晶体对称性
晶体的对称性
对称性与人类思维方式的联系
对称性思维方式是人类认知世界的一 种重要方式。人们习惯于将事物进行 对称性的分类、比较和思考，从而更 好地理解和把握事物的本质和内在规 律。
VS
对称性思维方式在科学研究和工程技 术中也发挥着重要作用。科学家们利 用对称性原理探索自然界的奥秘，解 决各种复杂的科学问题。工程师们则 利用对称性设计各种结构，提高产品 的稳定性和可靠性。
晶体的对称性
• 对称性的基本概念 • 晶体中的对称元素 • 对称性和晶体结构 • 对称性在化学中的运用 • 对称性与生物学的关系 • 对称性的哲学思考
01
对称性的基本概念
Hale Waihona Puke 称性的定义对称性是指一个物体或图形在某种变 换下保持不变的性质。在晶体学中， 对称性是指晶体在空间变换下保持不 变的性质。
对称性可以通过对称操作来描述，对 称操作是指将晶体进行刚性旋转、平 移、反演等变换后仍能恢复原状的操 作。
对称性的分类
晶体可以根据其对称性进行分类，常 见的晶体分类包括立方晶系、四方晶 系、六方晶系等。
VS
不同晶系的晶体具有不同的对称性， 晶体的对称性与其内部原子或分子的 排列方式密切相关。
对称操作的数学表达
对称操作可以用数学矩阵来表示，通过矩阵变换可以描述晶体的对称性。
对称操作的数学表达包括旋转矩阵、平移矩阵、反演矩阵等，这些矩阵可以用来描述晶体在空间中的 变换。
02
晶体中的对称元素
点对称元素
定义
01
点对称元素是晶体中以某一点为中心的对称操作，包括旋转、
反演、反映等。
描述
02
点对称元素在晶体中起着关键作用，它们决定了晶体的空间群
对称性在生物医学中的应用
1-3 晶体对称性
2
1 2 3 4 6 2 2 6 4 6
示
平行 斜插纸 纸面 面
二、宏观对称性的组合关系
1. 如果晶体中有两个或两个以上的镜面相交，则每两 个镜面的交线必定是一个对称轴，而对称轴的转角比 定时镜面夹角的二倍。
镜面夹角 180° 90° 60° 45° 30°
旋转轴转 角
360°
180°
120°
90°
Th
Td
O
Oh
晶类（点群）符号 国际符号（全） 国际符号（缩）
1 I（1）
1 I（1）
m
m
2
2
2/m
2/m
3
3
3
3
3m
3m
32
32
32/m
3m
2mm
mm
222
222
2/m2/m2/m
mmm
23
23
2/m3
m3
43m
43m
432
43
4/m32/m
m3m
全对称要素组合
I m(2)
2 2mI
3 3(3I) 33m 332 3323m(3323mI) 23m
三、平移群、布拉菲点阵 例：四方晶系
C→P
F→I
4
晶系 三斜 单斜
菱形
正交
立方
最低对称要素 无
一根二次旋转轴2 或旋转－反演轴2
一根三次旋转轴3 或旋转－反演轴3
三根相互垂直的旋 转轴32或旋转－反 演轴32
四根三次旋转轴43
熊夫列斯符号
C1 Ci（S2） Cs（C1h）
C2 C2h C3 C3i（S6） C3V D3 D3d C2V D2（V） D2h（Vh） T
23晶体的对称性和分类
操作前后晶体保持自身重合的操作,称为对称 操作.
晶体借以进行对称操作的轴、平面或点.称为对 称元素（简称对称素）.
6)表示纯转动对称操作(或转动轴)；i表示中心反演
（或对称中心）；m表示镜面反映（或对称镜面）。
这种表示方法属于国际符号(International
notation)标记法，是海尔曼(Hermann)和毛衮
(Mauguin)制订的，在晶体结构分析中经常使用。
还有一套标记法，是固体物理中惯用的标记， 是熊夫利(Schoenflies)制订的，因此称为熊夫利 符号(Schoenflies notation). 熊夫利符号中Cn 表 示旋转轴；Sn 表示旋转反演轴；Ci 表示中心反 演；Cs 表示镜面反映。
x x
y
y
cos
z
sin
z
y
sin
z
cos
x 1 0 0 x
y0 cos siny z 0 sin cos z
所以，绕x轴旋转的变换矩阵为：
1 0
0
Ax
0
cos
sin
0 sin cos
同理可得绕y轴和绕z轴的变换矩阵
cos 0 sin
Ay
0
1
0
sin 0 cos
cos sin 0
晶体中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6次轴， 称为晶体的对称性定律
晶体的对称性定律的证明 B
A
如图,A为格点,B为离A最近的 格点之一,则与 平A 行B 的格点
晶体的对称性
晶体对称性
晶体性质
晶体具异向性，并不排斥在某些特定的方向上性质相同。
这是因为在晶体的格子构造中，这些方向质点的排列是一样的，这就是晶体的对称性，表现在晶体外形上，即相等的晶面、晶棱和角顶有规律地重复出现。
晶体的对称性是晶体极其重要的性质。
中文名称
晶体对称性
英文名称
symmetry of crystal
定义
根据晶体其对称元素进行对称操作，能使其等同部分产生规律性的重合特性。
应用学科
材料科学技术（一级学科），材料科学技术基础（二级学科），材料科学基础（三级学科），材料组织结构（四级学科）
晶体的格子构造是晶体实现最小内能的结果。
由于晶体具有最小的内能，所以处于相对稳定的状态，这就是晶体的稳定性。
晶体只有在得到外来能量时，才能破坏其稳定性，有使之向非晶质转化。
这一点可以从晶体的加热曲线得到证明。
固体物理学-晶体对称性
轴为n度旋转—反演轴，又称为n度象转轴。只有1，2，3，4，6。
(2)符号表示
1，2，3，4，6
2.n度象转轴简析
n度象转轴实际上并不都是独立的，通过下面的分析，可以
得到象旋转轴只有 4 是独立的。
Solid State Physics
(1) 1 象转轴—实际上就是对称心i
z ( u轴 )
A
A 点 绕 旋 转 轴 (z 轴 ) 旋
于不同的群。由旋转、中心反演、镜象和旋转--反演点对称操作构成的群，
称作点群。
理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有32种不同的点对称操作类型。
这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理性质在不同方向上的对称性。
所以又称宏观对称性。
**在数学分析中需要考虑晶体结构周期性重复的制约。当晶体具有一个以上
如图所示，A和A'等同，如同镜子一样。
2.表示方式
(1)熊夫利符号表示— ;
(2)国际符号表示—m。
z
A
A
y
O
x
x , y, z
A
A
x , y, z
O-xy 相当于镜面。
Solid State Physics
镜面操作的数学描述
如以x3=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点
0 0
0
0
1
|A|=1 or -1
单位矩阵
Solid State Physics
基本对称操作
平移（Translation）
中心反演（Inversion）—具有对称中心
转动（Rotation)—具有对称轴
镜面（Reflection)—具有对称面
平移是一切晶体的内部结构都具有的对称性
晶体对称性
晶体对称性晶体对称性是晶体学研究的一个重要组成部分，它是晶体结构的关键，可以解释晶体的外观、性质以及界面问题。
其中，最常见的是空间群，它用数学表示法确定变换的形式。
接下来，让我们来更多地了解晶体对称性：一、空间群1. 什么是空间群：空间群是一种变换群，也是对称性理论的基础，可以描述物体在特定坐标系中的集合子空间上的空间操作。
举个例子，如果一个物体只可以在空间系中做180°旋转，那么它就只具有一种（即旋转）拓扑群。
2. 空间群划分：空间群可以根据对称性来划分，主要包括有限对称群、无限对称群和单调对称群三类。
其中，有限对称群表示法子群的形状、大小或空间构造不变；无限对称群指的是无限种变换，其轴心、空间点或空间构造不变；而单调的对称群是单一的元素组成的，在该空间群中任何对称性都不变。
二、对称性1. 什么是对称性：对称性是空间群的基础，一般来说，它表示物体在某种坐标下有特定形状和空间操作的属性，也可以用数学表示法来表达这种特征。
2. 对称性的类型：对称性的类型可以分为四大类，分别是正交对称性、立体对称性、平面对称性和点对称性。
其中，正交对称性主要涉及空间中的空间坐标变换，立体对称性是指物体在立体坐标系下的操作，而平面对称性是指物体在平面坐标系下的操作，而点对称性则是指物体在特定空间构造下的操作。
三、晶体对称性1. 晶体对称性是什么：晶体对称性是晶体学研究的一个重要组成部分，它涉及到晶体结构的外观、性质以及界面问题的解释。
2. 晶体对称性的应用：晶体对称性可以用来研究和设计多种材料，如金属、半导体、有机分子晶体、生物晶体等，它们是将材料化学性质同物理性质关联起来，从而更好地理解材料的特性。
此外，晶体对称性也可用于分类、指导结构分析以及材料的设计和合成等。
四、总结从上文可以看出，晶体对称性是一个非常重要的概念，它不仅仅可以用来描述物体的形状、大小和空间结构，而且可以应用于许多不同的领域，如材料的研究与设计等。
晶体的对称性
晶体的对称性晶体因为有了对称，所以才有了他的美丽、永恒，下面重点说下他的对称性一. 对称的概念物体（或图形）中，其相同部分之间的有规律的重复。
例：蝴蝶、花冠、建筑物、面容、服饰等。
二. 晶体对称的特点晶体的对称表现为晶面、晶棱、角顶作有规律的重复——宏观对称。
晶体的对称性是由晶体的格子构造所决定的，研究晶体的对称性对于认识晶体的各项性质和划分晶体具有重要意义。
1.完全性：所有晶体都具有对称性。
（质点在三维空间有规律的重复——格子构造所决定的）；2.有限性：晶体的对称要素是有限的。
要受到晶体对称规律的控制：不出现5次或高于6次的对称轴；3.一致性（表里如一）：晶体的对称不仅体现在外形上，也体现在物理性质上，即：不仅包含几何意义，还包含物理化学意义。
三。
对称操作（变换）和对称要素的概念对称操作——指能够使对称物体中的各个相同部分作有规律重复的变换动作。
如，旋转、反映、反伸、旋转反伸等。
对称要素——指在进行对称变换时所凭借的几何要素（点、线、面）。
四. 晶体宏观的对称要素1. 对称面（P）对称面为一假想的面，相对应的对称变换是反映，它使图形平分成两个镜像相等的部分。
对称面的寻找：1）垂直并平分晶面；2）垂直并平分晶棱；3）包含晶棱并穿过角顶。
注意：a. 晶体中可以没有对称面，也可以有对称面，但最多只能有9个对称面；b 必须通过晶体中心，其出现的位置多垂直并平分于晶面或晶棱；c 寻找对称面时要尽量避免转动模型，以免造成重复；d 对称面的数目写在前面：如，9P。
2. 对称轴（Ln）对称轴为一假想的直线，相对应的对称操作是围绕此直线的旋转。
旋转一定角度后可使相同（等）部分重复。
轴次（n）——旋转一周重复的次数；基转角（α）——重复时所旋转的最小角度。
二者之间的关系为n = 360°/ α 。
晶体的对称定律（晶体对称的有限性所决定）：晶体中只能出现轴次为1、2、3、4、6的对称轴，而不能出现5次或高于6次的对称轴（准晶体则可以出现）。
浅谈晶体物理性质的对称性
浅谈晶体物理性质的对称性
晶体是由规则排列的离子、原子或分子构成的大规模分子结构，具有明显的晶体物理性质的对称性。
这种对称性可分为三种：空间对称性、光学对称性和门梁对称性。
一、空间对称性：
晶体的对称性决定了其外形，因此可以称之为“空间对称性”。
晶体的空间对称性可分为几何对称、点对称和面对称。
几何对称就是晶体位形，由多个元素平面和角组合而成，每一个元都可折叠到一个点。
点对称是指晶体的外形，在任意一整面可看做有规律的点状外形，由来自同一点的元素折叠而成，因此，其空间对称性也可以说是点对称。
面对称是由两个对面的元素折叠而成，因此，其空间对称性也可以说是面对称。
二、光学对称性：
大部分物质都具有双折射特性，即晶格结构中的离子、原子或分子可以阻挡透过去的光线，从而诞生出某种对称的折射现象，这种特性被称为“光学对称性”。
晶体的光学对称性可以表示为反射、折射、旋转等，反射和折射是典型的光学对称现象，旋转则是在一定范围内把光线转动，而不会影响其它属性。
三、门梁对称性：
也叫等值线对称性，指晶体内测得的各种基态的能量在某些轴向上有对称性，即在垂直于该轴的某条波前，能量均为相等的值，而不会随外部环境的变化而而变化，这种对称现象被称为“门梁对称性”。
4、晶体的对称性
(c) n度旋转反演轴
§1.6晶体的对称性
晶体经绕轴作n度旋转与中心反演的复合操作后与自身 重合则称其具有n度旋转反演轴对称。
晶体由于受周期性的制约，也只可能有2、3、4、与6度 旋转反演轴，分别用数字符号 2346 表示。
第 26 页
§1.6晶体的对称性
n 度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）。
x~ ' x'
x2' 2 x3' 2 x12 x~A~Ax x~x
x22
x32
x~
'x'
x1'
x
' 2
x1'
x3' x2'
x3'
x~ ' 为转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求
第5页
即A为正交矩阵。
A ~ A I A ~ A1
第 45 页
§1.7 晶体结构的分类 我们已经知道布喇菲格子可以由
的格矢表示。
Rn n1a1 n2a2 n3a3
基矢a、b、c之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角 决定了不同的布喇菲格子的类型。
第 46 页
§1.7 晶体结构的分类
前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空 间格子必相应地变动。
分别为
0,60,90,120,180
第 21 页
§1.6晶体的对称性
即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是
i 2
n
而n 必须是1、2、3、4、和6， i为任意整数。 常将这一类转动对称轴称作n度旋转轴，晶体周期性结构限制了只能
第一章 晶体的对称性
第一章晶体的对称性§1-1 晶体内部结构的周期性---点阵与晶格大家都知道晶体内部原子(分子、离子和原子团等，以后称质点)的排列是规则的，具有一定的周期性，这是晶体的主要特点。
不同晶体中的质点在空间中的排列规律是不同的，有许多种排列方式。
因此，在对晶体进行研究时，为了归类方便，常将构成晶体的实际质点抽象成纯粹的几何点，并称之为阵点。
这样的阵点在空间中周期性规则排列并有相同的周围环境。
这种阵点的空间排列就称为空间点阵，或晶体点阵，也称布拉法格子，简称点阵或晶格，共有14种。
§1-2 晶体的宏观对称性---点对称操作晶体内部结构不仅具有周期性，还具有比较复杂的对称性。
实际上，晶体宏观性质和外形的对称性都是其内部结构对称性的反映，与其有着密切关系。
应该说，人们最初认识晶体，是从它们丰富多彩又有规则的外部形状开始的，后来才逐步认识到，晶体外形上的规则性及其宏观性质的对称性，是与其内部微观结构的对称性密切相关的。
在本节及以下几节中，通过对晶体的宏观对称性的描述，引进群的初步概念，给出晶体的32个点群，并依据晶体对称性特征，区分晶类和晶系。
1．晶体的宏观对称性。
晶体外形上（宏观上）的规律性，突出表现在晶面的对称排列上。
如：把立方体的岩盐晶体绕其中心轴每转900后，晶体自身就会重合，而把六面柱体的石英晶体绕其柱轴每转600后，晶体亦会自身重合。
这里提到的绕轴转动称旋转操作，是一种点对称操作。
通常把经过某种点对称操作后晶体自身重合的性质称为晶体的宏观对称性。
描述晶体宏观对称性的方法，就是列举使其自身重合的所有点对称操作。
为了明确对称性和对称操作的概念，先给出以下概念：●相等图形。
如花瓣。
●等同图形。
如左右手。
相等图形属于等同图形，但等同图形不一定是相等图形。
●对称图形。
由两个或两个以上的等同图形构成的并在空间有规律排列的图形称对称图形。
2．对称性。
对称图形中各等同部分在空间排列的特殊规律性称对称性。
结构化学晶体结构的对称性和基本定理
点击按钮观察动画.注意：反映滑移操作中
的“反映”是虚操作，可想象而难以实际表现, 故动画 中用幻影逗号的移动来模拟反映，请勿误解！
8.2.2 晶胞
设想把点阵放回晶体中去， 将把晶体切分成并置的平行六面 体小晶块，每个空间格子对应一 个小晶块. 这种小晶块就是晶胞, 是代表晶体结构的最小单元.
晶胞参数
NaCl型晶体
原子的分数坐标： A: 0 0 0
0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 B: 1/2 0 0
0 1/2 0 0 0 1/2 1/2 1/2 1/2 结构基元: A-B （每个晶胞中有4个结构基元）
CsCl型晶体
原子的分数坐标： A: 0 0 0 B: 1/2 1/2 1/2
为什么要考虑带心格子?
立方面心格子，若按左图取素格子只能表现三方对称性；若取右图 所示的复格子就表现出立方对称性(格子选取方式不能改变点阵结构的对 称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖)：
14种布拉维格子之一：立方简单（cP）
14种布拉维格子二：立方体心（cI）
14种布拉维格子三：立方面心（cF）
晶胞参数:
a、b、c α、β、γ
晶
胞
两
要
（1）晶胞的大小、型式
素
晶胞的大小可由晶胞参数确定，晶胞的型式是
指素晶胞或复晶胞.
（2）晶胞的内容
晶胞中原子的种类和位置. 表示原子位置要用 分数坐标.
分数坐标
晶胞中原子P 的位置用向量OP=xa+yb+zc代表. x、y、z
就是分数坐标，它们永远不会大于1.
14种布拉维格子之八：正交简单（oP)
14种布拉维格子之九：正交体心（oI)
第03次课 晶体的对称性、晶系和x射线衍射
(2)旋转反演对称操作： 1，2，3，4，6度旋转反演对称操作。 S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）
(3)中心反映：i。
(4)镜象反映：m。
独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m， 4 。
或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。
设B1ABA1是晶体中某一晶面上的一个晶列，AB为这一晶列上相邻 的两个格点。
B
A
B1 A
B A1
若晶体绕通过格点A并垂直于纸面
B
的u轴顺时针转角后能自身重合，
则由于晶体的周期性，通过格点B
也有一转轴u。
B1
A
A
B
A1
AB AB 1 2cosθ, AB 是 AB 的整数倍，
cos 0, 1 ,1
晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。
1
2
3
4
6
正五边形沿竖直轴每旋转720恢复原状，但它不能重复排列充 满一个平面而不出现空隙。因此晶体的旋转对称轴中不存在
五次轴，只有1，2，3，4，6度旋转对称轴。
(2)中心反映(i，对称素为点) 取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点
(x1, x2, x3) 变为 (-x1, -x2, -x3)
分别为入射和衍射线方向的单位矢量；
(3)只讨论布拉伐晶格。
设A为任一格点，格矢
S0
A
Rl l1a1 l2 a2 l3 a3
S
Rl
波程差
C O
D
CO OD Rl S 0 Rl S Rl S S0
衍射加强条件为：
Rl S S0 (为整数)
晶体化学(晶体对称性)
划分正当晶胞或单位的原则中，主要做了两方
面的规定：
划分了七个晶系
一、应当尽量选取较规则的形状；
二、应当尽量选取含点阵点少的.
划分出十四种空间 点阵型式
立方 P, I, F
六方 H
晶 三方 R 系 四方 P，I
简单P 型 底心C 式 体心I
正交 P，C（或侧心），I，F
面心F
单斜 P，C
侧心A或B
三斜 P
∴3垂直一平面点阵
3
b3 T3
T1
a1b1
b2 a2
T2
a3
3. 晶体中对称轴的轴次 A
设晶体中有一轴次为 n 的旋转轴，通
过点阵点O垂直纸面
B
则在晶体的空间点阵中，必有一平 面点阵与 n 垂直.
取直线点阵Tm=ma，并设素向量为 a
根据点阵与平移群的关系:
点阵点
平移群
a作用于O必得A点(为点阵点)，-a作用于O 得 A'
4
对称操作
倒反
I
反映
M
旋转 旋转 旋转 旋转 旋转 旋转倒反
L(0 ) L(180 ) L(120 ) L(90 ) L(60 ) L(90 )I
二、宏观对称元素的组合和32个点群
晶体宏观对称元素的组合 晶体的独立的宏观对称元素只有八种，但在某一晶体中可以只存在 一个独立的宏观对称元素，也可能有由一种或几种对称元素按照 组合程序及其规律进行合理组合的形式存在。 晶体中，宏观对称元素组合时，必受以下两条的限制：
为什么要考虑带心格子?
立方面心格子，若按左图取素格子只能表现三方对称性；若取右图 所示的复格子就表现出立方对称性(格子选取方式不能改变点阵结构的对 称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖)：
晶体的对称性
一个具有２１的图形
21所对应的对称操作群为：
L(π )T (t ),[ L(π )T (t )]2 = T (2t ),[ L(π )T (t )]3 = L(π )T (3t ) ⋅ ⋅ ⋅
τ = a = 2t 是基本向量。对称操作有无穷多个。 螺旋轴中的一些对称操作包括在平移群Ｔ内。
续表：
特征对 晶胞类型 称元素 序 号 13 14 15 菱面体晶胞 点 熊夫里 斯记号 群 国际记号 对称元素
对称 晶 性的 高低 系 四 方
4
a=b≠c α = β = γ = 90 o
D2d
c4 v
4 mm
42m 422 mmm
4 ,4 m
4 ,2 2 ,2 m
4 , 4 2 ,5 m , i
3 + i = 3, 3 + mh = 6
4
２．晶体的宏观对称元素的组合与３２个晶 体学点群
由上述的 8种独立的宏观对称元素按一定的规则 （即对称元素至少要通过一个公共点；组合时不能 出现 5次轴及大于6的对称轴）进行组合，总共有32 种组合形式，称为32个晶体学点群。晶体的宏观外 形不论形状如何，必属于这32个晶体学点群中的某 一个。
描述分子对称性与晶体宏观对称性所常用的对称 元素及相应的对称操作对照表
分子对称性 对称元素 符号 对称轴 Cn 对称面 对称操作 符号 晶体宏观对称性 对称元素 符号 旋转轴 n 反映面 或镜面 对称操作 符号 旋转 反映 倒反
ˆ 旋转 C
n
L(α )
M I
σ
反映 反演
ˆ σ
ˆ i
n
m
对称中心 i 象转轴
７．２ 晶体的对称性
晶体的对称性有宏观对称性和微观对称系之 分。前者是指晶体的外形对称性，后者指晶体微 观结构对称性。
晶体对称性
r F ( r ′) 不变 对称物体 r r r 物体 F ( r ′ ) 的一个对称变化 g X = X ′ 相同
[ ]
对称变换的两种理解方法存在着内在的本质上的 联系。分析结构模型时，第一种较为方便； 在进行理论处理时，第二种更为适用。 推论： 1)对称物体必然包含等同部分（包括镜像等同 ）； 2)对称变换的反变换也是对称变换。
第四章：晶体的对称性 § 4.2 空间变换
对应于两类四面体的重合过程就是两类基本的度规不变变换。 第一类变换（本征运动）： 两个迭合等同四面体的重合过程。 定理一：任何第一类变换都可分解为平移和与之垂 直的转动的迭加（螺旋转动）。 第二类变换（非本征运动）： 两个镜象等同四面体的重合过程。 定理二：任何第二类变换都可分解为镜象反射和与 之垂直的转动的迭加（反射转动）。
ABCD 的 A 沿 q 平移至 A ′′′，然后绕 N s转动α ，就与 A ′ B ′C ′D ′ 重合（位向相同，一点重合）。 q D A t s = 0 →简单转动 特例： C α = 0 →平移 Ns B t
s
O
A ′′′ p
α
A′ B′
D′
C′
定理二：总有一个反射转动能使镜像等同四面体重合
′ C C ′的中点作反射面m ； i) 过 A A ′、 BB、
ii)
A ′ B ′C ′D ′ 以 m 为镜面反射至 A ′′ B ′′C ′′D ′′，则 ′ C ′′ 到 m 面的距离相等； B ′、 A、 B、 C 到 m 面的距离分别与 A ′′、 D ′′ D C
A
B
C ′′ A ′′
D
C
A
B
第四章：晶体的对称性 § 4.2 空间变换
固体物理02-晶体的对称性
(1)旋转对称( Cn )
若晶体绕某一固定轴转 以后自身重合，则此轴称为n次 n 旋转对称轴。
2π
绕 z 轴旋转θ角的正交矩阵
cos A(C n ) sin 0 sin cos 0 0 0 1
(2)中心反演( Ci )
取中心为原点，经过中心反演后，图形中任一点
变为
( x, y , z )
( x, y , z )
0 1 0 A(C i ) 0 1 0 0 0 1
中心反演矩阵
(3)镜像( m )
如以 Z=0 面作为对称面，镜象是将图形的任何一点 变为
( x, y , z )
( x, y , z )
sin cos 0
0 0 1
(5)恒等操作（ E ）: 保持晶体不动
立方体对称性
1. 如(a)图所示3个对称轴， 转动 π/2， π ， 3π/2， 共 9 个对称操作 2. 如(b)图所示6个面对角线， 转动 π， 共 6 个对称操作 3. 如(c)图所示4个体对角线， 转动 2π/3， 3π/4, 共 8 个对称操作 4. 恒等操作 5. 以上每个操作都可以再加上中心反演 共 24╳2=48个对称操作
点群的Schönflies符号： 主轴：Cn、Dn、Sn、T 和 O Cn：n次旋转轴； Sn：n次旋转－反演轴； Dn：n次旋转轴加上一个与之垂直的n个二次轴 T： 四面体群； O： 八面体群。
脚标：h、v、d
h：垂直于n次轴（主轴）的水平面为对称面； v：含n次轴（主轴）在内的竖直对称面；
d：垂直于主轴的两个二次轴的平分面为对称面。
闪锌矿结构 InAs， GaAs，InP 等III-V族 元素化合物
晶体的对称元素
• 值得指出的是,除Li4外,其余各种旋转反伸轴都可以用 其它简单的对称要素或它们的组合来代替,其间关系如 下：
Li1 = C, Li2 = P, Li3 = L3 +C, Li6 = L3 + P • 但一般我们在写晶体的对称要素时,保留Li4 和Li6,而其 他被旋代转替,反L伸i6在轴晶就体用对简称单分对类称中要有素特代殊替意.这义是. 因为Li4 不能 但是为,L在2.晶体模型上找Li4往往是比较困难的,因为容易误认
4. 是晶体的基本性质之一.
5. 是晶体科学分类的依据.
三、晶体的对称操作和对称要素
在对晶体的对称研究中,为使晶体上相同部 分作有规律重复,必须借助一定的几何要素点、 线、面进行一定的操作如反映、旋转、反伸等 才能实现,这些操作称为对称操作symmetry operation,在操作中所借助的几何要素,称为对称 要素symmetry element.
m
对称面
非对称面
对称操作：对于此平面的反映 标志：两部分上对应点的连线是否与
对称面垂直等距
可能出现的位置：
垂直并平分晶面 垂直晶棱并通过它的中心 包含晶棱
数目：0 P 9
对称轴Ln
定义：通过晶体几何中心的一根假 想的直线
对称操作：是围绕此直线的旋转 特征：当图形围绕此直线旋转一定角度后,可使相
对称要素组合定理：
定理1：如果有一个L2垂直于Ln,则必有n个L2垂直于 Ln ,LnL2LnnL2 任意两个相邻的L2的夹角是Ln基转角的 一半.例如: L4L2L44L2 , L3L2L33L2
逆定理： 如果两个相邻的L2相交,在交点上垂直两个L2方向必 会产生一个Ln,其基转角是两个L2夹角的两倍.并导出其他n 个在垂直Ln平面内的L2.
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D2h D3h
Dnd群
D2d D3d
C4 C4v C4h D4 D4h
Sn群 S2 (Ci)
S4
Td群 T
Th
Td
Oh群 O
Oh
C6 C6v C6h D6 D6h
S6 (C3i)
下一页
32种点群
11种纯旋转点群：C11，，2C，2，3，C3，4，C46，，C6， 2D22，2，D33，2，D4，42D26，，6T2，2，O 23，432
轴。
晶体宏观对称要素
10种对称要素：
C1
无
C2
C3
C4
C6
i
m (σ)
33 = C3 + i
4
66= C3 + m
晶体宏观对称要素
8 种独立对称操作要素：
C1
无
C2
C3
C4
C6
i m (σ)
4
点群
n次旋转轴：n =360°/ α, 用记号Cn表示
对称操
如：
C
1 6
，C
2 6
，C
3 6
，C
4 6
，C
5 6
43m
Td
E, 8C3, 3C2, 6σd , 6S4 24
m3m (m3m)
Oh E, 8C3, 3C2, 6C2, 6C4, i, 48 8S6, 3σh, 6σd , 6S4
晶体点群的种类
点群
典型类型
Cn群 C1
C2
C3
Cnv群
C2v
C3v
Cnh群 C1h (m) C2h
C3h
Dn群
D2
D3
Dnh群
6
E, 2C3, 3σv
6
32/m D3d (3m)
E, 2C3, 3C2, i, 2S6, 3σv
12
晶 国际符 熊夫利
体号
符号
4
C4
正4
S4
方 4/m C4h
422
D4
4mm C4v
42m D2d
4/mmm D4h
对称操元素
操作 数
E, 2C4, C2
4
E, 2S4, C2
4
E, 2C4, C2 , i, 2S4,σh
12
6/mmm D6h
E,
2C6,
2C3,
C2,
3C
' 2
,
3C
'' 2
24
, i, 2S3, 2S6, σh, 3σv , 3σd
晶 国际符号 熊夫利
体
符号
对称操元素
操作 数
23
T
E, 8C3, 3C2
12
正 m3 (m3) Th
方 432
O
E, 8C3, 3C2, i, 8S6, 3σh 24 E, 8C3, 3C2, 6C2, 6C4 24
C=P
F=I
三 角
与本晶系对 称不符
I=F
F=P
六
与本晶系对 与空间格子 与空间格子
角
称不符 的条件不符 的条件不符
立
与本晶系对
方
称不符
思考题：
• 为什么没有底心四方和面心四方？
• (因为这会构成另一简单四方和体心四方)
• 为会么体心立方不是三角点阵？
• （提示，从对称性考虑）
• 为什么没有体心三角？
§1-3 晶体的对称性
晶体结构 = 点阵 + 基元 由点阵所组成的网格称为布喇菲格子 布喇菲格子代表晶体基元在空间周期排列的重复 特征, 这种微观的平移对称性可导致宏观上的其 它对称性, 包括：转动、镜面、反演点对称性。
布喇菲格子排列形式是否有限？有多少 种？ 是否存在任意次旋转对称轴？ 对称操作是否可以任意组合？是否有限？
⎢0 0 0⎥
⎢r41 0 0 ⎥
⎢0 ⎢⎣ 0
r41 0
0⎥ r63 ⎥⎦
4
晶体电光系数
Trigonal 3m
e.g. LiNbO3, LiTaO3;
Tetragonal 4mm
e.g. SBN, BTO
⎡0
-r22
r 13
⎤
⎢ ⎢
0
-r22
r 13
⎥ ⎥
⎢0
⎢ ⎢
0
0 r
51
r 33
⎥ ⎥
0⎥
介质晶体分类
介电晶体 （32种） 压电、倍频晶体 （20种） 热释电晶体 （10种）
铁电晶体
非中心对称点群与物理性质的联系图
对 映 11 体种 现 象
旋光性
圆二色性
（15种）
O
S4
D2 C1
D3 D4
D6 T
C2 C3 C4 C6
D2d
CS C2V C3V C4V C6V
（10种） 热释电晶体
铁电晶体
• A⎭ a1, a2 ; a2 , a3; a3 , a1.
• R 三角（菱形）格子
晶体空间群
空间群 = 转动（点群） + 平移
国际符号
• 空间群的符号则是首先写出平移系的符 号(P, I, F, C, B, A, R), 接着写出对称素 (按照晶体类型的顺序).
一、点式（简单）空间群
• bcc与fcc的对称操作一样, 点群一样, 但平移对 称性不一样, 要区别这两种晶体, 需引入空间群 来描述, 即把点群与平移对称性组合起来。 bcc=Oh|I fcc=Oh|F
简单单斜 底心单斜
简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
1, 1
既无对称轴也无对 称面
2,m,2 / m
一个二次旋转轴, 镜面对称
222, mm 2, mmm 三个互相垂直的二
次旋转轴
晶系
特征
布喇菲格 子
点群(国际符号)
三角
a=b=c
Trigonal α = β = γ ≠ 90°
三角
3, 3,32,3m, 32 / m
乘反演算符Ci
1111种 种中 中心 心对 对称 称点 点群 群： ：1 C，i，2/Cm2,h,3C3,i,4/Cm4h,, 6C/6hm，，Dm2hm，m，D33dm，，D44h/，mmDm6h，，6T/hm，mmO，h m3，m3m
没有1 (i)新子群
1100种 种新 新点 点群 群： ： mCS，，mC2mV,2S,44,，D24dm, 2C，4V4,mCm3V，, C33mh,，D63，h，6mC62V，，6mTdm，43m
8
E,
2C4,
C2
,
2
C
' 2
,
2
C
'' 2
8
E, 2C4, C2 , 2σv , 2σd
8
E,
2S4,
C2
,
2
C
' 2
,
2σd
8
E,
2C4,
C2
,
2
C
' 2
,
2
C
'' 2
16
, i, 2S4,σh, 2σv , 2σd
晶 国际符 熊夫利 体 号 符号
对称操元素
操作 数
六6
C6
E, 2C6, 2C3, C2
压电效应 倍频效应 （20种）
晶体电光系数
cubic 43m
e.g. GaAs, CdTe, InAs
⎡0 0 0⎤
⎢ ⎢
0
0
0
⎥ ⎥
⎢0 0 0⎥
⎢ ⎢
r 41
0
0
⎥ ⎥
⎢0 ⎢ ⎢⎣ 0
r 41 0
0⎥
r 41
⎥ ⎥⎦
Tetragonal 42m
e.g. KDP, ADP
⎡0 0 0⎤
⎢0 0 0⎥
6 6
具有对称元素：E, 2C6, 2C3, C2
七类晶系， 14种布喇菲格子，32点群
给定晶格对称性
布喇菲格子
各对称元素相互间有一定的制约, 共同存在于一晶 体中,七类晶系， 14种布喇菲格子。
晶体学中的点群对称是由8个独立的对称操作元素 及其组合而得到的。但其组合不是任意的, 而是受 到布喇菲格子的限制，共有32种点群。
⎢r
⎢ ⎢⎣
51
-r22
0 0
0⎥ ⎥
0 ⎥⎦
⎡0
0
r 13
⎤
⎢ ⎢
0
0
r 13
⎥ ⎥
⎢0
⎢ ⎢
0
0 r
51
r 33 0
⎥ ⎥ ⎥
⎢r ⎢ 51
0
0⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦
晶体结构符号
• P 简初基格子
• I 体心格子 • F 面心格子 • C⎫ 底心格子 • B⎬ C、A、B分别指下列三对晶轴所形成的底面:
mmm
D2 (V)
E,
C2,
2C
' 2
4
C2V
E, C2 , 2σv
4
D2h (Vh) E, C2, 2C2', i, σh, 2σv 8
2
晶 国际符 熊夫利
体号
符号
对称操元素
操作 数
3
C3
E, 2C3
3
3 C3i (S6)
E, 2C3, i, 2S6
6
三 32
D3
角
3m
C3v
E, 2C3, 3C2
6
角
6
C3h
E, 2C3, σh , 2S3
6
6/m C6h E, 2C6, 2C3, C2, i, 2S3, 2S6, σh 12