2017~2018(一)概率统计试卷(理工类)A卷(答案)

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-2017年新课标i卷高考理科数学解答题—概率统计

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2013-2017年新课标I 卷高考理科数学解答题概率统计(随机变量及其分布列 本小题满分12分)(2017全国1.理数.19)(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ.(1)假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数,求(1)P X ≥及X 的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:经计算得x =0.212≈,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1,2,,16i =⋅⋅⋅.用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ,则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=,160.997 40.959 2=0.09≈.【考点】:统计与概率。

【思路】:(1)这是典型的二项分布,利用正态分布的性质计算即可。

(2)考察正态分布,代入运算即可。

【解析】:(1)()()1611010.997410.95920.0408P X P X ≥=-==-=-= 由题意可得,X 满足二项分布()~16,0.0016X B , 因此可得()16,0.0016160.00160.0256EX ==⨯= (2)○1由(1)可得()10.04085%P X ≥=<,属于小概率事件,故而如果出现(3,3)μσμσ-+的零件,需要进行检查。

【精品】吉林省近两年(2017,2018)高考理科数学试卷以及答案(word解析版)

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绝密★启用前吉林省2017年高考理科数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+( ) A .12i + B .12i - C .2i + D .2i -2. 设集合{}1,2,4A =,{}240B x x x m =-+=.若{1}AB =,则B =( )A .{}1,3-B .{}1,0C .{}1,3D .{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )A .1盏B .3盏C .5盏D .9盏4. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )A . 90πB .63πC .42πD .36π5. 设x ,y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值是( )A .15-B .9-C .1D .96. 安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A .12种B .18种C .24种D .36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )A .乙可以知道四人的成绩B .丁可以知道四人的成绩C .乙、丁可以知道对方的成绩D .乙、丁可以知道自己的成绩 8. 执行右面的程序框图,如果输入的1a =-,则输出的S =( )A .2B .3C .4D .59. 若双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2,则C 的离心率为( )A .2 BC10. 已知直三棱柱111ABC A B C -中,C 120∠AB =,2AB =,1C CC 1B ==,则异面直线1AB 与1CB所成角的余弦值为( ) A.2 B.5 C.5D.3 11. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点,则()f x 的极小值为( )A.1-B.32e --C.35e -D.112. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+的最小值是( )A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

概率与统计17-19理科数学全国卷

概率与统计17-19理科数学全国卷

2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是A .14B .8πC .12D .4π19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ.(1)假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数,求(1)P X ≥及X 的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得19.9716i i x x ===∑,161622221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1,2,,16i =⋅⋅⋅.用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ,则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=, 160.997 40.959 2=,0.0080.09≈.13. 一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则D X= .18.(12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg )某频率分布直方图如下:(1) 设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg ”,估计A 的概率;(2) 填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法(3) 根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++P () 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828(2017年课标全国卷Ⅲ)3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶,为了确定六月份的订最高气温[)1015,[)1520,[)2025,[)2530,[)3035,[)3540,天数 2 16 36 25 7 4(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?(2018年课标全国卷Ⅰ)3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC 的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为II,其余部分记为III.在整个图形中随机取一点,此点取自I,II,III的概率分别记为p1,p2,p3,则A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p320.(12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为)1p,且各件产品是否为不合格品相<p0(<互独立.学科&网(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为)f的最大值点(p(pf,求)p.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定p作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户的手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.学.科网(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?(2018年课标全国卷Ⅱ)8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723=+.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是A.112B.114C.115D.11818.(12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1217,,…,)建立模型①:ˆ30.413.5yt =-+;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为127,,…,)建立模型②:ˆ9917.5y t =+. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.(2018年课标全国卷Ⅲ)8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,各成员的支付方式相互独立,设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, 2.4DX =,()()46P X P X =<=,则p = A .0.7 B .0.6 C .0.4 D .0.3 18.(12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min )绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ,并将完成生产任务所超过m 不超过m第一种生产方式 第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++,()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828(2019年课标全国卷Ⅰ)4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-(512-≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“——”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.111615.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是____________.21.(12分)为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得1-分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得1-分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X .(1)求X 的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,(0,1,,8)i p i =L 表示“甲药的累计得分为i 时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则00p =,81p =,11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =L ,其中(1)a P X ==-,(0)b P X ==,(1)c P X ==.假设0.5α=,0.8β=.(i)证明:1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =L 为等比数列;(ii)求4p ,并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性.(2019年课标全国卷Ⅱ)5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是 A .中位数 B .平均数 C .方差 D .极差13.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.18.(12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10:10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.(2019年课标全国卷Ⅲ)3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 17.(12分)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A、B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液,每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).。

2017-2018概率论与数理统计期末试题(A)答案

2017-2018概率论与数理统计期末试题(A)答案

第1页(共3页)中国矿业大学(北京) 2017-2018 学年 第1 学期《概率论与数理统计》试卷( A 卷)答案和评分标准一、填空题(每小题3分,共30分)1、设,A B 为两个事件,()0.4,()0.8,()0.5P A P B P AB ===,则(|)P B A =____0.75__________ 2、设随机变量X 在(3,3)-上服从均匀分布,关于t 的方程24420t Xt X +++=有实根的概率为______21_________ 3、设随机变量X 的概率密度函数为)(x f X ,则随机变量X e Y 3=的概率密度函数为=)(y f Y _____⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<⎪⎭⎫ ⎝⎛其他,00,13ln y y y f X ___________4、如果随机变量X 在)10,0(上服从均匀分布,现在对X 进行4次独立重复观测,至少有3次观测值大于5的概率为____516__________ 5、设随机变量X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,且[(1)(2)]1E X X --=,则λ=______1_________6、设随机变量,X Y 相互独立,且都服从参数2θ=的指数分布,则{max{,}2}P X Y ≤=_____12(1)e --_________7、设随机变量X 的方差为2.5,由切比雪夫不等式估计概率{|()|7.5P X E X -≥≤____245_______ 8、设总体2~(,)X N μσ,12,,,n X X X 是该总体X 的一个样本,1211()n i i i c X X -+=-∑为2σ的无偏估计,则c =_______)1(21-n ___________9、设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N ,而129,,X X X 和129,,,Y Y Y 分别来自正态总体X 和Y 的简单随机样本,则统计量Y服从____)9(t ________分布10、设总体),(~2σμN X ,抽取容量16n =的样本n x x x ,,,21 ,经计算得均值,2.5=x 样本标准方差2=s ,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为_____)266.6,134.4(____________二、(10分)设工厂A 和工厂B 的产品次品率分别为1%和2%.现从A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,求该次品属于工厂A 生产的概率.解:设事件A 表示产品来自工厂A ,事件B 表示产品来自工厂B ,事件C 表示抽取到的产品是次品,则%1)|(=A C P ,%2)|(=B C P ,%60)(=A P ,%40)(=B P 5分从而73%2%40%1%60%1%60)|()()|()()|()()|(=∙+∙∙=+=B C P B P A C P A P A C P A P C A P 5分第2页(共3页)三、(12分)学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量,单位为小时.它的概率密度函数为21,0()20,cx x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他(1)确定常数c ;(2)写出X 的分布函数;(3)试求出在20分钟以内完成一道作业的概率.解:(1)由概率密度函数的性质()122011()248c f x dx cx x dx +∞-∞==+=+⎰⎰ 解得21c = 4分(2)由2121,0()20,x x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,则()2230001()()217022112xxx x F x f t dt t t dt x x x -∞⎧<⎪⎪⎪==+=+≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩⎰⎰ 4分 (3)1117()()3354P X F ≤==4分 四、(10分)设,X Y 是两个相互独立的随机变量,其概率密度函数分别是1,01()0,X x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他 ,0()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其他 求随机变量Z X Y =+的概率密度函数.解:由卷积公式()()()X Y X Y f z f x f z x dx +∞+-∞=-⎰3分易知仅当010x z x ≤≤⎧⎨->⎩ 即 01x x z≤≤⎧⎨<⎩时被积函数不为零 2分()01()00,0()011zz x X Y z x z f z e dx z e dx z --+--⎧<⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎩⎰⎰ 3分即0,0()101(1)1zX Y z z f z ez e e z -+-<⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩2分 五、(10分)设(Y X ,)具有概率密度为26,01,01(,),0,xy x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其它 (1)求边缘概率密度(),()X Y f x f y ,并判断,X Y 是否独立; (2) 求条件概率密度)(y x f YX.解:(1)1206201()(,)0X xy dy x x f x f x y dy +∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他12206301()(,)0Y xy dx y y f y f x y dx +∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他 显然,(,)()()X Y f x y f x f y =,所以,X Y 相互独立 6分(2)当10<<y 时,⎩⎨⎧<<==取其他值x x x y f y x f y x f Y Y X ,010,2)(),()( 4分第3页(共3页)六、(10分)设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为⎩⎨⎧<<<=其他,010,3),(x y x y x f (1)求随机变量),(Y X 的协方差cov(,)X Y ; (2)求随机变量),(Y X 的相关系数. 解:(1)⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-====103233),()(1040210dx x ydy x dx dxdy y x xyf XY E x4333),()(1030210====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy x dx dy y x xf dx X E x83233),()(103010====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy xy dx dy y x yf dx Y E x则3cov(,)=()()()160X Y E XY E X E Y -= 5分(2)5333),()(104031022====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy x dx dy y x f x dx X E x513),()(104021022====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy xy dx dy y x f y dx Y E x8034353)()()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X D320198351)()()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y D 193)()(),(==Y D X D Y X Cov ρ 5分 七、(8分)一个复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成,在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10,为了使整个系统起作用,至少必须84个部件正常工作,求整个系统起作用的概率.解:设X 表示正常工作的部件个数,则~(100,0.9)X B ,由棣莫弗-拉普拉斯定理,近似服从(0,1)N 分布, 4分则()()908490(84)1(84)11220.977233X P X P X P --⎛⎫≥=-<=-<≈-Φ-=Φ= ⎪⎝⎭4分八、(10分)设总体X 的概率密度函数为23,0,(,)0,.x e x f x x θθθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数且大于零,12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本,(1)求θ的矩估计量;(2)求θ的最大似然估计量.解:(1)由于22320()xxx E X xe dx e dx e d x x x θθθθθθθθ---+∞+∞+∞⎛⎫===-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰, 令X θ=,解得θ的矩估计量为11=ni i X X n θ==∑ 5分(2)似然函数为2311,0(1,2,,)()(,)0,.i n xni i i ii e x i n L f x x θθθθ-==⎧>=⎪==⎨⎪⎩∏∏其他当0(1,2,,)i x i n >=时,()L θ=231inx i iexθθ-=∏,两边取对数31ln ()2ln ln ni i i L x x θθθ=⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦∑令11ln ()21210n n i i i i d L n d x x θθθθ==⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦∑∑,解得θ的最大似然估计量为12=1ni inX θ=∑ 5分第4页(共3页)。

2017-2018年高考真题解答题专项训练概率与统计(理科)学生版

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2017-2018年高考真题解答题专项训练概率与统计(理科)学生版2017------2018年高考真题解答题专项训练:概率与统计(理科)学生版1.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足..的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.2.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评0.40.20.150.250.20.1率好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(Ⅱ)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;(Ⅲ)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,用“ξk= 1”表示第k类电影得到人们喜欢,“ξk= 0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.3.某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工4.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1, 2, ⋯, 17)建立模型①:ŷ=−30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1, 2, ⋯, 7)建立模型②:ŷ=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.5.根据预测,某地第n(n∈N∗)个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n(单位:辆),其中a n={5n4+15,1≤n≤3−10n+470,n≥4,b n=n+5,第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差.(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量;(2)已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=−4(n−46)2+8800(单位:辆). 设在某月底,共享单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量?6.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

2017-2018年高考真题解答题专项训练概率与统计(理科)学生版(优选.)

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2017------2018 年高考真题解答题专项训练:概率与统计(理科)学生版1.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7 人,进行睡眠时间的调查.(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(II)若抽出的7 人中有4 人睡眠不足,3 人睡眠充足,现从这7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.(i)用 X 表示抽取的3 人中睡眠不.足.的员工人数,求随机变量X 的分布列与数学期望;(ii)设 A 为事件“抽取的 3 人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件 A 发生的概率 .2.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数140 50 300 200 800 510好评率0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(Ⅱ)从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部,估计恰有1部获得好评的概率;(Ⅲ)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,用“”表示第k 类电影得到人们喜欢,“”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差,,,,,的大小关系.3.某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40 名工人,将他们随机分成两组,每组20 人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min )绘制了如下茎叶图:试卷第 1 页,总4 页(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;(2)求40 名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表:超过不超过第一种生产方式第二种生产方式(3)根据( 2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:,4.下图是某地区2000 年至 2016 年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额,建立了与时间变量的两个线性回归模型.根据2000 年至 2016 年的数据(时间变量的值依次为)建立模型①:;根据 2010年至 2016 年的数据(时间变量的值依次为)建立模型②:.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.5.根据预测,某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和(单位:试卷第 2 页,总4 页辆),其中,,第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差.(1)求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量;(2)已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量(单位:辆). 设在某月底,共享单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量?6.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4 元,售价每瓶 6 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20 ,25),需求量为300 瓶;如果最高气温低于20,需求量为200 瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

2017-2018学年高中毕业班第一次统测数学(理科)答案 (校对版)

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肇庆市中小学教学质量评估 2018届高中毕业班第一次统一检测题理科数学参考答案及评分标准一、选择题二、填空题13. 0.8413 14. 120- 15. 22π+ 16. 1700三、解答题(17)(本小题满分12分) 解:(Ⅰ) 满意度评分的众数=6070652+= (2分) 因为()()0.010.02100.30.5,0.010.020.03100.60.5+⨯=<++⨯=>,所以满意度评分的中位数在[60,70)之间,设中位数为a ,则()600.030.50.3a -⨯=-,得66.7a ≈ (5分) (Ⅱ)(9分)()22802430101610.03 6.63540403446K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯, (11分)所以有99.9%的把握认为用户满意度与地区有关. (12分)(18)(本小题满分12分)(Ⅰ)证明:如图,取VD 的中点F ,连接,EF AF . (1分)在VCD ∆中,EF 是中位线,所以1//2EF CD , (2分)又1//2AB CD ,所以//EF AB , (3分) 所以四边形ABEF 是平行四边形,所以//BE AF . (4分) 又,BE VAD AF VAD ⊄⊂面面,所以//BE VAD 面. (6分) (Ⅱ)因为//,AB CD CD VD ⊥,所以AB VD ⊥, (8分) 又因为AB VA ⊥,VA VD V =,,VA VD 都在VAD 面内,所以AB VAD ⊥面. (10分) 又AB ABCD ⊂面,所以面ABCD ⊥VAD 面. (12分)(19)(本小题满分12分)解:(Ⅰ)设“小王恰好抽奖3次停止”为事件A ,则()1123223515C C A P A A ==. (4分) (2)X 可取200,300,400,500 (5分)()2225120010A P X A ===,()()1123223513005C C A P X P A A ====, (7分) ()21332345340010C C A P A ==,()3143245525005C C A P A ==. (9分) X 的分布列如下表200300400500400105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯= (12分)(20)(本小题满分12分)(Ⅰ)证明:如图,取AD 的中点E ,连接,SE BE . (1分) 因为SA SD =,所以AD SE ⊥. (2分) 在菱形ABCD 中,060DAB ∠=,所以ABD ∆是等边三角形,所以AD BE ⊥. (3分) 又因为,,SEBE E SE SBE BE SBE =⊂⊂面面,所以AD SBE ⊥面. (5分)因为BS SBE ⊂面,所以AD BS ⊥. (6分)(Ⅱ)因为ABD ∆和ASD ∆是等边三角形,经计算,22SE BE ==. (7分) 由(Ⅰ)知,SEB ∠是二面角S AD B --的平面角, (8分)222cos 27SE BE SB SEB SE SB +-∠==-, (11分) 所以二面角S AD B --的余弦值为. (12分)(21)(本小题满分12分)解:(Ⅰ)在Rt BEC ∆中,03cos302CE CB ==,12AE AC CE =-=,03sin 30BE CB ==由tan BEBAC AE∠==,得060BAC ∠= 0000180603090ABC ∠=--=,即BC AB ⊥. (1分)又因为PAB ABC ⊥面面,PABABC AB =面面,BC ABC ⊂面所以BC PAB ⊥面,所以BC PA ⊥ (3分) 由BE AC ⊥,同理可得BE PA ⊥,又BEBC B =,所以PA ABC ⊥面. (4分)(Ⅱ)如图,建立空间直角坐标系,则10,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭,1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭,()0,2,0C ,()0,0,1P,3,,022BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,()0,2,1CP =-. (5分) 设(),,n x y z =是面PBC 的一个法向量,则00BC n PC n ⎧=⎪⎨=⎪⎩即30220y y z ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩,方程组的一组解为12x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,即()3,1,2n = (7分)设()01CF CP λλ=≤≤则AF AC AP AC λλ-=-, 即()1AF AP AC λλ=+-=()022,λλ-,,30,2,2EF AF AE λλ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭(8分)依题意有385cos ,68EF n EF n EF n==,得1=10λ或11=10λ(舍去) (10分)则有410,,510F ⎛⎫⎪⎝⎭,即三棱锥F CBE -的高为110,(11分) 113132210F CBE V -=⨯⨯=(12分)(22)(本小题满分10分) 解:(Ⅰ)24cos ,4cos ρθρρθ=∴=, (1分)由222,cos x y x ρρθ=+=,得224x y x +=. (3分)所以曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=. (4分)(Ⅱ)把 1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入224x y x +=,整理得26cos 50t t α-+= (5分)设其两根分别为 12,t t ,则12126cos ,5,t t t t α+==(6分)12PQ t t ∴=-===(7分)得cos 2α=±,566ππα=或,(9分)所以直线l 的斜率为 (10分)(23)(本小题满分10分)解:(Ⅰ)当2x ≥时,125,x x ++-≤ ∴3x ≤,∴23x ≤≤; (1分) 当12x -<<时,125,x x +-+≤∴12x -<<; (2分) 当1x ≤-时,125,x x ---+≤∴2x ≥-,∴21x -≤≤- (3分) 综上所述,23x -≤≤,即不等式()5f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤. (4分) (Ⅱ)当[]0,2x ∈时,()123f x x x =+-+=, (5分)()22f x x x m ≥-++ ,即232x x m ≥-++,即2230x x m --+≥. (6分)也就是 ()2120x m --+≥,在[]0,2x ∈恒成立, (7分) 当1x =时,()212x m --+取得最小值2m -, (8分) 由20m -≥,得2m ≤,即m 的取值范围是{|2}m m ≤. (10分)。

高三数学-2018年高考数学全国统一考试概率统计分类解析 精品

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2018年普通高等学校招生全国统一考试数学分类解析—概率统计一.选择题:1. (安徽理)(10).设两个正态分布2111()(0)N μσσ>,和2222()(0)N μσσ>,的密度函数图像如图所示。

则有( A ) A .1212,μμσσ<<B .1212,μμσσ<>C .1212,μμσσ><D .1212,μμσσ>>2.(福建理)(5)某一批花生种子,如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 (B )A.16625 B.96625 C.192625D.2566253. (福建文)(5)某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为45,那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是 (C )A.12125 B.16125 C.48125 D.961254. (广东理)(3).某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如表1.已知在全校 学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( C ) A .24 B .18 C .16 D .125.(湖南理) 4.设随机变量ζ服从正态分布N (2,9) ,若P (ζ>c+1)=P (ζ<c -)1,则c =(B)A.1B.2C.3D.46. (江西文)(11).电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59,每一时刻都由四个数字组成,则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 (C )A .1180 B .1288 C .1360D .14807. (辽宁理文)(7).4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( C ) A.13 B.12 C.23 D.348.(山东理)(7)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为(B ) (A )511(B )681 (C )3061(D )40819.(山东理) (8)右图是根据《山东统计年整2018》中的资料作成的1997年至2018年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字,右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字,从图中可以得到1997年至2018年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为(B )(A )318.6 (B )318.6 (C)318.6 (D)301.6 10.(山东文)9.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如表,则这100人成绩的标准差为( B )AB C .3D .8510.(陕西文)(3).某林场有树苗30000棵,其中松树苗4000棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本,则样本中松树苗的数量为( C ) A .30 B .25 C .20 D .15 11.(重庆理)(5)已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (3)ζ<=(D )(A)15(B)14(C)13(D)1212. (重庆文)(5)某交高三年级有男生500人,女生400人,为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是(D )(A)简单随机抽样法(B)抽签法7420136203851192(C)随机数表法 (D)分层抽样法13.(重庆文)(9)从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个,则所取4个球的最大号码是6的概率为 (B )(A)184(B)121(C)25(D)35二.填空题:1.(广东文) (11).为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查 了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[)45,55,[)[)[)55,65,65,75,75,85, [)85,95由此得到频率分布直方图如图,则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是 13 .2.(海南宁夏理文)(16).从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位:mm ),结果如下:甲品种:271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 318 318 318 318 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352乙品种:284 292 295 318 318 318 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图根据以上茎叶图,对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论: ① ;3 127 7 5 5 0 28 4 5 4 2 29 2 5 8 7 3 3 1 30 4 6 79 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 7 4 1 33 1 3 6 734 3 2 35 6甲乙② .以下任填两个:(1).乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或:乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度). (2).甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散.(或:乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定).甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大). (3).甲品种棉花的纤维长度的中位数为318mm ,乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm . (4).乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近).甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值(352)外,也大致对称,其分布较均匀.3. (湖北文)11.一个公司共有1 000名员工,下设一些部门,要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本,已知某部门有200名员工,那么从该部门抽取的工人数是 10 . 4.(湖北文)14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己,假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一准时响的概率是 0.98 .5. (湖南理)15.对有n (n ≥4)个元素的总体{1,2,3,…,n }进行抽样,先将总体分成两个子总体{1,2,…,m }和{m +1、m +2,…,n }(m 是给定的正整数,且2≤m ≤n -2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本,用P i j 表示元素i 和f 同时出现在样本中的概率,则P 1m =4()m n m -;所有P if (1≤i <j ≤)n 的和等于 6 .6. (湖南文)(12)从某地区15000位老人中随机抽取500人,其生活能否自理的情况如下表所示:则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多____60____人。

2018届高考数学(理)热点题型:概率与统计((有答案))

2018届高考数学(理)热点题型:概率与统计((有答案))

2018届高考数学(理)热点题型:概率与统计((有答案))D23456=⎝ ⎛⎭⎪⎫232+13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232+23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232=5681. (2)X 的可能取值为2,3,4,5.P (X =2)=P (A 1A 2)+P (B 1B 2)=P (A 1)P (A 2)+P (B 1)·P (B 2)=59,P (X =3)=P (B 1A 2A 3)+P (A 1B 2B 3)=P (B 1)P (A 2)P (A 3)+P (A 1)P (B 2)P (B 3)=29,P (X =4)=P (A 1B 2A 3A 4)+P (B 1A 2B 3B 4)=P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)+P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)=1081, P (X =5)=1-P (X =2)-P (X =3)-P (X =4)=881. 故X 的分布列为X 2 3 4 5 P59291081881E (X )=2×59+3×29+4×1081+5×881=22481.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步:确定随机变量的所有可能值; 第二步:求每一个可能值所对应的概率; 第三步:列出离散型随机变量的分布列; 第四步:求均值和方差;第五步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元.求: ①顾客所获的奖励额为60元的概率; ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和507元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由. 解 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意,得P (X =60)=C 11C 13C 24=12,即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意,得X 的所有可能取值为20,60. P (X =60)=12,P (X =20)=C 23C 24=12,即X 的分布列为X 20 60 P1212所以顾客所获的奖励额的数学期望为E (X )=20×12+60×12=40(元).(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理,可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2. 以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X 1,则X 1的分布列为X 1 20 60 100 P162316X 1的数学期望为E (X 1)=20×16+60×23+100×16=60(元),X1的方差为D(X1)=(20-60)2×16+(60-60)2×23+(100-60)2×16=1 6003.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2,则X2的分布列为X240 60 80P162316X2的数学期望为E(X2)=40×16+60×23+80×16=60(元),X2的方差为D(X2)=(40-60)2×16+(60-60)2×23+(80-60)2×16=4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.热点三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体,已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表,正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫,把这些统计图表的含义弄清楚,在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日,第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行,某大学为世界杯组委会招收志愿者,被招收的志愿者需参加笔试和面试,把参加笔试的40名大学生的成绩分组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100],得到的频率分布直方图如图所示:(1)分别求出成绩在第3,4,5组的人数;(2)现决定在笔试成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组,求甲或乙进入面试的概率;②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试,设第4组中有X名学生被考官D面试,求X的分布列和数学期望.89解 (1)由频率分布直方图知: 第3组的人数为5×0.06×40=12. 第4组的人数为5×0.04×40=8. 第5组的人数为5×0.02×40=4.(2)利用分层抽样,在第3组,第4组,第5组中分别抽取3人,2人,1人. ①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A ,则 P (A )=1-C 310C 312=511,所以甲或乙进入第二轮面试的概率为511.②X 的所有可能取值为0,1,2,P (X =0)=C 24C 26=25,P (X =1)=C 12C 14C 26=815,P (X =2)=C 22C 26=115.所以X 的分布列为X 0 1 2 P25815115E (X )=0×25+1×815+2×115=1015=23.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合,立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”:一是看图说话,即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率;二是活用公式,本题中X 服从超几何分布.【对点训练】某公司为了解用户对某产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C:“A的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C 的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;C A2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;C B1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;C B2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,则C A1与C B1独立,C A2与C B2独立,C B1与C B2互斥,C=C B1C A1∪C B2C A2.P(C)=P(C B1C A1∪C B2C A2)10=P (C B 1C A 1)+P (C B 2C A 2) =P (C B 1)P (C A 1)+P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1,C A 2,C B 1,C B 2发生的频率分别为1620,420,1020,820,即P (C A 1)=1620,P (C A 2)=420,P (C B 1)=1020,P (C B 2)=820,故P (C )=1020×1620+820×420=0.48.热点四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程,了解独立性检验的基本思想、方法,在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查,解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入x i (单位:千元)与月储蓄y i (单位:千元)的数据资料,算得∑10i =1x i =80,∑10i =1y i =20,∑10i =1x i y i =184,∑10i =1x 2i =720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^=b ^x +a ^; (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关;(3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄. 附:线性回归方程y ^=b ^x +a ^中,b ^=,a ^=y -b ^ x ,其中x ,y 为样本平均值.解 (1)由题意知n =10,x =1n ∑n i =1x i =8010=8, y =1n ∑n i =1y i=2010=2, 又l xx =∑ni =1x 2i -n x 2=720-10×82=80, l xy =∑ni =1x i y i -n x y =184-10×8×2=24, 由此得b ^=l xy l xx =2480=0.3,a ^=y -b ^x =2-0.3×8=-0.4, 故所求线性回归方程为y ^=0.3x -0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^=0.3>0),故x 与y 之间是正相关.(3)将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y^=0.3×7-0.4=1.7(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性,可通过计算相关系数r来确定,r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强,r的绝对值越接近于0,表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^,a^的公式进行准确的计算.【对点训练】4月23日是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”,低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表,并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关?非读书迷读书迷总计男15女45总计(2)将频率视为概率.1人,共抽取3次,记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成2×2列联表如下:非读书迷读书迷总计男401555女202545总计60 40 100K 2=100×(40×2560×40×55×45≈8.249>6.635,故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P =25.由题意可知X ~B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3,25,P (X =i )=C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353-i (i =0,1,2,3). X 的分布列为X 0 1 2 3 P2712554125361258125均值E (X )=np =3×25=65,方差D (X )=np (1-p )=3×25×⎝⎛⎭⎪⎫1-25=1825.。

安徽大学2017-2018高数概率论统计试卷

安徽大学2017-2018高数概率论统计试卷

安徽大学2017—2018学年第一学期《高等数学A (三)》(概率论与数理统计)考试试卷(A 卷)(闭卷 时间120分钟)考场登记表序号一、 填空题(每小题2分,共10分)1.设()0.6P A =,()0.4P B =,(|)0.3P A B =,则(|)__________P A B =.2.设随机变量X 的概率密度函数01,()0,.x f x <<=其他,λ是(0,1)内的一个实数,且满足()()P X P X λλ<=>,则λ=____________.3.某人向同一目标独立重复射击,每次击中目标的概率为(01)p p <<,则此人第4次射击时恰好第2次命中目标的概率为___________.4.设X 与Y 是两个独立同分布的随机变量,且1(0)3P X ==,2(1)3P X ==,则min(,)Z X Y =的分布律为________.5.已知2EX =,3EY =,4DX =,16DY =,()14E XY =,则由切比雪夫不等式可得(|32|3)P X Y −≤≥___________.二、选择题(每小题2分,共10分)6. 设A 和B 为随机事件,则()()()P A B P A P B −=−成立的充要条件是( ). (A )B A ⊂ (B )A B = (C )()0P B A −= (D )()0P A B =7.设1()F x 和2()F x 都是随机变量的分布函数,则为了使12()()()F x aF x bF x =−是某随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取( ).题 号 一 二 三 四 五 总分得 分阅卷人得分院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------得分(A )35a =,25b = (B )23a =,13b =− (C )12a =−,32b = (D )12a =,32b =−8.设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,记(,)f x y 表示(,)X Y 的联合概率密度函数;(),()X Y f x f x 分别表示X ,Y 的边缘概率密度函数;||(|),(|)X Y Y X f x y f y x 分别表示Y y =条件下X 的条件概率密度和X x =条件下Y 的条件概率密度.考虑下列式子: •(,)()()X Y f x y f x f y =; ‚()(,)()X Y f x f x y f y =; ƒ|(|)()X Y X f x y f x =; ○4|(|)()Y X Y f y x f y =. 其中正确的个数为( ).(A )1个 (B ) 2个 (C )3个 (D )4个9.设随机变量X 和Y 有相同且不为零的方差,则相关系数1XY ρ=−的充要条件为( ). (A )(,)0Cov X Y Y −= (B )(,)0Cov X Y X −= (C )(,)0Cov X Y X Y +−= (D )(,)0Cov X Y Y +=10.设12,,,,n X X X L L 是相互独立的随机变量序列且都服从区间上的均匀分布,记()x Φ为标准正态分布的分布函数,则( ).(A)14lim ()n i i n X P x x n =→∞ −≤=Φ ∑ (B)2lim ()n i n X P x x →∞− ≤=Φ∑ (C)lim ()n i n X P x x →∞ ≤=Φ ∑ (D)lim ()n i n X P x x →∞≤=Φ∑三、分析计算题(每小题13分,共65分)11.甲袋中有3件正品2件次品,乙袋中有4件正品4件次品.先从甲袋中任取两件产品放入乙袋,再从乙袋中任取1件产品.(1)求取出的该产品是正品的概率;(2)若已知从乙袋中取出的产品是正品,求从甲袋中取出的是一件正品、一件次品的概率.得分12.设连续型随机变量X 的概率密度函数为()x f x Ce −=,x −∞<<+∞.求:(1)常数C 的值;(2)X 的分布函数()F x ;(3)Y X =的概率密度函数.13.袋中装有5个白球和3个红球,第一次从袋中任取一球,取后不放回,第二次从袋中任取两个球,用i X 表示第i 次取到的白球数,1,2i =. (1)求12(,)X X 的联合分布律; (2)求事件12{0}X X =的概率;(3)判断1X 与2X 是否相关,并说明理由.答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------14.已知二维随机变量(,)X Y 在以点(0,0),(1,1)−,(1,1)为顶点的三角形区域内服从均匀分布.求:(1)()Y f y ;(2)|(|)X Y f x y ;(3)102P X Y>>.15. 设总体X 的概率分布为X1 2 3 P2θ2(1)θθ−2(1)θ−其中()01θθ<<是未知参数.利用总体X 的如下样本值1、1、2、1、3、2,求θ的矩估计值和极大似然估计值. 四、应用题(每小题10分,共10分)16.已知一种元件的寿命2~(,)X N µσ,并根据规定其平均寿命为1000小时.现从中随机抽取25个元件,测得样本均值950x =小时,样本标准差150s =小时.分别在下列两种情况:① 己知100σ=小时;② 未知σ下,检验这批元件是否符合规定要求.(0.05)α=(其中0.05 1.65u =,0.025 1.96u =,0.05(25) 1.7081t =,0.05(24) 1.7109t =,0.025(25) 2.0595t =,0.025(24) 2.0639t =)得分答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------五、证明题(每小题5分,共5分)17.设总体X 服从(0,1)N ,()12,,n X X X L 是来自总体的简单随机样本,11ni i X X n ==∑,()22111n ii S X X n ==−−∑分别为样本均值和样本方差,记221T X S n =−. 证明:2(1)DT n n =−.得分。

2017-2018学年高中毕业班第一次统测数学理科试题(终稿) 精品

2017-2018学年高中毕业班第一次统测数学理科试题(终稿) 精品

试卷类型:A肇庆市中小学教学质量评估2018届高中毕业班第一次统一检测理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共23小题,满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将自己所在县(市、区)、姓名、试 室号、座位号填写在答题卷上对应位置.2. 选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷或草稿纸上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域 内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再在答题区内写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.参考公式:22⨯列联表随机变量))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=. )(2k K P ≥与k 对应值表:第Ⅰ卷一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)若集合(){}|40M x R x x =∈-<,集合{}0,4N =,则MN =A .[]0,4B .∅C .{}0,4D .()0,4 (2)设i 为虚数单位,复数3iz i+=,则z 的共轭复数z = A .13i --B .13i -C .13i -+D .13i +(3)已知向量()(),2,1,1m a n a ==+,若//m n ,则实数a 的值为A .23-B .2或1-C .2-或1D .2- (4)设复数z 满足()1(i z i i +=为虚数单位),则复数z 对应的点位于复平面内A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限(5)原命题p :“设,,a b c R ∈,若22ac bc >,则a b >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 A .0B .1C .2D .4(6)执行右边的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为 A .5B .4C .3D .2(7)变量,x y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值等于A .15-B .9-C .1D .9(8)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为 A. 3,5B. 5,5C. 3,7D. 5,7 (9)为了研究某班学生的脚长x (单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生, 根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性 相关关系,设其回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+.已知101225i i x ==∑,1011600i i y ==∑,ˆ4b=.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为A. 160B. 163C. 166D.170(10)从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ,…,n x ,1y ,2y ,…,n y ,构成n 个数对()11,x y ,()22,x y ,…,(),n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为A.4n m B.2n mC.4m nD.2m n(11)四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长均为1,且1160AAB A AD BAD ∠=∠=∠=︒,则1AC 的长为A .3BC .6D (12)下列命题中正确的是A .有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱B .将圆心角为23π,面积为3π的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的表面积为5π C .若空间中n 个不同的点两两距离都相等,则正整数n 的值至多等于4D .过两条异面直线外的一点,有且只有一个平面与这两条异面直线都平行第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.(13)若随机变量ξ~N (2,1),且P (ξ>3)=0.1587,则P (ξ≥1)= ▲ . (14)()522x x +-的展开式中3x 的系数是 ▲ .(用数字作答).(15)由一个长方体和两个14圆柱体构成 的几何体的三视图如右图,则该几 何体的体积为 ▲ .(16)A ,B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品.已知A 产品需要在甲机器上加工3小时,在乙机器上加工1小时;B 产品需要在甲机器上加工1小时,在乙机器上加工3小时.在一个工作日内,甲机器至多只能使用11小时,乙机器至多只能使用9小时.A 产品每件利润300元,B 产品每件利润400元,则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是 ▲ 元. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频数分布表(Ⅰ)求A 地区用户满意度评分的众数和中位数;(Ⅱ)填写下列的列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为用户满意度与地区有关?(18)(本小题满分12分)如图,在四棱锥V ABCD -,1//2AB CD ,,AB VA CD VD ⊥⊥,E 是VC 的中点. (Ⅰ)证明://BE VAD 平面;(Ⅱ)证明:平面ABCD ⊥平VAD 面.405060708090满意度评分100 频率/C(19)(本小题满分12分)某公司进行抽奖活动,某抽奖箱里有2张印有“中奖”的卡片和3张印有“谢谢惠顾”的卡片.现场员工小王进行抽奖,每次随机抽取一张卡片,抽取后不放回,假如小王一定要将2张印有“中奖”的卡片全部抽完才停止.(Ⅰ)求小王恰好抽奖3次停止的概率;(Ⅱ)若抽奖一次需要费用100元,设X 表示小王停止抽奖前所需要的费用(单位:元),求X 的分布列和均值(数学期望).(20)(本小题满分12分)如图,在四棱锥S ABCD -中,ABCD 是边长为1的菱形,且60DAB ∠=︒,SA SD == 2SB =.(Ⅰ)证明:AD SB ⊥;(Ⅱ)求二面角S AD B --的大小.(21)(本小题满分12分)如图,在三棱锥P ABC -中,PAB ABC ⊥平面平面,PAC ABC ⊥平面平面,BE AC ⊥于点E ,BC =30ACB ∠=︒,2,AC =1PA =,F 为线段PC 上的一点.(Ⅰ)证明:PA ABC ⊥平面; (Ⅱ)若直线EF 与平面PBC 所成角的,求三棱锥F CBE -的体积.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 作答时, 请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x 轴非负半轴重合,直线l 的参数方程为:1cos (sin x t t y t αα=-+⎧⎨=⎩为参数,[0,)απ∈),曲线C 的极坐标方程为:4cos ρθ=.(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点, 若PQ =l 的斜率.(23)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲设函数()12f x x x =++-. (Ⅰ)求不等式()5f x ≤的解集;(Ⅱ)当[]0,2x ∈时,()22f x x x m ≥-++恒成立,求m 的取值范围.。

概率统计 C 试卷 A卷参考答案

概率统计 C 试卷 A卷参考答案

2017 - 2018学年第 一学期考试卷(A 卷) 课程名称 概率论与数理统计C 课程类别:必修 考试方式:闭卷1 解:设需要的车位数为n ,i X 表示第i 个住户需要的车位数,Xi=1,2,…,400),则随机变量40021,...,,X X X 独立同分布,而且 ()2.13.026.011.00=⨯+⨯+⨯=i X E ,……1分 ()8.13.026.011.002222=⨯+⨯+⨯=i X E ,……2分 于是有 ()()()()36.02.18.1222=-=-=i i i X E X E X D .……3分 由题意,得学院:专业班级:姓名:学号:装订线内不要答题⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑∑∑∑======)()()()(400140014001400140014001i i i i i i i i i i i i X D X E n X D X E X P n X P ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-≤-=∑∑∑===36.04002.1400)()(400140014001n X D X E X P i i i i i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈12480n ……………………5分 由题设,95.012480≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φn ,因此得645.112480≥-n ,所以有 74.49912645.1480=⨯+≥n .因此至少需要500个车位,才能满足题设要求。

…………………………6分2解: 0.248026.41)9,9(1)9,9(025.0975.0===F F 方差比的置信度为95%的置信区间为)61.3,22.0()248.0606.0542.0,026.4606.0542.0())9,9(,)9,9((975.02221025.02221==F s s F s s1解:1. 由密度函数性质2211()3f x dx kx dx k +∞-∞-===⎰⎰,从而13k = (2分) 2.X 的分布函数()()x F x f t dt -∞=⎰ 当1x <-时,()()0x F x f t dt -∞==⎰, 当12x -≤<时,231111()()399x x F x f t dt t dt x -∞-===+⎰⎰, 当2x ≥时,()()1x F x f t dt -∞==⎰,从而得 30,111()(),12991,2xx F x f t dt x x x -∞<-⎧⎪⎪==+-≤<⎨⎪≥⎪⎩⎰ (5分) 3. 211(01)(1)(0)999P X F F <≤=-=-= (7分) 4. 23115()34EX xf x dx x dx +∞-∞-===⎰⎰ (9分) 22241133()()315E X x f x dx x dx +∞-∞-===⎰⎰ (11分) 22233551()()15480DX E X EX ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ (12分)2解1.由(,)X Y 的联合分布律性质111ij i j p+∞+∞===∑∑,有0.10.20.410.3a a +++=⇒=. (2分)2.X 的边缘分布律 Y 的边缘分布律 (4分)3.00.310.70.7EX =⨯+⨯=,222()00.310.70.7E X =⨯+⨯=,222()()0.70.70.21DX E X EX =-=-= (6分) 00.410.60.6EY =⨯+⨯=,222()00.410.60.6E Y =⨯+⨯=,22()()0.24DY E Y EY =-= (8分)4.()i j ij E XY x y p =∑∑110.40.4=⨯⨯=(,)()0.02Cov X Y E XY EX EY =-⋅=-XY ρ=== (10分)3解:101()(1)2EX xp x dx x x dx X θθθθ+∞-∞+==+==+⎰⎰ 12ˆ1X X θ-=- 1211()(,)(1)(1)()n nn i i n i i L p x x x x x θθθθθθ====+=+∏∏12ln ()ln(1)ln()n L n x x x θθθ=++12ln ()ln()01n d L n x x x d θθθ=+=+ 12ˆ1ln()n nx x x θ=--证明:2~(0,1)iX N -16221(2)~(16)i i Y X χ=∴=-∑~(16)t ∴=。

(完整版)2018年高考全国1卷理科数学试题及答案详细解析(word版_精校版)

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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ)理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设1i2i 1iz -=++,则||z = A .0 B .12 C .1 D .22.已知集合2{|20}A x x x =-->,则A =R ðA .{|12}x x -<<B .{|12}x x -≤≤C {|1}{|2}x x x x <->UD .{|1}{|2}x x x x -U ≤≥3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是 A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+,12a =,则5a = A .12- B .10- C .10 D .125.设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A .2y x =-B .y x =-C .2y x =D .y x = 6.在ABC △中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB =uu rA .3144AB AC -uu u r uuu r B .1344AB AC -uuu r uuu rC .3144AB AC +uu u r uuu rD .1344AB AC +uuu r uuu r7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为A .217B .25C .3D .28.设抛物线24C y x =:的焦点为F ,过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则FM FN?uuu r uuu r A .5B .6C .7D .89.已知函数e ,0,()ln ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤ ()()g x f x x a =++. 若()g x 存在2个零点,则a 的取值范围是 A .[1,0)-B .[0,)+∞C .[1,)-+∞D .[1,)+∞10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AB ,AC .ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为1p ,2p ,3p ,则A .12p p =B .13p p =C .23p p =D .123p p p =+11.已知双曲线2213x C y :-=,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N . 若OMN △为直角三角形,则||MN = A .32B .3C .23D .412.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A .33B .23C .32D .3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2017年-2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷1,参考解析)

2017年-2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷1,参考解析)

高考衣食住用行衣:高考前这段时间,提醒同学们出门一定要看天气,否则淋雨感冒,就会影响考场发挥。

穿着自己习惯的衣服,可以让人在紧张时产生亲切感和安全感,并能有效防止不良情绪产生。

食:清淡的饮食最适合考试,切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。

如果可能的话,每天吃一两个水果,补充维生素。

另外,进考场前一定要少喝水!住:考前休息很重要。

好好休息并不意味着很早就要上床睡觉,根据以往考生的经验,太早上床反而容易失眠。

考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了,但最迟不要超过十点半。

用:出门考试之前,一定要检查文具包。

看看答题的工具是否准备齐全,应该带的证件是否都在,不要到了考场才想起来有什么工具没带,或者什么工具用着不顺手。

行:看考场的时候同学们要多留心,要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车?有几种方式可以到达?大概要花多长时间?去考场的路上有没有修路堵车的情况?考试当天,应该保证至少提前20分钟到达考场。

2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国I卷)理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}{}131x A x x B x =<=<,,则() A .{}0=<I A B x x B .A B =R U C .{}1=>U A B x xD .A B =∅I【答案】A【解析】{}1A x x =<,{}{}310xB x x x =<=<∴{}0A B x x =<I ,{}1A B x x =<U , 选A2. 如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A .14B .π8C .12D .π4【答案】B【解析】设正方形边长为2,则圆半径为1则正方形的面积为224⨯=,圆的面积为2π1π⨯=,图中黑色部分的概率为π2则此点取自黑色部分的概率为ππ248=故选B3. 设有下面四个命题()1p :若复数z 满足1z∈R ,则z ∈R ;2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ;3p :若复数12z z ,满足12z z ∈R ,则12z z =; 4p :若复数z ∈R ,则z ∈R .A .13p p ,B .14p p ,C .23p p ,D .24p p ,【答案】B【解析】1:p 设z a bi =+,则2211a bi z a bi a b -==∈++R ,得到0b =,所以z ∈R .故1P 正确; 2:p 若z =-21,满足2z ∈R ,而z i =,不满足2z ∈R ,故2p 不正确;3:p 若1z 1=,2z 2=,则12z z 2=,满足12z z ∈R ,而它们实部不相等,不是共轭复数,故3p 不正确;4:p 实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故4p 正确;4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若4562448a a S +==,,则{}n a 的公差为() A .1 B .2C .4D .8【答案】C【解析】45113424a a a d a d +=+++=61656482S a d ⨯=+= 联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②3⨯-①②得()211524-=d624d =4d =∴ 选C5. 函数()f x 在()-∞+∞,单调递减,且为奇函数.若()11f =-,则满足()121f x --≤≤的x 的取值范围是() A .[]22-, B .[]11-, C .[]04, D .[]13,【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数,所以()()111f f -=-=,于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 又()f x 在()-∞+∞,单调递减 121x ∴--≤≤3x ∴1≤≤ 故选D6. ()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为A .15B .20C .30D .35【答案】C.【解析】()()()66622111+1111x x x x x ⎛⎫+=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭对()61x +的2x 项系数为2665C 152⨯== 对()6211x x⋅+的2x 项系数为46C =15, ∴2x 的系数为151530+= 故选C7. 某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形,这些梯形的面积之和为A .10B .12C .14D .16【答案】B【解析】由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面 ()24226S =+⨯÷=梯6212S =⨯=全梯 故选B8. 右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ,那么在和可以分别填入A .1000A >和1n n =+B .1000A >和2n n =+C .1000A ≤和1n n =+D .1000A ≤和2n n =+ 【答案】D【答案】因为要求A 大于1000时输出,且框图中在“否”时输出∴“”中不能输入A 1000> 排除A 、B又要求n 为偶数,且n 初始值为0, “”中n 依次加2可保证其为偶 故选D9. 已知曲线1:cos C y x =,22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下面结论正确的是()A .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2CB .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2CC .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2CD .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2C 【答案】D【解析】1:cos C y x =,22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名,可将1:cos C y x =用诱导公式处理.πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x .横坐标变换需将1=ω变成2=ω,即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x .注意ω的系数,在右平移需将2=ω提到括号外面,这时π4+x 平移至π3+x , 根据“左加右减”原则,“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12,即再向左平移π12.10. 已知F 为抛物线C :24y x =的交点,过F 作两条互相垂直1l ,2l ,直线1l 与C 交于A 、B 两点,直线2l 与C 交于D ,E 两点,AB DE +的最小值为() A .16B .14C .12D .10【答案】A 【解析】设AB 倾斜角为θ.作1AK 垂直准线,2AK 垂直x 轴易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ(几何关系)(抛物线特性)cos AF P AF θ⋅+=∴同理1cos P AF θ=-,1cos PBF θ=+∴22221cos sin P PAB θθ==- 又DE 与AB 垂直,即DE 的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭而24y x =,即2P =.∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ 21616sin 2θ=≥,当π4θ=取等号 即AB DE +最小值为16,故选A11. 设x ,y ,z 为正数,且235x y z ==,则()A .235x y z <<B .523z x y <<C .352y z x <<D .325y x z <<【答案】D【答案】取对数:ln 2ln3ln5x y ==.ln33ln 22x y => ∴23x y > ln2ln5x z = 则ln55ln 22x z =< ∴25x z <∴325y x z <<,故选D12. 几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件,为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是02,接下来的两项是02,12,在接下来的三项式62,12,22,依次类推,求满足如下条件的最小整数N :100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) A .440 B .330 C .220 D .110 【答案】A【解析】设首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推.设第n 组的项数为n ,则n 组的项数和为()12n n +由题,100N >,令()11002n n +>→14n ≥且*n ∈N ,即N 出现在第13组之后第n 组的和为122112nn -=-- n 组总共的和为()2122212n nn n --=---若要使前N 项和为2的整数幂,则()12n n N +-项的和21k -应与2n --互为相反数即()*21214k n k n -=+∈N ,≥ ()2log 3k n =+→295n k ==,则()2912954402N ⨯+=+=故选A二、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

(完整版)2018年高考全国一卷理科数学答案及解析

(完整版)2018年高考全国一卷理科数学答案及解析

2018年普通高等学招生全国统一考试(全国一卷)理科数学参考答案与解析一、选择题:本题有12小题,每小题5分,共60分。

1、设z=,则|z |=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i )i -(,所以|z |=1 【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x —2>0},则A =A 、{x|—1〈x 〈2}B 、{x|—1x 2}C 、{x|x 〈-1}∪{x |x>2}D 、{x|x —1}∪{x |x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x |x 2-x-2≤0},所以{x|—1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是:A 、新农村建设后,种植收入减少。

B 、新农村建设后,其他收入增加了一倍以上。

C 、新农村建设后,养殖收入增加了一倍。

D 、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。

【答案】A【解析】由题可得新农村建设后,种植收入37%*200%=74%>60%, 【考点定位】简单统计4、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=A 、-12B 、-10C 、10D 、12 【答案】B【解析】3*(a 1+a 1+d+a 1+2d )=( a 1+a 1+d ) (a 1+a 1+d+a 1+2d+a 1+3d ),整理得: 2d+3a 1=0 ; d=—3 ∴a 5=2+(5-1)*(—3)=—10 【考点定位】等差数列 求和5、设函数f (x)=x 3+(a-1)x 2+ax ,若f (x)为奇函数,则曲线y=f (x )在点(0,0)处的切线方程为:A 、y=-2xB 、y=-xC 、y=2xD 、y=x 【答案】D【解析】f (x )为奇函数,有f (x )+f (-x )=0整理得: f (x )+f (-x)=2*(a —1)x 2=0 ∴a=1 f (x )=x 3+x求导f ‘(x )=3x 2+1 f ‘(0)=1 所以选D【考点定位】函数性质:奇偶性;函数的导数6、在ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则=A 、—-B 、—-C 、—+D 、- 【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB —AE=AC 41AB 43)AC 41AB 41(-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图,圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开:注意到B 点在41圆周处。

17年高考真题—理科数学7:概率与统计

17年高考真题—理科数学7:概率与统计

2017高考真题分类汇编:概率与统计1.【2017课标I 2】如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。

在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( ) (A )14 (B )8π (C )12 (D )4π 2.【2017课标III 3】某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图。

根据该折线图,下列结论错误的是( ) (A )月接待游客逐月增加 (B )年接待游客量逐年增加 (C )各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月(D )各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳3.【2017山东 5】为了研究某班学生的脚长x (单位:厘米)和身高y (单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系,设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+。

已知101225i i x ==∑,1011600i i y ==∑,ˆ4b =。

该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为( ) (A )160 (B )163 (C )166 (D )1704.【2017山东 8】从分别标有1,2,,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张。

则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) (A )518 (B )49 (C )59(D )79 5.【2017浙江 8】随机变量i ξ满足()1i i P p ξ==,()()011,2i i P p i ξ==-=。

若12102p p <<<,则( ) (A )()()12E E ξξ<,()()12D D ξξ< (B )()()12E E ξξ<,()()12D D ξξ> (C )()()12E E ξξ>,()()12D D ξξ< (D )()()12E E ξξ>,()()12D D ξξ>6.【2017江苏 3】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件。

2018高考数学理全国通用大一轮复习2017高考试题汇编

2018高考数学理全国通用大一轮复习2017高考试题汇编

第十三章 概率与统计第一节 概率及其计算题型140 古典概型1.(2017山东理18(1))在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者1A ,2A ,3A ,4A ,5A ,6A 和4名女志愿者1B ,2B ,3B ,4B ,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的概率.1.解析 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ,则48510C 5().C 18P M ==题型141 几何概型2.(2017江苏07)记函数()f x =D .在区间[]4,5-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是 .2.解析 由题意260x x +-…,故[]2,3D =-,所以()()325549P --==--.故填59.3.(2017全国1卷理科2)如图所示,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( ). A.14 B. π8 C. 12 D. π4ABD3.. 解析 设正方形的边长为2,则圆的半径为1,则正方形的面积为224⨯=,圆的面积为2π1π⨯=,图中黑色部分的面积为π2,则此点取自黑色部分的概率为ππ248=.故选B.第二节 随机变量及其分布题型142 条件概率及相互独立事件同时发生的概率4.(2107天津理16(2))从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234. (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.4.解析 (2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数,Z 表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)P Y Z P Y Z P Y Z +====+===(0)(1)(1)(0)P Y P Z P Y P Z ==+==1111111142424448=⨯+⨯=. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.题型143 离散型随机变量的分布列及其数学期望与方差5.(2107浙江8)已知随机变量i ξ满足()1i i P p ξ==,()01i i P p ξ==-,12i =,.若12102p p <<<,则( ). A .()()12E E ξξ<,()()12D D ξξ< B .()()12E E ξξ<,()()12D D ξξ> C .()()12E E ξξ>,()()12D D ξξ<D .()()12E E ξξ>,()()12D D ξξ>5. 解析 依题意,列分布列1ξ1 0p1p11p -2ξ1 0p2p 21p -所以()11E p ξ=,()()1111D p p ξ=-;()22E p ξ=,()()2221D p p ξ=-. 因为12102p p <<<,所以()()12E E ξξ<,()()()()21211210D D p p p p ξξ-=--+>⎡⎤⎣⎦.故选A .6.(2017山东理18)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者1A ,2A ,3A ,4A ,5A ,6A 和4名女志愿者1B ,2B ,3B ,4B ,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的概率.(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X 的分布列与数学期望()E X . 6.解析 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ,则48510C 5().C 18P M ==(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4,则56510C 1(0)C 42P X ===,4164510C C 5(1)C 21P X ===,3264510C C 10(2)C 21P X ===,2364510C C 5(3)C 21P X ===,1464510C C 1(4)C 42P X ===,因此X 的分布列为X 的数学期望()0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)E X P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯==5105101234221212142+⨯+⨯+⨯+⨯=. 7..(2107山东理8)分别从标有1,2,⋅⋅⋅,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ). A.518 B.49 C.59D.79 7. 解析 由于是不放回的抽取,两张卡片的数的奇偶性不同共有11542C C 种基本情况,总的基本事件共有98=72⨯种,则所求事件的概率为12542C C 5989=⨯ .故选C. 8.(2107天津理16)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234. (1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望; (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 8.解析 (1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.()111101112344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()11111111111111111123423423424P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()111111111121112342342344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()1111323424P X ==⨯⨯=. 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. (2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数,Z 表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)P Y Z P Y Z P Y Z +====+===(0)(1)(1)(0)P Y P Z P Y P Z ==+==1111111142424448=⨯+⨯=. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.9.(2017全国2卷理科13)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则()D X = . 9.解析 有放回的抽取,是一个二项分布模型,其中0.02=p ,100n =, 则()()11000.020.98 1.96D X np p =-=⨯⨯=.10.(2107全国3卷理科18)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[)2025,,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值? 10.解析 (1)易知需求量x 可取200,300,500, ()21612003035P X +===⨯;()3623003035P X ===⨯;()257425003035P X ++===⨯. 则分布列为:X 200 300 500P15 25 25(2)①当200n ≤时:()642Y n n =-=,此时max 400Y =,当200n =时取到.②当200300n <≤时:()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦880026800555n n n -+=+=, 此时max 520Y =,当300n =时取到. ③当300500n <≤时,()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦320025n -= 此时520Y <.④当500n ≥时,易知Y 一定小于③的情况. 综上所述当300n =时,Y 取到最大值为520.11.(2017北京理17)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y 的值小于60的概率;(2)从图中A ,B ,C ,D 四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望()E ξ;(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.(只需写出结论)11.解析 (1)由图知,在服药的50名患者中,指标y 的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y 的值小于60的概率为150.350=. (2)由图知,A ,B ,C ,D 四人中,指标x 的值大于1.7的有2人:A 和C . 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.2224C 1(0)C 6P ξ===,112224C C 2(1)C 3P ξ===,2224C 1(2)C 6P ξ===. 所以ξ的分布列为故ξ的期望121()0121636E ξ=⨯+⨯+⨯=. (3)在这100名患者中,服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差.12.(2017江苏23)已知一个口袋有m 个白球,n 个黑球()*,2,m n n ∈N …,这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n ⋅⋅⋅+的抽屉内,其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉()1,2,3,,k m n =⋅⋅⋅+.(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ;(2)随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,()E X 是X 的数学期望,证明:()()()1nE X m n n <+-.12.解析 (1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为:11C C n m n n m n n p m n-+-+==+. (2)随机变量 X 的概率分布为:随机变量X 的期望为:111C ()C n m nk n k n m nE X k -+-=+=⋅∑()()()1!11C 1!!m nnk n m n k k n k n +=+-=⋅--∑. 所以()()()()2!1C 1!!m nn k n m n k E X n k n +=+-<--∑()()()2!1=(1)C 2!!m nn k n m nk n n k n +=+-=---∑ ()()222121 1C C C =1C n n n n n m n n m nn ----+-+++++-()()12221121C C C C =1C n n n n n n n m n nm nn ------+-++++⋅⋅⋅+- ()()12221C C C ==1C n n n n n m n nm nn ---+-+++⋅⋅⋅+-()()12221C C =1C n n m n m n nm nn --+-+-++- ()()()11C 1C 1n m n nm n n n m n n -+-+=-+-, 即()()()1nE X m n n <+-.题型144 正态分布——暂无13.(2107全国1卷理科19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布()2,N μσ.(1)假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在()–3,3μσμσ+之外的零件数,求()1P X …及X 的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在()–3,3μσμσ+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95 10.12 9.969.9610.01 9.929.9810.04 10.269.9110.13 10.02 9.2210.04 10.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑,0.212s ===,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1216i =⋯,,,.用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除()ˆˆˆˆ3,3μσμσ-+之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ,则()–330.9974P Z μσμσ<<+=,160.99740.9592≈0.09≈.13. 解析 (1)由题可知尺寸落在()33μσμσ-+,之内的概率为0.9974,落在()33μσμσ-+,之外的概率为0.0026.()()0016160C 10.99740.99740.9592P X ==-≈,()()11010.95920.0408P X P X =-=≈-=…,由题可知()~160.0026X B ,,所以()160.00260.0416E X =⨯=. (2)(i )尺寸落在()33μσμσ-+,之外的概率为0.0026,由正态分布知尺寸落在()33μσμσ-+,之外为小概率事件,因此上述监控生产过程的方法合理.(ii )39.9730.2129.334μσ-=-⨯=,39.9730.21210.606μσ+=+⨯=,()()339.33410.606μσμσ-+=,,,因为()9.229.33410.606∉,,所以需对当天的生产过程检查.因此剔除9.22,剔除数据之后:9.97169.2210.0215μ⨯-==.()()()()()222222[9.9510.0210.1210.029.9610.029.9610.0210.0110.02σ=-+-+-+-+-+()()()()()222229.9210.029.9810.0210.0410.0210.2610.029.9110.02-+-+-+-+-+()()()()()22222110.1310.0210.0210.0210.0410.0210.0510.029.9510.02]0.00815-+-+-+-+-⨯≈.所以0.09σ=.第三节 统计与统计案例题型145 抽样方式——暂无14.(2017江苏3)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件. 14.解析 按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取60300181000⨯=(件).故填18. 题型146 样本分析——用样本估计总体15.(2017北京理14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点i A 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数,点i B 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数,123i =,,. ①记1Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数,则1Q ,2Q ,3Q 中最大的是_________. ②记i p 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则123p p p ,,中最大的是_________.)15. 解析 联结11A B ,22A B ,33A B 比较三者中点终坐标的大小,所以第一问选1Q ,分别作1B ,2B ,3B 关于原点的对称点1B ',2B ',3B ',比较直线11A B ',22A B ',33A B '斜率大小,可得22A B '最大.故填2p16.(2017全国3卷理科3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图,根据该折线图,下列结论错误的是( ). A .月接待游客量逐月增加 B .年接待游客量逐年增加C .各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D .各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳16.解析 由题图可知,2014年8月到9月的月接待游客量在减少,则A 选项错误.故选A.17.(全国2卷理科18)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg )的频率分布直方图如图所示.频率频率组距箱产量/kg新养殖法旧养殖法箱产量/kg(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A 表示事件:旧养殖法的箱产量低于50kg , 新养殖法的箱产量不低于50kg ,估计A 的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01). 附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ . 17.解析 (1)记:“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B ,“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C ,由题图并以频率作为概率得()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.62=,()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯0.66=,()()()0.4092P A P B P C ==. (2)箱产量50kg <箱产量50kg ≥旧养殖法 62 38 新养殖法3466由计算可得2K 的观测值为()222006266383415.70510010096104k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯,因为15.705 6.635>,所以()2 6.6350.001P K ≈≥,从而有99%以上的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)150.2÷=,()0.10.0040.0200.0440.032-++=,80.0320.06817÷=,85 2.3517⨯≈,50 2.3552.35+=,所以中位数为52.35.题型147 线性回归方程18.(2107山东理5)为了研究某班学生的脚长x (单位:厘米)和身高y (单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系,设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+.已知101225i i x ==∑,1011600i i y ==∑,ˆ4b =.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为( ).A. 160B. 163C. 166D.170 18. 解析 22.5x =,160y =,所以160422.570a =-⨯=,从而24x =时,42470166y =⨯+=.故选C.题型148 独立性检验——暂无19.(全国2卷理科18)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg )的频率分布直方图如图所示.频率频率组距箱产量/kg新养殖法旧养殖法箱产量/kg(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A 表示事件:旧养殖法的箱产量低于50kg , 新养殖法的箱产量不低于50kg ,估计A 的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01). 附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ . 19.解析 (1)记:“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B ,“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C ,由题图并以频率作为概率得()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.62=,()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯0.66=,()()()0.4092P A P B P C ==. (2)箱产量50kg <箱产量50kg ≥旧养殖法6238新养殖法3466由计算可得2K 的观测值为()222006266383415.70510010096104k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯,因为15.705 6.635>,所以()2 6.6350.001P K ≈≥,从而有99%以上的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)150.2÷=,()0.10.0040.0200.0440.032-++=,80.0320.06817÷=,85 2.3517⨯≈,50 2.3552.35+=,所以中位数为52.35.。

概率统计2017-2018(1)考试A卷及答案20180125

概率统计2017-2018(1)考试A卷及答案20180125

北京航空航天大学BEIHANG UNIVERSITY2017-2018学年第一学期期末考试统一用答题册考试课程概率统计A (B1A09204A,B1A092050)概率统计B(B1A09204B)A卷(试卷共5页,五道题)序号_____________ 学号 _____________姓名______________ 成绩 _________考场教室_________ 任课教师_________题号一二三四五[五] 总分分数阅卷人校对人2018年1月25日 10:20-12:20一、 选择题,根据题目要求,在题下选项中选出一个正确答案(本题共32分,每小题各4分)1. 设5.0)(,4.0)(,3.0)(===B A P B P A P ,则=+))(|(B A B P 。

A .13 ; B. 14;C. 15; D. 16 。

2.⎪⎩≤0,0x n x x x ,,,21⋅⋅⋅为样本值(n i x i ,,2,1,0⋅⋅⋅=>)。

则参数2θ的极大似然估计是 。

A .∑==n i i x n 1221ˆθ ; B. 2211ˆ()ni i x x n θ==−∑; C. 2211ˆ()1n i i x x n θ==−−∑ ; D. 22ˆx θ=。

5. 设随机变量Y X ,的二阶矩22,EX EY 存在,下列不等式中,不成立是 。

A.|E −≤B.111222222(||)()()E X Y EX EY +≤+;C.1222[()]||||E X Y E X E Y +≥+ ;D. 112222|()|()()E XY EX EY ≤⋅。

6. 设总体2~(,)X N μσ,n x x x ,,,21Λ为来自X 的样本,(2)n ≥;记1n x x = , 221n x 。

A 8.1k k n =11kk n =−则下列各式中,不正确的是 。

A. 422(1)DS n σ=−; B. 21~(0,)i n X X N n σ−−,(1,2,,)i n =L ;C.2221()~()(1)ni i nX X n n χσ=−−∑;D. 22()~(1,1)X F n S nμ−− 。

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X2
...
X 100

1 } (用中心极限定理)
100
3
解: EX

1
xf (x)dx

1
x 2xdx

1
2 x 2 dx
2
0
0
0
3
EX 2 1 x 2 2xdx 1 2x3dx 1 , DX EX 2 (EX )2 1
0
0
2
18
P{ X1
M (M 1)
3.在 H0 为原假设, H1 为备择假设的假设检验中,若显著性水平为 ,则( C )。 (A) P (接受 H0 H0 成立)= ; (B) P (接受 H1 H1 成立)= ; (C) P (接受 H1 H0 成立)= ; (D) P (接受 H0 H1 成立)= 。
4. 设随机变量 X 和Y ,若 E( XY ) E( X )E(Y ) ,则下列结论一定成立的是(B )。
f
(x,
y)

Axe y
,0

x

1,0

y

x
2

0,
其他
求:(1)常数 A;(2)求 X 与 Y 的边缘概率密度 f X (x) 和 fY ( y) ;(3)判断 X 与 Y 的独立
性。
解:(1) f (x, y)dxdy 1
D
f (x, y)dxdy
U W , 拒绝 H 0 ,认为元器件的平均寿命有显著变化。
(八)(6)
已知 X 1 和 X 2 的概率分布律:
1
X1
~

1
0 1
1 1


0
X2
~
1
1 1

,而且
P(
X
1
X
2

0)
1
4 2 4
2 2
(1) 求 X 1 和 X 2 的联合分布律;
(2) 问 X 1 和 X 2 是否相互独立?为什么?
^
^
max{x1, x2 ,...xn} 2或 min{x1, x2 ,...xn }。
(六)(10)设随机变量 X 的密度函数为
f
(
x)

2x,

0,
0 x1 其它
现有 100 个与 X 相同的分布、独立的随机变量 X 1 , X 2 ,..., X 100 ,求
P{ X 1
是无偏估计。(4 分)
n
(2)
f
(x)

1 2
,
x 2
0,
其它
n
似然函数 L(x, ) f (xi ) i 1
L(
x,
)

(
1 2
)
n
xi 2,i 1,2,...n
(2 分)
0
其它
因为 L(x, ) 是常数, 所以对任意 都可视为最大值,当然 必须满足
东华大学 2017~ 2018 学年第 一 学期期_末__试题
踏实学习,弘扬正气;诚信做人,诚实考试;作弊可耻,后果自负。
课程名称 概率论与数理统计 A(理工类)(A 卷)使用专业 全校各专业
班号________教师___________姓名________________学号__________
试题 一
( D)
(A)5
(B) 7
(C) 11
(D) 13
2. 设 M 件产品中有 n 件次品,从中任取两件,已知所取的两件中有一件不是次品,则另一
件是次品的概率是( C )。
2n(M n)
n 1
2n
n(2M n 1)
(A)
(B)
(C)
(D)
M (M 1)
2M n 1 M n 1
e 0,
x2
),
0 x 1
fY (y)
0,
其它
(3)不是相互独立的, f (x, y) f X (x) fY ( y)
(五)(12)设 X1, X 2,...X n 是取自总体 X 的一个样本,X 服从区间[ , 2] 上的均匀
解:根据条件
X1 \ X2 0 1 1 x 0 0 yw 1 z0
x

1 4
,
z

1 4
,
y

w

1 2
,
w

1 2
,
y

0
不相互独立, P{X1 1, X 2 1} P( X1 1)P( X 2 1)






八 总分
得分
查表数据: t0.05 (8) 1.860 , t0.05 (9) 1.833 , t0.025 (8) 2.306 , t0.025 (9) 2.262 ,

2 0.05
(9)

16.919


2 0.025
(9)

19.023,
(1.28)

0.9,
(1.645)
<=1/4

5. 设 F1 (x) 、 F2 (x) 分别是随机变量 X1 、 X 2 的分布函数,且 F (x) aF1 (x) F2 (x) 也是
分布函数,求 a = 2

(二)选择题(每题 4 分,共 5 题,全部是单选题)
1. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 X~N (0,9),Y~N (0,1),令 Z X 2Y ,则 D (Z)=
解: H 0 : 0 120, H1 : 0
U X 0 ~ N (0,1) / n
拒绝域:
W {U || U | u / 2} {U || U | 1.96}
计算样本值
U X 0 123 120 4 1.96 / n 3 / 16
(A) n X ~ N (0,1) ;
(B) X ~ N (0,1) ;
n
(C) X i2 ~ 2 (n) ; i 1
(D) X / S ~ t(n 1)
计算题
(三)(12)某仪器装有 3 只独立工作的同型号的电子元件,其寿命 X 参数为λ=1/600 的指
数分布。试求在仪器使用的最初 200 小时内,(1)只有一个元件损坏的概率;(2)至少有一
p{Y
1}
C31 p(1
p)2

1 2
3(1 e 3 )e 3
2
(或 3( e 3
e1 ) )(4 分)
(2) P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 C30 (1 p)3 1 e1 (4 分)
(四)(12).设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
分布,其中 未知,求(1) 的矩估计,它是否是 的无偏估计; (2) 的极大似然
估计。
解:(1) EX X , EX 1 ( 2) 1 2
^
^
所以 1 X , X 1 ,
^
E

E(X
1)

E(X )
1
1
* n * (
1)
1
nDX
100 1
18
(10 2) 1
(七)(8)已知某厂生产的一种元件,其寿命服从均值
0
=120,方差

2 0

9
的正态分布.
现采用一种新工艺生产该种元件,并随机取 16 个元件,测得样本均值 x =123,从生产 情况看,寿命波动无变化.试判断采用新工艺生产的元件平均寿命较以往有无显著变化. ( 0.05 )
个元件损坏的概率。
解:单个元器件在 200 小时内损坏的概率
P{X

200}
F(X )
1 ex
1 200
1 e 600
1
1e 3
(2 分)
1
根据二项分布,3 个元器件在 200 小时内损坏的个数Y ~ B(3, p) (2 分),其中 p 1 e 3
(1)
(A) D( XY ) D( X )D(Y ) (C) X 与Y 相互独立
(B) D( X Y ) D(X ) D(Y ) (D) X 与Y 不相互独立
5. 设 X1, X 2 ,, X n 是总体 X ~ N (0,1) 的样本, X , S 分别为样本的均值和样本标准差,
则有( C )

X 2 ... 100
X 100

1} 3
100
P(
i1
Xi
100 1) 3
100
P( i1
X i n nDX
100 1 n 3)
nDX
100 1 n
100 1
1 ( 3 ) 1 (
3 ) 1 (10 2) (10 2) 1

0.95,
(1.96)

0.975
(一)填充题(每题 4 分,共 5 题)
1.
设随机变量 X
服从区间[-1,3]上的均匀分布,随机变量 Y

0,

1
X 1

X 1
则 EY 1 。 2
2. 设 A,B 为两个随机事件,若 A 发生必然导致 B 发生,且 P (A)=0.6,则 P (AB) =_0.6____,
Axey dxdy

1
x2
Axey dydx
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