柯西不等式与排序不等式及其应用经典例题透析

经典例题透析

类型一：利用柯西不等式求最值

1．求函数的最大值．

思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。

解析：

法一：∵且，

∴函数的定义域为，且，

当且仅当时，等号成立，

即时函数取最大值，最大值为

法二：∵且，

∴函数的定义域为

由，

得

即，解得

∴时函数取最大值，最大值为.

总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键．

举一反三：

【变式1】（2011辽宁，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。

（I）证明：-3≤f（x）≤3；

（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。

【答案】

(Ⅰ)

当时，．

所以．…………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，

当时，的解集为空集；

当时，的解集为；

当时，的解集为．

综上，不等式的解集为．……10分

【变式2】已知，，求的最值.

【答案】

法一：

由柯西不等式

于是的最大值为，最小值为.

法二：

由柯西不等式

于是的最大值为，最小值为.

【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．【答案】

根据柯西不等式

，

故。

当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，

此时，

评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑．

类型二：利用柯西不等式证明不等式

利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。

（1）巧拆常数：

2．设、、为正数且各不相等，求证：

思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证：

而，又，故可利用柯西不等式证明之。

证明：

又、、各不相等，故等号不能成立

∴。

（2）重新安排某些项的次序：

3．、为非负数，+=1，，求证：

思路点拨：不等号左边为两个二项式积，，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。

证明：∵+=1

∴

即

（3）改变结构：

4、若>>，求证：

思路点拨：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了。

，，∴，∴所证结论改为证

。

证明：

∴

（4）添项：

5．，求证：

思路点拨：左端变形

，∴只需证此式即可。

证明：

举一反三：

【变式1】设a,b,c为正数，求证：．【答案】

由柯西不等式：

，即。

同理，．

将上面三个同向不等式相加得

，

于是．

【变式2】设a,b,c为正数，求证：。

【答案】

由柯西不等式

于是

即

【变式3】已知正数满足证明。

【答案】

利用柯西不等式

又因为

在此不等式两边同乘以2，再加上得：

故。

类型三：柯西不等式在几何上的应用

6．△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：

证明：由三角形中的正弦定理得，所以，

同理，

于是左边=

故。

【变式】ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形内部一点，P到三边的距离分別为x，y，z，求的最小值。

【答案】

且

4x+5y+6z=

由柯西不等式(4x+5y+6z)2≥(x2+y2+z2)(42+52+62)

≥(x2+y2+z2)×77x2+y2+z2≥。

类型四：排序不等式的简单应用

7．对，比较与的大小。

思路点拨：题目中没有给出a,b,c三个数的大小顺序，且a,b,c在不等式中的“地位”是对等的，不妨设，再利用排序不等式加以证明．

解析：∵，不妨设，则

由排序原理，乱序和≤顺序和，得：

举一反三：

【变式1】比较1010×1111×1212×1313与1013×1112×1211×1310的大小。

【答案】

因10 ≤11 ≤12 ≤13及lg10 ≤lg11 ≤lg12 ≤lg13，

由排序不等式得：

10lg10 + 11lg11 + 12lg12 + 13lg13 ≥13lg10 + 12lg11 + 11lg12 + 10lg13

lg(1010×1111×1212×1313) ≥lg(1013×1112×1211×1310)

即1010×1111×1212×1313≥1013×1112×1211×1310。

【变式2】已知，求证：

证明：

由对称性，不妨设，于是，，

故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得：

①

又因为，．

再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得：

②

由①②得．

8、设,求证：

证明：

不妨设,则，

由排序不等式有：

，

两式相加得：

又因为：，

故

两式相加得：

即：

举一反三：

【变式】，求证：

【答案】

证明：

不妨设则，