高中数学地球上两点的球面距离

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地球两点间距离计算公式

地球两点间距离计算公式
摘要：
一、引言
二、地球两点间距离计算公式介绍
1.球面三角公式
2.地球半径对距离计算的影响
3.地球椭球体对距离计算的影响
三、计算公式的应用
1.导航定位
2.地理信息系统
3.天文学
四、结论
正文：
地球是我们生活的星球，两点间的距离计算在地理、导航、天文等领域具有重要意义。

本文将介绍地球两点间距离计算的公式，并探讨其在不同领域的应用。

首先，我们需要了解球面三角公式。

球面三角公式是一种在球面上计算角度和距离的方法，适用于地球表面的计算。

然而，由于地球不是一个完美的球体，而是一个椭球体，因此在实际应用中需要考虑地球椭球体对距离计算的影响。

这就引入了地球椭球体表面上的计算公式，如贝塞尔公式等。

在实际应用中，地球两点间距离计算公式广泛应用于导航定位、地理信息
系统和天文学等领域。

例如，在导航定位系统中，卫星需要根据地球表面两点的距离计算其位置，以便为用户提供准确的导航信息。

此外，地理信息系统在分析地理空间数据时，也需要考虑地球表面两点的距离。

在天文学中，计算地球与其他行星或天体的距离时，也需要应用地球两点间距离计算公式。

总之，地球两点间距离计算公式在地理、导航、天文等领域具有重要意义。

对于从事这些领域工作的人员，熟练掌握这些公式并了解其应用场景是十分必要的。

SXB155高考数学必修_球面距离通用公式及应用

球面距离通用公式及应用地球表面某点的位置是用纬度和经度来确定的，在求球面距离时，一般分三种情况：①位于同一纬度圈上的两点间的球面距离；②位于同一经度圈上的两点间的球面距离；③位于不同经线圈上且不同纬线圈上的两点间的球面距离.一般的教学参考书只单一的给出了前两种情况的求法，为此本文将介绍球面距离通用公式并举例说明其应用.一、球面距离的概念经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度叫做两点的球面距离，即球面上两点间的最短距离.二、球面距离公式的推导如图，如果球O 的半径为R ，球面上两点A 、B 的经度分别αA 、αB ，纬度分别为βA 、βB ，那么A 、B 两点间的球面距离为⌒AB ＝Rarccos[sin βA sin βB ＋cos βA cos βB cos(αA －αB)]. 证明：作BE 、AF 垂直于赤道平面，垂足E 、F 分别在半径OD 及OC 上，则∠BOE ＝βB ，∠AOF ＝βA ，在Rt △BOE 中，BE ＝Rsin βB ，OE ＝Rcos βB ，在Rt △AOF 中，AF ＝Rsin βA ，OF ＝Rcos βA ，在Rt △EOF 中，∵∠EOF ＝αA －αB ，∴EF 2＝OE 2＋OF 2－2OE ·OFcos ∠EOF＝(Rcos βB )2＋(Rcos βA )2－2R 2cos βB cos βA cos(αA －αB )，在直角梯形ABEF 中，AB 2＝EF 2＋(BE －AF)2＝EF 2＋AF 2＋BE 2－2AF ·BE ＝2R 2－2R 2cos βB cos βA cos(αA －αB )－2R 2sin βA sin βB ，在等腰△AOB 中，cos ∠AOB ＝OA 2＋OB 2－AB 22OA ·OB＝cos βA cos βB cos(αA －αB )＋sin βA sin βB ，又∵∠AOB ＝arccos[sin βA sin βB ＋cos βA cos βB cos(αA －αB )]，因此，A 、B 两点间的球面距离为⌒AB ＝Rarccos[sin βA sin βB ＋cos βA cos βB cos(αA －αB )].此式对A 、B 两点处于球面上任何位置都成立.公式中αA 、αB 、βA 、βB 都是有向角，东经经度为正，西经经度为负，北纬纬度为正，南纬纬度为负.特别地：(1)若A 、B 在同一经线上，则⌒AB ＝Rarccos[cos(βA －βB )]；(2)若A 、B 在同一纬线上，则⌒AB ＝Rarccos[sin 2βA ＋cos 2βA cos(αA －αB )].三、球面距离公式的应用例1设地球半径为R ，在北纬45︒圈上有A 、B 两地,它们的经度差为90︒，求A 、B 两地的球面距离. 解：∵αA －αB ＝90︒，βA ＝βB ＝45︒，⌒AB ＝Rarccos(sin 245︒＋cos 245︒cos90︒)＝Rarccos 12＝π3R. ∴A 、B 两地间的球面距离为πR 3. 例2 设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒，则甲、乙两地的球面距离为（）A.3RB.π6RC.5π6RD.2π3R解析：∵αA ＝αB ＝120︒，βA ＝45︒，βB ＝－75︒，∴⌒AB ＝Rarccos[cos(βA －βB )]＝Rarccos[cos(45︒＋75︒)]＝Rarccos(－12)＝2π3R ，故选D. 例3甲地位于北纬45°，东经140°，乙地位于南纬45°，西经130°.设地球半径为R ，则甲、乙两地球面的距离为（）A .R π21 B.R π41 C.R π31 D.R π32 解析：αA ＝140°，βA ＝45°，αB ＝－130°，βB ＝－45°∴⌒AB ＝Rarccos[sin45°sin(－45°)＋cos45°cos(－45°)cos(140°＋130°)]＝Rarccos[22×(－22)]＝Rarccos(－12)＝2π3R. 例4北京时间2020年9月27日14点，国航CA981航班从首都国际机场准时起飞，当地时间9月27日15点30分，该航班正点平稳降落在纽约肯尼迪机场；北京时间10月1日19点14分，CA982航班在经过13个小时的飞行后，准点降落在北京首都国际机场，至此国航北京－－纽约直飞首航成功完成，这是中国承运人第一次经极地经营北京－－纽约直飞航线，从北京至纽约原来的航线飞经上海(北纬33︒，东经122︒)，东京(北纬36︒，东经140︒)和旧金山(北纬37︒，西经120︒)等处，如果飞机飞行的高度为10千米，并假设地球是半径为6371千米的球体，试分析计算新航线的空中航程较原航线缩短了多少.解：本题应计算北京到上海，上海到东京、东京到旧金山、旧金山到纽约各段大圆劣弧长度和；再计算以北京、纽约为端点的大圆劣弧长，然后求它们的差.(1)计算原航线的距离∵sin40︒sin31︒＋cos40︒cos31︒cos6︒＝0.98，arccos(sin40︒sin30︒＋cos40︒cos31︒cos6︒)＝10︒，∴北京到上海的距离为π·6371×10180＝1113.69(km)， ∵sin31︒sin36︒＋cos31︒cos36︒cos18︒＝0.96，arccos(sin31︒sin36︒＋cos31︒cos36︒cos18︒)＝16︒，∴上海到东京的距离为π·6371×16180＝1781.91(km)， ∵sin36︒sin37︒＋cos36︒cos37︒cos263︒＝0.27，arccos(sin36︒sin37︒＋cos36︒cos37︒cos263︒)＝74︒，∴东京到旧金山的距离为π·6371×74180＝8241.34(km)， ∵sin37︒sin40︒＋cos37︒cos40︒cos49︒＝0.78，arccos(sin37︒sin40︒＋cos37︒cos40︒cos49︒)＝38︒，∴旧金山到纽约的距离为π·6371×38180＝4232.04(km). ∴原航线的距离为1113.69＋1781.91＋8241.34＋4232.04＝15368.98(km).(2)计算新航线的距离∵sin40︒sin40︒＋cos40︒cos40︒cos190︒＝0.17，arccos(sin40︒sin40︒＋cos40︒cos40︒cos190︒)＝100︒，∴新航线的距离为π·6371×100180＝11136.95(km). (3)新航线比原航线飞行距离缩短了4232.03(km).。

球面距离计算公式的推导及举例

球面距离的计算及其计算公式在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）如图1，A 、B 为球面上不在同一直径上的两点，O 为圆心，⊙O 为过A 、B 的大圆，⊙O '为过A 、B 的任一个小圆，我们把这两个圆画在同一个平面内．（见图1）设α2=∠AOB ，α'='∠2B O A ，球半径为R ，半径为r ．则有AB 大圆弧长R L α2=，AB 小圆弧长r l α'=2ra R r R l L '='=ααα22 （1）但αα'==sin 2sin 2r R AB ，即ααsin sin '=r R （2）将（2）代入（1）得αααααααsin sin sin sin ''='⋅'=a l L （3） ∵ r R >，由（2）式知αα>'.由于20παα<'<<，故只需证明函数()x x x f sin =在⎪⎭⎫ ⎝⎛2.0π内为单调递减即可. ∴ ()()0tan cos sin cos 22<-=-='x x x x x x x x x f , ∵当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 时，有x x >tan ）∴ ()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π单调递减, 由（3）式不难得到1<lL ，即l L <. 故大圆劣弧最短。

球面距离公式：设一个球面的半径为R ，球面上有两点()11,βαA 、()22,βαB . 其中1α，2α为点的经度数，1β、2β为点的纬度数，过A 、B 两点的大圆劣弧所对的圆心角为θ，则有()]sin sin cos cos arccos[cos 212121ββββααθ⋅+-=（弧度）A 、B 间的球面距离为：()]sin sin cos cos arccos[cos 212121ββββααθ⋅+-==R R L证明：如图1，⊙1O 与⊙2O 分别为过A 、B 的纬度圈，过A 、C 的大圆，过B 、D 的大圆分别为A 、B 的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作⊥AE 面BC O 2，垂足E 位于C O 2上，连结EB 、AB . 则()2212212OO OO O O AE -==()221sin sin ββR R -=()2212sin sin ββ-=R 在BE O 2∆中，由余弦定理，得：()212222222cos 2αα-⋅++=B O E O B O E O BE ()21212221cos 2αα-⋅-+=B O A O B O A O()()()21212221cos cos cos 2cos cos ααββββ-⋅⋅-+=R R R R ()()]cos cos cos 2cos cos [112122122ααββββ-⋅⋅-+=R故()]cos cos cos 2sin sin 22[2121212222ααββββ-⋅--=+=R BE AE AB 又()θθθcos 122sin 42sin 222222-==⎪⎭⎫ ⎝⎛=R R R AB ，比较上述两式，化简整理得： ()212111sin sin cos cos cos cos ββββααθ+-=，从而可证得关于θ与L 的两个式子. 计算球面距离的三种类型现行课本中，介绍了球面距离的概念，这方面的习题很多，同学们学习时普遍感到困难．下面给出这类习题解答的示范，以供同学们参考．1．位于同一纬度线上两点的球面距离例1 已知A ，B 两地都位于北纬 45，又分别位于东经 30和60，设地球半径为R ，求A ，B 的球面距离．分析：要求两点A ，B 的球面距离，过A ，B 作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角AOB ∠的大小（见图1），而要求AOB ∠往往首先要求弦AB 的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离．解：作出直观图（见图2），设O 为球心，1O 为北纬 45圈的圆心，连结OA ，OB ，A O 1 B O 1，AB ．由于地轴⊥NS 平面B AO 1．∴1OA O ∠与1OBO ∠为纬度 45，B AO 1∠为二面角B OO A --1的平面角．∴ 3030601=-=∠B AO （经度差）．Rt △1OAO 中，R R OAO OA A O 2245cos cos 11=⋅=∠= ． △AB O 1中，由余弦定理，B AO B O A O B O A O AB 11121212cos 2∠⋅-+=22223230cos 222222222R R R R R -=⋅⋅⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= ． △OAB 中，由余弦定理：43222322cos 2222222+=--+=⋅-+=∠R R R R OB OA AB OB OA AOB ， ∴ 21≈∠AOB ．∴AB 的球面距离约为R R ππ60721180=⋅． 2．位于同一经线上两点的球面距离例2 求东经 57线上，纬度分别为北纬68和 38的两地A ，B 的球面距离．（设地球半径为R ）．解：经过B A 、两地的大圆就是已知经线． 303868=-=∠AOB ，618030R R AB ππ=⋅⋅=． 3．位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离例3 A 地位于北纬 30，东经 60，B 地位于北纬 60，东经90，求A ，B 两地之间的球面距离．（见图4）解：设O 为球心，1O ，2O 分别为北纬 30和北纬 60圈的圆心，连结OA ，OB ，AB ．\Rt △A OO 1中，由纬度为 30知 301=∠OAO ，R R OAO OA O O 2130sin sin 11==∠= , R R OAO OA AO 2330cos cos 11==∠= ．Rt △B OO 2中， 602=∠OBO ， ∴R R O O 2360sin 2=⋅= ，260cos 2R R B O =⋅= ,∴R R R OO OO O O 21321231221-=-=-=．注意到A O 1与B O 2是异面直线，它们的公垂线为21O O ，所成的角为经度差 306090=-，利用异面直线上两点间的距离公式．αcos 22122122212B O A O O O B O A O AB ⋅-++=（α为经度差）2222432530cos 212322132123R R R R R R -=⋅⋅⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= ． △AOB 中，RR R R R OB OA AB OB OA AOB ⋅--+=⋅-+=∠243252cos 222222 8205.08323≈+=．∴ 35≈∠AOB ．∴AB 的球面距离约为R R ππ36735180=⋅．欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

两点球面距离的求解方法

。
．
Ａ、在同一经度为１０的圆曰２。
上．
｛ＡｃＡ－。１ｆ口ＣＤＤＩ５Ｄ：Ｏ０．。Ｏ＝４５
’ ．
解析：图，Ａ、的截如过Ｂ。，０为球心，题已知Ａ、本Ｂ
球面距：
ＪＡＢ５７＝０ —— ０４＋￣２・＝。５１。
ＱＯ为北纬４。，２南纬７。ｔ５Ｏ０为５，ｏＯ为０纬圆，ＯＡ，Ａ，，Ｂ。连＋ＯＤＯ．
‘
两点间球面距离的思维拓展例４Ａ、．Ｂ是半径为Ｒ的球面离是，过Ａ、的平面中与瑚则Ｂ
角为 △Ａ
０Ａ
角三角形
一一
＝＝ＯＢＲ
Ｊ
ＡＢ＿
…
…
Ｒ．
。
由于过Ａ、的截面圆可以是过球心０的大圆面。Ｂ此
经度差为９ｏ０。即球的截面的两条半径的夹角为９ｏ即如图／ＡＯＢ９。０，－角为ＡＯ＝２。ＢＩ０。曰两点的球面距离为２＝积．Ｒ
‘
．
、
＝
Ａ、两点Ｂ
二、纬不同经同例２在北纬４。．５圈上有Ａ、日两点。们的经度分别为它东经１０与西经１０，地球半径为Ｒ，Ａ、两地的球４。３。设则面距离为多少？解析：题是同纬度不同经度。本其
连ＡＤ．

球面距离的计算范文

球面距离的计算范文球面距离是地理学中常用的一个测量距离的方法，也可以用于其他领域如航海、导航、天文学等。

它是通过测量地球表面两点之间的弧长来计算距离。

相比于直线距离，球面距离更准确地反映了地球的曲率。

本文将介绍球面距离的概念、计算方法和具体的应用。

一、球面距离的概念球面距离是指地球表面两点之间沿球面的最短路径的弧长。

这个概念可以用于测量地球上任意两点之间的距离。

球面距离常用弧度或者度来表示。

二、球面距离的计算方法1. Haversine公式Haversine公式是最常用的计算球面距离的方法之一、它基于地球是一个近似球体的假设，在假设地球半径为R的情况下，计算两点之间的距离。

具体计算公式如下：a = sin²(Δφ/2) + cos(φ1) * cos(φ2) * sin²(Δλ/2)c = 2 * atan2(√a, √(1−a))d=R*c其中，φ1、φ2为两点的纬度，Δφ为纬度的差值，Δλ为经度的差值，R为地球的半径。

2. Vicenty公式Vicenty公式是一种更精确的计算球面距离的方法。

它基于地球是一个贴近椭球体的假设，该公式考虑了地球的椭球度和可能存在的扁平度。

具体计算公式如下：a=R*gb=R*fc=R*(g-f)d = atan2( √(cos(φ2)*sin(∆λ))^2 + (cos(φ1)*sin(φ2) -sin(φ1)*cos(φ2)*cos(∆λ))^2, sin(φ1)*sin(φ2) +cos(φ1)*cos(φ2)*cos(∆λ))e = atan2( a*φ1 + b*φ2, c*φ1 + d*φ2 )f = atan2( sin(φ1) + sin(φ2),√((cos(φ1)+a)^2+(cos(φ1)+b)^2) )其中，φ1、φ2为两点的纬度，∆λ为经度的差值，R为地球的半径，g为地球的第一偏心率平方，f为地球的第二偏心率平方。

三、球面距离的应用球面距离常用于地理、航海、导航等领域。

球面两点距离计算公式

球面两点距离计算公式在我们的数学世界里，有一个挺有趣的东西，那就是球面两点距离的计算公式。

这玩意儿可不像咱们平时在平地上算两点距离那么简单。

咱们先来说说啥是球面两点距离。

想象一下，你手里有个地球仪，上面随便标了两个点，这两个点之间沿着球面的最短路径长度，就是球面两点距离。

那这计算公式到底是咋来的呢？其实啊，它背后有一整套复杂又巧妙的数学原理。

给大家举个例子吧，有一次我带着学生们在操场上做了个小实验。

我在操场上画了一个大大的圆，假装那是个球面。

然后让几个同学站在不同的位置，就像是球面上的两个点。

我们试图用绳子去测量他们之间的最短距离。

一开始，同学们都有点懵，不知道从哪儿下手。

有的说直接拉直线，有的说绕着圈儿走。

后来经过一番讨论和尝试，大家慢慢发现，不能像在平面上那样简单粗暴地拉直线，得考虑这个“球面”的弯曲特性。

这就好比我们在地球上，如果要从北京到纽约，不能直接在地图上画直线，而是要沿着地球的弧线走。

咱们再回到球面两点距离计算公式。

这个公式通常会涉及到经度和纬度的差异，还有球的半径等因素。

比如说，已知两个点的经纬度，通过一些数学运算，就能算出它们之间的距离。

在实际生活中，这个公式也有不少用处呢。

像飞机飞行的航线规划，航海时船只的路线选择，都得靠它来帮忙，算出最短、最省油、最省时的路径。

不过，对于很多同学来说，一开始接触这个公式可能会觉得有点头疼。

但别担心，只要多做几道题，多琢磨琢磨，慢慢地就能掌握其中的窍门。

学习球面两点距离计算公式，就像是一场有趣的冒险。

虽然过程中可能会遇到一些小挫折，但当你最终搞懂它，能够熟练运用的时候，那种成就感可真是无与伦比。

所以啊，同学们，别害怕这个公式，勇敢地去探索它的奥秘，说不定你会发现数学的世界原来这么奇妙！。

地球上两点间的球面距离公式

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球面最短距离

球面最短距离一、概述球面最短距离是指在一个球体上两点之间的最短路径，也称为大圆弧距离或者地球表面的测地线。

在地理学、天文学、航空航天等领域中，球面最短距离是一个十分重要的概念。

二、公式推导假设有两个球面上的点A和B，它们的经纬度分别为(φ1, λ1)和(φ2,λ2)，其中φ表示纬度，λ表示经度。

则它们之间的大圆弧距离d可以通过以下公式计算：d = R * arccos(sinφ1 * sinφ2 + cosφ1 * cosφ2 * cos(λ1 - λ2))其中R为球体半径。

这个公式可以通过余弦定理推导得到。

将球体看作一个半径为R的圆，以A点和B点为圆心画出两条半径，并连接这两个点。

则这两个半径与圆周所夹成的角就是AB之间的大圆弧角度θ。

根据余弦定理，我们可以得到：cosθ = cosR / (cosA * cosB) - tanA * tanB / (cosA * cosB)其中A和B分别为AB连线与北极点连线所成角度，R为球体半径。

将A和B带入上式可以得到：cosθ = sinφ1 * sinφ2 + cosφ1 * cosφ2 * cos(λ1 - λ2)因为θ就是AB之间的大圆弧角度，所以d可以表示为：d = R * θ将θ带入上式即可得到球面最短距离公式。

三、应用场景1. 地理学：在地球表面上，球面最短距离可以用来计算两个城市之间的距离。

这个概念在航空、航海、旅游等领域中都有广泛的应用。

2. 天文学：在天文学中，球面最短距离可以用来计算星际之间的距离。

例如，在太阳系内，我们可以使用这个概念来计算地球和其他行星之间的距离。

3. 机器人领域：在机器人领域中，球面最短距离可以用来规划机器人移动路径。

例如，在一个球形空间中，机器人需要从一个点移动到另一个点，我们就可以使用这个概念来计算机器人需要走多长的路程。

四、误差分析虽然球面最短距离公式非常有用，但是它并不是完全准确的。

这是因为地球并不是一个完美的球体，而是一个略微扁平的椭球体。

球面距离

球面距离球面距离是空间几何中一个重要的概念，用来衡量球面上两点之间的距离。

在地理学、天文学等领域，球面距离具有广泛的应用。

本文将介绍球面距离的定义、计算以及一些相关的应用场景。

首先，我们需要明确球面距离的定义。

在几何学中，球面距离是指球面上两点之间最短弧的长度。

它与我们常见的直线距离不同，直线距离是指直线上两点之间的距离。

球面距离的计算需要考虑球面的曲面特性，因此与直线距离的计算方式不同。

计算球面距离可以利用球面三角形的概念。

球面三角形是指球面上由三个弧段组成的三角形。

在球面上，我们可以使用经度和纬度来确定点的位置。

通过将两点之间的经度和纬度转换成弧度，我们可以计算出球面上两点之间的球面距离。

具体的计算方法可以使用球面三角形的公式，如余弦定理或半正矢公式。

在地理学中，球面距离被广泛应用于计算地球上两个地点之间的距离。

通过获取两个地点的经纬度信息，并利用球面距离的计算公式，我们可以得到这两个地点之间的最短路径距离。

这对于导航系统、航空航天等领域非常重要。

在天文学中，球面距离用于计算天体之间的距离。

天体往往呈现出球状的形态，因此球面距离可以帮助我们确定天体之间的相对位置。

通过测量天体的坐标，并利用球面距离的计算方法，天文学家可以研究恒星、行星等天体之间的相互作用及运动规律。

除了地理学和天文学，球面距离还在其他领域有着广泛的应用。

在计算机图形学中，球面距离可以用来判断两个球面模型之间的相似程度。

在物理学中，球面距离可以衡量相对于球心的力场强度。

总结一下，球面距离是空间几何中一个重要的概念，用于衡量球面上两点之间的最短弧的长度。

它在地理学、天文学等领域具有广泛的应用。

通过计算经度和纬度的差值，并利用球面三角形的计算方法，我们可以计算出球面上两点之间的距离。

对于导航系统、航空航天、天文观测等领域来说，球面距离是非常重要的工具。

无论是在研究地球上的距离，还是研究宇宙中的天体距离，球面距离都发挥了重要的作用。

15.6球面距离

O

B
C
例1、球的表面积是2500 ，球内有两个平行截面的面积分别是49、400，求两截面距离。
O1
O
O1 B O2 B A
A
O
O2
例2、我国首都北京靠近北纬40 °，求北纬线的长度（地球半径R）。
K
O
A北京
K
A 40 ° B
O
例.设地球的半径为R，在北纬450 圈上有两个点A、B，A在西经400，B在东经500。求AB所在纬线圈的长及AB两点的球面距离。
本初子午线 M A O
P
0°经线
北极
P O A
P点的经纬度是怎么规定的？
B
P点的经度数就是∠AOB的度数。 P点的纬度数就是∠BOP的度数。
的二面角的度数. 纬度：是指赤道及一条纬线同一条经线相交所得
两个交点与球心的连线所成的角度.
O1
经度：是指0°经线与另一条经线所在平面所成

A
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2 2
2 2
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O`
r
三、地球仪中的经纬度
1、经线和纬线的规定：过南北极的半大圆是经线，平行于赤道的小圆是纬线。 2、经度和纬度的规定： (1)P地的纬度就是经过P点的球半径和赤道平面所成的线北极面角∠POA的度数. 等于∠GPO的度数 G P
纬线 O
A
赤道
南极
经线
(2)P地的经度的规定：经过P点的经线与地轴确定的半平面和本初子午线与地轴确定的半平面所成的二面角的度地轴数（即∠AMP的度数）
O1
A
B
O
球面距离
球的公式

高中数学知识点精讲精析球面直线与球面距离

2 球面直线与球面距离1．球面距离球面上两点之间的最短连线的长度,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.我们把这个弧长叫做两点的球面距离求法如下：如右图，设若角AOB （球心角)为θ，大球的半径为R ，则球面距离为Rθ 球面距离计算公式：d(x1,y1,x2,y2)=r*arccos(sin(x1)*sin(x2)+cos(x1)*cos(x2)*c os(y1-y2))1 我国首都靠近北纬40纬线，求北纬40纬线的长度等于多少km ？（地球半径大约为6370km ）【解析】如图，A 是北纬40上一点，AK 是它的半径， ∴OK AK ⊥，设C 是北纬40的纬线长， ∵40AOB OAK ∠=∠=，∴22cos 2cos 40C AK OA OAK OA πππ=⋅=⋅⋅∠=⋅⋅42 3.1463700.7660 3.06610()km ≈⨯⨯⨯≈⨯答：北纬40纬线长约等于43.06610km ⨯．2．在半径为13cm 的球面上有,,A B C 三点，12AB BC AC cm ===，求球心到经过这三【解析】设经过,,A B C 三点的截面为⊙O '，设球心为O ，连结OO '，则OO '⊥平面ABC ， ∵2123AO '=⨯=11OO '==，所以，球心到截面距离为11cm ．3．在北纬45圈上有,A B 两点，设该纬度圈上,A B 两点的劣弧长为4R （R 为地球半径），求,A B 【解析】设北纬45圈的半径为r ，则r =，设O '为北纬45圈的圆心，AOB α'∠=， ∴4r R α=，∴24R R α=， ∴2πα=，∴AB R ==，∴ABC ∆中，3AOB π∠=，所以，,A B 两点的球面距离等于3R π．说明：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求4．已知，B 两地都位于北纬，又分别位于东经和，设地球半径为，求，B 的球面距离．【解析】分析：要求两点，B的球面距离，过，B作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角的大小（见图1），而要求往往首先要求弦的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离．作出直观图（见图2），设为球心，为北纬圈的圆心，连结，，，，．由于地轴平面．∴与为纬度，为二面角的平面角．∴（经度差）．△中，．△中，由余弦定理，．△中，由余弦定理：，∴．∴的球面距离约为．5．求东经线上，纬度分别为北纬和的两地，B的球面距离．（设地球半径为）．（见图3）【解析】经过两地的大圆就是已知经线．，．6．地位于北纬，东经，B地位于北纬，东经，求，B两地之间的球面距离．（见图4）【解析】设为球心，，分别为北纬和北纬圈的圆心，连结，，．△中，由纬度为知，∴，．△中，，∴，∴．注意到与是异面直线，它们的公垂线为，所成的角为经度差，利用异面直线上两点间的距离公式．（为经度差）．△中，．∴．∴的球面距离约为．。

高中数学知识点精讲精析球面距离

第六节球面距离
要点精讲
球面上两点之间的最短连线的长度,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）
我们把这个弧长叫做两点的球面距离
求法如下：
如下图，设若角AOB（球心角)为θ，大球的半径为R，则球面距离为Rθ
球面距离计算公式：d(x1,y1,x2,y2)=r*arccos(sin(x1)*sin(x2)+cos(x1)*cos(x2)*cos(y1-y2))
典型例题
【例1】球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】设球心为O，由题设知三棱锥O—ABC是正四面体，且的外接圆半径是2，设球半径为R，则，∴
【例2】如图，A、B、C是表面积为的球面上三点，AB=2，BC=4，，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】易得该球的半径是，在截面圆上AB=2，BC=4，，得
，则截面圆的圆心是BC的中点O1，截面圆半径是2，由球的知识知OO1⊥截面ABC
所以是直线OA与截面ABC所成的角
在中，
所以
故直线OA与截面ABC所成的角是。

地球上两点之间的球面距离(卫福山)

地球上两点之间的球面距离的教学设计与思考卫福山（上海市松江二中）一、教学内容分析球面距离是上海教育出版社数学（高三）第15章简单几何体第6节内容，《上海市中小学课程标准》对球的要求是：类比关于圆的研究，对球及有关截面的性质深入探讨；知道球的表面积和体积的计算公式，并会用于进行有关的度量计算；知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学和实际的联系.在本节中，引导学生理解球面距离的概念（这不同于一般的直线距离），原因在于球面不能展开成平面.然后具体探究了如何求同纬度不同经度、同经度不同纬度、不同经度不同纬度的地球上两点之间的距离的求法，特别强调将其中的线面关系转化为多面体（主要是特殊的棱锥）来分析，并综合使用扇形、弧长、解三角形等数学知识.在探究球面距离的计算中培养了学生空间想象能力和探究性学习的能力.二、教学目标设计1、知道球面距离的定义，知道地球的经度与纬度的概念，会求地球上同经度或同纬度的两点间的球面距离.2、在解决问题的过程中，领会计算地球上两点间的球面距离的方法.3、在实际问题中，探索新知识，成功解决问题，完成愉悦体验.三、教学重难点教学重点：掌握计算地球上两点间的球面距离的方法.教学难点：如何求地球上同纬度的两点间的球面距离.四、教学内容安排（一）、知识准备1、联系右图及中学地理中的有关知识认识地球——半径为6371千米的球.（理想模型）2、经度、纬度等相关知识地轴:连结北南极的球的直径,称为地轴.经线:经过北南极的半大圆,称为经线.本初子午线:它是地球上的零度经线,分别向东和向西计量经度，称为东经和西经,从0度到180度.经度:经线所在半平面与零度经线所在半平面所成的二面角的度数.参见右图.赤道:过球心且垂直于地轴的大圆,称为赤道.赤道的圆心就是球心.纬线:平行于赤道的小圆,称为纬线.位于赤道以北的称为北纬,位于赤道之南的称为南纬.纬度:球面上某点所在球半径与赤道平面所成的角.从0度到90度.参见上图.3、球面距离在球面上两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度——这个弧长叫两点的球面距离.问题：为何最短距离是经过两点的大圆的劣弧解释如下：如图所示，A 、B 是球面上两点，圆O '是经过A 、B 的任一小圆（纬线圆），O 是球心，设,,AOB AO B θα'∠=∠=,(0,),αθπ∈地球半径为,OA OB R ==小圆半径为,O A O B r ''==则A 、B 两地所在的大圆劣弧长为1,s R θ=小圆的劣弧长为2,s r α=下面只要说明12s s <即可。

球面上两点之间的距离计算

球面上两点之间的距离计算
一、概述
球面上两点之间的距离是指在球形表面上连接两个点所经过的最短路径，它等于圆周上两点之间的弧长。

由于球面是一种曲面，因此确定球面
上任意两点之间的距离，有许多算法可以实现，但最常使用的方法是根据
空间几何的球面余弦定理进行计算。

在球体地理学、航空航天等领域，准
确计算地球表面上两点之间的距离非常重要。

因此，计算球形表面上两点
之间的距离受到越来越多的关注和重视。

二、球面余弦定理
球面余弦定理是计算球形表面上任意两点距离的基础，它描述了球面
上任意三个点的关系：如果A、B、C是球面上任意三个点，则A点到B点
的距离与A点到C点的距离、B点到C点的距离的余弦值之间存在如下等式：
cos (a) = cos (b) * cos (c) + sin (b) * sin (c) * cos (A)
其中a、b、c是A点到B点、A点到C点、B点到C点的线段的弧度，A是ABC三点所在的夹角的弧度值。

由于在球形表面上，BA和BC线段的
长度以及ABC夹角的大小都是已知的，可以将它们代入上面表达式，得到cos (a) = cos (BA) 和cos (C)，从而求出A点到B点的弧长，即所求
距离。

三、详细算法
1.设定三点A、B、C，其中B和C为待求距离AB的端点，A为中间点（如果A和B点重合，则求BC间的距离）。

2.计算B点和C点经纬。

高中数学地球上两点的球面距离

O1 αBOA如图，∠AOB的大小即为B点所在的纬度。
3．地球上两点的球面距离 ① 同纬度不同经度的两地间的球面距离：设同一纬线上的A、B两地的经度分别是α 1 ，α 2， 1o、若A、B同在东经或西经，不妨设α 1＜α 2，则∠AO1B=α 2-α 2o、若A、B在子午线异侧：当α 1+α 2≤π 时，∠AO1B =α 1+α
O1
地轴确定的半平面和0o经线（即本初子午线，简称子午线）与地轴确定的半平面所成的二面角的度数。
经线
B
O 赤道
0°
东经和西经：0o经线以东的经线叫东经， 0o经线以西的经线叫西经。东经和西经各180o，东经180o和西经180o是同一条经线。
南极
②
某点的纬度—— 经过这点的球半径与赤道平面所成的角的度数。
2 1
；
O1
A
；
0°
B
O
当α 1+α 2＞π 时，∠AO1B =2π -（α 1+α 2）。
然后再由其他条件计算出∠AOB，进一步得出A、B的球面距离。 ② 同经度不同纬度的两地间的球面距离：设同一经线上的A、B两地纬度分别是β 1、β 2(弧度数) 1o、A、B在赤道异侧时：A、B的球面距离为 R（β 1+β 2）； 2o、A、B在赤道同侧时：不妨设β 1＜β 2，A、B的球面距离为 R（β 2-β 1）。
例1．上海靠近北纬30o东经120o的A点，洛杉矶靠近北纬30o西经120o的B点，阿拉斯加在上海的东北方向，接近过A、B的大圆，夏威夷在上海的正东方，接近过A、B的纬度圈。一飞机从上海飞往洛杉矶，经过阿拉斯加到达目的地还是经过夏威夷到达目的地比较近？为什么？
例2．设地球的半径为R，在纬度为α 的纬线圈上有甲、乙两地，它们在纬线圈上的弧长是π Rcosα , 则这两地的球面距离是______________.

球面距离计算公式的推导及举例

球面距离的计算及其计算公式在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）如图1，A 、B 为球面上不在同一直径上的两点,O 为圆心，⊙O 为过A 、B 的大圆，⊙O '为过A 、B 的任一个小圆，我们把这两个圆画在同一个平面内．（见图1）设α2=∠AOB ，α'='∠2B O A ，球半径为R ，半径为r ．则有AB 大圆弧长R L α2=，AB 小圆弧长r l α'=2 r a R r R l L '='=ααα22 （1) 但αα'==sin 2sin 2r R AB ,即ααsin sin '=r R （2）将(2）代入（1）得αααααααsin sin sin sin ''='⋅'=a l L (3) ∵ r R >，由（2）式知αα>'。

由于20παα<'<<，故只需证明函数()x x x f sin =在⎪⎭⎫ ⎝⎛2.0π内为单调递减即可. ∴ ()()0tan cos sin cos 22<-=-='x x x x x x x x x f ， ∵当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 时，有x x >tan ）∴ ()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π单调递减, 由(3）式不难得到1<lL ，即l L <。

故大圆劣弧最短。

球面距离公式：设一个球面的半径为R ，球面上有两点()11,βαA 、()22,βαB . 其中1α，2α为点的经度数，1β、2β为点的纬度数，过A 、B 两点的大圆劣弧所对的圆心角为θ，则有()]sin sin cos cos arccos[cos 212121ββββααθ⋅+-=（弧度)A 、B 间的球面距离为：()]sin sin cos cos arccos[cos 212121ββββααθ⋅+-==R R L 证明：如图1，⊙1O 与⊙2O 分别为过A 、B 的纬度圈,过A 、C 的大圆，过B 、D 的大圆分别为A 、B 的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直,作⊥AE 面BC O 2,垂足E 位于C O 2上,连结EB 、AB 。

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