第6讲 函数与方程 学案

第6讲 函数与方程 学案

【考点简介】

函数与方程是数学中非常重要的思想方法之一，它从不同的角度研究问题并且经常在二者之间合理转化，能够很好的考查学生的数学思维，因此，也是自主招生考试中常常出现的问题．本节就三次方程的韦达定理及函数与方程中的重点题型加以讲解，须深入体会其中的数学含义．

【知识拓展】

一、方程的根与函数的零点：

1、对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数叫做函数()y f x =的零点；

2、方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点；

3、零点存在定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且_______________，那么在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使()0f c =．

二、二分法：通过每次把f (x )的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法．

三、三次方程的韦达定理：设三次方程32

0(0)ax bx cx d a +++=≠的三个根分别是123,,x x x ，则有： 123122313123

________________________

_______________x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩

这个定理的证明并不困难，只要把式子32123()()()ax bx cx d a x x x x x x +++=---展开，比较x 的

同次项系数即可．

四、整系数多项式的根：若既约分数q p

（即(,)1,0,,p q p p q Z =≠∈）为整系数多项式 1110n n n n a x a x a x a --++++的根，则0|,|n p a q a ．

【典例精讲】

例1、（复旦）设三次方程3

0x px q ++=的3个根互异，且可成等比数列，则它们的公比是 ． （1）

12-± （B

）12± （C

12i ± （D

）12

i

例2、（复旦千分考）设,(,)a b ∈-∞+∞，0b ≠，,,αβγ是三次方程30x ax b ++=的3个根，则总以

1

11111,,αββγγα

+++为根的三次方程是（ ） （A ）232220a x abx b x a ++-= （B ）2322

20b x abx a x b ++-=

（C ）232220a x ab x bx a ++-= （D ）232220b x a bx ax b ++-=

例3、（交大）32

0x ax bx c +++=的三根分别为,,a b c ，并且,,a b c 是不全为零的有理数，求,,a b c 的值．

例4、（“华约”）请证明：方程0!

!33!212=+++++n x x x x n

在n 为偶数的时候没有实数根，在n 为奇数的时候，有且仅有一个实数根．

例5、（北约）已知2013个实数122013,,...,a a a 满足122013...0a a a +++=，

12232012201320131|2||2|...|2||2|a a a a a a a a -=-==-=-，求证：122013...0a a a ====．

例6、3=的实数根．

例7、（交大）求方程2x x =

+++n 重根）的解．

例8、（交大）已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根．问：(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论．

例9、（交大）设9k ≥，解关于x 的方程32229270x kx k x k ++++=.

例10、（北约）已知2225,25x y y x =+=+，求32232x x y y -+．

例11、（清华）试求出一个整系数多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++，使()0f x =．

例12、（年复旦）定义在R 上的函数()(1)f x x ≠满足2002()2(

)40151

x f x f x x ++=--， 则(2004)_____f =

【巩固练习】

1、 （“卓越联盟”）若关于x 的方程2||4

x kx x =+，有四个不同实数解，则k 的取值范围为（ ） A 、(0,1) B 、1(,1)4 C 、 1(,)4

+∞ D 、 (1,)+∞ 2、（复旦）已知关于x 的方程26(2)|3|920x x a x a -+--+-=有两个不同的实数根，则系数a 的取值

范围是（ ）

A 、0a >或2a =-

B 、0a <

C 、2a =或0a >

D 、2a =-

3、（交大）设0a >且1a ≠，则方程2122x a x x a +=-++的解的个数是 ．

4、（交大）已知1a ≤≤||x =的相异实根的个数是 ．

5、,x y R =

∈，则(,)x y = ．

6、（交大）,,a b c R ∈，0abc ≠，b c ≠，

2()()()0a b c x b c a x c a b -+-+-=有两个相等根，求证：111

,,a b c 成等差数列．

7、（“北约”）求1210272611=+-++

+-+x x x x 的实数根的个数．

8、（复旦）方程230x x e -=的实根是（ ）

（A ）不存在 （B ）有一个 （C ）有两个 （D ）有三个

9、函数116log y x =与它的反函数的交点个数为 （ ）

（B ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

10、关于x 的方程()222110x x k ---+=，给出下列四个命题：

①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根

②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根

③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根

④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根

其中假命题的个数是 （ ）

A 0

B 1

C 2

D 3