函数的单调性和奇偶性典型例题
高中数学：函数的单调性、奇偶性、最值问题练习及答案
高中数学：函数的单调性、奇偶性、最值问题练习及答案1.已知奇函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），且不等式>0对任意两个不相等的正实数x1，x2都成立，则下列不等式中，正确的是（）A.f（－5）>f（3）B.f（－5）<f（3）C.f（－3）>f（－5）D.f（－3）<f（－5）2.设f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则（）A.f（－x1）>f（－x2）B.f（－x1）＝f（－x2）C.f（－x1）<f（－x2）D.f（－x1）与f（－x2）的大小不确定3.已知函数f（x）是奇函数，且在（－∞，＋∞）上为增函数，若x，y满足等式f（2x2－4x）＋f（y）＝0，则4x＋y的最大值是（）A.10B.－6C.8D.94.已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），且方程f（x）＝x无实根.现有四个说法：①若a>0，则不等式f（f （x））>x对一切x∈R成立；②若a<0，则必存在实数x0使不等式f（f（x0））>x0成立；③方程f（f（x））＝x一定没有实数根；④若a＋b＋c＝0，则不等式f（f（x））<x对一切x∈R成立.其中说法正确的个数是（）A.1B.2C.3D.45.区间[a，b]和[－b，－a]关于原点对称.（1）若f（x）为奇函数，且在[a，b]上有最大值M，则f（x）在[－b，－a]上有最________值________. （2）若f（x）为奇函数，f（x）＋2在[a，b]上有最大值M，则f（x）＋2在[－b，－a]上有最________值________.6.设定义在（－1,1）上的奇函数f（x）在[0,1）上单调递增，且有f（1－m）＋f＜0，求实数m的取值范围.7.已知定义在R上的奇函数f（x），当x>0时，f（x）＝－x2＋2x.（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.8.定义在R上的函数y＝f（x），f（0）≠0，当x>0时，f（x）>1，且对任意的a，b∈R，有f（a＋b）＝f（a）f（b）.（1）求证：f（0）＝1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）>0；（3）求证：f（x）是R上的增函数.9.若f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且对一切x，y>0，满足f（）＝f（x）－f（y）.（1）求f（1）的值；（2）若f（6）＝1，解不等式f（x＋3）－f（）<2.10.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足f（mn）＝f（m）＋f（n）（m，n>0），且当x>1时，f（x）>0. （1）求f（1）的值；（2）求证f＝f（m）－f（n）；（3）求证f（x）在（0，＋∞）上是增函数；（4）若f（2）＝1，解不等式f（x＋2）－f（2x）>2；（5）比较f的大小.11.若函数f（x）的定义域是R，且对任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）成立.（1）试判断f（x）的奇偶性；（2）若f（8）＝4，求f（－）的值.12.已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的x，y∈R，有f（x·y）＝xf（y）＋yf（x）. （1）求f（0），f（1）的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论.13.已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f（x）<0，又f（1）＝－2.（1）判断f（x）的奇偶性；（2）求证：f（x）是R上的减函数；（3）求f（x）在区间[－3,3]上的值域；（4）若对任意x∈R，不等式f（ax2）－2f（x）<f（x）＋4恒成立，求a的取值范围.14.设f（x）是定义在[－1,1]上的奇函数，且对任意a，b∈[－1,1]，当a＋b≠0时，都有>0.（1）若a>b，试比较f（a）与f（b）的大小；（2）解不等式f（x－）<f（x－）；（3）如果g（x）＝f（x－c）和h（x）＝f（x－c2）这两个函数的定义域的交集是空集，求c的取值范围.15.已知函数f（x）是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f（1）＝1，若对于任意的m，n∈[－1,1]有>0. （1）判断函数的单调性（不要求证明）；（2）解不等式f<f（1－x）；（3）若f（x）≤－2at＋2对于任意的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围.16.已知函数f（x）＝x－.（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明函数f（x）在区间[1，＋∞）上为增函数；（3）若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于，求a的取值范围.17.已知函数f（x）＝x2＋2.（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；（3）求函数f（x）在区间（－1,2]上的最大值和最小值.18.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b均为实数），x∈R，F（x）＝（1）若f（－1）＝0，且函数f（x）的值域为[0，＋∞），求F（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，当x∈[－2,2]时，g（x）＝f（x）－kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设mn<0，m＋n>0，a>0，且f（x）为偶函数，判断F（m）＋F（n）是否大于零，并说明理由.19.已知函数f（x）＝－（常数a>0）.（1）设m·n>0，证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；（2）设0<m<n，且f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n－m的最大值.20.已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝－x2＋ax.（1）若a＝－2，求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）为R上的单调减函数，①求a的取值范围；②若对任意实数m，f（m－1）＋f（m2＋t）<0恒成立，求实数t的取值范围.21.已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3.（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[3a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间[－1,1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围.22.已知f（x）是定义在[－1,1]上的奇函数，且f（1）＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有>0成立. （1）判断f（x）在[－1,1]上的单调性；（2）解不等式f（x＋）<f（）；（3）若f（x）≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围.答案1.已知奇函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），且不等式>0对任意两个不相等的正实数x1，x2都成立，则下列不等式中，正确的是（）A.f（－5）>f（3）B.f（－5）<f（3）C.f（－3）>f（－5）D.f（－3）<f（－5）【答案】C【解析】设0<x1<x2，则x1－x2<0，由>0，得f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）<f（x2），∴f（x）在（0，＋∞）上为增函数，∴f（x）在（－∞，0）上也是增函数，∴由－3>－5，可得f（－3）>f（－5）.2.设f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则（）A.f（－x1）>f（－x2）B.f（－x1）＝f（－x2）C.f（－x1）<f（－x2）D.f（－x1）与f（－x2）的大小不确定【答案】A【解析】∵x1<0，x1＋x2>0，∴x2>－x1>0，又f（x）在（0，＋∞）上是减函数，∴f（x2）<f（－x1），∵f（x）是偶函数，∴f（－x2）＝f（x2）<f（－x1）.3.已知函数f（x）是奇函数，且在（－∞，＋∞）上为增函数，若x，y满足等式f（2x2－4x）＋f（y）＝0，则4x＋y的最大值是（）A.10B.－6C.8D.9【答案】C【解析】∵奇函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，∴f（2x2－4x）＝－f（y）＝f（－y），∴2x2－4x＝－y，∴4x＋y＝4x－2x2＋4x＝－2（x－2）2＋8≤8，故选C.4.已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），且方程f（x）＝x无实根.现有四个说法：①若a>0，则不等式f（f （x））>x对一切x∈R成立；②若a<0，则必存在实数x0使不等式f（f（x0））>x0成立；③方程f（f（x））＝x一定没有实数根；④若a＋b＋c＝0，则不等式f（f（x））<x对一切x∈R成立.其中说法正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】∵方程f（x）＝x无实根，∴f（x）－x>0或f（x）－x<0.∵a>0，∴f（x）－x>0对一切x∈R成立，∴f（x）>x，用f（x）代替x，∴f（f（x））>f（x）>x，∴说法①正确；同理若a<0，则有f（f（x））<x，∴说法②错误；说法③正确；∵a＋b＋c＝0，∴f（1）－1<0，∴必然归为a<0，有f（f（x））<x，∴说法④正确.故选C.填空5.区间[a，b]和[－b，－a]关于原点对称.（1）若f（x）为奇函数，且在[a，b]上有最大值M，则f（x）在[－b，－a]上有最________值________. （2）若f（x）为奇函数，f（x）＋2在[a，b]上有最大值M，则f（x）＋2在[－b，－a]上有最________值________.【答案】（1）小－M（2）小－M＋4【解析】（1）设x∈[－b，－a]，则－x∈[a，b]，∴f（－x）≤M且存在x0∈[a，b]，使f（x0）＝M.∵f（x）为奇函数，∴－f（x）≤M，f（x）≥－M，且存在－x0∈[－b，－a]，使f（－x0）＝－M.∴f（x）在[－b，－a]上有最小值－M.（2）由（1）知，f（x）在[a，b]上有最大值M－2时，f（x）在[－b，－a]上有最小值－M＋2.∴f（x）＋2在[－b，－a]上有最小值－M＋4.解答6.设定义在（－1，1）上的奇函数f（x）在[0，1）上单调递增，且有f（1－m）＋f＜0，求实数m的取值范围.【答案】由于函数f（x）的定义域为（－1，1），则有解得0＜m＜.又f（1－m）＋f＜0，所以f（1－m）＜－f.而函数f（x）为奇函数，则有f（1－m）＜f.因为函数f（x）是奇函数，且在[0，1）上单调递增，所以函数f（x）在定义域（－1，1）上单调递增，则有1－m＜2m－，解得m＞，故实数m的取值范围为.7.已知定义在R上的奇函数f（x），当x>0时，f（x）＝－x2＋2x.（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.【答案】（1）设x<0，则－x>0，f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＝－x2－2x.又f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x）.于是当x<0时f（x）＝x2＋2x，又因为f（x）为奇函数，所以f（0）＝0，所以f（x）＝（2）要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，结合f（x）的图象知所以1<a≤3，故实数a的取值范围是（1，3].8.定义在R上的函数y＝f（x），f（0）≠0，当x>0时，f（x）>1，且对任意的a，b∈R，有f（a＋b）＝f（a）f（b）.（1）求证：f（0）＝1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）>0；（3）求证：f（x）是R上的增函数.【答案】（1）令a＝b＝0，则f（0）＝[f（0）]2，∵f（0）≠0，∴f（0）＝1.（2）令a＝x，b＝－x，则f（0）＝f（x）f（－x），∴f（－x）＝.由已知当x>0时，f（x）>1>0，则当x<0时，－x>0，f（－x）>0，∴f（－x）＝>0，又当x＝0时，f（0）＝1>0，∴对任意x∈R，f（x）>0.（3）任取x2>x1，则f（x2）>0，f（x1）>0，x2－x1>0，∴＝（（x 2）·f（－x1）＝f（x2－x1）>1，∴f（x2）>f（x1），∴f（x）在R上是增函数.9.若f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且对一切x，y>0，满足f（）＝f（x）－f（y）.（1）求f（1）的值；（2）若f（6）＝1，解不等式f（x＋3）－f（）<2.【答案】（1）在f（）＝f（x）－f（y）中，令x＝y＝1，则有f（1）＝f（1）－f（1），∴f（1）＝0.（2）∵f（6）＝1，∴f（x＋3）－f（）<2＝f（6）＋f（6），∴f（3x＋9）－f（6）<f（6）.即f（）<f（6）.∵f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，∴解得－3<x<9，即不等式的解集为（－3，9）.10.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足f（mn）＝f（m）＋f（n）（m，n>0），且当x>1时，f（x）>0. （1）求f（1）的值；（2）求证f＝f（m）－f（n）；（3）求证f（x）在（0，＋∞）上是增函数；（4）若f（2）＝1，解不等式f（x＋2）－f（2x）>2；（5）比较f与的大小.【答案】（1）令m＝n＝1，由条件得f（1）＝f（1）＋f（1），∴f（1）＝0.（2）f（m）＝f（·n）＝f（）＋f（n），即f（）＝f（m）－f（n）.（3）任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1<x2，则>1.由（2）得f（x2）－f（x1）＝f（）>0，即f（x2）>f（x1）.∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数.（4）由于f（2）＝1，∴2＝f（2）＋f（2）＝f（4），∴f（x＋2）－f（2x）>2⇒f（x＋2）>f（2x）＋f（4）⇒f（x＋2）>f（8x）.又f（x）在（0，＋∞）上为增函数，∴解得0<x<.故不等式f（x＋2）－f（2x）>2的解集为{x|0<x<}.（5）∵f（mn）＝f（m）＋f（n），∴＝f（mn），f（）＝[f（）＋f（）]＝f[（）2]，∵（）2－mn＝（）2≥0，∴（）2≥mn（当且仅当m＝n时取等号），又f（x）在（0，＋∞）上是增函数，∴f[（）2]≥f（mn）.∴f（）≥11.若函数f（x）的定义域是R，且对任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）成立.（1）试判断f（x）的奇偶性；（2）若f（8）＝4，求f（－）的值.【答案】（1）在f（x＋y）＝f（x）＋f（y）中，令x＝y＝0，得f（0＋0）＝f（0）＋f（0），∴f（0）＝0.再令y＝－x，得f（x－x）＝f（x）＋f（－x），即f（x）＋f（－x）＝0，∴f（－x）＝－f（x），故f （x）为奇函数.（2）令y＝x，由条件f（x＋y）＝f（x）＋f（y），得f（2x）＝2f（x）.由此可得f（8）＝2·f（4）＝2·2f（2）＝2·2·2f（1）＝24·f＝4，∴f＝，∴f＝－f＝－.12.已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的x，y∈R，有f（x·y）＝xf（y）＋yf（x）. （1）求f（0），f（1）的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论.【答案】（1）∵f（x·y）＝xf（y）＋yf（x），令x＝y＝0，得f（0）＝0＋0＝0，即f（0）＝0.令x＝y＝1，得f（1）＝1·f（1）＋1·f（1），∴f（1）＝0.（2）∵f（1）＝f[（－1）·（－1）]＝（－1）f（－1）＋（－1）f（－1）＝0，∴f（－1）＝0.对任意的x∈R，f（－x）＝f[（－1）·x]＝（－1）f（x）＋xf（－1）＝－f（x），∴f（x）是奇函数.13.已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f（x）<0，又f（1）＝－2.（1）判断f（x）的奇偶性；（2）求证：f（x）是R上的减函数；（3）求f（x）在区间[－3，3]上的值域；（4）若对任意x∈R，不等式f（ax2）－2f（x）<f（x）＋4恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）取x＝y＝0，则f（0＋0）＝2f（0），∴f（0）＝0.取y＝－x，则f（x－x）＝f（x）＋f（－x），∴f（－x）＝－f（x）对任意x∈R恒成立，∴f（x）为奇函数.（2）任取x1，x2∈（－∞，＋∞），且x1<x2，则x2－x1>0，f（x2）＋f（－x1）＝f（x2－x1）<0，∴f（x2）<－f（－x1）.又f（x）为奇函数，∴f（x1）>f（x2），∴f（x）是R上的减函数.（3）由（2）知f（x）在R上为减函数，∴对任意x∈[－3，3]，恒有f（3）≤f（x）≤f（－3），∵f（3）＝f（2）＋f（1）＝f（1）＋f（1）＋f（1）＝－2×3＝－6，∴f（－3）＝－f（3）＝6，f（x）在[－3，3]上的值域为[－6，6].（4）f（x）为奇函数，整理原式得f（ax2）＋f（－2x）<f（x）＋f（－2），则f（ax2－2x）<f（x－2），∵f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数，∴ax2－2x>x－2，当a＝0时，－2x>x－2在R上不是恒成立，与题意矛盾；当a>0时，ax2－2x－x＋2>0，要使不等式恒成立，则Δ＝9－8a<0，即a>；当a<0时，ax2－3x＋2>0在R上不是恒成立，不合题意.综上所述，a的取值范围为（，＋∞）.14.设f（x）是定义在[－1，1]上的奇函数，且对任意a，b∈[－1，1]，当a＋b≠0时，都有>0.（1）若a>b，试比较f（a）与f（b）的大小；（2）解不等式f（x－）<f（x－）；（3）如果g（x）＝f（x－c）和h（x）＝f（x－c2）这两个函数的定义域的交集是空集，求c的取值范围. 【答案】（1）任取－1≤x 1<x2≤1，则f（x2）－f（x1）＝f（x2）＋f（－x1）＝·（x2－x1）>0，∴f（x2）>f（x1），∴f（x）在[－1，1]上是增函数.∵a，b∈[－1，1]，且a>b，∴f（a）>f（b）.（2）∵f（x）是[－1，1]上的增函数，∴由不等式f（x－）<f（x－）得解得∴－≤x≤，∴原不等式的解集是{x|－≤x≤}.（3）设函数g（x），h（x）的定义域分别是P和Q，则P＝{x|－1≤x－c≤1}＝{x|c－1≤x≤c＋1}，Q＝{x|－1≤x－c2≤1}＝{x|c2－1≤x≤c2＋1}于是P∩Q＝∅的条件是c－1＞c2＋1（无解），或c＋1＜c2－1，即c2－c－2＞0，解得c＞2或c＜－1.故c的取值范围是{c|c＞2或c＜－1}.15.已知函数f（x）是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f（1）＝1，若对于任意的m，n∈[－1，1]有>0. （1）判断函数的单调性（不要求证明）；（2）解不等式f<f（1－x）；（3）若f（x）≤－2at＋2对于任意的x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）函数f（x）在区间[－1，1]上是增函数.（2）由（1）知函数f（x）在区间[－1，1]上是增函数，由f<f（1－x），得解得0≤x<.所以不等式f<f（1－x）的解集为.（3）因为函数f（x）在区间[－1，1]上是增函数，且f（1）＝1，要使得对于任意的x∈[－1，1]，a∈[－1，1]都有f（x）≤－2at＋2恒成立，只需对任意的a∈[－1，1]，－2at＋2≥1恒成立.令y＝－2at＋1，此时y可以看作a的一次函数，且在a∈[－1，1]时，y≥0恒成立.因此只需解得－≤t≤，所以实数t的取值范围为.16.已知函数f（x）＝x－.（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明函数f（x）在区间[1，＋∞）上为增函数；（3）若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于，求a的取值范围. 【答案】（1）函数f（x）＝x－是奇函数，∵函数f（x）＝x－的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在x轴上关于原点对称，且f（－x）＝－x－＝－（x－）＝－f（x），∴函数f（x）＝x－是奇函数.（2）证明设任意实数x1，x2∈[1，＋∞），且x1<x2，则f（x1）－f（x2）＝（x1－）－（x2－）＝，∵1≤x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>0，x1x2＋1>0，∴<0，∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）<f（x2），∴函数f（x）在区间[1，＋∞）上为增函数.（3）∵[2，a]⊆[1，＋∞），∴函数f（x）在区间[2，a]上也为增函数.∴f（x）max＝f（a）＝a－，f（x）min＝f（2）＝，若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于，则a－＋≥－，∴a≥4，∴a的取值范围是[4，＋∞）.17.已知函数f（x）＝x2＋2.（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；（3）求函数f（x）在区间（－1，2]上的最大值和最小值.【答案】（1）定义域为R，值域为{y|y≥2}.（2）因为f（x）定义域关于原点对称，且f（－x）＝f（x），所以f（x）为偶函数；在区间（0，＋∞）上单调递增，在区间（－∞，0]上单调递减.（3）f（x）的对称轴为x＝0，f（x）min＝f（0）＝2，f（－1）＝3，f（2）＝6，所以f（x）max＝6.18.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b均为实数），x∈R，F（x）＝（1）若f（－1）＝0，且函数f（x）的值域为[0，＋∞），求F（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，当x∈[－2，2]时，g（x）＝f（x）－kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设mn<0，m＋n>0，a>0，且f（x）为偶函数，判断F（m）＋F（n）是否大于零，并说明理由. 【答案】（1）∵若f（－1）＝0，∴a－b＋1＝0，①又∵函数f（x）的值域为[0，＋∞），∴a≠0.由y＝a（x＋）2＋，知＝0，即4a－b2＝0.②解①②，得a＝1，b＝2.∴f（x）＝x2＋2x＋1＝（x＋1）2.∴F（x）＝（2）由（1）得g（x）＝f（x）－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋（2－k）x＋1＝（x＋）2＋1－. 又∵当x∈[－2，2]时，g（x）＝f（x）－kx是单调函数.∴≤－2或≥2，即k≤－2或k≥6，故实数k的取值范围为（－∞，－2]∪[6，＋∞）.（3）大于零，理由如下：∵f（x）为偶函数，∴f（x）＝ax2＋1，∴F（x）＝不妨设m>n，则n<0.由m＋n>0，得m>－n>0，∴|m|>|－n|，又a>0，∴F（m）＋F（n）＝f（m）－f（n）＝（am2＋1）－（an2＋1）＝a（m2－n2）>0，∴F（m）＋F（n）大于零.19.已知函数f（x）＝－（常数a>0）.（1）设m·n>0，证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；（2）设0<m<n，且f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n－m的最大值.【答案】（1）证略；（2）因为f（x）在[m，n]上单调递增，f（x）的定义域、值域都是[m，n]⇔f（m）＝m，f（n）＝n，即m，n是方程f（x）＝x的两个根，即方程－＝x有两个正根.整理得a2x2－（2a2＋a）x＋1＝0，所以n－m＝＝，令＝t（t>0），n－m＝＝，所以当t＝时，n－m最大值为.20.已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝－x2＋ax.（1）若a＝－2，求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）为R上的单调减函数，①求a的取值范围；②若对任意实数m，f（m－1）＋f（m2＋t）<0恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）当x<0时，－x>0，又∵f（x）为奇函数，且a＝－2，∴当x<0时，f（x）＝－f（－x）＝x2－2x，∴f（x）＝（2）①当a≤0时，对称轴x＝≤0，∴f（x）＝－x2＋ax在[0，＋∞）上单调递减，由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，∴f（x）在（－∞，0）上单调递减，又在（－∞，0）上f（x）>0，在（0，＋∞）上f（x）<0，∴当a≤0时，f（x）为R上的单调减函数.当a>0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，不合题意.∴函数f（x）为单调减函数时，a的取值范围为a≤0.②∵f（m－1）＋f（m2＋t）<0，∴f（m－1）<－f（m2＋t），又∵f（x）是奇函数，∴f（m－1）<f（－t－m2），又∵f（x）为R上的单调减函数，∴m－1>－t－m2恒成立，∴t>－m2－m＋1＝－2＋对任意实数m恒成立，∴t>.即t的取值范围是.21.已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3.（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[3a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间[－1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围. 【答案】（1）由已知，得函数f（x）图象的对称轴为直线x＝1，可设f（x）＝a（x－1）2＋1，由f（0）＝3，得a＝2，故f（x）＝2x2－4x＋3.（2）要使函数f（x）在区间[3a，a＋1]上不单调，则3a<1<a＋1，解得0<a<.（3）由已知y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，得2x2－4x＋3>2x＋2m＋1恒成立，化简得x2－3x＋1－m>0恒成立，其中－1≤x≤1.设g（x）＝x2－3x＋1－m，则只要g（x）min>0即可，而g（x）min ＝g（1）＝－1－m，由－1－m>0，得m<－1.22.已知f（x）是定义在[－1，1]上的奇函数，且f（1）＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0时，有>0成立.（1）判断f（x）在[－1，1]上的单调性；（2）解不等式f（x＋）<f（）；（3）若f（x）≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）任取x1，x2∈[－1，1]，且x1<x2，则－x2∈[－1，1].∵f（x）为奇函数，∴f（x 1）－f（x2）＝f（x1）＋f（－x2）＝·（x1－x2）.由已知得>0，又x1－x2<0，∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）<f（x2），∴f（x）在[－1，1]上单调递增.（2）∵f（x）在[－1，1]上单调递增，∴结合不等式的性质及二次函数的图象，得－≤x＜－1.故原不等式的解集为{x|－≤x＜－1}.（3）∵f（1）＝1，且f（x）在[－1，1]上单调递增，∴在[－1，1]上，f（x）≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1，1]成立.设g（a）＝－2m·a＋m2，①若m＝0，则g（a）＝0≥0，对a∈[－1，1]恒成立.②若m≠0，则g（a）为关于a的一次函数，若g（a）≥0对a∈[－1，1]恒成立，必须有g（－1）≥0，且g（1）≥0，即结合相应各函数图象，得m≤－2或m≥2.综上所述，实数m的取值范围是（－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞）.。
函数的单调性和奇偶性经典例题
经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1．证明函数上的单调性.证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0则∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0∴上递减.总结升华：[1]证明函数单调性要求使用定义；[2]如何比较两个量的大小？(作差)[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1<x2，则∵0<x1<x2≤1 ∴x1-x2<0，0<x1x2<1 ∵0<x1x2<1故，即f(x1)-f(x2)>0∴x1<x2时有f(x1)>f(x2) 上是减函数.总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)(3).解：(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).总结升华：[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.4. 求下列函数值域：(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；(2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图1)f(x)在[5，10]上单增，；2)；(2)画出草图1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；2).举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.解：(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 .举一反三：【变式1】（2011 北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.解：单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6(7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)，∴f(x)为奇函数；(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数；(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7．已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.举一反三：【变式1】（2011 湖南文12）已知为奇函数，，则为：解：，又为奇函数，所以．8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x>0时，-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0，，如图9．设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)<f(a)时，求a的取值范围.解：∵f(a-1)<f(a) ∴f(|a-1|)<f(|a|)而|a-1|，|a|∈[0，3].类型六、综合问题10．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)；②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)；③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)；④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).答案：①③.11. 求下列函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t 的范围.解：(1)；(2)经观察知，，；(3)令.12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a<-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-13°当a>1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a，如图13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为：f[x(x-2)]≤f(8).14. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0<x1<x2，∵0<x1<x2，∴x1-x2<0，x1·x2>0(1)当时0<x1·x2<1，∴x1·x2-1<0∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.难点：x1·x2-1的符号的确定，如何分段.15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x<a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为综上：.。
函数奇偶性和单调性(包含详细答案)
函数的奇偶性和单调性1．对任意实数x，下列函数中的奇函数是()A．y＝2x－3 B．y＝－3x2C．y＝ln5x D．y＝－|x|cos x答案 C2．对于定义在R上的任意奇函数f(x)，均有()A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)>0 D．f(x)·f(－x)≤0答案 D解析∵f(－x)＝－f(x)，∴f(－x)f(x)＝－f2(x)≤0.3．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是() A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数答案 A解析由f(x)是偶函数知b＝0，∴g(x)＝ax3＋cx是奇函数．4．(2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝()A．2 B．1C．0 D．－2答案 D解析由f(x)为奇函数知f(－1)＝－f(1)＝－2.5．函数f(x)在定义域R上不是常数函数，且f(x)满足：对任意x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(1＋x)＝－f(x)，则f(x)是()A．奇函数但非偶函数B．偶函数但非奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数答案 B解析依题意，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数，所以f(－x＋2)＝f(－x)．又f(2＋x)＝f(2－x)，因此有f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数；若f(x)是奇函数，则有f(－x)＝－f(x)＝f(x)，得f(x)＝0，这与“f(x)不是常数函数”相矛盾，因此f(x)是偶函数但不是奇函数，选B.6．(2011·湖北)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x，则g(x)＝()A．e x－e－x B.12(ex＋e－x)C.12(e－x－e x) D.12(ex－e－x)答案 D解析由f(x)＋g(x)＝e x，可得f(－x)＋g(－x)＝e－x.又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可得f(x)－g(x)＝e－x，则两式相减，可得g(x)＝e x－e－x2，选D.7．(2013·辽宁)已知函数f(x)＝ln(1＋9x2－3x)＋1，则f(lg2)＋f(lg 12)＝()A．－1 B．0C．1 D．2答案 D解析由已知，得f(－x)＝ln(1＋9x2＋3x)＋1，所以f(x)＋f(－x)＝2.因为lg2，lg 12互为相反数，所以f(lg2)＋f(lg12)＝2.8．f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－2，则f(log126)的值等于()A．－43B．－72C.12D．－12答案 C解析f(log126)＝－f(－log126)＝－f(log26)9．(2014·湖北八校)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(2 013)＋f(－2 014)的值为()A．－2 B．－1C．1 D．2答案 C解析依题意得，x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即x≥0时，f(x)是以4为周期的函数．因此，f(2 013)＋f(－2 014)＝f(2 013)＋f(2 014)＝f(1)＋f(2)．而f(2)＝－f(0)＝－log2(0＋1)＝0，f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2 013)＋f(－2 014)＝1.10．下列判断中正确的是________．①f(x)＝(x)2是偶函数；②f(x)＝x3是奇函数；③y＝x0及y＝(x－1)0都是偶函数；④f(x)＝ln(1－x2－x)是非奇非偶函数；⑤f(x)＝3－x2＋91－|x|是偶函数．答案⑤11．函数f(x)＝x3＋sin x＋1的图像关于________点对称．答案(0,1)解析f(x)的图像是由y＝x3＋sin x的图像向上平移一个单位得到的．12．(2014·金华十校联考)定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x∈R，都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)，且x∈[0,4]时，f(x)＝4－x，则f(2 015)的值为________．答案 3解析∵f(4)＝0，∴f(x＋8)＝f(x)，∴T＝8.∴f(2 015)＝f(7)＝f(－1)＝f(1)＝3.13．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋32)，且f(1)＝3，则f(2 014)＝________.答案 3解析∵f(x)＝－f(x＋3 2)，∴f(x＋3)＝f[(x＋32)＋32]＝－f(x＋32)＝f(x)．∴f(x)是以3为周期的周期函数．则f(2 014)＝f(671×3＋1)＝f(1)＝3.14．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为________．答案－415．定义在(－∞，＋∞)上的函数y＝f(x)在(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f(512)的大小关系是__________．答案f(512)<f(－1)<f(4)解析∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x)关于x＝2对称．又y＝f(x)在(－∞，2)上为增函数，∴y＝f(x)在(2，＋∞)上为减函数，而f(－1)＝f(5)，∴f(512)＜f(－1)＜f(4)．16．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确的序号是________．答案①②⑤解析由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)．∴f(x)是周期为2的函数，①正确．f (x )关于直线x ＝1对称，②正确．f (x )为偶函数，在[－1,0]上是增函数，∴f (x )在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数，f (2)＝f (0)．因此③、④错误，⑤正确．综上，①②⑤正确．17．设函数f (x )＝x 3＋x ，若0≤θ≤π2时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，求实数m 的取值范围．答案 (－∞，1)解析 f (x )＝x 3是R 上的奇函数与增函数，因此，由f (m cos θ)＋f (1－m )>0，得f (m cos θ)>－f (1－m )＝f (m －1)，m cos θ>m －1，即m (1－cos θ)<1对任意θ∈[0，π2]恒成立．而当θ＝0时，不等式m (1－cos θ)<1成立，当θ∈(0，π2]时，cos θ∈[0,1)，1－cos θ∈(0,1]，11－cos θ∈[1，＋∞)．由m (1－cos θ)<1，得m <11－cos θ，即m <1.因此，m 的取值范围是(－∞，1)．18．若f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值8，求F (x )在(－∞，0)上的最小值．答案 －4解析 由题意知，当x >0时，F (x )≤8.∵f (x )，g (x )都是奇函数，且当x <0时，－x >0.∴F (－x )＝af (－x )＋bg (－x )＋2＝－af (x )－bg (x )＋2＝－[af (x )＋bg (x )＋2]＋4≤8.∴af (x )＋bg (x )＋2≥－4.∴F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(－∞，0)上有最小值－4.。
函数的单调性奇偶性综合应用练习
函数的单调性、奇偶性综合应用一、利用函数单调性求函数最值例1、已知函数y=f(x)对任意x,y ∈R 均为f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)= －32. (1)判断并证明f(x)在R 上的单调性；(2)求f(x)在[－3，3]上的最大、小值。
思维分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。
解：(1)令x=y=0，f(0)=0，令x=－y 可得：f(－x)= －f(x)，在R 上任取x 1<x 2，则x 2－x 1>0，所以f(x 2) －f(x 1)=f(x 2)+f(－x 1)=f(x 2－x 1).因为x 1<x 2，所以x 2－x 1>0。
又因为x>0时f(x)<0，所以f(x 2－x 1)<0，即f(x 2)<f(x 1).由定义可知f(x)在R 上是减函数.(2)因为f(x)在R 上是减函数，所以f(x)在[－3,3]上也是减函数.所以f(－3)最大，f(3)最小。
所以f(－3)= －f(3)=2即f(x)在[－3，3]上最大值为2，最小值为－2。
二、复合函数单调性例2、求函数y=322--x x 的单调区间，并对其中一种情况证明。
思维分析：要求出y=322--x x 的单调区间，首先求出定义域，然后利用复合函数的判定方法判断.解：设u=x 2－2x －3，则y=u .因为u ≥0，所以x 2－2x －3≥0.所以x ≥3或x ≤－1.因为y=u 在u ≥0时是增函数，又当x ≥3时，u 是增函数，所以当x ≥3时，y 是x 的增函数。
又当 x ≤－1时，u 是减函数，所以当x ≤－1时，y 是x 的减函数。
所以y=322--x x 的单调递增区间是[3,+ ∞)，单调递减区间是(－∞，－1]。
证明略三、利用奇偶性，讨论方程根情况例3、已知y=f(x)是偶函数，且图象与x 轴四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是( )A.4B.2C.0D.不知解析式不能确定 思维分析：因为f(x)是偶函数且图象与x 轴有四个交点，这四个交点每两个关于原点一定是对称的，故x 1+x 2+x 3+x 4=0.答案：C四、利用奇偶性，单调性解不等式例4、设f(x)是定义在[－2，2]上的偶函数，当x ≥0时，f(x)单调递减，若f(1－m)<f(m)成立，求m 的取值范围。
《函数的单调性和奇偶性》经典例题解析
类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)(3).解：(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.4. 求下列函数值域：(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；(2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].1)f(x)在[5，10]上单增，；2)；(2)画出草图1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；2).举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.解：(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 .举一反三：【变式1】（2011 北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.解：单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6(7)解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)，∴f(x)为奇函数；(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数；(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7．已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.举一反三：【变式1】（2011 湖南文12）已知为奇函数，，则为：解：，又为奇函数，所以．8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x>0时，-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0，，如图9．设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)<f(a)时，求a的取值范围.解：∵f(a-1)<f(a) ∴f(|a-1|)<f(|a|)而|a-1|，|a|∈[0，3].类型六、综合问题10．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)；②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)；③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)；④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).答案：①③.11. 求下列函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t 的范围.解：(1)；(2)经观察知，，；(3)令.12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a<-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-13°当a>1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a，如图13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为：f[x(x-2)]≤f(8).14. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0<x1<x2，∵0<x1<x2，∴x1-x2<0，x1·x2>0(1)当时0<x1·x2<1，∴x1·x2-1<0∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x<a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为综上：.。
《函数的单调性和奇偶性》经典例题
类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)(3).解：(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.4. 求下列函数值域：(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；(2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].1)f(x)在[5，10]上单增，；2)；(2)画出草图1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；2).举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.解：(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 .举一反三：【变式1】（2011 北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.解：单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3(4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6(7)解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)，∴f(x)为奇函数；(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数；(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7．已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.举一反三：【变式1】（2011 湖南文12）已知为奇函数，，则为：解：，又为奇函数，所以．8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x>0时，-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0，，如图9．设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)<f(a)时，求a的取值范围.解：∵f(a-1)<f(a) ∴f(|a-1|)<f(|a|)而|a-1|，|a|∈[0，3].类型六、综合问题10．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)；②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)；③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)；④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).答案：①③.11. 求下列函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t 的范围.解：(1)；(2)经观察知，，；(3)令.12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a<-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-13°当a>1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a，如图13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为：f[x(x-2)]≤f(8).14. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0<x1<x2，∵0<x1<x2，∴x1-x2<0，x1·x2>0(1)当时0<x1·x2<1，∴x1·x2-1<0∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x<a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为综上：.。
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、（1）函数f(x)＝x－2，x∈{1，2，4}的最大值为3.在区间[1，5]上的最大值为9，最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)＝(2/x)在（-∞，0）上是减函数。
证明：对于x1<x2.由于x1和x2都小于0，所以有x1<x2<0，因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此，f(x)在（-∞，0）上是减函数.3、函数f(x)＝|x|＋1的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，0]和[0，∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线，单调区间为(-∞，+∞).5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x>3，f(x)是减函数，对于x<3，f(x)是增函数。
因此，f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x3，f(x)是增函数。
因此，f(2)>f(15).6、已知y＝f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1，1)上是减函数，所以对于0f(3a-2)。
因此，实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间：1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线，单调区间为(-∞，-3]和[1，+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，1]和[1，+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线，单调区间为(-∞，-1]和[1，+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线，单调区间为(-∞，-4]和[-1，1]和[5，+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.因为f(x)在[1，+∞)上是增函数，所以对于x>1，有f(x)>f(1)。
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性训练
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性训练题型一：单调性的定义及判断1．下列函数在(),0∞-上单调递减的是（）A ．1y x=-B ．2y x =C ．3y x =D ．y x=2．（2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）设函数()2f x x x x =-，则()f x （）A ．是偶函数，且在()1,∞+上单调递增B ．是奇函数，且在()1,1-上单调递减C ．是偶函数，且在(),1∞--上单调递增D ．是奇函数，且在(),1∞--上单调递减3．（2024·高三·上海静安·期中）已知函数2()(0)2x x af x a a =->，且(0)0f =.(1)求a 的值，并指出函数()f x 的奇偶性；(2)在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数.题型二：复合函数单调性的判断4．函数()()22log 45f x x x =-++的单调递增区间是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,5D ．()1,2-5．函数()13f x ⎛= ⎪⎝⎭的单调增区间为（）A ．(],1-∞-B ．(],1-∞C ．[)1,+∞D ．[)3,+∞6．已知函数()()2lg 12f x x ax =-+在[]1,3-上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．[)6,+∞B ．[)6,7C ．(],2-∞-D ．(]13,2--题型三：分段函数的单调性7．（2024·高三·云南大理·期中）已知函数()()2,211,282a x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(),2-∞B ．13,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(],2-∞D ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．已知函数()252,122,1x ax x f x a x x⎧-+<⎪⎪=⎨-⎪≥⎪⎩满足对于任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,2B ．[)1,2C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．已知函数()322,0()1202a x x ax a x f x x -⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]0,210．（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知0a >，且1a ≠，函数()()3,2log 11,2a a x x f x x x -<⎧=⎨--≥⎩在R 上单调，则a 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭题型四：利用函数单调性求函数最值11．（2024·上海松江·二模）已知02a <<，函数()1241,22,2x a x a x y a x -⎧-++≤=⎨>⎩，若该函数存在最小值，则实数a 的取值范围是.12．（2024·高三·北京东城·期末）设函数()221,,x x af x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩①若2a =-，则()f x 的最小值为.②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是.13．（2024·贵州·模拟预测）已知函数223()2xx f x -++=，则()f x 的最大值是.14．函数25y x =+的最大值为.题型五：利用函数单调性求参数的范围15．（2024·广东揭阳·二模）已知函数()21f x x ax =-++在()2,6上不单调，则a 的取值范围为（）A ．()2,6B ．(][),26,-∞+∞ C ．()4,12D ．(][),412,-∞+∞ 16．（2024·山东·二模）已知函数()221f x x mx =-+在区间[)1,-+∞上单调递增，则()1f 的取值范围是（）．A ．[)7,+∞B ．()7,+∞C ．(],7-∞D ．(),7-∞17．（2024·陕西榆林·一模）已知函数()e e ax xf x =-在[)0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[)0,∞+B ．()1,+∞C ．()e,+∞D ．[)2e,+∞18．设函数()1()(2x x a f x +=在区间(0,1)上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A ．(],2-∞-B ．(]2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞题型六：利用函数的单调性比较函数值大小19．已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-，且当[1,)x ∈+∞时，()e e x x f x -=+,若()2347π2,log 3,sin 5a f b f c f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b a c>>20．（2024·北京西城·一模）设()11,,2a t b t c t t t t=-=+=+，其中10t -<<，则（）A ．b a c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．c b a<<21．已知偶函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且0.35log 2ln 32a b c -==-=，，则()()()f a f b f c ，，的大小关系为()A ．()()()f c f a f b >>B ．()()()f b f c f a >>C ．()()()f a f b f c >>D ．()()()f c f b f a >>题型七：函数的奇偶性的判断与证明22．设函数()(),f x g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（）A ．()()f x g x 是偶函数B ．()()f x g x 是奇函数C ．()()f x g x 是偶函数D ．()()||f x g x 是奇函数23．（2024·重庆·三模）设函数()22xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（）A ．()21f x -+B ．()22f x -+C ．()22f x ++D ．()21f x ++24．（2024·高三·江西）设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则（）A ．()()y f x g x =⋅是偶函数B ．()()y f x g x =⋅是偶函数C ．()()y f x g x =⋅是奇函数D ．()()y f x g x =⋅是奇函数25．（多选题）下列函数中为奇函数的是（）A ．()3f x x=B ．()5f x x=C ．()1f x x x=+D ．()21f x x =26．判断下列函数的奇偶性：(1)()1lg 1x f x x -=+；(2)())lgf x x =.题型八：已知函数的奇偶性求参数27．设函数,1()11,1xx f x x x ⎧≠-⎪=+⎨⎪=-⎩，若()()g x f x a b =++为奇函数，则a b +=28．（2024·陕西西安·模拟预测）函数()52223g x ax x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭为奇函数，则=a .29．（2024·四川内江·三模）若函数22,0()2,0x ax x f x bx x x ⎧+≥=⎨-<⎩是奇函数，则a b +=.30．设奇函数()cos ,0cos sin ,0a x x c x f x xb xc x ⎧+≥⎪=⎨+-<⎪⎩，则a c +的值为.题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值31．（2024·云南昆明·模拟预测）已知()f x ，()g x 分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，()()32f x g x x ax a +=++，则()3f =．32．已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均定义在R 上，且满足()()224359xf xg x x x +=-++，则()()13f g -+=．33．已知()f x ，()g x 是分别定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()321f x g x x x -=++，则()()12f g +=.34．（2024·黑龙江哈尔滨·）已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且满足()()e xf xg x x +=+，则()g x =（）A ．e e 2x x--B ．e e 2x x-+C ．e e 22x x x ---D ．e e 22x x x --+题型十：奇函数的中值模型35．（2024·陕西榆林·三模）已知函数()y f x =为奇函数，且最大值为1，则函数()21y f x =+的最大值和最小值的和为.36．（2024·全国·模拟预测）已知函数()(ln 1xxa f xb xc a=+++，其中0a >且1a ≠，b ∈R ，c Z ∈，则()1f 和()1f -的值一定不会是（）A．2和3-B ．-3和4C ．3和-1D．3437．已知函数())1f x x =+，正实数,a b 满足(2)(4)2f a f b +-=，则242b a a ab b ++的最小值为.38．已知函数())ln1f x x =+，则()()1g x f x =-是（填“奇”“偶”或“非奇非偶”）函数；若()4f a =，则()f a -=.39．（2024·安徽安庆·三模）若,x y R ∀∈，都有()()()4x y f x f f y ++=+成立，则函数()()()2221x f x x f x g x x +++=在[]2019,2019-上的最大值与最小值的和为.题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式40．已知函数2()2e 1x f x x =--+，若()2(2)20f m f m +-+>恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．(2,4)41．（2024·大连）设函数3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是（）A ．(3,)+∞B ．(3),-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞42．（2024·云南贵州·二模）若函数()f x 的定义域为R 且图象关于y 轴对称，在[)0，+¥上是增函数，且()30f -=，则不等式()0f x <的解是（）A ．()3∞--，B ．()3∞+，C ．()33-，D ．()()33∞∞--⋃+，，43．（2024·辽宁·一模）已知函数()()2log 4162xf x x =+--，若()()121f a f a -≥+成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(],2-∞-B ．(][),20,-∞-+∞ C ．42,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(]4,2,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭题型十二：函数对称性的应用44．（2024·陕西宝鸡·二模）请写出一个图像关于点()1,0对称的函数的解析式．45．（2024·四川泸州·一模）函数()1xf x x =-的对称中心为．46．已知函数1()1f x x -=-，函数()g x 满足(1)(1)0g x g x -++=，若()f x 与()g x 的图象有6个交点，则所有交点横坐标之和等于.47．下列函数中，其图象与函数2log y x =的图象关于直线2x =对称的是（）A ．()2log 2y x =+B ．()2log 2y x =-C ．()2log 4y x =+D ．()2log 4y x =-48．（2024·高三·陕西汉中·期中）已知函数()()R f x x ∈满足()21f x +为奇函数，若函数sin πy x =与()y f x =的图象的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(),m m x y ，则()1mi i i x y =+∑等于（）A ．0B ．mC ．2mD ．4m题型十三：函数周期性的应用49．已知函数()f x 的定义域是R ，3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()60f x f x +-=，当302x ≤≤时，()242=-f x x x ，则()2024f =．50．（2024·宁夏银川·一模）若定义在R 上的函数()f x 满足(1)y f x =+是奇函数，(4)()f x f x +=-，(2)2f =，则(1)(2)(3)(30)f f f f ++++=．51．（2024·山东枣庄·一模）已知()2f x +为偶函数，且()()26f x f x ++=-，则()2027f =．52．（多选题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，()2f x ax b =+.若()()036f f +=，则下列关于()f x 的说法正确的有（）A ．()f x 的一个周期为4B ．点()6,0是函数的一个对称中心C ．[]1,2x ∈时，()222f x x =-D ．2025522f ⎛⎫=⎪⎝⎭题型十四：对称性与周期性的综合应用53．（2024·四川南充·三模）已知函数()()f x g x 、的定义域均为R ，函数(21)1f x -+的图象关于原点对称，函数(1)g x +的图象关于y 轴对称，(2)(1)1,(4)0f x g x f +++=--=，则(2030)(2017)f g -=（）A ．4-B ．3-C ．3D ．454．（2024·云南昆明·一模）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()f x 为偶函数且()()23f x f x ++=，()()102g x g x +-=，则[]91()()i f i g i =+=∑（）A ．21B ．22C ．452D ．47255．（2024·高三·河南濮阳·开学考试）已知函数()f x 的定义域为R ，且()41f x +的图象关于点()0,2中心对称，若()()2240f x f x x +--+=，则()1001i f i ==∑.56．（2024·江西）已知定义在R 上的函数()f x 满足(0)0,(3)4()f f x f x ==且(1)()2f x f x -+=，则23f ⎛⎫=⎪⎝⎭A ．32B ．12C ．23D ．1357．（2024·山东日照·二模）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()5.54f =，()()()1g x x f x =-，若()1g x +是偶函数，则()0.5g -=（）A ．6-B ．4-C ．4D ．658．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若(21),(2)f x g x --均为偶函数，且当[1,2]x ∈时，3()2f x mx x =-，则(2024)g =.题型十五：类周期与倍增函数59．（2024·江西上饶·一模）已知函数211,[2,0]()12(2),(0,)x x f x x f x x ⎧-⎪+∈-=⎨-⎪-∈+∞⎩,若函数()()21g x f x x m =--+在区间[－2，4]内有3个零点，则实数m 的取值范围是．A ．11|22m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．1|12m m ⎧⎫-<≤⎨⎩⎭C ．1|112m m m ⎧⎫-<<=⎨⎬⎩⎭或D ．11|122m m m ⎧⎫-<<=⎨⎬⎩⎭或。
函数的奇偶性与单调性经典练习题
函数的奇偶性与单调性【基础训练】1．在下列命题中，正确的是 （ ）A ．函数y = 1x 是奇函数，且在定义域内为减函数B ．函数y =3x 3(x -1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C ．函数y = x 2是偶函数，且在（-3，0）上为减函数D ．函数y = ax 2+c （ac ≠0）是偶函数，且在（0，2）上为增函数2．定义在（a ，c ）上的函数f (x )，在区间（a ，b ）及（b ，c ）上均为增函数，函数f (x )在区间（a ，c ）上是否为增函数如何？请举例说明 ．3．下列函数中是偶函数的为 （ ） A ．f (x ) = x 2|x |（x ∈（-1，1]） B ．f (x ) = xx +21C ．f (x ) = lgxx-+11 D ．f (x ) = ⎩⎨⎧x ，x ≥0-x ，x ＜04．给出下列四个函数：①f (x )=1-x 2；②f (x )= -3x +1；③f (x )=x 2；④f (x )=12--x x x ．其中既是奇函数又是定义域上的减函数的函数个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．已知xa x a x f -+-=2log )(3是奇函数，则a a20032003+= ． 【例题讲解】 例1 试判断下列函数的奇偶性：（1）f (x )=|x +2| + |x -2|；（2）f (x )2|2|22-+-=x x ；（3）0)1(||)(-=x x x x f ．变题1 函数2)1ln()(xe xf x-+=是 （ ） A ．奇非偶函数 B ．偶非奇函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数变题2： 定义在R 上的任意函数f (x )都可以表示为一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和，若f (x )=lg(10x +1)，则 （ ）A ．g (x ) = x ，h (x ) = lg(10x+ 10– x+2)B ．g (x ) = ])110[lg(21x x++，h (x ) = ])110[lg(21x x-+C ．g (x ) =2x ，h (x ) = lg(10x+1) - 2xD ．g (x ) = -2x ，h (x ) = lg(10x+1) - 2x 例2 已知定义在（-∞，+∞）上的函数f (x )的图像关于原点对称，且当x ＞0时，f (x )= x 2-2x +2，求函数f (x )的解析式．变题1 已知函数211)(xa x x f ---=是奇函数，则实数a 的值为 （ ）A ．1-B ．1C ．21-D ．21变题2 )(x f 是定义域为R 的奇函数，方程0)(=x f 的解集为M ，且M 中有有限个元素，则M （ ）A ．可能是∅B ．中元素个数是偶数C ．中元素个数是奇数D ．中元素个数可以是偶数，也可以是奇数 例3 函数f (x ) = log 3(x 2-2x -8)的单调减区间为__________。
函数的单调性及奇偶性经典练习及答案
[基础巩固]1．(多选)下面四个选项，不正确的有( )A ．偶函数的图象一定与y 轴相交B ．奇函数的图象一定通过原点C ．偶函数的图象关于y 轴对称D ．既是奇函数又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )．解析 偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，如y ＝1x 2，故A 错误，C 正确．奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，如y ＝1x，故B 错误．若y ＝f (x )既是奇函数又是偶函数，由定义可得f (x )＝0，但未必x ∈R ，如f (x )＝1－x 2＋x 2－1，其定义域为{－1,1}，故D 错误．故选A 、C 、D.答案 ACD2．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－x ＋1，则当x ＜0时，f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝－x ＋1B ．f (x )＝－x －1C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x －1解析 设x ＜0，则－x ＞0.∴f (－x )＝x ＋1，又函数f (x )是奇函数．∴f (－x )＝－f (x )＝x ＋1，∴f (x )＝－x －1(x ＜0)．答案 B3．已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝________. 解析 当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x， ∴f (1)＝12＋11＝2. ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2.答案 －24．若f (x )为R 上的奇函数，给出下列四个说法：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )－f (－x )＝2f (x )；③f (x )·f (－x )＜0；④f (x )f (－x )＝－1. 其中一定正确的为________．(填序号)解析 ∵f (x )在R 上为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＋f (－x )＝f (x )－f (x )＝0，故①正确．f (x )－f (－x )＝f (x )＋f (x )＝2f (x )，故②正确．当x ＝0时，f (x )·f (－x )＝0，故③不正确．当x ＝0时，f (x )f (－x )分母为0，无意义，故④不正确． 答案 ①②5．函数f (x )＝x 3－x 图象的一部分如图所示，根据f (x )的奇偶性画出它在y 轴左侧的图象．解析 函数f (x )＝x 3－x 的定义域是R ，定义域关于坐标原点对称，对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－(x 3－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x 3－x 是奇函数．∴函数的图象关于原点对称．将函数f (x )＝x 3－x 图象上位于y 轴右侧的部分作关于原点对称的对称图象，得函数f (x )＝x 3－x 在y 轴左侧的图象，如图所示．[能力提升]6．(2022·珠海模拟)已知f ()x 是R 上的偶函数，在(－∞，0]上单调递增，且f (2)＝0，则下列不等式成立的是( )A ．0<f ()1<f ()5<f ()－3B ．f ()5<f ()－3<0<f ()1C ．f ()－3<f ()－1<0<f ()1D ．f ()－3<0<f ()1<f ()5解析 因为f ()x 是R 上的偶函数，在(－∞，0]上单调递增，所以f ()x 在()0，＋∞上单调递减，f ()－3＝f (3)．又f (2)＝0，且1<2<3<5，f ()x 在(0，＋∞]上单调递减，所以f ()1>f ()2>f ()3>f ()5，即f ()5<f ()－3<0<f ()1.故选B.答案 B7．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析 因为f (x )为奇函数，f (x )－f (－x )x<0， 即f (x )x<0， 因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数且f (1)＝0，所以当x >1时，f (x )<0.因为奇函数图象关于原点对称，所以在(－∞，0)上f (x )为减函数且f (－1)＝0，即x <－1时，f (x )>0.综上，使f (x )x<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案 C8．已知函数f (x )＝x ＋m x 2＋nx ＋1是定义在(－1,1)上的奇函数，则常数m ，n 的值分别为________．解析 由题意知f (0)＝0，故得m ＝0.由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，即－x x 2－nx ＋1＝－x x 2＋nx ＋1， ∴x 2－nx ＋1＝x 2＋nx ＋1，∴n ＝0.答案 0,09．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 取值范围是________．解析 偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减．由于f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫－13＝f ⎝⎛⎭⎫13. 由f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，2x －1<13①或⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1<0，2x －1>－13②， 解①得12≤x <23，解②得13<x <12. 综上，得13<x <23，故x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23. 答案 ⎝⎛⎭⎫13，2310．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解析 (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3， 故实数a 的取值范围是(1,3]．[探索创新]11．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ∈R ，当a ＋b ≠0时，都有f (a )＋f (b )a ＋b＞0.(1)若a ＞b ，试比较f (a )与f (b )的大小关系；(2)若f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，求实数m 的取值范围．解析 (1)因为a ＞b ，所以a －b ＞0，由题意得f (a )＋f (－b )a －b＞0， 所以f (a )＋f (－b )＞0.又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－b )＝－f (b )，所以f (a )－f (b )＞0，即f (a )＞f (b )．(2)由(1)知f(x)为R上的增函数，因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)，所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.所以实数m的取值范围为(－∞，4]．。
函数单调性及奇偶性练习(含答案)
1、已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ）A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 2、已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2）3、函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数4、若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5， 则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－35、已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <， 则 （ ）A .12()()f x f x ->-B .12()()f x f x -<-C .12()()f x f x ->-D . 12()()f x f x -<-6、定义在（－１，１）上的函数ｆ（ｘ）是奇函数，并且在（－１，１）上ｆ（ｘ）是减函数，求满足条件ｆ（１－ａ）＋ｆ（１－ａ２）＜０的ａ取值范围. （ ）Ａ．（０，１） Ｂ．（－２，１） Ｃ．［０，１］ Ｄ．［－２，１］7、已知函数ｆ（ｘ)是定义在区间［－２，２］上的偶函数，当ｘ∈［０，２］时，ｆ(ｘ) 是减函数，如果不等式ｆ（１－ｍ）＜ｆ（ｍ）成立，求实数ｍ的取值范围.（ ） Ａ．1[1,)2- Ｂ．［１，２］ Ｃ．［－１，０］ Ｄ．（11,2-） 8、已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 ( ) A (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B (1,2)- C (2,1)- D (,2)(1,)-∞-⋃+∞9、已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根 之和为________10、已知偶函数y ＝f(x)在区间[0,4]上是单调增函数，则f(－3)与f(π)的大小关系是__________11、若定义在R 上的函数f(x)满足：对任意x 1、x 2∈R 有f(x 1＋x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)＋1，则下列 说法一定正确的序号是__________．①f(x)为奇函数 ；②f(x)为偶函数 ；③f(x)＋1为奇函数 ；④f(x)＋1为偶函数12、若(1)()()x x a f x x++=是奇函数，则a =___13、已知f(x)是奇函数，定义域为{x|x ∈R 且x ≠0},又f(x)在（0，+∞）上是增函数，且f(-1)=0,则满足f(x)>0的x 取值范围是________.14、已知)(x f y =是偶函数,当0>x 时,2)1()(-=x x f ;若当⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈21,2x 时,m x f n ≤≤)(恒成立,则n m -的最小值为15、 设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数．16、设函数f(x)=21xb ax ++是定义在（－1，1）上的奇函数，且f(21)=52，（1）确定函数f(x)的解析式；（2）用定义证明f(x)在（－1，1）上是增函数；（3）解不等式f ( t －1)+ f (t) < 0。
专题：函数的奇偶性与单调性题型汇总
专题：函数的奇偶性与单调性题型汇总题型1：证明函数的奇偶性与单调性 班级 姓名例1、 证明函数y =在定义域上是奇函数．例2、 证明函数31y x =--在定义域上是减函数．题型2：函数奇偶性的判断例3、 判断函数y =奇偶性．题型3：研究函数的单调性并确定函数的单调区间例4、 研究函数1x y x =+的单调性并确定它的单调区间．题型4：函数的奇偶性的简单应用例5、已知53()8f x x ax bx =++-，且f(-2)=10，则f(2)= ．例6、已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()21f x x x =-+，求()f x 在R 上的表达式．例7、已知2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为[1,2]a a -则a= b= ．例8、函数1()1a f x x x a=+-+是奇函数，求实数a ．题型5：二次函数单调性的应用例9、已知函数2()(1)28f x x a x a =+-+-在(,3]-∞上是减函数，求a 的取值范围．例10、已知函数2()(31)1f x ax a x =--+在[1,2]-上是增函数，求a 的取值范围．题型6：复合函数的单调区间的确定例11、函数()f x =————————————————————————．例12、函数227()2x x f x x ++=-的递减区间是————————————————————————．例13、已知2()28f x x x =-++，求函数2(2)f x -的单调区间．题型7：函数的奇偶性与单调性的综合应用1、 求值2、 例14、若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，求满足2(3)(2)f x f x -=的所有x 的值．例15、若函数()f x 在R 上的奇函数，(1)2,(3)()f f x f x =+=-，求(2003)f 的值．2、解不等式例16、若函数()f x 是定义在（-1，1）上的偶函数，且在（-1，0）]上是减函数，解不等 式2(2)(4)0f x f x ---<．例17、函数()f x 是定义在(0,)∞上的增函数，且满足()()(),(2)1f a b f a f b f ⋅=+=，解不等式：()(2)3f x f x -->．例18、若函数()f x 是定义在(0,)+∞上的减函数，且()()()xf f x f y y=-，若(3)1f =，解不等式：1()()28f x f x -≥-．3、其他综合题例19、已知函数(1)y f x =-是偶函数，且(0,)x ∈+∞时有1()f x x =，求当(,2)x ∈-∞-时()y f x =的解析式．例20、函数()f x 的定义域是R ，对任意的实数x ，y 都有()()()f x f y f x y +=+，当0x >，()0f x >，判断函数的奇偶性与单调性．例21、若奇函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且满足(4)f -=0，（1）画出一个满足条件的()f x 的图象；（2）解不等式()0x f x ⋅<．例22、设函数()f x ax =，其中0a >，求a 的取值范围，使函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调递减函数．。
高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解
高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =；④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增．则上述所有正确结论的编号是________【答案】①③【解析】对于①令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，解得()00f =，①正确；对于②令y x =−，则()()()00f f x f x =+−=，∴()()f x f x −=−，∴()f x 是R 上的奇函数，②错误；对于③令1x y ==，则()()()()211212f f f f =+==，∴()11f =，③正确；对于④设12x x >，则120x x −>，∴()()()12120f x x f x f x −=+−<，则()()()122f x f x f x <−−=，∴()f x 在R 上单调递减，④错误．故答案为：①③．例2、（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤−−<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（ ） A ．()3,1−B ．()()3,11,1−−−C ．()(),11,1−∞−− D ．()(),31,−∞−⋃+∞ 【答案】B【解析】由()()121221()[]0f x f x x x x x −−<，得()()11221212()[]0x f x x f x x x x x −−<， 因为121200x x x x −>>，，所以()()11220x f x x f x −<，即()()1122x f x x f x <，设()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递减，而()()()()()1114222g x x f x f g +=++>==，则012x <+<，解得：11x −<<；因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x −=−−==，则()g x 为R 上的偶函数，故()g x 在(,0)−∞上单调递增，()()()()11142g x x f x g +=++>=−，则210x −<+<，解得：31x −<<−；综上，原不等式的解集为(),111)3(,−−−．故选：B ．例4、（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =−，12b f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】 由函数()f x 的图像关于直线1x =对称可得()()31f f =−，结合奇函数的性质可知 ()3a f =−()()()311f f f =−=−−=，()()200c f f ===．由奇函数的性质结合()y f x =在[]0,1上单调递增可得()y f x =在[]1,1−上单调递增， 所以()()1012f f f ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭， 所以b c a <<．故选：C例5、（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x −=，当01x ≤≤时，()1e 1x f x −=−，则方程()11f x x =−在区间[]3,5−上所有解的和为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】A【解析】 解：因为函数()f x 满足()()2f x f x −=，所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称， 又函数()f x 为偶函数，所以()()()2−==−f x f x f x ，所以函数()f x 是周期为2的函数， 又1()1g x x =−的图像也关于直线1x =对称， 作出函数()f x 与()g x 在区间[]3,5−上的图像，如图所示：由图可知，函数()f x 与()g x 的图像在区间[]3,5−上有8个交点，且关于直线1x =对称， 所以方程。
函数的单调性和奇偶性-典型例题
函数的单调性和奇偶性例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间．解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数．评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上．（2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围．分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征．解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3．评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合．例2判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝-（2）f（x）＝（x-1）．解：（1）f（x）的定义域为R．因为f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）．所以f（x）为奇函数．（2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：（1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称．（2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性．例3已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性．（2）确定f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数?在区间（0，+∞）上呢?证明你的结论．解：因为f（x）的定义域为R，又f（-x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数．（2）f（x）在（-∞，0）上是增函数，由于f（x）为偶函数，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数．其证明：取x1＜x2＜0，f（x1）-f（x2）＝- ＝＝．因为x1＜x2＜0，所以x2-x1＞0，x1+x2＜0，x21+1＞0，x22+1＞0，得f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在（-∞，0）上为增函数．评析奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反．例4已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，试问F（x）＝在（-∞，0）上是增函数还是减函数?证明你的结论．分析根据函数的增减性的定义，可以任取x1＜x2＜0，进而判定F（x1）-F（x2）＝-＝的正负．为此，需分别判定f（x1）、f（x2）与f（x2）的正负，而这可以从已条件中推出．解：任取x1、x2∈（-∞，0）且x1＜x2，则有-x1＞-x2＞0．∵y＝f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，∴f（-x2）＜f（-x1）＜0．①又∵f（x）是奇函数，∴f（-x2）＝-f（x2），f（-x1）＝-f（x1）②由①、②得f（x2）＞f（x1）＞0．于是F（x1）-F（x2）＝＞0，即F（x1）＞F（x2），所以F（x）＝在（-∞，0）上是减函数．评析本题最容易发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在（0，+∞）内任取x1＜x2，展开证明．这样就不能保证-x1，-x2，在（-∞，0）内的任意性而导致错误．避免错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地展开证明活动．例5讨论函数f（x）＝（a≠0）在区间（-1，1）内的单调性．分析根据函数的单调性定义求解．解：设-1＜x1＜x2＜１，则f（x1）-f（x2）＝-＝∵x1，x2∈（-1，1），且x1＜x２，∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，（1-x21）（1-x22）＞0于是，当a＞0时，f（x1）＜f（x2）；当a＜0时，f（x1）＞f（x2）．故当a＞0时，函数在（-1，1）上是增函数；当a＜0时，函数在（-1，1）上为减函数．评析根据定义讨论（或证明）函数的单调性的一般步骤是：（1）设x1、x2是给定区间内任意两个值，且x1＜x2；（2）作差f（x1）-f（x2），并将此差式变形；（3）判断f（x1）-f（x2）的正负，从而确定函数的单调性．例6求证：f（x）＝x+ （k＞0）在区间（0，k］上单调递减．解：设0＜x1＜x2≤k，则f（x1）-f（x2）＝x1+ -x2-＝∵0＜x1＜x2≤k，∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜k2，∴f（x1）-f（x2）＞0∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）＝x+ 中（0，k］上是减函数．评析函数f（x）在给定区间上的单调性反映了函数f（x）在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质．因此，若要证明f（x）在［a,b］上是增函数（减函数），就必须证明对于区间［a,b］上任意两点x1，x2，当x1＜x2时，都有不等式f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2））类似可以证明：函数f（x）＝x+ （k＞0）在区间［k，+∞］上是增函数．例7判断函数f（x）＝的奇偶性．分析确定函数的定义域后可脱去绝对值符号．解：由得函数的定义域为［-1，1］．这时，｜x-2｜＝2-x．∴f（x）＝，∴f（-x）＝＝＝f（x）．且注意到f（x）不恒为零，从而可知，f（x）＝是偶函数，不是奇函数．评析由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性，若不作深入思考，便会作出其非奇非偶的判断．但隐含条件（定义域）被揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了．这样看来，解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题过程．。
(完整版)函数的单调性和奇偶性练习题
—函数的单调性和奇偶性一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1］∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤-3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在（0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈[－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数． 20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212aa-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
抽象函数单调性及奇偶性练习及答案
1、已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。
2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1),f(-1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.3、函数f(x)对任意x､y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, <0, f(3)=-2.(1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.4、已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减5、已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足: .(1)求的值;(2)判断的奇偶性,并证明你的结论;6、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。
7、已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时, >0.(1)求;(2) 判断函数的单调性,并证明.8、函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③.(1)求的值;(2)求证: 在R上是单调减函数;9、已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.(1)证明:;(2)证明: 在R上单调递减;10、函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。
（1）证明：；（2）若成立，求x的取值范围。
11、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（3）求证：f(0)=1；（4）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。
函数单调性奇偶性经典例题
［例1］已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyyx ++1),试证明： (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.技巧与方法：对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是焦点.证明：(1)由f (x )+f (y )=f (xy yx ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21xx x --)=f (0)=0.∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数.(2)先证f (x )在(0，1)上单调递减.令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)－f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴12121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0 ∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0，即f (x 2)<f (x 1).∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0. ∴f (x )在(－1，1)上为减函数.3.函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是_________.解析：令t =|x +1|,则t 在(－∞,－1]上递减，又y =f (x )在R 上单调递增，∴y =f (|x +1|)在(－∞,－1]上递减. 答案：(－∞,－1]4.若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2), 且在［x 2,+∞)上单调递增，则b 的取值范围是_________.解析：∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0.f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ， ∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0.又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0, ∴b =－a (x 1+x 2)＜0. 答案：(－∞,0）三、解答题 5.已知函数f (x )=a x +12+-x x (a >1). (1)证明：函数f (x )在(－1，+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f (x )=0没有负数根.证明：(1）设－1＜x 1＜x 2＜+∞,则x 2－x 1>0, 12x x a ->1且1x a >0, ∴)1(12112-=--x x x x x a a a a >0,又x 1+1>0,x 2+1>0 ∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x >0, 于是f (x 2)－f (x 1)=12x x a a -+12121122+--+-x x x x >0 ∴f (x )在(－1，+∞）上为递增函数.(2）证法一：设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)=0,则12000+--=x x a x 且由0＜0x a ＜1得0＜－1200+-x x ＜1,即21＜x 0＜2与x 0＜0矛盾，故f (x )=0没有负数根.证法二：设存在x 0＜0(x 0≠－1)使f (x 0)=0,若－1＜x 0＜0,则1200+-x x ＜－2,0x a ＜1,∴f (x 0)＜－1与f (x 0)=0矛盾，若x 0＜－1,则1200+-x x >0, 0x a >0，∴f (x 0)>0与f (x 0)=0矛盾，故方程f (x )=0没有负数根. 6.求证函数f (x )=223)1(-x x 在区间(1，+∞)上是减函数.证明：∵x ≠0,∴f (x )=22422322)11(1)1(1)1(1x x x x x x x -=-=-, 设1＜x 1＜x 2＜+∞,则01111,11121222122>->-<<x x x x .2211222222112222)11(1)11(1.0)11()11(x x x x x x x x -<-∴>->-∴∴f (x 1)>f (x 2), 故函数f (x )在(1，+∞）上是减函数.8.已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且f (－21)=0,当x >－21时，f (x )>0. (1)求证：f (x )是单调递增函数； 证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－21>－21,由题意f (x 2－x 1－21)>0, ∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－21)－1=f ［(x 2－x 1)－21］>0, ∴f (x )是单调递增函数.［例1］已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2+3x －4(x ∈B )的最大值.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f ”号，转化为x 不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值. 解：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66603333332x x x x 得且x ≠0,故0<x <6, 又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数， ∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2<x <6,即A ={x |2<x <6}, ∴B =A ∪{x |1≤x ≤5}={x |1≤x <6},又g (x )=－3x 2+3x －4=－3(x －21)2－413知：g (x )在B 上为减函数，∴g (x )max =g (1)=－4.一、选择题1.设f (x )是(－∞,+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x ),当0≤x ≤1时，f (x )=x ,则f (7.5)等于( ) A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.5解析：f (7.5)=f (5.5+2)=－f (5.5)=－f (3.5+2)=f (3.5)=f (1.5+2)=－f (1.5)=－f (－0.5+2)= f (－0.5)=－f (0.5)=－0.5. 答案：B2.已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0, 则a 的取值范围是( ) A.(22，3) B.(3，10) C.(22，4)D.(－2，3)解析：∵f (x )是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)＜0.∴f (a －3)＜f (a 2－9).∴⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-9319113122a a a a ∴a ∈(22,3). 答案：A 二、填空题3.若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________.解析：由题意可知：xf (x )＜0⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧><⇔0)(00)(0x f x x f x 或 ⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔3030 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或 ∴x ∈(－3,0)∪(0,3) 答案：(－3，0）∪(0，3）4.如果函数f (x )在R 上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f (x +2)=－f (x ),试比较f (31),f (32),f (1)的大小关系_________. 解析：∵f (x )为R 上的奇函数 ∴f (31)=－f (－31),f (32)=－f (－32),f (1)=－f (－1),又f (x )在(－1，0)上是增函数且－31> －32>－1. ∴f (－31)>f (－32)>f (－1),∴f (31)＜f (32)＜f (1).答案：f (31)＜f (32)＜f (1)三、解答题5.已知f (x )是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f (x )在(－∞,0)上的增减性并加以证明. 解：函数f (x )在(－∞,0）上是增函数，设x 1＜x 2＜0,因为f (x )是偶函数，所以f (－x 1)=f (x 1),f (－x 2)=f (x 2),由假设可知－x 1>－x 2>0,又已知f (x ) 在(0，+∞)上是减函数，于是有f (－x 1)＜f (－x 2),即f (x 1)＜f (x 2),由此可知，函数f (x )在(－∞,0)上是增函数.6.已知函数y =f (x )=c bx ax ++12 (a ,b ,c ∈R ,a >0,b >0)是奇函数，当x >0时，f (x )有最小值2，其中b ∈N 且f (1)<25.(1)试求函数f (x )的解析式；(2)问函数f (x )图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )=－f (x ),即c bx c bx cbx ax c bx ax -=+⇒+-+-=++1122 ∴c=0,∵a >0,b >0,x >0,∴f (x )=bx x b a bx ax 112+=+≥22b a ，当且仅当x =a 1时等号成立，于是22ba =2,∴a =b 2,由f (1)＜25得ba 1+＜25即b b 12+＜25,∴2b 2－5b +2＜0,解得21＜b ＜2，又b ∈N ,∴b =1,∴a =1,∴f (x )=x +x 1.(2)设存在一点(x 0,y 0)在y =f (x )的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x 0,－y 0)也在y =f (x )图象上，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=+0020002021)2(1yxx y x x 消去y 0得x 02－2x 0－1=0,x 0=1±2.∴y =f (x )图象上存在两点(1+2,22),(1－2,－22)关于(1，0)对称.3．函数单调性与奇偶性的综合运用例6．甲、乙两地相距Skm ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km ／h ，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km ／h)的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km ／h)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶．分析：(1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决．故所求函数及其定义域为但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过ckm ／h ，所以(2)的解决需要论函数的增减性来解决．由于v1v2＞0，v2-v1＞0，并且又S＞0，所以即则当v=c时，y取最小值．说明：此题是1997年全国高考试题．由于限制汽车行驶速度不得超过c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使难度有所增大．。
函数的单调性及奇偶性(含答案)
函数的单调性及奇偶性(含答案)函数的单调性及奇偶性1.已知函数$f(x)=x^2+2x+1$，则$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上是上的增函数，若$x>0$，则下列不一定正确的是()答案：D解题思路：$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上单调递增，所以选项D不一定正确。
2.已知定义在$(-\infty,+\infty)$上的函数$f(x)$满足：对任意不同的$x_1$，$x_2$，都有$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。
若$f(x)=ax^2+bx+c$，则实数$a$的取值范围是()答案：C解题思路：根据题目中的条件可知$f(x)$是下凸函数，即$a>0$，$b^2-4ac<0$，所以$a$的取值范围是$(0,+\infty)$，选项C正确。
3.已知定义在$(-\infty,+\infty)$上的函数$f(x)$满足：对任意不同的$x_1$，$x_2$，都有$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。
若$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，则实数$a$的取值范围是()答案：B解题思路：根据题目中的条件可知$f(x)$是下凸函数，且在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$a>0$，$b^2-4ac<0$，且$b\geq0$，所以$a\leq\frac{1}{4}$，选项B正确。
4.函数$f(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}$的单调递减区间是()答案：A解题思路：求出$f'(x)$，令其小于0，解得$x\in(-\infty,-2)\cup(-1,-\frac{3}{2})$，即$f(x)$在$(-\infty,-2)\cup(-1,-\frac{3}{2})$上单调递减，选项A正确。
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函数的单调性和奇偶性
例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间．
解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数．
评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上．
（2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围．
分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征．
解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x ＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3．
评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合．
例2判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝-
（2）f（x）＝（x-1）．
解：（1）f（x）的定义域为R．因为
f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜
＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）．
所以f（x）为奇函数．
（2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：
（1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称．
（2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性．
例3已知函数f（x）＝．
（1）判断f（x）的奇偶性．
（2）确定f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数?在区间（0，+∞）上呢?证明你的结论．
解：因为f（x）的定义域为R，又
f（-x）＝＝＝f（x），
所以f（x）为偶函数．
（2）f（x）在（-∞，0）上是增函数，由于f（x）为偶函数，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数．
其证明：取x1＜x2＜0，
f（x1）-f（x2）＝- ＝＝．
因为x1＜x2＜0，所以
x2-x1＞0，x1+x2＜0，
x21+1＞0，x22+1＞0，
得f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以f（x）在（-∞，0）上为增函数．
评析奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反．
例4已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，试问F（x）＝在（-∞，0）上是增函数还是减函数?证明你的结论．
分析根据函数的增减性的定义，可以任取x 1＜x2＜0，进而判定F（x1）-F（x2）＝
- ＝的正负．为此，需分别判定f（x1）、f（x2）与f（x2）的正负，而这可以从已条件中推出．
解：任取x1、x2∈（-∞，0）且x1＜x2，则有-x1＞-x2＞0．
∵y＝f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，
∴f（-x2）＜f（-x1）＜0．①
又∵f（x）是奇函数，
∴f（-x2）＝-f（x2），f（-x1）＝-f（x1）②
由①、②得f（x2）＞f（x1）＞0．于是
F（x1）-F（x2）＝＞0，即F（x1）＞F（x2），
所以F（x）＝在（-∞，0）上是减函数．
评析本题最容易发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在（0，+∞）内任取x1＜x2，展开证明．这样就不能保证-x1，-x2，在（-∞，0）内的任意性而导致错误．避免错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地展开证明活动．
例5讨论函数f（x）＝（a≠0）在区间（-1，1）内的单调性．
分析根据函数的单调性定义求解．
解：设-1＜x1＜x2＜１，则
f（x1）-f（x2）＝-
＝
∵x1，x2∈（-1，1），且x1＜x２，
∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，
（1-x21）（1-x22）＞0
于是，当a＞0时，f（x1）＜f（x2）；当a＜0时，f（x1）＞f（x2）．
故当a＞0时，函数在（-1，1）上是增函数；当a＜0时，函数在（-1，1）上为减函数．评析根据定义讨论（或证明）函数的单调性的一般步骤是：
（1）设x1、x2是给定区间内任意两个值，且x1＜x2；
（2）作差f（x1）-f（x2），并将此差式变形；
（3）判断f（x1）-f（x2）的正负，从而确定函数的单调性．
例6求证：f（x）＝x+ （k＞0）在区间（0，k］上单调递减．
解：设0＜x1＜x2≤k，则
f（x1）-f（x2）＝x1+ -x2-
＝
∵0＜x1＜x2≤k，
∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜k2，
∴f（x1）-f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）＝x+ 中（0，k］上是减函数．
评析函数f（x）在给定区间上的单调性反映了函数f（x）在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质．因此，若要证明f（x）在［a,b］上是增函数（减函数），就必须证明对于区间［a,b］上任意两点x1，x2，当x1＜x2时，都有不等式f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2））
类似可以证明：
函数f（x）＝x+ （k＞0）在区间［k，+∞］上是增函数．
例7判断函数f（x）＝的奇偶性．
分析确定函数的定义域后可脱去绝对值符号．
解：由得函数的定义域为［-1，1］．这时，｜x-2｜＝2-x．
∴f（x）＝，
∴f（-x）＝＝＝f（x）．
且注意到f（x）不恒为零，从而可知，f（x）＝是偶函数，不是奇函数．评析由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性，若不作深入思考，便会作出其非奇非偶的判断．但隐含条件（定义域）被揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了．这样看来，解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题过程．。