不等式测试题及详解

不等式

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)

1．(文)(2011·甘肃天水一中期末)已知a 、b 为非零实数，且a

A ．a 21b C.1ab 2<1a 2b D.1a －b >1a

[答案] C

[解析] ∵a ，b 为非零实数，且a

[点评] C 可证明如下：∵a ，b 为非零实数，∴a 2b 2>0，∵a

a a 2

b 2

∴1ab 2<1

a 2b

. (理)(2011·东北育才期末、辽宁大连市联考)若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )

A.1ab >1

2 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2 D.1a 2＋b 2≤18

[答案] D

[解析] ∵a >0，b >0，a ＋b ＝4，∴ab ≤

a ＋

b 2＝2，∴ab ≤4，∴1ab ≥1

4， ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab

≥1，故A 、B 、C 均错，选D. [点评] 对于D 有，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥16－2×4＝8，∴1a 2＋b 2≤18.

2．(2011·辽宁铁岭六校联考)设a >0，点集S 的点(x ，y )满足下列所有条件：①a

2≤x ≤2a ；

②a

2

≤y ≤2a ；③x ＋y ≥a ；④x ＋a ≥y ；⑤y ＋a ≥x .则S 的边界是一个有几条边的多边形( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

[答案] C

[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图可知，它是一个六边形．

3．(2011·山东潍坊一中期末)设a ，b 是两个实数，且a ≠b ，①a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3，②a 2

＋b 2≥2(a －b －1)，③a b ＋b

a

>2.上述三个式子恒成立的有( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

[答案] B

[解析] ①a 5＋b 5－(a 3b 2＋a 2b 3)＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2)＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)>0不恒成立；(a 2＋b 2)－2(a －b －1)＝a 2－2a ＋b 2＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0恒成立；a b ＋b a >2或a b ＋b

a

<－2，故选B.

4．(2011·巢湖质检)二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋y ≤2x ≥0

y ≥0所表示的平面区域与圆面x 2＋(y －

2)2≤2相交的公共区域的面积为( )

A.π

8 B.π

4 C.π2 D ．π [答案] B

[解析] 画出可行域如图△OAB ，它与圆面相交的公共区域为扇形BEF ，∵∠OBA ＝π

4，

圆半径为2，

∴扇形面积为S ＝12×π4×(2)2＝π

4

.

5．(2011·辽宁沈阳二中检测)已知⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ≤0x ＋y ≥0

y ≤a ，若Z ＝x ＋2y 的最大值是3，则a 的值是

( )

A ．1

B ．－1

C ．0

D ．2

[答案] A

[解析] 画出可行域如图，∵z ＝x ＋2y 的最大值为3，∴y ＝－x 2＋z

2经过可行域内的点

A (a ，a )时，z 取到最大值3，∴a ＋2a ＝3，∴a ＝1.

6．(2011·福州市期末)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≥1y ≤2

x －y ≤0，则x ＋y 的最小值为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

[答案] A

[解析] 画出可行域如图，令u ＝x ＋y ，则当直线y ＝－x ＋u 经过点A (1,1)时，u 取最小值2，故选A.

7．(2011·蚌埠二中质检)已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →

＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4

y

的最小值是( )

A ．20

B ．18

C ．16

D ．9

[答案] B

[解析] 由条件知，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝32|AB →|·|AC →|＝23，∴|AB →|·|AC →

|＝4，

∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin30°＝1，∴x ＋y ＋1

2＝1，

∴x ＋y ＝1

2

(x >0，y >0)，

∴1x ＋4y ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y )＝2⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥18，等号在y x ＝4x y ，即y ＝2x 时成立，∴x ＋y ＝12，∴x ＝16，y ＝13时，1x ＋4

y

取最小值18.

8．(2011·陕西宝鸡质检)“x ≥3”是“(x －2)x 2－2x －3≥0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分与不必要条件

[答案] A

[解析] 由(x －2)x 2－2x －3≥0(※)得，x ≤－1或x ≥3，∴x ≥3时，※式成立，但(※)式成立时，不一定有x ≥3，故选A.

9．(2011·辽宁铁岭六校联考)已知A 、B 是△ABC 的两个内角，若p sin A

⎫0，π

2，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A

[解析] sin A

2时，未必有sin A

4

时不满足sin A

10．(2011·巢湖市质检)定义在R 上的函数f (x )对∀x 1，x 2∈R ，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，若函数f (x ＋1)为奇函数，则不等式f (1－x )<0的解集为( )

A ．(1，＋∞)

B ．(0，＋∞)

C ．(－∞，0)

D ．(－∞，1) [答案] C

[解析] 由条件知f (x )在R 上单调递减，∵f (x ＋1)为奇函数，∴f (1)＝0，∴不等式f (1－x )<0化为f (1－x )1，∴x <0.

[点评] 如果F (x )定义域为R ，F (x )为奇函数，则必有F (0)＝0，∵F (x )＝f (x ＋1)为奇函数，∴有F (0)＝f (1)＝0.