高中数学教材选修2-2知识点

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人教版高中数学选修2-2知识点汇总

人教版高中数学必修2-2知识点第一章导数及其应用一.导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像，我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3.导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数.()y f x =的导函数有时也记作y '，即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1.基本初等函数的导数公式：若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；若()f x x α=，则1()f x x αα-'=；若()sin f x x =，则()cos f x x'=若()cos f x x =，则()sin f x x '=-；若()x f x a =，则()ln x f x a a'=若()x f x e =，则()xf x e '=若()log x a f x =，则1()ln f x x a '=若()ln f x x =，则1()f x x '=2.导数的运算法则[()()]()()f xg x f x g x '''±=±[()()]()()()()f xg x f x g x f x g x '''∙=∙+∙2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'=3.复合函数求导()y f u =和()u g x =，称则y 可以表示成为x 的函数，即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况；求函数()y f x =的极值的方法是：如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是极大值；如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是极小值；3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系；求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识，求函数的最大(小)值，从而解决实际问题第二章推理与证明1.归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。

(完整版)高中数学选修2-2知识点总结(最全版)

高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，平均变化率可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；6、常见的导数和定积分运算公式:若()g x均可导（可积），则有：f x，().用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数'()f x②令'()f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令'()f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。

(2) 求函数f(x)的导数'()f x(3)求方程'()f x=0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如检查/()果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

高中数学选修2-2第一章知识点及测试题

高中数学选修2-2知识点总结第一章导数及其应用1. 平均变化率 xf x f x y x x ∆-∆+=∆∆)()(00 2. 导数（或瞬时变化率） x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0000导函数(导数)： xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(03. 导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f '(x 0)．4. 导数的运算：(1)几种常见函数的导数：①(C )′＝0(C 为常数)； ②(x α)′＝1x αα-(x ＞0，Q α∈)； ③(sin x )′＝cos x ； ④(cos x )′＝－sin x ； ⑤(e x )′＝e x ； ⑥(a x )′＝a x ln a (a ＞0，且a ≠1)； ⑦xx 1)(ln =； ⑧1(log )ln a x x a =(a ＞0，且a ≠1)．(2)导数的运算法则：①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③)0)(()()()()()(])()([2=/'-'='⋅x v x v x v x u x v x u x v x u . 5. 设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'。

高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案

求下列函数的导数：（1）y = e3x+2 ；（2）ln(2x − 1)．
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ；（2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程描述：利用导数求函数的切线方程步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ；步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )．例题：求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程．解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上，所以 3 3 ⎧ ⎪ 8 − y = x2 (2 − x0 ), 0 0 ⎨3 1 ⎪ ⎩ y = x3 , ⎪ 0 3 0 − 3x2 + 4 = 0, x3 0 0
整理得
即
(x0 − 2)2 (x0 + 1) = 0.

高中数学新湘教版选修2-2 定积分与微积分基本定理

4．5定积分与微积分基本定理[读教材·填要点]1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：位于曲线y ＝f (x )(a ≤x ≤b )和x 轴之间的图形，叫作函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的“曲边梯形”．(2)曲边梯形面积的计算方法：化整为零、以直代曲，即把一个曲边梯形分成多个小曲边梯形，再用矩形代替小曲边梯形．2．计算变力所做的功的方法化整为零，以直代曲． 3．定积分的概念设f (x )是在区间[a ，b ]上有定义的函数，在a ，b 之间取若干分点a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n ＝b .记小区间[x k －1，x k ]为Δk ，其长度x k －x k －1记作Δx k ，Δx k 中最大的记作d ，再在每个小区间Δk z k ，作和式：∑k ＝1nf (z k )Δx k . ①如果(不论如何取分点x k 和代表点z k )当d 趋于0时和式①以S 为极限，就说函数f (x )在[a ，b ]上可积，并且说S 是f (x )在[a ，b ]上的定积分，记作S ＝⎠⎛a bf (x )d x .4．微积分基本定理如果f (x )是在[a ，b ]上有定义的连续函数，F (x )在[a ，b ]上可导并且F ′(x )＝f (x )，则⎠⎛a bf (t )d t ＝F (b )－F (a )．[小问题·大思维]1．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？提示：为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．2．求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点？提示：(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．(2)求解的方法步骤相同．3．由定积分的定义可知，⎠⎛a b f (x )d x 是一个常数还是一个变量？⎠⎛a bf (x )d x 的值与哪些量有关？提示：由定义可得定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a bf (t )d t ＝⎠⎛a bf (u )d u .4．如图所示，如何用阴影面积S 1，S 2，S 3表示定积分⎠⎛a bf (x )d x 的值？提示：⎠⎛a bf (x )d x ＝S 1－S 2＋S 3.计算下列定积分：(1) ⎠⎛－13(4x －x 2)d x; (2)⎠⎛12(x －1)5 d x ； (3)⎠⎛12(t ＋2)d x; (4)⎠⎛121x (x ＋1)d x . [自主解答] (1)取F (x )＝2x 2－x 33，因为F ′(x )＝4x －x 2，所以⎠⎛－13(4x －x 2)d x ＝F (3)－F (－1)＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203. (2)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5，所以⎠⎛12(x －1)5d x ＝F (2)－F (1)＝16×(2－1)6－16×(1－1)6＝16. (3)取F (x )＝(t ＋2)x ，因为F ′(x )＝t ＋2，所以⎠⎛12(t ＋2)d x ＝F (2)－F (1) ＝2(t ＋2)－(t ＋2)＝t ＋2.(4)f (x )＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝ln x x ＋1，则F ′(x )＝1x －1x ＋1.所以⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －1x ＋1d x ＝F (2)－F (1)＝ln 43.运用微积分基本定理求定积分时的4个注意点(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分； (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．1．计算下列定积分：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ； (2) ⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x ； (3) ⎠⎛0π (sin x －cos x )d x ； (4) ⎠⎛02|1－x |d x . 解：(1)取F (x )＝x 3－x 2＋x ，则F ′(x )＝3x 2－2x ＋1.∴⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ＝F (3)－F (－1)＝24.(2)取F (x )＝12x 2－ln x ，则F ′(x )＝x －1x .∴⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝F (2)－F (1)＝32－ln 2. (3)取F (x )＝－cos x －sin x ，则F ′(x )＝sin x －cos x .∴⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝F (π)－F (0)＝2.(4)∵|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，0＜x ＜1，x －1，1＜x ＜2，∴取F 1(x )＝x －12x 2,0＜x ＜1，F 2(x )＝12x 2－x,1＜x ＜2，则F 1′(x )＝1－x ，F 2′(x )＝x －1.∴⎠⎛02|1－x |d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝1.已知函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．[自主解答] 因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，取F (x )＝a3x 3＋cx ，则F ′(x )＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝F (1)－F (0)＝a 3＋c ＝ax 20＋c . 解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)．即x 0＝33.利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限．2．已知f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，取F 1(x )＝12ax 2＋bx ，∴F 1′(x )＝f (x )．则⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＝12a ＋b ， ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ，取F 2(x )＝13ax 3＋12bx 2且F 2′(x )＝ax 2＋bx ，则⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝F 2(1)－F 2(0)＝13a ＋12b ，由⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176.解得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3.求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.所以直线y ＝－x ＋2与抛物线 y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛－32[(－x ＋2)－(x 2－4)]d x ＝⎠⎛－32(6－x －x 2)d x ，取F (x )＝6x －12x 2－13x 3，则F ′(x )＝6－x －x 2， ∴S ＝F (2)－F (－3)＝1256.若将本例中“直线y ＝－x ＋2”换为“抛物线y ＝3－34x 2”，如何求解？解：如图所示，设所求图形面积为S ，S ＝⎠⎛－22⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3－34x 2－()x 2－4d x ＝⎠⎛－22⎝⎛⎭⎫7－74x 2d x ，取F (x )＝7x －712x 3，则F ′(x )＝7－74x 2，∴S ＝F (2)－F (－2)＝563.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形．(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．3．求曲线y ＝e x ，y ＝e－x及直线x ＝1所围成的图形的面积．解：由图可知，积分区间为[0,1]，面积S ＝⎠⎛10()e x －e －x d x ，取F (x )＝e x ＋e －x ，则F ′(x )＝e x －e －x ， ∴S ＝F (1)－F (0)＝e ＋1e－2.变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2，初始位置为x 0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．[自主解答] 当0≤t ≤1时，v (t )≥0，当1≤t ≤2时，v (t )<0. 所以前2秒钟内所走的路程 S ＝⎠⎛01v (t )d t ＋⎠⎛12[－v (t )]d t＝⎠⎛01(1－t 2)d t ＋⎠⎛12(t 2－1)d t取F 1(t )＝t －13t 3，F 2(t )＝13t 3－t ，S ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝2.2秒末所在的位置：x 1＝x 0＋⎠⎛02v (t )d t ＝1＋⎠⎛02(1－t 2)d t ＝13. 即它在前2秒内所走的路程为2,2秒末所在位置为x 1＝13.1．有关路程、位移计算公式路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s 1分别为 (1)若v (t )≥0(a ≤t ≤b )，则s ＝⎠⎛a bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t . (2)若v (t )≤0(a ≤t ≤b )，则s ＝－⎠⎛a bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t .(3)在区间[a ，c ]上，v (t )≥0，在区间[c ，b ]上，v (t )<0，则s ＝⎠⎛a cv (t )d t －⎠⎛c bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t . 2．求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．[注意] 将力与位移的单位换算为牛顿(N)与米(m)，功的单位才为焦耳(J)．4．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°角的方向做直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433JD ．2 3 J解析：W ＝⎠⎛12F (x )cos 30°d x ＝⎠⎛1232(5－x 2)d x ＝32⎝⎛⎭⎫5x －13x 3⎪⎪⎪21＝433(J)．答案：C求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积．[解] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解出抛物线和直线的交点为(2,2)及(8，－4)．法一：选x 作为积分变量，由图可看出S ＝A 1＋A 2.在A 1部分：由于抛物线的上半支方程为y ＝2x ，下半支方程为y ＝－2x ，所以S A 1＝⎠⎛02[2x －(－2x )]d x ＝22⎠⎛02x 12d x .取F 1(x )＝23x 32，∴S A 1＝22[F 1(2)－F 1(0)]＝163. S A 2＝⎠⎛28[4－x －(－2x )]d x ，取F 2(x )＝4x －12x 2＋223x 32.∴S A 2＝F 2(8)－F 2(2)＝383. ∴S ＝163＋383＝18.法二：选y 作积分变量，将曲线方程写为x ＝y 22及x ＝4－y .S ＝2-4⎰⎣⎡⎦⎤(4－y )－y 22d y . 取F (y )＝4y －y 22－y 36，∴S ＝F (2)－F (－4)＝30－12＝18.1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：取F (x )＝x 2＋e x，则F ′(x )＝2x ＋e x，⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝F (1)－F (0)＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e.答案：C2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g解析：取F (x )＝12gt 2，则F ′(x )＝gt ，所以电视塔高为⎠⎛12gt d t ＝F (2)－F (1)＝2g －12g ＝32g . 答案：C3．s 1＝⎠⎛01x d x ，s 2＝⎠⎛01x 2d x 的大小关系是( )A ．s 1＝s 2B ．s 21＝s 2C ．s 1>s 2D ．s 1<s 2解析：⎠⎛01x d x 表示由直线x ＝0，x ＝1，y ＝x 及x 轴所围成的图形的面积，而⎠⎛01x 2d x 表示的是由曲线y ＝x 2与直线x ＝0，x ＝1及x 轴所围成的图形的面积，因为在x ∈[0,1]内直线y ＝x 在曲线y ＝x 2的上方，所以s 1>s 2.答案：C4.⎠⎛－12x 4d x ＝________.解析：∵⎝⎛⎭⎫15x 5′＝x 4，取F (x )＝15x 5， ∴⎠⎛－12x 4d x ＝F (2)－F (－1)＝15[25－(－1)5]＝335. 答案：3355．若⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________. 解析：取F (x )＝x 2＋kx ，则F ′(x )＝2x ＋k ， ∴⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝F (1)－F (0)＝1＋k ＝2，∴k ＝1. 答案：16．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝⎛⎭⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)，故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎜⎛131⎝⎛⎭⎫3－1x d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝4－ln 3.一、选择题1.⎠⎛241x d x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2D ．ln 2解析：⎠⎛241x d x ＝ln 4－ln 2＝ln 2. 答案：D2．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12C. 1D.32解析：曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12即为这段时间内物体所走的路程．答案：B3.如图所示，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323D.353解析：S ＝⎠⎛－31 (3－x 2－2x )d x ，即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－13－1＝53，F (－3)＝－9＋9－9＝－9. ∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.答案：C4．定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，取F 1(x )＝13x 3－x 2，F 2(x )＝－13x 3＋x 2，则F 1′(x )＝x 2－2x ，F 2′(x )＝－x 2＋2x .∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20 (x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝F 1(0)－F 1(－2)＋F 2(2)－F 2(0)＝8.答案：D二、填空题5．函数y ＝x －x 2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于________．解析：由x －x 2＝0，得x ＝0或x ＝1.因此所围成的封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x . 取F (x )＝12x 2－13x 3，则F ′(x )＝x －x 2，∴面积S ＝F (1)－F (0)＝16. 答案：166．设函数f (x )＝(x －1)x (x ＋1)，则满足∫a 0f ′(x )d x ＝0的实数a ＝________.解析：⎠⎛0af ′(x )d x ＝f (a )＝0，得a ＝0或1或－1，又由积分性质知a >0，故a ＝1.答案：17．计算⎠⎛02(2x －e x )d x ＝________. 解析：取F (x )＝x 2－e x ，则F ′(x )＝2x －e x ，所以⎠⎛02(2x －e x )d x ＝F (2)－F (0)＝5－e 2. 答案：5－e 28．曲线y ＝1x ＋2x ＋2e 2x ，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________．解析：由题意得，所求面积为⎠⎛1e⎝⎛⎭⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x . 取F (x )＝ln x ＋x 2＋e 2x ，则F ′(x )＝1x ＋2x ＋2e 2x ，所以⎠⎛1e⎝⎛⎭⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x ＝F (e)－F (1)＝e 2e . 答案：e 2e三、解答题9．计算下列定积分．(1)⎠⎛14⎝⎛⎭⎫2x －1x d x ； (2)⎠⎛01x 1＋x 2d x .解：(1)取F (x )＝2xln 2－2x ，则F ′(x )＝2x －1x . ∴原式＝F (4)－F (1)＝⎝⎛⎭⎫16ln 2－2ln 2－(24－2)＝14ln 2－2. (2)取F (x )＝12ln(1＋x 2)，则F ′(x )＝x 1＋x 2. ∴⎠⎛01x 1＋x 2d x ＝F (1)－F (0)＝12ln 2.10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝2，∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2,4)． ∴y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)．取F (x )＝x 2－13x 3，则F ′(x )＝2x －x 2， ∴S ＝F (2)－F (0)＝43.。

(完整)高中数学选修2-2微积分基本定理

[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.知识点一导数与定积分的关系f (x )d x 等于函数f (x )的任意一个原函数F (x )(F ′(x )＝f (x ))在积分区间[a ，b ]上的改变量F (b )－F (a ).以路程和速度之间的关系为例解释如下：如果物体运动的速度函数为v ＝v (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移s 可以用定积分表示为s ＝v (t )d t .另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s ＝s (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移为s (b )－s (a )，所以有v (t )d t ＝s (b )－s (a ).由于s ′(t )＝v (t )，即s (t )为v (t )的原函数，这就是说，定积分v (t )d t 等于被积函数v (t )的原函数s (t )在区间[a ，b ]上的增量s (b )－s (a ).思考函数f (x )与其一个原函数的关系： (1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ； (2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1·x n ＋1；(3)若f (x )＝1x ，则F (x )＝ln x (x >0)；(4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ；(5)若f (x )＝a x，则F (x )＝a xln a(a >0且a ≠1)；(6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos x ； (7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin x . 知识点二微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么f (x )d x ＝F (b )－F (a ). 思考 (1)函数f (x )的原函数F (x )是否唯一？(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？答案 (1)不唯一.(2)①把被积函数f (x )变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差；②用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )； ③利用微积分基本定理求出定积分的值.题型一求简单函数的定积分例1 计算下列定积分. (1)3d x ；(2)(2x ＋3)d x ； (3) (4x －x 2)d x ；(4)(x －1)5d x . 解 (1)因为(3x )′＝3，所以3d x ＝(3x )⎪⎪⎪21＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x 2＋3x )′＝2x ＋3，所以(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪2＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10. (3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2－x33′＝4x －x 2，所以(4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33⎪⎪⎪3－1＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203.(4)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5，所以 (x －1)5d x ＝16(x －1)6⎪⎪⎪21＝16(2－1)6－16(1－1)6＝16. 反思与感悟 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a ). (2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②若F (x )是f (x )的原函数，则F (x )＋C (C 为常数)也是f (x )的原函数.随着常数C 的变化，f (x )有无穷多个原函数，这是因为F ′(x )＝f (x )，则[F (x )＋C ]′＝F ′(x )＝f (x )的缘故.因为⎠⎛ab f (x )d x＝[F (x )＋C ]|b a ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )＝F (x )|b a ，所以利用f (x )的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C 了. 跟踪训练1 求下列函数的定积分： (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ；(2)x (1＋x )d x . 解 (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2d x ＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122d x ＋⎠⎛121x2d x ＝13x 3⎪⎪⎪ 21+2 x ⎪⎪⎪ 21 +⎝⎛⎭⎫-12⎪⎪⎪21＝13×(23－13)＋2×(2－1)－⎝⎛⎭⎫12－1 ＝296. (2)⎠⎛49x (1＋x )d x＝⎠⎛49(x ＋x )d x＝⎝⎛⎭⎫23x x ＋12x 2⎪⎪⎪94＝⎝⎛⎭⎫23×9×3＋12×92－⎝⎛⎭⎫23×4×2＋12×42 ＝2716. 题型二求分段函数的定积分例2 求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1)，x 2，x ∈[1，2)，2x ，x ∈[2，3]在区间[0,3]上的定积分.解由定积分的性质知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛232x d x＝x 44⎪⎪⎪10＋x 33⎪⎪⎪21＋2x ln 2⎪⎪⎪32＝14＋83－13＋8ln 2－4ln 2 ＝3112＋4ln 2. 反思与感悟 (1)分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是确定每一段上的函数表达式，即按照原函数分段的情况分就可以. 跟踪训练2 求下列定积分： (1)⎠⎛02|x 2－1|d x ；(2) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x .解 (1)∵y ＝|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，0≤x ＜1，x 2－1，1≤x ≤2，∴⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 33⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫x 33－x ⎪⎪⎪21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫83－2－⎝⎛⎭⎫13－1 ＝2.(2) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x＝⎠⎜⎛0π2|sin x －cos x |d x＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝⎝⎛⎭⎫22＋22－1＋(－1)－⎝⎛⎭⎫－22－22 ＝22－2.题型三定积分的简单应用例3 已知f (a )＝⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值.解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，∴⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪10 ＝23a －12a 2，即f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.反思与感悟定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用. 跟踪训练3 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值.解由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2.① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0，② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01 (ax 2＋bx ＋c )d x＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪10 ＝13a ＋12b ＋c ， ∴13a ＋12b ＋c ＝－2，③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.1.⎠⎜⎛0π4cos 2xcos x ＋sin x d x 等于( )A.2(2－1)B.2＋1C.2－1D.2－2答案 C解析结合微积分基本定理，得⎠⎜⎛0π4cos 2x －sin 2xcos x ＋sin x d x ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π40＝2－1. 2.下列定积分的值等于1的是( )A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x 答案 C解析 ⎠⎛01x d x ＝12x 2⎪⎪⎪ 10＝12，⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎪⎪⎪ 10＝12＋1＝32，⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪10＝1，⎠⎛0112d x＝12x ⎪⎪⎪10＝12.故选C.3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝ . 答案 43解析 ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x ＝x 33⎪⎪⎪20－x 23⎪⎪⎪20＝83－43＝43. 4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ＜1，3－x ，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝ .答案176解析 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝⎝⎛⎭⎫x 33＋x ⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫3x －x 22⎪⎪⎪21＝176.5.已知函数f (x )为偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66 f (x )d x ＝ .答案 16解析因为函数f (x )为偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，所以⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.1.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分.(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1.函数y ＝⎠⎛0x cos x d x 的导数是( )A.cos xB.－sin xC.cos x －1D.sin x 答案 A解析 (sin x )′＝cos x ，⎠⎛0x cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪x0＝sin x ，故选A. 2.若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A.F (x )＝13x 3B.F (x )＝x 3C.F (x )＝13x 3＋1D.F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案 B解析若F (x )＝x 3，则F ′(x )＝3x 2，这与F ′(x )＝x 2不一致，故选B. 3. ⎠⎛－40|x ＋2|d x 等于( )A. ⎠⎛－40 (x ＋2)d xB. ⎠⎛－40 (－x －2)d xC.⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛－202(－x －2)d xD.⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20 (x ＋2)d x答案 D解析 ∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－2≤x ≤0，－x －2，－4≤x <－2，∴⎠⎛－40|x ＋2|d x ＝⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20 (x ＋2)d x .故选D.4.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23D.－23 答案 B解析 ⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－1x 2d x ＋⎠⎛011d x ＝⎪⎪x 330－1＋x |10＝13＋1＝43，故选B. 5.⎠⎜⎛0π2sin 2x2d x 等于( )A.π4 B.π2－1 C.2 D.π－24答案 D解析 ⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝⎠⎜⎛0π21－cos x 2d x ＝⎪⎪12(x －sin x )π20＝π－24，故选D. 6.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A.S 1＜S 2＜S 3B.S 2＜S 1＜S 3C.S 2＜S 3＜S 1D. S 3＜S 2＜S 1答案 B 解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪21＝73，S 2＝⎪⎪⎪⎠⎛121x d x ＝ln x 21＝ln 2＜1，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)＞73，所以S 2＜S 1＜S 3，选B.二、填空题7.⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝ .答案 π2解析 ⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11x d x ，根据定积分的几何意义可知⎠⎛－111－x 2d x 等于半径为1的半圆的面积，即⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，⎠⎛－11x d x ＝12x 2|1－1＝0，∴⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝π2.8.若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为 .答案 3解析 ⎠⎛0T x 2d x ＝ 13x 3⎪⎪⎪t 0＝13T 3＝9，即T 3＝27，解得T ＝3. 9.设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0＝ .答案33解析由⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，得⎠⎛1(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33.故填33. 10.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0.若f [f (1)]＝1，则a ＝ .答案 1解析因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝x ＋t 3⎪⎪⎪a＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1. 三、解答题11.设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式. 解 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则 ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎠⎛01ax d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝5， ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2)d x ＋⎠⎛01bx d x ＝13a ＋12b ＝176. 由⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.即f (x )＝4x ＋3. 12.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求⎠⎛03f (x )d x 的值.解由积分的性质，知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x d x ＋⎠⎛232x d x＝x 44⎪⎪⎪⎪10＋23x 3221⎪⎪＋2x ln 232 ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2 ＝－512＋432＋4ln 2.13.求定积分⎠⎛－43|x ＋a |d x .解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝⎠⎛－43(x ＋a )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－4＝7a －72. (2)当－4＜－a ＜3即－3＜a ＜4时，原式＝⎠⎛－4－a [－(x ＋a )]d x ＋⎠⎛－a3 (x ＋a )d x＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪－a－4＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－a ＝a 22－4a ＋8＋⎝⎛⎭⎫a 22＋3a ＋92 ＝a 2－a ＋252.(3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝⎠⎛－43[－(x ＋a )]d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪⎪3-4＝－7a ＋72. 综上，得⎠⎛－43|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧7a －72(a ≥4)，a 2－a ＋252(－3＜a ＜4)，－7a ＋72(a ≤－3).。

高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题

高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题一、2-2数列的概念、数列的通项公式及递推公式1. 数列的概念数列是按照一定规律排列的一系列数，一般用字母 an 表示第n 个数。

2. 数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的位置 n，直接求出该位置上的数 an 的公式。

通项公式可以是一个数学式子，也可以是一个算法。

3. 数列的递推公式数列的递推公式是指通过数列前一项或前几项的值，推导出数列下一项的公式。

递推公式是数列中相邻两项之间的关系式。

4. 常见数列的通项公式和递推公式- 等差数列：an = a1 + (n-1)d （通项公式），an = an-1 + d （递推公式）- 等比数列：an = a1 * q^(n-1) （通项公式），an = an-1 * q （递推公式）- 斐波那契数列：an = an-1 + an-2 （递推公式）二、2-3数列的求和、数列的性质及应用1. 数列的求和- 等差数列的前 n 项和：Sn = (a1 + an) * n / 2- 等比数列的前 n 项和（q ≠ 1）：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q) - 斐波那契数列的前 n 项和：Sn = Fn+2 - 12. 数列的性质- 常数列：数列中的每一项都是一个常数。

- 奇数列：数列中的每一项都是奇数。

- 偶数列：数列中的每一项都是偶数。

- 单调递增数列：数列中的每一项都比前一项大。

- 单调递减数列：数列中的每一项都比前一项小。

- 正项数列：数列中的每一项都是正数。

- 负项数列：数列中的每一项都是负数。

3. 数列的应用- 利用数列的递推关系，求解实际问题中的特定数值。

- 利用数列的性质，进行数学推理和证明。

- 利用数列的规律，设计算法解决问题。

典型例题：1. 已知等差数列的前三项分别为 1，5，9，求数列的通项公式和第 n 项的值。

解：设数列的首项为 a，公差为 d，则有以下等差数列的递推公式：a2 = a1 + d = 1 + da3 = a2 + d = (1 + d) + d = 1 + 2d将 a1，a2，a3 分别代入等差数列的通项公式，可得：a1 = a = 1a2 = a + d = 1 + d = 5 --> d = 4a3 = a1 + 2d = 1 + 2(4) = 9所以该等差数列的通项公式为 an = a + (n-1)d = 1 + 4(n-1) = 4n - 3第 n 项的值为：an = 4n - 32. 求等差数列 3，6，9，...，101 的前 n 项和。

高中数学选修2-2《导数与切线方程》

●教材分析：导数这块知识点在高考中地位较为重要，从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函数的单调性和极值已成为炙手可热的考点，既有小题也有解答题，小题主要考察利用导数研究函数的单调性、极值、求切线方程、最值，解答题主要考察导数与函数单调性，及相关内容的综合渗透。

●学情分析：前面几节课已经复习了函数的定义域、值域、单调性最值等关于函数的一些基本内容。

在接下来学习的导数与切线方程，导数与单调性，导数与极值，导数与最值中，导数作为一种工具，只要将导数的几何意义说明清楚，学习其它关系就轻松多了。

●教学目标：1、明确导数的几何意义2、能利用导数求函数在某点与过某点的切线方程●教学重难点：1、导数的几何意义2、求函数在某点与过某点的切线方程●教学过程：二、平均变化率与瞬时变化率平均变化率=xy ∆∆=0101)()(x x x f x f --=x x f x x f ∆-∆+)()(00（函数y=)(x f 从0x 到1x 的平均变化率）ox 1xx∆)(1x fxy0x瞬时变化率=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000（函数y=)(x f 在0x x =处的瞬时变化率）就称瞬时变化率为函数y )(x f 在0x x =处的导数，记为')(0x f 或0'x x y =思考b ：')(x f 与')(0x f 有什么区别：')(x f 是一个关于x 的函数')(0x f 是函数')(x f 当自变量x 取0x 是的函数值三、导数的几何意函数y=)(x f 从0x 到1x 的平均变化率1212)()(x x x f x f --=1212x x y y --几何意义c ：过点）（)(,11x f x 与）（)(,22x f x 的直线的斜率函数y=)(x f 在0x x =处的导数（瞬时变化率）：')1(x f几何意义b ：过点）（)(,11x f x 的切线的斜率（1x 是切点的横坐标）四、求切线方程（1）求过曲线上点的切线方程例1、已知曲线方程为y ＝x 2，求曲线在点A (2,4)处的切线方程。

高中数学选修2-2知识点总结[1]

高中数学选修2-2知识点总结[1]高中数学选修2-2学问点总结[1]导数及其应用一．导数概念的引入数学选修2-2学问点总结1.导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是x0limf(x0x)f(x0)，x我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)=limx0f(x0x)f(x0)xP时，直线PT与2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点Pn趋近于曲线相切。

简单知道，割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0)P时，函，当点Pn趋近于xnx0数yf(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即klimx0f(xn)f(x0)f(x0)xnx03.导函数：当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数.yf(x)的导函数有时也记作y,即f(x)lim二.导数的计算基本初等函数的导数公式:x0f(xx)f(x)x11若f(x)c(c为常数)，则f(x)0；2若f(x)x,则f(x)x;3若f(x)sinx,则f(x)cosx；4若f(x)cosx,则f(x)sinx;5若f(x)a,则f(x)alna；6若f(x)e,则f(x)ex7若f(x)loga,则f(x)xxxx11；8若f(x)lnx,则f(x)xlnax导数的运算法则1.[f(x)g(x)]f(x)g(x)2.[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)3.[f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)]2g(x)[g(x)]复合函数求导yf(u)和ug(x),称则y可以表示成为x的函数,即yf(g(x))为一个复合函数yf(g(x))g(x)三.导数在讨论函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(a,b)内，假如f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递增；假如f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点四周的大小状况.求函数yf(x)的极值的方法是:(1)假如在x0四周的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值;(2)假如在x0四周的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是微小值;4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数yf(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤（1）求函数yf(x)在(a,b)内的极值；（2）将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的学问,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题其次章推理与证明考点数学归纳法1.它是一个递推的数学论证方法.2.步骤:A.命题在n=1（或n0）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k时命题成立C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=n0,且nN)结论都成立。

高中数学选修2-2知识点

(3) 复数相等 :如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等
.
(4) 共轭复数 :当两个复数实部相等 ,虚部互为相反数时 ,这两个复数互为共轭复数 .
(5) 复平面 :建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面
,x 轴叫做实轴， y 轴除去原点的部分叫做虚轴。
(6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
6 若 f ( x) ex ,则 f ( x) ex
7 若 f ( x)
log
x a
,则
f
( x)
8 若 f ( x) ln x ,则 f ( x)
2）导数的运算法则
1 x ln a 1 x
1. [ f (x) g( x)] f ( x) g ( x)
2. [ f (x) g( x)] f ( x) g( x) f ( x) g (x)
2
z
2
z
a2 b2;(4) z
z;(5) z
z
zR
(6)i 4n 1 i ,i 4n 2 1, i 4n 3 i , i 4n 4 1;
2
2
1i 1i
1i
(7) 1 i
i ;(8)
i,
i,
i
1i 1i
2
(9) 设
1 3i 是 1 的立方虚根，则 1
2
2 0 ， 3n 1
, 3n 2
, 3n 3 1
5.复数的几何意义复平面：用来表示复数的三章数系的扩充与复数的引入
一 :复数的概念
(1) 复数 : 形如 a bi (a R, b R) 的数叫做复数， a 和 b 分别叫它的实部和虚部 .
(2) 分类 : 复数 a bi (a R, b R) 中 ,当 b 0 ,就是实数 ; b 0 ,叫做虚数 ; 当 a 0, b 0 时 ,叫做纯虚数 .

高中数学选修2-2最全知识点汇总

三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间内
(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧 ,右侧 ,那么是极大值（2）如果在附近的左侧 ,右侧 ,那么是极小值;
3.导函数：当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为的导函数. 的导函数有时也记作 ,即
二.导数的计算
基本初等函数的导数公式:
1若 (c为常数)，则；2若 ,则 ;
3若 ,则 4若 ,则 ;
5若 ,则 6若 ,则
7若 ,则 8若 ,则
导数的运算法则
1. 2.
3.
复合函数求导和 ,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.
类比推理的一般步骤:
(1)找出两类事物的相似性或一致性;
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3)一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.
2,几个重要的结论
(1) (2) (3)若为虚数,则
3.单位i的一些固定结论：
（1）（2）（3）（2）
(4)一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.
考点二演绎推理(俗称三段论)

高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.4知识点总结含同步练习题及答案

x x [n, 2n] 上的 n 个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，
1 1 1 25 ． + +⋯+ < n+1 n+2 2n 36
即
2n 1 1 1 1 n + +⋯+ <∫ dx = ln x| 2 n = ln 2n − ln n = ln 2， n+1 n+2 2n x n
因为ln 2 ≈ 0.6931 ， 25 ≈ 0.6944 ，所以ln 2 < 25 ．所以
3 1
π 2 dx；（3）∫ 0 2 (sin x − cos x)dx． x
∫
(1 + x + x2 ) = ∫
3 1
1 2 3 1 x | 1 + x3 | 3 1 2 3 1 1 = (3 − 1) + (3 2 − 1 2 ) + (3 3 − 1 3 ) 2 3 44 = . 3 = x| 3 1 +
∑ f (ξi )Δx = ∑
i =1 i =1 n n
b−a f (ξi )， n
当 n → ∞ 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的定积分（definite integral），记作 ∫ ab f (x)dx，即
∫
b a
f (x)dx = lim ∑
∫
b a
f (x)dx = F (x)| b a = F (b) − F (a).
例题：利用定积分定义计算：（1）∫ 1 (1 + x)dx；（2）∫ 0 xdx．解：（1）因为 f (x) = 1 + x 在区间 [1, 2] 上连续，将区间 [1, 2] 分成 n 等份，则每个区间的

高中数学选修2_2知识点总结(最全版)

高中数学选修2_2知识点总结(最全版)
一、三角函数基本知识
1. 弧度制和角度制的相互转换
2. 正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数的定义与性质
3. 周期、对称性及图像变换
4. 函数值、解析式和定义域、值域
5. 三角函数间的基本关系
6. 弦割定理和余弦正弦定理
二、三角函数的图像及其相关式子
1. 函数y=sin(x)
三、三角函数的诱导公式
1. 诱导公式的基本概念
2. 诱导公式的归纳证明
3. 应用：求三角函数值
1. 三角函数和差化积公式
3. 正弦和余弦的二倍角公式
6. 万能公式：将任意一个三角函数表达为tan(x/2)的形式
1. 三角函数在一定区间内的值域和零点
2. 基本方程的分类及其解法
3. 一次三角方程及其解法
3. 三角函数的附加恒等式
4. 三角函数的化简或证明
1. 直角三角形的三角函数关系及其应用
2. 等边三角形、等腰三角形、直角三角形的周长和面积的计算
4. 海伦公式及其应用
五、导数与微分的基本概念
1. 函数的概念及其分类
2. 极限的概念及其基本性质
4. 可导函数的判定方法
5. 常用函数的导数公式
6. 导数与函数图象的关系
六、函数的单调性、最值和曲线的几何特征
1. 函数的单调性和最值
2. 曲线的拐点和点的分类
3. 曲线的凸凹性及其判定方法
4. 图象和函数的简图
七、导数的应用
3. 曲线的渐近线
4. 物理学中的应用：单位变化法
八、反三角函数
3. 反三角函数的图像及其性质。

高中数学选修2-1、2-2知识点小结

高中数学选修2-1、2-2知识点小结高中数学选修2-1、2-2知识点小结一、函数的概念和性质1. 函数的定义：函数是一个集合，它与另一个集合之间建立了一种特殊的对应关系，其中每一个输入元素对应唯一的输出元素。

2. 函数的性质：a. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

b. 奇偶性：函数的奇偶性取决于其对称性，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。

c. 单调性：函数单调递增或单调递减等取决于导数的符号。

d. 周期性：函数的周期是指输入变量在一个范围内发生改变，输出值也以某种规律重复出现。

e. 增减性：函数增减性是指函数的导数的正负性质，导数大于0时函数增加，导数小于0时函数减少。

二、函数的基本类型1. 幂函数：y = x^a，其中a为常数，a>0时为增函数，a<0时为减函数。

2. 指数函数：y = a^x，其中a为常数，a>1时为增函数，0<a<1时为减函数。

3. 对数函数：y = loga(x)，其中a为对数底，a>0且a≠1，a>1时为增函数，0<a<1时为减函数。

4. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

5. 反三角函数：包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。

三、函数的图像与性质1. 函数的图像：通过计算函数的各个点的坐标，可以绘制出函数的图像。

2. 函数的对称性：可以通过判断函数的定义域和图像是否关于某条直线对称来确定函数的对称性。

3. 函数的周期性：可以通过计算函数在一个周期内的取值来确定函数的周期。

4. 函数的最值：可以通过计算函数的导数来确定函数的最值点。

四、函数的运算1. 函数的四则运算：可以通过加减乘除四则运算来得到新的函数。

2. 函数的复合：可以将多个函数合并成一个新函数，合并后的函数相当于依次将原函数的输出作为下一个函数的输入。

五、函数的导数1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x)=lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h，表示函数的变化速率。

高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.1知识点总结含同步练习及答案

导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。

高中数学选修2-2全套知识点和练习答案解析

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 高中数学选修2-2全套知识点和练习答案解析修选修 2-2 知识点及习题答案解析导数及其应用一一. 导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数 ( ) y f x 在0x x 处的瞬时变化率是0 00( ) ( )limxf x x f xx ，我们称它为函数 ( ) y f x 在0x x 处的导数，记作0( ) f x 或0| x x y，即0( ) f x =0 00( ) ( )limxf x x f xx 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点nP 趋近于 P 时，直线 PT 与曲线相切。

容易知道，割线nPP 的斜率是 00( ) ( )nnnf x f xkx x，当点nP 趋近于 P 时，函数 ( ) y f x 在0x x 处的导数就是切线 PT 的斜率k，即0000( ) ( )lim ( )nxnf x f xk f xx x3. 导函数：当 x 变化时， ( ) f x 便是 x 的一个函数，我们称它为 ( ) f x 的导函数. ( ) y f x 的导函数有时也记作y ,即 0( ) ( )( ) limxf x x f xf xx 二二. 导数的计算基本初等函数的导数公式: 1 若 ( ) f x c (c 为常数)，则 ( ) 0 f x ； 2 若 ( ) f x x ,则1( ) f x x ; 3 若 ( ) sin f x x ,则 ( ) cos f x x1/ 34 若 ( ) cos f x x ,则 ( ) sin f x x ;5 若 ( )xf x a ,则 ( ) lnxf x a a6 若 ( )xf x e ,则 ( )xf x e7 若 ( ) log xaf x ,则1( )lnf xx a8 若 ( ) ln f x x ,则1( ) f xx导数的运算法则 1. [ ( ) ( )] ( ) ( ) f x g x f x g x2. [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x3. 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) [ ( )]f x f x g x f x g xg x g x复合函数求导 ( ) y f u 和 ( ) u g x ,称则 y 可以表示成为 x 的函数,即 ( ( )) y f g x 为一个复合函数( ( )) ( ) y f g x g x 三三. 导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间 ( , )a b 内 (1)如果( ) 0 f x ，那么函数( ) y f x 在这个区间单调递增；(2)如果 ( ) 0 f x ，那么函数( ) y f x 在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数( ) y f x 的极值的方法是:（1）如果在0x 附近的左侧 ( ) 0 f x ,右侧( ) 0 f x ,那么0( ) f x是极大值（2）如果在0x 附近的左侧 ( ) 0 f x ,右侧 ( ) 0 f x ,那么0( ) f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数求函数( ) y f x 在 [ , ]a b 上的最大值与最小值的步骤：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ （1）求函数 ( ) y f x 在 ( , )a b 内的...3/ 3。

人教版高中数学【选修2-2】[知识点整理及重点题型梳理]_函数的极值与最值_基础

人教版高中数学选修2-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习导数的应用二------函数的极值与最值【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。

2. 会用导数求函数的极大值、极小值。

3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。

4. 掌握函数极值与最值的简单应用。

【要点梳理】知识点一：函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，否则无从比较. （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即0()0f x '=是可导函数)(x f 在点0x 取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x 3，在x=0处，'(0)0f =，但x=0不是函数的极值点.②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 两侧)(x f '的符号相异。