植树问题计算公式

（5）、“端点”法的间隔数“加1”，与平面植树问题计算公式相矛盾（注4）。
“中点”法思路得出的植树问题计算公式经得起实践的检验：
（1）、把每一棵树栽在每一个间距的中点，每一棵树都享有均等的充足的覆盖半径，享有足够的生长空间。
（2）、用“中点”法思路植树，把树栽在规定栽种的地界内，没有任何矛盾（注3），种者踏实，养者安心。
再拿“只栽一端，植树棵数正好等于间隔数”来说，它看起来很完美，而且计算结果也与“间距中点”法思路得出的相同，其实它也是弊端多多。首先，它是由“加1减1”的思路得来的，假设两端都栽而间隔数上“加1”，而实际只栽一端再减去1，抵消以后，植树棵数刚好等于间隔数。其次，只栽一端，那么肯定有一端是栽在端点上，它必定有半棵树栽在不属于规定栽种的地界内。再次，另一端栽在何处呢？它肯定栽在距另一个端点刚好一个间距的位置上，因此，它浪费了半棵树的植树面积，实际上，这种方法是通过一端“强占半棵树”的植树地盘，另一端“浪费半棵树”的植树地盘，相互抵消后才出现“植树棵数正好等于间隔数”的结果，而且每一棵树都是栽在每一个间距的“端点”上。
第一种剪法，把它当成6个点，也就是把它当成栽6棵树。下文说成“端点”法；第二种剪法，只有5个点，也就是把它当成栽5棵树，作者把它归纳为“中点”法，或“间距中点”法。按“端点”法思路，植树棵数等于间隔数“加1”，得出的植树问题计算公式是：植树总长度÷间距长度+1=植树棵树（注1）；按“中点”法思路，植树棵数等于间隔数，得出的植树问题计算公式是：植树总长度÷间距长度=植树棵树（注2）。
“中点”法与“端点”法都是思维方法，笔者认为用“端点”法思路解答直线植树问题的方法弊端多多，植树问题“加1”（“减1”）的计算方法值得商榷。“间距中点”法思路解答直线植树问题的思路才是正确的，计算直线植树的公式应该是：植树总长度÷间距ห้องสมุดไป่ตู้度=植树棵数。
首先，这两种方法都是“端点”法的化身，或者说是“端点”法的翻版，都以“端点”为基准，以间距长度为单位建立的若干个模来确定植树位置的，与“端点”法纯属一丘之貉。
拿两端都不栽来说吧，它是由“加1减2”的思路得来的，假设两端都栽而间隔数上加1，而实际两端都不栽再减去2，因此，植树棵数等于间隔数“减1”。采用这种方法植树，虽然没有把树栽在植树总线路的两端点上，但不折不扣地把树栽在每一个间距的端点上。而且浪费了植树面积，对照“间距中点”法（注2）思路求得的植树棵数等于间隔数，而“减1”法思路求得的植树棵数等于间隔数减1，这不是明明浪费了“1”棵树的植树面积吗？
植树不仅仅是找一个点，普通农民都知道，水稻要种在大田里，不会种在田埂上；蔬菜要种在菜畦上，而不是种在畦沟里。即使仅仅种植一棵菜苗，也应把它种在穴中，而不是种在穴边上。可见“中点”法的实践意义。
有人可能会说，若两端都栽植树棵数等于间隔数加1属于“端点”法，那么，若两端都不栽植树棵数等于间隔数减1和只栽一端植树棵数等于间隔数.，不该说成“端点”法吧？
评小学数学教材中的植树问题计算公式
现行小学数学教材（注1）求直线植树问题的计算方法分三类：
（1、）若两端都栽，植树棵数等于间隔数“加1”。
（2、）若两端都不栽，植树棵数等于间隔数“减1”。
（3、）只栽一端，植树棵数等于间隔数.。
求封闭形（池塘四周等）植树问题时，植树棵数等于间隔数。
众所周知，一些点拉紧了可成为直线，封闭了可围成圆形等。为什么同样长度的植树地段，植树间距长度又相同，圆形的和直线的植树棵数不相同呢？
一个简单的实验：
拿2条同样长5米的绳子（接头除外），围成2个圆周同样长5米的圆，然后在2个圆周上每隔1米各画1个点（表示栽1棵树），每个圆周上共画5个点，也就是代表栽5 棵树。接着，用两种不同的方法把圆周剪开：第一种，任意取出其中一个圆，在其圆周上5个点中的任意1个点的正中间剪开，拉成直线；第二种，即把剩下的那个圆的圆周上5个点中的任意2个点之间正中剪开，同样拉成直线。把2条同样长度的线段放在一起进行分析。
笔者认为：无论直线的还是圆形的，如果它们的植树段长度相同，植树间距长度又相同，那么，它们的植树棵数必然相同，且是它们的间隔数。植树问题的计算公式应该是：植树总长度÷间距长度=植树棵树。笔者认为现行小学数学教材中求圆（封闭）形植树棵数的计算公式是正确的，求直线植树棵数的计算公式值得怀疑，或者是误解。
（3）、用“中点”法思路植树，它与封闭图形计算植树问题公式相一致。
（4）、按“中点”法思路植树，它与平面植树计算公式相吻合，它们不但植树棵数相同，而且植树点也完全重合。因为行距中点连线和列距中点连线的交点刚好与每棵树所占的那个长方形或正方形的两条对角线的交点相重合。（注4）
笔者认为，在植树问题上，“中点”法与“端点”法的分歧焦点在于栽种“点”的位置关系上。“中点”法思路是把每一棵树都栽在每一个间距的“中点”；而现行教材植树问题计算公式的“端点”法恰规定把每一棵树都栽在每一个间距的“端点”。
“端点”法思路得出的植树问题计算公式缺乏实践的支撑：
（1）、栽在两端点的是2个半棵树，何以活。
（2）、退一步说，栽在两端点的即使是2棵树，也缺乏足够的生长空间。
（3）、“端点”法采用间隔数加1的做法是“横空添1”，强占不属于栽种的地界范围。
（4）、“端点”法的间隔数“加1”，与封闭图形的植树计算公式相抵触。