北师大高中数学选修1-2 反证法

二、引入思考？
正难则反!
（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在
同一只鸽笼，对吗？
（2）将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少
有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？
假设有某种染法使同色的球数都不超过4个，则 球的总数不超过4+4=8，这与球的总数是9矛盾。
因此，假设不成立， 无论怎样染，至少有5个球是同色的
六.课堂小结
1、基本概念： ①间接证明；②反证法
2、反证法的证明步骤：
⑴否定结论
①与已知条件矛盾；
⑵推出矛盾—— ②与假设矛盾。
⑶肯定结论， ③与已有公理、定理、定义矛盾。
3、常见适用反证法的命题：
（1）直接证明有困难 （2）唯一性命题 （3）否定性命题 （4）至多，至少型命题
我们可以把这种说理方法应用到数学问题上
三、基本概念 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得
命题成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法
一般地，假设原命题不成立（即假设在原命题的条 件下，结论不成立）， 经过正确的推理，最后得出 矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这种证明方法叫做反证法。
∴ ax1 - ax2 = 0 ∴ a（x1 - x2）= 0
∵a ≠ 0
∴x -x
1
2
0,即x1
=
x 2
与x 1

x 矛盾 2
故假设不成立，结论成立。
注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,
是唯一性问题,常用反证法
例3. 已知直线a，b和平面， 如果a ，b ，且a // b， 求证：a //
某两个
五.课堂练习： 1、求证： 2, 3, 5 不可能成等差数列
证明：假设 2, 3, 5 成等差数列,则有 2 3 2 5 , 这显然不成立 所以假设不成立， 2, 3, 5 不可能成等差数列
五.课堂练习：
2、证明：在△ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是 锐角。
证明：假设∠B不是锐角，则∠B≧90°， 又因为∠A＞0°，∠C=90° 所以∠A+∠B+∠C ＞180°， 这与三角形内角和等于180°相矛盾。 所以假设不成立， ∠B一定是锐角。
2.常用的正面叙述词语及其否定：
正面
等于 大于（>） 小于 (<)
是
都是 都不是
词语
不大于 不小于
否定
不等于
（小于或 （大于或 等于)（≤） 等于）（≥）
不是
不都是
至少有 一个是
正面 词语
至多有一 至少有一个 个
任意的
所有的
至多有n个 任意两 个
否定来自百度文库
至少有 一个也 两个 没有
某个
某些
至少有n ＋1个
结论成立。 简单记为：否定结论——推出矛盾——肯定结论，
（其中推出矛盾是反证法证明的关键。）
反证法是制造矛盾的专家。
四、例题选讲
例1.求证：在一个三角形中，至少有一个内角不小于60°
分析：从条件出发很难入手去证，可以考虑从反面入手
证明：假设三角形有三个内角∠A 、∠B 、∠C都小于60°
则有∠A+∠B+∠C ＜180°， 这与三角形内角和等于180°相矛盾。 所以假设不成立， 所以原结论成立，即在个三角形中，至少有一个内角不小于 60°

a

b
p
小结：
1、哪些命题适宜用反证法加以证明？
（1）直接证明有困难的一些命题（如有些基本定理的 证明如平行线的传递性的证明）
（2）关于唯一性结论的命题 （即结论中有有且只有，有且仅有等关键字眼）
（3）以否定性判断作为结论的命题 （4）以至多，至少，不多于等形式陈述的命题
（5）一些不等量命题的证明 即正难则反!
高二三数.智学慧北师办大公版系选统修的1-改2 进
反证法
一、复习回顾 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 结论 由因导果 分析法 结论 已知条件 执果索因 3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
注：结论中含“至多、至少”形式出现；直接证明难以下
手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考。
四、例题选讲
例2.已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。
证：由于a ≠0，因此方程至少有一个根x=b/a，
```如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 ≠x2 )是
方程则的a两x1个= 根b，. ax2 = b ∴ ax1 = ax2
反证法的思维方法：正难则反
反证法的证明步骤：
①假设——假设命题的结论不成立，即假设命题结论的否定成立； ②找矛盾——从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，推出矛
盾（与已知矛盾，与已知定义，公理，定理事实等矛 盾，与出现的临时假设矛盾，在证明过程中出现自相矛 盾等等），从而否定假设； ③下结论——由矛盾结果，断定假设不成立，从而肯定原命题的