《从分数到分式》教案、导学案、同步练习

《15.1.1 从分数到分式》教案
一、 教学目标
1．了解分式、有理式的概念.
2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
二、重点、难点
1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入
1．让学生填写P2[思考]，学生自己依次填出：，，
，.
2．学生看问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为
小时，逆流航行60千米所用时间
小时，所以
=
.
3. 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相
同点和不同点？
四、例题讲解
P3例1. 当x 为何值时，分式有意义.
[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围.
[提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.
(补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？
（1） （2） (3) 7
10a
s 33
200s v v
+20100v
-2060
v
+20100v
-2060v
+20100v
-2060a
s s
v 1-m m 3
2+-m m 112+-m m
[分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解.
[答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 五、随堂练习
1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, , , , ，
2. 当x 取何值时，下列分式有意义？
（1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？
（1） （2） (3)
六、课后练习
1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？ (1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时.
（2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时.
(3)x 与y 的差于4的商是 .
2．当x 取何值时，分式 无意义？
3. 当x 为何值时，分式 的值为0？
七、答案：
五、1.整式：9x+4, , 分式： , ，
2．(1）x ≠-2 （2）x ≠ （3）x ≠±2 3．（1）x=-7 （2）x=0 (3)x=-1
六、1．18x, ,a+b,
,; 整式：8x, a+b, ; 分式：,
2． X = 3. x=-1 课后反思：
x
720
9y +54-m 238y y -9
1-x 20
9y +54-m x 7238y y -9
1-x b
a s +4
y x -4
y x -x
80b
a s +4
522--x x x x 235
-+2
3+x x
x 57+x
x
3217-x
x x --221
x
802
33
2x
x x --21
2
31
2-+x x
《15.1.1 从分数到分式》教案
教学目标
1．使学生了解分式的概念，明确分母不得为零是分式概念的组成部分． 2．使学生能够求出分式有意义的条件．
3.准确理解分式的意义，明确分母不得为零既是本节的重点，又是本节的难点．
教学过程 1、
情境引入：面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙
造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成原计划任务，原计划每月固沙造林多少公顷？
（1）这一问题中有哪些等量关系？
（2）如果设原计划每月固沙造林x 公顷，那么原计划完成一期工程需要____________个月，实际完成一期工程用了____________个月；根据题意，可得方程 ；
2、解读探究：
，， 认真观察上面的式子，方程有什么特点？ 做一做1.正n 边形的每个内角为 度
2一箱苹果售价a 元，箱子与苹果的总质量为mkg ，箱子的质量为nkg ，则每千克苹果售价是多少元？
上面问题中出现的代数式，，；它们有什么共同特征？
(1)由学生分组讨论分式的定义，对于“两个整式相除叫做分式”等错误，由学生举反例一一加以纠正，得到结论：
x 2400302400+x 430
2400
2400=+-x x x 2400302400+x n
n 180
)2(⨯-
的分母．
(2)由学生举几个分式的例子．
(3)学生小结分式的概念中应注意的问题． ①分母中含有字母．
②如同分数一样，分式的分母不能为零．
(4)问：何时分式的值为零？(以(2)中学生举出的分式为例进行讨论)
例1（1）当a=1,2时，求分式
的值； （1） 当a 取何值时，分式有意义？
解：（1）当a=1时，当a=2时
（2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义。

由分母2a=0,得a=0，所以，当a 取零以外的任何实数时，分式有意义。

例2当x 取何值时，下列分式有意义？
思考：若把题目要求改为：“当x 取何值时下列分式无意义？”该怎样做？ 例3 当x 取何值时，下列分式的值为零？
解：由分子x+3＝0得x ＝-3． 而当x ＝-3时，分母2x-7＝-6-7≠0． ∴当x ＝-3时，原分式值为零．
小结：若使分式的值为零，需满足两个条件：①分子值等于零；②分母值不等于零．
课堂小结
a a 21
+a
a 21
+;1121121=⨯+=+a a 4
3
221221=⨯+=+a a a
a 21
+
本节课你学到了哪些知识和方法？1．分式与分数的区别．
2．分式何时有意义？
3．分式何时值为零？
《15.1.1 从分数到分式》教案
15.1 分式
《15.1.1 从分数到分式》导学案
学习目标：
1.理解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式.
2.知道分式有意义、无意义和分式值为0的条件.
3.能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件.
重点：
理解分式有意义和分式值为0的条件.
难点：
能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件.
一、知识链接
1. 用代数式填空：
（1）一项工程，甲施工队5天可以完成.甲施工队每天完成总工作量的
_______，三天完成总工作量的_______，如果乙施工队a天可以完成这项工程，那么乙施工队每天完成总工作量的________，b（b<a）天完成总工作量的______.
（2）已知甲、乙两地之间的路程为100 km.如果A 车的速度为30km/h ，B 车比A 车每小时多行m km ，那么从甲地到乙地，A 车所用的时间是_____h ，B 车所用的时间是_____h.
2.下列数或算式：2÷1，3÷0，.__________0
,05,32，其中无意义的是π
二、新知预习
1.“知识链接”1中，我们可以得到一些代数式：________________________.
( 1 ) 将这些代数式分类，可分成怎样的两类，并完成下表：
（2）根据以上对比，上表中“？”所代表的名称是_________.你能归纳出它的概念吗？
要点归纳：一般地，我们把形如
A
B
的代数式叫做分式，其中A ，B 都是______，且B 含有______, 其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.
2.分式
A
B
可以看成两个整式相除的商：
要点归纳：分式A
B
有意义的条件是___________. 三、自学自测
1.在代数式－3x 、22273x y xy -、18x -、5x y -、x y 、3
5
y +中是整式的
有 ， 是分式的有________________.
2 填空：
（1）当x 时，分式
x 52有意义；当x 时，分式2
2-x x 无意义.
（2）当m=____时1-m m 的值为0；若2
3
-+m m 的值为0，则m=_______.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________________________________________________________
一、要点探究 探究点1：分式的概念
做一做：在式子1a 、2xy π、3a 2b 3c 4、56＋x 、x 7＋y 8、9x ＋10y ,x
x 中，分式的个数有
( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 想一想：①π是字母吗？②x x 化简后的结果为1，x
x
能完全等同于1吗？它成立的条件是什么？
要点归纳：分母中含有字母的式子就是分式，注意①π不是字母，是常数；②判断分式要看化简之前的式子.
探究点2：分式有（无）意义的条件
想一想：已知分式24
2
x x -+：
(1) 当 x=3 时，分式的值是多少? (2) 当x=-2时，分式的值你能算出来吗? (3)当x 为何值时，分式有意义？
要点归纳：分式有意义的条件是分母不等于零.
例1：分式x －1
（x －1）（x －2）有意义，则x 应满足的条件是 ( )
A.x≠1 B ．x≠2 C ．x≠1且x≠2 D ．以上结果都不对
想一想：小明说：“因为2x x x =，所以x 取任何实数，分式2
x x
都有意义”，
你同意他的观点吗？
方法总结:分式A
B 有意义的条件是B ≠0.（1）如果分母是几个因式乘积的形
式，则每个因式都不为零.（2）判断分式有意义的条件，要看化简之前的式子.
探究点3：分式值为0的条件
想一想：（1）分式
1
2
x +的值可能为零吗？为什么？ （2）当x 为何值时，分式2
2
x x -+的值为零？
（3）当x =2时，分式24
2
x x --的值为零吗？为什么？
要点归纳：分式A
B =0的条件是A=0且B ≠0.
例2：若使分式x 2－1
x ＋1的值为零，则x 的值为 ( )
A ．－1
B ．1或－1
C ．1
D ．1和－1
变式训练
当x 时，分式
||1
(2)(1)
x x x ---的值为零.
方法总结：分式的值为零求字母的值：先根据分子为0，得出字母的值，然后一定要注意若分子中的整式是二次式或含有绝对值，解出的值一般有两个，要注意舍去使分母为0的值.
1．下列各式：①2x ；②3
x
；③22x y x y -+；④32x y -.其中_________是整式，
_________是分式.（填序号）
2．若分式24
x
x -有意义，则x __________；若分式392--x x 的值为零，则x 的
值是_______.
3．在分式
31
x a
x +-中，当x a =-时，分式（ ） A.值为零 B.1
3
a ≠-时值为零 C.无意义 D.无法确定
1.下列代数式中，属于分式的有（ ）
A .-
23 B.b a -21 C.11-x D.3
4x 2.当a ＝－1时,分式1
1
2-+a a 的值 ( )
A.没有意义
B.等于零
C.等于1
D.等于－1 3.下列分式中一定有意义的是( )
A.112+-x x
B.21
x
x + C.1122-+x x D.12+x x
4.已知当x=5时，分式232
x k
x +-的值等于零，则k . 5.在分式
||3
x -中，当x 为何值时，分式有意义？分式的值为零？ 《15.1.1 从分数到分式》导学案
【学习目标】
1.认识分式，理解分式的概念，分式有意义的条件和分式的值
2.体会运用类比联想的学习方法 【学习重点】正确理解分式的概念
【学习难点】分式有意义的条件，分式的值 【预习导学】
阅读课本2—4页的相关内容，并完成下列问题： 1.下面的式子哪些是分式？
当
为何值时，分式
有意义；当为何值时，分式有意义；
【课堂研讨】 探究一：分式的概念
x x
32
x 1-x x s
b -2π3y
x +7
2S
V 32
S 5
122
+
x c
b +545-7
5-x 1
22
2-+-x y xy x 1
32-x
1. 式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相
同点和不同点？我们把这类式子叫做什么？
分式的定义：如果A ，B 表示两个整式，并且B ．中含有字母．．．．．，那么式子叫做分式。

其中A 称为分式的_____，B 称为分式的______.
2. 分式概念应用：
下列各式中，①b-32π , ②x 22x-1 ,③45b+c , ④27 , ⑤3x 2-1 , ⑥2a 3 + 1
2b ,⑦
-6。

是整式的有_______________是分式的有_________________，整式和分式的区别是__________ ___________.
探究二：分式有无意义的条件
1.我们在学习分数时知道， 不能做分母，因为
2.由分数的特点，我们联想、类比回答问题： （1）当a 时，分式无意义； 当a 时，分式有意义； (2)当x 时，分式
无意义；当x 时，分式有意义； (3) 当x 时，分式无意义；当x 时，分式有意义；
(4) 当x 、y 满足关系 时，分式
有意义； 领悟：由上面的练习我们知道，判断一个分式有无意义，关键是看 ，如果分母等于 ，分式无意义，如果分母不等于 ，分式有意义，分式有．．．无意义与分子是否等于．．．．．．．．．．0．无关，所以不用看分子。

．．．．．．．．．．．
探究三：分式的值为0的条件 1.根据所学填空：
02 = 05 = 0-6 = 00 = 2.根据上面的结果联想、类比回答：
v 1
a S S
V v +20100v -2060B
A
2a 2
a
11x x +-1
1
x x +-221x -22
1
x -1
x y
-
①.当x 为何值时，分式
值为0 ? ②.当x 为何值时，若分式的值为0 ？
【巩固训练】课本第4页练习
【要点归纳】1.分式与整式的识别 2.分式有无意义的条件 3.分式的值为0的条件
【达标检测】
1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x +4,
, , , ， ， ， 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？
（1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？
（1） （2） （3）
【课后作业】
1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4,
, , , ，，3x π+2 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1）
（2） （3）
3. 当x 为何值时，分式的值为0？
（1） （2） (3)
【拓展应用】分式的值的正负性讨论
1.当x 取何值时，分式
值为正数？ 2. 当x 取何值时，分式值为负数？
2
2
-+x x )
1(1
2+-x x x x 7209y +5
4
-m 2
38y y -91-x πx y x x +225
4
x x --221x x x --x 7209y +5
4
-m 238y y -91-x 3
2
x +532x x +-2254x x --7
5x x
+7213x x -221x x x --23
-x 2
3
-x 4522--x x 23+x x
x 57
+x x 3217-
15.1 分式
《15.1.1 从分数到分式》导学案
学习目标：
1. 了解分式、有理式的概念.
2. 理解分式有意义的条件、分式的值为零的条件、能熟练求出分式有意义的条件、分式的值为零的条件.
学习重点: 理解分式有意义的条件、分式的值为零的条件。

学习难点：能熟练地求出分式有意义的条件、分式值为零的条件。

一、 学前准备：
1、 统称为整式 。

2、
表示 ÷ 的商，那么(m+a)÷(n+b)可以表示为 。

3、某村有 m 人，耕地50公顷，人均耕地面积为 公顷。

4、三角形ABC 的面积为S ，B C 边长为a,高为 。

5、一辆汽车行驶a 千米用b 小时，它的平均车速为 千米/小时；一列火车行驶a 千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车速 千米/小时。

6、以上(3、4、5)题的共同点是 ，与分数相比的不同点 。

7、如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有 ，那么式子叫做分式，其中A 叫做 ，B 叫做 。

二、探究活动:
1、独立思考，解决问题。

（1）分式
的分母表示 ，由于 不能为0，所以分式的分母不能为 ，即当B 0时，分式才有意义。

（2）当x 时，分式有意义。

（3）当x 时，分式有意义。

3
2
B
A
B
A
B
A
X
32
1
x x
（4）当x 、y 满足关系 时，分式有意义。

2、师生探究，合作交流。

探究二:分式在什么情况下为零。

. (1) 若分式
的值为0，则x= . (2)
若分式的值为0，则 且 。

探究三:分式在什么情况下无意义。

（1）当x 时，分式无意义。

（2）使分式
无意义，x 的取值是 . A 、0 B 、1 C 、-1 D 、+-1 (3)对于分式
，当 时分式有意义，当 时分式无意义。

三、同步演练 1、下列各式①
② ③ ④ ,
是分式的有（ ）A 、①② B 、③④ C 、 ①③ D 、①②③④
2、当x 取什么值时，下列分式有意义？ ① ② ③
②当a 时，分式的值为0.
③使分式
无意义，x 的取值是（ ） A 、0 B 、1 C 、-1 D 、±1 四、拓展延伸 已知y =
,x 取哪些值时:①y 的值是正数;②y 的值是负数；③y 的值y
x y
x +-14
2+-X X B
A
1
23
-X 1
-X X
B A
B
A x 2y x +5a -211
23
-x 18-x 912-x 1
2+x y 2
4
2+-a a 1
-x x
x
x 321
--
是零；④分式无意义。

六、自我测试
1、下列各式中，是分式的有 。

2、下列各分式当x 取何值时分式有意义。

(1) (2) (3)
3、当x 时，分式
无意义。

4、下列各式中，可能取值为零的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
5、当x 时,分式的值为正,当 x 时,分式的值为负.
6、使分式
无意义,x 的取值是( ) A 、0 B 、1 C 、-1 D ±1
7、当x= 时,分式 的值为0
8、分式
，当x 时,分式有意义,当x 时分式值为零. 板书设计与教学反思:
15.1 分式
《15.1.1 从分数到分式》导学案
0,2
3,,5,11,
22x
b a b a y x x x a ---++11
-+x x 122-x 2
2+-x y x 1
23
-x 2122-+m m 1122+-m m 112-+m m 112++m m 51+-x 1
4
2+-x 1
-x x
2
4
2+-x x 4
2-x x
【学习目标】
1．了解分式的概念，会判断一个代数式是否是分式；
2．了解分式产生的背景和分式的概念，掌握分式与整式概念的区别与联系； 3．理解并能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件； 【学习重点】理解分式的概念，分式有意义的条件．
【学习难点】能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 【知识准备】 1．在①3x 2，②
11x +，③15x+y ，④a b a b +-， ⑤0，⑥a
π
•这几个式子中，
单项式有： ____________多项式有： ______ 整式的有： _____________________ (只填序号)
2．由上题我们发现，由数与字母的 ___ 组成的式子叫单项式；几个单项式的和叫 ；单项式和多项式统称 。

【自习自疑】
一．阅读教材，完成下列问题： 1．通过思考发现，
a s 、s
V 、v +20100、v -2060与分数一样，都是 的形式，分数的分子A 与分母B 都是 ，并且B 中都含有 _ ，那么式子 __ 叫做分式。

2．我们小学里学过的分数有意义的条件是 ；那么当__________时,分式
B
A
才有意义。

二．预习评估 1．在代数式－3x ，
31y +，5y x -，y x ，πx ，x 81-， 22732
xy y x -， 中，
是整式的有_________________ ． 是分式的有_________________ ． 2．当x ___________时，分式
21
x
x -有意义
3．使分式2
x
x +有意义的条件是 （ ）
A ．x ≠2
B ．x ≠－2
C ．x ≠2且x ≠－2
D ．x ≠0
4．已知分式
4
52
3-+x x ，要使分式的值等于零，则x 等于（ ） A ．54 B ．45- C ．32 D ．23
-
我想问：请你将预习中未能解决的问题和有疑问的问题写下来,等待课堂上与老师和同学探究解决.
【自主探究】
【探究一】分式的产生 1．
用代数式填空：
（1）已知某长方形的面积是102cm ，长为5cm ，则这个长方形的宽为 cm ；
（2）已知某长方形的长为a 2cm ，宽为b cm ，则这个长方形的面积为 cm ；
（3）已知某长方形的面积是s 2cm ，长为5cm ，则这个长方形的宽为 cm ；
（4）已知某长方形的面积是102cm ，长为a cm ，则这个长方形的宽为 cm ；
（5）一辆汽车行驶s 千米用了t 小时，那么它的平均车速为 千米/小时；一列火车
行驶s 千米比这辆汽车少用了1小时，那么它的平均车速为 km/h ； 2．思考：（1）以上式子中，是整式的有哪些？
（2）不是整式的有哪些？它们的共同特征是：
①从形式上看，像 ，即都由 、分数线、 三部分组成；
②从内容上看，它们的分母都含有 。

（3）因此，为了和分数区别开来，把这种形如分数，且分母含有字母的式子取名为 。

3. 请你描述一下分式的定义。

【探究二】分式有意义的条件 1．x 为何值时，下列分式有意义？
31x （） （2）
2x x - （3）123a - （4）25
1
x x ++ 2.当m ，n 满足关系 时，分式2m n
m n
+-有意义。

（小结）：分式有意义的条件是： _____。

【探究三】分式值为0的条件 1．x 为何值时，下列分式的值为0 ？
（1）1x x - （2）12x x -+ （3）21
1
x x -+ （4）392+-x x
（小结）：分式的值为0应满足的条有： ； （易错点）： 【探究四】
当x 的取值范围是 时，分式
1
1x -的值大于0。

当x 的取值范围是 时，分式1
x
x -的值大于0。

通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑呢？
【自测自结】 1．用分式填空：
（1）某村有n 个人，一共拥有耕地50公顷，则该村的人均耕地面积为 公顷；
（2）若△ABC 的面积为s ，BC 边的长为a ，则BC 边上的高为 。

2．下列有理式：4xy ，1x ，3ab ，12x x -，2
x
x +中，整式有：
__________ ______，分式有__________________ __。

3．当x 取何值时，下列分式有意义？
（1）32x ： （2）214x x +-： （3）321
x x +-： _________
4．当x 为何值时，分式的值为0？
5．（1）43x x -： （2）x
x 57
+： （3）211x x -+: ____
通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑呢？
15.1 分式
《15.1.1 从分数到分式》同步练习
一、选择题 1． 下列各式①3x ，②5x y +，③12a -，④2
x π-（此处π为常数）中，是分式的有（ ）
A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．①②③④ 2． 分式
21
x a
x +-中，当x a =-时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零 B ．分式无意义
C ．若12a ≠-时，分式的值为零
D ．若1
2
a =-时，分式的值为零
3． 下列各式中，可能取值为零的是（ ）
A ．2211m m +-
B ．211m m -+
C ．211
m m +- D ．211m m ++
4． 使分式
2
1
a
a -无意义，a 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 5. 下列各式中，无论x 取何，分式都有意义的是（ ）
A ．121x +
B ．21x x +
C ．231
x x
+ D ．2221x x +
6. 使分式
||1
x
x -无意义，x 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．±1 7.下列各式是分式的是 （ ）
A ．9x+4 B. C. D. 5
x y
+
8. 下列各式中当x 为0时，分式的值为0的是 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题
9．________________________统称为整式．
10.甲种水果每千克价格a 元，乙种水果每千克价格b 元，取甲种水果m 千克，乙种水果n 千克，混合后，平均每千克价格是_________．
11.下列各式a π，11x +，15
x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有___________；
是整式的有___________；是有理式的有_________．
12． 梯形的面积为S ，上底长为m ，下底长为n ，则梯形的高写成分式为 ．
13． 下列各式11x +，1
()5
x y +，22a b a b --，23x -，0•中，是分式的有______
_____；是整式的有___ ______．
14． 当x =_______ ___时，分式
x
x
2121-+无意义；当x =______ ____时，分x 7209y +x
7x x 57+x x 3217-x x x --221
式
21
34
x x +-无意义． 15． 当x =____ __时，分式3
9
2--x x 的值为零；当x =______ ____时，
分式221
2
x x x -+-的值为零.
16． 当x =___ ___时，分式43
6
x x +-的值为1；当x ___ ____时，分式
2
7
1
x -+的值为负数． 17. 当x 时，分式21
32
x x ++有意义；当x 时，分式2323x x +-有意义.
18. 当x_______时，分式15x -+的值为正；当x______时，分式24
1
x -+的值为负．
19．若把x 克食盐溶入b 克水中，从其中取出m 克食盐溶液，其中含纯盐________．
20．李丽从家到学校的路程为s ，无风时她以平均a 米/•秒的速度骑车，便能按时到达，当风速为b 米/秒时，她若顶风按时到校，请用代数式表示她必须提前_______出发．
21．永信瓶盖厂加工一批瓶盖，甲组与乙组合作需要a 天完成，若甲组单独完成需要b 天，乙组单独完成需_______天．
三、解答题 22．已知2
34x y x
-=
-，x 取哪些值时： （1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数；（3）y 的值是零；（4）分式无意义．
23. 当m 为何值时，分式的值为0？
（1）1m m -； （2）2
3
m m -+； （3）211m m -+．
24．若分式22
x
x +-1的值是正数、负数、0时，求x 的取值范围．
15.1.1 从分数到分式
一、精心选一选
1．C 2．C 3．C 4．D 5.D 6. D 7. B 8.B 二、细心填一填 9.单项式和多项式 10.
2a b
m n
++ 11. 11x +，22a b a b --；a π，15x+y ，-3x 2
，0；a π，11x +，15
x+y ，22a b a b --，-3x 2,0
12．
2s m n
+ 13．11x +、22a b a b --，1
()5
x y +、23x -、0
14．
12，43
15．3-，1- 16．3-，为任意实数
17. 23x ≠-，32
x ≠．
18. <5，任意实数
19．
xm
x b
+克 20．（s a b --s
a ）秒
21．ab b a
-
三、用心做一做
22．（1）
3
4＜x ＜2； （2）x ＜3
4
或x ＞2；
（3）x =2； （4）x =
34
23. 解：（1）∵0,
10,m m =⎧⎨-≠⎩ ∴0m =.
（2）∵20,
30,m m -=⎧⎨+≠⎩
∴2m =.
（3）∵210,
10,m m ⎧-=⎨+≠⎩∴1m =．
24．当x>2或x<-2时，分式的值为正数； 当-2<x<2时，分式的值为负数； 当x=2时，分式的值为0． 答案：
15.1 分式
《15.1.1 从分数到分式》同步练习
课前自主练
1．________________________统称为整式．
2．表示_______÷______的商，那么（2a+b ）÷（m+n ）可以表示为________． 3．甲种水果每千克价格a 元，乙种水果每千克价格b 元，取甲种水果m 千克，乙种水果n 千克，混合后，平均每千克价格是_________．
课中合作练
题型1：分式、有理式概念的理解应用
2
3
4．（辨析题）下列各式，，x+y ，，-3x 2，0•中，是分式
的有___________；是整式的有___________；是有理式的有_________．
题型2：分式有无意义的条件的应用
5．（探究题）下列分式，当x 取何值时有意义．
（1）； （2）．
6．（辨析题）下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．（探究题）当x______时，分式无意义． 题型3：分式值为零的条件的应用
8．（探究题）当x_______时，分式的值为零．
题型4：分式值为±1的条件的应用 9．（探究题）当x______时，分式的值为1； 当x_______时，分式的值为-1． 课后系统练 基础能力题 10．分式，当x_______时，分式有意义；当x_______时，分式的值为零．
11．有理式①
，②，③，④中，是分式的有（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 12．分式
中，当x=-a 时，下列结论正确的是（ ） a π11x +1
5
22a b a b --21
32
x x ++2323x x +-121x +21x x +231
x x
+2221x x +21
34
x x +-221
2
x x x -+-43
5
x x +-43
5
x x +-2
4
x
x -2x 5x y +12a -1x π-31
x a
x +-
A ．分式的值为零；
B ．分式无意义
C ．若a ≠-时，分式的值为零；
D ．若a ≠时，分式的值为零
13．当x_______时，分式的值为正；当x______时，分式的
值为负．
14．下列各式中，可能取值为零的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
15．使分式
无意义，x 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．±1 拓展创新题
16．（学科综合题）已知y=
，x 取哪些值时：（1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数；（•3）y 的值是零；（4）分式无意义．
17．（跨学科综合题）若把x 克食盐溶入b 克水中，从其中取出m 克食盐溶液，其中含纯盐________．
18．（数学与生活）李丽从家到学校的路程为s ，无风时她以平均a 米/•秒的速度骑车，便能按时到达，当风速为b 米/秒时，她若顶风按时到校，请用代数式表示她必须提前_______出发．
19．（数学与生产）永信瓶盖厂加工一批瓶盖，甲组与乙组合作需要a 天完成，若甲组单独完成需要b 天，乙组单独完成需_______天．
20．（探究题）若分式-1的值是正数、负数、0时，求x 的取值范围．
21．（妙法巧解题）已知-=3，求的值．
131
3
15x -+24
1
x -+2211m m +-211m m -+21
1
m m +-211m m ++||1
x
x -1
23x x
--22
x
x +1x 1
y
5352x xy y x xy y +---
22．当m=________时，分式的值为零． 答案
1．单项式和多项式 2．2，3，
3．（元） 4．，；，x+y ，-3x 2
，0；，，x+y ，，-3x 2,0
5．（1）x ≠-
， （2）x ≠ 6．D 7． 8．-1 9．-，
10．≠±2，=0 11．C 12．C 13．<5，任意实数 14．B 15．D
16．当
<x<1时，y 为正数，当y>1或x<时，y 为负数， 当x=1时，y 值为零，当x=时，分式无意义．• •
17．克
18．（-）秒
19．
20．当x>2或x<-2时，分式的值为正数； 当-2<x<2时，分式的值为负数； 当x=2时，分式的值为0． 21． 22．3
《从分数到分式》典型例题
例1．下列各式中不是分式的是（ ）
2
(1)(3)
32
m m m m ---+2a b m n ++ma nb
m n ++11x +22a b a b --a π15a π11x +1522a b a b --233
2
438325
232
3
2
3
xm x b
+s a b -s
a a
b b a
-12
5
A ．
B ．
C ．
D ．
例2．分式
有意义，则应满足条件（）
A ．
B ．
C ．且
D ．或
例3．当取何值时，下列分式的值为零？ （1）； （2）
例4．与是同一个分式吗？
例5．若分式的值为非负数，求的取值范围
例6. 判断下列有理式中，哪些是分式？
；；；；；；
例7. 求使下列分式有意义的的取值范围： （1）
； （2）；
（3）； （4）。

例8. 当是什么数时，下列分式的值是零：
（1）； （2）。

y x x +221π21
x
1
3
-x x )
3)(2(1
---x x x x 1≠x 2≠x 2≠x 3≠x 2≠x 3≠x x 2
1
2-+x x 3
3+-x x 932-+x x 31
-x x
x 212
3-+x ()x -151y y 132+2b a +c b a c b a ++--()312-πx 223
1
21y x -x 5
21
-+x x x x -+243()()3521+-x x 5
.03
222+--x x x x 22322+--x x x 3
3--x x
参考答案
例1．解答
说明 ①分式与整式的根本区别在于分母是否含有字母; ②是一个常数，不是一个字母
例2．分析 因为零不能作除数，所以分式要有意义，分母必不为0，即
，所以且
解
说明 当分母等于零时，分式没有意义，这是学习与分式有关问题时需要特别注意的一点
例3．分析 要使分式的值为零，不仅要使分子等于零，同时还必须使分母不等于零
解 （1）由分子，得.又当时，分母. 所以
当时，分式的值为零。

（2）由分式，得.当时，分母；当时，分母.所以当时，分式
的值为零.
例4．分析 分式
有意义的条件是，即和.而有意义的条件是，而当时，是有意义的.
解 由于与有意义的条件不同，所以，它们不是同一个分式.
说明 在解分式问题时，一定要学会判断一个分式在什么条件下有意义，然后再考虑其他问题.
例5．分析 可转化为，或，；
可转化为，或，
解 根据题意，得
，可转化为 （Ⅰ）和（Ⅱ）
B π0)3)(2(≠--x x 2≠x 3≠x
C 012=+x 21-=x 2
1
-=x 02≠-x 21-=x 2
1
2-+x x 03=-x 3±=x 3=x 063≠=+x 3-=x 03=+x 3=x 3
3+-x x 932-+x x 092
≠-x 3≠x 3
-3
1-x 3≠x 3-=x 3
1
-x 932-+x x 3
1
-x 0>ab 0>a 0>b 0<a 0<b 0≥b
a
0≥a 0>b 0≤a 0<b x
x 212
3-+0≥⎩⎨⎧>-≥+021,023x x ⎩⎨⎧<-≤+.
021,
023x x
由（Ⅰ）得，由（Ⅱ）得无解.
综上，取值范围是： 例6. 分析 判断有理式是否分式的依据，就是分式定义。

也就是说，有理式不仅应在形式上是
，更重点的是中要有字母，才可判定为分式。

解：根据分式定义，；，中分母均含有字母，故
它们是分式。

说明 分母中只要含有字母即可，至于字母的个数和次数不受限制；而分子中字母则可有可无。

例7. 分析 要使分式有意义，只需分母不为零。

可以假定分母等于零，求出相应的的值，在的取值范围内去掉这些值就为所求。

解：（1）令，有。

所以使分式
有意义的的取范围是不等于的一切有理数。

（2）令，有，即或。

所以使
有意义的的取值范围是不等于2和－2的一切有理数。

（3）令，则有或，
即或。

所以使有意义的的取值范围是不等于2且不等于的一切
有理数。

（4）由于，那么。

所以使有意义的取值范围是一切有理数。

2132<≤-x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>-≤.
21,3
2x x x 2
1
32<≤-
x B
A
B y y 132+c b a c b a ++--()31
2-πx
x x 052=-x 2
5
=x 521-+x x x 2
5
02=-x 2=x 2=x 2-=x x
x -+24
3x ()()0352=+-x x 02=-x 035=+x 2=x 5
3
-=x ()()3521+-x x x 5
3
-02≥x 05.02>+x 5
.03
222+--x x x x
说明 1. 到目前为止，分式的字母取值是在有理数范围内，今后，随着扩充新的数，字母的取值范围将跟着扩大。

2. 如果分母是二次三项式的形式，则首先考虑分解成两个一次式的乘积，再令分母为零。

3. 对于分式，弄清其字母的取值范围，对今后分式的进一步学习有着重要的意义。

例8. 分析 要使分式值为零，则首先要使分式有意义，也就是要求的必须满足使分子为零的同时，使分母不为零。

解： （1）应满足 ①
同时满足 ②
由①得；
由②得 ，
∴ 或，
而或均使分母不为零。

∴当或时，都能使分式的值为零。

（2）应满足①并且②。

由①得；
由②得，则或。

而不是分母的取值范围，应当舍去。

∴当时，分式的值是零。

说明 分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的。

如果令分子为零，求出的数，使分母也为零时，必须舍去，所以使分式
为零的条件是： x x 02≠+x 02322=--x x 2-≠x ()()0122=+-x x 02=-x 012=+x 2=x 2
1-=x 2=x 2
1-=x 22322+--x x x x 03≠-x 03=-x 3≠x 3=x 3=x 3-=x 3=x 3-=x 33
--x x B A ⎩⎨⎧=≠.00A B。