《高等流体力学》习题集
高等流体力学第一章配套例题
r ez r ez
θ
P
σ Rω
a
σ Rθ
r r r pn = σ RR eR + σ Rθ eθ r 3µU r = − p0 eR + ez 2a
x
ω
y
z
σ RR
P
r 2π π r 2 3µU r r F = ∫ ∫ pn a sin θ dθ dω = 4π a 2 ez = 6πµUaez 2a 0 0
u = ay , v = w = 0 试求:
r
sij
aij s ijδ x j 和旋转速度 a ij δ x j
r r r i j k r r 1) ∇ × u = ∂ / ∂x ∂ / ∂y ∂ / ∂z = −ak ay 0 0
2)
0 a / 2 0 sij = a / 2 0 0 0 0 0
r + dr ,θ +
dθ dz ,z+ 2 2
dθ dz r ,θ + , z + 2 2
}dθ dz
dr
dθ
r+
dr dz ,θ + dθ , z + 2 2 dr ,θ , z + 2 2 r+ dz ]dzdr
r
θ
x
r+
r r r +{[(σ zr er + σ zθ eθ + σ zz ez )r ] r r r −[(σ zr er + σ zθ eθ + σ zz ez )r ]
θ
σ Rω
a
σ Rθ
ω
又解 :
y
x
r r F = ez ∫ (σ RR cosθ − σ Rθ sin θ ) 2π a sin θ a dθ
高等流体力学各章习题汇总
(1). 证明圆周 x 2
y a
2
2
上的任意一点的速度都与 y 轴平行,且此
速度大小与 y 成反比. (2). 求 y 轴上的速度最大点;
(3). 证明 y 轴是一条流线.
7. 已知速度势φ, 求相应流函数ψ. (1). (2).
xy
x x y
2 2
b
b
U p
8. 求图示不脱体绕流平板上下表面压强, 压强系数和速度分布.
2
2
（1）沿下边给出的封闭曲线积分求速度环量,
0 x 10, y 0; 0 y 5, x 10; 0 x 10, y 5; 0 y 5, x 0.
（2）求涡量 ，然后求
n dA
A
式中A是 (1) 中给出的矩形面积， 是此面积的外单位法线矢量。
u i t u
j
t
u j
x
ij j
x k
u j u k
ij
xi
f
j
可简化为
u i x
j
fi
6. 流体在弯曲的变截面细管中流动,设 A 为细管的横断面积, 在 A 断面上的流动物理量是均匀的,试证明连续方程具有下述形式,
L1
C
L2
第四章 教科书 4.1, 4.4, 4.7, 4.12 5. 设复位势为
F ( z ) m ln ( z 1 z )
(1). 问流动是由哪些基本流动组成; (2). 求流线方程;
(3). 求通过 z i 和 z
1 2
两点连线的流体体积流量.
6. 在点 (a, 0), ( -a, 0) 上放置等强度的点源,
高等流体力学试题
1.简述流体力学有哪些研究方法和优缺点?实验方法就是运用模型实验理论设计试验装置和流程，直接观察流动现象，测量流体的流动参数并加以分析和处理，然后从中得到流动规律。
实验研究方法的优点：能够直接解决工程实际中较为复杂的流动问题，能够根据观察到的流动现象，发现新问题和新的原理，所得的结果可以作为检验其他方法的正确性和准确性。
实验研究方法的缺点主要是对于不同的流动需要进行不同的实验，实验结果的普遍性稍差。
理论方法就是根据流动的物理模型和物理定律建立描写流体运动规律的封闭方程组以及相应初始条件和边界条件，运用数学方法准确或近似地求解流场，揭示流动规律。
理论方法的优点是：所得到的流动方程的解是精确解，可以明确地给出各个流动参数之间的函数关系。
解析方法的缺点是：数学上的困难比较大，只能对少数比较简单的流动给出解析解，所能得到的解析解的数目是非常有限的。
数值方法要将流场按照一定的规则离散成若干个计算点，即网格节点；然后，将流动方程转化为关于各个节点上流动参数的代数方程；最后，求解出各个节点上的流动参数。
数值方法的优点是：可以求解解析方法无能为力的复杂流动。
数值方法的缺点是：对于复杂而又缺乏完整数学模型的流动仍然无能为力，其结果仍然需要与实验研究结果进行对比和验证。
2.写出静止流体中的应力张量,解释其中非0项的意义.无粘流体或静止流场中，由于不存在切向应力，即p ij =0（i ≠j ），此时有P =000000xx yy zz p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=000000p p p -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=-p 00000011⎡⎤⎢⎥1⎢⎥⎢⎥⎣⎦= -p I 式中I 为单位张量，p 为流体静压力。
流体力学中，常将应力张量表示为 p =-+P I T （2-9）式中p 为静压力或平均压力，由于其作用方向与应力定义的方向相反，所以取负值；T 称为偏应力张量，即T =xx xy xz yx yy yz zx zy zz τττττττττ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2-10）偏应力张量的分量与应力张量各分量的关系为：i ＝j 时，p ij 为法向应力，τii = p ij - p ；当i ≠j 时p ij 为粘性剪切应力，τij =p ij 。
(完整word版)《高等流体力学》习题集
《高等流体力学》复习题一、 基本概念1． 什么是理想流体？正压流体，不可压缩流体？ [答]：教材P57当流体物质的粘度较小，同时其内部运动的相对速度也不大，所产生的粘性应力比起其它类型的力来说可以忽略不计时，可把流体近似地看为是无粘性的，这样无粘性的流体称为理想流体。
内部任一点的压力只是密度的函数的流体，称为正压流体。
流体的体积或密度的相对变化量很小时，一般可以看成是不可压缩的，这种流体就被称为不可压缩流体。
2． 什么是定常场；均匀场；并用数学形式表达。
[答]：如果一个场不随时间的变化而变化，则这个场就被称为定常场。
其数学表达式为：)(ϕϕ=如果一个场不随空间的变化而变化，即场中不显含空间坐标变量r ，则这个场就被称为均匀场。
其数学表达式为：)(t ϕϕ=3． 理想流体运动时有无切应力？粘性流体静止时有无切应力？静止时无切应力是否无粘性？为什么？ [答]：理想流体运动时无切应力。
粘性流体静止时无切应力。
但是，静止时无切应力，而有粘性。
因为，粘性是流体的固有特性。
4． 流体有势运动指的是什么？什么是速度势函数？无旋运动与有势运动有何关系？ [答]：教材P119-123如果流体运动是无旋的，则称此流体运动为有势运动。
对于无旋流动来说，其速度场V 总可以由某个速度标量函数（场）),(t r φ的速度梯度来表示，即φ∇=，则这个标量函数（场）),(t φ称为速度场V 的速度势函数。
无旋运动与有势运动的关系：势流运动与无旋运动是等价的，即有势运动是无旋的，无旋运动的速度场等同于某个势函数的梯度场。
5． 什么是流函数？存在流函数的流体具有什么特性？（什么样的流体具有流函数？） [答]：6． 平面流动中用复变位势描述的流体具有哪些条件（性质）？ [答]：教材P126-127理想不可压缩流体的平面无旋运动，可用复变位势描述。
7． 什么是第一粘性系数和第二粘性系数？在什么条件下可以不考虑第二粘性系数？Stokes 假设的基本事实依据是什么？ [答]：教材P89第一粘性系数μ：反映了剪切变形对应力张量的贡献，因此称为剪切变形粘性系数； 第二粘性系数μ’：反映了体变形对应力张量的贡献，因而称为体变形粘性系数。
高等流体力学-习题集
由题可得速度场 ，则由 得 ，解微分方程得 ，即为流体质点运动的拉格朗日表达式,其中 为任意常数。
则 ，
得速度的拉格朗日表达式为：
得加速度的拉格朗日表达式为：
4、已知质点的位置表示如下：
求：（1）速度的欧拉表示；
（2）加速度的欧拉表示及拉格朗日表示，并分别求 及 的值；
（3）过点 的流线及 在 这一质点的迹线；
由迹线微分方程为 ，将 代入得质点轨迹方程为
(4)散度
旋度
涡线微分方程为 ，又因为 ，涡线微分方程转化为 ，即
涡线方程为
(5)速度梯度 = ，
∴应变率张量
∴旋转张量
5、已知拉格朗日描述为
（1）问运动是否定常，是否是不可压缩流体，是否为无旋流场；
（2）求t=1时在点（1,1,1）的加速度；
（3）求过点（1,1,1）的流线。
解：
6、已知 ，求
（1）速度的拉格朗日描述；
（2）质点加速度；
（3）散度及旋度；运动是否有旋；流体是否不可压；
（4）迹线及流线。
解：
(1)由 ，又由 得 ，由 得 。再由初始条件 得 ，则速度的拉格朗日描述为
(2)质点加速度为
(3)散度
（4）散度、旋度及涡线；
（5）应变率张量及旋转张量。
解：
(1)由 得
由题得 ，则速度的欧拉表示为
(2)加速度分量为 ，
则加速度的欧拉表示为 ;
则加速度的拉格朗日表示为 ；
当 时，
(3)流线微分方程式为 ，因为 所以，流线微分方程转化为 ，消去中间变量积分得 ，又因为 ，当 时，得到 =0， ，即过点(1,0,0)的流线为
高等流体力学
1、流体的运动用
高等流体力学习题
第一讲绪论习题：1.综述流体力学研究方法及其优缺点。
2.试证明下列各式：(1)grad(φ±ψ)=grad(φ)±grad(ψ)(2) grad(φψ)=ψgrad(φ)+φgrad(ψ)(3)设r= x i+y j+ z k，则=(4) 设r= x i+y j+ z k，求div(r)=？(5) 设r= x i+y j+ z k，则div(r4r)= ?3.给定平面标量场f及M点处上已知两个方向上的方向导数和，求该点处的grad f 第二讲应力张量及应变张量例2-1试分析下板不动上板做匀速运动的两个无限大平板间的简单剪切流动，，式中k为常数，且k=u0/b。
解：由速度分布和式(2-14、16和17)可得再由式(2-18)可得所以II=k=u0/b。
流动的旋转张量R的分量不全为零说明流动是有旋流动，I=tr A=0表明流动为不可压缩流动，II=k表明了流场的剪切速率为常数。
第三讲流体的微分方程习题：试由纯粘流体的本构方程和柯西方程推导纳维尔-斯托克斯方程（N-S方程）。
第四讲流动的积分方程【例3－1】在均匀来流速度为V的流场中放置一个垂直于来流的圆柱体，经过若干距离后测得的速度分布如图所示，假设图示的控制体边界上的压力是均匀的，设流体为不可压缩的，其密度为ρ，试求:(1)流线1-2的偏移量C的表达式；(2)单位长度圆柱体的受力F的表达式。
解：(1)无圆柱体时流管进出口一样大（即流线都是直线，无偏移），进出口的流速分布也是相同的，而放入圆柱体之后出口处的流速分布变成图示的那样，即靠近中心线部分的流速变小，由于已经假定流体是不可压缩的流体，若想满足进出口流量相同——连续性方程，必然会导致流管边界会向外偏移，也就是说出口处流管的截面会增大。
因此，求解时可由进出口流量相等入手，设入口处平均流速为V，取宽度为L，所得的连续性方程应为：求得C=a/2(2)在流管的进出口截面1-1与2-2之间使用动量方程，即圆柱体的阻力应等于单位时间内流出2-2面的流体的动量与流入1-1面的流体的动量差，列x方向的动量方程可表示为则，F=-R【例3－2】试求如图所示的射流对曲面的作用力。
(完整)《高等流体力学》复习题
《高等流体力学》复习题一、基本概念1． 什么是流体，什么是流体质点？2． 什么是流体粘性，静止的流体是否具有粘性，在一定压强条件下，水和空气的粘性随着温度的升高是如何变化的？3． 什么是连续介质模型？在流体力学中为什么要建立连续介质这一理论模型？4． 给出流体压缩性系数和膨胀性系数的定义及表达式。
5． 简述系统与控制体的主要区别。
6． 流体静压强的特性是什么？绝对压强s p 、计示压强（压力表表压）p 、真空v p 及环境压强（一般为大气压）a p 之间有什么关系？7． 什么是理想流体，正压流体，不可压缩流体？8． 什么是定常场，均匀场，并用数学形式表达。
9． 分别用数学表达式给出拉格朗日法和欧拉法的流体加速度表达式。
10． 流线和迹线有何区别，在什么条件下流场中的流线和迹线相重合？11． 理想流体运动时有无切应力？粘性流体静止时有无切应力？静止时无切应力是否无粘性？为什么？12． 试述伯努利方程()22p V Z C g gψρ++=中各项的物理意义，并说明该方程的适用条件。
13． 流体有势运动指的是什么？什么是速度势函数？无旋运动与有势运动有何关系？14． 什么是流函数？存在流函数的流体具有什么特性？（什么样的流体具有流函数？）15． 平面流动中用复变位势描述的流体具有哪些条件（性质）？16． 伯努利方程22p V Z Const g gρ++=对于全流场均成立需要基于那些基本假设？ 17． 什么是第一粘性系数和第二粘性系数？在什么条件下可以不考虑第二粘性系数？stokes 假设的基本事实依据是什么？18． 为推出牛顿流体的本构方程，Skokes 提出了3条基本假设，分为是什么？19． 作用在流体微团上的力分为那两种？表面应力ij τ的两个下标分别表示？ij τ的正负如何规定？20． 从分子运动学观点看流体与固体比较有什么不同？21． 试述流体运动的Helmhottz 速度分解定律并给出其表达式。
高等流体力学——习题
习题一 场论和张量代数(习题一中黑体符号代表矢量)1．(一)用哈密顿符号法证明：rot n n n n n n n n n n n n n n C C ⨯=-⨯∇⨯=-⨯∇⨯=-∇⋅+⋅∇=-∇⋅+⋅∇()()()()()()C 12因为n 为单位向量，n n ⋅=1，故 ∇⋅=()n n 0，于是rot n n n n ⨯=⋅∇().注意： 将rot n n ⨯写成rot n n n n ⨯=∇⨯⨯()是不正确的。
右端表示矢量][)(pk q jpqijk x n n ∂∂εε.直接写rot n n n n n n n n ⨯=-⨯∇⨯=-∇⋅+⋅∇()()()尽管也能给出证明，但由第二步(反用混合积公式)到第三步却是错误的，一定要引入辅助矢量n C 才能进行正确的推导。
(二)张量表示法证明：()()1()()2n n n ijk jmnk jik jmn k im kn km in k m m mk i k k k k i k in n nn n n x x x n n n n n n x x x εεεεδδδδ∂∂∂⨯==-=--∂∂∂∂∂∂⋅=-+=-+⋅∇=⋅∇∂∂∂rot n n n n n n2．(一)哈密顿符号法：grad(a n a n n a n a ⋅=∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇)()()()； rot(a n a n n a n a ⨯=∇⨯⨯=⋅∇-∇⋅)()()().于是n a n a n n n a n a n n a a a ⋅⋅-⨯=⋅⨯∇⨯+∇⋅=⋅∇⋅=∇⋅=[()()][()()]()grad rot div(二)张量表示法：()()[grad()rot()]()j j j p ki ijki j ijk kpq q i j i j j p j ii j ip jq iq jp q ij j i j i j a n a a n n n n x x x x a a a a n n n n n n x x x x εεεδδδδ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⨯⋅⋅-⨯=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎡⎤∂∂∂∂=--=-⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦a n n a n a n div j i j ji i ja n x a Q n n Q x ⎡⎤∂+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦∂=+=+∂ a其中()0j j i i i jji j j i ij i ja a a aQ n n n n n n n x x x x ∂∂∂∂=-=-=∂∂∂∂(进行j i ,指标互换)，证毕。
高等流体力学-习题集
高等流体力学一、流体的运动用x=a,y=e t b+c2+e−tb−c2,z=e tb+c2−e−tb−c2表示，求速度的拉格朗日描述与欧拉描述。
解：由题可知速度分量为：{u=ðxðt=0v=ðyðt=e t b+c2−e−t b−c2=zw=ðzðt =e t b+c2+e−t b−c2=y则速度的拉格朗日描述：V⃑ =(0,e t b+c2−e−t b−c2,e t b+c2+e−t b−c2)速度的欧拉描述：V⃑ =(0,z,y)二、速度场由V⃑ =(x2t,yt2,xz)给出，当t=1时求质点p(1,3,2)的速度及加速度。
解：由V⃑ =(x2t,yt2,xz)可得速度分量式为：{u=x2t v=yt2 w=xz则当t=1时，质点p(1,3,2)的速度为：V⃑ =(1,3,2)；加速度为{a x=ðuðt+uðuðx+vðuðy+wðuðz a y=ðvðt+uðvðx+vðvðy+wðvðza z=ðwðt +uðwðx+vðwðy+wðwðz={a x=x2+x2t∙2xt+yt2∙0+xz∙0a y=2yt+x2t∙0+yt2∙t2+xz∙0a z=0+x2t∙z+yt2∙0+xz∙x={a x=1+2+0+0=3a y=6+0+3+0=8a z=0+2+0+2=4，即加速度为：a=(3,9,4)三、速度场由V⃑ =(αx+t2,βy−t2,0)给出，求速度及加速度的拉格朗日表示。
解：由题可得速度场V⃑ =(u,v,w)=(αx+t2,βy−t2,0)，则由{u=ðxðt=αx+t2v=ðyðt=βy−t2w=ðzðt =0得{dxdt−αx=t2dydt−αy=−t2dzdt=0，解微分方程得{x=c1eαt−1αt2−2α2t−2α3y=c2eβt+1βt2+2β2t+2β3z=c3，即为流体质点运动的拉格朗日表达式,其中c1,c2,c3为任意常数。
高等流体力学-习题集
高等流体力学-习题集—c b + c b — c.一 ............................... ......... ........... ........... 2^，Z = ee2表示，求速度的拉格朗日描述与欧拉描述。
解：由题可知速度分量为 （ u=—=0Stdy /fi+c b —c \ v = — = e -------- e — = zdr22 dz t h+c . b —c—=e ------- 卜 e — = v&t22丿则速度的拉格朗日描述（00宁一戶宁严宁*与）速度的欧拉描述：戸=（①宣、y ）、速度场由卩=仗乜刃给出，当£ = 1时求质点p （X3,2）的速度及 加速度。
解：U = x 2tv = yt 2高等流体力学、流体的运动用 t b+c由K =可得速度分量式为:W — xz 则当t=1时，质点pdX2）的速度为：卩=乩3」2）；加速度Cldu .du . dudt dy dzdv .. . &v a y=—+ u — dt d x+ v—F >v ——= dydzdw i . dw . dw a 7 = ---- u — + v ---- H w — £dt dy dza x = x 2 + x 2t - 2xt + yt 2 10 + xz ■ 0a y= 2yt + x 2t - 0 + yt 2 • t 2 + xz ■ 0 a z = 0 + x 2t ・ z + yt 2 - 0 + xz-x(a x = 1 + 24-0 + 0= 3= Jay-6 + 0-l-3-F0-8 ,即加速度为 [a z = 0 + 2 + 0 + 2 = 4a = (3,9; 4)三、速度场由V = （ar^t z t py - & 0）给出，求速度及加速度的拉格朗 表示。
解：由 题 可 得 速V — （u,巧 w ） = （ax + * py —（2 0） f dxU =——5二罟二旳-严得情w — — = 0I——aac = t 2 At -ay = -t 1 ,空=0 dl2,即为流体质点运动的拉=ax -H t 2解微分方程;乙一fl 严頁Z = c3V01f x = c^e at—-: 2y -巧尹 + - t z + —&x 2B =询3 -1a z= 0得速度的拉格朗日表达式为 為叼砂-詁j四、已知质点的位置表示如下：x - a.y = b + a （_e~2t — l ）,z = c+ a （e _3t - 1）求：（1）速度的欧拉表示；（2） 加速度的欧拉表示及拉格朗日表示，并分别求 （局”刃=（人0,0）及 （為陶=（九0,0）的值；（3） （4） （5）解：;))1|u = — = c^ae^ | V = -^ = C 2pG ptIW =Cid^e^1 —-aa yV =得加速度的拉格朗日表达式为V — （“cz'gat - *工2严£加-）过点（儿Q 0）的流线及1 = 0在（a’b 疋）三（九1,1）这一质点的迹线; 散度、旋度及涡线； 应变率张量及旋转张量P 辭oa = xb = y — x(e~2tc = z — x(e~3tX = I b + a(e z = c + a(e由题得 < 卩二警二 w = ~ =—3ae~3t = —3xe~2t V dt欧拉表示为V 二!> — 2宓盘—3化 (2) 加 速 度 分 量 f du , du , du , du _a y =——u ——i?——w — = 0x 9t dx dy dzdi? dv _2t 擢 _2t=—1- u — + v — + w — = 4^e = 4ae dt dx dy dz =—+ u ——v —+ w — = 9xe = 9ae 口 dt dx &y dz则加速度的欧拉表示为n =(0f 4xe 2\ 9xe ")； 则加速度的拉格朗日表示为 a =(0； 4ae~2t , 9ae _3t )； 当时，a =(074e-2t f 9e-3c )(3)流线微分方程式为,因为"二0所以，流线微分方程转化为，消去中间变2量积分得，又因为工二Q ，当x 二丄」二z 二0时，得到「=0，，即过点(1,0,0)(X = 1的流线为u = — = 0 dt—2ae _Zc =-2xc"2r ，则速度的 I, a yx = ay = b^-a(e-2t -l)，将 z = c + a(e _3t— 1) 代入得质点轨迹方程为je = 1y = e~2t)散度两八労+計牛= o + o + o = o旋\dy dz/ \dz dx/ \dx dyJOf + 3e~3t j + -2e~ll k涡线微分方程为— = — = —,又因为二0 ,涡线W x Wy W z微分方程转化为岛 =const ,即由迹线微分方程为度k =1涡线方程为(5)速y = -|e_f z + c2 k x— c3梯度-ayalzaya d u&z0 0 0-2e"2f0 03e~3f0 0VV =3z.・•・应变率张量=-e^2t_32e••旋转张量dudx1/dv du\ '2 \dxdy ) 1 /dw du\.2+ dz)/du dv\ 1 /du dwy\dv + dx) 2\dz + dx)1 /dv dw\2 \&z + dy)1 /dw dv\ dw2 \dy + dz)dz.A L 2\dy（1） 问运动是否定常，是否是不可压缩流体，是否为无旋流场; （2） 求t=1时在点（1,1,1）的加速度；（3） 求过点（1,1,1 ）的流线。
高等流体力学课后习题
【1.4】 理想流体的特征是： a ）黏度是常数； （ （b）不可压缩； （c）无黏性； （d）符合 解：不考虑黏性的流体称为理想流体。 【1.5】 当 水 的 压 强 增 加 一 个 大 气 压 时 ，水 的 密 度 增 大 约 为 ： （ 000； d） 1/2 000。 （
解：牛顿内摩擦定律是
dv dv d d dy ，而且速度梯度 dy 是流体微团的剪切变形速度 dt ，故 dt 。
（b ）
【1.3】 流体运动黏度 υ 的国际单位是： a ）m2/s； （ （b）N/m2； （c）kg/m； （d）N· 2。 s/m 解：流体的运动黏度 υ 的国际单位是 m /s 。
。
（c）
a ）1/20 000； b）1/1 000； c）1/4 （ （
1 20 000 。
d
解：当水的压强增加一个大气压时，其密度增大约 （a） 【1.6】 从力学的角度分析， 一般流体和固体的区别在于流体： a ） （ 能承受拉力， 平衡时不能承受切应力； （b） 不能承受拉力，平衡时能承受切应力； （c）不能承受拉力，平衡时不能承受切应力； （d）能承受拉力， 平衡时也能承受切应力。 解：流体的特性是既不能承受拉力，同时具有很大的流动性，即平衡时不能承受切应力。 （c） 【1.7】下 列 流 体 哪 个 属 牛 顿 流 体 ： a ） 汽 油 ； b） 纸 浆 ； c） 血 液 ； d） 沥 青 。 （ （ （ （ 解：满足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体。 （a） 【1.8】 15 C 时空气和水的运动黏度 空气 15.2 10 m /s ，水 1.146 10 m /s ， 这说明： 在运动中 a ） （ 空气比水的黏性力大； （b）空气比水的黏性力小； （c）空气与水的黏性力接近； （d）不能直接比较。 解：空气的运动黏度比水大近 10 倍，但由于水的密度是空气的近 800 倍，因此水的黏度反而比空气 大近 50 倍，而 黏性力除了同 流体的黏度 有关，还和 速度梯度有 关，因此它们 不能直接比 较。
高等流体力学习题
真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。
1 / 71、 柱坐标下V V ⋅∇的表达式（112233V V e V e V e =++）：()()()()()()2211i i i i i i ji i j i i j j j j j j i j j i j j i i i i i i ii i j j j j j i i j j i j i i iV e V e V V V e e V e e e V h q h q q V VV V VV h V e V e V V e e i j i j e e i j h q h q h q h q h h q h q ⎡⎤⎡⎤∂⎛⎫∂∂⎢⎥⋅∇=⋅=⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂∂∂=+≠+==+≠+∂∂∂∂∂∂1321231,;,,h h h r q r q q zε======2121122222121311323332133dV V dV dV V dV V dVdV V V =V ++V e +V ++V +e dr r d dz r dr r d dz r dV dVdV V +V ++V e dr d dz V V r εεε∴⋅∇⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭2、 利用哈密尔顿算子证明以下各式： (1)()a =0∇⋅∇⨯()()2222221233132231121222331213a j ji i i j i j ijk k i ii j i j i j ae x aaaa =e e e e e e e e x x x x x x x x a a a e e e e e e x x x x x x a e ⎛⎫∂∂⨯ ⎪ ⎪∂∇⨯∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎝⎭∇⋅∇⨯⋅=⋅=⋅⨯=⨯⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂+223312321212131320a ae e e e e x x x x x x ∂∂⋅+⋅+⋅=∂∂∂∂∂∂(2) ()0ψ∇⨯∇=()()22222123313223213232121311121222213331323212i i jijk k i i j i j =e e e e e x x x x x e e e e e e x x x x x x e e e e e e x x x x x x ψψψψψψψψψψ⎛⎫∂∇⨯∂∂∇⨯∇⨯=⨯= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂(3)()()()a b a b b a∇⋅⨯=∇⨯⋅-∇⨯⋅()()()()i iiiii iiia b a b a b a b e e b a e b e a a b b ax x x x dx ∂⨯⎛⎫∂∂∂∂∇⋅⨯=⋅=⋅⨯+⨯=⨯⋅-⨯⋅=∇⨯⋅-∇⨯⋅⎪∂∂∂∂⎝⎭(4)()()()a b a b a b b a b a∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⋅∇+⨯∇⨯()()iiiiiia b a b a b e e b e a a b b ax x x ⋅∇⋅=⋅∂∂∂=∂∂∂+⋅=∇⋅+∇⋅()()b b b b ba a i i ii i i i i i i a b e e a e e a a e b a a b x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⨯∇⨯=⨯⨯=⋅-⋅=⋅-⋅=∇⋅-⋅∇ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()i i ii i i i i i i a a a a ab a b e b e b e e b b e a b b a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⨯∇⨯=⨯⨯=⋅-⋅=⋅-⋅=∇⋅-⋅∇ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭3、 如果n 为闭曲面A 上的微元面dA 的单位外法线向量，12,ϕϕ是闭曲面满足20ϕ∇=的两个不同的解，试证明：（38页，6）（1）AndA=0⎰⎰（2）2112AAdA dA nn ϕϕϕϕ∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰证明：（1）1AndA=d 0ττ∇=⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()()211221122112212212122121221221120AAAAdA dA n n dAn n n n dA d d d τττϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕτϕϕϕϕϕϕϕϕτϕϕϕϕτ∂∂-=⋅∇-⋅∇∂∂⎡⎤=⋅∇-⋅∇=∇⋅∇-∇⎣⎦=∇+∇∇-∇-∇∇=⋅⋅=∇-∇⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰有两族平面正交曲线()(),,,x y c x y dζη==，已知22,2x y y ζ=-=时4x η=，求()x,y η，（40页，10）解：,ηζ正交=0x x y y ζηζη∂∂∂∂∴+∂∂∂∂即2x 2y =0x y ηη∂∂-∂∂40y y =22x 4-22x ηη∂∂=⋅⨯=∂∂当时，，代入得22y x xy cηη∂∴=⇒=+∂ 240y x c η===由时，知2xy η∴=求半径为a 的四分之一圆的垂直平面上流体的总的作用力F 和压力中心C 的位置，已知0x 与流体自由水平面重合，自由面上压力为零。
《高等流体力学》复习题
《高等流体力学》复习题、基本概念I .什么是流体，什么是流体质点？ 2.什么是流体粘性，静止的流体是否具有粘性，在一定压强条件下，水和空气的粘性随着温度的升高 是如何变化的？ 3. 什么是连续介质模型？在流体力学中为什么要建立连续介质这一理论模型？ 4. 给出流体压缩性系数和膨胀性系数的定义及表达式。
5. 简述系统与控制体的主要区别。
6. 流体静压强的特性是什么？绝对压强 P s 、计示压强（压力表表压）p 、真空P v 及环境压强（一般为大气压）P a 之间有什么关系？ 7.什么是理想流体，正压流体，不可压缩流体？& 什么是定常场，均匀场，并用数学形式表达。
9. 分别用数学表达式给出拉格朗日法和欧拉法的流体加速度表达式。
10 .流线和迹线有何区别，在什么条件下流场中的流线和迹线相重合？II .理想流体运动时有无切应力？粘性流体静止时有无切应力？静止时无切应力是否无粘性？为什么？13 .流体有势运动指的是什么？什么是速度势函数？无旋运动与有势运动有何关系？ 14 .什么是流函数？存在流函数的流体具有什么特性？（什么样的流体具有流函数？） 15 .平面流动中用复变位势描述的流体具有哪些条件（性质）？p V16 .伯努利方程ZConst 对于全流场均成立需要基于那些基本假设？Pg 2g17 .什么是第一粘性系数和第二粘性系数？在什么条件下可以不考虑第二粘性系数？stokes 假设的基本事实依据是什么？18 .为推出牛顿流体的本构方程， Skokes 提出了 3条基本假设，分为是什么？ 19 .作用在流体微团上的力分为那两种？表面应力 j 的两个下标分别表示？ij 的正负如何规定？20 .从分子运动学观点看流体与固体比较有什么不同？21 .试述流体运动的Helmhottz 速度分解定律并给出其表达式。
22 .流体微团有哪些运动形式？它们的数学表达式是什么？12 .试述伯努利方程ZPgV12g二c 中各项的物理意义, 并说明该方程的适用条件。
高等流体力学-考试试题
《高等流体力学》考试题
专业： 姓名： 学号：
1. 已知P 点的应力张量[P ]=210
13
54
57-- 求图示平行于平面ABC 平面上的应力矢量。
2. 设u=v=0，w=b （a 2-x 2-y 2）求应变率张量和旋转张量。
3.流体本构方程是怎样建立的？
4.设速度场μ=-ky，v=k（x-at），w=0，k，a为常数，求：
①t时刻的流线方程及t=0时在（a，b，c）处的流体质点的迹线；
②速度与加速度的拉格朗日表示式。
5.用数量级比较方法导出边界层方程？
6.湍流耗散率ε的定义是什么？怎么导出？
7.湍流的外间歇性和内间歇性是如何定义？
8.分析引入湍流模型的原因？
9.相距为h的两无限大平板间充满粘性均质不可压缩流体，上板固
定不动，下板的速度v sin（n，t）作往复运动，试求流体的速度分布。
10. 半径为a 的圆球缓慢在一粘性很大的流体中下坠，已知小球密度b ρ，流体密度s ρ，流体粘性系数为μ。
求小球最终下坠速度。
11. 设某定常层流边界层的外流速度分布为31kx =μ，设)(32ηφf X kv m =
其中3132x
y v k =η。
试证明边界层方程可转换内微分方程021)(212////=+-+f ff f。
高等流体力学练习题
dx dy dz = = Ωx Ω y Ωz dx = dy = dz ⎧ dx = dy → x = y + C1 ⎪ ⎨ dx = dz → x = z + C2 ⎪dx = dy → x = y + C 3 ⎩
二、 由气象观测站测得的大气温度和速度分布如下： 。
V = U ( y )ex ，
T = T0 ( x) + α exp(−γ t 2 )
⎤ ∂ 1 ∂u ∂u 1⎡ ∂ wz = ( y − x ) = ⎢ (bx − 2ay ) − (2ax + by ) ⎥ = 0 2 ∂x ∂y 2 ⎣ ∂x ∂y ⎦
速度场为无旋流动，存在速度势函数。 （2）无旋故势函数为
ϕ = ∫ (2ax + by )dx + ∫ (bx − 2ay )dy = ax 2 − ay 2 + bxy + C
可以看出，涡线方程与流线方程完全相同。 五、已知速度场为 u x = 2ax + by ， u y = bx − 2ay ， u z = 0 ，式中 a、b 为常数。 （1）判断流动是否无旋； （2）如为无旋，求速度势函数 ϕ ； （3）求速度流函数ψ 。
解： （1）已知流动为平面流动， wx = wy = 0 ，
r
U
r0
0
X
u (r )
x
证： （1）选择图中 1-1，2-2 两断面及圆筒管壁所围的体积为控制体。
∴ u ⋅ π r 2 = ∫ u (r )dA
0
r0
= ∫ C (r02 − r 2 )d (π ⋅ r 2 )
0
r0
= 2π C ⋅ ∫ (r02 − r 2 ) ⋅ rdr
高等流体力学各章习题汇总
式中是 u 速度, dS 是流动方向的微元弧长. 7. 试证明对于滞止焓 h0 有以下方程成立
t ( h0 ) x j ( u j h0 ) p t x j ( ij u i k T x j ) fiu i
滞止焓
h0 h
1 u u 2
8.一个物质体系V 分为V1和V2 两部分, Σ 是V1和V2的分界面, S 是V的 边界曲面, 设交界面Σ以速度 u 运动,在 Σ 两侧物理量 F 有一个跃变. 试导出推广的雷诺输运公式
Dt
V
D
FdV
V
F t
dV
S
F V nd S
第五章 教科书 5.5, 5.6, 5.7 4. 证明在球坐标系下 (
A r
2
co s B r ) sin
2 2
可表示不可压缩流体
某轴对称无旋流动中的流函数,并求其速度势.
5. 已知流体绕流圆球的势函数
的力.
( r , ) U ( r
a
3 2
) co s
2r
, 式中 a 是
2
2
（1）沿下边给出的封闭曲线积分求速度环量,
0 x 10, y 0; 0 y 5, x 10; 0 x 10, y 5; 0 y 5, x 0.
（2）求涡量 ，然后求
n dA
A
式中A是 (1) 中给出的矩形面积， 是此面积的外单位法线矢量。
u i t u
j
t
u j
x
ij j
x k
高等流体力学考试题12
高等流体力学考试题
每题20分，请用答题纸答题一、牛顿提出流体粘性
定律依据如图的实验，
但在实验过程中即使经
过仔细的处理，仍会带
来误差。
比如通过减小
上面平板的比重使其漂
浮在流体上，但总有一
部分平板会浸入到液体
中；另外，当平板运动
时，其前部的液体会发生堆积，后部的液体会被拖曳，使液面产生如图的变化而带来附加阻力。
请思考回答，你认为可以通过什么办法使测量误差减小到最小，并设计新的测量办法来实现减小测量误差。
二、在理想流体中，由涡丝组
成的两个涡环，两种情况分别
如图中的(a)和(b)所示。
假设两
个涡环强度相等，方向如图，
涡环直径同为D，间距为L，
初始时刻两涡环的整体运动速
度都为零。
请分析并图示画出
两种情况涡环组的运动趋势。
三、水面舰艇和潜艇的外形设计不同（如图），为什么？在同样的航速下，如
25海里/小时，水面舰艇和潜艇（潜航）所受的阻力（迎来流单位截面积所受的阻力）哪一个大？为什么？
四、有一小汽车在高速公路
的直隧道中匀速行驶，汽车
行驶速度80km/h，隧道长
18km（足够长），不考虑汽车
驶入或驶出隧道时隧道口的
影响，今欲求解汽车周围气流的流场，请给出定解问题的数学方程组和边界条件，并给与讨论说明。
五、任何流体都是有粘性的，为什么我们还要引入理想流体的概念？在什么
情况下我们可以把流动问题的研究对象当作理想流体考虑？如下图所示，给出你所认为的合理的流场分析方法。
以上问题没有标准答案，可以讨论，请大家独立完成。
下学期开学后第二周周二交卷。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《高等流体力学》复习题一、 基本概念1． 什么就是理想流体？正压流体,不可压缩流体？ [答]:教材P57当流体物质的粘度较小,同时其内部运动的相对速度也不大,所产生的粘性应力比起其它类型的力来说可以忽略不计时,可把流体近似地瞧为就是无粘性的,这样无粘性的流体称为理想流体。
内部任一点的压力只就是密度的函数的流体,称为正压流体。
流体的体积或密度的相对变化量很小时,一般可以瞧成就是不可压缩的,这种流体就被称为不可压缩流体。
2． 什么就是定常场;均匀场;并用数学形式表达。
[答]:如果一个场不随时间的变化而变化,则这个场就被称为定常场。
其数学表达式为:)(r ϕϕ=如果一个场不随空间的变化而变化,即场中不显含空间坐标变量r ,则这个场就被称为均匀场。
其数学表达式为:)(t ϕϕ=3． 理想流体运动时有无切应力？粘性流体静止时有无切应力？静止时无切应力就是否无粘性？为什么？[答]:理想流体运动时无切应力。
粘性流体静止时无切应力。
但就是,静止时无切应力,而有粘性。
因为,粘性就是流体的固有特性。
4． 流体有势运动指的就是什么？什么就是速度势函数？无旋运动与有势运动有何关系？ [答]:教材P119-123如果流体运动就是无旋的,则称此流体运动为有势运动。
对于无旋流动来说,其速度场V 总可以由某个速度标量函数(场)),(t r φ的速度梯度来表示,即φ∇=V ,则这个标量函数(场)),(t r φ称为速度场V 的速度势函数。
无旋运动与有势运动的关系:势流运动与无旋运动就是等价的,即有势运动就是无旋的,无旋运动的速度场等同于某个势函数的梯度场。
5． 什么就是流函数？存在流函数的流体具有什么特性？(什么样的流体具有流函数？) [答]:6． 平面流动中用复变位势描述的流体具有哪些条件(性质)？ [答]:教材P126-127理想不可压缩流体的平面无旋运动,可用复变位势描述。
7． 什么就是第一粘性系数与第二粘性系数？在什么条件下可以不考虑第二粘性系数？Stokes 假设的基本事实依据就是什么？ [答]:教材P89第一粘性系数μ:反映了剪切变形对应力张量的贡献,因此称为剪切变形粘性系数; 第二粘性系数μ’:反映了体变形对应力张量的贡献,因而称为体变形粘性系数。
对于不可压缩流体,可不考虑第二粘性系数。
Stokes 假设的基本事实依据:平均法向正应力ε就就是压力函数的负值,即体变形粘性系数032=+='λμμ。
8． 从运动学观点瞧流体与固体比较有什么不同？ [答]:教材P55若物质分子的平均动能远小于其结合能,即E mv ∆<<221,这时物质分子间所形成的对偶结构十分稳定,分子间的运动被严格地限定在很小的范围内,物质的分子只能在自己的平衡位置周围振动。
这时物质表现为固态。
若物质分子的平均动能与其结合能大致相等,即E mv ∆≈221,其分子间的对偶结构不断地遭到破坏,又不断地形成新的对偶结构。
这时,物质分子间不能形成固定的稳定对偶结构,而表现出没有固定明确形状的液态。
若物质分子的平均动能远大于其结合能,即E mv ∆>>221,物质几乎不能形成任何对偶结构。
这时,物质表现为气态。
9． 试述流体运动的Helmholts 速度分解定律。
[答]:教材P65可变形流体微团的速度分解:流体微团一点的速度可分解为平动速度分量与转动运动分量与变形运动分量之与,这称为流体微团的Helmholts 速度分解定理V δδ⋅+⨯+=010． 流体微团有哪些运动形式？它们的数学表达式就是什么？[答]:V δδ⋅+⨯+=0 1)平动运动:0V = 2)转动运动:δω⨯ rot 21=3)变形运动:r S δ⋅11． 描述流体运动的基本方法有哪两种？分别写出其描述流体运动的速度、加速度的表达式。
[答]:教材P58-60描述流体运动的基本方法:1） 拉格朗日方法:对流体介质的每一质点进行跟踪,着眼于流体介质中的每个质点,需要对流体介质中的每个质点进行区别。
各质点速度表达式:tt c b a r t c b a ∂∂=),,,(),,,(各质点加速度表达式:22),,,(),,,(t t c b a t c b a V∂∂=•2） 欧拉方法:定点观察描述流场的运动,着眼于空间的定点,而不就是流体质点。
速度表达式:332132321213211321),,,(),,,(),,,(),,,(),(e t x x x u e t x x x u e t x x x u t x x x V t r V V ++=== 加速度表达式:V V t V V t x u u t u V t t t dt d j i j i )(∇⋅+∂∂=∇⋅+∂∂=∂∂⋅+∂∂=+∂∂=∂∂+∂∂= 12． 什么就是随体导数(加速度)、局部导数(加速度)及位变导数(加速度)？分别说明0=dt v d ϖ,0=∂∂tvϖ及()0=∇⋅v v ϖϖ的物理意义？[答]:教材P60随体导数:流体质点在其运动过程中的加速度所对应的微商,叫做随体导数; 局部导数:流体位置不变时的加速度所对应的微商,叫做局部导数; 位变导数:质点位移所造成的加速度所对应的微商,叫做位变导数。
物理意义:0=dt vd ϖ:随体导数为0,流体质点在其运动过程中的加速度为0; 0=∂∂tvϖ:局部导数为0,流体位置不变时的加速度为0,流体就是定常流动; ()0=∇⋅v v ϖϖ:位变导数为0,流体质点位移所造成的加速度为0,流体速度分布均匀。
13． 什么就是流体的速度梯度张量？试述其对称与反对称张量的物理意义。
[答]:教材P65-67对流体微团M ,其中o r 处的速度为0V ,那么处的速度可以表示为 j jx x V V δ∂∂+=0,或者j j i i i x x u u u δ∂∂+=0, 即)(0V r V V ∇⋅+=δ。
这里,V x uji ∇=∂∂为二阶张量,就是速度的梯度,因此称之为速度梯度张量。
速度梯度张量分解为对称与反对称部分:S A x u V ij+=∂∂=∇ρ反对称张量的物理意义:反对称张量表征了流体微团旋转运动,所对应的矢量为流体微团的角速度矢量。
k ijk z v y w z u x w z v y w y u x v z u x w y u x v A ωεωωωωωω=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂∂∂-∂∂-∂∂-∂∂∂∂-∂∂=0000) (21) (21) (210) (21) (21)(210121323V rot e e e z y x ρρρρρ 21321=++=ωωωω对称张量的物理意义:对称张量表征了流体微团的变形运动。
其中,对角线上的元素()321 , , εεε表示了流体单元微团在3个yu∂∂xw ∂∂-zv ∂∂-反对称部分Z z∂坐标轴上的体变形分量,而三角元素⎪⎭⎫ ⎝⎛32121 ,21 ,21θθθ表示了流体单元微团在3个坐标平面上的角变形分量的一半。
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=312123231212121212121) (21) (21 (21 (21) (21) (21 εθθθεθθθεz w zv y w z u x w z v y w y v y u x v z u x w yu x v x u A14． 流体应力张量的物理意义就是什么？它有什么性质？ [答]:教材P71流体应力张量的物理意义:应力张量表示了坐标面的三个面力密度矢量z y x p p p ρρρ , ,的九个分量}{ij p 组成的一二阶张量,即为面力密度张量。
应力张量的性质:应力张量就是对称张量,具有对称性 应力张量具有二阶对称张量的性质(1) 应力张量的几何表示为应力椭球面,即二次型1222)(222=+++++=⋅⋅zx p yz p xy p z p y p x p r P r zx yz xy zz yy xx ρρ(2) 应力张量有三个互相垂直的主轴方向,即就是应力椭球的三个对称的直径的方向。
在主轴坐标系下,应力张量具有标准形式:反对称部分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='000'000'332211p p p P (3) 应力张量的三个不变量为:15． 某平面上的应力与应力张量有什么关系？nm mn p p =的物理含义就是什么？ [答]:教材P71应力n p 与应力张量P 的关系:P p p ij n ⋅=⋅= ,即:空间某点处任意平面上的应力等于这点处的应力张量与该平面法向单位矢量的左向内积。
nm mn p p =的物理意义:i ji j j ji i j ij i n nm n p m m p n m p n m p m P n p ===⋅=⋅⋅=ρρρρ)(mn m p n p n P m =⋅=⋅⋅=ρρρρ)(应力张量的对称性,使得在以n ρ为法线的平面上的应力np ρ在 m ρ 方向上的投影等于(=)在以m ρ为法线的平面上的应力mp ρ在 n ρ方向上的投影。
16． 流体微团上受力形式有哪两种？它们各自用什么形式的物理量来表达？ [答]:教材P68-71(1)质量力,也称体力,这种力作用在物质中每个质点上,其大小与每个质点的质量成正比。
作用于某物质体上质量力的合力将通过该物质体的质心。
δτρδ)(f = , ⎰=τδτρ)(f )(为质量力密度,与位置有关。
(2)面力,作用于流体微团表面S 上的力。
S p n δδ= , ⎰=S n S p δ n p 为面力分布密度,P p p ij n ⋅=⋅=17． 什么就是广义的牛顿流体与非牛顿流体？ [答]:教材P86-87牛顿内摩擦定律:流体微团的运动变形的的大小与其上所受的应力存在线性关系。
遵从或近似遵从牛顿内摩擦定律的一类流体称为牛顿流体。
不遵从牛顿内摩擦定律的流体称为非牛顿流体。
广义牛顿内摩擦定律:偏应力张量的各分量与速度梯度张量的各分量间存在线性关系。
⎪⎩⎪⎨⎧+--++=---++=++=223112123323122322113312312332211321223122322111133332223322111p p p p p p p p p p p p p p p I p p p p p p p p p I p p p I遵从或近似遵从广义牛顿内摩擦定律的一类流体称为广义牛顿流体。
18． 试述广义牛顿内摩擦定律的物理意义及相应的数学表达式？ [答]:教材P87广义牛顿内摩擦定律的物理意义:偏应力张量的各分量与速度梯度张量的各分量间存在线性关系。