函数恒成立与存在性问题

恒成立与存在性问题

基本方法：

恒成立问题：

1. 对于(),x a b ∀∈，()f x k ≥恒成立等价于min ()f x k ≥.

2. 对于(),x a b ∀∈，()f x k ≤恒成立等价于max ()f x k ≤.

3. 对于[]12,,x x a b ∀∈，12()()f x g x ≥等价于min max ()()f x g x ≥.

4. 对于[]12,,x x a b ∀∈，12()()f x g x ≤等价于max min ()()f x g x ≤.

5. 对于[],x a b ∀∈，()()f x g x ≥，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最小值min ()0h x ≥.

6. 对于[],x a b ∀∈，()()f x g x ≤，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最大值max ()0h x ≤.

7. ()f x 在区间[],a b 上单调递增，等价于[]min ()0,,f x x a b '≥∈.

8. ()f x 在区间[],a b 上单调递减，等价于[]max ()0,,f x x a b '≤∈.

存在性问题：

1. ()0,x a b ∃∈，使得()f x k ≥成立，等价于max ()f x k ≥.

2. ()0,x a b ∃∈，使得()f x k ≤成立，等价于min ()f x k ≤.

3. []12,,x x a b ∃∈，使得12()()f x g x ≥成立，等价于max min ()()f x g x ≥.

4. []12,,x x a b ∃∈，使得12()()f x g x ≤，等价于min max ()()f x g x ≤.

5. [],x a b ∃∈，使得()()f x g x ≥，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最大值max ()0h x ≥.

6. [],x a b ∃∈，使得()()f x g x ≤，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最小值min ()0h x ≤.

参变分离：

解决有关参数的恒成立问题或存在性问题时经常会用到参变分离的方法：就是在

不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式，然后可利用一个变量的范围求出另一个变量的范围. 一般情况下，哪个字母范围已知，就将其视为变量（多数情况下是自变量x ），构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.

一、典型例题

1. 已知函数()()24ln 1f x x mx m =-+∈R ，若对任意[]1,e x ∈，都有()0f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.

2. 设函数e

()ln f x a x x =+（e 为自然对数的底数），若不等式()0f x <在区间2(0,e ]内有解，求实数a 的取值范围.

二、课堂练习

1. 已知()f x '为函数()f x 的导函数，()()()2e 20e 0x x f x f f x +-'=，当0x >时，()e x af x x <-恒成立，求a 的取值范围.

2. 已知函数()()ln f x x a x a =-+∈R .

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）设()222g x x x a =-+，若对任意()10,x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得()()12f x g x <，求a 的取值范围.

三、课后作业

1. 已知函数()21()ln 22f x x x m x =+-+，在区间[]1,2单调递减，求实数m 的取值范围.

2. 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. 若当(1,)∈+∞x 时，()0>f x ，求a 的取值范围.

3. 已知函数()11ln (f x x a ax a =+-∈R 且0)a ≠. （1）若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；

（2）若函数()e x g x x p =-+，若存在[]01,e x ∈使不等式()0

00e ln x g x x ≥成立，求实数p 的取值范围.