上切应力均为零的单元体):关键是确定三个主平面与三个主应力的关系
tan
20
2 xy x
y
即-900 20 900时，0 0
x
y
时，
指代数值大的主应力
0
对应的主平面的方位;
〈x
y
时，
指代数值小的主应力
0
对应的主平面的方位。
20
例1 单元体如图所示, 试求: (1)指定斜截面上的应力, (2) 单元体的主应力大小, (3)作出主单元体
yz zy
xy
应力状态的九个应力分量中，独立
的只有六个，即：
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
7
[例8-1-1] 画出表示下列图中的A、B、C点处应力状态
的单元体。
P
A
P
x
A x σx A
σx
y
yx
B
C z
Ｍ
x
B
zx
xz
x
C xy
yx
yx
x
x
xy
xy
3、主单元体、主平面、主应力：
3
Q
N Mz
横截面上正应力分析和剪应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各
不相同，此即应力的点的概念。
4
即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。
过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态（State of the
Stresses of a Given Point）。
5
2、一点处应力状态的表示方法—单元体 (element)
由于一点处任何方位截面上的应力均可根据从该点处取出的微小正六面体── 单元体的三对相互垂直面上的应力来确定，故受力物体内一点处的应力状态(state of stress)可用一个单元体(element)及其上的应力来表示。
特点：a、每一面上，应力均布；
图1 设：斜截面面积为dA，由脱离体平衡得：
Fn 0
dA xdAcos 2 xydAcos sin
n
ydAsin2 yxdAsin cos 0
16
考虑切应力互等和三角变换，得：
x
2
y
x
2
y
cos 2
xy
sin 2
同理：
F 0
dA xdAcos sin xydAcos2 ydAsin cos yxdAsin2 0
n
x
2
y
sin 2
xy
cos 2
17
Ⅱ 二向应力状态下主单元体、主平面、主应力的确定
令
x
y
2
sin 2
xy
cos 2
0
得：tan
20
2 xy x
y
即-900 20 900时，0 0
*共有三个主平面(即切应力为零的方向面），分别是：
1） =0的方向面为一个主平面；
2）与
=
方向面垂直的方向面也是一个主平面；
stress ）：三个主应力都不为零的应
力状态。
B
zx
xz
6）二向应力状态（state of biaxial
stress ）：只有一个主应力为零，
另两个主应力不为零。 x
7）单向应力状态(state of one
dimensional stress ）：只有一
个主应力不为零，另两个主应力
x A x
30MPa
解: (1) x 10MPa
10MPa 20MPa
xy 20 MPa
0
3）前后面（与z轴垂直的方向面）。
18
*二向应力状态下的三个主应力(主平面上的正应力）为：
由
x
y
2
2
2
x
2
y
2
2 xy
三个主应力1，2，3
x
y
2
按代数值从大到小排列
x
2
y
2
2 xy
和0
思考：根据
x
2
y
2
2
xБайду номын сангаас
2
y
2
2，
xy
所有与Z轴
平行的截面中，何时取得极值？最大值和最小值分别是多少？呢？
11
第8章应力状态
（2）在不可能总是通过实验测定材料极限应力，建立复杂应力状态下的强度条件，如图所示。应力状态分析是建立关于材料破坏规律的假设(称为强度理论) (theory of strength, failure criterion)的基础。
12
第8章应力状态
本章将研究 Ⅰ. 平面应力状态下不同方位截面上的应力和关于三向应力状态(空间应力状态) 的概念； Ⅱ. 平面应力状态和三向应力状态下的应力－应变关系— —广义胡克定律(generalized Hooke’s law)，以及这类应力状态下的应变能密度(strain energy density)；
第八章应力、应变
分析基础
第八章应力、应变分析基础
§8.1 §8.2 §8.3 §8.4 §8.5 §8.6
应力状态的概念二向应力状态分析三向应力状态的最大应力平面应力状态下的应变分析广义胡克定律三向应力状态下的应变能密度
§8-1 概述
1、应力的三个重要概念应力的点的概念; 应力的面的概念; 应力状态的概念.
1）主平面(Principal Plane)：切应力为零的截面。
2）主应力(Principal Stress ）：主平面上的正应力。
3）主单元体(Principal Element)：各侧面上切应力均为零的单元体。
x A x 4）主应力排列：按代数值大小，
1 2 3 9
5）三向应力状态（ state of triaxial
yx
b、平行面上，应力相等。
x、 y、 z、 xy、 yx、 yz、 zy、 zx、 xz
xy xy yx
6
剪应力互等定理:
在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
yx
xy yx, xz zx ,
为零。
10
4、本章学习的目的
研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以：
（1）了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳钢拉伸时的屈服(yield)现象是由于在切应力最大的45˚ 斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在45˚ 方向拉应力最大从而使材料发生断裂(fracture)所致。