第四节 条件概率总结

第四节
一、条件概率 二、乘法公式
条件概率
三、全概率公式与贝叶斯公式

一、条件概率
在许多问题中,我们往往会遇到事件 B 已经出 现的条件下求事件A的概率. 这时由于有了附加条 件, 因此称这种概率为事件B发生的条件下，事件 A的条件概率，记作 P(A|B) 同理P(Ｂ|Ａ)表示：事件Ａ发生的条件下，事件 Ｂ发生的概率

例1 一个家庭中有两个小孩，已知两个小孩其中一个 是女孩，问两个小孩都是女孩的概率是多少？ （假定生男生女是等可能的） 解 由题意，样本空间为
Ω = { (男，男)， (男，女)， (女，男)， (女，女) }
A 表示事件“至少有一个是女孩”， B 表示事件“两个都是女孩”，则有 A＝{ (男，女)， (女，男)， (女，女) } B = { (女，女) } 由于事件A已经发生，所以这时试验的所有可能结果 只有三种，而事件B包含的基本事件只占其中的一 1 种， 所以有 P ( B A) =
3
(1)

在这个例子中，若不知道事件A已经发生的信息，那 么事件B 发生的概率为 这里
1 P( B) = 4 P( B)≠ P( B A)
其原因在于事件 A的发生改变了样本空间，使它由原 来的Ω 缩减为Ω A = A，而 P( B A)是在新的样本空间 Ω A 中由古典概率的计算公式而得到的．

上例中计算 P(B|A)的方法并不普遍适用．如果回 到原来的样本空间Ω 中考虑，显然有
3 P( A) = 4
从而
即
1 P ( AB) = 4 1 1 P ( B A) = = 4 3 3 4 P ( AB) P( B A ) = P ( A)
(2)
关系式（2）不仅对上述特例成立，对一般的古典概 型和几何概型问题，也可以证明它是成立的．

定义1 设A, B是两个事件，且P( A) > 0，称
P ( AB) P( B A ) = P ( A)
(3)
事件A发生的条件下事件B 发生的条件概率 性质： 设A是一事件，且P(A)>0，则 (1) 对任一事件B，0≤P(B|A)≤1; (2) P(Ω| A) =1 ； 1 1 非负性 非负性 2 2 规范性 规范性 3 3 可列可加性 可列可加性
(3) 设B1, B2 ,··· 两两互不相容，则 P[(B1∪B2∪ ···)| A] = P(B1|A)+P(B2|A) + ···

(4) P (φ A) = 0.
(5) P(B1 ∪ B2 A) = P(B1 A) + P(B2 A) − P(B1 B2 A);
(6) P ( B A) = 1 − P ( B A).
条件概率的计算
根据具体的情况，可选用下列两种方法之一来计算 条件概率P(B|A) （1）在缩减后 ΩA 的样本空间中计算； （2）在原来的样本空间Ω 中，直接由定义计算．

条件概率 P(B|A)的样本空间
Ω
A
B
A
B
样本空间Ω
P( AB) P( B A ) = P( A)
缩减的样本空间（即事件A）
P( B | A)

例2 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球， 依次从袋中不放回取两球． （ 1 ）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的 仍是黑球的概率； （ 2 ）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的 也是黑球的概率． 解 记 Ai = { 第 i 次取到黑球 } ( i = 1, 2) （1）可以在缩减的样本空间 ΩA 上计算。 因为A1已发生，即第一次取得的是黑球，第二次取 球时，所有可取的球只有9只．ΩA 中所含的基本事 件数为9，其中黑球只剩下2个．所以
1
2 P ( A2 A1 ) = 9

（2）由于第二次取球发生在第一次取球之后，故 ΩA 的结构并不直观．因此，直接在Ω中用定义计算 P(A1 |A2)更方便些．
2
因为 所以
3 P ( A2 ) = 10
3× 2 1 P( A1 A2 ) = = 10 × 9 15
P( A1 A2 ) 2 P( A1 A2 ) = = P( A2 ) 9

例3人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年龄段的人在下一年仍然存活的概率．根据统计资料可知，某城市的人由出生活到50岁的概率为

0.90718，存活到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人，能够活到51岁的概率是多少？解}50{岁活到=A }51{岁活到=B 记因此B

AB =B A

⊂

显然90135

.0)()(==B P AB P 从而99357.090718.090135.0)()()(≈==A P AB P A B P

可知该城市的人在50岁到51岁之间死亡的概率约为0.00643．在平均意义下，该年龄段中每千个人中间约有6.43人死亡．

例题2一个人口调查结果表明,深色眼睛的父亲和深色儿子占被调查者的5%,深色眼睛的父亲和浅色眼睛的儿子占7.9%,浅色眼睛的父亲和深色眼睛的儿子占8.9%,浅色眼睛的父亲和浅色眼睛的儿子占78.2%.问父子的眼睛深浅色有无联系?

解: 设A:=父亲有深色眼睛,B:=儿子有深色眼睛.由题意知道:P(AB)=5%

P(AB)7.9%,P(AB)8.9%

P(AB)78.2%

===P(A)P(AB)+P(AB)0.129

P(B)P(AB)+P(AB)0.139====P(B|A)=0.39P(A|B)=0.36由此可见,P(B|A),P(A|B)都比P(A),P(B)大得多,故事件A 对事件B 有影响的,

即有关

二、乘法公式

由条件概率的定义得到：

若P (B ) > 0, 则P (AB )=P (B ) P (A |B )若P (A ) > 0, 则P (AB )=P (A ) P (B|A )

P (A 1A 2 ···A n )=P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)···P (A n |A 1A 2···A n-1)

一般地，设A 1, A 2,···,A n 是n 个事件，且P (A 1A 2···A n -1)>0,则：

乘法公式