现代谱估计法及应用效果
现代谱估计
由于存在这些问题，实际实现Wiener滤波时，并不是 直接计算得到最优Wiener滤波器的系数，而是代之以 LMS, RLS, Kalman等自适应滤波器。
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内容
❖ 最优滤波理论与Wiener滤波器 ❖ 梯度下降算法 ❖ 横向LMS自适应滤波器 ❖ 横向RLS自适应滤波器 ❖ Kalman滤波器 ❖ 自适应格型滤波器 ❖ 盲自适应滤波器 ❖ 自适应滤波器的应用
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内容
❖ 最优滤波理论与Wiener滤波器 ❖ 梯度下降算法 ❖ 横向LMS自适应滤波器 ❖ 横向RLS自适应滤波器 ❖ Kalቤተ መጻሕፍቲ ባይዱan滤波器 ❖ 自适应格型滤波器 ❖ 盲自适应滤波器 ❖ 自适应滤波器的应用
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最优滤波理论与Wiener滤波器
❖ 最优预测和滤波 ❖ 最优滤波理论 ❖ 正交性原理 ❖ Wiener滤波器
(
M
1)
Ru,u (1) Ru,u (0)
Ru*,u (M 2)
Ru,u (M 1) Ru,u (M 2)
Ru,u (0)
定义输入与期望响应的互相关向量：
r E u(n)d*(n) Ru,d (0), Ru,d (1), , Ru,d (1 M ) T
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Wiener-Hopf方程的解
• 估计误差e(n)定义为期望响应d(n)与滤波器输出y(n)之差, 即
e(n) d(n) y(n)
对滤波器要求是使估计误差在某种统计意义下“尽可能小”。
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最优滤波理论
❖ 线性最优滤波器（续）
➢对滤波器的约束
• 滤波器是线性的。 一是为了使信号通过滤波器后不致于发生“畸变”； 二是为了便于对滤波器进行数学分析.
谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题
谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题。
功率谱估计课分为经典谱估计方法和现代谱估计方法。
研究二阶平稳随机过程特征－功率谱密度－揭示随机过程中所隐含的周期及相邻的谱峰等有用信息。
则要用有限长的N 个样本数据去估计该平稳随机过程的功率谱密度－谱估计的方法。
此种估计是建立在时间平均的方法之上，并假定具有遍历性。
经典谱估计－线性、非参数化方法：周期图法，相关图法等。
采用经典的傅里叶变换及窗口截断。
对长序列有良好估计。
现代谱估计－非线性、参数化方法：最大似然估计，最大熵法，AR 模型法，预测滤波器法，ARMA 模型等。
对短序列的估计精度高，与经典法相互补充。
是融合经典变换理论、统计估计理论、系统辨识、信息论、时间序列分析及计算方法等理论与技术－新学科。
应用广泛，发展迅速。
1、谱密度意义 一、 能谱密度设x(t)是确定性的复连续信号，若其绝对可积或其能量有限，即：则x(t)的连续傅氏变换存在，由下式给出：错误！未找到引用源。
根据Parseval 能量定理，有：错误！未找到引用源。
由上式可见，信号能量E 等于信号频谱模值平方错误！未找到引用源。
在整个频域上的积分，故称错误！未找到引用源。
为信号的能谱密度。
当x(t)为广义平稳过程时，其能量通常是无限的，则需研究其功率的频域上的分布，即功率密度。
对于平稳随机过程，谱分析是采用自相关函数：错误！未找到引用源。
) 1 1 ( ) ( 2- - - ∞ < =⎰ ∞∞- dt t x E )2 1 ( ) 2 exp( ) ( ) ( - - - - =⎰ ∞∞- dt ft j t x f X π)3 1 ( ) ( ) ( 22- - - ==⎰ ⎰ ∞∞- ∞∞- df f X dt t x E )4 1 ( ) ( ) ( 2 - - = f X f ε [ ] )5 1 () ( * ) ( ) ( - - + = Γ τ τ τ x t x E xWiener-Kinchine 定理将自相关函数与功率谱密度联系起来：错误！未找到引用源。
现代谱估计方法分析
现代谱估计方法分析刘传辉（绵阳职业技术学院 信息工程系，四川 绵阳 621000）摘要：谱分析是信号分析的一种工具。
功率谱估计就是基于有限的数据寻找信号、随机过程或系统的频率成分。
它表示随机信号频域的统计特征，有着明显的物理意义，是信号处理的重要研究内容。
研究随机信号在频域的功率分布情况，即功率谱密度或功率谱，功率谱估计有着广泛的应用。
关键词：功率谱；信号分析；信号处理；Matlab ；Simulink中图分类号： 文献标识码：Modern Spectral Estimation MethodsLiu Chuan Hui(Dept. of Information Engineering, Mian yang vocational and technical college , Mang Yang 621000,China)Abstract : Sp ectral analysis is a tool for signal analysis. Power spect rum est imat ion is based on limit ed dat a looking for signals, the frequency of random process or system components. It said random signal frequency-domain stat istical characterist ics, t here is a clear physical meaning, is an important signal processing research content. Of random signals in the frequency domain, power distribution, that is t he power spectral density or power spect rum. Power spectrum estimation has been widely used.Keywords: Power spectrum; Signal Analysis ; Signal Processing; Matlab ；Simulink0、引言随机信号一般不能用明确的数学关系式来描述，也无法预测其未来瞬间的精确值，对于这些随机性质的数据只能用概率和统计平均的方法来描述，比如均值、均方差、相关函数以及功率谱密度函数等，一个平稳随机信号的功率谱密度叫做谱估计。
现代信号处理论文(1)
AR 模型的功率谱估计BURG 算法的分析与仿真钱平（信号与信息处理 S101904010）一．引言现代谱估计法主要以随机过程的参数模型为基础，也可以称其为参数模型方法或简称模型方法。
现代谱估计技术的研究和应用主要起始于20世纪60年代，在分辨率的可靠性和滤波性能方面有较大进步。
目前，现代谱估计研究侧重于一维谱分析，其他如多维谱估计、多通道谱估计、高阶谱估计等的研究正在兴起，特别是双谱和三谱估计的研究受到重视，人们希望这些新方法能在提取信息、估计相位和描述非线性等方面获得更多的应用。
现代谱估计从方法上大致可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计两种。
基于参数建摸的功率谱估计是现代功率谱估计的重要内容，其目的就是为了改善功率谱估计的频率分辨率，它主要包括AR 模型、MA 模型、ARMA 模型，其中基于AR 模型的功率谱估计是现代功率谱估计中最常用的一种方法，这是因为AR 模型参数的精确估计可以通过解一组线性方程求得，而对于MA 和ARMA 模型功率谱估计来说，其参数的精确估计需要解一组高阶的非线性方程。
在利用AR 模型进行功率谱估计时，必须计算出AR 模型的参数和激励白噪声序列的方差。
这些参数的提取算法主要包括自相关法、Burg 算法、协方差法、 改进的协方差法，以及最大似然估计法。
本章主要针对采用AR 模型的两种方法：Levinson-Durbin 递推算法、Burg 递推算法。
实际中，数字信号的功率谱只能用所得的有限次记录的有限长数据来予以估计，这就产生了功率谱估计这一研究领域。
功率谱的估计大致可分为经典功率谱估计和现代功率谱估计，针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出了现代谱估计，AR 模型谱估计就是现代谱估计常用的方法之一。
信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，通常是求其功率谱来进行频谱分析。
功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。
作业——现代谱估计法
现代谱估计法（殷恒刚 107010254）1. 现代谱估计简介经典谱估计法可以利用FFT 计算，因而有计算效率高的优点，在谱分辨力要求不是太高的地方常用这种方法。
但频率分辨率地是经典谱估计的一个无法回避的缺点。
如周期图法在计算中把观测到的有限长的N 个数据以外的数据认为是零，而BT 法仅利用N 个有限的观测数据作自相关函数估计，实质上也就是假设除已知数据外的自相关函数全为零，这些显然都是与事实不符的。
为了克服以上缺点，人们提出了平均，加窗平滑等方法，在一定程度上改善了经典谱估计的性能。
但是，经典谱估计，始终无法解决，频率分辨率与谱估计稳定性之间的矛盾，特别是在数据记录长度比较短时，这一矛盾尤其突出。
现代谱估计理论也就是在这种背景下产生的，以1967年Burg 提出的最大熵谱分析法为代表的现代谱估计法，不认为在观察到的N 个数据以外的数据全为零。
因此克服了经典法的这个缺点，提高了谱估计的分辨率。
后来发现线性预测自回归模型法(简称AR 模型法)与Burg 的最大熵谱分析法是等价的，它们都可归结为通过Yule-Walker 方程求解自回归模型的系数问题。
目前常用的求自回归模型系数的算法有三种：①为Levinson 递推算法；②为Burg 递推算法；③为正反向线性预测最小二乘算法。
2.现代谱估计的三种模型由信号与系统相关知识可知，任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成是由一白噪声激励一物理网络所形成。
如图一所示。
我们可以先假设一个模型，然后根据已记录数据估计参数值，这样就不用假设N 以外的所有数据全为零，这就克服了经典谱估计的缺点。
图1一个系统的Z 域传递函数的一般形式如下：00()()ba n jjj n i ii bzY z X z a z-=-==∑∑ (1.1)参数建模的任务也就是如何确定阶数a n 和b n 以及系统数组(1,,)i a a i n = 和(1,,)j b b i n = 。
现代功率谱估计
现代功率谱估计
现代功率谱估计是一种使用现代信号处理技术来计算信号功率谱的方法。
功率谱表示信号在频率域上的能量分布情况，描述了信号在不同频率上的能量或功率的分布。
在现代信号处理中，有几种方法可以用于功率谱估计：
周期图法（Periodogram Method）：这是最简单的功率谱估计方法之一。
通过对信号进行傅里叶变换，然后取幅度的平方得到功率谱估计。
但是在实际应用中，可能需要对信号进行分段并对每个段进行周期图法计算，最后取平均值来获得更准确的估计结果。
Welch方法：这是一种常用的功率谱估计方法，它通过将信号分成多个段并对每个段进行周期图法计算，最后对所有段的结果进行平均来减小估计的方差，提高估计的准确性。
改进的周期图法：包括Bartlett、Hanning、Hamming等窗口函数来改进周期图法，减小泄漏效应leakage effect，提高频谱估计的分辨率和准确性。
自回归AR模型：利用信号的自相关性建立AR模型，然后通过这个模型来计算功率谱。
这种方法在非平稳信号和具有明显谱峰或特定频率成分的信号表现上较好。
这些现代功率谱估计方法可以根据不同的信号特点和应用需求选择合适的方法，并在工程、信号处理和科学领域有着广泛的应用。
现代信号处理经典的功率谱估计
现代信号处理经典的功率谱估计《现代信号处理》姓名：李建强学号：201512172087专业：电子科学与技术作业内容：在MATLAB平台上对一个特定的平稳随机信号进行经典功率谱估计和现代功率谱估计的比较一、前言功率谱估计是信息学科中的研究热点,在过去的30多年里取得了飞速的发展。
在许多工程应用中，它能给出被分析对象的能量随频率的分布情况。
平滑周期图是一种计算简单的经典方法，它的主要特点是与任何模型参数无关，但估计出来的功率谱很难与信号的真是功率谱相匹配。
与周期图方法不同，现代谱估计主要是针对经典谱估计(周期图和自相关法)的分辨率低和方差性能不好的问题而提出的。
其使用参数化的模型，能够给出比周期图方法高得多的频率分辨率。
其内容极其丰富，涉及的学科和领域也相当广泛，按是否有参数大致可分为参数模型估计和非参数模型估计，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指数模型等;后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。
二、总体概述本次实验分别使用经典的功率谱估计（如周期图法）与AR模型法对某一特定的平稳随机信号进行其功率谱估计，由图像得到信号的频率。
利用MATLAB平台，直观形象地观察并比较二者估计效果的区别，以便于加深对功率谱估计的理解和掌握。
三、具体的实现步骤1、经典法功率谱估计周期图法又称直接法，它是从随机信号x(n)中截取N长的一段，把它视为能量有限的真实功率谱的估计的一个抽样。
1.1、实现步骤（1）、模拟系统输出参数x(n)=A*sin(2πf1*n)+B*sin(2πf2*n)，包括序列长度N（128或512或1024，加性高斯白噪声（AGWN）功率一定，设置A，B，f1，f2，n的值。
（2）、应用周期图法（不加窗）对信号的功率谱密度进行估计，使用直接法在MATLAB平台上进行编程实现。
（3）、输出相应波形图，进行观察，记录。
1.2 MATLAB源代码实现clear all; %清除工作空间所有之前的变量close all; %关闭之前的所有的figureclc; %清除命令行之前所有的文字n=1:1:128; %设定采样点n=1-128f1=0.2; %设定f1频率的值0.2f2=0.213; %设定f2频率的值0.213A=1; %取定第一个正弦函数的振幅B=1; %取定第一个正弦函数的振幅a=0; %设定相位为0x1=A*sin(2*pi*f1*n+a)+B*sin(2*pi*f2*n+a ); %定义x1函数，不添加高斯白噪声x2=awgn(x1,3); %在x1基础上添加加性高斯白噪声，信噪比为3,定义x2函数temp=0; %定义临时值，并规定初始值为0temp=fft(x2,128); %对x2做快速傅里叶变换pw1=abs(temp).^2/128; %对temp做经典功率估计k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(1); %输出x1函数图像plot(w/pi/2,pw1) %输出功率谱函数pw1图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x(n)添加高斯白噪声后的,周期图法功率频谱分析');grid;%------------------------------------------------------------------------- pw2=temp.*conj(temp)/128; %对temp做向量的共轭乘积k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(2);plot(w/pi/2,pw2); %输出功率谱函数pw2图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x（n）自相关法功率谱估计');grid;1.3 matlab仿真图形（1）、用直接法，功率谱图像,采样点N=128。
ARMA现代谱估计
M
(2)求 ak , bk与 c k 之间的关系式
B( z ) 1 从关系式： 可以得到： A( z ) ( z ) C
k 0
ak z
p
k
( bk z )( c h z h ) k 0 h 0
k
q
M
(a0 c0 1)
上海市特种光纤与光接入网重点实验室－ 省部共建国家重点实验室培育基地
b1 c p 1 c p 2 q b2 c p 2 b cp q c p q
c p 1- q
当该矩阵是非奇异矩阵时，由上式可以求出系数{bk }的估 计值
jw
B (e ) B (e ) B (e )
2 * jw jw 2 jw
2
A (e ) A(e )
* jw jw
A(e jw )
2
( 4)
这样,如果激励白噪声的方差 2 及模型的参数a1......ap , b1......bq 已知，那么由上式可以求出X(n)的功率谱。
上海市特种光纤与光接入网重点实验室－ 省部共建国家重点实验室培育基地
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MA(moving-average)模型
在(1)中，若 a1......a p 全为零；那么(1)(3)及(4)式分别变为：
x(n) u (n) bk u (n k )
k 1
p
H ( z ) B( z ) 1 bk z k
（2）对信号的AR模型，选择恰当的模型阶数p；
7-医学信号处理现代谱估计应用
20
四川大学电气信息学院《医学信号处理》
Rxx (0)
Rxx
(1)
Rxx (1)
Rxx
(0)
1 a11
012
a11 Rxx (1) / Rxx (0)
28
四川大学电气信息学院《医学信号处理》
7.3.3 确定AR模型的阶
一、AR模型的稳定性具有下面性质： • H(z)全部的极点在单位圆内 • 自相关矩阵正定 • 激励信号方差随阶次增加而递减
29
四川大学电气信息学院《医学信号处理》
二、有关AR模型的阶的问题：
• 阶太低，功率谱平滑的 太厉害，平滑后的谱分 辨不出真实谱中的两个 峰；
0.11929
2 2
1
a2,2
2
12
25.5403
a2,1
a1,1
a2,2
a* 1,1
0.81403
a3,3
Rx (3)
a2,1Rx (2)
a2,2Rx (1)
2 2
0.093702
2 3
1
a3,3
2
2 2
25.316
a3,1 a2,1 a3,3a2*,2 0.80285
a3,2 a2,2 a3,3a2*,1 0.4301
• 1、采用高斯消元法，解线性方程组常用方法，运 算量数量级为p的三次方。
• 2、用Levinson-Durbin算法，Y-W方程的高效解 法，即按阶次进行递推运算量数量级为p的二次 方。
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四川大学电气信息学院《医学信号处理》
作业——现代谱估计法
现代谱估计法（殷恒刚 107010254）1. 现代谱估计简介经典谱估计法可以利用FFT 计算，因而有计算效率高的优点，在谱分辨力要求不是太高的地方常用这种方法。
但频率分辨率地是经典谱估计的一个无法回避的缺点。
如周期图法在计算中把观测到的有限长的N 个数据以外的数据认为是零，而BT 法仅利用N 个有限的观测数据作自相关函数估计，实质上也就是假设除已知数据外的自相关函数全为零，这些显然都是与事实不符的。
为了克服以上缺点，人们提出了平均，加窗平滑等方法，在一定程度上改善了经典谱估计的性能。
但是，经典谱估计，始终无法解决，频率分辨率与谱估计稳定性之间的矛盾，特别是在数据记录长度比较短时，这一矛盾尤其突出。
现代谱估计理论也就是在这种背景下产生的，以1967年Burg 提出的最大熵谱分析法为代表的现代谱估计法，不认为在观察到的N 个数据以外的数据全为零。
因此克服了经典法的这个缺点，提高了谱估计的分辨率。
后来发现线性预测自回归模型法(简称AR 模型法)与Burg 的最大熵谱分析法是等价的，它们都可归结为通过Yule-Walker 方程求解自回归模型的系数问题。
目前常用的求自回归模型系数的算法有三种：①为Levinson 递推算法；②为Burg 递推算法；③为正反向线性预测最小二乘算法。
2.现代谱估计的三种模型由信号与系统相关知识可知，任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成是由一白噪声激励一物理网络所形成。
如图一所示。
我们可以先假设一个模型，然后根据已记录数据估计参数值，这样就不用假设N 以外的所有数据全为零，这就克服了经典谱估计的缺点。
图1一个系统的Z 域传递函数的一般形式如下：00()()ba n jjj n i ii bzY z X z a z-=-==∑∑ (1.1)参数建模的任务也就是如何确定阶数a n 和b n 以及系统数组(1,,)i a a i n = 和(1,,)j b b i n = 。
谱估计法的应用
确地确定。在非语音地区的噪音也初步减弱。然而，仍然
有大量的噪音残留在讲话中地区。因此，有必要使用在非 语音地区获得的准确的噪声功率谱进行进一步的去噪。特 别的，我们有； 2 2 2 S ( w) X ( w) 2 ( w)
其中 2 =0.9也是一个实验值，表示的是在谱估法中噪音功 1 和 ( w) 2 是在非语音去的 率谱在讲话中占的比例。例如；
音帧的短时能量和短时过零率是可以计算的。短的时间内能 源零产品 j，然后计算： EZ
Ej和
Z j 是分别短时能源和短时过零率的第j个语音帧，他们
E j s (n)
N
EZ j E j * Z j
N
可以表示为：
n 1
1 Z j sign s (n) sign s (n 1) 2 n 1
(.)是SIGNUM函数。
由于短时能量的语音信号的平方，信号幅度的差异是增加了。
s( 其中N为每个语音帧的长度， n) 是整个讲话的采样点，符号sign
短时过零率描述签署的语音信号的采样点的变化，所以在一 定程度上，这是反映了讲话的频率。
当决定开始和结束时，当噪音水平都很高时短时能量值得到
结果表明， 1 = 1.2时，去噪效果最好。 2.3 语音帧检测 语音帧首先应检测的是去噪步骤2.2，短时能零积分的确切性 被EZ j 所表示，然后是计算去噪语音帧，需要用到公式 TH （5）—（7），噪音的阀值， j 1 .第 j 1 次噪音语音帧是：
TH j 1 EZ j
2
2
2
n 最后，由于阶段的讲话对的人的兴趣不大，(t )项取代x(t )。
在整个去噪过程结束时，通过所采取的IFFT是很容易获得纯 粹的讲话得（快速傅立叶逆变换）。 1.2 短时能零积分
癫痫脑电数据的现代谱分析方法
癫痫脑电数据的现代谱分析方法癫痫是一种常见的神经系统疾病，其特点是反复发作的癫痫发作。
为了更好地理解癫痫的发病机制和进行准确的诊断，现代谱分析方法被广泛应用于癫痫脑电数据的研究和分析。
本文将介绍几种常见的现代谱分析方法，并探讨其在癫痫研究中的应用。
一、短时傅里叶变换（STFT）短时傅里叶变换是一种常用的频谱分析方法，能够将时域上的信号转换为频域上的信号。
在癫痫脑电数据分析中，STFT可以将脑电信号分解为不同频率的成分，从而揭示癫痫发作的频率特征。
通过分析STFT得到的频谱图，可以观察到癫痫发作时的频谱变化，进而辅助医生进行癫痫的诊断和治疗。
二、小波变换（Wavelet Transform）小波变换是一种多尺度分析方法，它能够提供更好的时频局部化特性，对于非平稳信号的分析具有优势。
在癫痫脑电数据的研究中，小波变换可以更准确地定位癫痫发作时的频率成分和时域特征，进一步帮助研究人员理解癫痫的发病机制。
此外，小波变换还可以用于脑电信号的去噪和特征提取。
三、自适应谱估计方法（Adaptive Spectrum Estimation）自适应谱估计方法是一种基于模型的频谱分析方法。
它将信号分解为多个加权的调制正弦函数，能够更准确地估计信号的频率成分和振幅。
在癫痫脑电数据的分析中，自适应谱估计方法可以提高对癫痫发作时频率成分的分辨率，有助于研究人员更好地理解癫痫发作的机制。
四、功率谱密度分析（Power Spectral Density）功率谱密度是一种常用的频谱分析方法，它可以计算信号在不同频率上的功率分布。
在癫痫脑电数据的分析中，功率谱密度可以用于描述癫痫发作时不同频率成分的能量分布情况，从而推测癫痫的发作机制和病情变化。
通过对癫痫脑电数据进行功率谱密度分析，可以为癫痫的诊断和治疗提供重要的参考依据。
五、熵分析方法（Entropy Analysis）熵是信息理论中的一个重要概念，用于描述信号的复杂度和不确定性。
现代谱估计分析
现代谱估计实验报告1 实验目的功率谱估计在实际工程中有重要应用价值。
如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域发挥了重要作用。
本次实验的目的主要是深入理解现代谱估计的基本理论，包括ARMA 模型、ARMA 谱估计。
掌握现代谱估计的基本方法，包括SVD-TLS 算法等。
利用ARMA 功率谱估计中Cadzow 谱估计子和Kaveh 谱估计子来进行谱估计。
2 实验原理2.1 背景若离散随机过程{x(n)}服从线性差分方程)()()()(11j n e n e i n x n x q j j p i i b a -+=-+∑∑==（1）式中e （n ）是一离散白噪声，则称{x(n)}为ARMA 过程，而式（1）所示的差分方程称为ARMA 模型。
系数a 1,a 2……a p ,和b 1,b 2……b q ,分别称为自回归参数和滑动平均参数，而p 和q 分别叫做AR 阶数和MA 阶数。
式（1）所示的ARMA 过程，其功率谱密度为)()()()()(22e e P jw jw z x B B e z A z B w jw δδ=== （2）ARMA 谱估计的目的是使用N 个已知的观测数据x(0)，x(1)…..x(N-1)计算出ARMA 过程{x(n)}的功率谱密度估计。
在实际中，可以运用cadzow 谱估计子和kaveh 谱估计子来估计，cadzow 谱估计子秩序确定AR 阶数p 和估计AR 参数，而kaveh 谱估计子也只需要确定AR 阶数p 和估计AR 参数以及MA 阶数。
2.2 相关算法AR阶数p的确定用奇异值分解（SVD）,AR参数的估计用总体最小二乘法(TLS),即应用（SVD—TLS）算法来完成ARMA谱估计。
SVD—TLS算法：步骤1 计算增广矩阵B的SVD，并储存奇异值和矩阵V;步骤2 确定增广矩阵B的有效秩p；步骤3 计算矩阵S;步骤4 求S的逆矩阵S--,并计算出未知参数的总体最小二乘估计。
现代谱估计课件
N 1
E[Rˆx (m)]e jm
m( N 1)
N 1 m( N 1)
Rx
(m)
N
| N
m
|
e
jm
令w(m)为三角窗
w(m)
(N
|
m 0,
|)
/
N
,
| m | N 1 else
E[Sˆx (e j )] [Rx (m)w(m)]e jm m
E[Sˆx (e j )]
1
2
Sx (e j ) W (e j )
pxx3=abs(fft(xn(515:768),Nsec).^2)/Nsec; %第三段功率谱
pxx4=abs(fft(xn(769:1024),Nsec).^2)/Nsec; %第四段功率谱
Pxx=10*log10((pxx1+pxx2+pxx3+pxx4)/4); %平均得到整个序
列功率谱
f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx); %给出功率谱对应的频率
)
2
sin N
N (1
2
sin 1
2
2 2
)
2
令1=2=
2
4 x
[1
(
sin N )2 ] N sin
当N时，频谱估计方差2不趋向于零，而趋 18
向于
4 x
，因此经典频谱估计不是一致估计
经典谱估计的方差
若取1= 2k/N，2=2l/N，k、l是整数，则有：
Cov[ Sˆ x
5
0
-5 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
现代谱估计
现代谱估计
∑δ
2 i jj j
v ( v ij ) ，式中 v ij = ⎡ ⎣v ( i, j ) , v ( i + 1, j ) ,..., v ( i + p, j ) ⎤ ⎦
H
∧ −( p )
T
4. 求 S
的逆 S
−( p )
，使用最小二乘法得 x i ,TLS = S
( i, i + 1) / S −( p ) (1,1)
Gdarboux 07.10.2 1
现代谱估计
2
ARMA 谱估计：ARMA 谱估计利用已知道的观测数据 x ( i ) , i = 0,1,...N − 1. 来估计其 功率谱密度 Px ( z ) = σ
2
B( z) A( z)
p
2 2
，需要知道激励噪声的方差 σ ，AR，MA 的阶数和参数，
2
∑ a x ( n − i ) = ∑ b e ( n − j ) ， e ( n ) ∼ ℵ( 0,σ ) ，平稳解 x ( n ) = ∑ h e ( n − i ) ，
2
i =0 i j =1 j i =−∞ i
p
q
∞
Px ( z ) = σ
2
B( z) A( z)
2 2
，加性白噪声中的 AR(p) 过程为 AR(p,p)过程….
1 J⎡ ⎣ P (ω ) ⎤ ⎦ = 2π
⎡∧ 1 lnP (ω ) d ω + ∑ λk ⎢ R x ( k ) − ∫ ⎢ 2π k =− p −π ⎢ ⎣
π
p
π
−π
∫ P(w)e
jwk
P (ω ) =
1
k =− p
《现代谱估计》课件
均方根误差与均方误差类似，但通过平方根运算将误差的单位转换为与真实值相同的单位，使得结果更容易解释 。在谱估计中，均方根误差用于评估频率估计的准确性。
平均绝对误差（MAE）
总结词
平均绝对误差是另一种常用的误差评价指标，其计算公式为 $frac{1}{N}sum_{n=1}^{N} | hat{x}(n) - x(n) |$。
VS
详细描述
均方误差反映了估计量的整体性能，其值 越小表示估计性能越好。在谱估计中，均 方误差用于评估频率估计的准确性。
均方根误差（RMSE）
总结词
均方根误差是另一种衡量估计量与真实值之间偏差的常用指标，其计算公式为 $sqrt{frac{1}{N}sum_{n=1}^{N} (hat{x}(n) - x(n))^2}$。
最大似然估计法具有较高的估计精度和可靠性，但需要较复杂的计算和模型参数 的调整。
01
现代谱估计的性能 评估
均方误差（MSE）
总结词
均方误差是衡量估计量与真实值之间偏 差的常用指标，其计算公式为 $frac{1}{N}sum_{n=1}^{N} (hat{x}(n) x(n))^2$，其中 $hat{x}(n)$ 是估计值， $x(n)$ 是真实值，N 是数据长度。
自适应模型选择
根据信号特性自适应地选择合适的模型进行参数估计 。
权重调整
在谱估计过程中，根据不同模型的性能表现，动态调 整各模型的权重，以提高谱估计的精度。
01
现代谱估计的算法 实现
最小二乘法
最小二乘法是一种常用的谱估计方法，通过最小化观测数据与预测数据之间的平方误差，来估计信号 的功率谱密度。
优势与挑战
深度学习能够自动学习和优化特征，但需要 大量标注数据进行训练，且对模型的可解释
现代谱估计方法
现代谱估计方法
基于模型谱估计方法
现代谱估计方法以模型为基础，利用采样的数据建立模型，使谱估计的结果更能体现随机信号全局性的性质。
这种方法相较于经典的谱估计方法，更适用于采样点数比较少的情况。
在模型谱估计中，建立一个符合实际物理过程的模型是关键步骤。
通常使用的模型包括线性时不变（LTI）系统、周期性非平稳过程、自回归模型（AR模型）和滑动平均模型（MA模型）等。
这些模型的选择取决于信号的性质和所关注的问题。
一旦建立了模型，就需要使用采样数据进行参数估计。
常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估计法、最小绝对偏差法等。
这些方法可以根据不同的模型和问题选择使用。
最后，使用估计的参数进行谱估计。
对于LTI系统，可以使用Yule-Walker方程或Burg方法计算自相关函数的参数，然后使用这些参数计算功率谱密度。
对于非平稳过程，可以使用时变滤波器或适应性滤波器来估计谱。
现代谱估计方法相较于经典方法具有更高的精度和可靠性，尤其适用于采样点数较少的情况。
然而，它也需要更复杂的计算和更深入的专业知识。
现代谱估计在噪声源识别中的应用的开题报告
现代谱估计在噪声源识别中的应用的开题报告题目：现代谱估计在噪声源识别中的应用一、研究背景在现代社会中，噪声污染已经成为一个普遍存在的问题，例如交通噪声、工业噪声、建筑噪声等。
噪声污染对人类的身心健康和生产生活质量造成了很大的影响。
因此，噪声源识别成为了很多人感兴趣的研究方向。
目前，很多研究者在噪声源识别方面采用现代谱估计技术。
现代谱估计可以用来分析信号的频谱特性，识别信号中的不同频率成分，从而实现噪声源的识别。
二、研究目的本研究的主要目的是探究现代谱估计技术在噪声源识别中的应用及其优点。
具体目标包括：1.了解现代谱估计的基本原理和特点。
2.探究现代谱估计在噪声源识别中的应用情况。
3.对比现代谱估计和传统谱估计在噪声源识别中的差异。
4.评估现代谱估计在噪声源识别中的优缺点。
三、研究内容本研究内容主要包括以下方面：1.现代谱估计的基本原理和特点：介绍现代谱估计方法，统计信号处理方法和时频分析技术等；2.现代谱估计在噪声源识别中的应用情况：调研现代谱估计在噪声源识别中的各种应用，包括有监督和无监督的噪声源识别方法，分辨率、精度和鲁棒性等方面性能的比较等；3.现代谱估计与传统谱估计的比较：对比现代谱估计和传统谱估计的优缺点以及各自在噪声源识别中的优势；4.现代谱估计在噪声源识别中的应用案例：分析现代谱估计在某些噪声源识别中的具体案例，如交通噪声、工业噪声、建筑噪声等。
四、研究方法本研究采用文献调研和实验研究相结合的方法。
具体方法如下：1.文献调研：通过各类学术数据库（如IEEE、ScienceDirect、Springer等）检索相关文献，对现代谱估计在噪声源识别中的应用进行梳理和整合；同时对现代谱估计和传统谱估计的优缺点进行比较；2.实验研究：选取一些典型的噪声源，基于现代谱估计和传统谱估计的方法进行实验研究，比较两种方法的性能、精度和鲁棒性等。
五、预期结果本研究的预期结果如下：1.详细介绍现代谱估计的基本原理和特点；2.系统地调研现代谱估计在噪声源识别中的应用情况；3.全面地比较现代谱估计和传统谱估计在噪声源识别中的优缺点；4.分析现代谱估计在噪声源识别中的应用案例；5.对现代谱估计在噪声源识别中的优点和局限性进行总结和评估。
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二阶 PEF 输出误差功率为 ( 2b)
N- 1
E2 = =
n= 2 N- 1
E
2 [ ef2 ( n) ] 2 + [ eb 2 ( n) ]
E = R ( 3) 递推高一阶前、 后向预测误差, 即
p 2 wp
( 2c)
n= 2
ELeabharlann [ x( n) + a2 ( 1) x( n- 1) + a2 ( 2) x( n- 2) ] 2 +
2009 年 11 月
第 44 卷
增刊 1
# 处理技术 #
现代谱估计法及应用效果
刘志刚*
¹
李录明 º
赵冬梅 »
( ¹ 东方地球物理公司研究院 , 河北涿州 072751; º成都理工大学信息学院 , 四川成都 610059; » 东方地球物理公司物探技术研究中心 , 河北涿州 072751)
刘志刚 , 李录明 , 赵冬梅 . 现代谱估计法及应用 效果 . 石油地球物理勘探 , 2009 , 44 ( 增刊 1) : 5~ 9 摘要 本文针对 Burg 谱估计法中存在的问题 , 讨论了改进 Burg 谱估计法和改进协方差谱 估计法 , 以理论 信号为 测试对象 , 对不同谱估计法的应用效果进行了对比 , 结果表明 : ¹ Burg 谱估计法分辨率明显高于 Welch 谱估计法 , 但 Burg 谱估计法存在明显的峰值偏移 , 改进 Bur g 谱估计法几乎没有峰值偏移 ; º改进协方差谱估计法和 Burg 谱 估计法都具有较高的分辨率 , 而前者的波峰较后者更明显 、 尖锐 , 对于短数据 、 信号频率差异较小的信号 , 前者具有 更好的分辩效果, 还能抑制谱线分裂和出现假谱峰等问题 ; » Itakur a 算法求得的反射系数大于或等于 Bur g 谱估计 法求出的反射系数 , 使得接收到的信号更接近于实际输入信号 , 因此可用 Itakura 算法 替代 Burg 谱估计法 。 实际 地震剖面去噪结果表明 , 以高分辨率谱估计方法为基础的信噪分离方法具有较好的去噪效果 。 关键词 现代谱估计法 L evinson 递推算法 改进 Burg 谱估计法 改进协方差谱估计法 分辨率 反射系数
2
e ( n) = e e ( n) = e
b p
f p
f p- 1 b p- 1
( n) + Q pe
[ x ( n - 2) + a2 ( 1 ) x ( n - 1) + a 2 ( 2) x ( n) ] ( 2d) 同时采用两个使得 E 2 最小的必要条件, 即 5E 2 5E2 = 0, = 0 5 a2 ( 1 ) 5 a2 ( 2) 经推导可得关于 a2 ( 1) , a2 ( 2 ) 的方程组 c( 1 ) + b( 1) a 2 ( 1) + c( 1 ) a2 ( 2) = 0 c( 2 ) + c( 1 ) a2 ( 1) + b( 2 ) a2 ( 2) = 0 其中
N- 1
b p- 1
( n- 1)
f
( n - 1) + Q p e p- 1 ( n)
( 3a)
( 4) 仿照式 ( 2b) 的递推关系 , 重复上述过程, 直 到阶数 p 等于所需 AR 模型阶数, 求出 AR 模型参 数估值, 再按下式进行功率谱密度估计 P ^ BU ( f ) = 1+ E ^p
2 2
小均方预测误差。 ( 2 ) 估计 p 阶预测系数 ( AR 模型参数) 及最小 预测误差的均方值 , 即 Q m = - 2 E e fm- 1 ( n) eb m- 1 ( n - 1)
n= m N- 1 n= m N- 1
2
Burg 谱估计法
为了克服 Levinson 递推算法中因估计 相关函
c( i ) =
n= 2
E [ x(n+ E [x
2
i - 2 ) x ( n- 2) + ( 3c)
x ( n - i) x ( n) ]
N- 1
b( i) = 由此解得
( n + i - 2) + x 2 ( n - i) ]
n= 2
a2 ( 1) = -
c( 1) [ b( 2 ) - c( 2 ) ] b( 1) b( 2 ) - c2 ( 1)
f 0 b
典( 非参数 ) 谱估计方法, 其以相关和傅里叶变换为 基础 , 对于长数据记录较适用 , 但无法根本解决频率 分辨率低和谱估计稳定性的问题 , 特别是在数据记 录很短的情况下, 这一问题尤其突出。以随机过程 的参数模型为基础的现代参数法功率谱估计具有更 高的频率分辨率和更好的适应性 , 可实现信号检测 或信噪分离, 对语音、 声纳雷达、 电磁波及地震波等 信号处理具有重要意义, 并广泛应用于通信、 自动控 制、 地球物理等领域。在现代参数法功率谱估计方 法中 , 比较有效且实用的是 Burg 谱估计法, 该法避 免了计算相关, 对短数据具有更强的适应性, 从而弥 补了经典谱估计法的不足, 但其也有一些自身的缺 陷。本文针对 Bur g 谱 估计法中存在 的问题, 讨论 了改进 Burg 谱 估计法和改进协方 差谱估计法 , 理 论模型及对实际地震剖面的处理结果表明, 现代谱 估计法的分辨率更高、 适应性更强[ 1~ 5] 。
k= 1
^ p ( k) e- j2Pkf Ea
p
( 4e)
考虑到以 r x ( l , k ) 为元素的相关矩阵不是 T o eplit z 阵, 因此不能利用 L ev inson 算法求解。但相 关矩阵的结构足以设计复杂性与 p 成正比的有效 计算方法。 Marple 设计了这样的算法 , 该算法具 有格型结构, 利用了 L evinso n 类型的阶递推和另外 的时间递推。这种形式的改进协方差 ( 无约束最小 二乘法 ) 方法也一直被称为数据未加窗最小二乘方 法。改进协方差方法基本上克服了谱线分裂、 谱峰 偏移和出现伪峰等缺点 , 但不能保证 AR 模型稳定, 并且所需运算量也偏大 , 然而在谱估计中这不是一 个大问题。
N- 1
Q ^ m = *
n= m N- 1 n= m
E ^e
f m - 1
* ( n) eb m - 1 ( n - 1) 2 N- 1 2
E
^e m- 1 ( n)
f
*
n= m
E
e m- 1 ( n - 1) ( 3g)
b
第 44 卷
增刊 1
刘志刚等 : 现代谱估计法及应用效果
LS LS E p
a 2 ( 1) = a 1 ( 1) + a2 ( 2) a1 ( 1) ( 3e) 由式( 3e) 可求出 a1 ( 1 ) , 再利用式( 3d) 得 c( 1 ) a2 ( 1) = ( 3f) a 1 ( 1) = b( 1) 1 + a2 ( 2) 综上所述 , 改进 Burg 谱估计法计 算步骤可归 纳为: ¹ 由式 ( 3c) ~ ( 3f ) 计算 a2 ( 2) , a2 ( 1 ) , a1 ( 1) ; º 当阶数大于 2 时, 利用式 ( 3a) ~ ( 3e) 递推计算反 射系数和 PEF 系数, 直至所需的阶数。 另外 , 还有一种改进方法称为 It akura 算法, 此 算法的关键 是改 变反射 系数 的形式 , 基 本思 路与 Bur g 谱估计法一致, 不同之处在于计算各阶矩时, 是用时间均值 来代替集合均值 , 推出 It akura 算法 反射系数, 即
n = 0, 1 , ,, N - 1 ( 1a)
此时均方差等于预测器平均输出功率 , 故有
2 1 R w 0 = R ( 0) = N N- 1 n= 0
Ex
2
( n) ( 1b)
R = E [ e ( 0) ]
2 w0 2
其中: e0f ( n) 、 e0b ( n) 分别为前、 后向 预测误差 初值; x ( n) 为观测数据 ; R w 0 为白噪声方差; E[ e ( 0) ] 为最
k+ 1
^ p ( k) e- j2Pf k Ea
p
2
( 2e)
( 3b)
综上所述, 谱估计法的优点在于: ¹ 频率分辨 率高 ; º所得的 AR 模型稳定 ; » 计算 效率高。然 而, Burg 谱估计法也有公认的不足。首先 , 在高信 噪比时, 其谱线呈现出分裂 ; 其次 , 对于高阶模型来 讲, 该方法也可能引入假谱峰 ; 第三 , 对于噪声中的 正弦信号 , Burg 谱估计法对正弦信号的初始相位呈 现出敏感性, 特别是对短的数据记录更是如此。
p , 而其余的预测系数 中, 一旦求出 Q p , 则 ap ( p ) = Q 就由低一阶模型的系数 ap - 1 ( k) 来确定 , 不能灵活
5
现代谱估计法应用结果
5. 1 不同谱估计方法的效果对比 5. 1. 1 不同谱估计方法的分辨率对比 图 1 为 Bur g 谱估计法与 Welch 谱估计法分辨 率对比图 , 由图中可见, Bur g 谱估计法能分辨出间 隔为 0. 02H z 的频率 , 而 Welch 谱估计法不能分辨 出 , 因此前者的分辨率明显高于后者。 图 2 为 Bur g 谱估计法与改进 Burg 谱估计法分 辨率对比图, 由图中可见, Burg 谱估计法的峰值有 明显偏 移, 而 改进 Burg 谱 估计 法 几乎 没 有峰 值 偏移。
数给功率谱 带来的影响 , Burg 提出了一 种新的算
1
引言
周期图、 自相关法及其改进方法 ( Welch) 为经
法[ 6 ] , 其基本思想是 , 利用由线性预测器直接获得的 观测数据的前向和后向预测的总均方误差之和的最 小值来估计预测系数, 进而通过 L ev inso n 算法的递 推公式求出 AR 模型优化参 数。 Burg 谱估计法步 骤如下 : ( 1) 计算初始值 e ( n) = e0 ( n) = x ( n)