高二数学下学期期末复习学案(3)--空间角
高三年级数学复习知识空间角的求法(教案)
PCDBA 空间角,能比较集中反映空间想象能力的要求,历来为高考命题者垂青,几乎年年必考。
空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化:即把空间角转化为平面角,把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是:一找、二证、三计算。
异面直线所成的角的范围:090θ<≤ (一)平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形,//AD BC ,90ABC ∠=,PA ⊥平面AC ,且2BC =,1PA AD AB ===,求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。
【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ,连结PE,则PC 与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。
CE BD==PE=∴由余弦定理得 222c o s 2PC CE PE PCE PC CE +-∠==⋅∴PC 与BD 所成角的余弦值为63 (二)补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8,侧棱长为6,D 为AC 中点。
求异面直线1AB与1BC 所成角的余弦值。
【答案】125A 1C 1C BAB 1 D直线与平面所成角的范围:090θ≤≤ 方法:射影转化法(关键是作垂线,找射影)【例2】如图,在三棱锥P ABC -中,90APB ∠=,60PAB ∠=,AB BC CA ==,点P 在平面ABC内的射影O 在AB 上,求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小。
【解】连接OC ,由已知,OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成角设AB 的中点为D ,连接,PD CD 。
AB BC CA ==,所以CD AB ⊥90,60APB PAB ∠=∠=,所以PAD ∆为等边三角形。
不妨设2PA =,则1,4OD OPAB ===CD OC ∴===在Rt OCP∆中,tan 13OP OCP OC ∠===【变式练习1】如图,四棱锥S ABCD -中,//AB CD ,BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形。
高考复习专题--数学空间角教案
2014年高考数学第二轮复习专题立体几何---空间角【考点审视】立体几何高考命题及考查重点、难点稳定:高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定、线面间的角与距离的计算作为考查的重点,尤其是以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,更是年年反复进行考查,在难度上也始终以中等偏难为主。
空间的角,是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念,空间角高考中每年必考,复习时必须高度重视。
对于空间角的计算,总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角,并把它置于一个平面图形,而且是一个三角形的内角来解决,而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的,因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用.考试要求考点1:掌握空间两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角、二面角的平面角等概念;考点2:能熟练地在图形中找出相关的角并证明;考点3:能用向量方法和非向量方法进行计算;考点4:通过空间角的计算和应用进一步考察运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力.【高考链接】1.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系,空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等.解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决.2. 三种空间角,即异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面所成二面角。
它们的求法一般化归为求两条相交直线的夹角,通常“线线角抓平移,线面角找射影,面面角作平面角”而达到化归目的,有时二面角大小出通过cos θ=原射S S 来求。
3. 由于近年考题常立足于棱柱、棱锥和正方体,因此复习时应注意多面体的依托作用,熟练多面体性质的应用,才能发现隐蔽条件,利用隐含条件,达到快速准确解题的目的。
【复习回顾】(一)空间角三种角的定义异面直线所成的角(1)定义:,a b 是两条异面直线,经过空间任意一点o ,分别引直线//'a a ,//'b b ,则'a 和'b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 和b 所成的角.(2)取值范围:090θ≤≤. (3)求解方法①根据定义,通过平移,找到异面直线所成的角θ; ②解含有θ的三角形,求出角θ的大小. 直线和平面所成的角(1)定义 和平面所成的角有三种:斜线和平面所成的角 这条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.垂线与平面所成的角 直线垂直于平面,则它们所成的角是直角. 一条直线和平面平行,或在平面内,则它们所成的角是0°的角. (2)取值范围090θ≤≤° (3)求解方法①作出斜线在平面上的射影,找到斜线与平面所成的角θ. ②解含θ的三角形,求出其大小. ③最小角定理斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角,亦可说,斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角二面角及二面角的平面角 (1)半平面 (2)二面角.(3)二面角的平面角 二面角的大小用它的平面角来度量,通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°<θ≤180°②二面角的平面角具有下列性质:二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面。
空间角的求法教案
空间角的求法教案一、教学目标1. 让学生掌握空间角的概念,理解空间角的求法。
2. 培养学生运用空间角解决实际问题的能力。
3. 提高学生对空间几何的兴趣和认识。
二、教学内容1. 空间角的概念2. 空间角的求法3. 空间角的运用三、教学重点与难点1. 教学重点:空间角的概念,空间角的求法。
2. 教学难点:空间角的求法在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法,引导学生主动探究空间角的求法。
2. 利用多媒体课件,直观展示空间角的求法过程。
3. 开展小组讨论,培养学生的合作意识。
五、教学过程1. 导入:通过生活中的实例,引导学生了解空间角的概念。
2. 新课讲解:讲解空间角的定义,演示空间角的求法过程。
3. 案例分析:分析实际问题,运用空间角解决问题。
4. 小组讨论:学生分组讨论,分享各自的解题心得。
5. 总结与拓展:总结空间角的求法,提出拓展问题,激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业:布置相关练习题,巩固所学知识。
教案内容请根据实际教学情况进行调整和补充。
六、教学评估1. 课堂问答:通过提问学生,了解他们对空间角概念和求法的掌握情况。
2. 练习题:布置课堂练习题,评估学生对空间角求法的运用能力。
3. 小组讨论:观察学生在小组讨论中的表现,了解他们的合作能力和解决问题的能力。
七、教学反思1. 教师总结:反思教学过程中的优点和不足,为下一步教学做好准备。
2. 学生反馈:听取学生的意见和建议,改进教学方法。
3. 教学调整:根据教学反思,调整教学计划和内容。
八、课后作业1. 巩固空间角的概念和求法,完成相关练习题。
2. 思考空间角在实际问题中的应用,尝试解决相关问题。
3. 预习下一节课内容,为课堂学习做好准备。
九、拓展与延伸1. 研究空间角的其他求法,如利用向量、坐标等方法。
2. 探索空间角在立体几何中的应用,如对立体图形的分类、性质等方面进行研究。
3. 关注空间角在现实生活中的应用,举例说明空间角在工程、设计等领域的作用。
空间角专题复习教案
空间角专题复习教案一、教学目标1. 复习并巩固空间角的概念、性质和分类;2. 提高学生对空间角的计算和应用能力;3. 培养学生的空间想象能力和思维能力。
二、教学内容1. 空间角的概念和分类;2. 空间角的计算方法;3. 空间角的应用实例。
三、教学重点与难点1. 空间角的概念和分类;2. 空间角的计算方法;3. 空间角的应用实例。
四、教学方法1. 采用问题驱动法,引导学生主动探究空间角的性质和计算方法;2. 通过实例分析,让学生掌握空间角的应用方法;3. 利用多媒体辅助教学,提高学生的空间想象能力。
五、教学过程1. 复习空间角的概念和分类,引导学生回顾已学知识;2. 讲解空间角的计算方法,让学生通过例题掌握计算技巧;3. 分析空间角的应用实例,培养学生解决实际问题的能力;4. 课堂练习,巩固所学知识;5. 总结本节课的主要内容和知识点,布置课后作业。
【课堂导入】教师通过提问方式引导学生回顾空间角的概念和分类,激发学生的学习兴趣。
【知识复习】1. 空间角的概念:空间角是由两条相交直线或射线在空间中所形成的角。
2. 空间角的分类:(1)锐角:小于90度的空间角;(2)直角:等于90度的空间角;(3)钝角:大于90度小于180度的空间角;(4)平角:等于180度的空间角;(5)周角:等于360度的空间角。
【计算方法讲解】1. 空间角的计算方法:(1)利用空间向量计算空间角;(2)利用三角函数计算空间角;(3)利用空间几何图形计算空间角。
2. 举例讲解:例1:已知空间向量$\vec{a}$ 和$\vec{b}$,求向量$\vec{a}$ 与向量$\vec{b}$ 所成的空间角。
【应用实例分析】1. 利用空间角解决实际问题:例2:在一间长方体教室中,有一束光线从窗户射入,求光线与教室地面的夹角。
2. 利用空间角解决几何问题:例3:已知三角形ABC 的三个内角分别为$A=60^\circ$,$B=45^\circ$,$C=75^\circ$,求三角形ABC 的外接圆半径。
高三立体几何重点专题复习教案(空间角)
分析:要求二面角的正弦值,首先要找到二面角的平面角
解:过 作 于 ,过 作 交 于 ,连结 ,
则 垂直于平面 , 为二面角 的平面角,
∴ ,
又 平面 ,∴ , ,ຫໍສະໝຸດ ∴ 平面 ,∴ , ,又∵ , ,
∴ 平面 ,∴ ,
设 ,则 ,
在 中, ,∴ ,
同理, 中, , ∴ ,
(2)A、D的连线和直线BC所成的角;
(3)二面角A—BD—C的正切值;
10答案.(1) (2) (3)-2
∴AC与PB所成的余弦值
(3)解:作AN⊥CM,垂足为N,连结BN,在Rt△PAB中,AM=MB,又AC=CB,∴△AMC≌△BMC.∴BN⊥CM,故∠ANB为所求二面角的平面角。∵CB⊥AC,由三垂线定理,得CB⊥PC,
在Rt△PCB中,CM=MB,所以CM=AM.在等腰三角形AMC中, ∴ ∵AB=2,∴
故所求的二面角余弦值为说明:本题也可通过建立坐标系采用向量方法求解.
7.如图所示,正三角形ABC的边长为3,过其中心G作BC边的平行线,分别交AB\AC于B1,C1,将△AB1C1折起到△A1B1C1的位置.使点A1在平面BB1C1C上的射影恰是线段BC的中点M,求(1)二面角A1—B1C1—M的大小。(2)异面直线A1B1与CC1所成角的余弦值大小。
2、直线与平面所成角的定义?直线与平面所成角的范围是什么?怎样求直线与平面所成的角?
3、二面角的定义?怎样定义二面角的平面角?二面角的平面角的范围?怎样确定二面角的平面角?
二、基本技能训练讲评:
在一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是( )
(A)相等(B)互补
学案38 空间角(理)
空 间 角(理科)一、 学习目标:1、知识与技能:掌握异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角及平面角的的概念和作图方法,并能熟练求角。
2、过程与方法:通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习。
3、情感、态度、价值观:培养学生辩证唯物观,体会事物在一定条件能力下可以相互转化。
二、知识梳理:1、空间角包括 、 、 。
2、两条异面直线所成的角作(1)定义 ; (2)范围:____________________________________; 3、直线和平面所成的角(1)定义:直线和平面所成的角,分三种情况:①直线与平面斜交时,直线和平面所成的角是指 ; ②直线与平面垂直时,直线和平面所成的角的大小为 ;③直线与平面平行或在平面内时,直线和平面所成的角的大小为 ; 故直线和平面所成的角的范围为 ;(2)最小角定理:斜线与平面所成的角,是这条斜线与这个平面内任一直线所成的角中最小的角。
4、二面角(1)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。
(2)二面角的范围:[]180,0 (3)二面角的平面角的定义: (4)二面角的平面角的作法: ①定义法 ②三垂线定理法 ③垂面法 三、基础训练:1、在二面角βα--l 的一个平面α内有一条直线AB ,它与棱的夹角为︒45,AB 与平β所成的角为︒30,则二面角的大小为 ;2、线段AB 的两端分别在直二面角α-CD -β的两个面α、β内,且与这两个面都成30°角,则直线AB 与CD 所成的角等于________.3、在正三棱锥S —ABC 中,D 为AB 的中点,且SD 与BC 所成的角为 45,则SD 与底面所成的角的正弦值为( ) A 、22 B 、31C 、33D 、36四、例题分析例1.(2009全国卷Ⅱ)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB ⊥AC,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点,DE ⊥平面BCC 1 (Ⅰ)证明:AB=AC (Ⅱ)设二面角A-BD-C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小例2.(2009江西卷)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,4PA AD ==,2AB =.以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M .(1)求证:平面ABM ⊥平面PCD ;(2)求直线PC 与平面ABM 所成的角; (3)求点O 到平面ABM 的距离.DE1C 1A 1B CAB五、课堂检测:1、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,B 1C 与BC 1交于点O ,则 (1)AO 与A 1C 1所成的角为 ;(2)AO 与平面AC 所成的角的正切值为 ; (3)平面AOB 与平面AOC 所成的角为 . 六、体验高考1、(2010江西理数)10.过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线L ,使L 与棱AB ,AD ,1AA 所成的角都相等,这样的直线L 可以作 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条2、(2010全国卷1文数)(9)正方体ABCD -1111A B C D 中,1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为 (A )23 (B )33 (C )23(D )63 七、课后作业1、 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,1AA =2AB ,E 为1AA 重点,则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为(A )1010 (B) 15 (C) 31010 (D) 352、已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点,则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为( D )(A )34 (B )54 (C )74 (D) 343、已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,E为1AA 中点,则异面直线BE与1CD 所成的角的余弦值为A. 1010 B. 15C. 31010D. 354、(2009四川卷文),已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等,M 是侧棱1CC 的中点,则异面直线1AB BM和所成的角的大小是 。
高中数学空间角度问题教案
高中数学空间角度问题教案
学科:数学
年级:高中
课时安排:2课时
教学目标:
1. 理解空间角度的概念,能够准确描述和度量空间角度;
2. 能够运用空间角度的知识解决相关问题;
3. 培养学生的空间想象力和逻辑推理能力。
教学步骤:
第一课时:
1. 导入:通过展示一些真实生活中的空间角度问题,引导学生思考空间角度的概念及其重要性。
2. 讲解:介绍空间角度的定义和性质,分别讲解平面角度和空间角度的区别;
3. 案例分析:给出一些实际问题,让学生尝试计算空间角度,并讨论解决方法;
4. 练习:让学生在小组内进行练习,互相讨论并解答问题;
5. 总结:总结本节课所学内容,强调空间角度的重要性及运用。
第二课时:
1. 复习:通过解答一些简单空间角度问题,复习上节课的内容;
2. 练习:给出一些复杂的空间角度问题,让学生自主解答,并制定解题思路;
3. 探究:引导学生思考空间角度问题的不同解法和解题技巧;
4. 实践:让学生在实际情景中应用空间角度知识,解决一些具体问题;
5. 总结:总结本节课的内容,检查学生对空间角度问题的理解和掌握情况。
教学反思:
本节课以空间角度为主题,通过讲解和案例分析,引导学生掌握空间角度的计算方法和应用技巧,帮助他们在实际问题中运用空间角度知识进行思考和解决。
通过本节课的学习,
学生不仅提高了空间角度问题的解决能力,还培养了他们的空间想象力和逻辑推理能力。
希望学生能够在实际生活中运用所学知识,不断提升自己的数学素养。
2017-2018版高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3空间的角的计算学案版2-1
3.2。
3 空间的角的计算[学习目标] 1。
理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题。
3。
掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤.知识点一 两条异面直线所成的角(1)定义:设a 、b 是两条异面直线,经过空间任意一点O ,作直线a ′∥a ,b ′∥b ,则a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做a 与b 所成的角.(2)范围:两条异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤π2.(3)向量求法:设直线a ,b 的方向向量分别为a ,b ,其夹角为φ,则a ,b 所成角的余弦值为cos θ=|cos φ|=错误!.知识点二 直线与平面所成的角(1)定义:直线和平面所成的角,是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.(2)范围:直线和平面所成角θ的取值范围是0≤θ≤错误!.(3)向量求法:设直线l 的方向向量为a ,平面的法向量为u ,直线与平面所成的角为θ,a 与u 的夹角为φ,则有sin θ=|cos φ|=错误!或cos θ=sin φ。
知识点三 二面角(1)二面角的取值范围:[0,π].(2)二面角的向量求法:①若AB,CD分别是二面角α—l-β的两个面内与棱l 垂直的异面直线(垂足分别为A,C),如图,则二面角的大小就是向量错误!与错误!的夹角.②设n1、n2是二面角α-l—β的两个面α,β的法向量,则向量n1与向量n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.题型一两条异面直线所成角的向量求法例1如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点.求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值.解以A为坐标原点,分别以AB,AC,AA1为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),所以错误!=(2,0,-4),错误!=(1,-1,-4).因为cos〈错误!,错误!>=错误!=错误!=错误!,所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为错误!。
空间中的角复习课
授课内容:空间的角授课教师:孟向波课件制作:孟向波E-mail:sxmxbo@高三数学复习课复习内容:空间中的角复习要求:理解空间三种角的概念并掌握其求法空间的角的概念及其计算,是立体几何的基本内容,也是其重点和难点。
求空间角的一般步骤是:空间中的角有:异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角。
1、异面直线所成的角根据异面直线所成角的定义,求异面直线所成角,就是要将其变换成相交直线所成有角。
其一般方法有:(1)平移法:即根据定义,以“运动”的观点,用“平移转化”的方法,使之成为相交直线所成的角。
(1)找出或作出有关的图形;(2)证明它符合定义;(3)计算。
[即:要求先证,要证先作。
]具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线,构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形,再求之。
B 例1:长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,AB =AA 1=2 cm ,AD =1cm ,求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。
如图,连B 1D 1与A 1C 1 交于O 1,O 1M ,512221=+=M A ,23212212122211=++==BD M O ,2512212211=+=O A 由余弦定理得,55cos 11-=∠M O A ∴A 1C 1与BD 1所成的角为.55arccos 取B B 1的中点M ,连O 1M ,则O 1M //D 1B ,于是∠A 1O 1M 就是异面直线A 1C 1与BD 1所成的角(或其补角),连A 1M ,在∆A 1O 1M 中(2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体等,其目的在于易于发现两条异面直线的关系。
D B 1A 1D 1C 1A C 解法一(平移法):3,52,51111===E C E A C A 在∆A 1C 1E 中,由余弦定理得55cos 11-=∠E C A ∴A 1C 1与BD 1所成的角为说明:异面直线所成角的范围是(0º,90º],在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角,常用余弦定理求其大小,当余弦值为负值时,其对应角为钝角,这不符合两条异面直线所成角的定义,故其补角为所求的角,这一点要注意。
高二数学最新教案-空间的角 精品
课题:空间的角学习目标:1、进一步深刻理解“三角”(异面直线所成角、线面成角、二面角)的概念及其所体现的数学思想方法。
2、熟练掌握求“三角”的基本方法,能够利用向量的方法解决求角的问题。
在比较联系中体会各种方法的特点、优势,提高解决问题的能力。
3、重点掌握求二面角的方法和解题的思维原则。
问题情境:如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,E为D1D的中点。
(结果用反三角函数表示)(1)求异面直线A1C与EA所成角的大小;(2)求直线A1C与平面AEC所成角的大小;(3)求二面角A1—AC—E的大小。
导学引思:预习《优化设计》9.12节思考:1、求异面直线所成角的方法及原则2、求线面成角的方法和关键点3、求二面角的方法以及各种方法的特点4、体会几何法与向量法各自的特点,以及在解题中如何选择知识网络:异面直线所成角空间的角线面成角二面角典例剖析:如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,E为D1D的中点。
(结果用反三角函数表示)(1)求异面直线A1C与EA所成角的大小;(2)求直线A1C与平面AEC所成角的大小;(3)求二面角A1—AC—E的大小。
解法一(几何法):1515arccos 15152,4212541,25211,,2321,4521,25211,//,//,,,,1122222221122111所成的角为与中在中在连结中点取中在中在所成的角与所成的角就是与则。
、、连结中点取交于、连结中点取)连结(EC C A FO GO GF FO GO GOF COS GOF GF GHF HF HF H GA C A GO AC A AE FO EA EAD EC C A FO GO CA GO EA FO FO GF GO G AA O BD AC F EC EC ∴-=⋅-+=∠∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛+======⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴∆∆∆∆评注:求异面直线所成角的一般方法:平移(注意归面平移),其中平移有等量平移和伸缩平移32arcsin 32sin 23,66,','//,//,,,,2111所成的角为与平面中在所成的角与平面就是面面面面又面又连结于作过连结中点)取(AEC C A IC IJ ICJ IC EO IO EI IJ EIO AEC C A ICJ ACEIJ EO IJ ACE EIO ACE AC EIO AC I EI IO IO AC AC DD DD IO EIAC BD AC BD EI JC J EO IJ I IO EI I C A ∴==∠∴==⋅=∠∴⊥∴⊥⊥∴⊂⊥∴=⋂⊥∴⊥⊥∴⊥⊥∆评注:求线面成角的关键是寻找线在面内的射影,即寻找线上任意点(常找线段端点、中点)到面的垂线——一垂定音AA2arctan 2tan 21,22,//31111为二面角的平面角就是二面角)(E AC A IOEI EOI IO EI E AC A EOI ACIO AC A A A A IO ACEO EC EA --∴==∠∴==--∠∴⊥∴⊥⊥∴= 解法二(向量法):以点D 为原点建立空间直角坐标系D —xyz ,如图,则A (1,0,0),C(0,1,0),E(0,0,21),A 1(1,0,1)(1)分析:要求异面直线A 1C 与EA 的夹角,可求C A 1与EA 的夹角θ,再根据异面直线夹角的取值范围,确定取θ或θπ-。
高中数学空间角教案
高中数学空间角教案一、教学目标1. 知识与技能:学生能够理解空间角的概念,掌握空间角的度量方法和性质;能够应用空间角的知识解决相关问题。
2. 过程与方法:能够通过观察、分析和实践,学习空间角;注重在实际问题中的运用。
3. 情感态度与价值观:培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力;培养学生对数学的兴趣和爱好。
二、教学重点和难点重点:理解空间角的概念;掌握空间角的度量方法和性质。
难点:能够灵活运用空间角的知识解决相关问题。
三、教学内容及任务1. 知识讲解:(1)空间角的概念:介绍空间角的定义,包括角的位置、角的大小和角的平分线等概念。
(2)空间角的度量方法:讲解空间角的度量方法,包括用角度、弧度和正弦定理等方法。
(3)空间角的性质:介绍空间角的性质,包括相等角、补角、余角等性质。
2. 练习与训练:通过实例训练,巩固知识点。
3. 拓展延伸:提供一些拓展练习,拓展学生的思维,培养学生的解决问题的能力。
四、教学方法1. 理论讲解:老师通过讲解、示范和讨论,引导学生理解概念和方法。
2. 示范演示:老师通过举例、演示,展示解题方法和技巧。
3. 练习训练:鼓励学生通过练习巩固所学知识,培养解决问题的能力。
4. 案例分析:通过案例分析,让学生了解实际问题如何应用空间角的知识解决。
五、教学评价1. 经常性的课堂互动和小组合作,检查和引导学生的学习情况。
2. 每节课结束时进行课堂练习和讨论,检查学生对知识的掌握情况。
3. 定期组织测试和考试,检测学生对整个章节知识的掌握情况。
以上为高中数学空间角教案范本,可根据实际情况进行具体的实施和调整。
空间角专题复习教案
空间角专题复习教案一、教学目标1. 知识与技能:(1)理解空间角的定义及性质;(2)掌握空间角的计算方法;(3)能够运用空间角解决实际问题。
2. 过程与方法:(1)通过观察模型,培养学生的空间想象能力;(2)运用练习题,提高学生解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观:激发学生对空间角的兴趣,培养学生的探索精神。
二、教学内容1. 空间角的定义及性质(1)空间角的定义;(2)空间角的性质。
2. 空间角的计算方法(1)利用空间向量计算空间角;(2)利用三角函数计算空间角。
三、教学重点与难点1. 教学重点:(1)空间角的定义及性质;(2)空间角的计算方法。
2. 教学难点:(1)空间角的性质的应用;(2)空间角的计算方法的灵活运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法,引导学生主动探究空间角的性质和计算方法;2. 利用模型演示,培养学生的空间想象能力;3. 运用练习题,巩固所学知识,提高解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入:通过展示空间模型,引导学生回顾空间几何的基本概念,激发学生的学习兴趣。
2. 知识讲解:(1)讲解空间角的定义及性质;(2)讲解空间角的计算方法。
3. 课堂练习:布置练习题,让学生运用所学知识解决问题,巩固知识。
4. 总结与拓展:总结本节课的主要内容,提出拓展问题,激发学生的探索精神。
5. 课后作业:布置适量作业,让学生进一步巩固空间角的知识。
六、教学评价1. 课堂表现评价:观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况,了解学生的学习状态。
2. 练习题评价:通过学生完成的练习题,评估学生对空间角知识的理解和运用能力。
3. 课后作业评价:通过学生提交的课后作业,检查学生对课堂所学知识的巩固情况。
七、教学资源1. 空间模型:用于展示空间角,帮助学生直观理解;2. 练习题:提供多种难度的练习题,满足不同学生的学习需求;3. 教学课件:展示教学内容,方便学生复习。
八、教学进度安排1. 第一课时:介绍空间角的定义及性质;2. 第二课时:讲解空间角的计算方法;3. 第三课时:进行课堂练习,巩固知识;4. 第四课时:总结与拓展,布置课后作业。
(浙江专用)高考数学二轮复习专题二立体几何第3讲空间角学案
第3讲 空间角[考情考向分析] 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点,热点为异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的求解,向量法作为传统几何法的补充,为考生答题提供新的工具.热点一 异面直线所成的角(1)几何法:按定义作出异面直线所成的角(即找平行线),解三角形.(2)向量法:设直线l ,m 的方向向量分别为a =(a 1,b 1,c 1),b =(a 2,b 2,c 2).设l ,m 的夹角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2,则cos θ=|a ·b ||a ||b |=|a 1a 2+b 1b 2+c 1c 2|a 21+b 21+c 21 a 22+b 22+c 22. 例1 (1)(2018·全国Ⅱ)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =BC =1,AA 1=3,则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A.15 B.56 C.55 D.22 答案 C解析 方法一 如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的一侧补上一个相同的长方体A ′B ′BA -A 1′B 1′B 1A 1.连接B 1B ′,由长方体性质可知,B 1B ′∥AD 1,所以∠DB 1B ′为异面直线AD 1与DB 1所成的角或其补角.连接DB ′,由题意,得DB ′=12+(1+1)2=5,B ′B 1=12+(3)2=2,DB 1=12+12+(3)2= 5.在△DB ′B 1中,由余弦定理,得DB ′2=B ′B 21+DB 21-2B ′B 1·DB 1·cos∠DB 1B ′,即5=4+5-2×25cos∠DB 1B ′,∴cos∠DB 1B ′=55. 故选C.方法二 如图,以点D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系D -xyz .由题意,得A (1,0,0),D (0,0,0),D 1(0,0,3),B 1(1,1,3),∴AD 1→=(-1,0,3),DB 1→=(1,1,3),∴AD 1→·DB 1→=-1×1+0×1+(3)2=2, |AD 1→|=2,|DB 1→|=5, ∴cos〈AD 1→,DB 1→〉=AD 1→·DB 1→|AD 1→|·|DB 1→|=225=55.故选C.(2)(2018·浙江省杭州二中月考)已知异面直线a ,b 所成的角为50°,过空间一定点P 最多可作n 条直线与直线a ,b 均成θ角,则下列判断不正确的是( ) A .当θ=65°时,n =3 B .当n =1时,θ只能为25° C .当θ=30°时,n =2 D .当θ=75°时,n =4答案 B解析 将空间直线平移,异面直线的夹角不变,则可将异面直线a ,b 平移到同一平面α内,使得点P 为平移后的直线a ′,b ′的交点,则当0°≤θ<25°时,n =0;当θ=25°时,n =1,此时该直线为直线a ′,b ′所成锐角的角平分线所在的直线;当25°<θ<65°时,n=2,此时这两条直线在平面α内的投影为直线a ′,b ′所成锐角的角平分线所在的直线;当θ=65°时,n =3,此时其中两条直线在平面α内的投影为直线a ′,b ′所成锐角的角平分线所在的直线,另一条直线为直线a ′,b ′所成钝角的角平分线所在的直线;当65°<θ<90°时,n =4,此时其中两条直线在平面α内的投影为直线a ′,b ′所成锐角的角平分线所在的直线,另外两条直线在平面α内的投影为直线a ′,b ′所成钝角的角平分线所在的直线;当θ=90°时,n =1,此时直线为过点P 且与平面α垂直的直线.综上所述,B 选项的说法错误,故选B.思维升华 (1)运用几何法求异面直线所成的角一般是按找—证—求的步骤进行. (2) 两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β,即cos α=|cos β|. 跟踪演练1 (2018·浙江省衢州二中模拟)如图,已知等腰三角形ABC 中,AB =AC ,O 为BC 的中点,动点P 在线段OB 上(不含端点),记∠APC =θ,现将△APC 沿AP 折起至△APC ′,记异面直线BC ′与AP 所成的角为α,则下列结论一定成立的是( )A .θ>αB .θ<αC .θ+α>π2D .θ+α<π2答案 A解析 设PC →=λBC →,则cos θ=|PA →·PC →||PA →||PC →|=|PA →·λBC →||PA →||λBC →|=|PA →·BC →||PA →||BC →|=|PA →·(BP →+PC →)||PA →|·(|BP →|+|PC →|), 因为cos α=|PA →·BC ′→||PA →||BC ′→|=|PA →·(BP →+PC ′→)||PA →||BC ′→|,且PA →·PC →=PA →·PC ′→,|BP →|+|PC →|=|BP →|+|PC ′→|>|BC ′→|, 所以cos θ<cos α,又θ,α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,所以θ>α,故选A.热点二 直线与平面所成的角(1)几何法:按定义作出直线与平面所成的角(即找到斜线在平面内的投影),解三角形. (2)向量法:设直线l 的方向向量为a =(a 1,b 1,c 1),平面α的法向量为μ=(a 2,b 2,c 2),设直线l 与平面α的夹角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2,则sin θ=|a ·μ||a ||μ|=|cos 〈a ,μ〉|. 例2 (2018·浙江省名校协作体联考)在如图所示的几何体中,平面DAE ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为等腰梯形,四边形DCFE 为菱形.已知AB ∥CD ,∠ABC =60°,CD =12AB =1.(1)线段AC 上是否存在一点N ,使得AE ∥平面FDN ?证明你的结论;(2)若线段FC 在平面ABCD 上的投影长度为12,求直线AC 与平面ADF 所成角的正弦值.解 (1)在线段AC 上存在点N ,使得AE ∥平面FDN ,且N 是AC 的中点.如图,取AC 的中点N ,连接NF ,DN ,连接EC 交DF 于点O ,连接ON . ∵四边形CDEF 为菱形, ∴O 为EC 的中点.在△ACE 中,由中位线定理可得ON ∥AE .∵ON ⊂平面FDN ,AE ⊄平面FDN ,∴AE ∥平面FDN ,∴在线段AC 上存在点N ,使得AE ∥平面FDN ,且N 是AC 的中点. (2)方法一 ∵DE ∥CF ,∴DE 在平面ABCD 上的投影长度为12,过点E 作EO ⊥AD 于点O ,∵平面DAE ⊥平面ABCD ,且平面DAE ∩平面ABCD =AD ,EO ⊂平面DAE , ∴EO ⊥平面ABCD ,则OD =12,∵在等腰梯形ABCD 中,由已知易得AD =BC =1, ∴点O 为线段AD 的中点. 设点C 到平面FDA 的距离为h , ∵V C -FDA =V F -ADC , ∴h ·S △FDA =EO ·S △ADC ,易知S △ADC =34,EO =32, 取AB 的中点M ,连接CM ,取CM 的中点P ,连接AP ,DP ,FP ,OP .∵O ,P 分别为AD ,MC 的中点,AM ∥DC ∥EF ,且AM =DC =EF ,∴OP ∥EF 且OP =EF , ∴四边形OPFE 为平行四边形,∴OE ∥FP ,OE =FP , ∴FP ⊥平面ABCD . 易求得AP =72,DP =FP =32, ∴AF =102,DF =62, ∴DF 2+AD 2=AF 2,∴△ADF 为直角三角形,∴S △FDA =64.∴h =EO ·S △ADCS △FDA=32×3464=64. 设直线AC 与平面FDA 所成的角为θ, 在△ADC 中,易得AC =3,则sin θ=h AC =24. 方法二 ∵DE ∥CF ,∴DE 在平面ABCD 上的投影长度为12,过点E 作EO ⊥AD 于点O ,∵平面DAE ⊥平面ABCD ,且平面DAE ∩平面ABCD =AD ,EO ⊂平面DAE . ∴EO ⊥平面ABCD ,则OD =12,∵在等腰梯形ABCD 中,由已知易得AD =BC =1. ∴点O 为线段AD 的中点.以O 为原点,OE 所在直线为z 轴,过O 且平行于DC 的直线为y 轴,过O 且垂直于yOz 平面的直线为x 轴建立空间直角坐标系,易得x 轴在平面ABCD 内.可得A ⎝⎛⎭⎪⎫34,-14,0,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫-34,54,0,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫-34,14,0,E ⎝⎛⎭⎪⎫0,0,32,∴AC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,32,0,DA →=⎝ ⎛⎭⎪⎫32,-12,0,DF →=DE →+EF →=DE →+DC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫34,-14,32+(0,1,0)=⎝ ⎛⎭⎪⎫34,34,32.设平面ADF 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA →=0,n ·DF →=0,得⎩⎪⎨⎪⎧32x -12y =0,34x +34y +32z =0.令x =1,得平面ADF 的一个法向量为n =(1,3,-2).若直线AC 与平面ADF 所成的角为θ, 则sin θ=|cos 〈n ,AC →〉|=322×3=24. 思维升华 (1)运用几何法求直线与平面所成的角一般是按找——证——求的步骤进行. (2)直线和平面所成角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值,注意所求角和两向量夹角间的关系.跟踪演练2 (2018·杭州质检)如图,在等腰三角形ABC 中,AB =AC ,∠A =120°,M 为线段BC 的中点,D 为线段BC 上一点,且BD =BA ,沿直线AD 将△ADC 翻折至△ADC ′,使AC ′⊥BD .(1)证明:平面AMC ′⊥平面ABD ;(2)求直线C ′D 与平面ABD 所成的角的正弦值. (1)证明 因为△ABC 为等腰三角形,M 为BC 的中点, 所以AM ⊥BD ,又因为AC ′⊥BD ,AM ∩AC ′=A ,AM ,AC ′⊂平面AMC ′, 所以BD ⊥平面AMC ′,因为BD ⊂平面ABD ,所以平面AMC ′⊥平面ABD .(2)解 在平面AC ′M 中,过C ′作C ′F ⊥AM 交直线AM 于点F ,连接FD . 由(1)知,平面AMC ′⊥平面ABD ,又平面AMC ′∩平面ABD =AM ,C ′F ⊂平面AMC ,所以C ′F ⊥平面ABD . 所以∠C ′DF 为直线C ′D 与平面ABD 所成的角. 设AM =1,则AB =AC =AC ′=2,BC =23,MD =2-3,DC =DC ′=23-2,AD =6- 2.在Rt△C ′MD 中,MC ′2=DC ′2-MD 2=(23-2)2-(2-3)2=9-4 3.设AF =x ,在Rt△C ′FA 和Rt△C ′FM 中,AC ′2-AF 2=MC ′2-MF 2,即4-x 2=9-43-(x -1)2,解得x =23-2,即AF =23-2. 所以C ′F =223-3.故直线C ′D 与平面ABD 所成的角的正弦值等于C ′F DC ′=23-33-1. 热点三 二面角二面角有两种求法:①几何法:利用定义作出二面角的平面角,然后计算.②向量法:利用两平面的法向量.设平面α,β的法向量分别为μ=(a 3,b 3,c 3),v =(a 4,b 4,c 4),设二面角α—a —β的平面角为θ(0≤θ≤π),则|cos θ|=|μ·v ||μ||v |=|cos 〈μ,v 〉|.例3 如图,在矩形ABCD 中,AB =2,AD =4,点E 在线段AD 上且AE =3,现分别沿BE ,CE 所在的直线将△ABE ,△DCE 翻折,使得点D 落在线段AE 上,则此时二面角D -EC -B 的余弦值为( )A.45B.56C.67D.78答案 D解析 如图1所示,连接BD ,设其与CE 的交点为H ,由题意易知BD ⊥CE .翻折后如图2所示,连接BD ,图1 图2则在图2中,∠BHD 即为二面角D -EC -B 的平面角, 易求得BD =22,DH =255,BH =855,所以cos∠DHB =BH 2+DH 2-BD 22BH ·DH =78,故选D.思维升华 (1)构造二面角的平面角的方法(几何法):根据定义;利用二面角的棱的垂面;利用两同底等腰三角形底边上的两条中线等. (2)向量法:根据两平面的法向量.跟踪演练3 (2018·绍兴质检)已知四面体SABC 中,二面角B -SA -C ,A -SB -C ,A -SC -B 的平面角的大小分别为α,β,γ,则( ) A.π2<α+β+γ<π B.3π2<α+β+γ<2π C .π<α+β+γ<3π D .2π<α+β+γ<3π 答案 C解析 设三棱锥的顶点S 距离底面ABC 无穷远,则三棱锥S -ABC 近似为以△ABC 为底面的三棱柱,此时二面角的平面角α,β,γ等于三角形ABC 的三个内角;若顶点S 与底面ABC 的距离趋向于0,则三棱锥S -ABC 近似压缩为四顶点共面,则当S 为△ABC 内一点时,二面角的平面角α,β,γ的大小都为π,因此α+β+γ∈(π,3π),故选C.真题体验1.(2017·全国Ⅲ)a ,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ,b 都垂直,斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成30°角; ②当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成60°角; ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°; ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________.(填写所有正确结论的编号) 答案 ②③解析 依题意建立如图所示的空间直角坐标系,设等腰直角三角形ABC 的直角边长为1.由题意知,点B 在平面xOy 中形成的轨迹是以C 为圆心,1为半径的圆.设直线a 的方向向量为a =(0,1,0),直线b 的方向向量为b =(1,0,0),CB →以Ox 轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ,θ∈[)0,2π, 则B (cos θ,sin θ,0),∴AB →=(cos θ,sin θ,-1),|AB →|= 2. 设直线AB 与a 所成的角为α,则cos α=|AB →·a ||a ||AB →|=22|sin θ|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,22,∴45°≤α≤90°,∴③正确,④错误; 设直线AB 与b 所成的角为β, 则cos β=|AB →·b ||b ||AB →|=22|cos θ|.当直线AB 与a 的夹角为60°,即α=60°时, |sin θ|=2cos α=2cos 60°=22, ∴|cos θ|=22,∴cos β=22|cos θ|=12. ∵45°≤β≤90°,∴β=60°, 即直线AB 与b 的夹角为60°. ∴②正确,①错误.2.(2017·浙江改编)如图,已知正四面体D —ABC (所有棱长均相等的三棱锥),P ,Q ,R 分别为AB ,BC ,CA 上的点,AP =PB ,BQ QC =CRRA=2,分别记二面角D —PR —Q ,D —PQ —R ,D —QR —P 的平面角为α,β,γ,则α,β,γ的大小关系为________.答案 α<γ<β解析 如图①,作出点D 在底面ABC 上的射影O ,过点O 分别作PR ,PQ ,QR 的垂线OE ,OF ,OG ,连接DE ,DF ,DG ,则α=∠DEO ,β=∠DFO ,γ=∠DGO .由图可知,它们的对边都是DO , ∴只需比较EO ,FO ,GO 的大小即可.如图②,在AB 边上取点P ′,使AP ′=2P ′B ,连接OQ ,OR ,则O 为△QRP ′的中心. 设点O 到△QRP ′三边的距离为a ,则OG =a ,OF =OQ ·sin∠OQF <OQ ·sin∠OQP ′=a , OE =OR ·sin∠ORE >OR ·sin∠ORP ′=a ,∴OF <OG <OE , ∴ODtan β<OD tan γ<ODtan α,∴α<γ<β.3.(2018·浙江)如图,已知多面体ABCA 1B 1C 1,A 1A ,B 1B ,C 1C 均垂直于平面ABC ,∠ABC =120°,A 1A =4,C 1C =1,AB =BC =B 1B =2.(1)证明:AB 1⊥平面A 1B 1C 1;(2)求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值.方法一 (1)证明 由AB =2,AA 1=4,BB 1=2,AA 1⊥AB ,BB 1⊥AB ,得AB 1=A 1B 1=22, 所以A 1B 21+AB 21=AA 21, 故AB 1⊥A 1B 1.由BC =2,BB 1=2,CC 1=1,BB 1⊥BC ,CC 1⊥BC , 得B 1C 1= 5.由AB =BC =2,∠ABC =120°,得AC =2 3. 由CC 1⊥AC ,得AC 1=13, 所以AB 21+B 1C 21=AC 21, 故AB 1⊥B 1C 1.又因为A 1B 1∩B 1C 1=B 1,A 1B 1,B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1, 因此AB 1⊥平面A 1B 1C 1.(2)解 如图,过点C 1作C 1D ⊥A 1B 1,交直线A 1B 1于点D ,连接AD . 由AB 1⊥平面A 1B 1C 1, 得平面A 1B 1C 1⊥平面ABB 1.由C 1D ⊥A 1B 1,平面A 1B 1C 1∩平面ABB 1=A 1B 1,C 1D ⊂平面A 1B 1C 1,得C 1D ⊥平面ABB 1. 所以∠C 1AD 即是直线AC 1与平面ABB 1所成的角. 由B 1C 1=5,A 1B 1=22,A 1C 1=21, 得cos∠C 1A 1B 1=427,sin∠C 1A 1B 1=77, 所以C 1D =3, 故sin∠C 1AD =C 1D AC 1=3913. 因此直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是3913. 方法二 (1)证明 如图,以AC 的中点O 为原点,分别以射线OB ,OC 为x ,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系O -xyz .由题意知各点坐标如下:A (0,-3,0),B (1,0,0),A 1(0,-3,4),B 1(1,0,2),C 1(0,3,1).因此AB 1→=(1,3,2),A 1B 1→=(1,3,-2),A 1C 1→=(0,23,-3). 由AB 1→·A 1B 1→=0,得AB 1⊥A 1B 1. 由AB 1→·A 1C 1→=0,得AB 1⊥A 1C 1.又A 1B 1∩A 1C 1=A 1,A 1B 1,A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1, 所以AB 1⊥平面A 1B 1C 1.(2)解 设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ. 由(1)可知AC 1→=(0,23,1),AB →=(1,3,0),BB 1→=(0,0,2).设平面ABB 1的一个法向量为n =(x ,y ,z ). 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →=0,n ·BB 1→=0,得⎩⎨⎧x +3y =0,2z =0,可取n =(-3,1,0).所以sin θ=|cos 〈AC 1→,n 〉|=|AC 1→·n ||AC 1→||n |=3913.因此直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是3913. 押题预测如图所示,在四棱锥S -ABCD 中,底面ABCD 是矩形,SA ⊥底面ABCD ,E ,F 分别为线段AB ,SD 的中点.(1)证明:EF ∥平面SBC ;(2)设SA =AD =2AB ,试求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值.押题依据 定义法求直线与平面所成的角的关键是利用直线与平面所成角的定义去构造一个直角三角形,通过解三角形的知识求角.方法一求解第(2)问的关键是构造三角形,证明∠AFE 为直线EF 与平面SCD 所成角的余角.(1)证明 方法一 如图,过点E 作EG ∥SB ,交SA 于点G ,连接GF .因为E 为AB 的中点,所以G 为SA 的中点, 又F 为SD 的中点, 所以GF ∥AD ,所以GF ∥BC ,又BC ⊂平面SBC ,GF ⊄平面SBC , 所以GF ∥平面SBC .因为GE ∥SB ,SB ⊂平面SBC ,GE ⊄平面SBC , 所以GE ∥平面SBC ,又GE ∩GF =G ,GE ,GF ⊂平面GEF , 所以平面GEF ∥平面SBC ,又EF ⊂平面GEF ,所以EF ∥平面SBC .方法二 取SC 的中点H ,连接FH ,BH ,因为F 是SD 的中点,所以FH ∥CD ,FH =12CD ,又CD ∥AB ,CD =AB ,点E 是AB 的中点,所以FH ∥BE ,FH =BE ,所以四边形EFHB 是平行四边形,所以EF ∥BH ,又BH ⊂平面SBC ,EF ⊄平面SBC ,所以EF ∥平面SBC . (2)解 方法一 如图,连接AF .因为SA =AD ,SA ⊥AD , 所以AF ⊥SD . 因为SA ⊥平面ABCD , 所以SA ⊥CD .因为AD ⊥CD ,SA ∩AD =A ,SA ,AD ⊂平面SAD , 所以CD ⊥平面SAD ,因为AF ⊂平面SAD ,所以CD ⊥AF , 又SD ∩CD =D ,SD ,CD ⊂平面SCD , 所以AF ⊥平面SCD .所以∠AFE 即为直线EF 与平面SCD 所成角的余角. 令SA =AD =2AB =4,则AE =1,AF =22,所以EF =3. 设直线EF 与平面SCD 所成的角为θ, 则sin θ=sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2-∠AFE =cos∠AFE =AF EF =223.所以直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值为223.方法二 因为四边形ABCD 是矩形,SA ⊥底面ABCD , 所以直线AB ,AD ,AS 两两垂直.以A 为坐标原点,AB ,AD ,AS 所在的直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz . 设SA =AD =2AB =4,则S (0,0,4),C (2,4,0),D (0,4,0),E (1,0,0),F (0,2,2). 所以EF →=(-1,2,2),SD →=(0,4,-4),DC →=(2,0,0).设平面SCD 的法向量为a =(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧a ·SD →=4y -4z =0,a ·DC →=2x =0,取y =1,所以a =(0,1,1)是平面SCD 的一个法向量. 设直线EF 与平面SCD 所成的角为θ, 所以sin θ=|a ·EF →||a |·|EF →|=|0+2+2|2×3=223.所以直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值为223.A 组 专题通关1.(2017·全国Ⅱ)已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,∠ABC =120°,AB =2,BC =CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A.32 B.155 C.105 D.33答案 C解析 方法一 将直三棱柱ABC -A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1,如图①所示,连接AD 1,B 1D 1,BD .图①由题意知∠ABC =120°,AB =2,BC =CC 1=1, 所以AD 1=BC 1=2,AB 1=5,∠DAB =60°.在△ABD 中,由余弦定理知BD 2=22+12-2×2×1×cos 60°=3,所以BD =3,所以B 1D 1=3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ,所以cos θ=AB 21+AD 21-B 1D 212×AB 1×AD 1=5+2-32×5×2=105.故选C.方法二 以B 1为坐标原点,B 1C 1所在的直线为x 轴,垂直于B 1C 1的直线为y 轴,BB 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系,如图②所示.图②由已知条件知B 1(0,0,0),B (0,0,1),C 1(1,0,0),A (-1,3,1),则BC 1→=(1,0,-1),AB 1→=(1,-3,-1). 所以cos 〈AB 1→,BC 1→〉=AB 1→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|=25×2=105.所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105. 故选C.2.(2018·嘉兴、丽水模拟)已知两个平面α,β和三条直线m ,a ,b ,若α∩β=m ,a ⊂α且a ⊥m ,b ⊂β,设α和β所成的一个二面角的大小为θ1,直线a 和平面β所成的角的大小为θ2,直线a ,b 所成的角的大小为θ3,则( ) A .θ1=θ2≥θ3 B .θ3≥θ1=θ2 C .θ1≥θ3,θ2≥θ3 D .θ1≥θ2,θ3≥θ2答案 D解析 当平面α与平面β所成的二面角为锐角或直角时,θ1=θ2,当平面α与平面β所成的二面角为钝角时,θ2为θ1的补角,则θ1>θ2,综上所述,θ1≥θ2,又由最小角定理得θ3≥θ2,故选D.3.如图,正四棱锥P -ABCD .记异面直线PA 与CD 所成的角为α,直线PA 与平面ABCD 所成的角为β,二面角P -BC -A 的平面角为γ,则( )A .β<α<γB .γ<α<βC .β<γ<αD .α<β<γ答案 C解析 如图,过点P 作PO ⊥平面ABCD ,则O 为正方形ABCD 的中心.连接AO ,并过O 点作OE ⊥BC ,交BC 于点E ,连接PE .∵AB ∥DC ,∴异面直线PA 与CD 所成的角就是∠PAB ,而AO 为PA 在平面ABCD 上的投影,∴∠PAO 为PA 与平面ABCD 所成的角. ∴∠PAB >∠PAO .又OE ⊥BC ,PO ⊥BC ,OE 与PO 相交于点O , ∴BC ⊥平面POE ,∴PE ⊥BC ,因此∠PEO 为二面角P -BC -A 的平面角. ∵OE <AO ,∴tan∠PEO >tan∠PAO , ∴∠PEO >∠PAO .又∠PAB =∠PBE ,cos∠PBE =BEPB ,cos∠PEO =OE PE, ∵OE =BE ,PE <PB ,∴cos∠PBE <cos∠PEO ,∴∠PBE >∠PEO , 又∠PBE =∠PAB =α,∴β<γ<α,故选C.4.已知四边形ABCD ,AB =BD =DA =2,BC =CD =2,现将△ABD 沿BD 折起,使二面角A -BD -C 的大小在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,5π6内,则直线AB 与CD 所成角的余弦值的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,528B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,28 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,28∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫528,1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤28,528答案 A解析 设BD 的中点为E ,连接AE ,CE , 因为AB =BD =DA =2,BC =CD =2, 所以AE =3,CE =1,且AE ⊥BD ,CE ⊥BD , 则∠AEC 为二面角A -BD -C 的平面角,在平面ABD 内,过点A 作AF ∥BD ,使AF =BD ,构造平行四边形ABDF ,连接FD ,CF ,则∠CDF 或其补角即为异面直线AB 与CD 的夹角, 则在△AEC 中,由余弦定理得AC 2=AE 2+CE 2-2AE ·CE cos∠AEC=4-23cos∠AEC ,又因为∠AEC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,5π6,所以AC 2=4-23cos∠AEC ∈[1,7].因为AE ⊥BD ,CE ⊥BD ,且AE ∩CE =E ,AE ,CE ⊂平面AEC , 所以BD ⊥平面AEC , 则BD ⊥AC ,所以AF ⊥AC ,则在Rt△CAF 中,CF 2=AC 2+AF 2∈[5,11],则在△CDF 中,由余弦定理易得直线AB 与CD 的夹角的余弦值为|cos∠CDF |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪DF 2+CD 2-CF 22DF ·CD ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,528,故选A.5.长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α,β,γ,则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=________. 答案 2解析 设长方形的长、宽、高分别为a ,b ,c ,则对角线长d =a 2+b 2+c 2,所以cos 2α+cos 2β+cos 2γ=⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2+c 2d 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2+c 2d 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2+b 2d 2=2()a 2+b 2+c 2d 2=2. 6.如图所示,在正方体AC 1中, AB =2, A 1C 1∩B 1D 1=E ,直线AC 与直线DE 所成的角为α,直线DE 与平面BCC 1B 1所成的角为β,则cos ()α-β=________.答案66解析 由题意可知,α=π2,则cos ()α-β=sin β,以点D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1方向为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系,则D ()0,0,0,E ()1,1,2,DE →=()1,1,2,平面BCC 1B 1的法向量DC →=()0,2,0,由此可得cos ()α-β=sin β=|DE →·DC →||DE →||DC →|=66.7.(2018·浙江省名校新高考研究联盟联考)如图,平行四边形PDCE 垂直于梯形ABCD 所在的平面,∠ADC =∠BAD =90°,∠PDC =120°,F 为PA 的中点,PD =1,AB =AD =12CD =1.(1)求证:AC ∥平面DEF ;(2)求直线BC 与平面PAD 所成角的余弦值.(1)证明 连接PC .设PC 与DE 的交点为M ,连接FM ,因为F ,M 分别为PA ,PC 的中点,则FM ∥AC . 因为FM ⊂平面DEF ,AC ⊄平面DEF ,所以AC ∥平面DEF .(2)解 方法一 (几何法)取CD 的中点G ,连接AG ,则AG ∥BC ,所以直线AG 与平面PAD 所成的角即为直线BC 与平面PAD 所成的角. 过点G 作GH ⊥PD ,交PD 于点H ,又平面PDCE ⊥平面ABCD ,平面PDCE ∩平面ABCD =CD ,AD ⊥CD ,AD ⊂平面ABCD , 所以AD ⊥平面PDCE ,又GH ⊂平面PDCE ,所以AD ⊥GH , 因为PD ∩AD =D ,PD ,AD ⊂平面PAD ,所以GH ⊥平面PAD ,则∠GAH 即为所求的线面角, 易得GH =32,AG =BC =2, 则sin∠GAH =GH AG =64, 所以直线BC 与平面PAD 所成角的余弦值为104.方法二 (向量法)过点D 在平面PDCE 中作DQ ⊥PE ,交PE 于点Q ,由已知可得PQ =12,以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DQ 所在的直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示.由题意可得D (0,0,0),P ⎝⎛⎭⎪⎫0,-12,32,A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,2,0),则DA →=(1,0,0),DP →=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-12,32,设平面PAD 的法向量n =(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA →=0,n ·DP →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧x =0,-12y +32z =0,令y =3,得平面PAD 一个法向量n =(0,3,1), BC →=(-1,1,0).设直线BC 与平面PAD 所成的角为θ,则sin θ=|cos 〈n ,BC →〉|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BC →|n ||BC →|=322=64, 所以直线BC 与平面PAD 所成角的余弦值为104. 8.(2018·浙江省杭州二中月考)如图,等腰梯形ABCD 中,AB =CD =BC =2,AD =5,M ,N 是AD 上的点,且AM =DN =2,现将△ABM ,△CDN 分别沿BM ,CN 折起,使得A ,D 重合记作S .(1)求证:BC ∥平面SMN ;(2)求直线SN 与底面BCNM 所成角的余弦值.(1)证明 ∵BC ∥MN ,且MN ⊂平面SMN ,BC ⊄平面SMN ,∴BC ∥平面SMN .(2)解 过S 向底面作垂线,垂足为O ,连接BC 的中点Q 与MN 的中点P ,根据对称性可知O在PQ 上,分别连接SQ ,SP ,ON ,则∠SNO 是所求的线面角.在△SPQ 中,SP =152,SQ =3,PQ =72,则SO =2357, 则sin∠SNO =357,∴cos∠SNO =147. 9.(2018·湖州、衢州、丽水质检)已知矩形ABCD 满足AB =2,BC =2,△PAB 是正三角形,平面PAB ⊥平面ABCD .(1)求证:PC ⊥BD ;(2)设直线l 过点C 且l ⊥平面ABCD ,点F 是直线l 上的一个动点,且与点P 位于平面ABCD 的同侧.记直线PF 与平面PAB 所成的角为θ,若0<CF ≤3+1,求tan θ的取值范围. (1)证明 取AB 的中点E ,连接PE ,EC .因为点E 是正三角形PAB 的边AB 的中点,所以PE ⊥AB . 又平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB ∩平面ABCD =AB ,PE ⊂平面PAB , 所以PE ⊥平面ABCD ,因为BD ⊂平面ABCD ,则PE ⊥BD . 因为BEBC=12=22=BCCD,∠EBC =∠BCD =90°, 所以△EBC ∽△BCD . 故∠ECB =∠BDC ,所以∠ECB +∠DBC =∠BDC +∠DBC =90°, 所以CE ⊥BD ,又CE ∩PE =E ,CE ,PE ⊂平面PEC , 故BD ⊥平面PEC ,又PC ⊂平面PEC ,因此PC ⊥BD .(2)解 方法一 在平面PAB 内过点B 作直线m ∥FC ,过F 作FG ⊥m ,交m 于点G ,连接PG ,则四边形BGFC 为矩形,BC ∥FG ,BC =FG . 又由(1)及题意得,BC ⊥平面PAB , 所以FG ⊥平面PAB ,所以∠GPF 是直线PF 与平面PAB 所成的角,所以点F 到平面PAB 的距离等于点C 到平面PAB 的距离,即为BC =2, 因为0<CF ≤3+1,所以1≤GP <2, 故tan θ=2GP∈⎝⎛⎦⎥⎤22,2. 方法二 如图,以E 为坐标原点,EB ,EP 所在直线为x 轴,z 轴,过点E 平行于BC 的直线为y 轴,建立空间直角坐标系.设CF =a (0<a ≤3+1), 则P (0,0,3),F (1,2,a ), 所以PF →=(1,2,a -3),取平面PAB 的一个法向量为n =(0,1,0), 则sin θ=|PF →·n ||PF →||n |=212+(2)2+(a -3)2, 由0<a ≤3+1,得sin θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤33,63, 则tan θ∈⎝⎛⎦⎥⎤22,2. B 组 能力提高10.已知三棱锥P -ABC 的底面ABC 是边长为23的正三角形,A 点在侧面PBC 内的投影H 为△PBC 的垂心,二面角P -AB -C 的平面角的大小为60°,则AP 的长为( )A .3B .3 2 C.7 D .4 答案 C解析 连接BH 交PC 于点E ,连接AE .设P 点在底面ABC 内的投影为O ,则PO ⊥平面ABC ,连接CO 交AB 于F 点,连接PF .∵A 点在侧面PBC 内的投影H 为△PBC 的垂心, ∴AH ⊥平面PBC ,且BE ⊥PC , ∵PC ⊂平面PBC ,∴AH ⊥PC .∵BE ∩AH =H ,BE ⊂平面ABE ,AH ⊂平面ABE , ∴PC ⊥平面ABE .又AB ⊂平面ABE ,∴PC ⊥AB . ∵PO ⊥平面ABC ,AB ⊂平面ABC ,∴PO ⊥AB . ∵PO ∩PC =P ,PO ⊂平面PFC ,PC ⊂平面PFC , ∴AB ⊥平面PFC . ∴AB ⊥PE ,AB ⊥CF ,∴∠PFC 为二面角P -AB -C 的平面角.∵三棱锥P -ABC 的底面ABC 是边长为23的正三角形, ∴BF =3,CF =3,则FO =13×3=1,∵二面角P -AB -C 的平面角的大小为60°,∴∠PFC =60°,在Rt△POF 中,PO =FO ·tan 60°=3,PF =FOcos 60°=2.又在Rt△PFA中,PF =2,AF =AB2=3,∴AP =PF 2+AF 2=7,故选C.11.(2018·湖州、衢州、丽水质检)已知等腰直角三角形ABC 内接于圆O ,点M 是下半圆弧上的动点.现将上半圆面沿AB 折起(如图所示),使所成的二面角C -AB -M 为π4,则直线AC与直线OM 所成角的最小值是( )A.π12B.π6C.π4D.π3 答案 B解析 设圆的半径为2,∠AOM =θ(θ∈[0,π]),建立如图所示的空间直角坐标系,则O (0,0,0),M (2sin θ,-2cos θ,0),A (0,-2,0),C (2,0,2),所以OM →=(2sin θ,-2cos θ,0),AC →=(2,2,2).设直线AC 与OM 所成的角为α,则cos α=|cos 〈OM →,AC →〉|=|OM →·AC →||OM →||AC →|=|22sin θ-4cos θ|2×22=|26sin (θ-φ)|42≤2642=32(其中tan φ=2),又α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π2,所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,π2, 所以α的最小值为π6,故选B.12.(2018·浙江省温州六校协作体联考)如图1,在Rt△ABC 中,∠BAC =90°,∠ABC =60°,E 是边AC 上的点,EC →=2AE →,D 是斜边BC 的中点,现将△ABE 与△DEC 分别沿BE 与DE 翻折,翻折后的点A ,C 分别记作A ′,C ′,若点A ′落在线段EC ′上,如图2,则二面角B -EC ′-D 的余弦值为( )A.13B.33C.23D.63 答案 A解析 设AB =1,易得BC =2,AC =3,又因为EC →=2AE →, 点D 是斜边BC 的中点, 所以AE =33,CE =233,CD =BD =1, 则由翻折的性质易得A ′E =A ′C ′=33,A ′B =1,BD =C ′D =1,BA ′⊥C ′E , 连接BC ′,则C ′B =A ′B 2+A ′C ′2=233=BE , 在△BDC ′中,由余弦定理得cos∠BDC ′=BD 2+C ′D 2-C ′B 22BD ·C ′D =13,在△C ′DE 中,过点A ′作C ′E 的垂线,交C ′D 于点F ,则∠FA ′B 就是二面角B -EC ′-D 的平面角.易得A ′F =A ′C ′tan 30°=13,C ′F =23,DF=C ′D -C ′F =13.连接BF ,在△BDF 中,由余弦定理得BF =BD 2+DF 2-2BD ·DF cos∠BDF =223, 则在△BA ′F 中,由余弦定理得cos∠BA ′F =A ′B 2+A ′F 2-BF 22A ′B ·A ′F =13,即二面角B -EC ′-D 的余弦值为13,故选A.13.如图,已知三棱锥A —BCD 的所有棱长均相等,点E 满足DE →=3EC →,点P 在棱AC 上运动,设EP 与平面BCD 所成的角为θ,则sin θ的最大值为________.答案223解析 因为三棱锥A —BCD 的所有棱长都相等,设底面BCD 的中心为O ,则O 为顶点A 在底面的射影,以点O 为原点,以过点O 且平行于CD 的直线为x 轴,过点O 且垂直于CD 的直线为y 轴,直线OA 为z 轴建立空间直角坐标系.设三棱锥A —BCD 的棱长为2,则易得O (0,0,0),A ⎝⎛⎭⎪⎫0,0,263,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,33,0,E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,33,0, 则OA →=⎝⎛⎭⎪⎫0,0,263,A E →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,33,-263,AC →=⎝⎛⎭⎪⎫1,33,-263,设AP →=λAC →(0≤λ≤1), 则PE →=AE →-AP →=AE →-λAC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12-λ,33(1-λ),263(λ-1),则sin θ=|PE →·OA →||PE →||OA →|=463·1-λ16λ2-28λ+13, 设f (x )=(1-x )216x 2-28x +13 (0≤x ≤1),则f ′(x )=2(2x -1)(x -1)(16x 2-28x +13)2,令f ′(x )>0,得0<x <12,所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12上单调递增; 令f ′(x )<0,得12<x <1,所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1上单调递减, 所以f (x )max =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=112,所以sin θ的最大值为463×112=223.。
高二数学求空间的角教案 苏教版
高二数学求空间的角教案教学目的:1 掌握求异面直线所成的角、线面角、二面角的基本方法。
2 掌握求角的步骤“一作,二证,三计算”。
3通过有关空间角的问题的解决,进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力.教学重点:作出空间各种角的方法。
教学难点:求异面直线所成的角,及二面角的平面角的作法. 教学方法:探究法教学过程:一 课前热身(1)若E 、F 分别为三棱锥P ABC -的棱AP 、BC 的中点,10,6,7,PC AB EF ===则异面直线与所成的角为 ( A )()A 60 ()B 45 ()C 30 ()D 120(2)已知PA 、PB 、PC 是从P 引出的三条射线,两两成60,则PC 与平面PAB 所成角的余弦值是 ( C )()A ()B 45 ()C 30 ()D 120(3) 已知,二面角α-l-β为锐角,从二面角α-l-β的棱上一点A 在α内引一射线AB ,AB 与l 成45°,AB 与β成30° , 则二面角α -l -β 的度数为 (A ) (A) 45° (B)15° (C)30° (D)60°二 知识梳理二、例题选讲:[例1]在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中,E 、F 分别是BC 、A ′D ′的中点.(1)求证:四边形B ′EDF 是菱形; (2)求直线A ′C 与DE 所成的角;(3)求直线AD 与平面B ′EDF 所成的角; (4)求面B ′EDF 与面ABCD 所成的角. 命题意图:本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法,综合性较强,. 技巧与方法:求线面角关键是作垂线,找射影,求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法.(1)证明:如上图所示,由勾股定理,得B ′E =ED =DF =FB ′=25a ,下证B ′、E 、D 、F 四点共面,取AD 中点G ,连结A ′G 、EG ,由EGAB A ′B ′知,B ′EGA ′是平行四边形.∴B ′E ∥A ′G ,又A ′FDG ,∴A ′GDF 为平行四边形.∴A ′G ∥FD ,∴B ′、E 、D 、F 四点共面 故四边形B ′EDF 是菱形.(2)解:如图所示,在平面ABCD 内,过C 作CP ∥DE ,交直线AD 于P ,则∠A ′CP (或补角)为异面直线A ′C 与DE 所成的角. 在△A ′CP 中,易得A ′C =3a ,CP =DE =25a ,A ′P =213a 由余弦定理得cos A ′CP =1515故A ′C 与DE 所成角为arccos1515. (3)解:∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上.如下图所示.又∵B ′EDF 为菱形,∴DB ′为∠EDF 的平分线, 故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′ 在Rt △B ′AD 中,AD =2a ,AB ′=2a ,B ′D =2a 则cos ADB ′=33 故AD 与平面B ′EDF 所成的角是arccos33. (4)解:如图,连结EF 、B ′D ,交于O 点,显然O 为B ′D 的中点,从而O 为正方形ABCD —A ′B ′C ′D 的中心.作OH ⊥平面ABCD ,则H 为正方形ABCD 的中心, 再作HM ⊥DE ,垂足为M ,连结OM ,则OM ⊥DE , 故∠OMH 为二面角B ′—DE ′—A 的平面角.在Rt △DOE 中,OE =22a ,OD =23a ,斜边DE =25a , 则由面积关系得OM =1030=⋅DE OE OD a 在Rt △OHM 中,sin OMH =630=OM OH 故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为arcsin 630.[例2] 在直角梯形ABCD 中,90D BAD ∠=∠=,12AD DC AB a ===.(如图一) 将ADC ∆沿AC 折起,使D 到'D 。
高二数学下学期期末复习(3)--空间角
期末复习(3)——空间角一、知识与方法整理: 空间角异面直线所成的角 直线和平面所成的角 二面角 图示 定义 做法二、例题讲解: 例1、(1)如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E,FG,H 分别为1AA ,AB ,1BB ,11B C 的中点,则异面直线EF 与GH 所成的角等于( )(2)如图,正棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为___(3) 如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BCA=ο90,点D 1、F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点, 若BC=CA=CC 1,求BD 1与AF 1所成的角的余弦值_________。
(4)在正四面体A-BCD 中,异面直线AB 与CD 所成角的大小是_______.小结:异面直线所成的角求法:①平移法 ②三垂线 例2、(1)在三棱锥O-ABC 中,三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直,且OA =OB =OC,M 是AB 的中点,则OM 与平面ABC 所成角的大小是______________(用反三角函数表示)。
(2)直线a 是平面α的斜线,直线b 在平面α内,当a 与b 成60O的角,且b 与a 在α内的射影成45O的角时,a 与α所成的角为( )(A)60O (B)45O (C) 90O (D) 135O(3)在如图所示的几何体中,EA ⊥平面ABC ,DB ⊥平面ABC , AC BC ⊥,且2AC BC BD AE ===,M 是AB 的中点. (I )求证:CM EM ⊥;(II )求CM 与平面CDE 所成的角. 小结:斜线与平面所成的角求法:①定义法 ②利用21cos cos cos θθθ=例3、(1)四边形ABCD 是正方形,P 是平面ABCD 外一点,且⊥PA 平面ABCD ,PA=AB=a ,则二面角D PC B --的大小为 。
2021-2022年高二数学复习教案关于求空间的角的问题 华师版
2021年高二数学复习教案关于求空间的角的问题华师版重难点归纳空间角的计算步骤一作、二证、三算1 异面直线所成的角范围 0°<θ≤90°方法①平移法;②补形法2 直线与平面所成的角范围 0°≤θ≤90°方法关键是作垂线,找射影3 二面角方法①定义法;②三垂线定理及其逆定理;③垂面法注1 二面角的计算也可利用射影面积公式S′=S cosθ来计算注2 借助空间向量计算各类角会起到事半功倍的效果4.三种空间角的向量法计算公式:⑴异面直线所成的角:;⑵直线与平面(法向量)所成的角:;⑶锐二面角:,其中为两个面的法向量。
典型题例示范讲解例1在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中,E、F分别是BC、A′D′的中点Array(1)求证四边形B′EDF是菱形;(2)求直线A′C与DE所成的角;(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角;(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角命题意图本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法,综合性较强知识依托平移法求异面直线所成的角,利用三垂线定理求作二面角的平面角错解分析 对于第(1)问,若仅由B ′E =ED =DF =FB ′就断定B ′EDF 是菱形是错误的,因为存在着四边相等的空间四边形,必须证明B ′、E 、D 、F 四点共面技巧与方法 求线面角关键是作垂线,找射影,求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法(1)证明 如上图所示,由勾股定理,得B ′E =ED =DF =FB ′=a ,下证B ′、E 、D 、F 四点共面,取AD 中点G ,连结A ′G 、EG ,由EGABA ′B ′知,B ′EGA ′是平行四边形∴B ′E ∥A ′G ,又A ′F D G ,∴A ′GDF 为平行四边形 ∴A ′G ∥FD ,∴B ′、E 、D 、F 四点共面 故四边形B ′EDF 是菱形(2)解 如图所示,在平面ABCD 内,过C 作CP ∥DE ,交直线AD 于P ,则∠A ′CP (或补角)为异面直线A ′C 与DE 所成的角在△A ′CP 中,易得A ′C =a ,CP =DE =a ,A ′P =a 由余弦定理得cos A ′CP = 故A ′C 与DE 所成角为arccos另法(向量法) 如图建立坐标系,则(0,0,),(,,0),(0,,0),(,,0)2aA a C a a D a E a '(,,),(,,0)2aA C a a a DE a '⇒=-=-15cos ,15||||A C DE A C DE A C DE ''⇒<>==' 故A ′C 与DE 所成角为arccos(3)解 ∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上 如下图所示又∵B ′EDF 为菱形,∴DB ′为∠EDF 的平分线,故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′在Rt △B ′AD 中,AD =a ,AB ′=a ,B ′D =a则cos ADB ′=故AD 与平面B ′EDF 所成的角是arccos 另法(向量法) ∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上 如下图所示又∵B ′EDF 为菱形,∴DB ′为∠EDF 的平分线,B故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′, 如图建立坐标系,则(0,0,0),(,0,),(0,,0)A B a a D a ' (0,,0),(,,)DA a DB a a a '⇒=-=-3cos ,3||||DA DB DA DB DA DB ''⇒<>==', 故AD 与平面B ′EDF 所成的角是arccos (4)解 如图,连结EF 、B ′D ,交于O 点,显然O为B ′D 的中点,从而O 为正方形ABCD —A ′B ′C ′D 的中心作OH ⊥平面ABCD ,则H 为正方形ABCD 的中心, 再作HM ⊥DE ,垂足为M ,连结OM ,则OM ⊥DE , 故∠OMH 为二面角B ′—DE ′—A 的平面角 在Rt △DOE 中,OE =a ,OD =a ,斜边DE =a ,则由面积关系得OM =a 在Rt △OHM 中,sin OMH =故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为arcsin另法(向量法) 如图建立坐标系,则(0,0,0),(0,0,),(,0,),(0,,0),(,,0)2aA A aB a a D a E a '',所以面ABCD 的法向量为 下面求面B ′EDF 的法向量 设,由(,,0),(0,,),22a aED a EB a '=-=- 00221002a a y nED y a z nED y az ⎧-+=⎪⎧==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⎩⎪⎪⎩-+=⎪⎩∴∴6cos ,||||6n m n m n m <>==故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为例2如下图,已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧棱AA 1长为b ,且AA 1与AB 、AD 的夹角都是120°求 (1)AC 1的长;(2)直线BD 1与AC 所成的角的余弦值 命题意图 本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题知识依托 向量的加、减及向量的数量积错解分析 注意<>=<,>=120°而不是60°,<>=90°技巧与方法 数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用21111111222111:(1)||()()()()||||||222AC AC AC AA AC AA AC AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AA AD AB AD=⋅=++=++++=+++⋅+⋅+⋅解22222111112221:||,||||,,120,,9011cos120,cos120,0,22||2AA b AB AD a AA AB AA AD AB AD AA AB b a ab AA AD b a ab AB AD AC a b ===<>=<>=︒<>=︒∴⋅=⋅︒=-⋅=⋅︒=-⋅=∴=+-由已知得12,||ab AC ∴=11112211(2),||2,()()AC a AC AB AD BD AD BA AA AD AB AC BD AB AD AA AD AB AB AA AD AA AB AD AD AB ==+=+=+-∴⋅=++-=⋅+⋅+⋅+-依题意得21111122222111||()()||||||2222AB AD ab BD BD BD AA AD AB AA AD AB AA AD AB AA AD AB AD AA AB a b -⋅=-=⋅=+-+-=+++⋅-⋅-⋅=+111cos ,||||4BD AC BD AC BD AC ⋅<>==∴BD 1与AC 所成角的余弦值为例3如图,为60°的二面角,等腰直角三角形MPN 的直角顶点P 在l上,M ∈α,N ∈β,且MP 与β所成的角等于NP 与α所成的角(1)求证 MN 分别与α、β所成角相等;(2)求MN 与β所成角11(1)证明 作NA ⊥α于A ,MB ⊥β于B ,连接AP 、PB 、BN 、AM ,再作AC ⊥l 于C ,BD ⊥l 于D ,连接NC 、MD600CDA600βαNP BM∵NA ⊥α,MB ⊥β,∴∠MPB 、∠NP A 分别是MP 与β所成角及NP 与α所成角,∠MNB ,∠NMA 分别是MN 与β,α所成角,∴∠MPB =∠NP A在Rt △MPB 与Rt △NP A 中,PM =PN ,∠MPB =∠NP A ,∴△MPB ≌△NP A ,∴MB =NA在Rt △MNB 与Rt △NMA 中,MB =NA ,MN 是公共边,∴△MNB ≌△NMA ,∴∠MNB =∠NMA ,即(1)结论成立(2)解 设∠MNB =θ,MN =a ,则PB =PN =a ,MB =NA =a sin θ,NB =a cos θ,∵MB ⊥β,BD ⊥l ,∴MD ⊥l ,∴∠MDB 是二面角α—l —β的平面角,∴∠MDB =60°,同理∠NCA =60°, ∴BD =AC =a sin θ,CN =DM =a sin θ, ∵MB ⊥β,MP ⊥PN ,∴BP ⊥PN∵∠BPN =90°,∠DPB =∠CNP ,∴△BPD ∽△PNC ,∴2222a CN a BN a-=-即222226(sin )6sin 33(2cos )aa a aθθθ-=-整理得,16sin 4θ-16sin 2θ+3=0解得sin 2θ=,sin θ=,当sin θ=时,CN =a sin θ= a >PN 不合理,舍去 ∴sin θ=,∴MN 与β所成角为30°另法(向量法) 如图设的法向量为,的法向量为,模均为1,由题意,, 设,则,,n PN m PM n PN m PM ==或-,且cos ,||||||||||MN n MN n PN n PM n PN nMN n MN n MN MN MN -<>====cos ,||||||||||MN m MN m PN m PM m PM mMN m MN m MN MN MN --<>====所以=或=-所以,MN 分别与α、β所成角相等学生巩固练习1 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 为DD 1的中点,O 为底面ABCD 的中心,P 为棱A 1B 1上任意一点,则直线OP 与直线AM 所成的角是( )A B C D 2 设△ABC 和△DBC 所在两平面互相垂直,且AB =BC =BD =a ,∠CBA =∠CBD =120°,则AD 与平面BCD 所成的角为( )A 30°B 45°C 60°D 75°3 已知∠AOB =90°,过O 点引∠AOB 所在平面的斜线OC ,与OA 、OB 分别成45°、60°,则以OC 为棱的二面角A —OC —B 的余弦值等于______4 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_________5 已知四边形ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ,∠ABC =90°,P A⊥平面AC ,且P A =AD =AB =1,BC =2(1)求PC 的长;(2)求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小; (3)求证 二面角B —PC —D 为直二面角6 设△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直,且AB =BC =BD ,∠ABC =∠DBC =120°,求(1)直线AD 与平面BCD 所成角的大小; (2)异面直线AD 与BC 所成的角;(3)二面角A —BD —C 的大小7一副三角板拼成一个四边形ABCD ,如图,然后将它沿BC 折成直二面角(1)求证 平面ABD ⊥平面ACD ; (2)求AD 与BC 所成的角;(3)求二面角A —BD —C 的大小参考答案1解析(特殊位置法)将P点取为A1,作OE⊥AD于E,连结A1E,则A1E为OA1的射影,又AM⊥A1E,∴AM⊥OA1,即AM与OP成90°角答案 D2解析作AO⊥CB的延长线,连OD,则OD即为AD在平面BCD 上的射影,∵AO=OD=a,∴∠ADO=45°答案 B3解析在OC上取一点C,使OC=1,过C分别作CA⊥OC交OA 于A,CB⊥OC交OB于B,则AC=1,,OA=,BC=,OB=2,Rt△AOB中,AB2=6,△ABC中,由余弦定理,得cos ACB=-答案-4解析设一个侧面面积为S1,底面面积为S,则这个侧面在底面上射影的面积为,由题设得,设侧面与底面所成二面角为θ,则cosθ=,∴θ=60°答案60°5(1)解因为P A⊥平面AC,AB⊥BC,∴PB⊥BC,即∠PBC=90°,由勾股定理得PB=∴PC=(2)解如图,过点C作CE∥BD交AD的延长线于E,连结PE,则PC 与BD所成的角为∠PCE或它的补角∵CE=BD=,且PE=∴由余弦定理得cos PCE=∴PC与BD所成角的余弦值为(3)证明设PB、PC中点分别为G、F,连结FG、AG、DF,则GF∥BC∥AD,且GF=BC=1=AD,从而四边形ADFG为平行四边形,又AD⊥平面P AB,∴AD⊥AG,即ADFG为矩形,DF⊥FG在△PCD中,PD=,CD=,F为BC中点,∴DF⊥PC从而DF⊥平面PBC,故平面PDC⊥平面PBC,即二面角B—PC—D为直二面角另法(向量法)(略)FGPADE PACD6解(1)如图,在平面ABC内,过A作AH⊥BC,垂足为H,则AH ⊥平面DBC,角由题设知△AHB≌△AHD,则DH⊥BH,AH=DH,∴∠ADH=45°(2)∵BC⊥DH,且DH为AD在平面BCD上的射影,∴BC⊥AD,故AD与BC所成的角为90°(3)过H作HR⊥BD,垂足为R,连结AR,则由三垂线定理知,AR⊥BD,故∠ARH为二面角A—BD—C的平面角的补角设BC=a,则由题设知,AH=DH=,在△HDB中,HR=a,∴tan ARH==2故二面角A—BD—C大小为π-arctan2另法(向量法)(略)7(1)证明取BC中点E,连结AE,∵AB=AC,∴AE⊥BC∵平面ABC⊥平面BCD,∴AE⊥平面BCD,∵BC⊥CD,由三垂线定理知AB⊥CD又∵AB⊥AC,∴AB⊥平面BCD,∵AB平面ABD∴平面ABD⊥平面ACD(2)解在面BCD内,过D作DF∥BC,过E作EF⊥DF,交DF于F,由三垂线定理知A F⊥DF,∠ADF为AD与BC所成的角设AB=m,则BC=m,CE=DF=m,CD=EF=m321arctan ,321tan 22=∠∴=+==∴ADF DF EF AE DFAFADF即AD 与BC 所成的角为arctan(3)解 ∵AE ⊥面BCD ,过E 作EG ⊥BD 于G ,连结AG ,由三垂线定理知AG ⊥BD ,∴∠AGE 为二面角A —BD —C 的平面角∵∠EBG =30°,BE =m ,∴EG =m又AE =m ,∴tan AGE ==2,∴∠AGE =arctan2 即二面角A —BD —C 的大小为arctan2 另法(向量法) (略)课前后备注D。
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期末复习(3)——空间角
一、知识与方法整理:
空间角 异面直线所成的角 直线和平面所成的角 二面角
图示
定义
做法
二、例题讲解: 例1、(1)如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E,FG,H 分别为1AA ,AB ,1BB ,11B C 的中点,则异面直线EF 与GH 所成的角等于( )
(2)如图,正棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为___ (3) 如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BCA= 90,点D 1、F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点, 若BC=CA=CC 1,求BD 1与AF 1所成的角的余弦值_________。
(4)在正四面体A-BCD 中,异面直线AB 与CD 所成角的大小是_______.
小结:异面直线所成的角求法:①平移法 ②三垂线 例2、(1)在三棱锥O-ABC 中,三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直,且OA =OB =OC,M 是AB 的中点,则OM 与平面ABC 所成角的大小是______________(用反三角函数表示)。
(2)直线a 是平面α的斜线,直线b 在平面α内,当a 与b 成60
O
的角,且b 与a 在α内的射影成45O
的角时,a 与α所成的角为( )
(A)60O (B)45O (C) 90O (D) 135O
(3)在如图所示的几何体中,EA ⊥平面ABC ,DB ⊥平面ABC , AC BC ⊥,且2AC BC BD AE ===,M 是AB 的中点. (I )求证:CM EM ⊥;
(II )求CM 与平面CDE 所成的角. 小结:斜线与平面所成的角求法:
①定义法 ②利用21cos cos cos θθθ=
例3、(1)四边形ABCD 是正方形,P 是平面ABCD 外一点,且⊥PA 平面ABCD ,PA=AB=a ,则二面角D PC B --的大小为 。
(2)二面角βα--l 是锐角,空间一点P 到βα,和棱的距离分别是22,4和24,则这个二
面角的度数为( )
A 、︒30或︒45
B 、︒15或︒75
C 、︒30或︒60
D 、︒15或︒60
(3)如图,已知△ABC 中,∠ABC= 30,PA ⊥平面ABC ,PC ⊥BC,PB 与平面ABC 成︒45角, ①求证:平面PBC ⊥平面PAC ; ②求二面角A —PB —C 的正弦值。
例4、如图,平面PCBM ⊥平面ABC ,90PCB ∠=︒, //PM BC ,直线AM 与直线PC 所成的角为60°, 又1AC =,22BC PM ==,90ACB ∠=︒. (Ⅰ)求证:AC BM ⊥;
(Ⅱ)求二面角M AB C --的大小;30tan
3
arc (Ⅲ)求多面体PMABC 的体积.
例5、如图,在底面为直角梯形的四棱锥,//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC
PA ⊥平面ABCD,32,2,3===AB AD PA ,BC =6. (Ⅰ)求证:;PAC BD 平面⊥
(Ⅱ)求二面角A BD P --的大小. 解法一:(Ⅰ)PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD .BD PA ∴⊥.
又3tan 3AD ABD AB ==,tan 3BC
BAC AB
==. 30ABD ∴=∠,60BAC =∠,
90AEB ∴=∠,即BD AC ⊥.又PA AC A =.
BD ∴⊥平面PAC .
(Ⅱ)连接PE .BD ⊥平面PAC .BD PE ∴⊥, BD AE ⊥.AEP ∴∠为二面角P BD A --的平面角.在Rt AEB △中,
sin 3AE AB ABD ==,tan 3AP
AEP AE
∴==,60AEP ∴=∠,
D C
B
A C
1
B
1
D 1
A
1
A D C B
A
E D P
C
B
A
O
E
C
B ∴二面角P BD A --的大小为60.
小结:二面角的求法:①直接法:作出平面角;② 间接法:多
射S S =
θ
cos
另外,注意“无棱的二面角问题”。
例6、(2019浙江高考)已知点O 在二面角AB αβ--的棱上,点P 在α内,且45POB ∠=.若对于β内异于O 的任意一点Q ,都有45POQ ∠≥,则二面角AB αβ--的大小是 . 四、课后作业:
1、在二面角βα--l 的一个平面α内有一条直线AB ,它与棱的夹角为︒45,AB 与平面β所成的角为︒30,则二面角的大小为 ;
2、线段AB 的两端分别在直二面角α-CD -β的两个面α、β内,且与这两个面都成30°角, 则直线AB 与CD 所成的角等于________.
3、在正三棱锥S —ABC 中,D 为AB 的中点,且SD 与BC 所成的角为 45,则SD 与底面所成的角的正弦值为( )
A 、
22 B 、3
1
C 、33
D 、36 4、如图,已知三棱锥O ABC -的侧棱OA OB OC ,,两两垂直,且
1OA =,2OB OC ==,E 是OC 的中点.
(1)求O 点到面ABC 的距离;
(2)求异面直线BE 与AC 所成的角; (3)求二面角E AB C --的大小.
解析:.(1) OH ⊥面ABC ,OH 的长就是所要求的距离 .2222, 2.BC OD OC CD ==-= 由1126,.)3633ABC V S OH OA OB OC OH ∆=
⋅=⋅⋅==知 (2)取OA 的中点M ,连EM 、BM ,则EM ∥,AC BEM ∠是异面直线BE 与AC 所成的角.求得:
22222221517
,5,.22222
cos ,arccos .
255
EM AC BE OB OE BM OM OB BE ME BM BEM BEM BE ME =
==-==+=+-∠==∴∠=⋅
(3)连结CH 并延长交AB 于F ,连结OF 、EF .
,.,,,OC OAB OC AB OH ABC CF AB EF AB ⊥∴⊥⊥∴⊥⊥面又面 则EFC ∠就是所求二面角的平面角.作EG CF ⊥于G ,则16.26
EG OH == 在直角三角形OAB 中,2
,5
OA OB OF AB ⋅=
= 在直角三角形OEF 中,22431,55
EF OE OF =+=+
= 6
303076
6sin ,arcsin .(arccos )31818185
EG EFG EFG EF ∠===∠=或表示为
5、设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确...
的是 (A )若AC 与BD 共面,则AD 与BC 共面
(B )若AC 与BD 是异面直线,则AD 与BC 是异面直线
(C) 若AB =AC ,DB =DC ,则AD =BC
(D) 若AB =AC ,DB =DC ,则AD ⊥BC
解:A 显然正确;B 也正确,因为若AD 与BC 共面,则必有AC 与BD 共面与条件矛盾; C 不正确,如图所示:D 正确,用平面几何与立体几何的知识都可证明。
选C 对于任意的直线l 与平同a ,在平面a 内必有直线m ,使m 与l
(A)平行 (B )相交 (C)垂直 (D)互为异面直线
1、(2x-1)6展开式中x 2的系数为__________
(A )15 (B )60 (C )120 (D )240
解: 662422
36(21)(12)(1)(2)60.x x T C x x -=-+⇒=-⋅= 选B
2、9
21x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中常数项是__________(用数字作答).解:根据二项式展开式通项公式
到展开式中常数项是:9293199r r r r r r T C x x C x ---+==,令930r -=得3r =,故有:3
984C =
3、在(1)n
x +(n ∈N*)的二项展开式中,若只有5
x 的系数最大,则n =( )
A .8
B .9
C .10
D .11
解:只有5x 的系数最大,5
x 是展开式的第6项,第6项为中间项,展开式共有11项,故n=10. 选C. 4、如果2323n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中含有非零常数项,则正整数n 的最小值为( )
A.10 B.6 C.5 D.3
解:由展开式通项有()
21323r
n r
r
r n
T C
x x -+⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
()2532r r n r n r
n C x --=⋅⋅-⋅由题意得 ()5
2500,1,2,,12
n r n r r n -=⇒=
=-,故当2r =时,正整数n 的最小值为5,
故选C.
A B
D C
5、若(
x 3—
)x
1n 的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为
(A )-540 (B )-162 (C )162 (D )540
解析:若n
x x ⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-13的展开式中各项系数之和为2n
=64,6n =,则展开式的常数项为
3
33
6(C ⋅=-540,选A.。