轴测投影基本常识
第十二章 轴测投影
例9：画出如图所示两相交圆柱的正等轴测图。
1）画出轴测轴，将两个 圆柱按正投影图所给定 的相对位置画出轴测图； 2）用辅助面法求作轴测 图上的相贯线，首先在正 投影图中作一系列辅助面， 然后在轴测图上作出相应 的辅助面，分别得到辅助 交线，辅助交线的交点即 为相贯线上的点，连接各 点即为相贯线； 3）去掉作图线， 加深，完成全图
第十二章
轴测投影
§12－1
轴测投影的基本知识
Z1 O1 X1 Y1
一、 轴测投影的基本概念 轴测投影属 投影面 于一种单面平行 投影，用轴测投 影法绘出的图称 Z 为轴测投影图。 O 其突出的优 X 点是具有较强的 直观性。
Y
正投影图与轴测图的比较
正投影图绘制图样．它可以较完整地确切地表达出形体各部分的形状， 且作图方便，但这种图样直观性差； 轴测图能同时反映形体长、宽、高三个方向的形状，具有立体感强，形 象直观的优点，但不能确切地表达形体原来的形状与大小．且作图较复杂， 因而轴测图在工程上一般仅用作辅助图样。
投影面P 称为轴测投影面 投射线S 的方向称为投射方向
1. 轴测轴和轴间角
建立在物体上的坐标轴在投影面上的投影 叫做轴测轴，轴测轴间的夹角叫做轴间角。
投影面
X1 Z O X Y
Z
Z1
X O Y
Z1
投影面
O1
Y1
O1 X1 Y1
轴间角
坐标轴 物体上 OX， OY， OZ 投影面上 O1X1，O1Y1，O1Z1 轴测轴
O 8 Y
X
25
例4：已知物体三面投影，画其正等轴测图。
16
例4：已知物体三面投影，画其正等轴测图。
⒊ 叠加法
例5：已知物体三面投影，画其正等轴测图。
第七章 轴测投影
1、坐标法
坐标法是轴测图作椭圆的真实画法
2、四心扁圆法
四心扁圆法简称四心法，是一种椭圆的近似画 法。画椭圆的关键有以下几点: ①分辨平行于哪个坐标面的圆; ②确定圆心的位置; ③画出与椭圆相切的菱形; ④确定椭圆长轴与短抽的方向； ⑤用四心法分别求四段圆弧。
例7-5 根据图所示水平圆的投影图，绘制 其正等测图。
第七章 轴测投影
7-1 轴测投影的基本知识 7-2 正轴测图 7-3 斜轴测图
轴测投影图
轴测投影图简称轴测图，有立体感是它的优点， 但它也存在着缺点。 首先是对形体表达不全面 其次，轴测图没有反映出形体各个侧面的实形 工程上仅用来作为辅助图样。在给排水和暖通 等专业图中，常用轴测投影图表达各种管道的 空间位置及其相互关系。
一、正面斜轴测;
⑴不管投射方向如何倾斜.平行于轴测投影面 的平面图形;它的斜轴测投影反映实形。 ⑵相互平行的直线，其正面斜轴测图仍相互平 行;平行于坐标轴的线段的止面斜轴测投影与 线段实长之比，等于相应的轴向伸缩系数。 (3)垂直于轴测投影面的直线，它的轴钡l投影 方向和长度，将随着投影方向S的不同而变化。
四、轴测投影图的分类
1.按投射方向与轴测投影面之间的关系分类 (1)正轴测投影。 (2)斜轴测投影。 2.按轴向伸缩系数的不同分类 (1)等测。 (2)二测。 (3)三测。
7-2 正轴测图
一、正等测 (一)轴间角和轴向伸缩系数
(二)轴测图的基本画法
1.坐标法
例7-1 下图所示为四坡顶房屋的投影图，作出 其正等测图。
7-1 轴测投影的基本知识 Nhomakorabea一、轴测投影图的形成 轴测投影属于平行投影的一种，它是用一组平 行投射线，采用与形体的三个向度都不一致的 投影方向。
轴测投影
3.作圆柱切口的轴测图，在椭圆上自1、2、3、4、5、6各点向上引垂线， 并截取相应高度即可作出；再根据圆柱的高度作圆柱的上顶圆；
1’(4’)
2’(5’)
3’(6’) 1 X
Z
Y 2 3
O
5 4 6
O 4 5 6 45°
45°
O
2
1
3
步骤： 1.画出轴测轴（为了看清切口，最好画成仰视的 轴测图）； 2.用八点法作出下底圆的斜二测椭圆；
在工程中，轴测投影图一般作为工程辅助图样。
返回
2、轴间角和轴向伸缩系数
轴测轴——三个坐标轴X1、Y1、Z1的轴测投影X、Y、Z。 轴间角——轴测轴之间的夹角，∠XOY、∠YOZ、∠ZOX 。 轴倾角——轴测轴X、Y与水平线间的夹角。
Z 轴向伸缩系数——轴测轴上的 C 单位长度与对应坐标轴上的单 位长度之比。 O X轴轴向伸缩系数: p=OA/O1A1 X A Y轴轴向伸缩系数: q=OB/O1B1 Z轴轴向伸缩系数：r=OC/O1C1 推论: 与坐标轴平行的棱线，其轴测投影平 行于对应的轴测轴，其轴向伸缩系数 等于对应坐标轴的轴向伸缩系数。 P
高校建筑学与城市规划专业教材《画法几何与阴影透视》课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版
5
Z′
X′ O′ Y Z Y
O X
O
返回
倒圆角正等轴测图的画法
Z
返回
返回
综合法
Z′ Z
X′
O′ O
X
Y
返回
Z′
Z
X′O′ O X YY′Z′ZX′
O′ O X Y
Y′ 返回
Z′ Z
X′
O′ O
X
Y
轴测投影的基本知识
Page 11
1.线性尺寸 轴测图线性尺寸，应标注在各自所在的坐标面内，尺 寸线应与被注长度平行，尺寸界线应平行于相应的轴测轴， 尺寸数字的方向应平行于尺寸线，如出现字头向下倾斜时， 应将尺寸线断开，在断开处以水平方向注写尺寸数字。轴 测图的尺寸起止符号宜用小圆点。轴测图线性尺寸的标注 如图5-2所示。
（1）正等测图。三个轴向伸缩系数都相等的轴测 图，称为正等测图，简称正等侧。
(2）正二测图。只有两个轴向伸缩系数相等的轴测 图，称为正二测图，简称正二侧。
(3）正三测图。三个轴向伸缩系数都不相等的轴测 图，称为正三测图，简称正三侧。
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轴测投影的基本知识
2.斜轴测图 当投影方向倾斜于轴测投影面时得到的投影图， 称为斜轴测图。斜轴测图可分为正面斜轴测图和水平 斜轴测图。
轴测投影的基本知识
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轴测投影的基本知识
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1.2 轴测图的基本参数 结合图5-1对轴测图的基本参数进行解释。 （1）轴测轴。 直角坐标轴的轴测投影轴，简称轴测轴，用O 1X 1、O 1Y 1、O 1Z 1表示。 （2）轴间角。 在轴测投影面P上，三个轴测投影轴之间的夹角称为 轴间角，用∠X 1O 1Z 1 ∠Y 1O 1Z 1、∠X 1O 1Y 1表示。
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轴测投影的基本知识
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轴测投影的基本知识
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2.圆径尺寸 轴测图中的圆径尺寸应标注在圆所在的坐标面内； 尺寸线与尺寸界线应分别平行于各自的轴测轴。圆弧 半径和小圆直径尺寸也可引出标注，但尺寸数字应注 写在平行于轴测轴的引出线上。轴测图圆径尺寸的标 注如图5-3所示。
7-1 轴测投影的基本知识
X1
Y1
木材科学与工程
19
第 七章轴测投影
3）凡是平行于V面的圆或曲线，常 用正面斜二测，其轴测投影反映实形，画 法较为方便。因此，凡具有正平圆或曲线 的立体采用正面斜二测图为宜。
木材科学与工程
20
第 七章轴测投影
木材科学与工程
21
第 七章轴测投影
2．轴测轴方向的变更 在确定了轴测图的类型后，只要保持轴间
第 七章轴测投影
第一节
轴测投影的基本知识
三面投影图可以比较全面地表示空间物体 的大小。但是这种图不能反映出立体的空间形 象，立体感较差，尤其是对初学者来说不容易 看懂。为弥补此缺陷，采用轴测投影绘出物体 的投影图，叫做轴测投影图。
木材科学与工程
1
第 七章轴测投影
测投影图立体感比较强，能同时反映几个 面的形状，但是它的缺点是不能直接反映物体 各表面的真实形状和大小，因而度量性较差， 同时作图较正投影复杂，所以多数情况下只能 作为一种辅助图样，用来帮助人们读懂正投影 图。
角不变，可以根据要求来变更轴测轴的方向。
也就是说，根据物体的形状选择一适当的投射
方向，使需要表达的部分最为明显。投射方向
的选择，相当于观察者选择从哪个方向去观察
物体。
木材科学与工程
22
第 七章轴测投影
木材科学与工程
23
第 七章轴测投影
木材科学与工程
24
第 七章轴测投影
作形体的轴测投影时，应根据形体的形状 特点，利用如直线的平行性等几何特性。辅助 直线、次投影、应用形体分析法、甚至近似法 等来简化作图。 一、平面立体
表面全是平面的立体，称为平面立体或多 面体 。 作平面立体的轴测投影，归结为作出其棱 线的轴测投影。当棱线平行坐标轴时，则直线 的长度可利用轴测轴的变形系数来量度。
轴测投影的基本知识
轴测投影的优点在于表现物体的立体感和空间感效果好，易于理解；缺点在于不能精确表达物体的所有几何形状 和尺寸。其他工程图样的优点在于能够精确表达物体的几何形状和尺寸；缺点在于对于非专业人士来说可能较难 理解。
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06
轴测投影与其他投影方法 的比较
与正投影的比较
适用场景
正投影适用于绘制工程图、建筑图纸 等需要精确表达物体所有几何形状和 尺寸的场合。轴测投影适用于绘制透 视图、效果图等需要表现物体立体感 的场合。
绘制难度
正投影需要较高的绘图技巧和精确度， 而轴测投影相对简单，易于掌握。
与透视投影的比较
适用场景
失真
由于是投影转换，轴测投影可能会造成物体的某 些形状和线条失真，特别是对非正方形的物体。
立体感减弱
由于是将三维物体投影到二维平面，物体的立体 感可能会减弱，难以表达深度和远近关系。
表达信息有限
轴测投影只能从一个或几个固定角度展示物体， 难以全面表达物体的所有面和细节。
使用注意事项
选择合适的投影角度
02
轴测投影的类型与分类
正轴测投影
总结词
正轴测投影是一种将物体沿三个坐标轴方向进行拉伸的投影方法，能够保持物体的形状和大小不变。
详细描述
正轴测投影分为三种类型，即正等轴测投影、正二等轴测投影和正三等轴测投影。在正等轴测投影中 ，物体沿三个坐标轴方向按相同的比例进行拉伸，而在正二等轴测投影和正三等轴测投影中，物体沿 两个坐标轴方向的拉伸比例不同。
透视投影适用于绘制风景画、人物画等 需要表现物体立体感和空间感的场合。 轴测投影适用于绘制工程图、建筑图纸 等需要精确表达物体形状较高的绘图技巧和精确度， 而轴测投影相对简单，易于掌握。
轴测投影—轴测投影的基本知识(建筑制图)
（2）斜轴测投影：当投影方向与轴测投影面倾斜时，称为斜轴测投影，如图4-5。 采用斜投影法得到的轴测投影图，称为斜轴测图。根据轴向变形系数的不同，斜轴测投影图可分为三类：
p = q = r 斜等轴测图 p = r ≠q或 p = q≠r斜二轴测图 p ≠q ≠r斜三轴测 工程中常用：斜二测图，见图4-6（b）(c)，图4-5(a)斜二测投影图。
4. 轴测投影的性质 轴测投影是单面平行投影，具有平行投影的一切性质。见图4-4、4-5。 （1）空间形体上互相平行的线段，轴测投影仍互相平行； （2）形体上平行于坐标轴的线段，其轴测投影仍平行于相应的轴测轴； （3）空间形体上两条平行线段的长度之比，等于其轴测投影长度之比； （4）形体上平行于坐标轴的线段，其轴测投影与其实长之比等于相应的轴向变形系数。 注：凡轴向线段，画轴测图时，可按其尺寸乘以相应的伸缩系数直接沿轴测量。而对于空间不平行于坐标轴的直线，即 非轴向线段，不可在图上直接量取。
那么轴测投影有什么特点？怎样画轴测投影图呢？
知识点一 轴测投影概述
1. 轴测投影概述 轴测投影是用一组互相平行的投射线沿不平行于任一坐标面的方向将形体连同确定其空间位置的三个坐标轴一起投影到 一个投影面所得到的投影，立体感强，直观，易看懂，见图4-2。
2. 轴测投影的形成
如图4-3中，将形体连同确定其空间位置的直角坐标系OX、OY、OZ，用平行投影法沿S方向向选定的一个投影面P上做 平行投影，所得到的单面投影，称为轴测投影图。这种投影方法称为轴测投影法。
任务四 轴测投影的了解
知识点一 轴测投影概述
任务内容
01 知识点一 轴测投影概算 02 知识点二 正轴测图
前面所学的正投影图能够完整、准确地表达形体的真实形状和大小，而且作图简便，所以在工程实践中被广泛采用。但 正投影图缺乏立体感，在识读时必须把三个投影图联系起来，才能想象出空间形体的形状，要有一定的识图能力才能看懂，如 图4-1（a）。所以在工程中通常采用轴侧投影作为一种辅助图样来进行交流和影的分类 根据投影方向S与轴测投影面P是否垂直，轴测投影分两类。如图4-4，当投影方向与轴测投影面垂直时，称为正轴测投 影( S⊥P)。 采用正投影法得到的轴测投影图，称为正轴测投影图。根据轴向变形系数的不同，正轴测图分三类： p = q = r 正等轴测图 、p = r ≠q 正二轴测图、p ≠q≠ r正三轴测图
4-第5章.轴测投影
1.2 轴测轴、轴间角、轴向伸缩系数
（1）轴测轴 直角坐标轴OX，OY，OZ，在轴测投影面上 的投影O1X1，O1Y1，O1Z1 ，称为轴测投影轴，简称轴测轴。
（2）轴间角 轴测轴之间的夹角，∠ X1 O1Y1
∠ X1 O1Z1称为轴间角。 （3）轴向伸缩系数 令： O1A1 p= ， OA O1B1 q= ， OB
Z
Y
X Y1 Z1
P
正面斜轴测图
O
S
O1
X1
一、正面斜轴测图
1、轴间角和轴向伸缩系数 （1）轴间角。∠X1O1Z1=900
O1Y1轴测轴与O1X1轴的夹角一般取30°、45°或60°，常用45°。
Z1轴画成铅垂方向。 （2）轴向伸缩系数
当轴向伸缩系数p=q=r=1时，称为正面斜等测； 当轴向伸缩系数p=r=1、q=0.5时，称为正面斜二测。
E1 D1
F1
A1
O1
C1 B1
3) 三棱锥的正等轴测图画法
s′
z′
S
Z1
x′
X
a′ a
b′
o′ c′ o
c
A X1
o1
C
s
B
Y1
b
Y
s′
z′
S
x′
x
a′ a
b′
o′ c′ o
c A B
C
s
b
y
注意:
1、坐标轴的确定应考虑形体的特征将轴测轴与坐 标轴相对应。
2、凡与坐标轴平行的线段，其变形系数与相应的 轴向变形系数相同，则沿轴度量。
A1
2
C1
4 3 A1 1
O1
B1
第四章轴测投影
右前上方观 察的斜二测 左前上方观 察的斜二测
33
三、水平斜等轴测图
=90°所以H面投影不变形， 因为∠X1O1Y1=90°所以H面投影不变形，
只需按要求将平面图旋转某一角度后作 出高度即可。 出高度即可。 度即可
34
35
36
做下图的水平斜等轴测图 做下图的水平斜等轴测图
37
38
39
40
16
㈣叠加法
有些形体可看成由几个简单形体叠加而 成。画图时，一般先画较大的形体，再 画图时，一般先画较大的形体， 加上较小的形体。 加上较小的形体。注意它们的相对位置 要正确。 要正确。
17
画图所示形体的正等轴测图。 画图所示形体的正等轴测图。
18
19
20
三、曲面立体的正等轴测图画法
平行于坐标面的圆的正等轴测图的画法: 平行于坐标面的圆的正等轴测图的画法: 平行于三个坐标面的圆的正等轴测投影都是椭 平行于三个坐标面的圆的正等轴测投影都是椭 圆，为了简化作图，常采用近似画法，即用四 为了简化作图，常采用近似画法，即用四 段圆弧连接成扁圆代替画椭圆，称为四心法。 段圆弧连接成扁圆代替画椭圆，称为四心法。
24
圆角的正等轴测图画法
平行于坐标面的圆角，实质上是四分之一圆， 平行于坐标面的圆角，实质上是四分之一圆，其正等 轴测图是上述近似椭圆的四段圆弧中的一段。 轴测图是上述近似椭圆的四段圆弧中的一段。
正投影图如图，画轴测 正投影图如图 投影图。 投影图。
25
⑴画出平板的正等轴测图， 画出平板的正等轴测图， 并根据圆角半径R，在平 并根据圆 板的上顶面相应边线上定 出切点l 出切点l、2和3、4。 ⑵过切点1、2分别作出相 过切点1 应边线的垂线得交点O 应边线的垂线得交点O1， 同样过3、4作相应边线的 同样过3 垂线得交点O 垂线得交点O2。
轴测投影的基本知识
4-1 轴测投影的基本知识
1
2
虽然多面正投影图能够准确地反映物体的形状，但由于没有立体感，所以多面正投影图的使用受到一定的局限。轴测图是具有很强立体感的图形。
轴测图即是人们常说的立体图。
工程上的辅助图样； 学习制图的有效工具。 本章将介绍轴测投影的基本知识，讲解两种常用轴测图的画法。
轴测图主要用于：
常用的轴测图：正等测和斜二测
轴测图的性质 由于轴测图是采用平行投影方法绘制的，因此各种轴测图都具有以下两点性质。 物体上互相平行的线段其轴测投影仍保持平行 物体上与坐标轴平行的线段其轴向伸缩系数与该轴的轴向伸缩系数相同。 轴测图的种类和性质
轴测投影的基本术语
位于物体上的三直角坐标轴OX、OY和OZ 在轴测投影面上的投影， 记做O1X1、O1Y1和O1Z1。
轴测轴之间的夹角。 轴测图种类不同, 其轴间角大小亦不相同。
Hale Waihona Puke 轴测图基本术语轴向伸缩系数 在三直角坐标轴上量取的单位长度e的轴测投影长ex、ey、ez与其实长e之比。 x轴：p=ex/e y轴：q=ey/e z轴：r=ez/e 轴测图种类不同，轴向伸缩系数也就不同。
1、轴测图种类 按照轴测图的形成方法不同，可分为： 正轴测图—采用正投影方法绘制的轴测图 斜轴测图—采用斜投影方法绘制的轴测图。
三、轴测图的种类和性质
按照轴测图的轴向伸缩系数不同，可分为： p=q=r 称为等测 有正等测 斜等测 p=r≠q 称为二测 有正二测 斜二测 p≠q≠r 称为三测 有正三测 斜三测
一、轴测图的形成方法
要得到具有立体感的图形，就要调整物体与投影面或投射线与投影面之间的相对位置。 正轴测图 轴测图的形成方法一： 调整物体与投影面的相对位置——正轴测图：物体倾斜，正投影。
轴测投影的基本知识
轴测投影
正轴测投影
正等测 正二测 正三测
p=q=r
p=r≠q
p≠q≠r
斜轴测投影
斜等测 斜二测 斜三测
p=q=r p=r≠q p≠q≠r
精选PPT课件
7
正轴测投影
形体长、宽、高三 个方向的坐标轴与 轴测投影面倾斜， 投射线垂直于投影 面所得到的投影
斜轴测投影
形体两个方向的坐标轴
与轴测投影面平行，投
例 画出四棱台的正等轴测图。
坐 标 法
精选PPT课件
20
例 画出给定形体的正等轴测图
画空间轴 画轴测轴 画长方体 画五棱柱 检查、描深
叠 加 法
精选PPT课件
21
例 作出下图所示柱脚的正等测图。
Z
叠
O
O
加
法
步骤： X
Y
1.画出轴测轴；
O
2. 作出四棱柱底板的轴测图；
3.作出柱身的轴测图；
4.作出四个支承板的轴测图；
精选PPT课件
22
例 作出下图所示柱脚的正等测图。
Z
叠
O
O
加
法
步骤： X
Y
1.画出轴测轴；
O
2. 作出四棱柱底板的轴测图；
3.作出柱身的轴测图；
4.作出四个支承板的轴测图；
5.擦去多余图线，并加深可见部分。
精选PPT课件
23
例 画出台阶的正等轴测图
z′
x′
o′
叠o
x
加
Z
法
y
精选PPT课件
X
24
Y
30°
p = 0.82
X
q = 0.82
120°
轴测投影的基础知识
轴测投影的基础知识
（2）斜轴测投影的形成，采用斜投影的方法向轴测投影面进行 投影，称为斜轴测投影。由这种方法画出来的图称为斜轴测投影图， 简称斜轴测图，如图6-1（b）所示。
图6-1轴测投影的形成 （a）正轴测投影（b）斜轴测投影
轴测投影的基础知识
2. 轴测轴、轴间角和轴向伸缩系数
（1）轴测轴。直角坐标轴OX、OY、OZ在轴测投影面上 的投影O1X1、O1Y1、O1Z1，称为轴测投影轴，简称轴测轴。
（2）轴间角。轴测轴之间的夹角∠X1O1Y1、∠Y1O1Z1、 ∠X1O1Z1称为轴间角。
（3）轴向伸缩系数。在空间三坐标轴上，分别取长度OA、 OB、OC，它们的轴测投影长度为O1A1、O1B1、O1C1，令
则p、q、r分别称为OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。
轴测投影的基础知识
3. 轴测投影的分类
轴测投影的基础知识
1. 轴测投影的形成
轴测投影采用单面投影图，是平行投影之一， 它是把形体按平行投影法投射至单一投影面上所得 到的投影图，可分为以下两类：
（1）正轴测投影的形成，使其三个坐标轴方 向都倾斜于一个投影面P（轴测投影面），然后用 正投影的方法向该投影面投影，称为正轴测投影。 由这种方法画出来的图称为正轴测投影图，简称正 轴测图，如图6-1（a）所示。
轴测投影按轴测向变形系数分为以下三种： （1）正（或斜）等测，p=q=r。 （2）正（或斜）二测，p=r≠q。 （3）正（或斜）三测，p≠q≠r。 在道路工程中常采用正等测、正二测、斜二测三 种轴测图。这里仅介绍正等测、斜二测。
轴测投影的基础知识
4. 轴测投影的特点
物体上相互平
物体上平行于坐标
行线段的轴测投影 仍相互平行。
建筑工程制图轴测投影
【例 4】已知组合体旳正投影图，画出其正等测图。
O'
X' Y''
O''
Z'
Z''
Y
X
O
作图（切割法）：
（3）在长方体上切割掉一种较小旳长方体，形成一种 L 形形体
旳正等测图;
【例 】已知组合体旳正投影图，画出其正等测图。
O'
X' Y''
O''
Z'
Z''
Y
X
O
作图（切割法） ：
（4）在 L 形形体旳右侧较高部分切掉一种三棱柱，然后再在左
2. 八点法作圆旳轴测投影
z'
x’
o’ y’
A
7
D
Ep
Dp
7p
8
6
5p
Ap
x
o
1
5
Op
Cp
2
4
XP 1p
3p YP
B
3 y
C
作图：
Bp
（4）以平行四边形旳任一边长之半如Ap7p为斜边，作一等腰直
角三角形△Ap7pEp；
2. 八点法作圆旳轴测投影
z'
x’
o’ y’
A
7
D
Ep
8
6
7p
Dp 6p
5p
x 1
第二节 正轴测投影
一、正等轴测投影
1. 正等测旳轴间角与伸缩系数
正等测投影旳条件是投射方向与轴测投影面垂直，三个坐 标轴OX、OY、OZ 与轴测投影面倾斜而且倾角相等。
轴间角与 伸缩系数
第六章 轴测投影
例2．画出图示建筑形体的水平斜二测。
作图：1、在建筑形体上选定直角坐标系。
2、画出轴测轴，根据正投影图，画出其水平投 影的水平斜二测，图（a）。
3、过平面图形各角点，向上作O1Z1轴平行线，截取各高 度，画出各顶面的水平斜二测，图（b）。
4、擦去多余作图线，描深，即完成建筑形体水平斜二测， 图（c）。
4、作出每一对等直径圆的公切线；图（c） 5、擦去多余作图线，描深，即完成形体的正面 斜二测。图（d）
二、水平斜轴测投影
水平斜二测的轴间角和轴向变形系数：坐标面XOY平 行于水平面，轴间角∠X1O1Y1=90°,轴向变形系数p=q=1， Z1轴向的变形系数可取任意值。选O1X1轴与水平线成30° 或60°。为简化作图，有时选轴向变形系数r=1。
3.斜三轴测图（正三测图）：三个轴测伸缩系数都不相等 （p ≠ q ≠ r）
第二节 正轴测图
一、正等测投影
当投射方向S垂直于轴测投影面P时，形体上三个坐标轴的轴向 变形系数相等，即三个坐标轴与P面倾角相等。此时在P面 上所得到的投影称为正等轴测投影，简称正等测。
根据计算，正等测的轴向变形系数p=q=r=0.82，轴间角 ∠X1O1Z1=∠X1O1Y1=∠Y1O1Z1=120°。画图时，规定把 O1Z1轴画成铅垂位置，因而O1X1轴、O1Y1轴与水平线均成 30°角，故可直接用30°三角板作图。
二、轴测轴方向的变更
在确定了轴测图的类型后，只要保持轴间 角不变，可以根据要求来变更轴测轴的方向。 也就是说，根据物体的形状选择一适当的投射 方向，使需要表达的部分最为明显。
第三节 斜轴测图
当投射方向S倾斜于轴测投影面P时，在P面上所 得到的投影称为斜轴测投影。
如果p=r，即坐标面XOZ平行于P面，得到的是正 面斜轴测；如果p=q，即坐标面XOY平行于P面， 得到的是水平斜轴测。
轴测投影图的基本知识(精)
（a）正轴测投影图
（b）斜轴测投影图
一.轴测投影图的基本知识
轴测投影图的基本特征 ① 直线的轴测投影一般仍为直线，特殊时为点；曲 线的轴测投影一般是曲线。 ② 空间相互平行的直线，它们的轴测投影仍然相互 平行（平行性）。因此，形体上平行于三个坐标 轴的线段，其轴测投影图也分别平行于相应的轴 测轴。 ③ 据定比性特征可知，形体上平行于坐标轴的线段 其投影尺度的变化率与相应投影轴的变化率相同， 但由于变化率的计算很麻烦，故在作图时，常取 简化的伸缩系数或不考虑伸缩系数，如p=q=r=1 或p= r=1、 q=0.5等。
图2.2.4 （a）三面正投影图
图2.2.4 （b）轴测投影图
一.轴测投影图的基本知识
轴测投影图的形成 根据平行投影的原理，将形体连同确定它们空间的直角坐标轴（OX、OY、OZ）一起，沿 着不平行于坐标轴和坐标面的方向投影到新的投影面P（或R）上，所得到的具有立体感的 新投影称为轴测投影.5 轴测投影图的形成
一.轴测投影图的基本知识
轴测投影图的相关术语 轴测投影面：图中投影面P（或R）; 轴测投影轴：轴测投影O1X1、O1Y1、O1Z1； 轴间角：相邻两轴测轴之间夹角。 正轴测投影：当物体斜放，轴测投影方向S垂直于轴测投影 面P时,所得的轴测投影图。 斜轴测投影：当物体正放，轴测投影方向S倾斜于轴测投影 面R时,所得的轴测投影图。
一.轴测投影图的基本知识
三面正投影图和轴测投影图对比：
三面正投影图 ① 度量性好 ② 绘图简便 ③ 在工程实践中，常来表达建筑物的形状 与大小 ④ 每一个投影图只能反映形体的两个向度， 立体感不强，不易看懂 轴测投影图 ① 可以反映形体的长、宽、高三个向度 ② 具有立体感 ③ 在工程实践中，可用来表达纵横交错的 管道或电路直接指导管道安装施工及表 达区域规划鸟瞰图或应用于广告画及展 览画等。
轴测投影的基本知识
第五章轴测图如图5－1（a）所示的多面正投影图能完整、准确地反映物体的形状和大小，且度量性好，作图简便，但缺点是直观性差，只有具备一定读图能力的人才能看懂，有时工程上还需采用如图5－1（b）所示的立体感较强的图。
这种能同时反映物体长、宽、高三个方向形状，富有立体感的图，称为轴测投影图。
本章主要介绍轴测投影图的基本知识和画法。
图5－ 1 三视图与轴测图第一节轴测投影的基本知识一、轴测投影的形成如图5－2所示，将物体连同其参考直角坐标系，沿不平行于任一坐标面的方向，用平行投影法在单一投影面P上所得的具有立体感的图形，称为轴测投影图，简称轴测图。
图5－ 2 轴测图的形成在轴测图中，我们把这个单一投影面P称为轴测投影面，直角坐标系中的坐标轴OX、OY、OZ在轴测投影面上的投影O1X1、O1Y1、O1Z1称为轴测轴；而把每两根轴测轴之间的夹角，称为轴间角；三条直角坐标轴上的单位长度E的轴测投影长度为e x、e y、e z，它们与E之比，分别称为O1X1、O1Y1、O1Z1轴上的轴向伸缩系数，分别用p、q、r表示。
二、轴测图的分类按投影方向与轴测投影面的夹角，轴测图可分为：（1）正轴测图——轴测投影方向（投射线）与轴测投影面垂直时得到的轴测图。
（2）斜轴测图——轴测投影方向（投射线）与轴测投影面倾斜时得到的轴测图。
若按轴向伸缩系数的不同，轴测图又可分为（1）正（或斜）等测轴测图——p=q=r；（2）正（或斜）二测轴测图——p=r≠q；（3）正（或斜）三测轴测图——p≠q≠r；本书只介绍正等测图和斜二测图三、轴测图的基本性质由于轴测投影属于平行投影，因此轴测投影仍具有平行投影的基本性质：（1）物体上互相平行的线段，在轴测图中仍然互相平行。
（2）物体上与坐标轴平行的线段，在轴测图中也必定平行于相应的轴测轴。
且与相应的轴测轴有着相同的轴向伸缩系数。
熟练掌握与运用以上性质，既能迅速而正确地画出轴测图，又能方便地识别轴测图画法中的错误。
轴测投影
d
2.3.2 椭圆的画法
平行弦法（坐标法）—— 适用于各种轴测图
圆在水平面(XOY)上
4 4 1 2
X
O
2 6
O1
6
5
7
√
X1
1
8
√
3
√
8
√
5 7
3
Y1
Y
压块的正等轴测图
c a b
C
B A
a
b
c
四心法（菱形法） —— 适用于正等测图
圆在水平面(XOY)上
d
D
1
B
X
a
O
b
3
O1
4
A
C
2
X1
例 画出图示组合体的正等测图。
2.2.5 端面延伸法
例 画出图示组合体的正等测图。
X1
X
Y1
y x
Y
例 画出图示组合体的正等测图。
X
X1 Y1
Y
2.3 平行于坐标面的圆的正等测图
2.3.1 椭圆的长短轴的方向及大小
Z1
Байду номын сангаас
圆在水平面上（平行于XOY面）
长轴 ⊥ Z1，短轴 ‖ Z1
圆在正平面上（平行于XOZ面）
Y1
X
O
Y
例 画出圆锥的正等测图。
三种方向正等测圆柱的比较
例 画出切槽圆柱的正等测图。
例 画出带切口圆柱的正等测图。
2.3.3 圆角的画法
X
O
R
X1
R R
Y1
R
Y
例 画出带圆角长方体的正等测图。
X X1 Y1
Y
R R
7.1轴测投影的基本知识
轴测投影轴测投影的基本知识了解轴测图的形成；掌握正等测和斜二测的轴向变形系数和轴间角。
目的和要求S 0轴测投影的基本知识多面正投影图与轴测图的比较PZ 1X 1O 1Y 1ZOXY 正投影图S轴测投影的基本知识多面正投影 轴测投影度量性好，直观性差。
度量性不好，直观性较好。
轴测投影的基本知识一 概述1.轴测投影的形成YXZOP Z 1Y 1X 1O 1A 1C 1B 1C BAAa 1uuuk j iS轴测投影面 轴测投影轴测投影轴轴间角轴向变形系数p=i/u、 q=j/u、 r=k/u轴测投影的基本知识轴测：就是沿轴的方向量测的意思。
轴测投影坐标是由轴间角和轴向变形系数确定的。
所以轴测投影最基本的问题就是如何确定轴间角和轴向变形系数。
轴测投影的基本知识轴测投影采用的是平行投影法,所以:（1）物体上相互平行的线段，它们在轴测图中也相互平行且长度间的比例不变。
（2）平行于坐标轴的线段，其投影亦与相应轴测轴平行，其长度可按轴向变形系数求出。
轴测投影的基本知识PO 1X 1Y 1Z 1OZXYS正轴测投影图的形成正等轴测图正等轴测图 p = q = r 正二轴测图 p = r ≠ q 正三轴测图 p ≠ q ≠ r轴测投影的基本知识PZ1 X1O1Y1ZOX YS斜轴测投影图的形成斜二轴测图斜等轴测图 p = q = r斜二轴测图 p = r ≠ q斜三轴测图 p ≠ q ≠ r轴测投影的基本知识正等轴测投影图p=q=r=0.82， ∠X1O1Y1=∠Y1O1Z 1 = ∠X1O 1Z1 =120°轴测投影的基本知识斜二轴测投影图由图可知，斜二测图轴向变形系数和轴间角没有关联，均可任意选择，为了作图简便常取p=r=1,q=0.5，轴间角取α1 =45°。
课 程 小 结1. 轴测投影的基本概念；2. 正等测投影的轴间角和轴向变形系数；3. 斜二测投影的轴间角和轴向变形系数。
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轴测投影基本常识
轴测图是用平行投影的原理绘制的一种图形，如下图（A）所示：
（A）(B)
这种图接近于人的视觉习惯，富有立体感。
图（B）所示为该形体的三面正投影图，这种图能准确地表达形体的表面形状及相对位置，具有良好的度量性，是工程上广泛应用的图示方法，其缺点是缺乏立体感。
因此，轴测图在生产中作为辅助图样，用于需要表达机件直观形象的场合。
一.轴测投影的形成
轴测投影图和三面投影图不同,它是一种单面投影图,即只有一个投影面表达空间形体的形状.如下图所示,将形体及坐标系一起,按选定的投射方向S向投影面P进行投影,得到了一个同时反映形体长,宽,高和1,2,3三个表面的投影.这样投影所得图形称为轴测投影图,简称轴测图.
(A)(B)
7-2
在轴测投影中, 投影面P称为轴测投影面,投射方向S称为轴测投影方向.
当投射方向S垂直于轴测投影面时,所得图形称为正测投影,如上图(A)所示.
当投射方向S倾斜于轴测投影面时,所得图形称为斜测投影,如上图(B)所示.
二.轴测投影的基本性质
轴测投影是用平行的投影法画出的,所以它具有平行投影的一切投影特性.现结合轴测投影叙述如下:
1.平行性空间平行的直线, 轴测投影后仍
平行;空间平行于坐标轴的直线, 轴测投影
后仍平行于相应的轴测轴.
2.沿轴量OX, OY, OZ轴方向或与其平行的
方向,在轴测图中轴向变形系数是已知的,故画轴测图时要沿轴测轴或平行轴测轴的方向度量.这就是轴测图名称之由来.
三.正等轴测图(简称正等测)
1.正等测的轴间角, 轴向变形系数
正等测的三个轴间角均相等,即:
<X1O1Z1=<Y1O1Z1=<X1O1Z1=120度,如下图7—3所示,作图时,通常将O1Z1轴画成铅垂线,使O1X1, O1Y1轴水平成30度角.
正等测的轴向变形系数也相等,即:
p=q=r=0.82
为了作图方便,采用p=q=r=1的简化轴向变形系数,即凡平行于各坐标轴的尺寸都按原尺寸作图.这样画出的轴测图,其轴向尺寸比按理论变形系数作图的长度放大了1/0.82≈
X1Y1
Z1
图7-3 正等测轴间角
1.22倍,但这对表达形体的直观形象没有影响. 如下图(b)和(c)所示.在实际绘制正等轴测图时,均按简化轴向变形系数作图
.
(a)正投影图 (b) p=q=r=0.82 (c)p=q=r=1
2. 正等测的基本画法
通常可按下述步骤作图:
(1) 根据形体结构特点,选定坐标原点位置,一
般定在物体的对称线上,且放在顶面或底面处,这样对作图较为有利. (2) 画轴测图.
(3) 按点的坐标作点, 直线的轴测图, 一般自
上而下,根据轴测投影基本性质,逐步作图,不可见棱线通常不画出.
[例] 根据正投影图(7-5a),绘制六棱柱的正等轴测图.
X
o'7-5(a)
[解] 由正投影图可知,正六棱柱的顶面, 底面均为水平的正六边形. 在轴测图中, 顶面可
见, 底面不可见, 宜从顶面画起, 且使坐标原点与顶面正六边形中心重合,作图步骤如下:
(1) 在视图上确定坐标,如图7-5(a)所示.
(2) 在适当位置作轴测轴O1X1, O1Y1, 如图7-5(b)所示.
O1
X1Y1
7-5(b)
(4)作点A, D, 1, 2, : 沿O1X1量取M, 沿
O1Y1量取S, 得到点A1, D1, 1’, 2’, 如图7-5(c)所示.
D1
7-5(c)
(5)作点B, C, E, F: 过1’ , 2’两点O1X1轴的
平行线,并量取L得到点B1, C1, E1, F1, 顺次连线, 完成顶面轴测图, 如图7-5(d)
所示.
7-5(d)
(6)完成全图:过A1, B1, C1, F1, 各点向下作
直线平行于O1Z1, 分别截取棱线的高度
为H, 定出底面上的点, 并顺次连线, 删
除多余线, 完成作图, 如图7-5(e)所示:
7-5(e)。