北航张量讲义5
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附录1 各向同性张量分量的构成
通常有两种求各向同性张量分量表达式的方法。一是利用某些特殊的坐标变换，根据各向同性张量定义直接求出分量表达式；二是利用线性张量函数和各向同性张量函数的Chauchy 表示定理求分量表达式。前者较为直观，阶数升高时比较麻烦，后者较为抽象，但适用于任意阶张量。
附1.1 用特殊坐标变换求各向同性张量分量表达式
根据定义，各向同性张量为在任意直角坐标系下分量值不变的非零张量，如
ij ij ijk
ijk A A A A ''==
♣ 一阶张量
一阶张量满足
i ij j i i i a a a a a '==++112233ββββ
考虑附图1特殊坐标变换
根据各向同性张量定义和变换II （附图1b ）
()()()a =a a a a a =a a a =a a =a a a a '==+='==+'==+=11
1222222
2333333
31111111βββ（1.1a ） a =a a =123 （1.1b ）
根据变换I （附图1a ）
()a =a a a a a '==-=-=11
11111110β
a =a a ==1230
这表明
★ 不存在一阶各向同性张量
从（1.1）式的推导过程可归纳下面的轮换定理：
将各向同性张量分量指标作置换 1
22331,,所得的分量值不变。
例如
A =A =A A =A A A =A =A =112233122331213213
♣ 二阶张量
根据变换I （附图1a ）
()2
A =A =A A A '=-=1111
11111111111ββ
()()()()A =A =A A A A A =A =A A A A '=-+=-='=+-=-=1212
1122121212122121
221121122121110110
ββββ
再由轮换定理
A =A =A =A =A A A =A =A ===1122331223312132130
λ
所以有
ij ij A =λδ
这是二阶各向同性张量分量的一般形式。
♣ 三阶张量
根据变换I （附图1a ）
()A =A =A A A A '=-=-=3
111111
11111111111111111110βββ
不难得知，指标中有两个2，一个1或两个3，一个1或三个指标均不同的分量也有同样结果
A A =A A A =A A =A =A A =A =A ======13331333112221222112323131213221332100
再由轮换定理
A =A =A A =A A A =A A A =A A A =A A A =A A A =A A =============11122233311222333112123231321132213311322133213121232331112223300000
至此27个分量全为零，表明
★ 不存在三阶各向同性张量
♣ 四阶张量
第一，考虑4个指标相同的分量（共3个） 根据变换I （附图1a ）
()A =A =A A A '=-=4
11111111
111111111111111111111ββββ 由轮换定理
A =A =A =111122223333η （1.2）
第二，考虑3个指标相同的分量（共24个） 根据变换I （附图1a ）
()()A =A =A A A A '=-+=-=3
11121112
111111221112111211121112110ββββ
不难得知，指标中有三个1一个2或三个1一个3的分量也有同样结果
A =A =A A ==11121121121121110 A =A =A A ==11131131131131110
再由轮换定理
A =A A A =A A A =A A A =A A A =A A A =A A A =A A A =A A ================1112222333311121223233131211232231332111322213331113222133321131221233231311212232333111122223330000000
所以有3个指标相同的分量全为0。
第三，考虑2个指标相同另两个不同的分量（共36个）
根据变换I （附图1a ）
()()()A =A =A A A A '=+-+=-=2
33123312
3333112233123312331233121110ββββ
不难得知，指标中有两个3，或两个2的分量也有同样结果
A =A =A ==331233211323012个...() A =A =A ==2231221332120
12个...()
再由轮换定理
A =A =A ==1123113221310
12个...()
36个分量全为0。
第四，考虑指标中有两对重复的分量（共18个） 根据变换I （附图1a ）
()()A =A A A '=-+=2
1122
1111222211221122112211ββββ 类似
A =A A =A ''1212
12122112
2112 根据附图2变换III 可证1，2指标可交换
()()22
A =A =A A '=++11221122
121221************ββββ 同理
A =A A =A 12122121
12212112
再由轮换定理