插板法、插空法解排列组合问题

插板法、插空法解排列组合问题

华图教育 邹维丽

排列组合问题是行测数学运算中的经常碰到的一类问题，试题具有一定的灵活性、机敏性和综合性，也是考生比较头疼的问题。掌握排列组合问题的关键是明确基本概念，熟练基本题型。解决排列组合问题的方法很多，有插板法，捆绑法，优先法等等，本文主要介绍插板法、插空法在行测数学运算中的应用，以供大家参考。

所谓插板法，就是在n 个元素间的n-1个空中插入若干个（b ）个板，可以把n 个元素

分成b+1组的方法，共有b n C 1-种方法。

应用插板法必须满足三个条件：

(1) 这n 个元素必须互不相异；

(2) 所分成的每一组至少分得一个元素；

(3) 分成的组别彼此相异

举个普通的例子来说明。

把8个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？问题的题

干满足条件（1），（2），（3），所以适用插板法。在8个小球间的7个空插入3个板，共有35

37=C 种情况。

上面介绍的插板法主要是用解决相同元素的名额分配问题，而对于排列组合中常出现的几个元素的不相邻问题，我们可以用插空法来解决，对这种问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列。

下面我们通过几道题来熟悉这两种方法的应用。

例1 某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？（ ）（国2010 -46）

A.7

B.9

C.10

D.12

【解析】C 。本题乍一看不满足应用插板法的条件，插板法的条件（2）要求所分成的每一组至少分得一个元素，可本题要求每个部门至少发放9份材料。事实上，我们可以分两步来解这道题：

1. 先给每个部门发放8份材料，则还剩下30-8*3=6份材料。

2. 本题即可转化为：将6份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放1份材料。问一共有多少种不同的发放方法？应用插板法可得共有103

5=C

另外，本题也可以不用插板法解。由于每个部门至少发放9份材料，我们可以先给每个部门发放9份材料，还剩30-3*9=3份材料，问题可转化为将3份材料发给3个部门，则每个部门的材料分布情况如下：

每个部门的材料数分布情况 不同的分法数目

（0，0，3） 3

（0，1，2） 6

（2，2，2） 1

所以共有10种。

例2 把8个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？

【解析】由于3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，但我们也可以通过转化来应用插板法。如果在3个箱子中预先放一个球，则问题就转化为把11个相同的小球放入3

个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？显然就是45210=C 。

例3 节目表原有3套节目，现在新加入2套节目，共有几套播放方案（ ）（国2008 -57）

A.20

B.12

C.6

D.4

【解析】A .本题属于二次插空问题。将2套节目插入3套节目当中，注意到第一套节

目之前以及最后一道节目之后还可加入，因此有14C 个空位可以插入第一套新节目，插入这

套节目之后，有15C 个空位可以插入第二套新节目。因此总共可安排的播放方案有20

1514=C C 种。

这道题很多考生容易错选为选项B ，因为这些考生直接利用了P （4，2）这个“排列数”来进行计算。这样计算没有考虑两个节目同时插在一个节目空档当中的情况，因此是错误的。

例4：在一张节目表中原有8个节目，若保持原有的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？

【解析】本题与例3类似，用二次插空法。先放置8个节目，有9个空位，先插一个节目有9种方法，现在有10个空位，再插一个节目有10种方法，现有11种空位，再插一种为11种方法。则共有方法9*10*11种。