3复变函数 课后答案(王绵森 著) 高等教育出版社

习题一解答

1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。 （1）

i 231+； （2）i

13i i 1−−； （3）

()()2i 5i 24i 3−+； （4）

i 4i i 218+−解 （1）()()()2i 313

1

2i 32i 32i 32i 31−=−+−=+ 所以

133

=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+i 231Re ，1322i 31Im −=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+,

()2i 31312i 31+=+，131********i 312

2

=⎟⎠

⎞

⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+， k π2i 231arg i 231Arg +⎟⎠

⎞

⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+

",2,1,0,23

2

arctan ±±=+−=k k π

（2）()()()()i,2

5233i 321i i)(1i 1i 13i i i i i 13i i 1−=+−−−=+−+−−−=−−

所以

,23

i 13i i 1Re =⎭⎬⎫⎩⎨⎧−− 25i 13i i 1Im −=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧−−

25i 23i 13i i 1+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−，2342523i 13i i 12

2=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−−

， k π2i 1i 3i 1arg i 1i 3i 1Arg +⎟⎠

⎞

⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−− ",±,±,=,+−=21023

5

arctan k k π.

（3）

()()()()()()()()()4

2i 7i 262i 2i 2i 5i 24i 32i 5i 24i 3−−=−−−+=−+ 13i 2

7226i

7−−=−−=

所以

()()272i 5i 24i 3Re −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+，

()()132i 5i 24i 3Im −=⎭⎫

⎩

⎨⎧−+，

()()l3i 27

2i 5i 24i 3+−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−+

()()2

29

5

2i

5i 24i 3=−+， ()()()()k ππk π2726arctan 22i 2i 52i 43arg i 2i 52i 43Arg +−=+⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+ ()",2,1,0,127

26

arctan

±±=−+=k k π.

（4）()

()

()()i i 141i i i 4i i 4i i 10410

24

2218+−−−=+−=+−

3i 1i 4i 1−=+−=

所以

{}{}

3i 4i i Im 1,i 4i i Re 218218−=+−=+−

3i 1i 4i i 218+=⎟⎠

⎞

⎜⎝⎛+−，10|i 4i i |218=+− ()()

()2k π3i 1arg 2k πi 4i i arg i 4i i Arg 218218+−=++−=+−

=.2,1,0,k 2k π

arctan3"±±=+−

2．如果等式()i 13i

53y i 1x +=+−++成立，试求实数x , y 为何值。

解：由于

()()[]()()()3i 53i 53i 53y i 1x 3i

53y i 1x −+−−++=+−++

()()()()[]34

3y 51x 3i 3y 31x 5−++−+−++=

[]()i 1185y 3x i 43y 5x 34

1+=−+−+−+= 比较等式两端的实、虚部，得

⎩⎨⎧=−+−=−+34185334435y x y x 或 ⎩

⎨

⎧=+−=+525338

35y x y x 解得11,1==y x 。

3．证明虚单位i 有这样的性质：-i=i -1=i 。 4．证明

21)||11

6)Re()(),Im()(22i

z zz z z z z z =z =

+=#−

证明：可设i z x y =+，然后代入逐项验证。

5．对任何，是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对那些值才成立？

z 2

||z z =2

2

2z 解：设，则要使成立有

i z x y =+2

||z z =2222i x y xy x −+=+y 0，即。由此可得为实数。

2222,x y x y xy −=+=z 6．当时，求的最大值，其中n 为正整数，a 为复数。 1||≤z ||a z n +解：由于|a||a||z|a z n

n +≤+≤+1，且当n

a e

z arg i

=时，有

()|a|e a |a|e e a|z a a n

n a n

+=+=+⎟⎟⎠⎞⎜

⎜⎝

⎛=+|11arg i arg i arg i 故为所求。

||1a +8．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。

（1）i ； （2）-1； （3）1+3i ；

（4）()π0isin cos 1≤≤+−ϕϕϕ； （5）i 12i

+−； （6）

()()3

2

isin3cos3isin5cos5ϕϕϕϕ−+ 解：（1）2π

i e 2

π

isin 2πcos i =+=；

（2）

i πe isin πcos π1=+=−（3）3π

i 2e 3πisin 3πcos 223i 2123i 1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜

⎝

⎛+=+； （4）2

1cos isin 2sin

i2sin

cos

2sin

sin icos 2

2

2

222ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕϕϕ⎛

⎞

−+=+=+⎜⎟⎝⎠

π)(0,e

2

2sin 2πisin 2πcos 22sin 2

πi

≤≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛

−+−=−ϕϕϕϕϕϕ

；

（5）

()⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛−=−=−−=+−21i 2

12i 1i 12i 21i 12i ⎟⎠⎞⎜⎝

⎛

−=4πisin 4πcos 2

=4

πi

e

2−

（6）()()

()()2

23

i5i3i10i9i193cos5isin5e /e e /e e cos3isin3ϕϕϕϕϕϕϕϕ−−+==−ϕ=