2018春中考数学《二次函数：切线问题》
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第二部分
攻克题型得高分
题型八 二次函数综合题
类型六 切线问题
典例精析
例如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(4,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,2). (1)求抛物线的解析式； 【思维教练】设y＝a(x＋4)(x－2)， 将C(0，2)代入即可得解； 例题图
(1)∵抛物线过点A(－4，0)，B(2，0)， ∴设抛物线解析式为y＝a(x＋4)(x－2)，把C(0，2) 代入，得2＝a×4×(－2)，即a＝－
，
， 7 m 1 5 解得 或 ，(舍去) 9 n 2 5 9) ∴点Q ( 7 ， 9 )，同理可得点P( 17 ， 5 4 5 5 设直线l1和直线l2的解析式分别为 y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2， 9 4 k1 b1 k 1 -17 5 3 则 5 解得 19 k 1 b 1 5 b1 3
x＋ 2，
例题解图②
1 ∴F(x， x＋2)， 2 S△ADC＝S△ADF＋S△CDF 1 1 ＝ (x －x )(y －y )＋ (x －x )(yD－yF) 2 D A D F 12 C D 1 1 2 1 1 ＝ (xC－xA)(yD－yF)＝ ×4×(- x －2 x＋2－ 2 x－2) 2 4 2 1 1 ＝－ x2－2x＝- (x＋2)2＋2， 2 12 ∵－ ＜0，－4<x<0， 2 ∴当x＝－2时，S△ADC有最大值，最大值为2，此时
1 ∴∴所求抛物线的解析式为y= － （x+4）（x-2） 4 1 2 1 ＝- x - x+2; 4 2
1 4
，
（2）若点D为该抛物线上的一个动点,且在直线AC
上方,当以A、C、D三点为顶点的三角形面积最大
时,求点D的坐标及此时三角形的面积； 【思维教练】求解此题，关键是用D的坐标表示出 △ACD的面积，且由题意知yD>0，将△ACD拆分成同 底，且以A、C点为顶点的两个三角形求解
D(－2，2)；
（3）以AB为直径作⊙M,直线l经过点E(-1,-5),并 且与⊙M相切,求直线l的解析式. 【思维教练】解此题的关键是确定切点坐标，设切点为 F，由题可得圆心点M坐标、半径长，点M与E为平行于 y轴的直线上的两点，有切点，故构造直角三角形是解 题切入点，由于过圆外一点存在两条圆的切线，故此题 有两种情况．
( m 1) 2 ( n 5) 2 4 17 m1 5 9 n 2 5
∴
( m 1) 2 n 2 3
wk.baidu.com
4 k 2 3 , 解得 b 11 k 2 b 2 5 2 3 7 9 - k2 b2 5 5
∴直线l1、l2的解析式分别是
1 1 (2)依题意可设D(x，－ x2－ x＋2)(－4＜x＜0)， 4 2 如解图①，连接AC，过点D作DF⊥x轴交AC于点F，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点A(－4，0)， C(0，2)代入
k1 2 4 k b 0 得 b2 ，解得 b2 ， 1 ∴直线AC的解析式为y＝ 2
11 19 4 4 y1＝－ x－ ，y2＝ x－ . 3 3 3 3 19 4 4 11 ∴直线l1的解析式是y＝－ x－ 或y＝ x－ . 3 3 3 3
如解图②，以AB为直径作⊙M，且由解图易知，存在两条 MQ，∵AB＝6，
∴以AB为直径的⊙M的半径为3，即M(－1，0)，
过点E且与⊙M相切的直线l1，l2，切点分别为P、Q，连接MP，
设切点Q取坐标为(m，n)，且m>0，
∵MQ⊥EQ，ME＝5，MQ＝3，
由勾股定理得EQ ME 2 MQ 2 4
攻克题型得高分
题型八 二次函数综合题
类型六 切线问题
典例精析
例如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(4,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,2). (1)求抛物线的解析式； 【思维教练】设y＝a(x＋4)(x－2)， 将C(0，2)代入即可得解； 例题图
(1)∵抛物线过点A(－4，0)，B(2，0)， ∴设抛物线解析式为y＝a(x＋4)(x－2)，把C(0，2) 代入，得2＝a×4×(－2)，即a＝－
，
， 7 m 1 5 解得 或 ，(舍去) 9 n 2 5 9) ∴点Q ( 7 ， 9 )，同理可得点P( 17 ， 5 4 5 5 设直线l1和直线l2的解析式分别为 y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2， 9 4 k1 b1 k 1 -17 5 3 则 5 解得 19 k 1 b 1 5 b1 3
x＋ 2，
例题解图②
1 ∴F(x， x＋2)， 2 S△ADC＝S△ADF＋S△CDF 1 1 ＝ (x －x )(y －y )＋ (x －x )(yD－yF) 2 D A D F 12 C D 1 1 2 1 1 ＝ (xC－xA)(yD－yF)＝ ×4×(- x －2 x＋2－ 2 x－2) 2 4 2 1 1 ＝－ x2－2x＝- (x＋2)2＋2， 2 12 ∵－ ＜0，－4<x<0， 2 ∴当x＝－2时，S△ADC有最大值，最大值为2，此时
1 ∴∴所求抛物线的解析式为y= － （x+4）（x-2） 4 1 2 1 ＝- x - x+2; 4 2
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，
（2）若点D为该抛物线上的一个动点,且在直线AC
上方,当以A、C、D三点为顶点的三角形面积最大
时,求点D的坐标及此时三角形的面积； 【思维教练】求解此题，关键是用D的坐标表示出 △ACD的面积，且由题意知yD>0，将△ACD拆分成同 底，且以A、C点为顶点的两个三角形求解
D(－2，2)；
（3）以AB为直径作⊙M,直线l经过点E(-1,-5),并 且与⊙M相切,求直线l的解析式. 【思维教练】解此题的关键是确定切点坐标，设切点为 F，由题可得圆心点M坐标、半径长，点M与E为平行于 y轴的直线上的两点，有切点，故构造直角三角形是解 题切入点，由于过圆外一点存在两条圆的切线，故此题 有两种情况．
( m 1) 2 ( n 5) 2 4 17 m1 5 9 n 2 5
∴
( m 1) 2 n 2 3
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4 k 2 3 , 解得 b 11 k 2 b 2 5 2 3 7 9 - k2 b2 5 5
∴直线l1、l2的解析式分别是
1 1 (2)依题意可设D(x，－ x2－ x＋2)(－4＜x＜0)， 4 2 如解图①，连接AC，过点D作DF⊥x轴交AC于点F，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点A(－4，0)， C(0，2)代入
k1 2 4 k b 0 得 b2 ，解得 b2 ， 1 ∴直线AC的解析式为y＝ 2
11 19 4 4 y1＝－ x－ ，y2＝ x－ . 3 3 3 3 19 4 4 11 ∴直线l1的解析式是y＝－ x－ 或y＝ x－ . 3 3 3 3
如解图②，以AB为直径作⊙M，且由解图易知，存在两条 MQ，∵AB＝6，
∴以AB为直径的⊙M的半径为3，即M(－1，0)，
过点E且与⊙M相切的直线l1，l2，切点分别为P、Q，连接MP，
设切点Q取坐标为(m，n)，且m>0，
∵MQ⊥EQ，ME＝5，MQ＝3，
由勾股定理得EQ ME 2 MQ 2 4