七桥问题和一笔画

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七桥问题与一笔画

B D E A C F B
A C A→B→C→A
下列图形能不能用一笔画出来？
D
A
C B
D
C D
C O
A
B
A
B
能
能奇点个数：0
能
不能
2
4
不能
请同学们分小组讨论：能够用一笔画的图形有何特征？
能够用一笔画的图形的特征是：奇点的个数是0或2。 1.当奇点个数是0的时候，任何一个点都可作起点，终点也是这个点； 2.当奇点个数是2的时候，起点一定是其中的一个奇点，终点一定是另一个奇点。
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实验与探究
七桥问题与一笔画
营山金华希望小学校
授课人：屠欣
能不能既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七座桥？七哥桥尼问斯题堡
能不能既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七座桥？
① ②
⑥
⑤
⑦
③ ④
把河的两岸、两个小岛看成四个点
把七座桥看成是七条线
转化成数学模型后如图所示
D
A C D C
A D C
A D
B A
C B
B A D
C B
B A D
C B
D
通过今天的学习，你有哪些收获？
1、上网查询七桥问题资料网址： 2、与你家人分享你所发现的规律； 3、探究：赛纳河流经巴黎的这一段河中有两个岛，河岸与岛间共架设了15座桥。（l）能否从某地出发，经过这15座桥各一次后再回到出发点？（2）如果不要求回到出发点，能否在一次散步中，穿过所有的桥各一次？

七桥问题与一笔画的通解

七桥问题与一笔画的通解（论文拟稿）在柯尼斯堡的一个公园里，有七座桥将一条河上的两座岛和两岸相连接。

当时有人提出了这么一个问题：如何一次性不重复不遗漏走完七座桥。

后来，数学家欧拉将它变成了一个一笔画问题（如图）。

从欧拉的简化图来看，似乎我们无论如何，也不能一笔画完图形。

但是，这是为什么呢?在这个图中，有ABCD 4个点，有五条线汇聚到A点，三条线汇聚到B,C,D 点，我们可以把这种有奇数条线（3条及以上）汇聚的点称为奇点，作为对应，把有偶数条线（4条及以上）汇聚的点称为偶点。

那么，我们不难发现，在任意封闭图形中，奇点的个数一定是偶数。

因为一条线定连接两个点（或重合），若存在奇数个奇点，则此图形定不符合封闭图形定义。

从一个奇点来看，若要一笔画成，则此奇点定是起笔点或停笔点。

起笔点，停笔点只有两个，所以说，奇点为两个或没有奇点的封闭图形可以一笔画。

回来看七桥问题，图中有四个奇点，以任意两个作为起笔点和落笔点，则还有两个奇点无法连接。

故七桥问题无解。

从上面总结出以下结论：■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。

画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

■⒉凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点)，一定可以一笔画成。

画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。

■⒊其他情况的图都不能一笔画出。

(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。

)我们可以把得到的结论推广到所有一笔画解法存在问题，如汉字“田”，我们观察到，它有四个奇点，故不可以一笔画。

而汉字“日”，只有两个奇点，则可以一笔画。

早在1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，就阐述了这种方法，也为后来的数学新分支--拓扑学的建立奠定了基础。

从这里我们可以看出，伟大的创造一开始可能并不像我们想象的那么高深莫测，仔细观察生活，我们也会有了不起的发现。

哥尼斯堡七桥问题与一笔画课件

02
在18世纪，人们开始对图论进行研究，探索图的结构和性质，其中哥尼斯堡七桥问题成为了图论研究的重要问题之一。
哥尼斯堡七桥问题的起源
哥尼斯堡七桥问题起源于18世纪初，当时有一位名叫欧拉的人，他是一位数学家和工程师，对图论进行了深入研究。
欧拉在研究哥尼斯堡的桥梁和河流时，提出了一个问题：是否存在一条路径，能够遍历哥尼斯堡的所有桥梁，每座桥只过一次？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题对一笔画问题的影响
哥尼斯堡七桥问题的解决推动了数学领域的发展，它证明了不存在一条遍历七座桥的路径，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
这个问题的解决对于一笔画问题的研究具有重要意义，它揭示了一笔画问题的复杂性和多样性，也促使数学家们深入研究一笔画问题的性质和规律。
一笔画问题在哥尼斯堡七桥问题中的应用
哥尼斯堡七桥问题是一笔画问题的经典案例，它探讨的是从哥尼斯堡的一个地方开始，能否遍历城市的七座桥，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
一笔画问题则是一个更广泛的几何问题，研究的是在一个连通图上，是否存在一条路径能够遍历所有的边，每条边只过一次。
哥尼斯堡七桥问题实际上是几何图形的一笔画问题，它为后续一笔画问题的研究提供了基础。
哥尼斯堡七桥问题的历史意义
哥尼斯堡七桥问题的解决标志着图论的诞生，成为图论发展史上的一个里程碑。
该问题的解决为后续的图论研究提供了基础和指导，推动了数学和图论的发展。
02 一笔画问题概述
一笔画问题的定义
一笔画问题，也称为欧拉路径问题，是图论中的一个经典问题。它主要探讨的是在一个给定的图形中，是否存在一条路径，使得这条路径能够遍历图形的每一条边且只遍历一次。
地图导航

七桥问题和一笔画

②若奇点个数为2，可选其中一种奇点做起点，而终点一定是另一种奇点，即一笔画后不能够回到出发点。
③但凡图形中有2个以上奇点旳，不能完毕一笔画。
用你发觉旳规律，说一说七桥问题旳答案？
因为七桥问题中旳四个点都是奇点，所以能够判断它是无法一笔画出来旳，也就是说根本不存在能不反复走遍七座桥旳路线！
● 点A、B体现岛点C。D体现岸
▎线体现桥
问题分析
问题旳答案怎样呢？让我们先来了解三个新概念。
①有奇数条边相连旳点叫奇点。如：
●
●
●
②有偶数条边相连旳点叫偶点。如：
●
●
●
③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。 2、每条线都只能画一次而不能反复。
活动探究
下图形中。请找出每个图旳奇点个数，偶点个数。试一试哪些能够一笔画出，请填表，从中你能发觉什么规律？
课堂练习
1、一辆洒水车要给某城市旳街道洒水，街道地图如下：你能否设计一条洒水车洒水旳路线，使洒水车不反复地走过全部旳街道，再回到出发点？
小广场
超市菜市场
文具店电器城
服装城
课堂练习
2、下图是一种公园旳平面图，能不能使游人走遍每一条路不反复？入口和出口又应设在哪儿？
E ●
●G F ● D●
这就是数学史上著名旳七桥问题，你乐意试一试吗？
问题情景
18世纪时风景秀丽旳小城哥尼斯堡中有一条河，河旳中间有两个小岛，河旳两岸与两岛之间共建有七座桥（如图），当初小城旳居民中流传着一道难题：一种人怎样才干不反复地走过全部七座桥，再回到出发点？
问题分析
数学家欧拉懂得了七桥问题他用四个点A、B、 C、D分别体现小岛和岸，用七条线段体现七座桥（如图）于是问题就成为怎样“一笔画”出图中旳图形？

七桥问题与一笔画

Ｅ、Ｆ，０个奇点。可以一笔
（Ｃ点），如图ｌ１．如果要选择最
二
Ｄ
个偶点：Ａ、Ｂ、Ｄ、Ｆ，２个奇点：Ｃ、，可以一
笔画成．图７中有２个偶点：４、Ｃ，２个奇点：
Ｂ、Ｄ，可以一笔画成．图８中有１个偶点：Ｄ。４个奇点：Ａ、、Ｃ、Ｄ，不能一笔画成．再
找几个图形试一试，你能发现什么规律吗？
【规律】
① 可以一笔画成的图形．与偶点个数
无关，与奇点个数有关．也就是说，凡是图
短的线路，谁先回到邮局？
ｃ
形中没有奇点的（奇点个数为０），可选任一
个点做起点．且一笔画后可以回到出发点．
７２
ＥＦ
图１１
Ｔ１ｎｔｅ慧ｌｌｉｇ散ｅｎ掌ｔｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
条线都只能画一次而不能重复．图５一图８四个图形中。你能找出图５一
图８的每个图形中奇点和偶点的个数吗？请你试一试其中哪些可以一笔画出？
Ｅ
超
店
图５
图６
７
图８
【分析】图５中有６个偶点：Ａ、Ｂ、ｃ、Ｄ、
看几个一笔画的问题．
先让我们来了解三个新概念．

七桥问题和一笔画

七桥问题和一笔画18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。

如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。

当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。

图 1 图 2七桥问题引起了著名数学家欧拉（17071783）的关注。

他把具体七桥布局化归为图2所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点？欧拉经过研究得出的结论是：图2是不能一笔画出的图形。

这就是说，七桥问题是无解的。

这个结论是如何产生呢？请看下面的分析。

如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。

如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。

因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。

如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。

综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。

图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。

1736年，欧拉在圣彼得堡科学院作了一次学术报告。

在报告中，他证明了上述结论。

后来他又给出了鉴别任一图形能否一笔画出的准则，即欧拉定理。

为了介绍这个定理，我们先来看下面的预备知识：由有限条线组成的图形叫做网络，其中每条线都要求有两个不同的端点。

哥尼斯堡七桥问题与一笔画-推荐优秀PPT

②若奇点个数为2，可选其中一个奇点做起点，而终点一定是另一个奇点，即一笔画后不可以回到出发点。
③凡是图形中有2个以上奇点的，不能完成一笔画。
用你发现的规律，说一说七桥问题的答案？
由于七桥问题中的四个点都是奇点，因此可以判断它是无法一笔画出来的，也就是说根本不存在能不重复走遍七座桥的路线！
在河的中心有一座美丽的小岛。普河的两条支流，环绕其旁汇成大河，把全城分为下图所示的四个区域：岛区(A)，东区(B)，南区(C)和北区(D)。
著名的哥尼斯堡大学，傍倚于两条支流的河旁，使这一秀色怡人的区域，又增添了几分庄重的韵味! 有七座桥横跨普累格河及其支流，其中五座把河岸和河心岛连接起来。这一别致的桥群，古往今来，吸引了众多的游人来此散步。
❖ 欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面都取得了辉煌的成就。在数学的各个领域，常常见到以欧来命名的公式、定理、和重要常数。课本上常见的如π、i、e、sin、cos、tg、△x、 Σ、f(x)等，都是他创立并推广的。欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论，创立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化了望远镜、显微镜的设计计算理论。
这在人类智慧所未及的领域，是很常见的事！
拿起栓有15个圆环的绳子，任选一个桥的支柱作为起点，沿桥依次套圈，看看是否可以让除起点之外的13个桥柱上都有一个圈。（起点的柱子上有两个圈）。结论是，不可能实现完成该任务。
❖ 欧拉
欧拉（）著名的数学家。生于瑞士的巴塞尔，卒于彼得堡。大部分时间在俄国和德国度过。他早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学, 17岁获得硕士学位，毕业后研究数学,是数学史上最高产的作家。在世发表论文700多篇, 去世后还留下100多篇待发表。其论著几乎涉及所有数学分支。

七桥问题与一笔画

七桥问题与一笔画18世纪时，风景秀丽的欧洲小城哥尼期堡中有一条河，河的中间有两个小岛，河两岸与两岛之间共建有七座桥（图1）当时小城的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能不重复地走过所有的七座桥，再回到出发点？这就是数学史上著名的“七桥问题”，为了解决这个问题，我们首先学习一下“一笔画”吧。

把一个图形用笔描绘一遍，笔不能离开图面，已经描过的地方不可以重复，这个图形叫做一笔画。

如图2，由A点出发先走向B点，从B点先描出圆，回到B点后，再描全矩形，这就是一个一笔画。

但图3就不是一个一笔画。

图的顶点可分为两类，奇点和偶点从某点出发的边的条数是奇数时，这样的点叫做奇点（如图3中A、B、C、D）；从某点出发的边的条数是偶数时，这样的点叫偶点（如图2中A、B）由例3我们知道并非所有的图形均可一笔画出，通过研究发现有以下三条规律。

1.凡是仅由偶点组成的图形，一定可以一笔画出，画时可以任意偶点为起点，最后仍回到这点。

2.凡是只有两个奇顶点和任意个偶顶点组成的图形，也可以一笔画出，画时必须以一个奇顶点为起点，而以另一个奇顶点为终点。

3.如果图形中的奇顶点多于两个，那么这个图就不可能一笔画出。

掌握这些结论后，我们就可以顺利的解决七桥问题，首先把被河流隔开的四块区域缩写为A、B、C、D四个点，这样七桥问题就变成了四个点间由七条线相连所成的图（图4）。

因为本图有四个奇点（A、B、C、D），所以一个人不可能不重复地走过所有的七座桥而再回到出发点，这就是著名数学家欧拉研究后得出的结论。

欧拉用他的智慧，把七桥问题变成了一个与位置关系有关的问题，这也为许多现实生活中的七桥问题找到解决的途径。

下面我们来看看它的重要运用。

例1，图5中的线段代表林中小路，在B点A、B两处各有一人，他们约定以相同的速度同时从各自所在的位置出发，走遍林中的每一条小路，最后到达C点，在哪个点出发的人最先到达C点。

分析：从A点出发的人先到。

原因是图中只有A、C两个奇点，由规律可知：从A出发的人可以不重复地走完每一条小路后终止在奇点C；B是偶点，从B点出发不可能不重复地走完每一条小路，他要到达C点，必须在某段小路上重复走一次，从B点出发的人到达C的行程比从A点出发的人更长。

哥尼斯堡七桥问题与一笔画通用课件

问题的意义
01
哥尼斯堡七桥问题推动了图论的发展，成为图论和几何图形研究的重要基础。
02
问题揭示了图论中节点和边的概念，以及它们之间的关系和限制条件，为后续的图论研究提供了重要的启示。
02
一笔画问题概述
一笔画的基本概念
一笔画
一笔画是指从一个给定的点开始，沿着某些路径（通常是线段）前进，最后回到起始点，路径在任何地方都不交叉或重复。
际应用价值。
THANKS。
05
哥尼斯堡七桥问题的解决方案
欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的方法
欧拉通过数学分析，证明了哥尼斯堡七桥问题没有一笔画的可能性，即不存在一条路径能够遍历七座桥而不重复经过任何一座桥。
欧拉的方法基于图论的基本原理，通过分析图中的奇点（起点和终点）和偶点（中间的交点），证明了七桥问题没有一笔画的可能性。
地图染色
地图染色问题是一笔画问题的一个变种，它要求将地图上的国家或地区按照一定的规则进行染色，使得相邻的国家或地区颜色不同。
物流配送
在物流配送中，一笔画问题可以用于解决最优配送路线问题，即如何规划一条或多条路线，使得所有客户都被访问且只被访问一次，同时总距离最短。
一笔画问题的未来发展
算法优化
现代技术的应用
随着计算机技术的发展，现代数学软件和算法可以模拟和验证图论中的问题，为解决复杂问题提供了更高效的方法。
现代技术可以用于分析和处理大规模的图数据，例如社交网络、交通网络等，这些网络结构与哥尼斯堡七桥问题类似，可以通过计算机模拟和算法找到最优解或近似解。
对其他类似问题的启示
哥尼斯堡七桥问题的解决为图论和其他相关领域的研究提供了基础和启示，推动了数学和科学的发展。

七桥问题——一笔画

七桥问题——一笔画
18世纪东普鲁士的哥尼斯堡城，有一条河穿过，河上下有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如下图一）。

有人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复，不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。

这个问题提出后在很长一段时间内很多人进行了研究都没有研究出答案。

后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题——一笔画问题，使问题得到了解决。

（如下图二）
图一图二
问题的答案如何呢？让我们先来了解三个新概念。

①有奇数条边相连的点叫奇点。

②有偶数条边相连的点叫偶点。

③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。

2、每条线都只能画一次而不能重复。

结论：
课堂练习
1、一辆洒水车要给
再回到出发点？
2、甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。

如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？。

哥尼斯堡七桥问题与一笔画

有名的数学游戏．
明了这样的走法是不存在的．欧拉是这样解
所谓一笔画指的是：从图的一点出发，笔决问题的：既然陆地是桥梁的连接点，不妨把
不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只图中被河隔开的陆地看成４个点，将７座桥画一次，不准重复．从图１中容易看出：能一看成７条连接这４个点的线，如图４所示．
请你做下面的游戏：一笔画出图１的图步者能否一次走遍７座桥，而且每座桥只许最后仍回到起始地点？这就是哥尼形来．规则：笔不离开纸，每根线都只能画一通过一次，斯堡七桥问题，一个著名的图论问题次．你能画出来吗？
图ｌ
图２
图３
如果你画出来了，那么请你再看图２能不能一笔画出来？
一
这个问题看起来似乎并不难，但人们始
虽然你动了脑筋，但我相信你肯定不能终没有能找到答案．最后，问题被提到了大数
笔画出图２１这就是一笔画问题，它是一种学家欧拉那里．欧拉以深邃的洞察力很快证
Ｂ
：Ｇ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
３．下图是国际奥林匹克运动会的会标，乙能一笔画成吗？如果能，请你把它画出来．
由任一偶点为起点．最后仍回到这点；（３）凡是
只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇

一笔画与七桥问题

一笔画与七桥问题贵州省道真自治县旧城中学张帮洪 (邮编:563509)一笔画就是笔尖在不离开纸面的情况下,一次性画完某个封闭的图形。

你能一笔画出下列图形吗?有的图形可以一笔画完,有的却不能,如何来判定一个图形是否为一笔画图形呢?对这一问题的研究还得追溯到十六世纪三十年代。

在哥尼斯堡,即现在苏联加里宁格勒，布勒格尔河横贯其境。

这条河有两条支流，中间汇合成大河，从而把该地区划分成A 、B 、C 、D 四块。

在这四块土地上，有七座桥梁相连接，如图（图（1）人们成年累月的来往于此。

于是有人就提出：能否一次走遍这七座桥，既不走重复又不走遗漏？这就是有名的“七桥问题”。

1736年，大数学家欧拉(公元1707—1783年)对七桥问题着手研究，并在彼德堡科学院作了一次有趣的报告。

把这一问题归结为如图（2）所示的一笔画问题，并得出一次性走完七桥是不可能的结论。

原因在于A、B、C、D四个点都分出 D了奇数条叉道，奇数条叉道的点不 B可能是一笔画中的“过路点”（即不是图（2）起点，已不是终点），。

因为“过路点”必须是偶数条叉道的交点，因此A、B、C、D四点必为起点或终点，但一笔画图形中只能有一个起点和一个终点（终点和起点可能为合在一起），故七桥问题得以解决。

最后欧拉给了一笔画问题的判定方法：如果把线图中偶数条线的交叉点叫偶点，把奇数条线的交叉点叫奇点，那么，（1）线图中奇点个数不多于2个，这个图就是一笔画图形，否则就不是一笔画图形。

（2）若没有奇点，则始点与终点重合，若有两个奇点，则始点与终点不重合，还必须从一个奇点画起，另一个奇点必须是终点。

（3）奇点数目总是成双出现的。

一笔画问题与七桥问题的解决，为解决最短邮路和规划问题提供了理论依据，为拓朴学的研究奠定了基础。

因此欧拉对哥尼斯堡七桥问题的研究，成了拓朴学研究的先驱。