人教版数学八年级讲练教程培优和竞赛二合一：1-用提公因式法把多项式进行因式分解

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14.3.1提公因式法说课稿2022-2023学年人教版八年级数学上册

14.3.1 提公因式法说课稿一、教学目标1.理解提公因式法的基本概念和运用方法；2.掌握利用提公因式法进行多项式的因式分解；3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

二、教学重难点1. 教学重点•提公因式法的基本概念和运用方法；•多项式的因式分解。

2. 教学难点•利用提公因式法进行复杂多项式的因式分解。

三、教学过程1. 导入（5分钟）引入提公因式法的概念和意义。

通过举例说明提公因式法的应用场景，如化简分式、求多项式的最大公因式等。

通过这些例子，激发学生对提公因式法的兴趣和学习的动力。

2. 知识讲解（20分钟）2.1 提公因式法的基本概念和运用方法提公因式法是一种将一个多项式表达式分解为两个因式的方法。

通过提取出多项式中的公因式，将多项式分解为乘法形式。

例如，对于多项式7x + 14y，我们可以提取出公因式7，得到7(x + 2y)。

通过提公因式法，我们成功将多项式分解为两个因式。

2.2 多项式的因式分解在提公因式法的基础上，我们可以进一步利用提公因式法进行多项式的因式分解。

例如，对于多项式x^2 - 4，我们可以将其因式分解为(x + 2)(x - 2)。

通过提公因式法，我们成功将多项式分解为两个因式。

3. 实例演练（25分钟）在讲解完提公因式法的基本概念和运用方法后，通过多个实例让学生进行实践操作。

从简单的例子开始，逐渐增加难度，让学生逐步掌握提公因式法的运用技巧。

示例1：将多项式3x + 9分解为公因式和提公因式。

解：3x + 9 = 3(x + 3)示例2：将多项式a^2 - 4a进行因式分解。

解：a^2 - 4a = a(a - 4)示例3：将多项式2x^3 + 4x^2 + 6x进行因式分解。

解：2x^3 + 4x^2 + 6x = 2x(x^2 + 2x + 3)4. 板书总结（5分钟）将提公因式法的基本概念和运用方法进行总结，并通过板书的形式呈现给学生。

重点标记提公因式法的关键步骤和注意事项，以便后续复习和巩固。

数学人教版八年级上册14.3因式分解----提公因式法、公式法的综合运用

3
课后巩固
m m 2 ( 1 )p p
3 2 2 x 6 x 9 x
2 ( 3 ) 4 x 3 y 25 y 2
2 ( 4 ) x 4 16 x 2

2
4 2 ( 5 ) x 2 x 1
( 6 ) 4 a b a b
22 2

2 2

归纳总结
先提取公因式再平方差公式
例1.因式分解
(1) 4 －16a2
变式： 4 －64a4
（2） m3 (m－2)－4m(m－2)
变式： m ² （a－b）+4n2（b－a）
先提取公因式再完全平方公式
例2.因式分解：
1 3 变式： 1 a a a 4
5 4
1 2x 2x 2
2
2 7 x 14 x 7 x
因式分解的方法
(三)完全平方公式法：
x2+2xy+y2=(x+y)2 x2–2xy+y2=(x–y)2
一个多项式能用完全平方公式因式分解具备的特征：（1）有三项；（2）其中有两个平方项且符号相同（3）有乘积的2倍；
下列多项式能否用完全平方公式因式分解?
（1） – x2 +2xy – y2 （2）x2+x+1 （3） – a2 –2a+1
（3）m(a – 2) –平方差公式法：
x2 – y2=(x+y)(x – y)
一个多项式能用平方差公式因式分解具备的特征：有两个平方项，且符号相反。
下列多项式能否用平方差公式因式分解?
（1） – m2 – n2 （2） – m2n2 +1

【最新】人教版八年级数学上册同步讲义因式分解(一)提公因式法

解 : 2a( x y ) 4b( x y ) 2( x y )(a 2b)
(4) a 2 x m2 abxm1 acxm axm3
(5)a(a b)3 2a 2 (b a) 2 2ab(b a)
解 : a(a b) 3 2a 2 (a b) 2 2ab(a b) a(a b)[(a b) 2 2a(a b) 2b]
原式 3 （- 2） -6
10 3n 5 2 2 n-1 10 3n 10 2 n-1
10 3n 5 2 n
10(3n 2 n-1 )
3n 2 2 n 2 3n 2 n 是10的倍数.
整式的乘除与因式分解第23课因式分解（一）提公因式法
课堂同步练习 1.对下列多项式进行分解因式：
(1)-16x4+32x3-56x2 ； (2)-7ab-14abx+49aby； (3)p(a2+b2)-q(a2+b2).
解 : 8x 2 (2 x 2 4 x 7)
解 : 7ab(1 2 x 7 y)
解 : (a 2 b 2 )( p q)
(4)3x(x-2)-(2-x);
(5)4q(1-p)3+2(p-1)2;
(6)-4m2n3+12m3n2-2mn.
解 : 3 x( x 2) ( x 2) ( x 2)(3 x 1)
解 : 4q(1 p) 3 2(1 p) 2 2(1 p) 2 [2(1 p) 1] 2(1 p) 2 (3 2 p)
解 : 2mn(2mn2 6m 2 n 1)
整式的乘除与因式分解第23课因式分解（一）提公因式法

人教版数学八年级培优和竞赛二合一讲炼教程公式变形与字母系数方程

1 1、公式变形与字母系数方程【知识精读】含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。

公式变形实质上是解含有字母系数的方程对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程型，讨论如下：（1）当时，此时方程为关于x的一元一次方程，解为：（2）当时，分以下两种情况：<1>若，原方程变为，为恒等时，此时x可取任意数，故原方程有无数个解；<2>若，原方程变为，这是个矛盾等式，故原方程无解。

含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件。

下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程【分类解析】1. 求含有字母系数的一元一次方程的解例1. 解关于x的方程分析：将x以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。

解：去分母得：移项，得2. 求含字母系数的分式方程的解例2. 解关于x的方程分析：字母未给出条件，首先挖掘隐含的条件，分情况讨论。

解：若a、b全不为0，去分母整理，得对是否为0分类讨论：（1）当，即时，有，方程无解。

（2）当，即时，解之，得若a、b有一个为0，方程为，无解若a、b全为0，分母为0，方程无意义检验：当时，公分母，所以当时，是原方程的解。

说明：这种字母没给出条件的方程，首先讨论方程存在的隐含条件，这里a、b全不为0时，方程存在，然后在方程存在的情况下，去分母、化为一元一次方程的最简形式，再对未知数的字母系数分类讨论求解。

当a、b中只有一个为0时，方程也存在，但无解；当a、b全为0时，方程不存在。

最后对字母条件归纳，得出方程的解。

3. 已知字母系数的分式方程的解，确定字母的条件例3. 如果关于x的方程有唯一解，确定a、b应满足的条件。

分析：显然方程存在的条件是：且解：若且，去分母整理，得当且仅当，即时，解得经检验，是原方程的解应满足的条件：且说明：已知方程有唯一解，显然方程存在的隐含条件是a、b全不为0，然后在方程存在的条件下，求有解且唯一的条件。

【八年级】人教版数学八年级培优和竞赛教程4用分组分解法进行因式分解

【关键字】八年级4、用分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。

使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。

能预见到下一步能继续分解。

而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。

应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。

下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。

【分类解析】1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例1. 把多项式分解因式，所得的结果为（）分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。

解：原式故选择C例2. 分解因式分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把，分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解法1：解法2：2. 在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足证明：以a、b、c为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”证明：3. 在方程中的应用例：求方程的整数解分析：这是一道求大概方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解解：4、中考点拨例1.分解因式：_____________。

解：说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。

例2．分解因式：____________解：说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。

例3. 分解因式：____________解：说明：分组的目的是能够继续分解。

5、题型展示：例1. 分解因式：解：说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。

2020-2021学年数学人教版八年级培优和竞赛二合一讲炼教程-13-分式总复习

例2. 计算： a 1
a3
分析：如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“
分离分式法”简化计算。
a(a 1) 1 a(a 3) 1
解：原式
a 1
a3
a 1 (a 1 )
a 1
a3
11
a 1 a3
(a 3) (a 1)
(a 1)(a 3)
2a 2
当 x 2 时，分母 x 2 3x 2 0 ，原分式无意义。
例2．已知 x 2 3x 2 0 ，那么代数式
x 1
的值是_________。
分析：先化简所求分式，发现把 x 2 3x 看成整体代入即可求的结果。解：原式 (x 1)2 (x 1) x 2 2x 1 x 1 x 2 3x x2 3x 2 0 x2 3x 2
(a 1)(a 3)
例3.
1
解方程：
x2
1 7x
6
x2 x2
5x 5 5x 6
分析：因为 x 2 7x 6 (x 1)(x 6) ， x 2 5x 6 (x 2)(x 3) ，所以最简公分
母为： (x 1)(x 6)(x 2)(x 3) ，若采用去分母的通常方法，运算量较大。由
x 0 经检验， x 0 是原方程的根。
3. 在代数求值中的应用
例4. 已知 a 2 6a 9 与 |b 1| 互为相反数，求代数式
( a2
4 b2
a ab 2
b a
2b
)
a 2 ab 2b2 a 2b 2ab2
b a
的值。
分析：要求代数式的值，则需通过已知条件求出a、b的值，又因
x2 y2
x y ，则M＝__________。

人教版数学八年级培优和竞赛二合一讲炼教程用提公因式法把多项式进行因式分解

1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）（2）分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，，是在因式分解过程中常用的因式变换。

解：)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯分析：算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：原式)521456268123(1368987+++⨯=3. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组，求代数式的值。

分析：不要求解方程组，我们可以把和看成整体，它们的值分别是3和，观察代数式，发现每一项都含有，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有和的式子，即可求出结果。

解：把和分别为3和带入上式，求得代数式的值是。

4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数。

分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。

对任意自然数n，和都是10的倍数。

人教版初二数学培优竞赛讲炼教程：分式方程及其应用

人教版初二数学培优和竞赛二合一讲炼教程12、分式方程及其应用【知识精读】1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。

2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。

3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。

下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。

【分类解析】例1. 解方程：x x x 1211 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x 11，得x x x x x x x x x 22221112123232 ()()()，即，经检验：是原方程的根。

例2. 解方程x x x x x x x x 12672356 分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x 6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。

解：原方程变形为：x x x x x x x x 67562312 方程两边通分，得167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x 所以即经检验：原方程的根是x 92。

例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

解：由原方程得：3143428932874145x x x x 即2892862810287x x x x于是，所以解得：经检验：是原方程的根。

人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：因式分解

专题14.3因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个式子因式分解.2.因式分解方法(1)提公因式法：找岀最大公因式.(2)公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)23.分解因式的一般步骤若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法(平方差公式：孑一歹=(a+b)(a-2>),完全平方公式: /±2曰b+F=(a±bF)或英它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.【例题1】因式分解：ab-a= __________ •【例题2］把多项式4子-1分解因式，结果正确的是( )A. (4M1) (4a-1) B・(2M1) (2”1)C. (2a- 1) 2D・(2亦1) 2【例题3］分解因式3/ - 27/= __________ .【例题4】分解因式：xf - 2xy^x= _________ .【例题5】因式分解：/-9= _________ .【例题6】分解因式：_________________ ・一.选择题1.a'b - 6a'bTa：b分解因式得正确结果为( )A. a"b (a* - 6a+9) B・ a-b (a - 3) (a+3) C・ b (a" - 3) D・ a"b (a - 3)2.把多项式x2 - 6x+9分解因式，结果正确的是()A・(x - 3 ) 2 B・(x - 9)=C・(x+3) ( x - 3 ) D・(x+9) ( x - 9)3.多项式77x: - 13x - 3 0可因式分解成(7 x+a ) ( bx+c儿其中a > b、c均为整数，求a+b + c之值为何？( )A. 0 B・ 10 C・ 12 D・ 224.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为X3- 4,乙与丙相乘为x=+15x - 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )A. 2x+19 B・ 2x - 19 C・ 2x+15 D・ 2x - 155.把8a'-8a：+2a进行因式分解，结果正确的是( )A. 2a ( 4a: - 4a+l) B・ 8a: ( a - 1)C. 2a ( 2a - 1) 2 D・ 2a (2a+l) 26.多项式77x" - 13x - 30可因式分解成(7x-ra ) ( bx+c )，其中a. b c均为整数，求a+b + c之值为何？( )A. 0 B・ 10 C・ 12 D・ 227.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且英一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为x c- 4,乙与丙相乘为x=+15x - 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )A. 2x+19B. 2x - 19 C ・ 2x+15 D. 2x・ 158.把多项式亍+ax+b分懈因式，得(x+1) (x-3)则a, b的值分别是( )A. a=2t b=3 B・ a= - 2, b二・3 C・ a= - 2, b=3 D・ a=2, b= - 39.分解因式：16-丘二( )A. (4 - x) (4+x) B・(x - 4) (x+4) C. (8+x) (8 - x) D. (4 - x):10.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是( )A. a" - 1 B・ a"+a C・ a"+a - 2 D・(a+2) " - 2 (a+2) +1二、填空题11.分解因式：1-¥= _________ .12.分解因式：3a'b十6卅二__ ・13.分解因式X3—9x= _____1 0 114•已知实数x满足x+_=3,则x2 + —的值为___________ -X X15•因式分解：£・6a+9二____ ・16.分解因式：2^2 - 8/= ______________ .17.因式分解：a2 -2a = _________ .18.分解因式：x2 +x-2 = __________ ・19.分解因式.4丘一9二 _____ ・20.分解因式：a^b —ab= _______ ・21.分解因式：ax= - ay== ______________ .22.分解因式：a-16a= ________________ ・23.把多项式9a5 - ab：分解因式的结果是__________ .24._______________________________________ •把多项式ax：+2a*a'分解因式的结果是.25.分解因式3m l - 48= ____________ ・26・分解因式：ab 1 - 4ab:+4ab:= ______________ ・27.分解因式：(m+1) (m- 9) +8m二__________ ・28•将/ (x-2) +加(2-.Y)分解因式的结果是________________三、解答题29•已知a+b二3, ab=2,求代数式a5b+2aV+ab3的值.专题14.3因式分解1.因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个式子因式分解.2.因式分解方法(1)提公因式法：找岀最大公因式.(2)公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)23.分解因式的一般步骤若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法(平方差公式：孑一歹=(a+b)(a-2>),完全平方公式: /±2曰b+F=(a±bF)或英它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.【例题1】因式分解：ab-a= ___________•【答案】a (6-1).【解析】提公因式a即可.ab- a=a (.b ■ 1 )・【点拨】本题考査了提取公因式法因式分解.关键是求岀多项式里各项的公因式，提公因式.【例题2】把多项式4/ - 1分解因式，结果正确的是( )A. (4亦1) (4a- 1)B. (2M1) (2”1)C. (2a- 1) 2D・(2M1) 2【答案】B【解析】如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.平方差公式：=(a+6) (a- b)i完全平方公式：a:±2aM6:= (a±b) 5：4a:- 1= (2a+l) (2a- 1),【点拨】本题考査了分解因式，熟练运用平方差公式是解题的关键。

人教版数学八年级培优竞赛分式化简与求值专题课件

b
c
a
（1）因 a a1= 3 ，所以
a a1
2
9,
a2 1 7 ，再次两边平方得 a4 1 47 ；
a2
a4
（2）
a4
a2 a2
1
a2
1
1
1 a2
1.
8
12．已知下面一列等式：1× 1 ＝1－ 1 ；1 × 1 ＝ 1 － 1 ；1 × 1 ＝ 1 － 1 ；1 × 1 ＝
ab3
ba
A． 1
3
B．－ 1
3
C．3 D．－3
2．已知： 1 － 1 ＝3，则 2x 3xy 2y 的值是( D )
xy
x xy y
A．－ 7
2
B．－ 11
2
C． 9
2
D． 3
4
3．当 x 分别取－2018、－2017、－2016、……、－2、－1、0、1、1 、1 、……、
23
1 、 1 、 1 时，计算分式 x2 1 的值，再将所得结果相加，其和等于( C )
14．有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是 1 ；第二个数是 1 ；第三个数是 1 ；…对任何正整数 n，第(n
1 2
23
3 4
＋1)个数
的和等于 2 ． nn 2
(1)经过探究，我们发现： 1 ＝1－ 1 ； 1 ＝ 1 － 1 ； 1 ＝ 1 － 1 ；请直接写出
1 2
2 23 2 3 34 3 4
2
22 3 2 33 4 3 44 5
1 － 1 ；……
45
(1)请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式；
(2)验证一下你写出的等式是否成立； (3)利用等式计算: 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 的值．

人教版八年级数学上册第14章整式的乘除与因式分解专训：因式分解的六种常见方法(含答案)

名师点金：因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等．提公因式法题型1：公因式是单项式的因式分解1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2分解因式，其中一个因式是－4x2y2，则另一个因式是( )A．3y＋4x－1　B．3y－4x－1　C．3y－4x＋1　D．3y－4x2．【2015·广州】分解因式：2mx－6my＝__________．3．把下列各式分解因式：(1)2x2－xy；(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.题型2：公因式是多项式的因式分解4．把下列各式分解因式：(1)a(b－c)＋c－b；(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.公式法题型1：直接用公式法5．把下列各式分解因式：(1)－16＋题型2：先提公因式再用公式法6．把下列各式分解因式：(1)(x－1)＋b2(1－x)；(2)－3x7＋24x5－48x3.题型3：先局部再整体法7．分解因式：(x＋3)(x＋4)＋(x2－9)．题型4：先展开再分解法8．把下列各式分解因式：(1)x(x＋4)＋4；(2)4x(y－x)－y2.分组分解法9．观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学的因式分解：甲：x 2－xy ＋4x －4y＝(x 2－xy )＋(4x －4y )　(分成两组)＝x (x －y )＋4(x －y ) (分别提公因式)＝(x －y )(x ＋4). (再提公因式)乙：a 2－b 2－c 2＋2bc＝a 2－(b 2＋c 2－2bc ) (分成两组)＝a 2－(b －c )2 (运用完全平方公式)＝(a ＋b －c )(a －b ＋c ). (再用平方差公式)请你在他们的解法的启发下，把下列各式分解因式：(1)m 2－mn ＋mx －nx ； (2)x 2－2xy ＋y 2－9.拆、添项法10．分解因式：x 4＋.1411．先阅读下面的材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法，其实分解因式的方法还有拆项法等．拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：(1)x2－6x－7；(2)a2＋4ab－5b2.整体法题型1：“提”整体12．分解因式：a(x＋y－z)－b(z－x－y)－c(x－z＋y)．题型2：“当”整体13．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．题型4：“凑”整体15．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.换元法16．分解因式：(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.答案1．B　2.2m(x－3y)3．解：(1)2x2－xy＝x(2x－y)．(2)－4m4n＋16m3n－28m2n＝－4m2n(m2－4m＋7)．点拨：如果一个多项式第一项含有“－”号，一般要将“－”号一并提出，但要注意括号里面的各项要改变符号．4．解：(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．(2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)．6．解：(1)原式＝(x －1)－b 2(x －1)＝(x －1)(1－b 2)＝(x －1)(1＋b )(1－b )．(2)原式＝－3x 3(x 4－8x 2＋16)＝－3x 3(x 2－4)2＝－3x 3(x ＋2)2(x －2)2.7．解：原式＝(x ＋3)(x ＋4)＋(x ＋3)·(x －3)＝(x ＋3)[(x ＋4)＋(x －3)]＝(x ＋3)(2x ＋1)．点拨：解此题时，表面上看不能分解因式，但通过局部分解后，发现有公因式可以提取，从而将原多项式因式分解．8．解：(1)原式＝x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2.(2)原式＝4xy －4x 2－y 2＝－(4x 2－4xy ＋y 2)＝－(2x －y )2.点拨：通过观察发现此题不能直接分解因式，但运用整式乘法法则展开后，便可以运用公式法分解．9．解：(1)m 2－mn ＋mx －nx＝(m 2－mn )＋(mx －nx )＝m (m －n )＋x (m －n )＝(m －n )(m ＋x )．(2)x 2－2xy ＋y 2－9＝(x 2－2xy ＋y 2)－9＝(x －y )2－9＝(x －y ＋3)(x －y －3)．10．解：原式＝x 4＋x 2＋－x 214 ＝－x 2(x2＋12)2 ＝(x 2－x ＋)．(x2＋x ＋12)12点拨：此题直接分解因式很困难，考虑到添加辅助项使其符合公式特征，因此将原式＝(x－3＋4)(x－3－4)＝(x＋1)(x－7)．(2)a2＋4ab－5b2＝a2＋4ab＋4b2－9b2＝(a＋2b)2－(3b)2＝(a＋2b＋3b)(a＋2b－3b)＝(a＋5b)(a－b)．12．解：原式＝a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)＝(x＋y－z)(a＋b－c)．13．解：原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.点拨：本题把x＋y这一整体“当”作完全平方公式中的字母a.14．解：原式＝abc2＋abd2＋cda2＋cdb2＝(abc2＋cda2)＋(abd2＋cdb2)＝ac(bc＋ad)＋bd(ad＋bc)＝(bc＋ad)(ac＋bd)．点拨：本题“拆”开原式中的两个整体，重新分组，可谓“柳暗花明”，出现转机．15．解：原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9)＝(x－2)2－(y－3)2＝(x＋y－5)(x－y＋1)．点拨：这里巧妙地把－5拆成4－9.“凑”成(x2－4x＋4)和(y2－6y＋9)两个整体，从而运用公式法分解因式．16．解：(1)设a2＋2a＝m，则原式＝(m－2)(m＋4)＋9＝m2＋4m－2m－8＋9＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2＝(a2＋2a＋1)2＝(a＋1)4.(2)设b2－b＝n，则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1。

人教版数学八年级培优和竞赛二合一讲炼教程式的概念基本性质7427

8 、分式的概念、分式的基本性质【知识精读】分式的概念要注意以下几点：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；（3）分式有意义的条件是分母不能为0。

分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。

在运用分式的基本性质时，要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注意法则中M “不为零”的条件。

下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。

【分类解析】例1. 已知a b ，为有理数，要使分式a b 的值为非负数，a b ，应满足的条件是（） A. a b ≥≠00，B. a b ≤<00，C. a b ≥>00，D. a b ≥>00，，或a b ≤<00，分析：首先考虑分母b ≠0，但a 可以等于0，由a b≥0，得a b ≥>00，，或a b ≤<00，，故选择D 。

例2. 当x 为何值时，分式||x x -+55的值为零？分析：分式的值为零必须满足两个条件：（1）分子为零；（2）分母不为零。

解：由题意得，得||x x -==±505，，而当x =-5时，分母x +5的值为零。

∴当x =5时，分式55||+-x x 的值为零。

例3. 已知113a b -=，求2322a ab b a ab b----的值（） A. 12 B. 23 C. 95D. 4 分析： 113113a b b a-=∴-=-，，将分式的分母和分子都除以ab ，得 23222231122333295a ab b a ab b b a b a ----=----=⨯----=()，故选择C 。

例4. 已知x y -=20，求x xy y x xy y2222323-++-的值。

分析：根据已知条件，先消元，再化简求值。

2020年人教版数学八年级培优和竞赛二合一讲炼教程-07-因式分解小结

2020年人教版数学八年级培优和竞赛二合一讲炼教程7、因式分解小结【知识精读】因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。

【分类解析】1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例1. 分解因式x x x x x 54321-+-+-分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x x 54-，x x 32-，x -1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解一：原式=-+--+()()x x x x x 54321=-+--+=--+=--+++x x x x x x x x x x x x x 32232221111111()()()()()()()解二：原式=()()()x x x x x 54321-+-+-=-+-+-=-++=-++-=--+++2x x x x x x x x x x x x x x x x x 4244222211111121111()()()()()()[()]()()()2. 通过变形达到分解的目的例1. 分解因式x x 3234+-解一：将32x 拆成222x x +，则有原式=++-=+++-=++-=-+x x x x x x x x x x x x 322222242222212()()()()()()()()解二：将常数-4拆成--13，则有原式=-+-=-+++-+=-++=-+x x x x x x x x x x x x 322221331113314412()()()()()()()()()3. 在证明题中的应用例：求证：多项式()()x x x 2241021100--++的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。

人教版初二数学培优竞赛讲炼教程：分式的运算

x 1 A. x 3
x 1 B. x 9
x2 1 C. x 2 9
x2 1 D. x2 3
1
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(x 2)(x 1) (x 3)(x 2)
分析：原式 (x 3)(x 2) (x 2)(x 1)
(x 2)(x 1) (x 2)(x 1)
(x 3)(x 2) (x 3)(x 2)
4144
说明：此题反复运用了已知条件的变形，最终达到化简求值的目的。
1
1
1
1
3. 解：原式 (x 1)(x 2) (x 2)(x 3) (x 3)(x 4) (x 4)(x 5)
1
1
1
1
1
1
1
1
x1 x2 x2 x3 x3 x4 x4 x5
11
x1 x5
4 x2 6x 5
的值。
1
1
1
1
3. 计算： x 2 3x 2 x 2 5x 6 x 2 7x 12 x 2 9x 20
4.
若
A
99991111 9999 2222
1 ，B 1
9999 2222 9999 3333
1 1 ，试比较A与B的大小。
5.
已知：
a
b
c
0，abc
8
，求证：
1 a
1 b
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人教版初二数学培优和竞赛二合一讲炼教程
10、分式的运算
【知识精读】
1. 分式的乘除法法则
a c ac
b d bd ；
a c a d ad
b d b c bc
当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。 2. 分式的加减法

(家教培优专用)人教版数学八年级上册--提公因式法(提高)知识讲解

提公因式法（提高）【学习目标】1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.【要点梳理】【高清课堂398715 提公因式法知识要点】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是除以m 所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【典型例题】类型一、因式分解的概念1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．（1）()a x y ax ay +=+；（2）2221(2)(1)(1)x xy y x x y y y ++-=+++-；（3）24(2)(2)ax a a x x -=+-；（4）221122ab a b =g ；（5）222112a a a a ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭．【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断.【答案与解析】解：因为(1)(2)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；(4)的左边不是多项式而是一个单项式，(5)中的21a 、1a都不是整式，所以(4)(5)也不是因式分解，只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解．【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．举一反三：【变式】下列变形是因式分解的是 ( )A.243(2)(2)3a a a a a -+=-++B.2244(2)x x x ++=+C. 11(1)x x x +=+D.2(1)(1)1x x x +-=-【答案】B ；类型二、提公因式法分解因式【高清课堂398715 提公因式法例3】2、下列因式分解变形中，正确的是（）A ．()()()()1ab a b a b a a b a b ---=--+B ．()()()()262231m n m n m n m n +-+=+++C ．()()()()232332y x x y y x y x -+-=--+D ．()()()()2232x x y x y x y x y +-+=++【答案】A ；【解析】解：A.()()()()1ab a b a b a a b a b ---=--+，正确；B.()()()()2622331m n m n m n m n +-+=++-，故本选项错误；C.()()()()232332y x x y y x y x -+-=---，故本选项错误；D.()()()()223331x x y x y x y x xy +-+=++-，故本选项错误．【总结升华】解题的关键是正确找出公因式，提取公因式后注意符号的变化．找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．举一反三：【变式】（2014春•濉溪县期末）下列分解因式结果正确的是（）A.a 2b+7ab ﹣b=b （a 2+7a ）B.3x 2y ﹣3xy+6y=3y （x 2﹣x ﹣2）C.8xyz ﹣6x 2y 2=2xyz （4﹣3xy ）D.﹣2a 2+4ab ﹣6ac=﹣2a （a ﹣2b+3c ）【答案】D.解：A 、原式=b （a 2+7a+1），错误；B 、原式=3y （x 2﹣x+2），错误；C 、原式=2xy （4z ﹣3xy ），错误；D 、原式=﹣2a （a ﹣2b+3c ），正确．故选D ．类型三、提公因式法分解因式的应用【高清课堂398715 提公因式法例5】3、若a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ∆按边分类，应是什么三角形？【答案与解析】解：∵()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-∴()()()()a b b a a b a c a b c a ---=---()()()()a b b a c a a b --=--当a b =时，等式成立，当a b ≠时，原式变为a b a c -=-，得出b c =，∴a b b c ==或∴ABC ∆是等腰三角形.【总结升华】将原式分解因式，就可以得出三边之间的关系，从而判定三角形的类型.【高清课堂398715 提公因式法例6】4、对任意自然数n （n ＞0），422n n +-是30的倍数，请你判定一下这个说法的正确性，并说说理由.【答案与解析】解：()44422222221152n n n n n n +-=⨯-=-=⨯∵n 为大于0的自然数，∴2n 为偶数，15×2n 为30的倍数，即422n n +-是30的倍数.【总结升华】判断422n n +-是否为30的倍数，只需要把422n n +-分解因式，看分解后有没有能够整除30的因式.举一反三：【变式】说明200199198343103-⨯+⨯能被7整除. 【答案】解：200199198343103-⨯+⨯()198219833431073=-⨯+=⨯ 所以200199198343103-⨯+⨯能被7整除.5、（2015春•湘潭县期末）已知xy=﹣3，满足x+y=2，求代数式x 2y+xy 2的值．【思路点拨】将原式提取公因式xy ，进而将已知代入求出结果即可．【答案与解析】解：∵xy=—3，x+y=2，∴x 2y+xy 2=xy （x+y ）=﹣3×2=﹣6．【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．。

人教版初二数学上册课外辅导专题讲义：因式分解

人教版初二数学上册课外辅导专题讲义：因式分解【考点总汇】一、因式分化的要领1.提公因式法：=++cm bm am 。

2.运用公式法：平方差公式：=-22b a ；3.完全平方公式：=+±222b ab a 。

微拨炉：二、因式分化的步骤1.若多项式的各项有公因式，则应先，首项是负的，可将负号一并提取。

2.若多项式的各项没有公因式，则可以思虑用法来分化因式。

3.查抄因式分化是否彻底。

微拨炉：高频考点1、因式分化的概念及提取公因式【范例】因式分化：=+a a 32 。

得分要领：确定公因式的三个步骤1.找多项式各项系数的最大条约数。

2.找多项式各项中都含有的字母或因式。

3.都含有的字母（或因式）的指数取次数最低的。

【考题回放】1.下面分化因式正确的是（）A.1)2(122++=++x x x xB.x x x x 4)4(32-=-C.x b a bx ax )(+=+D.222)(2n m n mn m +=+-2.因式分化：=+mb ma 。

3.分化因式：=-a a 2 。

4.分化因式：=+ab a 2。

5.因式分化：=-+-)()(y x n y x m 。

高频考点2、运用公式法因式分化【范例】在下列四个多项式中，能因式分化的是（）A.12+aB.962+-a aC.y x 52+D.y x 52- 得分要领：1.当分化因式时，先提公因式，再根据项数确定是否能运用公式。

2.分化因式需分化彻底。

3.若第一项系数为负数，则分化因式应先提取“一”号。

【考题回放】1.下面的多项式中，能因式分化的是（）A.n m +2B.12+-m mC.n m -2D.122+-m m2.将下列多项式因式分化，终于中不含因式1-x 的是（）A.12-xB.)2()1(x x x -+-C.122+-x xD.122++x x3.因式分化：=-y y x 2 。

4.因式分化：=-2732m 。

5.因式分化：=+-x x x 9623 。

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人教版数学八年级讲练教程
（培优和竞赛二合一）
1、用提公因式法把多项式进行因式分解
【知识精读】
如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：
（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解
【分类解析】
1. 把下列各式因式分解
（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213
（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222
分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323()
（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()
()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式
变换。

解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 )
243)((]2)(2))[(()
(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=
2. 利用提公因式法简化计算过程
例：计算1368
987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯
分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：原式)521456268123(1368
987+++⨯=
=⨯=98713681368987
3. 在多项式恒等变形中的应用
例：不解方程组23532
x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。

解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+- 把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6。

4. 在代数证明题中的应用
例：证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。