非线性方程(组)的数值解法——牛顿法、弦切法

1+ 5 p= 2
( p 2 − p − 1 = 0)
17
弦截法几何含义 y
x* xk xk+1 xk-1 x
18
抛物线法
抛物线法
基本思想： 基本思想： 用二次曲线与 x 轴的交点作为 x* 的近似值
19
抛物线法 y xk+1 xk-1 xk-2
20
xk
抛物线法
计算过程 插值多项式) 二次曲线方程 (三点 Newton 插值多项式 三点
16
收敛性
定理： 的零点， 定理：设 x* 是 f(x) 的零点， f(x) 在 x* 的某邻域 U(x,δ) 内有二阶连续导数，且 f’(x)≠0，若初值 x0， 内有二阶连续导数， ≠ ， x1 ∈U(x,δ)，则当 U(x,δ) 充分小时，弦截法具有 p 充分小时， ， 阶收敛性， 阶收敛性，其中
p2 ( x ) = f ( xk ) + f [ xk , xk −1 ]( x − xk )
+ f [ xk , xk −1 , xk − 2 ]( x − xk )( x − xk −1 )
问题： 轴有两个交点 取哪个点？ 两个交点， 问题：p2(x) 与 x 轴有两个交点，取哪个点？ 解决方法： 的那个点! 解决方法：取靠近 xk 的那个点
对重根收敛速度较慢（线性收敛） 对重根收敛速度较慢（线性收敛） 对初值的选取很敏感， 对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解 先用其它算法获取一个近似解， 先用其它算法获取一个近似解，然后使用牛顿法
需要求导数！ 需要求导数！
9
简化的Newton法 法 简化的
简化的 Newton 法
基本思想： 基本思想：用 f’(x0) 替代所有的 f’(xk)
21
抛物线法
p2 ( x ) = f ( xk ) + f [ xk , xk −1 ]( x − xk )
+ f [ xk , xk −1 , xk − 2 ]( x − xk )( x − xk −1 )
x k +1 = x k − 2 f ( xk )
ω ± ω 2 − 4 f ( x k ) f [ x k , x k −1 , x k − 2 ]
ω = f [ xk , xk −1 ] + f [ xk , xk −1 , xk − 2 ]( xk − xk −1 )
取靠近 xk 的那个点
22
收敛性
在一定条件下可以证明： 在一定条件下可以证明：抛物线法的收敛阶为
p ≈ 1.840
( p − p − p − 1 = 0)
3 2
23
作业
教材 238 页，习题 7 教材 239 页，习题 9、15 、
xk +1
f ( xk ) = xk − f '( x0 )
线性收敛
10
Newton下山法 下山法
Newton下山法 下山法
基本思想： 基本思想：要求每一步迭代满足下降条件
f ( x k +1 ) < f ( x k )
具体做法： 具体做法：加下山因子 λ
保证全局收敛
xk +1
f ( xk ) = xk − λ f '( xk )
5
收敛性
x k +1
迭代函数
f ( xk ) = xk − f '( xk )
k = 0, 1, 2, . . .
f ( x) ϕ ( x) = x − f '( x )
f ''( x*) ϕ '( x*) = 0, ϕ ''( x*) = 2 f '( x*)
牛顿法至少二阶局部收敛 牛顿法至少二阶局部收敛
下山因子的取法： 下山因子的取法： 开始，逐次减半， 从 λ=1 开始，逐次减半，直到满足下降条件
11
重根情形
重根情形
f ( x ) = ( x − x*)m g( x )
且 g( x*) ≠ 0
解法一： 解法一：直接使用 Newton 法 f ( x) 1 ϕ ( x) = x − ϕ '( x*) = 1 − f '( x) m 解法二： 解法二：改进的 Newton 法 f ( x) ϕ ( x) = x − m ϕ '( x*) = 0 f '( x ) 缺点：需要知道 m 的值 缺点：
(2) 改进的 Newton 法 x2 − 2 ϕ2 ( x) = x −
2x
(3) 用 Newton 法解 µ (x) = 0
x ( x 2 − 2) ϕ3 ( x) = x − x2 + 2
ex76.m
14
弦截法与抛物线法
弦截法与抛物线法
目的： 法中的导数， 目的：避免计算 Newton 法中的导数，且具有较 高的收敛性（超线性收敛） 高的收敛性（超线性收敛） 弦截法（割线法）：用差商代替微商 弦截法（割线法）：用差商代替微商 ）： 抛物线法： 抛物线法：用二次多项式近似 f(x)
对任意 x0>0， ， 总有 |q|<1， ， 即牛顿法收敛
8
牛顿法 牛顿法
牛顿的优点 牛顿的
至少二阶局部收敛，收敛速度较快， 至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点 充分靠近精确解时。 充分靠近精确解时。
牛顿法是目前求解非线性方程 组 牛顿法是目前求解非线性方程 (组) 的主要方法 牛顿的缺点 牛顿的缺点
24
计算方法
第七章
非线性方程(组)的数值解法
—— Newton 法 —— 弦截法、抛物线法 弦截法、
1
本讲内容
Newton 法及其收敛性 牛顿下山法 弦截法与抛物线法
2
Newton 法
基本思想 将非线性方程线性化 将非线性方程线性化
的近似根， 设 xk 是 f (x)=0 的近似根，将 f(x) 在 xk 处 Taylor 展开
xk +1 − x * ϕ ''( x*) f ''( x*) lim = = 2 k →∞ ( x − x*) 2! 2 f '( x*) k
6
举例
例：用 Newton 法求 f(x) = xex – 1=0 的解 ex75.m
7
举例
例：用 Newton 法求 f(x) = x2 – C=0 的正根 解： x k +1
1 C = xk + 2 xk
1 x k +1 − C = xk − C 2 xk 1 x k +1 + C = xk + C 2 xk
2
( (
) )
2
2
x k +1 − C x k − C = x + C x k +1 + C k 2k xk − C x0 − C 2k ≜q = x + C xk + C 0 2k q xk − C = 2 C 2k 1− q
3
Newton 法 y
x* xk+1 xk x
4
Newton 法
算法 ：( Newton 法 )
(1) 任取迭代初始值 x0 (2) 对 k = 1, 2, ... , maxit，计算 ，
xk +1
f ( xk ) = xk − f '( xk )
判断收敛性，若收敛，则停止计算， 判断收敛性，若收敛，则停止计算，输出近似解
f ′′(ξ ) f ( x ) = f ( xk ) + f ′( xk )( x − xk ) + ( x − xk )2 2! ≈ f ( xk ) + f ′( xk )( x − xk ) ≜ P ( x )
令：P ( x ) = 0 条件： 条件： f’(x) ≠ 0
xk +1
f ( xk ) = xk − f '( xk )
线性收敛
二阶收敛
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重根情形
f ( x) 令 µ ( x) = f '( x )
x* 是 µ (x)=0 的单重根
解法三： 解法三：用 Newton 法解 µ (x) = 0 µ ( x) f ( x ) f '( x ) ϕ ( x) = x − = x− µ '( x) [ f '( x )]2 − f ( x ) f ''( x)
f ( xk ) f '( xk ) 迭代格式： 迭代格式： xk +1 = xk − [ f '( xk )]2 − f ( xk ) f ''( xk )
13
举例
例：求 x4 - 4x2 ＋ 4=0 的二重根 x* = 2 (1) 普通 Newton 法
x2 − 2 ϕ1 ( x ) = x − 4x 4x
15
弦截法
f ( x k ) − f ( x k −1 ) f '( xk ) ≈ f [ xk −1 , xk ] = xk − xk −1
弦截法迭代格式： 弦截法迭代格式：
x k +1 x k − x k −1 f ( xk ) = xk − f ( x k ) − f ( x k −1 )
k = 1, 2, 3, . . . 注：弦截法需要提供两个迭代初始值 弦截法需要提供两个迭代初始值