井筒传热计算中Ramey函数的推导

井筒传热计算中Ramey 函数的推导

在井筒传热计算中，从水泥环外侧到地层的热传导一般采用Ramey 的方法，即使用边界温度恒定的无限大平面热传导替代真实地层的变边界温度的热传导，从而简化计算。

对于地层中的微元，根据热力学基本方程，在忽略微元位移和体积变化时，有

d d dQ

dt

dt

ρεΩ

=⎰⎰⎰ (1)

因为忽略体积变化，密度ρ不是时间的函数，再忽略压力随时间的变化故

()p d d p T T d d c d dt

t p t T t t ρεεεερ

ρρΩ

Ω

ΩΩ

Ω

∂∂∂∂∂∂=Ω=+Ω=Ω∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2)

假设地层的热导率为各向同性张量且不随空间变化

2()S S dQ

q dS T dS T d Td dt λλλΩΩ

=-=∇=∇∇Ω=∇Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (3)

由式(2)和式(3)得到

2p

T

c d Td t ρλΩ

Ω

∂Ω=∇Ω∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (4)

因为式(4)对任意形状的微元都成立，所以 2p

T

c T t

ρλ∂=∇∂ (5)

或写成

21T

T t

χ∂∇=

∂ (6)

其中，p

c λ

χρ=

为热扩散系数。

对于均质无限大地层中的点源，温度分布(,)T r t 满足如下方程和定解条件 21T

T t

χ∂∇=-

∂ (7) 02r T Q r r h πλ→∂⎛⎫

= ⎪

∂⎝⎭ (8) (,)o T r t T →∞= (9) (,0)o T r T =

(10)

求解得到

244o Q

r T T Ei h t πλχ⎛⎫

=-- ⎪⎝⎭

(11)

当24r t χ足够小时（比如<0.05），22

ln 44r r Ei t t γχχ⎛⎫-≈+ ⎪⎝⎭

，γ为欧拉常数，值约为0.5772，所以

2

(ln )44o Q

r T T h t

γπλχ=-+

(12)

如果水泥环外侧半径为c r ，则由式(12)可以得到地层热阻

214(ln )4o c

t T T r R Q h

χγπλ

--=

= (13)

或

()

f t R λ

=

(14)

其中()f t 为Ramey 函数

214()(ln )4c t

f t r χγπ=

- (15)

如果0.1r =，6

3

2.7 1.2102.810794p c λχρ-===⨯⨯⨯，则要使20.054r t

χ<，则4

4.1710t >⨯秒即0.48天，要使2

0.014r t

χ<则 2.4t >天。