北航张量讲义5
力学中的数学方法-张量-5
1.6 张量的广义表示一、任意曲线坐标系1)、曲线坐标系的必要性z一般物体表面都是曲面z地球表面的各种场z血管内血液流动数学物理和力学问题中经常出现曲线坐标系, 如圆柱坐标2）、曲线坐标系与笛卡尔直角坐标系的区别a）、当地性9笛卡尔直角坐标系的单位基矢量在整个欧氏空间中任何位置都不改变大小和方向；9而曲线坐标系中坐标方向是改变的，曲线坐标线的方向只能是指曲线坐标线上某点处曲线的切线方向；9任意曲线坐标系是由无数个附于空间个点的小斜交直线坐标系（只用来描述空间一点及其无穷小的一个邻域里的坐标空间性质）集合而成。
《张量算法》，吕盘明，中科大出版社b）、斜交性9笛卡尔直角坐标系的单位基矢量都正交，两个基矢量的叉积很容易用第三个基矢量表示；9而斜交坐标系中由于基矢量不互相垂直，上述问题就麻烦了，这启发我们再定义一组基矢量——对偶基矢量。
二、曲线坐标系的基矢量在曲线坐标系中，空间一点P 的位置矢量r 是曲线坐标x i 的函数，则：ii dxxd ∂∂=r r 空间一点P 的位置矢量可用直角坐标z i 表示为：jj z i=r 式中i j 为沿坐标轴z j 方向的单位矢量。
j i ji jj ixz x z z x i ∂∂=∂∂∂∂=∂∂r r 上式表明，是单位矢量i j 的线性组合，因此也是矢量。
ix ∂∂r注意j j zi =∂∂r表征当x i 变化时位置矢量r 的变化，因此的方向是沿坐标曲线x i 的切线方向。
矢量可以取作曲线坐标系的基矢量（协变基矢量）：i x ∂∂r i x∂∂r i x∂∂r ji ji i xz x i r g ∂∂=∂∂=特点：①对于在曲线坐标系中的每一点，都有三个基矢量。
②基矢量一般不是单位矢量，彼此也不正交；作用在一点的任意矢量V ，可以沿g i 的方向按平行四边形法则分解：jjv g =V ③基矢量可以有量纲，但一点的三个基矢量的量纲可以不同；④基矢量不是常矢量，它们的大小和方向依赖于它们所在点的坐标。
学习张量必看一个文档学会张量张量分析
Appendix A.1
张量基本概念
➢ 指标符号使用方法
1. 三维空间中任意点 P 旳坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
2. 两个矢量 a 和 b 旳分量旳点积(或称数量积)为：
3
a b= a1b1 a2b2 a3b3 aibi i 1
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：假如符号 旳两个指标中，有一种和同项中其他
因子旳指标相重，则能够把该因子旳那个重指标换成
旳另一种指标，而 自动消失。
30
符号ij 与erst
类似地有
ij a jk aik ; ij aik a jk ij akj aki ; ij aki akj ij jk ik ; ij jkkl il
ij
1 0
(i = j) (i, j=1, 2, …, n) (i j)
➢ 特征
1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称旳，即
ij ji
29
符号ij 与erst
2. ij 旳分量集合相应于单位矩阵。例如在三维空间
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
27
目录
引言 张量旳基本概念，爱因斯坦求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换 张量旳分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分
Appendix A
28
符号ij 与erst
➢ ij 符号 (Kronecker delta)
北航张量分析课件05
J VE VE
el , em , en VE li mj nk ei , e j , ek JVE lmn
而
J li mj nk ijk
-1
不是张量
VE el , em , en li mj nk lmn ei , e j , ek
线性运算有以下运算特性(一阶张量为例见下页)
2.3 张量的代数运算 9
张量线性运算的特性
( a ) ( )a a b b a (a b) a b (a b) c a (b c) ( )a a b a a a a a (a) ai bi 张量相等须每个分量相等 a b xi 0 0张量的分量xi 为零 ai ai xi
A13 B11 B12 A23 B21 B22 A33 B31 B32
B13 B23 B33
15
2.3 张量的代数运算
双点
A Aij
B Bklm
阶数和减四
横点（串联）： A B
Aij Bklm Aij Bjim
近与近，远与远
2
2.2 张量的定义
相对张量
例2.2
VE e1 , e2 , e3
若
1 1
• 右手系
• 左手系
VE
为右手系
VE 为左手系
VE VE
VE 不是零阶张量
而
V V 1 V 2 是零阶张量 V E E E E
2.2 张量的定义 3
相对张量
例2.3
VE ijk e , e , e i j k
张量分析第五章
r3是相互正交的V中每一点都不变的单位矢量时， ( x1, x 2 , x 3 ) ( x1 , x2 , x3 )称为 x ∈V的直角坐标。显然 x ∈V的曲线坐标 ( x i ) 随基底的变化而不同。也正是这种变化使得对不同的物理 、力学问题，或是 Euclid 空间的某些几何属性采用不同的 曲线坐标，其数学表述形式上将会不同。同一问题的不同 曲线坐标描述有的更为直接，有的可能会很复杂。当然对 具体问题的数学表述越直接越好。这就要求在对具体问题 进行数学表述时应当首先选择一个好的曲线坐标（本质上 不同曲线坐标的同一问题表述都是等价的）。正是为了这 一目的，本章将对曲线坐标进行讨论。
( xi i j ) x i
x1 x2 x3 i i1 i i2 i i3 ; (i 1, 2,3) x x x
r1, r2, r3称为参考坐标系{o；i1, i2, i3}中位置矢量x处的局部 基。{ x；r1, r2, r3}称 x 处的局部坐标系。或称为 x 处的曲 线坐标系。 例2： 试求例1曲线坐标（球坐标）的局部基矢量。 解： x x sin x cos x ; x x sin x sin x ; x x cos x ∵ x x x x r i i (sin x cos x )i (sin x sin x )i (cos x )i ∴ x x x x
1 2
con st a
x2
x1 A x2
( x )
1
2
( x2 x3
1 2 2 )
o
const b
x1
x3
( x1 ) 2 ( x 2 ) 2 (bx3 ) 2 0
这是{o；i1, i2, i3}坐标系内顶点在o的锥面。 当 x 3 const 时：
张量分析第5章
对称性：
度量张量的行列式
a d e t( a ) a11 a 21 a12 a 22
2
a11 a 22 a12 a 21 a11a 22 a12
度量张量的逆变分量
a
11
a 22 a
a
22
a11 a
a
12
a a
12
a
21
a12 a a 21 a
d d
♣ 曲面的第二基本形式：
n ρ
2
d d
b d d
bαβ 是外蕴的，表达了切平面外的信息。
曲面的第二基本张量
b n
ρ
2
n
ρ
。
( , )
1
2
b1 b2 b1b2 b2 b1 0
1 2 1 2 1 2
1 2
(1 ) ( 2 ) b 1 b 2 b t r b (1 ) ( 2 ) b 1 b 2 b 2 b 1 d e t b
2
其中， ρ
ρ
ρ
ρ b n
对比欧氏空间的基矢量求偏导数：
gi x
j
gi x
j
ij g k
k
ij g k
k
ρ
ρ b n
。
仍在欧氏 空间内
曲面内+法向
曲面的第二基本张量
北航张量分析课件010
x k k m gi i e j gi y g i y x y
j
4.4 张量分析
9
向量的协变导数
v y
k
向量导数为向量
vi k g i v i k g i v k
i
l
ijk 0 l y
g ij k 0
ijk l 0
4.4 张量分析 20
协变导数的求导法则与普通导数相同
不变性原理
ij
常 量
A bk g C
li
ij
j g kl
n A
ij
n bk A bk n gliC
度量张量
j g kl n
n阶张量逆变导数分量 vi 张量的梯度、散度与旋度
T ij k T g T g gi g j k k y
k
卡氏
i
一般
u u i u jk j k k j u kj x x x x
i i i
v jk v kj
i
度量张量和置换张量的协变导数为零
不变性原理
卡氏
一般
ij
k
ij y k
0 ijk
4.4 张量分析 10
C(Christoffel)符号
i i v v g v g i i i i v j gi j j gi j v j y y y y i i v v g i vi j g j i j vi g i g v i j j y y y y k g 点乘 和 gk
北航金融计讲义量学第五章
对于趋势平稳过程，t时刻的干扰项只对序列 值Xt 产生影响；
对于随机游走过程，则序列值Xt 除受t时刻的
干扰项 t 影响之外，前期的干扰项都对其发
生作用。
15
5.2.5 单位根过程
X t X t 1 u t,t 1 ,2 , ,其 中 ， { u t} 为 一 平 稳 过 程
2
可 以 证 明 : 1 1时 ，
E
(
X
t
)0,var(Xt)11
12
2
cov(
X
t,
X
tk
)
1k
1
1
12
2
9
v 若能确定 1 1 , 即随机过程X t是平稳的AR(1)过程 时, 可直接用最小二乘法, 求出系数Φ1的估计值, 并 且可以应用传统的 t 检验或 F 检验.
v AR(1)过程可扩展为p阶自回归过程,记为AR(p). 模型表示为: X t=Φ1X t-1+ Φ2X t-2 +…+ΦpX t-p +t
6
考虑时间序列数据的平稳性，主要有两个原因： v 1 只有序列平稳，才可把根据数据推测出来的关
于序列的统计特征应用于对序列未来时期变化的 预测，从而为预测奠定有效的基础。 v 2 “虚假回归”现象：即使两个序列互相独立， 在经济意义上无任何相关关系，但若两个序列非 平稳，则用传统的回归方法及显著性检验时，仍 可能会显示出两者在统计上有较高的相关关系。
10
5.2.3 趋势平稳过程
v 许多时间序列数据，特别是宏观经济数据，常常显 示出明显的时间趋势，如GNP大致随时间递增，这 种趋势特征可归结为技术进步、劳动力及其素质的 增长等。
张量概念及其基本运算课件
张量概念及其基本运算
◆ 张量的定义为：由若干坐标系改变时满足一定 坐标转化关系的有序数组成的集合。
◆ 张量是矢量和矩阵概念的推广。标量是0阶张量，
矢量是一阶张量，矩阵是二阶张量，而三阶张量 好比立体矩阵，更高阶张量则无法用图形表示
◆ 张量出现的背景：我们的目的是要用数学量来表示
(6) ijlj li ijlj ijlj (ij ij)lj
张量概念及其基本运算
4.张量的基本运算
A、张量的加减：
张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵，如：
a11 a12 a13
aij a21
a22
a23
a31 a32 a33
凡是同阶的两个或几个张量可以相加(或相减)， 并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号 相同的诸分量之代数和。 即：
◆ 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称
为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列， 再求和。
张量概念及其基本运算
3.求和约定
关于哑标号应理解为取其变程n内所有数值，然后再求和， 这就叫做求和约定。 例如：
3
aibi aibi a1b1a2b2a3b3 i1
3
aib j j aib j j ai1b1ai2b2ai3b3 j1
xj求导。
张量概念及其基本运算
◆ 如果在微商中下标符号i是一个自由下标，则 算子 作i 用的结果，将产生一个新的升高一阶
的张量；如果在微商中，下标符号是哑标号， 则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。 例如：
' i
, xi x1
x2
,
x3
ui'i
ui u1u2u3 xi x1 x2 x3
张量第五章
第五章 张量分析§5.1 张量函数及其导数一、张量函数、同向同性张量函数的定义若一个张量H(标量、矢量、张量)依赖于n 个张量1T 、2T 、……、n T （矢量、张量）而变化，即当1T 、2T 、……、n T 给定时，H可以对应的确定（或者说，在任意坐标系中，H的每个分量都是1T 、2T 、…、n T 的一切分量的函数），则称H 是张量1T 、2T 、……、n T 的张量函数，记作：12H ()n F T T T =、、…、 （1） 如应力、应变关系 ():F C σεε==kl ij ijkl C σσ=定义：矢量的标是函数()f u ϕ=，如将自变量u 改为 uQ U =∙(Q 为任意正交张量)，函数值保持不变，则称此标量函数为各向同性标量函数。
定义张量X 的旋转量X : 1）若X ϕ=为标量，则 X ϕϕ== （2） 2）若X u =为失量，则 T X u Q U u Q==∙=∙ （3） 3）若X T =为二阶张量，则X T =为T 的正交相似张量 T X TQ T Q ==∙∙ （4） Q 为一任意正交张量（可表示旋转与反射）。
定义：一函数12()n x f X X X = 、、…、，当将自变量12n X X X、、…、改为其旋转量 12n X X X 、、…、时，函数值x 必相应地变为其旋转量 x，即： 12()n x f X X X = 、、…、⇒ 12()nx f X X X=、、…、 对任意的Q则的此函数为各向同性函数。
二、张量函数导数的定义，链规则1． 有限微分，导数与微分定义标量x 的函数()F x 对于增量z 的有限微分'()j F x z 为'01()lim [()()]j h F x z F x hz F x h→=+- （5）z 是自变量x 的有限量值的增量，与x 的量纲相同，h 是一个无量纲的无穷小量。
对矢量v 的矢量函数w，即()w F v =（6）定义：'01()lim [()()]j h F v u F v hu F v h→=+- （7）'(;)F v u 也是一个矢量，而且有''()()j F v u F v u =∙ （8）'()F v 是一个二阶张量，称为函数()F v 的导数，或写作()dF v dv又 ()()'(;)()'()()F v hu F v hF v u o h hF v u o h +-=+=∙+（9）其中 ()o h ： 0()lim 0h o h h→= （10）令 dv hu = ，取（10）式的主部，称为()F v的微分，它是当自变量v 有微小的增量dv 时，函数F 的微小增量，记作dF ，'()['()]TdF F v dv dv F v =∙=∙ （11）下面给出n 阶张量A 的m 阶张量函数()T A导数的一般定义，01'()lim [()()]j h T A C T A hC T A h→=+-（12）增量C 是与自变量A 同价的n 阶张量，而有限微分'(;)T A C 是与函数()T A同价的m 阶张量。
晶体光学 lesson5张量
第二章晶体性质的数学描述研究内容张量的概念二阶张量－重点介绍－推导变换关系 二阶张量示性曲面及主轴化高阶张量及其变换三阶张量四阶张量晶体宏观对称性与晶体张量的关系张量的概念标量物理中常见的一些量，如密度、温度等等很多。
特点：无方向可用一个数值完全表示矢量区别于标量的另一类物理量，既有数值又有方向，如机械力就是矢量。
矢量用黑体字母表示，如F 。
在直角坐标系中用矢量在该坐标系上的分量表示矢量。
例如电场强度矢量E 记为：123[,,]T E E E =E 123E E E ++E=i j k二阶张量张量的概念以电场强度和极化强度矢量为例：123P P P =++P i j k 123E E E ++E=i j k对于各向同性晶体中，同方向则,P E0εχ=P E123[,,]T E E E =E 123[,,]T P P P =P¾如果在各向异性晶体中情况就复杂了，电场强度和它引起的极化强度的方向一般不相同¾这时电场强度的每个分量对极化强度每个方向的分量均有影响，且影响的程度不同，这时我们就不能简单的利用前面的公式()11112130111122133()()()P P E P E P E E E E εχχχ=++=++()22122230211222233()()()P P E P E P E E E E εχχχ=++=++()33132330311322333()()()P P E P E P E E E E εχχχ=++=++张量的概念我们把上述公式表示为矩阵的形式1112131120212223233313233P E P E P E χχχεχχχχχχ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 1、P 的每一个分量与电场强度的三个分量存在线性关系2、坐标系确定后为常数3、各向异性介质的电极化特性需用9各数值才能完整描述----我们接下来会详细介绍ij χ张量的概念－二阶张量111213212223313233χχχχχχχχχ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠我们称这个3×3的矩阵为二阶张量张量的概念－二阶张量推广－如果某个物理性质T ，可以表征另外两个物理量p,q 之间的关联，并具有如下关系111213112212223233313233T T T P q P T T T q P q T T T ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 我们称构成二阶张量ij T 张量的概念－二阶张量张量的习惯写法：引入爱因斯坦求和法则－略去求和符号31(1,2,3)i ij j j p T q i ===∑i ij j p T q =i 为自由下标，j 为求和下标，注意顺序1、下标符号任意选定，但要有区别2、自由下标前后呼应，求和下标成对出现张量的概念－二阶张量张量的概念－二阶张量或者表示为矩阵的形式：P Tq=对于我们晶体光学范畴研究的二阶张量均有：ij ji T T =对称张量T T ′=张量的概念－二阶张量我们可以将二阶张量的下标作如下简化：11－1 22－2 33－323 32－4 13 31－5 12 21－6121112131653212223624431323354356T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⇒⇒⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠张量的概念9标量（零阶张量）9矢量（一阶张量）9二阶张量9三阶张量9四阶张量。
5直角坐标系中的张量
（注意等号两边的脚标）
3
∑ 2.矢量的坐标变换
A' i
=
aij Aj ,i = 1, 2,3 ，缩写为：
i =1
A' i
=
aij Aj
3.坐标变换系数矩阵满足
a a im jm
=
⎧1,i = ⎨⎩0,i ≠
j j
a a mi mj
= δij
=
⎧1,i = ⎨⎩0,i ≠
j j
பைடு நூலகம்
4.其它
等等。
Aii = A11 + A22 + A33 Ai Bi = A1B1 + A2B2 + A3B3 Ai BkCi = Bk ( A1C1 + A2C 2 + A3C3 ), k = 1, 2,3
⎛ 0 −1 3⎞
例7
设
⎡⎣Tij
⎤⎦
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 −3
0 −2
2 0
⎟ ⎟⎟⎠
，求它在新系下的分量，其中
⎛ 0 0 1⎞
⎡⎣aij
⎤⎦
=
⎜ ⎜⎜⎝
−1 0
0 1
00 ⎟⎟⎟⎠
解
T1′1 = a1pa1qTpq = T23 = 0 T1′2 = a1pa2 Tq pq = a13a21T31 = 3
Tij′ = a a T ip jq pq
其中，Tpq 与Tij′ 分别为这个量在旧，新系中的分量，aij 为旧系到新系的变换系数
矩阵。则称这个量T = (Tpq ) 为一个 R3 中的二阶张量。
例5
单位矩阵δ 是一二阶张量 ij
证
要证：δ ′ ij
δ = a aip jq pq
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附录1 各向同性张量分量的构成通常有两种求各向同性张量分量表达式的方法。
一是利用某些特殊的坐标变换，根据各向同性张量定义直接求出分量表达式；二是利用线性张量函数和各向同性张量函数的Chauchy 表示定理求分量表达式。
前者较为直观，阶数升高时比较麻烦，后者较为抽象，但适用于任意阶张量。
附1.1 用特殊坐标变换求各向同性张量分量表达式根据定义，各向同性张量为在任意直角坐标系下分量值不变的非零张量，如ij ij ijkijk A A A A ''==♣ 一阶张量一阶张量满足i ij j i i i a a a a a '==++112233ββββ考虑附图1特殊坐标变换根据各向同性张量定义和变换II （附图1b ）()()()a =a a a a a =a a a =a a =a a a a '==+='==+'==+=111222222233333331111111βββ（1.1a ） a =a a =123 （1.1b ）根据变换I （附图1a ）()a =a a a a a '==-=-=1111111110βa =a a ==1230这表明★ 不存在一阶各向同性张量从（1.1）式的推导过程可归纳下面的轮换定理：将各向同性张量分量指标作置换 122331,,所得的分量值不变。
例如A =A =A A =A A A =A =A =112233122331213213♣ 二阶张量根据变换I （附图1a ）()2A =A =A A A '=-=111111111111111ββ()()()()A =A =A A A A A =A =A A A A '=-+=-='=+-=-=12121122121212122121221121122121110110ββββ再由轮换定理A =A =A =A =A A A =A =A ===1122331223312132130λ所以有ij ij A =λδ这是二阶各向同性张量分量的一般形式。
♣ 三阶张量根据变换I （附图1a ）()A =A =A A A A '=-=-=311111111111111111111111110βββ不难得知，指标中有两个2，一个1或两个3，一个1或三个指标均不同的分量也有同样结果A A =A A A =A A =A =A A =A =A ======13331333112221222112323131213221332100再由轮换定理A =A =A A =A A A =A A A =A A A =A A A =A A A =A A =============11122233311222333112123231321132213311322133213121232331112223300000至此27个分量全为零，表明★ 不存在三阶各向同性张量♣ 四阶张量第一，考虑4个指标相同的分量（共3个） 根据变换I （附图1a ）()A =A =A A A '=-=411111111111111111111111111111ββββ 由轮换定理A =A =A =111122223333η （1.2）第二，考虑3个指标相同的分量（共24个） 根据变换I （附图1a ）()()A =A =A A A A '=-+=-=311121112111111221112111211121112110ββββ不难得知，指标中有三个1一个2或三个1一个3的分量也有同样结果A =A =A A ==11121121121121110 A =A =A A ==11131131131131110再由轮换定理A =A A A =A A A =A A A =A A A =A A A =A A A =A A A =A A ================1112222333311121223233131211232231332111322213331113222133321131221233231311212232333111122223330000000所以有3个指标相同的分量全为0。
第三，考虑2个指标相同另两个不同的分量（共36个）根据变换I （附图1a ）()()()A =A =A A A A '=+-+=-=2331233123333112233123312331233121110ββββ不难得知，指标中有两个3，或两个2的分量也有同样结果A =A =A ==331233211323012个...() A =A =A ==223122133212012个...()再由轮换定理A =A =A ==112311322131012个...()36个分量全为0。
第四，考虑指标中有两对重复的分量（共18个） 根据变换I （附图1a ）()()A =A A A '=-+=211221111222211221122112211ββββ 类似A =A A =A ''1212121221122112 根据附图2变换III 可证1，2指标可交换()()22A =A =A A '=++11221122121221************ββββ 同理A =A A =A 1212212112212112再由轮换定理A =A =A =A =A =A A =A =A =A =A =A =A =A =A =A =A =A ==112222112233332233111133121221212323323231311313211212213223233213313113λμγ至此81个分量全部确定，归纳为1.3）()()()()()()()()A I I I I I I ik jk ik jk T T T ijk ij k ij kij kT T TA =++=++λδδμδδγδδλμγ上式虽然未出现（1.2）式的η，但实际上包括了 i =j =k =的情况，由（1.2）式和（1.3）式得=++ηλμγ可见η不是独立参数。
（1.3）式是四阶各向同性张量分量的一般形式。
从以上讨论可知，奇数阶张量不是各向同性张量，这是否为普遍规律？另外当阶数进一步升高，用上面方法构造各向同性张量非常困难。
附1.2 用线性张量函数和Chauchy 表示定理求分量表达式♣ 各向同性张量函数与Chauchy 表示定理自变量为张量的函数称张量函数，其函数值可以是标量，也可以是张量，例：A ui ij j ==A u v v （1.4）u 、 v 为向量，A 为二阶张量。
当A 为固定值，u 为变量时，v 为u 的张量函数，函数关系为，()()f A =，（1.4）式记为 ()f u =v （1.5）f A 或亦称为变换或映射，它把一向量变换为另一向量（见附图3a ）。
如果某变换Q u =v （1.6）保持任意两个向量的点积不变，则称为正交变换。
我们知道，点积决定向量的长度和夹角，因此,在正交变换下，向量的长度与向量之间的夹角不变（见附图3b ）。
★ 这里的正交变换是同一坐标系的变换，定义卡氏张量的正交变换是不同坐标系间的变换因为()()Q u Q u i i ki k j i j ==Q Q u u ↔12121212v v v v若点积不变，必有T Q Q I ki k j i jQ Q δ==↔（1.7）u u i i ij i j i i=δu u u u ==↔1212121212v v v v（1.7）式为正交变换的充要条件，也可作为正交变换的定义。
满足（1.7）式的张量称为正交张量。
由此可见★ 正交变换具有保点积性，反之保点积性的变换必为正交变换再讨论一种有重要应用的张量函数，即自变量为向量组，函数为标量的张量函数：()u u u m φ=f ,,...,12（1.8）例如【双点积】⇨A a b ij i j φ==A a b : （1.9a ）【四重点积】⇨A φ=┋a b c d ijk i j k =A a b c d（1.9b ）附图3uy 1（a ） 正交变换保持长度和夹角不变向量的变换y 2()f u =v 向量变换的图示 y 1y 21v （b ） u 1θθ2v u 2当式中二阶或四阶张量A 取固定值时，上式为向量的标量函数()a b φ=f ,（1.10a ） ()a b c d φ=f ，,,（1.10b ）若对任一自变量（例如b ）满足()()()a b b a b a b φ=f αβαf βf ''+=+,,,（1.11）则称为线性函数，容易验证（1.9a ）式为双线性函数，（1.9b ）式为四重线性函数。
一般情况下，函数的函数值将随自变量的变化而变化，例如()()f x y f x y x x y y ≠≠≠11221212,,但对某些函数，自变量的按一定规律变化时，函数值将保持不变，例如 ()x f x y φy ⎛⎫=⎪⎝⎭, 当 x x y y =1212， 有()()x x f x y φφf x y y y ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112212,,（x x y y ≠≠1212）类似地，对于某些张量函数（（1.8）式），自变量按正交变换（（1.6）式）变化时函数值将保持不变，这类函数称为各向同性标量函数：()()u u u Q u Q u Q u m m f ,,...,f ,,...,=1212（1.12）对于各向同性标量函数，有著名的Chauchy 表示定理: 标量函数为各向同性的充要条件为函数可表示为自变量点积的函数：()()u u u u u m i j f ,,...,φi,j m ==121,...,（1.13）也就是自变量若保点积变化u u i j i ji,j m ==1,...,v v （1.14）函数值将保持不变，()()()()u u u u u m i j i j m f ,,...,φφ=f ,,...,==1212v v v v v （1.15）（1.14）、（1.15）式可作为（1.13）式的等价描述证明：① 充分性利用正交变换保点积特性得()()()()()()u u u u u Q u Q u Qu Q u Q u m i j i j m f ,,...,φφ=f ,,...,==1212充分性得证。
② 必要性需证明当（1.12）式成立时（1.13）式成立，而（1.13）式成立等价于在（1.14）式条件下，（1.15）式成立。
先证明在保点积条件下，存在正交变换，使得Q u i i=i m =1,...,v （1.16）因为自变量的取值是相互独立的，故在三维欧氏空间中，有3个自变量线性无关（m=2时为2个），不妨设u u u ,,123线性无关，几何上表示三向量不共面。